m atematičko modeliranje kvadratnom funkcijom
DESCRIPTION
M atematičko modeliranje kvadratnom funkcijom. dr Duška Pešić Gimnazija “J.J.Zmaj” andpesic @ Eunet.yu. Proces matematičkog modeliranja. Formulacija. Problem iz svakodnevnog života. Matematički model. Interpretacija. Koji broj nedostaje?. 1. 2. 5. 6. 7. 9. 1. 4. ?. 36. 49. 81. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MMatematičko modeliranje atematičko modeliranje kvadratnom funkcijomkvadratnom funkcijom
dr Duška Pešićdr Duška Pešić
Gimnazija Gimnazija “J.J.Zmaj”“J.J.Zmaj”
andpesicandpesic@@Eunet.yuEunet.yu
Proces matematičkog Proces matematičkog modeliranjamodeliranja
Problem iz svakodnevnog
života
Matematički model
Formulacija
Interpretacija
Koji broj nedostaje?
1 2 5 6 7 9
1 4 ? 36
49
81
15
21
25
16
Tačno!2y x
Odabrati rešenje:
Koji broj nedostaje?
1 3 5 7 8 9
0 8 ? 48
63
80
13
24
32
15
Tačno!2 1y x
Odabrati rešenje:
Koji broj nedostaje?
1 2 5 6 7 9
-2
1 ? 33
46
78
15
9 22
-4
Tačno!2 3y x
Odabrati rešenje:
Koji broj nedostaje?
1 2 4 6 7 8
4 9 ? 49
64
81
25
24
16
32
Tačno! 21y x
Odabrati rešenje:
Koji broj nedostaje?
1 2 3 4 5 6
2 8 ? 32
50
72
18
24
16
25
Tačno!22y x
Odabrati rešenje:
Koji broj nedostaje?
1 2 5 6 7 9
3 4 ? 28
39
67
15
21
19
10
Tačno!2( 1) 3y x
Odabrati rešenje:
Koji broj nedostaje?
1 2 4 5 6 7
-3
-1
? 29
47
69
22
9 15
-4
Tačno! 2
2 1 3y x
Odabrati rešenje:
Kvadratni obrazac
Naći vezu između broja kockica Naći vezu između broja kockica KK i i broja redova broja redova RR..
Razmotriti sledeću šemu kockica sa slike:
1 red 2 reda 3 reda 4 reda
Kvadratni obrazac
4 reda 4 reda 4 reda
2
2
1 3 5 ... 2 1
1 3 5 ... 2 1
K R
K R
R R
Veza između poluprečnika kruga Veza između poluprečnika kruga r ir ipovršine kruga površine kruga PP
Jednačina: Jednačina:
2P r
r
Veza između vremena u Veza između vremena u sekundama kada pada neki objekat sekundama kada pada neki objekat tt i rastojanja u metrima koje je taj i rastojanja u metrima koje je taj
objekat prešao objekat prešao dd
Jednačina: Jednačina:
24.9d t
Još jedan primer kvadratne veze Još jedan primer kvadratne veze veličinaveličina
Izračunati zapreminu kutije visine 9Izračunati zapreminu kutije visine 9cmcm, i , i dužine dva puta veće nego širine.dužine dva puta veće nego širine.
9
y
x
2
2
2
9
18
4.5
x y
V xy
V y
V x
Koordinatna šetnjaKoordinatna šetnja
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Grafik kvadratne funkcijeGrafik kvadratne funkcije
PARABOLA
2y x
23y x
21
2y x
Grafik kvadratne funkcijeGrafik kvadratne funkcije
Koordinate temena se ne menjajuKoordinate temena se ne menjaju
T(0,0)
2y ax
Kvadratni obrazac
Naći vezu između broja kvadratića Naći vezu između broja kvadratića KK i i faze faze FF..
Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike:
Faza 1 Faza 2 Faza 3 Faza 4
Kvadratni obrazacPrvi način:
F+1
F-1
2 2( 1)( 1) 2 1 2 1K F F F F
Kvadratni obrazacDrugi način:
21 1K F F F
F
F
Grafik ove kvadratne vezeGrafik ove kvadratne veze
2y x
2 1y x
Koordinate temena se menjajuKoordinate temena se menjaju2y x n
0n
T
0n
T(0,n)
Kvadratni obrazac
Naći vezu između broja kvadratića Naći vezu između broja kvadratića KK i i faze faze FF..
Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike:
Faza 2 Faza 3 Faza 4 Faza 5
Kvadratni obrazac
21 1 1K F F F
F-1
F-1
Faza 5
Grafik ove kvadratne vezeGrafik ove kvadratne veze
Koordinate temena se menjajuKoordinate temena se menjaju2( )y x m
0m
T
0m
T(m,0)
Spojiti svaki grafik sa Spojiti svaki grafik sa odgovarajućim funkcijamaodgovarajućim funkcijama
2y x
a) b) c)
e)d) f)
2 1y x
21y x
2y x
2y x2 1y x
21y x
Koliko dijagonala ima konveksan Koliko dijagonala ima konveksan nn-tougao-tougao
n=3 n=4 n=5 .... n=8 ...
22( 3) 3 1 3 9
2 2 2 2 2 8
n n n nd n
Koordinate temena se menjajuKoordinate temena se menjaju2( )y a x m n
0
0
n
m
0
0
n
m
T(m,n)
0
0
n
m
0
0
n
m
Kvadratna funkcijaKvadratna funkcija2
2 2 4
2 4
y ax bx c
b b acy a x
a a
2
1,2
2
4
2
4,
2 4
b b acx
a
b b acT
a a
Poveži funkcije sa njihovim Poveži funkcije sa njihovim grafikomgrafikom
2
2
2
2
4 4
4
y x
y x
y x x
y x
Koje još veličine imaju kvadratnu Koje još veličine imaju kvadratnu vezu?vezu?
Vreme i visina tela bačenog u vis
Broj godina vozača i broj
automobilskih udesa
Cena i ukupni prihod
Telo bačeno sa krivogTornja u Pizi
Vatromet
Strela
Telo bačeno u vis
Telo bačeno vertikalno uvis ima visinu gde je ubrzanje zemljine teže, početna brzina i početna visina.
Lopta je bačena u vis sa vrha tornja u Pizi, visine 58m sa prosečnom brzinom 30m/s. Odrediti posle koliko vremena će lopta dodirnuti zemlju. Rešenje
,)( 002
2 stvtts g 2/8.9 smg
0v 0s
2
2
1
( ) 4.9 30 58
0 4.9 30 58
1.54
s t t t
t t
t
2 7.67t
Visina na kojoj je lopta može se izraziti kao
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
x
ys
t
Putanja tela bačenog u vis
1. Odrediti maksimalnu visinu lopte. Nakon koliko vremena je lopta dostigla maksimalnu visinu? Rešenje
Maksimum date funkcije može se odrediti kao teme parabole:
,92.1032061.3,2061.38.9
30
st
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
x
ys
t
Putanja tela bačenog u vis
1. Kada je lopta bila na visini od 20m i u kom vremenu je lopta iznad te visine? Rešenje
Vrednost funkcije s=20 se uvrsti u jednačinu i dobija se:
1 1.0772t
2 7.1996t
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
x
ys
t
Putanja tela bačenog u vis
Ako se telo baci u vis istom brzinom ali sa zemlje, koliko i kada će ono biti najviše udaljeno od zemlje i kada će ono udariti zemlju? Rešenje
ttts 309.4)( 21 Matematički model ove pojave je
Teme parabole, je nule su t=0 i t=6.1224
*Ako se telo baci sa zemlje pod navedenim uslovima tada će dostići najveću visinu 45.918m za 3.0612 s (isto vreme kao i kod Pize), a pogodiće zemlju posle 6,1224 s.
),918.45,2061.3(
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
x
ys1
t
Broj automobilskih udesa u zavisnosti od godina vozača
Broj udesa
Funkcija je matematički model broja saobraćajnih udesa na pređenih 200 hiljada kilometara u zavisnosti od godina vozača.
20.001 0.09 2.5f x x x
2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4
x
y
Broj udesa
U kojim godinama čovek ima najmanje udesa. Rešenje
2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4
x
y
Ispitati monotonost funkcije f i na osnovu toga dati odgovarajuće tumačenje. Rešenje
20.001 0.09 2.5f x x x
•Parabola ima minimum za što znači da ljudi sa 45 godina imaju najmanje saobraćajnih udesa.
0.090.002 45.0,x
•Data kvadratna funkcija opada kada a raste kada je x>45. Na osnovu toga može se reći da se broj udesa smanjuje sa povećanjem godina života od 18 do 45, a raste posle 45 godina.
18,45 ,x
VATROMET
Raketa je ispaljena sa zemlje.
• Visina rakete zavisi od početne brzine i vremena.
• Ako je početna brzina 40m/s, tada je visina rakete: 240 4.9h t t
0
20
40
60
80
100
2 4 6 8 10t
Maksimalna dobit
Mali biznis
Maksimalna dobit
Ako funkcija opisuje neku ekonomsku pojavu, ispitujući njene osobine i skicirajući grafik mogu se rešiti mnogi zadaci optimizacije poslovanja.
Primer:Neka je data funkcija tražnje
i funkcija prosečnih troškova .
Odrediti:
А) Optimalni obim prodaje za maksimalnu dobit;
B) Maksimalan ukupni prihod;
C) Interval rentabiliteta;
D) Grafike funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova i dobiti.
400x p
19003C x x
x
Rešenje:
* Funkcija ukupnih prihoda P(x) se dobija množenjem cene p i tražnje x.
2( ) 400 400P x p x x x x x
Grafik funkcije ukupnog prihoda:
P(x)
4003002001000
•x
y
•x
Funkcija ukupnih troškova se dobija množenjem funkcije prosečnih troškova i tražnje:
Odatle je funkcija dobiti:
21900( ) ( ) 3 3 1900C x x C x x x x
x
2( ) ( ) ( ) 4 400 1900D x P x C x x x
P(x)
D(x)
C(x)
* Na osnovu dobijenih grafika mogu se rešiti svi postavljeni problemi.
4003002001000
x
y
P(x)
D(x)
C(x)
*Maksimalna dobit je maksimum funkcije dobiti x=50 i iznosi 9500 novčanih jedinica.
Maksimalna dobit
4003002001000
x
y
P(x)
D(x)
C(x)
*Maksimalan ukupni prihod je maksimum funkcije ukupnog prihoda: dostiže se za x=200 i iznosi 40000 novčanih jedinica.
Maksimalan ukupni prihod
4003002001000
x
y
P(x)
D(x)
C(x)
*Interval rentabilnosti je interval u kome je funkcija dobiti pozitivna: dostiže se između x=5 i x=95.
Interval rentabilnosti
4003002001000
x
y
Mali biznisMali biznis
Prodavnica sendvičaProdavnica sendviča
• Nedeljni profit ove prodavnice je u funkciji od cene njihovih sendviča. Veza između profita P (u 10000dinara) i cene c (u 100 dinara) je data jednačinom:
( 7)P c c c P
01234567
0
Problem: Fotograf je namestio
kameru da snima strelu koja je izbačena u vazduh na svakih pola sekunde.
Tačke na grafiku prikazuju visinu strele u metrima na svakih pola sekunde pošto je kamera počela da snima.
Tačke su spojene parabolom.