LOGIKA MATEMATIKALOGIKA MATEMATIKA

Pengertian LogikaPengertian LogikaDari Wikipedia Indonesia:Dari Wikipedia Indonesia:• LogikaLogika berasal dari kata berasal dari kata Yunani kuno λόγος ( λόγος (logoslogos) yang berarti hasil ) yang berarti hasil

pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.bahasa.

• Logika sebagai ilmu pengetahuanLogika sebagai ilmu pengetahuan– Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah

berpikir (khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika berpikir (khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya.adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya.

• Logika sebagai cabang filsafatLogika sebagai cabang filsafat– Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika

dapat dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.dapat dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.– Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafat di di Yunani. Dalam usaha . Dalam usaha

untuk memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf untuk memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan Yunani kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan menunjukkan kesesatan penalarannya..

– Logika digunakan untuk melakukan Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logika mengatakan yang . Logika mengatakan yang bentuk bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang , tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika..

• Logika sebagai matematika murniLogika sebagai matematika murni– Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah

logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (matematik (logika simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang ). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

http://id.wikipedia.org/wiki/Logika

Iman: mufakat pada hak dan dengan dalil.Mufakat pada hak maksudnya benar atau sesuai dengan keyataan.Kebenaran: daruri/instink (tidak dengan bukti) dan najari (dengan

bukti/dalil)Dalil: akal dan naqli.

Hukum:Akal: Wajib, mustahil dan harus

Adat: kebiasaan yang berulang-ulang, suatu kejadian diikuti kejadian yang lain.

Konvensi/syariat, suatu hukum yang didasari kesepakatan terbagi menjadi: Wajib, haram, sunat, harus, mubah.

Kegunaan Logika• Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir

secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. • Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan

objektif. • Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir

secara tajam dan mandiri. • Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan

menggunakan asas-asas sistematis • Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-

kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan. (Wikepedia)

Agama

Filsafat

Ilmu

PengetahuanIndera

AQLIAkal

NAQLI

Wahyu

Pernyataan

Kalimat terbuka:.Kalimat terbuka mengandung variabel dan belum pasti benar salahnya sedangkan kalimat tertutup sudah ada

kepastian akan benar atau salahnya.

Pernyataan adalah sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan kepada pihak lain dengan menggunakan

suatu media yang telah disepakati, biasanya lewat lisan atau tulisan, sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan

tersebut memiliki nilai kebenaran, yakni bernilai benar atau salah, biasa juga disebut sebagai kalimat tertutup.

Latihan : Lengkapi tabel berikut, tentukan jenis kalimat berikut, terbuka atau tertutup, jika tertutup benar atau

salah?

Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10

2x + 4 = 82x + 4 = 8Presiden Indonesia pertama adalah Ir. Presiden Indonesia pertama adalah Ir.

SoekarnoSoekarno

SalaSalahh

BenaBenarr

TertutupTertutupTerbuTerbukakaPernyataanPernyataan

Pernyataan

Kalimat terbuka:.Kalimat terbuka mengandung variabel dan belum pasti benar salahnya sedangkan kalimat tertutup sudah ada

kepastian akan benar atau salahnya.

Pernyataan adalah sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan kepada pihak lain dengan menggunakan

suatu media yang telah disepakati, biasanya lewat lisan atau tulisan, sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan

tersebut memiliki nilai kebenaran, yakni bernilai benar atau salah, biasa juga disebut sebagai kalimat tertutup.

Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10

2x + 4 = 82x + 4 = 8Presiden Indonesia pertama adalah Ir. Presiden Indonesia pertama adalah Ir.

SoekarnoSoekarno

SalaSalahh

BenaBenarr

TertutupTertutupTerbuTerbukakaPernyataanPernyataan

Latihan 1: Lengkapi tabel berikut, tentukan jenis kalimat berikut, terbuka atau tertutup, jika tertutup benar atau

salah?

Pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan

menggunkan kata hubung logika.

Pernyataan Majemuk

Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan maka banyak baris pada tabel kebenaran

yang memuat nilai kebenaran adalah

Hubungan dan (Konjungsi), simbol “ “Hubungan atau (Disjungsi), simbol “ “Hubungan maka (Implikasi), simbol “ “Hubungan Jika dan hanya jika (Biimplikasi), simbol “ “

Dalam hal ini:

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n

buah pernyataan tunggal

11 222 443 884 1616…… ……7 128

ppnn pp33 pp33 pp22 pp11

BB B B B BBB B B B SBB B B S BBB B B S SBB B S B BBB B S B SBB B S S BBB B S S SBB S B B BBB S B B SBB S B S BBB S B S SBB S S B BBB S S B SBB S S S BBB S S S S

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah

pernyataan tunggal

S S S S S

ppnn pp33 pp33 pp22 pp11

BB B B B BBB B B B SBB B B S BBB B B S SBB B S B BBB B S B SBB B S S BBB B S S SBB S B B BBB S B B SBB S B S BBB S B S SBB S S B BBB S S B SBB S S S BBB S S S S

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah

pernyataan tunggal

S S S S S

ppnn …… pp33 pp33 pp22 pp11

BB …… B B B BBB …… B B B SBB …… B B S BBB …… B B S SBB …… B S B BBB …… B S B SBB …… B S S BBB …… B S S SBB …… S B B BBB …… S B B SBB …… S B S BBB …… S B S SBB …… S S B BBB …… S S B SBB …… S S S BBB …… S S S S

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah

pernyataan tunggal

S …… S S S S

Konjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang

dirangkai dengan menggunakan kata hubung danp qp q p q

B B BB S SS B SS S S

Disjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang

dirangkai dengan menggunakan kata hubung ataup

qp q p q

B B BB S BS B BS S S

Implikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang

dirangkai dengan menggunakan kata hubung jika p maka qp

qp q p q

B B BB S SS B BS S B

Biimplikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang

dirangkai dengan menggunakan kata hubung p jika dan hanya jika

qp qp q p q

B B BB S SS B SS S B

1. Langkapi Tabel untuk Pernyataan

(p q) r

No. p q r p q (p q) r(1) B B B B B(2) B B S B S(3) B S B S B(4) B S S S B(5) S B B S B(6) S B S S B(7) S S B S B(8) S S S S B

No. p q r p q (p q) r(1) B B B B B(2) B B S B S(3) B S B S S(4) B S S S B(5) S B B S S(6) S B S S B(7) S S B S S(8) S S S S B

2. Langkapi Tabel untuk Pernyataan

(p q) r

3. Tentukan bentuk pernyataan dari rangkaian berikut, kemudian cari nilai kebenarannya jika p dan r benar, q, s

dan t salah.

Sebuah pernyataan majemuk yan selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan

komponennya.

p q p q (p q) pB B B BB S S BS B S BS S S B

Tautologi

Sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasiContoh

(p q) p

Implikasi Logis

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B BB S SS B SS S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B BB S SS B SS S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B BB S SS B SS S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B BB S SS B SS S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B BB S SS B SS S S

B ^ Be Bilang

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B BB S BS B BS S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B BB S BS B BS S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B BB S BS B BS S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B BB S BS B BS S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B BB S BS B BS S S

S v Su Sapi

Implikasi ()

p q p q

B B BB S SS B BS S B

Be Sar Sekali

pq

~P

q

p q setara dengan ~p q

Implikasi ()

p q p q

B B BB S SS B BS S B

Be Sar Sekali

p q

p q setara dengan ~p q

p

q

Implikasi ()

p q p q

B B BB S SS B BS S B

Be Sar Sekali

p q

p q setara dengan ~p q

p

q

Implikasi ()

p q p q

B B BB S SS B BS S B

Be Sar Sekali

p

q

p q setara dengan ~p q

p

q

Implikasi ()

p q p q

B B BB S SS B BS S B

Be Sar Sekali

pq

p q setara dengan ~p q

p

q

p q

Biimplikasi ()

p q p q

B B BB S SS B SS S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi ()

p q p q

B B BB S SS B SS S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi ()

p q p q

B B BB S SS B SS S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi ()

p q p q

B B BB S SS B SS S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi ()

p q p q

B B BB S SS B SS S B

Sama Benar

Menyatakan lawan dari suatu pernyataanIngkaran p ditulis

p

Negasi/Ingkaran:Negasi/

Ingkaran:Perlu dicamkan: (p q) p q tanda “” artinya ekuivalen, setara, sama hasilnya ( p q) p q ( p q) (p v q) p q ( p q) [(p q) (q p)] (p q) (q p) (p q) (q p)

(x ; p(x)) x ; p(x)Dibaca: Ingkaran dari pernyataan semua/setiap x merupakan p(x) adalah ada x yang bukan p(x)

(x ; p(x)) x ; p(x)Dibaca: Ingkaran dari pernyataan ada x yang p(x) adalah semua x

bukan p(x).

Pernyataan BerkuantorPernyataan yang memuat kata-kata

“ada, semua/setiap.”

p q q p

p q

q p

konvers

invers kontraposisi

Invers, Konvers dan Kontraposisi

konvers

invers

Awas, invers negasi (ingkaran)

p q ……………. premis 1 q r ……………. premis 2 p r ……………. kesimpulan/konklusinya

p q ……………. premis 1 p ……………. premis 2 q ……………. kesimpulan/konklusinya

p q ……………. premis 1 q ……………. premis 2 p ……………. kesimpulan/konklusinya

Silogisme :

Modus Ponens:

Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis:[(p q) p] q

Modus Tollens:

Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis:[(p q) q] p