longitudes y areas

Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programacin podrs encontrarla tambin en el CD Programacin.

6

4

5

3

2

1

1 ESO

G U A D I D C T I C A UNIDAD 13

Longitudes y reas

CO N T E N I D O

2 Unidad 13 Longitudes y reas

Para finalizar con la geometra plana y una vez conocidos todos los elementos y figuras del plano, se estudian los con-ceptos de longitud y superficie, y se aprenden mtodos y frmulas para calcularlos.

Es muy importante identificar los conceptos de permetro y rea con la medida del borde y del interior de la figura, res-pectivamente, y usar de forma adecuada sus unidades de medida.

Se debe conseguir que los alumnos utilicen correctamente el teorema de Pitgoras para calcular la hipotenusa o algncateto de cualquier tringulo rectngulo, y reconocer situaciones que requieran de su uso para calcular distancias, ascomo resolverlas. Por ello es importante que dominen los contenidos referidos a la resolucin de ecuaciones

Tambin es importante establecer la utilidad de las frmulas para calcular el rea de las figuras planas sencillas, pues-to que agilizan dicho clculo y permiten hallar el rea de otras figuras ms complejas que se obtienen mediante com-posicin o descomposicin de aquellas.

Unidad 13 Longitudes y reas

Programacin de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACINCOMPETENCIAS

BSICAS

1. Emplear el teorema de Pitgoras ylas frmulas adecuadas para obte-ner distancias, permetros o reas defiguras planas.

1.1 Calcular de la forma ms sencilla y rpi-da el permetro de las figuras planas.

1.2 Estimar y calcular medidas indirectasutilizando el teorema de Pitgoras.

1.3 Reconocer tringulos rectngulos uti-lizando el teorema de Pitgoras.

1.4 Utilizar las frmulas y procedimientosadecuados para el clculo directo delrea de las figuras planas ms ele-mentales.

1.5 Reconocer, dibujar y describir las figu-ras planas como resultado de la com-posicin de otras ms sencillas.

Lingstica

Matemtica

Interaccin con elmundo fsico

Social y ciudadana

Cultural y artstica

Tratamiento de lainformacin ycompetencia digital

Aprender a aprender

2. Resolver problemas geomtricosrelacionados con la vida cotidiana enlos que intervengan longitudes, per-metros y reas, utilizando los proce-dimientos y estrategias adecuados.

2.1 Aplicar las frmulas del clculo de dis-tancias, permetros y reas de figurasplanas elementales para resolver pro-blemas relacionados con el entorno.

Permetro y rea de una figura plana Teorema de Pitgoras Clculo de medidas indirectas Identificacin de tringulos rectngulos rea del rectngulo y del cuadrado rea del paralelogramo y del tringulo rea del trapecio rea de polgonos regulares Triangulacin de un polgono

rea de un polgono irregular Longitud de una circunferencia Longitud de un arco de circunferencia rea del crculo rea de una corona circular rea de un sector circular Clculo de reas por composicin Clculo de reas por descomposicin

CONTENIDOS

3Longitudes y reas Unidad 13

Programacin de aula

ORIENTACIONES METODOLGICAS

1. Conocimientos previosPara el correcto clculo de longitudes y reas de figuras planas es necesario que los alumnos dominen las unidades delongitud y superficie del Sistema Mtrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades.

El clculo de medidas indirectas a travs del teorema de Pitgoras implica que los alumnos recuerden la resolucin de ecua-ciones y el clculo de races cuadradas.

2. Previsin de dificultadesLa principal dificultad la vamos a encontrar en la comprensin y aplicacin del teorema de Pitgoras. De entrada, a losalumnos les cuesta distinguir los catetos de la hipotenusa en un tringulo rectngulo, as como asimilar que el teore-ma relaciona una variable de longitud (los lados del tringulo rectngulo) con una variable de superficie (la superficiede los cuadrados que tienen por lado los lados del tringulo rectngulo en cuestin).

3. Vinculacin con otras reasComo en todas las unidades de geometra, los contenidos de esta unidad estn ntimamente relacionados con los de Edu-cacin Plstica y Visual. Tambin encontraremos relacin con las ciencias sociales, al ser Pitgoras uno de los mate-mticos ms destacados de la cultura griega.

4. Esquema general de la unidadEl estudio de la geometra plana se completa en este nivel con el clculo del permetro de los polgonos, la longitud dela circunferencia y el rea de todas las figuras planas.

Comienza la unidad con el significado y definicin de permetro de un polgono y las unidades de medida con que seexpresa. Y contina con el clculo de longitudes, introduciendo el teorema de Pitgoras como un mtodo para obtenermedidas indirectas. En concreto, se aplica al clculo de la distancia entre dos puntos que junto con otro forman un trin-gulo rectngulo.

Finalizadas las medidas de longitud se define el conceptode rea, determinando el metro cuadrado como unidadde medida de superficie.

Seguidamente, mediante ejemplos sencillos, se mues-tran las frmulas que permiten calcular el rea de lospolgonos, agrupados en ocasiones por la relacin entresus reas: rectngulo y cuadrado, paralelogramo y trin-gulo, trapecio, polgonos regulares e irregulares, crcu -lo y figuras circulares.

Termina con el clculo del rea de figuras planas quese obtienen por composicin o descomposicin de lasanteriores.

5. TemporalizacinSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 12 sesiones:

1. Introduccin. Permetro y rea de una figura plana.

2. Medidas indirectas. Teorema de Pitgoras.

3. rea del rectngulo, del cuadrado, del paralelogramo y del tringulo.

4. rea del rombo y del trapecio.

5. rea de polgonos regulares.

6. Triangulacin. rea de polgonos irregulares.

7. Longitud de figuras circulares.

8. rea de figuras circulares.

9. Clculo de reas por composicin y descomposicin.

10. y 11. Actividades de repaso y consolidacin.

12. Trabajo en competencias mediante la doble pgina final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.

Por supuesto, el contexto de la clase es tambin un factor determinante para fijar el nmero de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Clculo de reas por composicin y descomposicin

Permetro defiguras planas

Teorema de Pitgoras

rea del crculo y figuras circulares

rea de polgonos

rea de unasuperficie

LONGITUDES Y REAS

4Programacin de aula


CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICAS

Competencia lingsticaLa comprensin del texto de los diferentes epgrafes es bsica para adquirir las destrezas que se persiguen, por lo queesta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad.

En particular, la seccin Pon a prueba tus competencias y, en general, los problemas con enunciado contextualizadodesarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunicacin escrita.

Competencia matemticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma ms detallada las subcom-petencias resolucin de problemas y uso de elementos y herramientas matemticos.

Competencia para la interaccin con el mundo fsicoEn las sugerencias didcticas se detalla cmo poder desarrollar la subcompetencia conocimiento y valoracin del de -sarrollo cientfico-tecnolgico.

Competencia social y ciudadanaLa situacin de los descubrimientos matemticos que aparecen en la unidad permite trabajar el indicador conocer ycomprender la realidad histrica y social del mundo y su carcter evolutivo de la subcompetencia desarrollo personaly social.

Competencia cultural y artsticaEl diseo de sombreros con formas geomtricas que aparece en las pginas de Pon a prueba tus competencias per-mite desarrollar la subcompetencia expresin artstica.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la reso-lucin de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluacin planteadas en las pginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de Autoevaluacin y Aprende a pensar, se puede trabajar en la adquisicin de esta competencia, especialmen-te en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construccin delconocimiento.

Asimismo, los problemas de clculo de reas por composicin y descomposicin facilitan trabajar de una forma ms con-creta el descriptor relacionar la informacin e integrarla con los conocimientos previos y la propia experiencia.

Otras competencias de carcter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexin y el sentido crti-co del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo ycrtico.

En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexin y debate.

5TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programacin de aula

Longitudes y reas Unidad 13

COMPETENCIA1.er nivel de concrecin

SUBCOMPETENCIA2. nivel de concrecin

DESCRIPTOR3.er nivel de concrecin

DESEMPEO4. nivel de concrecin

Lingstica Comunicacin escrita.

Adquirir el hbito de la lectura y aprendera disfrutar con ella considerndola fuentede placer y conocimiento.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la informacin contenida en untexto para contribuir al desarrollo delpensamiento crtico.

Muestra inters por la lectura.Pon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye

Extrae informacin matemtica deun texto y la aplica con diferentesfines.Desarrolla tus competenciasProblemasPon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye

Matemtica

Resolucin deproblemas.

Utilizar las matemticas para el estudio ycomprensin de situaciones cotidianas.

Seleccionar las tcnicas adecuadas paracalcular resultados, y representar einterpretar la realidad mediante medidasmatemticas.

Clculo de reas y longitudes enun contexto cotidiano.

Construccin de figurasgeomtricas

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientasmatemticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemticos bsicos (distintos tipos denmeros, medidas, smbolos, elementosgeomtricos, etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.

Aplica las frmulas del clculo dereas.

En toda la unidad

Pon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye

Interaccin con elmundo fsico

Conocimiento yvaloracin del desarrollocientfico-tecnolgico.

Conocer y valorar la aportacin deldesarrollo de la ciencia y la tecnologa ala sociedad.

Valora y aprecia el descubrimientodel teorema de Pitgoras.

En toda la unidad

Social y ciudadanaDesarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistrica y social del mundo y su carcterevolutivo.

Sita a Pitgoras en su poca.

Epgrafe 2

Cultural y artstica Expresin artstica.Realizar representaciones artsticas deforma individual y cooperativa.

Disea figuras geomtricas.

Pon a prueba tus competencias:Imagina y construye

Tratamiento de lainformacin y

competencia digital

Obtencin,transformacin ycomunicacin de lainformacin.

Buscar y seleccionar informacin condistintas tcnicas segn la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

Busca en diferentes pginas deinternet para complementar lainformacin.

En la red

Desarrolla tus competencias

Visita la pgina librosvivos.net

Actividades 20, 34 y 45, organizatus ideas, autoevaluacin

Aprender a aprenderConstruccin delconocimiento.

Relacionar informacin e integrarla conlos conocimientos previos y con la propiaexperiencia.

Calcula reas por composicin ydescomposicin.

Actividad 72

6Programacin de aula


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

Cuaderno de Matemticas bsicas.

Unidad 5. Polgonos y crculos.

Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 1. de ESO.

Unidad 5. Geometra.

Cuadernos de matemticas. 1. de ESO: N. 5: Geometra.

Unidad I: Elementos geomtricos del plano.

Unidad II: Polgonos.

Cuaderno de Matemticas para la vida. 1. de ESO.

Los mil y un centros del tringulo.

Otros NELSEN, R.: Demostraciones sin palabras. Granada, Proyecto Sur, 2001.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Pgina en la que aparecen varios puzles pitagricos que permiten realizar una demostracinvisual del teorema:

www.e-sm.net/1esomatprd25

Unidad interactiva de permetros y reas:

www.e-sm.net/1esomatprd26

Pelcula Donald en el pas de las matemgicas. El comienzo de esta pelcula se sita en la poca de Pit-goras y describe brevemente las aportaciones matemticas que hicieron los pitagricos.

El programa GeoGebra es muy til para realizar construcciones que demuestran el teorema de Pitgoras.Otr

os

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Inte

rnet

Bib

liogr

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osEDUCACIN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo especfico de las competencias nos per-miten, adems, desarrollar algunos de los aspectos que el currculo recoge como educacin en valores:

Educacin para la igualdad: actividad 74.

Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didcticas permiten desarrollar la edu-cacin para la convivencia y la educacin en comunicacin.

ATENCIN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.

Cuaderno de evaluacin de competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS

7Sugerencias didcticas

Entrada

Desarrolla tus competencias

Para que los alumnos tengan clara la idea de lo que esun patrn, podramos llevar al aula revistas de patrones,dividir la clase en cuatro grupos y distribuir a cada unode ellos una de las lminas que aparecen en las revistascon los diferentes patrones. Les pediramos que selec-cionasen uno de los modelos de la revista y que, con lasindicaciones que en ella aparezcan, marcasen en la mara-a de patrones el correspondiente a su modelo elegido.Una vez que lo tuvieran marcado, trasladaran, a escala,el patrn en un folio y les pediramos que reconocieranen l figuras planas.

1. Permetro y rea de una figura plana Conviene que los alumnos obtengan el permetro de algu-

nos objetos mediante medida directa para que com-prendan el significado de la palabra permetro.

Tambin es interesante que les propongamos activida-des con polgonos regulares e irregulares. Ellos encon-trarn la forma de simplificar el clculo del permetroutilizando la multiplicacin en lugar de la suma en el casode las figuras regulares.

Se pueden utilizar geoplanos o polimins para que com-prendan no solo el significado del rea, sino tambin laimportancia de la unidad de medida utilizada: no es lomismo tomar como unidad un cuadrito o uno de los trin-gulos rectngulos en que se puede dividir. As compro-barn que la superficie es la misma, pero la medida varadependiendo de la unidad elegida.

Con esos mismos materiales se puede estudiar cmofiguras que encierran superficies distintas tienen la mis-ma rea o cmo figuras de igual permetro encierransuperficies diferentes.

1. Los alumnos debern interpretar la figura del patrn dela falda, indicando a qu parte del cuerpo pertenece cadauna de las medidas que en ella se indican.

2. Una vez que los alumnos hayan realizado sus patrones,los agruparemos juntando a aquellos que hayan dise-ado el patrn de la misma prenda para que los com-paren entre s y decidan cul sera el adecuado.

3. Esta actividad ayudar a que los alumnos enriquezcan suvocabulario y les pediremos que, adems de estos con-ceptos, busquen todos aquellos que aparecen en el tex-to, y de los cuales no conozcan su significado.

4. Esta ltima actividad puede servirnos para poner demanifiesto la necesidad de tener un patrn de medidaspara poder comparar.


ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico 1 a 3 y 46

Medio 4, 47 y 48

Alto 86


Bsico 6 a 8, 49, 50, 74 y 77

Medio 9, 10 y 51 a 54

Alto 55, 56 y 87

3. rea del rectngulo y del cuadrado En lugar de darles la frmula para calcular el rea del rec-

tngulo, se les pueden proponer ejercicios en los quetengan que hallar el rea de rectngulos de distintasmedidas contando cuadritos como en el epgrafe ante-rior. A partir de los resultados, ellos deducirn una for-ma rpida para obtener esa rea.

Podemos aprovechar este epgrafe para que los alumnosbusquen en la red informacin sobre la vida y obras de Pit-goras, situndolo en el siglo que vivi.

Para completar esta informacin podemos ponerles el frag-mento de la pelcula Donald en el pas de las matemticas enel que se narra la historia de los pitagricos.

Adems, para que vean la importancia que ha tenido Pit-goras, podemos pedirles que hagan una encuesta, en subarrio o en su comunidad de vecinos, preguntando por nom-bres de matemticos. Una vez realizadas las encuestascontabilizaremos las veces que ha salido Pitgoras en ellasy nos quedaremos asombrados.

2. Medidas indirectas: teorema de Pitgoras

Es interesante que los alumnos realicen la comproba-cin grfica del teorema de Pitgoras, dibujando y midien-do, recortando o con el ordenador, utilizando alguna delas pginas que hay en internet. Es ms fcil recordarlas frmulas si se hace alguna prctica que contribuya asu comprensin.

Por otro lado, se deben realizar muchos ejercicios parautilizar la frmula correctamente:

En el clculo de la hipotenusa no suelen tener dificulta-des, solo algn problema al despejarla de la igualdadfinal y en particular cuando no toma un valor entero; porejemplo: a2 = 30.

En el caso en que se utilice para calcular la medida de uncateto, se plantean problemas al despejar. Es importantehacerles razonar las relaciones de la frmula: si apare-ce, por ejemplo, c2+ 16 = 25, explicarles que hay que encon-trar un valor para c2 que sumado a 16 d 25, y que ellosdeduzcan cmo se obtiene.

Se debe insistir en que los alumnos realicen dibujos querepresenten las situaciones planteadas en los proble-mas, que busquen en ellos tringulos rectngulos y queanoten los datos y lo que deben calcular.

Proponer actividades variadas con un grado de dificul-tad cada vez mayor. As se animarn a enfrentarse a losproblemas y a aprender el mecanismo de resolucin.

Como contenido de ampliacin puede considerarse laclasificacin de tringulos en acutngulos, rectngulos yobtusngulos a partir del teorema de Pitgoras.



La frmula del rea del cuadrado se puede obtener dela misma forma o como se indica en el epgrafe, tenien-do en cuenta que es un rectngulo con todos los ladosiguales.


Bsico 12, 57 a, 58 a, 73 y 75

Medio 13 a 15, 79 y 81

Alto 85 y 88

4. rea del paralelogramo y del tringulo

Siempre es interesante intentar que los alumnos deduz-can las frmulas mediante mtodos sencillos. En estecaso se puede utilizar el ejemplo del epgrafe pidindo-les que dibujen el paralelogramo y recorten el tringulorectngulo de la izquierda para que al colocarlo a la dere-cha comprueben que se forma un rectngulo de igualbase y altura que el paralelogramo inicial.

Otra opcin es que el profesor prepare la actividad y,mediante transparencias, realice l mismo ese proceso.Tambin sera interesante preparar una animacin conGeoGebra.

De igual forma (realizado por los alumnos o con las trans-parencias) se puede actuar con el tringulo demostran-do que su rea es la mitad de la del paralelogramo, y conel rombo indicando que su rea es la mitad del parale -logramo que tiene por dimensiones las diagonales del rombo.


Bsico 17, 57 b y 58 b

Medio 18, 19, 59, 61 a y 80

Alto 63 b y 64 a


Bsico 22

Medio 23 y 61 b

Alto 63 a

5. rea del trapecio De nuevo se puede recortar y pegar para obtener una

figura de rea conocida. En este caso, siguiendo las ins-trucciones del epgrafe y colocando de forma consecuti-va e invertida un trapecio, se obtiene un paralelogramoque tiene la misma altura que el trapecio y cuya base esla suma de las dos bases del trapecio.

Es ms interesante si la actividad la realizan los alumnos,pero tambin es un buen recurso la utilizacin de trans-parencias, puesto que el proceso es seguido por todosde una forma ms constructiva que si se observa el dibu-jo del libro o en la pizarra.

6. rea de polgonos regulares Es conveniente e interesante que los alumnos observen

que las frmulas surgen por un proceso de construccinde figuras de rea conocida.

En los polgonos regulares resulta algo complicado obte-ner la frmula, por eso lo mejor es centrarnos en el hex-gono regular (es el ms sencillo de dibujar) y realizar latriangulacin del mismo desde su centro. Una vez obte-nida el rea de cada tringulo, basta sumar el rea detodos y hacer ver a los alumnos que el resultado estrelacionado con el permetro del polgono.

7. rea de polgonos irregulares En los polgonos irregulares se puede insistir en la trian-

gulacin, pero no siempre es posible conocer la base y laaltura de los tringulos obtenidos. Por eso se les puedeorientar para que intenten descomponer la figura en otrasms sencillas de medidas conocidas para calcular el reade cada una de ellas.


Bsico 25 y 26

Medio 62


Medio 27, 60 y 82

Alto 28 y 65

8. Longitudes de figuras circulares Muchos alumnos ya conocen (y presumen de ello) la fr-

mula para hallar la longitud de una circunferencia. Poreso hay que insistir, sobre todo, en que la comprendan.Si es posible, sera conveniente realizar experienciascomo las que se proponen en el epgrafe del libro, paraque mediante la toma de distintas mediciones com-prueben de un modo experimental que en cualquier cir-cunferencia, la relacin entre la longitud y el dimetro esalgo mayor que 3. Para ello llevaremos al aula botes derefrescos, platillos de los que se lanzan, etc. Llevare-mos adems lana de colores para repartir entre los alum-nos y que as puedan medir el contorno de todos estosobjetos.

Tambin hay que hacer mucho hincapi para que sepanutilizar la frmula tanto si se tiene la longitud del radiocomo si se tiene la del dimetro.

Hay que insistir en que el valor de es aproximado: toma-mos 3,14, pero en ningn caso se trata de un valor exacto,ya que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.

La longitud del arco de un sector circular se puede tra-bajar como aplicacin de la frmula anterior utilizando unaproporcin con los grados del sector.

Cuando se trata de calcular la longitud del arco de un sec-tor circular correspondiente a un cuarto de crculo o a unsemicrculo, basta con dividir la longitud de la circunfe-rencia de igual radio por 4 o por 2, respectivamente.




Bsico 29 a 32, 66 y 76

Medio 33 y 67

Alto 48 y 84


Bsico 36, 37, 69 y 70

Medio 38, 71, 78 y 83

Alto 89

Organiza tus ideasPara ayudarles en la elaboracin del esquema de la unidadse les puede pedir que:1. Distingan dos conceptos: longitud y rea.2. Agrupen en el concepto de longitud los epgrafes de la

unidad relacionados con l y aadan un ejemplo de cadauno de ellos.

3. Definan el concepto de rea y sus unidades de medida,y despus, dibujen cada una de las figuras planas queaparecen en la unidad y a su lado escriban la frmulaque permite obtener su rea y un ejemplo.

Actividades de ampliacinCon estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonoma e iniciativa personal.Los alumnos debern aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cules son los ms apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, debern elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competenciasIMAGINA Y CONSTRUYE: PATRONES DE CABEZA

Aprovecharemos esta actividad para fomentar la lecturaentre nuestros alumnos. Seguro que muchos de ellos tie-nen el libro de Harry Potter y la piedra filosofal y podemospedirles que lleven varios ejemplares a clase y leer en vozalta el pasaje de la primera cena en Hogwarts.

Para realizar las actividades es preciso que dibujen en unacartulina negra todas las piezas, empleando para ello tizablanca. Antes de realizar el montaje del sombrero, nosdetendremos en el sector circular y calcularemos su rea.

INTERPRETA Y CONSTRUYE: LA PARCELA

Para realizar esta actividad indicaremos a los alumnos querealicen una tabla con dos filas y dos columnas. Les dire-mos que lean atentamente cada uno de los anuncios y queanoten en las celdas los datos correspondientes a cada unode ellos. A continuacin, en la misma celda calcularn elprecio del metro cuadrado de cada terreno.

De este modo organizarn y ordenarn toda la informaciny podrn contestar con facilidad a las actividades.

OBSERVA Y CALCULA: EL TEOREMA DE PICK

Para realizar esta actividad sera conveniente llevar al aulauna plantilla de geoplano donde habremos dibujado pre-viamente el primer polgono. De esta manera podrn mar-car sin problemas los nudos sobre ella.Una vez que hayan comprobado que el rea es de 28 cm2,podemos pedirles que recorten la figura de tal manera quepuedan construir un rectngulo de 7 cuadrados de anchopor 4 de largo.Para calcular el rea de los tres polgonos que aparecenen la actividad, en primer lugar los dibujarn en el geo-plano que les hayamos entregado y a continuacin aplica-rn el teorema de Pick.


Bsico 43

Medio 44, 72 e y f

9. rea de figuras circulares Aunque algunos alumnos conocen tambin la frmula

para hallar el rea del crculo, la mayora suele confun-dirla con la de la longitud de la circunferencia. Para quelas asocien correctamente sera prctico que identifica-sen las unidades que resultan en cada caso: 2 r darunidades de longitud, y r2 dar unidades de superficie.

Para obtener el rea de la corona circular pueden calculary colorear el rea del crculo mayor. Despus, sealar conotro color o con rayas o puntos la zona que hay que quitar-le para que solo quede la corona. Observarn que es el readel crculo ms pequeo y entonces se escribe la frmula.

Para el sector circular hay que partir de que el crculotiene 360 y, desde este hecho, realizar una proporcin.


Medio 40, 41, 72 a, b, c y d

10. Clculo de reas por composicin Para calcular el rea de figuras planas no elementales, se

dividir la figura en figuras de las que se conozca la frmuladel rea, para posteriormente calcular el rea de cada unade estas figuras y dar el rea de la figura original como lasuma de estas reas. El problema que puede surgir aques que los alumnos dividan la figura de formas distintas,pero comprobarn que el resultado final es el mismo.

11. Clculo de reas por descomposicin A menudo, la figura de la que tenemos que calcular el

rea proviene de una figura conocida a la que se le hanquitado figuras conocidas y calcular el rea resulta muyrpido como resta de reas de figuras conocidas.

Conviene realizar el ejercicio resuelto 42 descomponien-do la figura en un tringulo y tres rectngulos, y que ellosvean que es ms corto el procedimiento aplicado en el libro.

72. Para realizar esta actividad podramos dibujar cada unade las figuras en la pizarra y pedir que salgan volunta-riamente alumnos a la pizarra para resolverlas y quevayan contando a sus compaeros cmo lo van haciendo.

10

Actividades de refuerzo

Unidad 13 Longitudes y reasORIENTACIONES METODOLGICAS

Es importante que los alumnos comprendan la diferencia entre permetro y rea, y utilicen correctamente sus unida-des de medida. Adems deben aprender el teorema de Pitgoras y calcular uno de los lados de un tringulo rectn-gulo a partir de los otros dos. Tambin deben conocer y aplicar adecuadamente las frmulas que permiten obtener elrea de los polgonos y del crculo.

Proponer actividades para comprobar que conocen el significado de permetro y de rea. Por ejemplo: colorear la super-ficie de las figuras, pintar de rojo el permetro o unir mediante flechas esas palabras con distintas unidades de medida.

Utilizar el teorema de Pitgoras para comprobar si un tringulo es rectngulo.

Realizar muchos ejercicios de aplicacin del teorema de Pitgoras para que aprendan el mecanismo que permite obte-ner un cateto, conocidos el otro y la hipotenusa.

Permitirles utilizar el esquema de la unidad hasta que aprendan las frmulas del clculo del rea de figuras planas.

Plantear problemas sencillos que tengan relacin con la vida cotidiana.

Insistir en que realicen dibujos y anoten lo conocido y lo desconocido.

1.

2. a) 5 cm b) 12 dm

3. Tringulo Pentgono Cuadrado

Rectngulo 2 2 1

Trapecio 1 2 6

Rombo 2 0 9

15 cm3 dm

1,8

dm

3 dm STOP

140 mm

45 cm 9,6 dm 9,42 dm 1120 mm

cm dm dm mm

cm2 dm2 dm2 mm2

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Mide y calcula tu entorno

Puede ser una actividad a realizar dentro o fuera del aula, pero siempre es ms motivador salir, al menos al patio. Encaso de que no sea factible la salida, utilizar los elementos que proporciona el aula para realizarla.

En todos los centros suele haber un campo de deportes donde se puede practicar ftbol, baloncesto, balonmano El msinteresante por la variedad de figuras planas que presenta es el de baloncesto, pero cada grupo se puede encargar deuno distinto, y as trabajarn ms cmodos.

El objetivo es que calculen el permetro y el rea de todas las figuras planas que se encuentran pintadas en el suelo. Paraello:

Organizar a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.

Cada grupo llevar una cinta mtrica, un cuaderno y un lapicero.

Dibujarn en el cuaderno el contorno, las zonas, los crculos y cualquier otra figura plana que encuentren, anotan-do en ella las medidas necesarias para el posterior clculo de reas y permetros.

Despus, en clase, harn todos los clculos y expondrn el trabajo al resto de compaeros, explicndoles qu tipo depolgonos y figuras circulares han encontrado, qu medidas tienen, cules necesitan para calcular el permetro y cmolo han hecho, qu otras han necesitado hallar para obtener el rea y cmo las han averiguado

ACTIVIDAD DE GRUPO

Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.


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1. Dibuja el permetro en rojo y la superficie en azul, y completa la siguiente tabla:

2. Marca con una cruz la respuesta correcta.

a) Si los catetos de un tringulo rectngulo miden 3 y 4 cm, la hipotenusa mide:

5 cm 8 cm 6 cm

b) Si la hipotenusa mide 13 dm, y un cateto, 5 dm, el otro cateto mide:

10 cm 16 dm 12 dm

3. En el siguiente crucigrama debes escribir un dgito en cada cuadro de manera que en horizontal y ver-tical aparezca el rea de las figuras que hay dibujadas en cada fila y en cada columna.

53 cm

8 cm

11 dm

8 dm

13 cm

17 dm

13 dm

12 cm

16 cm

9 cm

22 cm

19 cm

FIGURA

15 cm 3 dm

1,8 dm 3 dm STOP

140 mm

Permetro

Unidad demedida delpermetro

Unidad de medida de lasuperficie


Pgi

na

foto

cop

iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO


12

Actividades de ampliacin

Unidad 13 Longitudes y reasORIENTACIONES METODOLGICAS

Como estos alumnos utilizan correctamente el teorema de Pitgoras, lo que deben conseguir es aplicarlo a la resolu-cin de actividades y problemas en los que sea necesario calcular una distancia como paso intermedio para obtenerla solucin. Y puesto que tambin conocen y aplican las frmulas del clculo de reas de figuras planas, han de avan-zar en este sentido y ser capaces de obtener el rea de figuras circulares y de otras que son el resultado de la com-posicin y descomposicin de figuras ms sencillas.

Mostrar el teorema de Pitgoras como un mtodo para calcular medidas indirectas necesarias en la resolucin deproblemas.

Proponer problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un esbozo de la situacin y anotenlos elementos conocidos y desconocidos, as como las frmulas que los relacionan.

Animarles en la bsqueda de distintas formas de descomposicin de una figura para calcular su rea.

Utilizar el arte y la naturaleza como elementos geomtricos susceptibles de ser medidos.

Realizar alguna actividad fuera del aula, como, por ejemplo, un paseo por los alrededores del centro, para buscar lageometra en la calle.

1. El lado del rombo mide 15 cm. Su permetro, 60 cm.

2. a) ATringulo = 240 cm2 b) ACrculo = 127,41 cm

2

3. AHexgono = 41,52 cm2 ACuadrado = 72 cm

2

La baldosa cuadrada ocupa mayor superficie.

4. Si la circunferencia es exterior, r= 5,40 cm.Si la circunferencia es interior, r= 4,56 cm.

5. a) 70,32 cm2 b) 156,78 cm2

6. Asuelo = 2,25 m2, Aducha = 0,5762 m

2

Quedan libres 1,68 m2 aproximadamente.

7.

8. 24 18 (24 2,8 + 18 2,2 2,2 2,8 + 3,14 1,252) =

= 326,45 m2

9. El rea aumenta en 25 cm2 ms 10 veces la longituddel lado inicial.

314 32

314 42

314 52

6 82

2 2 2, , ,+

= cm224

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Logotipos

Se trata de que los alumnos observen cmo las matemticas estn en cualquier rincn. En este caso estudiaremos lageometra a nuestro alrededor. Se propone a los alumnos que busquen en la prensa algunos de los logotipos de las mar-cas de coches para estudiar su diseo geomtrico.

Organizamos a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.

Cada grupo debe tener varios logotipos. Si no han encontrado ninguno, se lo podemos facilitar nosotros.

Deben descomponer los logotipos en figuras planas ms sencillas y clasificarlas; despus deben calcular las dimen-siones de sus lados para seguidamente proponerles calcular el permetro y el rea de cada uno de ellos.

En el ltimo logotipo aparecen tres sectores circulares iguales. Cul es el rea de cada uno de ellos?

Se puede complicar el ejercicio si les pedimos que nos digan si algn logotipo se ha conseguido por medio de simetraso giros de alguna misma figura. Adems se les puede animar a que diseen su propio logotipo utilizando figuras planas.

NISSAN

ACTIVIDAD DE GRUPO

Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.


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1. Halla el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 18 centmetros.

2. Calcula el rea de:

a) Un tringulo issceles sabiendo que sus lados iguales miden 26 centmetros, y el lado desigual, 20centmetros.

b) Un crculo circunscrito en un cuadrado de 9 centmetros de lado.

3. La forma de una baldosa es un hexgono regular de 4 centmetros de lado, y la de otra, un cuadrado de12 centmetros de diagonal. Cul de las dos ocupa mayor superficie?

4. Por la dificultad de esta actividad, podran organizarse en parejas.

En un crculo de 5 centmetros de radio se dibuja un sector circular cuyo ngulo central es de 60.

Con qu radio habra que dibujar una circunferencia concntrica con la anterior para que la corona cir-cular que determinen tenga el mismo rea que el sector circular anterior?

5. Calcula el rea de las siguientes figuras mediante composicin o descomposicin en otras ms sencillas:

a) b)

6. El suelo de un bao tiene forma cuadrada de 1,50 m de lado. Se va a instalar una ducha con forma de sec-tor circular de 85 centmetros de radio y cuyo ngulo central es de 90. Qu superficie del bao quedalibre para colocar el resto de los sanitarios?

7.

8. Un jardn rectangular de 24 metros de largo por 18 de ancho est cruzado por dos caminos perpendicu-lares. El camino ms largo mide 2,8 metros de ancho, y el corto, 2,2. Adems, en una de las esquinas hayuna fuente circular de 2,5 metros de dimetro.

Cul es la superficie til que queda en el jardn para plantar csped?

9. Cunto aumenta el rea de un cuadrado si prolongamos cada uno de sus lados 5 centmetros?

10 cm

6 cm8 cm

El tringulo inscrito de la circunferencia es rectngulo, y las regionessombreadas reciben el nombre de lnulas de Arqumedes.

Calcula el rea total de la superficie sombreada.

12 cm

18 cm

4 cm

9 cm


ACTIVIDADES de AMPLIACIN

Pgi

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Halla el permetro de cada una de las siguientes figuras.

a) Un rombo de 9 centmetros de lado.

b) Un decgono regular de 2,5 centmetros de lado.

c) Un tringulo issceles cuyo lado desigual mide 8 centmetros, y cada uno de sus lados iguales, 10 cen-tmetros.

2. Calcula el valor de x en los siguientes tringulos rectngulos.

a) b)

3. Calcula la diagonal del rectngulo, d, y el lado del cuadrado, l.

a) b)

4. Calcula el rea de las siguientes figuras.

a) Tringulo issceles de altura 5 centmetros y lado desigual 120 milmetros.

b) Heptgono regular de lado 2 centmetros y apotema 3 centmetros.

c) Trapecio rectngulo de bases 80 y 50 metros, respectivamente, y altura 4 decmetros.

d) Crculo de dimetro 6 decmetros.

5. Halla el rea de las siguientes figuras circulares.

a) Una corona circular formada por dos circunferencias concntricas de 6 y 10 centmetros de radio.

b) Un sector circular determinado por un ngulo de 150 en un crculo de 8 centmetros de dimetro.

6. Tres hermanos han comprado una finca con forma rectangular de la que conocen su ancho, 200 metros,y la distancia del camino que forma la diagonal, 250 metros. Si la dividen en partes iguales, cuntos metroscuadrados le corresponden a cada uno?

7. Calcula el rea de estas figuras.

a) b)

8 cm

l

l

15 cm

8 cm d

13 cm

x

5 cm

3 cm

3 cmx

4 cm

2 cm

7,2 dm

5,4 dm

3,4 dm

Pgi

na

foto

cop

iab

le


PROPUESTA de EVALUACIN


15

Pgi

na

foto

cop

iab

le

1. a) Prombo= 4 9 = 36 cm

b)Pdecgono = 10 2,5 = 25 cm

c) Ptringulo = 8 + 2 10 = 28 cm

2. a) x2 = 32 + 32 = 18 x2 = 18 x = 4,25 cm

b) cm

3. a)

b)

4. a) Expresamos previamente todas las medidas en centmetros, base = 12 cm.

b)

c) Expresamos previamente todas las medidas en decmetros, bases = 8 y 5 dam, respectivamente.

d)

5. a)

b)

6. 2502 = h2 + 2002

h2 = 2502 2002 = 22 500

h = 150

Atotal = b h = 200 150 = 30 000 m2

30 000 : 3 = 10 000 m2

A cada hermano le corresponden 10 000 m2.

7. a) Podemos descomponer la figura en dos tringulos de rea conocida.

b)Podemos descomponer la figura como la suma de las reas de dos semicrculos de 6 y 4 cm de radio, y luego restar el rea de un semicrculo de 2 cm de radio.

Ar n

=

=

=

2 2

3604 150360

20 93, ccm2

A R r( ) (10 ) 64 22= = = = 2 2 26 000,96 cm2

250 m

200 m

A =+

=

314 62

314 42

314 22

75 32 2 2, , ,

, 66 cm2

A dm2=

+

=7 2 3 4

25 4 3 4

22142

, , , ,,

A r dm2= = = 2 23 28 26,

AB b

h dam2=+

=+ =

28 5

24 26

Ab h

cm2==

=

212 5

230

8 8 2 32 52 2 2 2 2 2= + = = =l l l l l ,,66 cm

d d2 2 28 15 289 17 cm= + = =

Ap a n l a

cm2==

=

=2 2

7 2 32

21

13 5 13 5 144 12 2 2 2 2 2= + = = =x x x 22

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

Propuesta de evaluacin



longitudes y areas

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