(Napomena za dokaze u 2. i 3. zadatku : dan vam je prostor za izvod i određen broj koraka u njemu, no vi možete dokazati i u više, amožda i u manje koraka; osim osnovnih pravila možete koristiti i modus tollens (MT), disjunktivni silogizam (DS) i De Morganovapravila (DeM), ukoliko nije drugačije zadano.1. ZADATAKDomenu (područje primjene) čine 4 predmeta: a, b, c, d.a je crveni trokut, b je crveni kvadrat, c plavi trokut, a d je plavi kvadrat. a je veći od b.Prevedite sljedeće rečenice prema zadanom ključu tumačenja, odredite njihovu istinosnu vrijednost, a ako ju nijemoguće odrediti upišite ?.[Ključ tumačenja: T x za ’x je trokut’; Kx za ’x je kvadrat’; Cx za ’x je crven’; P x za ’x je plav’; V xy za ’x je veći od y’; domena: a, b,c, d]a.Zadana rečenicaAko je a trokut, onda je a trokuta i b su trokuti ili su c i d kvadratia je plavi kvadrat samo ako ni c ni d nisu plaviPrijevodi, n ,?b.Zadana rečenicaIzraženo kao niz sudova o pojedinim predmetimaPostoji trokut.Svaki je trokut crven.a je veći od nečega.Poopćenjei, n ,?2. ZADATAKDokažite valjanost sljedećih zaključaka prirodnom dedukcijom prema zadanom ključu tumačenja.a. Davor je plavokos ili nije ćelav. Ako je plavokos, onda

nije ćelav. Dakle, Davor nije ćelav. [Ključ tumačenja: P x za ’x je plavokos’; Cx za ’x je ćelav’; d za

Davor]

12345678910

b. Ako nije dan, onda ne vidim Sunce. Djeca nisu budna

samo ako nije dan. Stoga, ne vidim Sunce ako djeca nisu

budna.

[Ključ tumačenja: D za ’Dan je.’; V x za ’Vidim Sunce.’; B za

’Djeca su budna.’]

123456789103. ZADATAKZadan je skup premisa (pretpostavki):Pedro je pas ili je mačka. Sve mačke vole jesti ribu. Neki psi ne vole jesti ribu.[Ključ tumačenja: P x za ’x je pas’; M x za ’x je mačka’; V xy za ’x voli jesti y’; p za Pedro, r za ribe]Od 5 ponuđenih rečenica odaberite 3 i dokažite da iz zadanog skupa slijede. (Za odličnu ocjenu potrebno je odabratizadatak obilježen s **)a Tko ne voli jesti ribu nije mačka.b Neki psi nisu mačke. *c Ako Pedro nije pas, onda voli jesti ribu. *d Nije slučaj da Pedro nije ni pas ni mačka. * (ne smijete koristiti DeM)e Pedro voli ribu ili je pas. **1 1 12 2 23 3 34 4 45 5 56 6 67 7 78 8 89 9 910 10 1011 11 1112 12 124. ZADATAK - bonus zadatak (ovaj zadatak može donijeti dodatne bodove, no ne ulazi u skup ukupnih)Pred vama je jedan pogrešan neformalni dokaz. Zaokružite mjesto na kojemu je u dokazu napravljena prva

pogreška i kratko objasnite zašto je to pogreška.Pretpostavimo (1) da su svi ljudi razumni, i (2) da je Ughaibu razuman dvonožac, a dokažimo da je Ughaibu čovjek idvonožac.Dokaz:Kako su svi ljudi razumni (prema prvoj pretpostavci), slijedi i da je Ughaibu razuman ako je čovjek, a kako jerazuman (prema drugoj pretpostavci), slijedi da je čovjek. Prema drugoj pretpostavci Ughaibu je i dvonožac. Pa jestoga Ughaibu čovjek i dvonožac.Objašnjenje:Ime, prezime i razred:Test - logika - semantika veznika i prirodna dedukcijaRješenja:1. ZADATAKZadana rečenicaPrijevod i, n ,?Ako je a trokut, onda je a trokut Ta → Ta ia i b su trokuti ili su c i d kvadrati (T a T b) (Kc Kd) n∧ ∨ ∧a je plavi kvadrat samo ako ni c ni d nisu plavi (P a Ka) → (¬P c ¬P d) i∧ ∧b.Zadana rečenicaIzraženo kao niz sudova o pojedinim predmetima Poopćenje i, n ,?Postoji trokut. Ta Tb Tc Td xT x i∨ ∨ ∨ ∃Svaki je trokut crven. (T a → Ca) (T b → Cb) (T c → Cc) (T d → Cd) x(T x → Cx) n∧ ∧ ∧ ∀a je veći od nečega. V aa V ab V ac V ad xV ax i∨ ∨ ∨ ∃2. ZADATAK(UVIJEK JE MOGUĆE IZVESTI I NA DRUGAČIJI NAČIN! OVDJE JE PREDLOŽEN SAMO JEDANMOGUĆI.)1 P d ¬Cd pretp. 1 ¬D → ¬V pretp.∨2 P d → ¬Cd pretp. 2 ¬B → ¬D pretp.3 Pd pretp. 3 ¬B pretp.4 ¬Cd 2, 3/ i→ 4 ¬D 2, 3/ i→5 ¬Cd pretp. 5 ¬V 1, 4/ i→6 ¬Cd op. 6 ¬B → ¬V 3–5/ u→1, 3–4, 5–6/ i 7 ∨7¬Cd8 89 910 10Ime, prezime i razred:Test - logika - semantika veznika i prirodna dedukcija3. ZADATAK12

x(M x → V xr)∀1

2 3

x(M x → V xr) pretp.∀3 pretp.

x(P x ¬V xr) pretp.∃ ∧a ¬V ar pretp. 4P a ¬V ar pretp.∧5 M a → V ar 2/ i 5 M a → V ar 2/ i∀ ∀6 ¬M a 4, 5/ MT 6 ¬V ar 4/ i∧7 ¬M a 5, 6/ MT8 8 Pa 4/ i∧9 9 P a ¬M a 7, 8/ u∧ ∧10 10 x(P x ¬M x) 9/ u∃ ∧ ∃11 11 4a7a

x(¬V xr → ¬M x)∀b4–6/ u∀1 Pp Mp pretp. 1∨2 x(M x → V xr) pretp. x(P x ¬V xr) pretp. ∀ ∃ ∧Pp Mp∨3, 4–10/ i∃23

x(P x ¬M x)∃ ∧3pretp.4 pretp. 4 ¬P p ¬M p pretp.∧5 Mp 1, 4/ DS 5 ¬P p 4/ i∧6 M p → V pr 2/ i 6 Mp 1, 5/ DS∀7 V pr 5, 6/ i→ 7 ¬M p 4/ i∧8 c¬P p ¬P p → V pr 4–7/ u→ 8 6, 7/ u⊥ ⊥d9 910 1011 111 Pp Mp pretp.∨2 x(M x → V xr) pretp.∀34 pretp.5 ePp P p V pr 4/ u∨ ∨

6 Mp pretp.7 M p → V pr 2/ i∀8 V pr 6, 7/ i→9 P p V pr 8/ u∨ ∨1011P p V pr∨1, 4–5, 6–9/ i∨

Prirodna dedukcija - vježbe 4(1)

I. Dokažite sljedeće zaključke metodom prirodne dedukcije, a za zadatke 1.-7. provjerite i istinosnom

tablicom postoji li tumačenje u kojemu je skup premisa istinit, a konkluzija neistinita!

1. Ako je Branka naučila plivati, onda se riješila straha od vode. No, Branka se nije riješila straha od vode, pa

prema tome, nije naučila plivati. (P, R)

2. Branka je naučila plivati samo ako se riješila straha od vode. Stoga, ako se Branka nije riješila straha od

vode, onda nije naučila plivati. (P, R)

3. Ako će se povisiti prosječna temperatura na Zemlji, na njoj će biti više tekuće vode nego sada. Naime, ako

će se povisiti prosječna temperatura na Zemlji, ledene kape će se otopiti. A ako se ledene kape otope, na

Zemlji će biti puno više tekuće vode nego što je sada.(P, V, O)

4. Ako neće na Zemlji biti više tekuće vode nego sada, onda se na njoj neće povisiti prosječna temperatura.

Naime, ako će se povisiti prosječna temperatura na Zemlji, ledene kape će se otopiti. A na Zemlji neće biti

puno više tekuće vode nego što je sada samo ako se ledene kape ne otope.(P, V, O)

5. Željko je razmišljao: ”Poći ću na more, ali se neću kupati. No, kupat ću se ako pođem na more.”(M, K)

Dokažite da je Željkovo razmišljanje protuslovno!

6. π je prirodan broj samo ako je pozitivan i cijeli. No π nije cijeli broj, pa nije ni prirodan.(N, P, C)

7. Ako je π pozitivan i cijeli broj, onda je i prirodan. Stoga, ako je π pozitivan broj, onda je i cijeli samo ako

je prirodan.(N, P, C)

8. Svaki je Marsovac živo biće porijeklom s Marsa. Svakom živom biću porijeklom s Marsa rogovi rastu na

glavi. Dakle, svakom Marsovcu rogovi rastu na glavi.(M x, P xm, Rx)

9. Ako nekomu ne rastu rogovi na glavi, on nije Marsovac. Naime, tkogod nije živo biće porijeklom s Marsa

nije ni Marsovac, a svakom živom biću porijeklom s Marsa rogovi rastu na glavi.(M x, P xm, Rx)

10. Sve su morske krave sirene, stoga nijedna krava nije morska krava, jer nijedna krava nije sirena.

(M x, Sx, Kx)

11. Štogod nije plavo, nije ni tirkizno. Ništa plavo nije crveno. Stoga, ništa crveno nije tirkizno.(P x, T x, Cx)

I. Zadatak

U svakom zadatku zadan je skup premisa (pretpostavki). Broj sudova koji iz tih skupova možemo izvesti je

beskonačan, no ovdje ih je ponuđeno nekoliko. Dokažite, prema zadanom ključu tumačenja, za svaku od

zadanih konkluzija da slijedi iz premisa! (možete to dokazati u jednom dokazu ili možete svaki slijed posebno

dokazivati)

Zadaci su obilježeni prema procijenjenoj težini: Osnovni zadaci koje svatko mora moći riješiti nemaju oznaku,

teži su stupnjevani zvjezdicama (*, **)

Uz osnovna, dopuštena su pravila: MT (Modus tollens), DS (Disjunktivni silogizam), DeM (De Morganovi

zakoni)

Zadaci koji nisu obilježeni zvjezdicama su obavezni i razina su sposobnosti koja je za dovoljnu ocjenu. Zadaci obilježeni

zvjezdicama razina su sposobnosti za više ocjene.

1. Franjo nije crvenokos.

[Ključ tumačenja: f za Franjo; Cx za ’x je crvenokos’; P x za ’x je plavokos’; domena (predmetno područje): svi ljudi]

Dokažite da iz gornje premise slijede sudovi:

a.

b.

c.

d.

Franjo nije crvenokos ili nije plavokos.

Ako je Franjo plavokos, onda nije crvenokos.

Netko nije crvenokos.

Nije svatko crvenokos.

2.

Franjo je bio u Dhaki ili je bio u Kalkuti. Tko je bio u Dhaki, bio je u

Bangladešu, a u Indiji su bili svi koji su bili u Kalkuti.

[Ključ tumačenja: f za Franjo; Dx za ’x je bio u Dhaki’; Kx za ’x je bio u Kalkuti’; Bx za ’x je bio u Bangladešu’; Ix za ’x je

bio u Indiji’; domena: svi ljudi]

Dokažite da iz gornjih premisa slijede sudovi:

a.

b.

c.

d.

Franjo je bio u Bangladešu ili u Indiji.

Franjo nije bio u Bangladešu samo ako je bio u Kalkuti.

Netko je bio u Bangladešu ili je bio u Kalkuti.

Nije slučaj da nitko nije bio ni u Dhaki ni u Indiji.*

3.

Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki školski zadaci nisu uzbudljivi.

[Ključ tumačenja: Sx za ’x je igra na sreću’; U x za ’x je uzbudljiv’; Zx za ’x je školski zadatak’, z za ovu zadaću (4(3));

domena: svi predmeti]

Dokažite da iz gornjih premisa slijede sudovi:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Nešto nije uzbudljivo.

Nešto nije igra na sreću.

Neki školski zadaci nisu igre na sreću.

Nijedan školski zadatak koja nije uzbudljiv, nije igra na sreću.

Ako ovaj zadataj nije uzbudljiv, onda nije igra na sreću.

Ovaj je zadatak uzbudljiv ili nije igra na sreću.***

4.

Sve se kreće. Što god je crvene boje ljudi mogu vidjeti golim okom. Neki su

planeti crvene boje.

[Ključ tumačenja: z za Zemlja; Kx za ’x se kreće’; Cx za ’x je crvene boje’; V x za ’x ljudi mogu vidjeti golim okom’; P x za

’x je planet’; domena: svi predmeti]

Dokažite da iz gornjih premisa slijede sudovi:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

Postoje planeti koje ljudi mogu vidjeti golim okom.

Nešto što ljudi mogu vidjeti golim okom se kreće.*

Nešto crvene boje se kreće.*

Svi planeti se kreću.*

Kreće se sve što je crvene boje.

Ako ljudi Zemlju ne mogu vidjeti golim okom, ona nije crvene boje.

Svaki planet crvene boje ljudi mogu vidjeti golim okom i kreće se.*

K. Gracin

1

Prirodna dedukcija i semantika - vježbe 4(3)

**5.

Tkogod je puzav ili laskavac, naporan je u društvu.

Tkogod pretjeruje u hvaljenju radi svoje koristi taj je laskavac i nije iskren.

Netko pretjeruje u hvaljenju radi svoje koristi.

[Ključ tumačenja: P x za ’x je puzav’; Lx za ’x je laskavac’; N x za ’x je naporan u društvu’; Hx za ’x pretjeruje u hvaljenju

radi svoje koristi’; Domena: svi ljudi]

Dokažite da iz gornjih premisa slijede sudovi:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Nitko tko pretjeruje u hvaljenju radi svoje koristi nije iskren.

Svatko tko pretjeruje u hvaljenju radi svoje koristi naporan je u društvu.

Ako netko nije naporan u društvu, onda nije ni puzav niti je laskavac.

Ako netko nije naporan u društvu, onda ne pretjeruje u hvaljenju radi svoje koristi.

Postoji laskavac koji nije iskren.

Neki koji nisu iskreni naporni su u društvu.

Nitko iskren ne pretjerujeu hvaljenju radi svoje koristi.

Dokažite da bi rečenica: ’Iskreni Pero pretjeruje u hvaljenju radi svoje koristi.’ zadani skup premisa

učinila nezadovoljivom (protuslovnim).

II. Zadatak (semantika)

U ovome zadatku trebate odrediti istinitost (i), neistinitost (n) ili neodredivost istinitosne vrijednosti (?) na

temelju sljedeće priče:

Troje je prijatelja otišlo kampirati u šumu. Nakon što su zajednički razapeli šator, svatko je

otišao za drugim poslovima. Marko je sakupljao drvo za ogrijev. Zdravka je brala gljive. Franka je

tražila vodu. Neki su od njih sa svojim poslom završili ranije, pa su pomogli nekome od ostalih.

Procijenite jesu li sljedeće rečenice i, n ili ?, i objasnite zašto!

a. Marko nije tražio vodu.

b. Ako je Marko sakupljao drva za ogrijev, onda je Zdravka tražila vodu.

c. Ako su Franka i Zdravka tražile vodu, onda je Marko sakupljao drva za ogrijev.

d. Zdravka je tražila vodu ili je brala gljive.

e. Nije slučaj da ni Zdravka ni Franka nisu sakupljale drvo za ogrijev.

f. Ako Franka nije tražila vodu, Zdravka nije sakupljala gljive.

g. Ako Zdravka nije brala gljive, onda netko nije brao gljive.

h. Franka nije tražila vodu ako je Marko sakupljao drva za ogrijev.

i. Nitko nije brao gljive.

j. Svatko je tražio vodu.

k. Nitko nije brao gljive ili nije tražio vodu.

l. Nitko nije brao gljive ni tražio vodu.

m. Netko nije sakupljao drva za ogrijev.

1. ZADATAK. Prevedite sljedede rečenice na jezik logike predikata (Lp)Domena (predmetno područje): Mirka, Slavka i Zvonkaa) Zvonka je mirna ako su Slavka i Mirka mirne.b) Bilo da je Zvonka lakovjerna, bilo da je to Slavka, Mirka je lakovjerna.c) Zvonka cijeni lakovjernu Slavku.d) Mirna Slavka cijeni nemirnu Zvonku.e) Iako Zvonka prezire Slavku, Slavka nju cijeni.f) Ako je Mirka zadovoljna i cijeni Slavku i ako je Slavka zadovoljna i cijeni Zvonku, onda izadovoljna Mirka cijeni Zvonku.g) Mirna Slavka cijeni sebe a cijeni i Zvonku koja ju prezire.h) Barem jedna je lakovjerna, barem jedna nije mirna, no sve su zadovoljne.i) Slavka i Zvonka cijene jedna drugu ako i samo ako niti jedna od njih ne prezire sebe.j) Ako su Slavka i Mirka obje zadovoljne, onda nisu obje lakovjerne.k) Ako su Zvonka i Mirka obje zadovoljne, onda nijedna od njih nije mirna.l) Ako barem jedna od njih nije zadovoljna, nijedna od njih ne cijeni druge.2. ZADATAK. Prevedite sljedede rečenice na jezik logike predikata (Lp)Domena (predmetno područje): svi ljudia) Svi su zadovoljni.b) Netko je miran.c) Svi su lakovjerni ili su svi mirni.d) Svi su lakovjerni ili mirni.e) Ako je Slavka mirna, onda je netko miran.f) Ako Zvonka nije lakovjerna, onda nisu svi lakovjerni.g) Svatko miran je zadovoljan.h) Nisu svi zadovoljni mirni.i) Netko zadovoljan nije miran.j) Postoji barem jedan miran i lakovjeran.k) Svi koji su zadovoljni i lakovjerni jesu mirni.l) Svatko cijeni svakoga