lógica, guía de tp 2011 2º semestre

8/18/2019 Lógica, Guía de TP 2011 2º Semestre

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Departamento de Ciencias Básicas

Asignatura: Lógica (S954)

Año: 2011 (2º semestre)

Guía de Trabajos PrácticosProf. Cecilia Duran


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Fac. Ingeniería (2011–2º sem.)-Electiva Humanística (Lógica )- Programa – Prof. Cecilia Duran | 1

PROGRAMA DE ESTUDIOS. AÑO: 2005

ASIGNATURA: LÓGICACODIGO: S954

ESPECIALIDAD/ES para las que se dicta: TODAS LAS

ESPECIALIDADES. ELECTIVA

Contenidos Analíticos:

A.-OBJETIVOS GENERALES:

- Comprender el rol de la lógica en la constitución del conocimiento racional.

- Comprender la relación entre la lógica, la filosofía y las disciplinas científicas.

- Comprender el rol de la lógica en la argumentación racional.

- Reconocer inferencias formalmente inválidas.

- Reconocer las características propias de la inferencia deductiva.

- Iniciar al alumno en el análisis de los problemas filosóficos de la lógica en tanto ciencia.

B) ACTIVIDADES

Se dictarán tres horas semanales de clases teórico-prácticas, más un horario de consulta.

C) PROGRAMA

Primera parte: Nociones introductorias.

Unidad 1. Sobre el objeto de la lógica

1.1 Objeto de estudio de la lógica. Introducción histórica y panorama contemporáneo. Diversostipos de lógicas.

1.2. Estructura e identificación de un argumento o inferencia. Argumentos o inferenciasdeductivas y no deductivas. Validez intuitiva formal y no formal. Argumento esquema o esquemade argumento. El concepto de forma lógica. Validez formal. El Método del Contraejemplo.Sintaxis, semántica y pragmática. Lenguaje Objeto y Metalenguaje.

Segunda parte: La Lógica Proposicional

Unidad 2: El lenguaje de la Lógica Proposicional.

2.1. Presentación intuitiva de la lógica proposicional. El concepto de oración (o enunciado oproposición). Símbolos descriptivos y lógicos. Definiciones recursivas: fórmula bien formada.

2.2. Las conectivas lógicas como funciones de verdad. Su correlato con expresiones del lenguajenatural.

Unidad 3: La semántica de la lógica proposicional.


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3.1. La función valuación para la lógica proposicional. Tablas de verdad. Contingencias,tautologías y contradicciones. Implicación (o condicional) material e implicación lógica. Paradojasde la implicación material. Equivalencia material y equivalencia lógica. Leyes lógicas. Principalesmeta-teoremas. Completitud funcional de la lógica proposicional.

3.2 Validez semántica de los argumentos o inferencias proposicionales. La prueba de validez deargumentos por tablas de verdad. Prueba indirecta de validez. La noción de consecuencia lógica

semántica.

Unidad 4: La dimensión sintáctica de la inferencia en Lógica Proposicional

4.1. La noción sintáctica de inferencia correcta. Deducción Natural para la lógica proposicional.Reglas de Introducción y Eliminación de las conectivas proposicionales. Las nociones dedemostración y teorema. Pruebas por Reducción al Absurdo. La noción de consecuencia lógicasintáctica. La lógica minimal, intuicionista y clásica.

Tercera parte: La Lógica de Predicados

Unidad 5: El lenguaje de la lógica de Predicados (o de Primer Orden)

5.1 Variables de individuo, constantes de individuo, letras de predicado y cuantificadores.

Fórmulas: oraciones y funciones proposicionales. Clases de funciones proposicionales. Lasrelaciones como funciones proposicionales n-ádicas. Cuantificación universal y existencial.Definición recursiva de fórmula. La traducción del lenguaje natural al lenguaje de la Lógica dePredicados.

Unidad 6: La Semántica de la lógica de Predicados.

6.1. Elementos de Teoría de conjuntos. Funciones y Relaciones. Propiedades de las relaciones.Funciones de Interpretación. Interpretación por Sustitución. Limitación de la interpretación porSustitución. Validez Universal. Identidad, símbolos de función. Relaciones y propiedades de lasrelaciones.

6.2. La validez de los argumentos en la Lógica de Predicados. La demostración de invalidez porcontrajemplos o contramodelos. Argumento válido y fórmula universalmente válida.

Unidad 7: El enfoque sintáctico de la corrección de argumentos en la lógica de Predicados.

7.1. Deducción Natural para la Lógica de Predicados. Reglas de Introducción y Eliminación de loscuantificdores. Principales meta-teoremas de la lógica de Primer Orden.

D.- BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:

Todas las unidades contienen como bibliografía obligatoria fundamental capítulos yparágrafos del libro Lógica lenguaje y significado, Vol. 1, Introducción a la lógica, (1991) de L.T.F

GAMUT (Pseudónimo colectivo de: J.VAN BENTHEM, J.GROENENDIJK,D.H. DE JONGH,M.STOHOF Y H. VERKUYL), EUDEBA, 2009. (Traducción de la version inglesa, titulada Logic,

Language and Meaning, vol.1: Introduction to Logic. The University of Chicago Press, Chicagoand London, 1991.)

BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA

-ALCHOURRON, C.: “Concepciones de la lógica”, en ENCICLOPEDIA IBEROAMERICANA DEFILOSOFIA (EIAF), tomo 7: LOGICA, pág.11. Madrid. Ed.Trotta, 1995.

-BARKER, Stephen,: The Elements of Logic, Mc Graw-Hill Book Company, 1980.


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-BARWISE & ETCHEMENDY: The Language of First-Order Logic, CSLI Lecture Notes Number34, Stanford, 1992 (traducción al español en prensa) Ficha de cátedra FFyL,1998.

-BOCHENSKI, Historia de la lógica formal, Madrid, Gredos,1976

Cátedra, FFyL, 1999

-COHEN Y NAGEL: Introducción a la lógica y al método científico, Buenos Aires, Amorrortu,1968.

-COPI,I.: Introducción a la lógica, Buenos Aires, Eudeba

-COPI,I.: Lógica Simbólica, Madrid, CECSA, 1978.

-DEAñO, A.: Introducción a la lógica formal, Madrid, Alianza Universidad Textos,1996

-ESCRITOS DE LOGICA Y SEMANTICA Nro.1, Fac.FyL-CBC, 1996

-ESCRITOS DE LOGICA Y SEMANTICA Nro.4, Fac.FyL-CBC, 1996.

-GARRIDO,M.: Lógica simbólica. Madrid, Tecnos,1983.

-HILBERT Y ACKERMANN: Elementos de Lógica, Madrid, Tecnos,1962.

-OWSON, Colin: Logic with Trees. An Introduction to Symbolic Logic.Routledge, London, 1997.

-HUGHES & CRESWELL: Introducción a la lógica modal. Madrid, Tecnos,1973,

-JEFFREY, Richard.: Lógica formal: su alcance y sus límites. Edic. Univ.de Navarra.S, A.Pamplona,1996

-KALISH,D.& MONTAGUE,R,: Logic,Techniques of Formal Reasoning. Harcourt BraceJovanovich,1980

-KNEALE & KNEALE: El desarrollo de la lógica, Madrid, Tecnos,1972.

-LEMMON,E.J.: Beginning Logic, Van Nostrand Reihold,1986.

-MATES, Benson.: Lógica matemática elemental, Madrid, Tecnos,1970.

-MORETTI, A.: “Concepciones tarskianas de la verdad”.

-OLLER,C., “Tablas semánticas y demostración Natural”,

-ORAYEN, R.: “Lógica Modal”, EIAF, 333tomo 7,pág.289.

-PACKARD,D.& FAULCONER,J.: Introduction to Logic, D.Van Nostrand Company,1980.

-PALAU,G., Introducción filosófica a las lógicas no-clásicas, Gedisa-FFyL, 2002.

-PRIOR,A.: Formal Logic, Oxford, At the Clarendon Press, 1973.

-QUINE,W.,: El sentido de la nueva lógica, Bs.As.,Espasa Calpe,1967.

-QUINE,W.: Los métodos de la lógica, Barcelona, Ariel,1967.

-REICHEMBACH,H.: Elements of Symbolic Logic,N.Y.,Mc Millan,1957.

-SIMPSON,T.M.: Formas lógicas, verdad y significado, Bs.As., Eudeba.

-SUPPES, Patrick: Introducción a la lógica simbólica, C:E:C:S.A, México,1966.


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-TARSKI, A.: “La concepción semántica de la verdad”, en Antología semántica, comp.: MarioBunge, Bs.As.

-TARSKI,A.: Introducción a la lógica, Bs.As.,Espasa Calpe,1957.

-TARSKI,A.: “Verdad y demostración”, Escritos de Lógica y Semántica Nro.3, Fac.FyL-CBC, 1996

E.- PROMOCION

(a) Directa: 2 exámenes parciales aprobados (correspondientes al 1º y 2º módulos) cuyopromedio de notas deberá alcanzar 6 o más puntos. Si el alumno no aprueba el parcialcorrespondiente al 1º módulo, deberá rendir el examen de los dos módulos conjuntamente, en lamisma fecha en que se rinde el parcial correspondiente al 2º módulo.

(b) Con examen final: exámenes parciales correspondientes al 1º y 2º módulos aprobados con 4puntos y cuyo promedio de notas no alcanza los 6 puntos.

Cecilia DuranProf. Adjunto de la asignatura Electiva HumanísticaFac. Ingeniería - U.N.L.P

"Programa Aprobado en la 16º Sesión Ordinaria del H. Consejo Académico el 26/10/2005".


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Fac. Ingeniería (2011–2º sem.)-Electiva Humanística (Lógica )- Trabajo Práctico 1 – Prof. Cecilia Duran | 5

Trabajo Práctico 1

Temas: 1.2. Estructura e identificación de un argumento o inferencia. Argumentos oinferencias deductivas y no deductivas. Validez intuitiva formal y no formal.Argumento esquema o esquema de argumento. El concepto de forma lógica. Validezformal. El Método del Contraejemplo. Sintaxis, semántica y pragmática. LenguajeObjeto y Metalenguaje.

Bibliografía:- Copi I., (1984), Introducción a la lógica, Bs.As., Eudeba, Introducc., cap. 1- Deaño, A., (1994), Introducción a la lógica formal, Madrid, Alianza Editorial, cap. 1(Lenguaje y Metalenguaje y Sintaxis, semántica y pragmática)- Gamut, L. T. F.,(1991), Lógica lenguaje y significado, Vol. 1, Introducción a lalógica, Bs.As., EUDEBA, 2009, cap. 1 (1.1, 1.2, 1.3, 1.6)

Ejercicio (1)

Determine si los siguientes textos constituyen o no argumentos. En caso de que asísea, identifique premisas y conclusión. Justifique su respuesta.

(a) ``La lógica es invencible, porque para combatir la lógica es necesario utilizar lalógica'' (Pierre Boutroux)

(b) ``El hombre razonable se adapta al mundo; el no razonable sigue tratando deadaptar el mundo a sí mismo. Por lo tanto, todo progreso depende del hombre norazonable.'' (George Bernard Shaw)

(c)

``Pedídme lo mismo, pues los amigos deben tener todas las cosas en común.''(Platón, Fedro)

(d)

``El albañil empleado en la edificación de una casa tal vez ignore totalmente su plano general, o en todo caso, tal vez no lo recuerde constantemente. Lo mismosucede con el hombre mientras trabaja a lo largo de los días y las horas de su vida,

piensa poco en el carácter de ésta como totalidad. '' (A. Schopenhauer, Consejos ymáximas)

(e)

`` ... los legisladores consideran de más valor la amistad que la justicia, porque laconcordia parece ser fruto de la amistad, y, cuando los hombres son amigos, no haynecesidad de justicia.'' (Aristóteles, Ética )

(f) ``(...) y lo que no consiente nunca la muerte, ¿cómo lo llamamos?- Lo inmortal.- El alma ¿ no consiente la muerte?

- No- El alma es, por consiguiente, inmortal (Platón, Fedón o Del Alma)''(g)

``Si quiere usted descubrir su opinión verdadera acerca de alguien, observe laimpresión que le causa la primera visión de una carta de él.'' (A. Schopenhauer,Observaciones psicológicas)


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Fac. Ingeniería (2011–2º sem.)-Electiva Humanística (Lógica )- Trabajo Práctico 1 – Prof. Cecilia Duran

(h)

``Primeramente, si la tierra y aguay los soplos ligeros de los airesy los vapores cálidos del fuegoa nacimiento y muerte están sujetos,debe correr la misma suerte el mundo,que de estos elementos se compone;

porque siendo nativas y mortaleslas partes, debe el todo ser lo mismo''(Lucrecio, De Rerum Natura)

(i)

``- Entonces dí lo que piensas- prosiguió la Liebre de Marzo.- Eso es lo que hago -dijo Alicia precipitadamente-. Al menos ... al menos ... yo

pienso lo que digo. Es la misma cosa.- No es lo mismo -advirtió el sombrerero-. Según tú, sería lo mismo decir: ''Veo loque como'' que ''Como lo que veo''.- Y también -dijo la Liebre de Marzo- te parecería lo mismo decir ''Me gusta loque recibo'', que ''Recibo lo que me gusta''.- Y también -intervino el Lirón que parecía hablar en sueños- para tí sería lo

mismo decir ''Respiro cuando duermo'', que ''Duermo cuando respiro''.- Para ti sí es lo mismo- dijo el sombrerero.'' (L. Carroll, Alicia en el país de lasmaravillas )

(j)

``No odiamos cuando nuestra estima es aún pequeña sino sólo cuando es igual omayor a la que tenemos por nosotros mismos'' (F. Nietzsche, F. Más allá del Bien ydel Mal).

(k)

``Si se llegara al punto en que dispusiéramos de los medios de conocer lo quesucede en el cerebro de una persona y pudiéramos usar esto como base para

predecir lo que hará, y además si este conocimiento se extendiera a nuestra propiaconducta futura, es improbable que nuestra actual visión de la vida permaneciera lamisma.'' (A. Ayer, El concepto de persona)

(l)

El astrónomo Franceso Sizi ofreció la siguiente argumentación para mostrar porqué era falso lo que Galileo creía haber visto (satélites girando alrededor deJúpiter):

I) Hay siete ventanas en la cabeza, dos orificios nasales, dos orejas, dos ojos yuna boca; así en los cielos hay dos estrellas favorables, dos que no son propicias,dos luminarias y Mercurio, el único que no se decide y permanece indiferente. De

lo cual, así como de muchos otros fenómenos de la naturaleza similares - los sietemetales, etc. - que sería tedioso enumerar, inferimos que el número de los planetases necesariamente siete. (C. Hempel, Filosofía de la Ciencia NaturalII) (...) Los satélites son invisibles a simple vista, y por tanto no pueden tenerinfluencia sobre la tierra, y por tanto serían inútiles, y por tanto no existen. (C.Hempel, Filosofía de la Ciencia Natural)


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Ejercicio (2)

En las columnas de la tabla siguiente se da la información acerca de la formalógica o de las premisas o de la conclusión de un argumento. Sobre esa basecomplete la información de cada columna para los lugares que están en blanco'.(Por ejemplo: (a) Si la forma lógica de un razonamiento es válida y su conclusión

es falsa, entonces sus premisas son falsas)

a b c d e f g h i j

FormaLógica

válida inválida válida inválida válida válida

Premisas verd. verd. falsas verd. falsas falsas falsas

Conclusión falsa falsa verd. falsa verd. verd. falsa

Ejercicio (3)

(a) Abstraiga la forma lógica de los siguientes argumentos reemplazando lasexpresiones que representan clases o conjuntos por las letras A, B, C,....

(a)

Todos los hombres son voladores; todos los primates son hombres; luego; todoslos primates son voladores.

(b)

Ningún argentino es europeo. Algún europeo no es francés. Por consiguiente,algún argentino no es francés.

(c)

Ningún rioplatense es riojano. Por ende, ningún riojano es chaqueño. Puesto que

ningún chaqueño es rioplatense.(d)

Algunos hombres no son negligentes; dado que no todos los hombres son profesores. Y todo profesor es negligente.

(e)

No todo cristiano es metodista; pues algunos cristianos no son protestantes yalgunos protestantes no son metodistas.

(b) Encuentre un contraejemplo que demuestre que los argumentos b, c, d, g y hson inválidos.


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Ejercicio (4)

Distinga los argumentos deductivos de los no deductivos. Justifique su respuesta.

(a)

``Apolo'' es una compañía sexista. Conozco veinte personas que solicitaron unempleo en dicha empresa, diez son hombres y diez son mujeres. Todos ellos

estaban calificados para el empleo. Los diez hombres lo obtuvieron pero ningunamujer lo logró.

(b)

Si es cierto que todos ustedes mienten entonces tú mientes. Pero tú dices quemientes. Por consiguiente, si mientes, dices la verdad; y si dices la verdad entoncesmientes.

(c)

``La teología enseña que el Sol ha sido creado para iluminar la Tierra. Ahora bien,movemos la antorcha para iluminar la casa, pero no movemos la casa para que éstasea iluminada por la antorcha. Por consiguiente, es el Sol el que gira alrededor de laTierra, y no la Tierra alrededor del Sol'' (Besian Array)

(d)

Ninguno de los meteoritos marcianos encontrados en la Tierra contiene fósiles deorganismos. Por consiguiente es poco probable que en Marte haya habido vida.

(e)

Puesto que se necesitan al menos 2,3 segundos para accionar el cerrojo del rifle delasesino, éste no pudo haber disparado 3 tiros en 5,6 segundos o menos, ya quehubiera necesitado 6,9 segundos para hacerlo.

(f)

Los anales de la medicina registran que de cada 100 seres humanos que han nacido,49 son del sexo masculino. Dada la cantidad y variedad de poblaciones analizadas

podemos concluir que la probabilidad de nacimiento de un ser humano de sexomasculino es, en función de los datos, de 0,49.

Ejercicio (5)

Determine si las siguientes oraciones representan un uso sintáctico, pragmático osemántico del lenguaje:

(a)

En algunos países ''platicar'' se utiliza en lugar de ''conversar''.

(b)

Se dice que un razonamiento no es válido si y sólo si de premisas verdaderas puede

llegarse a una conclusión falsa.

(c)

La palabra silla es un sustantivo.

(d)

“Evite ser ambigüo'' es es una máxima que beneficia la comunicación.

(e)

Se escribe “me dijo que” en lugar de “me dijo de que”.

(f) Si la editorial es londinense, en la bibliografía debes poner “Londres” en lugar de

“London” porque se debe citar el lugar de la edición en castellano.

(g) ¿Te refieres a “Londres” la capital de Gran Bretaña o a la ciudad catamarqueña?


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Ejercicio (6)

Entrecomille las expresiones que están mencionadas:

(a)

No es cierto que todos los argentinos sean patriotas; por lo tanto argentino y patriota no son sinónimos.

(b)

Las palabras triángulo y trilátero se refieren a los mismos individuos.(c)

Todos los triángulos son triláteros.

(d) Todos los triángulos son triláteros es un enunciado verdadero.

(e)

Delante de p y b se escribe m y no n; por ejemplo, escribiremos pampa y no panpa.

(f)

Todo acto moral es libre es verdadero. Ningún acto libre es compelido esverdadero. Por consiguiente: ningún acto compelido es moral tiene que serverdadero.

Ejercicio (7)

En las siguientes oraciones distinga el lenguaje objeto del metalenguaje en los casos

en los que sea correcto hacerlo:

(a)

e = mc2

(b) emc2 =, es una expresión incorrectamente construida.

(c)

Las leyes de la mecánica newtoniana no se cumplen para cuerpos que viajan a unavelocidad cercana a la de la luz.

(d)

e = mc2 no es reducible a la mecánica newtoniana.

(e)

e = mc2 es verdadera si y sólo sí la parte que está a la izquierda del signo = asumesiempre el mismo valor que la parte que está a la derecha.

Ejercicio (8)

Construya oraciones que pertenezcan a un metalenguaje en el que se mencionenlas expresiones dadas.

(a)

2 + 2 = 4

(b) It rains.

(c)

Todos los hombres son mortales.

(d)

Prohibido girar a la izquierda.


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Soluciones de algunos de los ejercicios

Ejercicio (1)a: es un argumento; Premisa: ``Para combatir la lógica es necesario utilizarla'';

Conclusión: ``La lógica es invencible.''f.: es un argumento; Premisa 1: ``Lo que no consiente nunca la muerte es lo inmortal';

Premisa 2: ``El alma no consiente la muerte''; Conclusión: El alma es inmortal j.: no es un argumento, no se infiere ninguna conclusión.k.: no es un argumento, es una oración condicional

Ejercicio (2)(b): las premisas quedan indeterminadas, ya que los argumentos inválidos no garantizanla preservación de la verdad, por lo tanto, siendo la conclusión falsa, las premisas

pueden ser tanto verdaderas como falsas.

Ejercicio (3)Argumento (c):Forma lógica: Ningún A es B. Ningún C es A. / Ningún B es C.

Contraejemplo: A: pez; B: mamífero; C: equinoArgumento (d):Forma lógica: No todo A es B. Todo B es C. / Algún A no es C.Contraejemplo :A: argentino; B: bonaerense; C: americano

Ejercicio (4)c.: No deductivo: se amplía la información contenida en las premisas (el movimiento dela antorcha) al caso contemplado en la conclusión (el caso del Sol)e: Deductivo: no hay ampliación de la información ambas calculan el tiempo necesario

para efectuar los tiros.Ejercicio (5)

(a): pragmática (se refiere al ``uso'' del signo); (b): semántica (se define, es decir, se dael significado, de la expresión en cuestión); (c): sintaxis (se da la categoría del signo sinimportar su significado ni cómo se lo use)

Ejercicio (6)e: Delante de ``p'' y ``b'' se escribe ``m'' y no ``n''; por ejemplo, escribiremos ``pampa'' yno ``panpa''

Ejercicio (7) b: LO: e mc2, ML: toda la oración.

Ejercicio (8)d: Dado que en Gran Bretaña se conduce por la izquierda, no suelen emplear cartelesque digan ``Prohibido girar a la izquierda''. (Metalenguaje pragmático)


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Trabajo Práctico 2

Temas:

2.1. Presentación intuitiva de la lógica proposicional. El concepto de oración (o

enunciado o proposición). Símbolos descriptivos y lógicos. Definiciones recursivas:

fórmula bien formada.

2.2. Las conectivas lógicas como funciones de verdad. Su correlato con expresiones dellenguaje natural.3.1. La función valuación para la lógica proposicional. Tablas de verdad. Contingencias,tautologías y contradicciones. Implicación (o condicional) material e implicación lógica.Paradojas de la implicación material. Equivalencia material y equivalencia lógica. Leyeslógicas. Principales meta-teoremas. Completitud funcional de la lógica proposicional.3.2 Validez semántica de los argumentos o inferencias proposicionales. La prueba devalidez de argumentos por tablas de verdad. Prueba indirecta de validez. La noción deconsecuencia lógica semántica.4.1. La noción sintáctica de inferencia correcta. Deducción Natural para la lógica

proposicional. Reglas de Introducción y Eliminación de las conectivas proposicionales.

Las nociones de demostración y teorema. Pruebas por Reducción al Absurdo. La nociónde consecuencia lógica sintáctica. La lógica minimal, intuicionista y clásica.Bibliografía:

- Duran, Cecilia, Ficha de Cátedra: El método del condicional asociado y el método

indirecto. Anexo 1 de esta guía. (pág. 33 ss.)

- Gamut, L. T. F.,(1991) Gamut, L. T. F.,(1991) Lógica lenguaje y significado, Vol. 1, Introducción a la lógica, Bs.As., EUDEBA, 2009, caps. 2 (2.1 a 2.6) y 4 (excepto losteoremas 6 a 13 del apartado 4.2.2; y el apartado 4.3.6).

Ejercicio (1)

Traduzca al lenguaje formal de la lógica proposicional las siguientes oraciones,

especificando el diccionario:

1) No hemos pedido ayuda.

2) No hemos pedido ayuda pero la necesitamos.

3)

No hemos pedido ayuda ni la necesitamos.

4) No es cierto que hemos pedido ayuda y la necesitamos.

5)

Platón era griego, pero Freud no.

6) Pedro y Camila estudian bioquímica aunque no se conocen.

7)

Pitágoras era filósofo o no lo era.

8)

O bien el asesino abandonó el país o bien alguien lo está encubriendo.

9)

Argentina limita con Brasil o con Colombia.10)

No es verdad que Argentina limita con Brasil o con Colombia.

11)

Argentina no limita con Brasil o no limita con Colombia.

12)

Argentina limita con México y con Brasil.

13) No es cierto que Argentina limita con México y con Brasil.

14)

Argentina no limita ni con México ni con Brasil.

15)

Argentina limita con Ecuador o con Brasil pero no con ambos.

16)

No voy a llegar a tiempo a menos que tome un taxi.

17)

Si eres cobarde entonces tienes conciencia del peligro.


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18) Elena conseguirá el puesto si tiene un amigo influyente.

19)

Ganarás dinero si tienes trabajo, aunque no lo harás si te despiden.

20)

Si las aves trinan y el sol resplandece, entonces si vamos de picnic, pasaremos una

tarde apacible junto al estanque.

21) Si no voy a la playa entonces iré al casino, si voy a Mar del Plata.

22)

Si es cierto que Pedro es pintor o albañil, entonces si no es albañil, es pintor.23) n es divisible por 2 si lo es por 4.

24)

n es divisible por 4 sólo si lo es por 2.

25) No es cierto que sólo si tiene un promedio mayor de 8, puede inscribirse en la beca.

26) Que tengas dos billetes de $10 es condición suficiente para que tengas $20; además,

es condición necesaria tener 20$ para poder entrar al cine.

27)

Mariano no está casado si y sólo si es soltero.

28) Si es menor de edad entonces puede casarse siempre y cuando tenga permiso de sus

padres.

29) Es cierto que quieres irte al exterior o no lo quieres, pero también es cierto que lo

quieres y no lo quieres.

30)

La suma de dos números enteros es par si y sólo si o bien ambos números son pares

o bien ambos números son impares.

31) Si recorremos Suecia o Noruega entonces no recorremos Dinamarca, si vamos a

Europa.

32)

Siempre y cuando consigas pasaje y tengas tiempo podrás venir a visitarme y

descansar un poco, pero yo iré a visitarte si no obtienes ni lo uno ni lo otro

Ejercicio (2)

Traduzca al lenguaje formal de la lógica proposicional los siguientes argumentos,

especificando el diccionario

1)

Si la neurosis obsesiva es hereditaria, entonces el número de neuróticos obsesivoscon antecedentes familiares de esa dolencia será significativamente mayor que el de

los neuróticos obsesivos que no presentan tales antecedentes. Sin embargo, esto

último es falso. Es necesario concluir que la neurosis obsesiva no es hereditaria.

2) Para que el trabajador no vaya a la huelga es condición necesaria que reciba un

salario digno. Pero, si esto último no ocurre, no cumplirá con su trabajo ni con su

familia. Por lo tanto, o tiene un salario digno o no cumple con su trabajo, dado que

va a la huelga o no cumple con su familia.

3) No es verdad que sea condición necesaria ganar esta partida para salir campeón;

puesto que sólo si se gana el partido final, se sale campeón. Y ambas cosas pasarán

si y sólo si se está bien concentrado y se pasan las eliminatorias.

Ejercicio (3)

Determine si cada una de las siguientes expresiones es una fórmula de la lógica

proposicional dibujando su árbol constructivo. En caso de que lo sean clasifíquelas

como fórmula atómica, negación, conjunción, disyunción, implicación o

equivalencia.

(1) p ∨ ¬q (2) p ¬ ∧ q (3) (p → q) ↔ ¬(p ∧ ¬ q)


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Ejercicio (4)

Suponga que V(p) = 1 y V(r) = 0 y encuentre el valor de verdad de las siguientes

oraciones:

(1) (p ∨ q) ∨ r (2) r → (s ∧ p) (3) p → (p → r)

Ejercicio (5)

Suponiendo que el V(p → q) = 0,

¿qué puede decir acerca del valor de verdad de ( ¬p ∧ q) (p ∨ q) ?

Ejercicio (6)

Analice el siguiente problema, complete los puntos suspensivos y justifique su

respuesta:

El detective Yerloc Jolmes estaba a una semana de partir de viaje para disfrutar del

verano europeo cuando su jefe lo conminó telefónicamente a que resolviera el caso del

asesinato del Sr. Prieto. Yerloc Jolmes se juró resolver el caso en una semana ycontinuar con su plan original. Juntó inmediatamente la evidencia disponible. Contaba

con los siguientes datos e indicios confiables:

(a)

El Sr. Prieto fue asesinado en su dormitorio de un tiro en la cabeza.(b) Hay tres sospechosos: los sres. Avalos, Bogo y Caro quienes pertenecen a la

mafia.(c)

La mafia admitió la autoría del crimen, pero ninguno de los sospechosos confesósu culpabilidad.

(d) El Sr. Prieto estaba acompañado sólo por los 3 sospechosos en el momento de sumuerte violenta.

El detective Yerloc Jolmes descubrió que un testigo observó todo a través de la ventanadel cuarto de Prieto. Cuando Yerloc Jolmes averiguó los antecedentes del testigo le

informaron que padecía de una enfermedad muy inusual: era incapaz de mentir. ¡El

testigo ideal! Yerloc Jolmes lo citó inmediatamente a su despacho para interrogarlo y

partir de viaje. Para su desgracia, el testigo no se presentó pues temía convertirse en la

próxima víctima de la mafia. Sin embargo, el testigo sintió remordimientos por faltar a

su deber cívico y envió al detective un mensaje en el que la verdad apareciera lo

suficientemente confusa como para que lo consideraran loco de remate y no lo citaran

más. Este fue su mensaje:

Caro es culpable, si Avalos era amigo de Prieto. Bogo es culpable a menos que Avalos

fuera amigo de Prieto. Caro es inocente o Avalos no estaba en el dormitorio de Prietola noche del crimen.

Yerloc Jolmes quedó atrapado. No tuvo más remedio que postergar sus planes de viaje y

tomar un curso de lógica en la UNLP. Un semestre después, el detective volvió a leer el

texto del mensaje. Dado que cada una de las tres afirmaciones expresadas en el mismo

era verdadera, concluyó que ....................... era el asesino. Al fin podría tomar sus

vacaciones. Encargó a su ayudante que se ocupara de buscar las pruebas faltantes y se

congeló en el invierno europeo.


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Ejercicio (7)

Determine mediante tablas de verdad si las siguientes fórmulas son tautologías,

contradicciones o contingencias.

1)

(p → ¬q) ∨ (p ∧ q) 2) (p ∨ q) ∧ ¬(¬ p → q) 3) (p ∧ q) → (r ∨¬q)

Ejercicio (8)

Dados los siguientes esquemas de argumento, determine su validez o invalidez

mediante el método del condicional asociado y coloque o entre las premisas y la

conclusión según corresponda:

1) q → r , p → r / p → q 2)

p → (q→r) / (p∧q) → r 3)

(p∧ q) → r / p → (q→r)

Ejercicio (9)

Determine la validez o invalidez de los siguientes esquemas de argumento mediante

el método indirecto de asignación de valores de verdad y coloque o entre las

premisas y la conclusión según corresponda:

1)

¬(p → (p ∧ q)) / ¬ p ∨ q

2)

s → ¬q, r → ¬ p, p ∨ q / ¬ (s ∧ r)

3)

s → (q ∨r), ¬t → s, ¬ p → (¬q ∨ ¬r) / (¬t ∧ p) → ¬ (q ∧ r)

4) (p ∧ q) → r, (p ∧ ¬q ) → ¬r / p → ((q ∧ r) ∨ (¬q ∧ ¬r))

Ejercicio (10)

Determine si las siguientes fórmulas son tautologías o no mediante el método

indirecto de asignación de valores de verdad y coloque o delante de la fórmula

según corresponda:

1) (¬ p → (¬q ∨ ¬r)) → ((q ∧ r) ↔ p)

2)

¬(p ∧ ¬ p) → (p ∨ ¬ p)

3) (( p ↔ q) ∧ (p → q)) ↔ (q → p)

Ejercicio (11)

Determine si los siguientes pares de fórmulas son o no lógicamente equivalentes,

mediante el método indirecto de asignación de valores de verdad:

1) ¬ p ∨ ¬q y ¬( p ∧ q)

2)

p ↔ (q ∨ r) y p → (q ∨ r)

3)

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) y p ∨ (q ∧ r)


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Ejercicio (12)

Dadas tres fórmulas cualesquiera tales que sea una tautología, ψ sea una

contradicción y χ sea una contingencia, determinar si los siguientes pares de

fórmulas son lógicamente equivalentes, o, en caso de que no lo sean, determinar si

alguna de ellas implica lógicamente a la otra:

1) φ ∧ ψ y ¬φ 6) ψ → φ y φ

2) χ y χ ∨ ψ 7) ψ → ¬ψ y ¬ ψ → ψ

3) ψ y χ ∧ ¬ψ 8) ¬(¬φ → ψ) y φ → ¬ψ

4) ψ y χ → φ 9) χ → φ y χ → ψ

5) φ → ψ y χ ∧ φ 10) χ ∨ ¬χ y φ ∨ ψ

Ejercicio (13)

Determinar si los esquemas de argumento de la tabla B constituyen casos de losesquemas inferenciales de la tabla (A):

A1 A2 A3

φ φ → ψ φ ∨ ψ

φ ∨ ψ ¬ψ → ¬φ φ → χ

ψ → χ

χ

B1 B2 B3 B4 B5

p → (q ∧ r) p (p → q) ∨ r ¬ p → ¬(q ∧ r) p

¬(q ∧ r) → p ¬ p ∨ q ((p → q) ∨ r) ∨ r ¬¬(q ∧ r) → ¬ p p ∨ p

B6 B7 B8 B9 B10

¬(p ∨ q) ∨ r p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬ p ∧ q ¬ p → ¬q

¬(p ∨ q) → s p → q ¬ p → r ¬(p ∧ q) ∨ r ¬¬q → ¬¬ p

r → s q → q ¬q → r

s q r

Ejercicio (14)

Completar los pasos que faltan en las siguientes deducciones:

1. 1) (p ∨ q) → (r ∧ s) supuesto

2) p supuesto / s

3) ……….. I∨, 2

4) ……….. E→, 1,3

5) s E∧, 4


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2. 1) p → q supuesto

2) q → r supuesto / p → r

3) …….. supuesto→

4) …….. E→, 1,3

5) ……. E→, 2,4

6) p → r I→


2) ¬q supuesto / ¬ p

3) supuesto⊥

4) E→, 1,3

5) E¬, 2,4

6) ¬ p I¬

4. 1) p ∨ (r → q) supuesto

2) p → q supuesto / ¬q → ¬r

3) …………. supuesto→

4) …………. supuesto⊥

5) …………. supuesto→

6) …………. E→, 4,5

7) …………. I→

8) …………. E∨,1,2,79) …………. E¬,3,8

10) …………. I¬

11) ¬q → ¬r I→


2) p ∨ q supuesto

3) ¬q supuesto / s

4) supuesto→

5) Rep., 4

6) I→

7) E∨,2,1,6

8) E¬,3,7

9) s EFSQ, 8


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Ejercicio (15)

Efectuar las siguientes derivaciones utilizando las reglas básicas del sistema de

deducción natural de Gentzen:

1) (p ∨ q) → r, ¬¬q ⊢ r ∨ ¬s

2)

p → (q → r) ⊢ (p ∧ q) → r3)

(p ∧ q) → r ⊢ p → (q → r)

4)

p → (q ∧ r) ⊢ (p → q) ∧ (p → r)

5) p ∨ (q ∧ r), (p ∨ r) → (s ∧ t) ⊢ s

6) p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r),

7) ¬ p ⊢ ¬(p ∧ q)

8) p → (q ∧ r) ⊢ ¬r → ¬ p

9) p ∨ q, ¬ p ⊢ q

10)

(p → q) ∨ (p → r) ⊢ p → (q ∨ r)

11)

¬(p → q) ⊢ ¬q

12)

p → ¬q, r → q, ¬(p ∧ r) → s⊢ s ∨ t

13) p → (q ∨ ¬r) ⊢ (p ∧ r) → q

14)

⊢ ¬(p ∧ ¬ p)

15) ⊢ (p → q) → ((p ∧ r) → (q ∧ r))

16) ⊢ p ∨ ¬ p

17) ⊢ ((p → q) → p) → p

18) ¬(p ∨ q) ⊣ ⊢ ¬ p ∧ ¬q

19) p → q ⊣ ⊢ ¬(p ∧ ¬q)

20) p → q ⊣ ⊢ ¬ p ∨ q

21) ¬(p ∧ q) ⊣ ⊢ ¬ p ∨ ¬q

Ejercicio (16):

Teniendo en cuenta las equivalencias lógicas consignadas en Gamut, (cap. 2

ejercicios 6 y 7), y dada la siguiente lista de fórmulas encuentre para cada fórmula,

otra lógicamente equivalente y expresada en términos de las conectivas que se

solicitan (y¬

en caso de ser necesario). [Ejemplo: p ∧ ¬q, en términos de → y ¬: en

Gamut, cap.2, ej.6 (f) se establece que φ ∧ ψ es lógicamente equivalente a ¬(φ → ¬ψ);

por consiguiente, p ∧ ¬q es lógicamente equivalente a ¬(p → ¬¬q) y, por doble

negación a ¬(p → q)]

1.

¬ p ∨ q (empleando ∧)

2. ¬(p ∧ q) (empleando→)

3. ¬(p ∧ ¬q) (empleando →)

4. ¬(p → q) (empleando ∧)

5.

¬(p → ¬q) (empleando ∧)

6.

p → (¬q ∨ r) (empleando ∨)

7.

(p ∨ ¬q) ∧ r (empleando →)

8.

(p ∧ ¬q) ∨ r (empleando →)

9.

p → (q → r) (empleando∧)


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Soluciones de algunos ejercicios

Ejercicio (1)

15) Diccionario: p: María vive en Buenos; q: María vive en La Plata.Fórmula: ¬ p ∨ ¬q

26) Diccionario: p: tú tienes dos billetes de $10; q: tú tienes $20; r: tú puedes entrar al

cine.

Fórmula: (p → q) ∧ (p → r)

Ejercicio (2) arg. 2

Premisa 1: Para que el trabajador no vaya a la huelga es condición necesaria que reciba

un salario digno.

Premisa 2: Si el trabajador no recibe un salario digno, no cumplirá con su trabajo ni con

su familia.

Premisa 3:El trabajador va a la huelga o no cumple con su familia.

Conclusión o el trabajador tiene un salario digno o no cumple con su trabajo

Diccionario: p: El trabajador va a la huelga; q: El trabajador recibe un salario digno; r:

El trabajador cumplirá con su trabajo; s: El trabajador cumplirá con su familia.

Esquema:

¬ p → q, ¬q → (¬r ∧ ¬s), p ∨ ¬s / q ∨ ¬r

Ejercicio (3)

No se han dibujado los árboles constructivos 2) No es una fr., ya que la negación no va delante de la conjunción.

Ejercicio (4)

V(r → (s ∧ p)) = 1, porque V(r) = 0 y entonces la valuación del condicional es 1.

Ejercicio (7): (1) Es una tautología:

(p → ¬q) ∨ (p ∧ q)

1 0 01 1 1 1 1

0 1 01 1 0 0 1

1 1 10 1 1 0 0

0 1 10 1 0 0 0


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Ejercicio (8)

2) (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r) condicional asociado

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0

1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

Resultado: dado que la oración condicional asociada al esquema de argumento es una

tautología, hemos demostrado que se cumple que p → (q → r) ⊨ (p ∧ q) → r , (es

decir el esquema de argumento es válido)

Ejercicio (9)3) s → (q ∨ r) , ¬t → s , p → (¬q ∨ ¬r) / (¬t ∧ p) → (q ∧ ¬r)

hip 1 1 1 0

1 010 1

10 1

1

11

1º 1 101 0 01

2º 1 001 1 10 1 1 10

3º 0 1 10 1 0 01

La 3º alternativa cumple con la hipótesis, de modo que el argumento es inválido, por lo

tanto: s → (q ∨ r), ¬t → s, p → (¬q ∨ ¬r) ⊭ (¬t ∧ p) → (q ∧ ¬r)

Ejercicio (10)

3) ((p ↔ q) ∧ (p → q)) ↔ (q → p)

hip 0

1º 1 0

con- 1 00 1 trad 0 1

0 0 1

2º 0 1

con- 1 1 (a)

1 1 trad 1 11 1 1

1 0 1 0 0 1 (b)

0 0 00 0 (c)

La alternativa 2(b) cumple con la hipótesis, de modo que la fr. no es una tautología :

⊭ (( p ↔ q) ∧ (p → q)) ↔ (q → p)


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Ejercicio (11)

1) (¬ p ∨ ¬q) ↔ ¬( p ∧ q)

hip 0

1º 0 1 0

01 01 con-1 trad 1

1

2º 1 0 1

01 contr. 01 1 1

0

Dado que todas las valuaciones alternativas posibles (para demostrar que la

equivalencia material entre ambas no es tautológica) llevan a contradecir la hipótesis, se

sigue que las fórmulas son lógicamente equivalentes.

Ejercicio (12.5)

(1) V(φ → ψ) = 0, dado que para toda valuaciónV, V(φ) = 1 y V(ψ) = 0 (y la df,. de

valuación para el →). Es decir, φ → ψ es una contradicción.

(2) V(χ ∧ φ) = 1, cuando V(χ) = 1 y V(χ ∧ φ) = 0, cuando V(χ) = 0 dado que para toda

valuación V, V(φ) = 1 (y df. de valuación de la ∧). Es decir, χ ∧ φ es una contingencia.(3) Por consiguiente no son lógicamente equivalentes puesto que hay al menos un caso

en el que V(χ ∧ φ) = 1 y V(φ → ψ) = 0, razón por la cual χ ∧ φ ⊭ φ → ψ. Pero φ → ψ

⊨ χ ∧ φ, puesto que la primera es siempre falsa.

Ejercicio (13)

B7 se corresponde con A3. B7, se corresponde con A3. Reemplazos: φ = p; ψ = q; χ = q

Ejercicio (14)

4. 1) p ∨ (r → q) supuesto

2) p → q supuesto

3) ¬q supuesto→

4) r supuesto⊥

5) r → q supuesto→

6) q E→, 4,5

7) (r → q) → q I→

8) q E∨,1,2,7

9) ⊥ E¬,3,8

10) ¬r I¬

11) ¬q → ¬r I→


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Ejercicio (15)

5. 1) p ∨ (q ∧ r) supuesto

2) (p ∨ r) → (s ∧ t) supuesto

3) p supuesto→ 4) p ∨ r I∨,3

5) p → (p ∨ r) I→ 6) q ∧ r supuesto→

7) r E∧,68) p ∨ r I∨,7

9) (q ∧ r) → (p ∨ r) I→

10) p ∨ r E∨,1,5,911) s ∧ t E→,2,10

12) s E∧,1117

1) (p → q) → p sup→

2) ¬ p sup⊥ 3) p sup→ 4) ⊥ E¬,2,35) q EFSQ,4

6) p → q I→ 7) p E→1,68) ⊥ E¬,2,7

9) ¬¬ p I¬ 10) p ¬¬, 9

11) ((p → q) → p) → p I→

21. 1) ¬(p ∧ q) sup 1) ¬ p ∨ ¬q sup.

2) ¬(¬ p ∨ ¬q) sup⊥ 2) p ∧ q sup⊥

3) p sup⊥ 3) ¬ p sup→

4) q sup⊥ 4) p E∧,25) p ∧ q I∧,3,4 5) ⊥ E¬,3,4

6) ⊥ E¬,1,5 6) ¬ p → ⊥ I→

7) ¬q I¬ 7) ¬q sup→

8) ¬ p ∨ ¬q I∨,7 8) q E∧,29) ⊥ E¬2,8 9) ⊥ E¬,7,8

10) ¬ p I¬ 10) ¬q → ⊥ I →

11)¬ p ∨ ¬q I∨,10

11) ⊥ E∨,1,6,1012) ⊥ E¬,2,11 12) ¬(p ∧ q) I¬

13) ¬¬(¬ p ∨ ¬q) I¬ 14) ¬ p ∨ ¬q ¬¬,13

Ejercicio (16)

1) ¬(p ∧ ¬q) 4) p ∧ ¬q 6) ¬ p ∨ (¬q ∨ r) 9) ¬(p ∧ (q ∧ ¬r))

11. 1) ¬(p → q) supuesto

2) q supuesto⊥

3) p supuesto→ 4) q Rep.2

5) p → q I→ 6) ⊥ E¬,1,5

7) ¬q I¬


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Trabajo Práctico 3

Temas:

Tercera parte: La Lógica de PredicadosUnidad 5: El lenguaje de la lógica de Predicados (o de Primer Orden)5.1 Variables de individuo, constantes de individuo, letras de predicado ycuantificadores. Fórmulas: oraciones y funciones proposicionales. Clases de funciones

proposicionales. Las relaciones como funciones proposicionales n-ádicas.Cuantificación universal y existencial. Definición recursiva de fórmula. La traduccióndel lenguaje natural al lenguaje de la Lógica de Predicados. Nociones de teoríaelemental de conjuntos.Unidad 6: La Semántica de la lógica de Predicados.6.1. Elementos de Teoría de conjuntos. Funciones y Relaciones. Propiedades de lasrelaciones. Funciones de Interpretación. Interpretación por Sustitución. Limitación de lainterpretación por Sustitución. Validez Universal. Identidad. Relaciones y propiedadesde las relaciones.6.2 La validez de los argumentos en la Lógica de Predicados. La demostración de

invalidez por contraejemplos o contramodelos. Argumento válido y fórmulauniversalmente válida.Unidad 7: El enfoque sintáctico de la corrección de argumentos en la lógica dePredicados.7.1. Deducción Natural para la Lógica de Predicados. Reglas de Introducción yEliminación de los cuantificadores. Principales meta-teoremas de la lógica de PrimerOrden.

Bibliografía:

Gamut, L. T. F.,(1991) Lógica lenguaje y significado, Vol. 1, Introducción a la lógica,Bs.As., EUDEBA, 2009, caps. 3 (apartados 3.1 a 3.6.5, excepto 3.6.3) y 4 (en especialel apartado 4.3.6)

Ejercicio (1)

Traduzca al lenguaje formal de la lógica de predicados de primer orden las

siguientes oraciones. En cada caso especifique el diccionario:

1)

Ana estudia pero no trabaja.2)

Si Juan y Ernesto no trabajan, ninguno de ellos es asalariado.3)

El actual rector de la UNLP es arquitecto.4)

Él es mi primo.5) Alguien es mi primo.6) María extravió el reloj que le regaló su abuela.7)

Todo es comestible.8)

No todo es comestible.9)

Nada es comestible.10)

No es cierto que nada es comestible.11) Algo no es comestible.12)

No hay comestibles.13)

Todo es material o ideal.14)

Todo es material o todo es ideal.


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24 | Fac. Ingeniería (2011–2º sem.)-Electiva Humanística (Lógica )- Trabajo Práctico 3 – Prof. Cecilia Duran

15)

Todos los rombos son cuadriláteros.16)

Ningún rombo es cuadrilátero.17)

Ciertos rombos son cuadriláteros.18)

Algunos rombos no son cuadriláteros.19)

No cualquier rombo es cuadrilátero.

20)

No es cierto que ningún rombo es cuadrilátero.21)

Todo triángulo equilátero es equiángulo.22)

Ningún ángulo agudo es obtuso o recto.23)

Algunos pájaros cantan al atardecer pero otros no.24)

Perro que ladra no muerde.25) Si Juan es más alto que Ana entonces alguien es más alto que Ana.26)

Si Juan y Pedro son hermanos, entonces no se odian mutuamente.27)

Todos aman a todos.28)

Todos no aman a alguien.29) Todos se aman a sí mismos, pero nadie ama a todos.30)

Quien no ama a nadie no se ama a sí mismo.31)

No todos aman a alguien aunque alguien ama a todos.32)

Alguien no ama a nadie y alguien no es amado por nadie.33)

Nadie que se respete a sí mismo respeta a todos.34) Los niños admiran a los padres.35)

Los niños admiran a sus padres.36)

Los niños admiran solamente a sus padres37)

Todos escribieron alguna carta38) Todos creen en quien cree en sí mismo.39) Juan pidió prestado algún dinero al Banco Francés.40)

Todos enviaron alguna carta a Alberto.

Ejercicio (2)

En cada una de las siguientes fórmulas de la lógica de predicados:

a)

Determine el alcance de los cuantificadores.

b)

Reconozca cuáles son funciones proposicionales y cuáles oraciones (proposiciones).

c)

Transforme las funciones proposicionales en proposiciones.

Fórmulas: (Pa ∨ Pb) ∧ ¬Pa) ∨ ¬Pb1)

Px→ Qx

2)

∀xPx ∧ ∀xQx3)

∀x(Px ∧ Qx)

4) ∀x¬Px ∨ Qx

5) ∀x(Px→ Qx)→ ¬(∃xPx ∧ ¬Qx)

6) ¬(Pa→ ∃xPx)

7) ∃x(∀y(Ryy ∧ Ryx)→ Rxy)


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Ejercicio (3)

Traduzca al lenguaje natural las siguientes fórmulas de la lógica de predicados,

dado el diccionario: Lx: x es altruista, Ex: x es egoísta; Axy: x ayuda a y; Dominio

{personas}

1)

∀x(Lx→

¬Ex)2) ∀x∀y(Axy→ Axx)

3) ∀x(Lx→ ∀yAxy)

4) ∃x(Axx ∧ Ex) ∧ ¬∀x (Axx→ Ex)

Ejercicio (4)

Teniendo en cuenta las siguientes definiciones de cuantificadores y de conectivas:

Df. Cuantificadores Df →,∨ Df →,∧ Df ∧,∨ Df ∨,∧

∀xφ ¬∀xφ ∀x¬φ ¬∀x¬φ φ → ψ φ → ψ φ ∧ ψ φ ∨ ψ

¬∃x¬φ ∃x¬φ ¬∃xφ ∃xφ ¬φ ∨ ψ ¬(φ ∧ ¬ψ) ¬(¬φ ∨ ¬ψ ¬(¬φ ∧ ¬ψ)

encuentre fórmulas lógicamente equivalentes y en los términos solicitados (y la

negación, en caso de ser necesaria).

[Ejemplo: ¬∀x(¬Ax→ Bx) en términos de ∃ y ∧

a) ¬∀x(¬Ax→ Bx) es lógicamente equivalente a ∃x¬(¬Ax→ Bx), por Df. ¬∀]

b) ∃x¬(¬Ax→ Bx) es lógicamente equivalente a ∃x¬¬(¬Ax ∧ ¬Bx)

c) ∃x¬¬(¬Ax ∧ ¬Bx) es lógicamente equivalente a ∃x (¬Ax ∧ ¬Bx), por doble negación]

1)

¬∀x(¬Ax→ Bx) (en términos de ∃,∨)

2) ∀x(Ax→ Bx) (en términos de ∃,∧)

3) ∃x(¬Ax ∧ Bx) (en términos de ∀,→)

4)

¬∃x(¬Ax ∧ ¬Bx) (en términos de ∀,∨)

Ejercicio (5)

Dados los dos diagramas siguientes:

Diagrama 1 Diagrama 2

↷ ↷ ↷

P1･ → ⊙P2 P1⊙ ･P2

↖ ↷ ↗ ↖↘ ↗

･

P3

⊙

P3 y dado un lenguaje con tres constantes a1, a2 y a3 que son interpretadas como I(a1

= P1, I(a2) = P2 e I(a3) = P3 y una letra de predicado monádico C (entendida como

''x está circulado'') y la letra de predicado binario F (entendida como ``x flecha a

y'' que se da entre dos puntos no necesariamente distintos):


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a) Defina exactamente los modelos M1 y M2 correspondientes a los diagramas

1 y 2.

b)

Traduzca las siguientes fórmulas al lenguaje natural

c)

Determine sobre la base de su significado la verdad o falsedad de las

fórmulas en M1 y en M2

Fórmulas:∀x∀yFxy1) ∀x(Cx→ Fxx)

2) ∃y∀xFxy

3) ∀x(Cx ∨ ∃yFxy)

4) ∃x∃y((Fxy ∧ Fyx)→ (Cx ∧ Cy))

Ejercicio (6)

Considere un lenguaje como el del ejercicio anterior y suponga que existe un

Dominio D y una interpretación I tal que se cumple que si un punto cualquiera

flecha a un segundo punto (no necesariamente distinto del primero), entonces el

segundo no flecha al primero. En esa I, la oración x¬Fxx ¿será verdadera ofalsa? Justifique su respuesta

Ejercicio (7)

¿En cuántos modelos M, V( x¬Px↔ xPx) = 1? Justifique su respuesta.

Ejercicio (8)

Encuentre un modelo M que muestre que los siguientes esquemas de argumentos

son inválidos (= un contraejemplo o contramodelo):

1) ∀x(Px→ Qx), ∀xQx ⊭ ∀xPx

2)

∃x∃yFxy ⊭ ∃xFxx3) ∀x∃yFxy, ∀x∃y(Fyx→ Fxx) ⊭ ∀x∀y(Fxy→ Fyx)

4) ∀x∀y(Cx→ Fxy), ∃xCx ⊭ ∀x(Cx ∨ ∀yFxy )

5)

∀x∃yFxy, ∀x(Cx ∨ Fxx ) ⊭ ∃yFyy

6) ∃x∃yFxy, ∃yCy, ∀x∀y(Fxy→ Cy), ∀x(Cx→ ∀y Fyx) ⊭ ∃x∀yFxy

Ejercicio (9)

Encuentre un contraejemplo (o contramodelo), empleando las interpretaciones por

sustitución, que muestre que las siguientes fórmulas no son universalmente

válidas:⊭

∃xPx→

∀xPx

1) ⊭ ∀x(Px→ Qx)→ ∃x(Px ∧ Qx)

2) ⊭ ∀x∃yRxy→ ∃x∀yRxy

3)

⊭ ∀x(Px ∨ Qx)4)

⊭ ∀xPx ∨ ∀xQx


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Ejercicio (10)*

Empleando las interpretaciones por sustitución (suponiendo que todos los

elementos de un modelo tienen nombre), demuestre que

1) ∀xφ ⊨ ∃xφ 3) ∃x∃yRxy ⊨ ∃y∃xRyx

2) ⊨ ∀xPx ∨ ∃x¬Px 4) ⊨ ∃x∀yFyx → ∀x∃yFxy

Ejercicio (11)

Encuentre un modelo M que muestre que cada uno de los siguientes conjuntos de

fórmulas son satisfactibles (verdaderos al menos en un modelo y una

interpretación):

1) {¬∃x(Px ∧ Qx), ∃xPx, ∃xQx} 2) {∀x(Fxx↔ ¬∃y¬Fxy), ∀x¬Fxx}

Ejercicio (12)

Completar los pasos que faltan en las siguientes derivaciones:

1. 1) ∀x(Px∨Qx)→Rb sup. 2. 1) ∀x((Px∧Qx)→∀y(Qy→Rxy)) sup2) ∀xQx sup 2) E∀,1

3) E∀, 2 3) sup4) I∨,3 4) E→,2,3 5) I∀,4 5) E∀, 4

6) Rb E→,1,5 6) E∧,37) E→,5,6

8) I→ 9) ∀x((Px∧Qx)→Rxx)) I∀,8

3. 1) ∃x∀yRxy sup

2) sup3) E∀,24) I∃,3

5) I∀,46) I→ 7) ∀y∃xRxy E∃,1,6

Ejercicio (13)

Efectuar las siguientes derivaciones utilizando las reglas básicas del sistema de

deducción natural de Gentzen:

1) ∀xPx ⊣ ⊢ ¬∃x¬Px

2) ¬∀x¬Px ⊣ ⊢ ∃xPx

3) ¬∀xPx ⊣ ⊢ ∃x¬Px

4) ∀x¬Px ⊣ ⊢ ¬∃xPx

5) ∀x(Px ∨ Qx) ⊢ ∃xPx ∨ ∃xQx

* Este ejercicio así como los conceptos teóricos que presupone serán abordados sii el

calendario académico lo permite.


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6) ∃x(Px ∨ Qx), ∀x¬Qx ⊢ ∃xPx

7) ∃x∃yRxy ⊢ ∃y∃xRxy

8) ∀x∀yRxy ⊢ ∃xRxx

9) ∃x∀yRxy ⊢ ∃xRxx

10) ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢ ∀x¬Rxx

11)

⊢ (∀xPx ∨ ∀xQx) → ∀x(Px ∨ Qx)

12) ⊢ ∀x(Px→ Qx)→ ¬(∃xPx ∧ ¬∃xQx)

13) ⊢ ∃x∀yRyx→ ∀x∃yRxy

Ejercicio (14)

¿Cuál es el (meta)teorema que garantiza que todas las derivaciones construidas en

el ejercicio 12 son prueba suficiente de que las premisas de esos esquemas de

argumento implican lógicamente a su conclusión? Formúlelo y explique su

significado.

Soluciones de algunos de los ejercicios

Ejercicio (1) 2) Diccionario: j: Juan; e: Ernesto; Tx: x trabaja; Ax: x es asalariado; Dominio:{personas} Forma lógica: (¬Tj ∧ ¬Te)→ (¬Aj ∧ ¬Ae)10) Diccionario: Cx: x es comestible. Dominio: {cosas}. Forma lógica: ¬∀x¬Cx16) Diccionario: Rx: x.es rombo, Cx: x es cuadrilátero; Dominio: {figuras geométricas}Forma lógica: ∀x(Rx→ ¬Cx)20) Diccionario: Rx: x.es rombo, Cx: x es cuadrilátero; Dominio: {figuras geométricas}Forma lógica: ¬∀x(Rx→ ¬Cx)24) Diccionario: Px: x es perro; Lx: x ladra; Mx: x muerde; Dominio: {animales}

Forma lógica: ∀x((Px ∧ Lx)→ ¬Mx)31) Diccionario: Axy: x ama a y. Dominio: {personas}.Forma lógica: ¬∀x∃yAxy ∧ ∃x∀yAxy35) Diccionario: Nx: x es niño; Axy: x admira a y; Px: x es padre; Dominio: {personas}Forma lógica: ∀x∀y((Nx ∧ Py)→ Axy) ó ∀x∀y(Nx→ (Py→ Axy))38) Diccionario: Cxy: x cree en y; Dominio: {personas}.Forma lógica: ∀x∀y(Cxx→ Cyx)

Ejercicio (2)

(a) (6)∀x: Px→ Qx; ∃x: Px; (7) ∃x: Px;(b) (6) función proposicional: “x” está libre en el segundo Qx. (7) proposición

Ejercicio (3):

Ningún altruista es egoísta; (3) Todo altruista ayuda a todos.

Ejercicio (4.1)

(a) ¬∀x(¬Ax→ Bx) es lógicamente equivalente a ∃x¬(¬Ax→ Bx), por df.∀

(b) ∃x¬(¬Ax→ Bx) es lógicamente equivalente a ∃x¬(¬¬Ax ∨ Bx), por df → (c)

∃x¬(¬¬Ax ∨ Bx) es lógicamente equivalente a ∃x¬(Ax ∨ Bx), por doblenegación


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Ejercicio (5)

Fórmula (4): ∀x(Cx ∨ ∃yFxy)(a) Todos están circulados o flechan a alguno.(b) M1: D:{P1, P2, P3}; I(a1) = P1; I(a2) = P2; I(a3) = P3; I(C) = {P2};

I(F) = {, < P1, P2>, < P2, P2>, < P3, P1>, < P3, P2>}

M2: D:{P1, P2, P3}; I(a1) = P1; I(a2) = P2; I(a3) = P3; I(C) = {P1, P3};I(F) = {, < P1, P3>, < P3, P1>, < P3, P2>}(c) En M1: la fórmula es verdadera ya que todo punto flecha a alguno cumpliéndose asíla segunda parte de la disyunción y con ello la totalidad de la fórmula.

En M2: La fórmula es falsa porque el punto P2 no flecha a ningún punto y tampoco estácirculado. Siendo la un caso de la disyunción (el caso correspondiente a P2), el universal esfalso.

Ejercicio (7) :

En ninguno porque en todo modelo en el que se cumpla que VM(∃x¬Px) = 1, se cumpliráque VM(∀xPx) = 0; y en todo modelo en el que se cumpla que VM(∃x¬Px) = 0, se cumplirá

que VM(∀xPx) = 1. Por tanto, por def.Vcl.↔, en todo modelo se cumplirá que V(∃x¬Px↔ ∀xPx) = 0

Ejercicio (8.3)

M: D: {P1, P2}; I(a1) = P1, I(a2) = P2; I(F) = {, }

Ejercicio (9.2)

M: D = {1,2}; I(a1) = 1; I(a2) = 2; I(P) = ∅ (= conjunto vacío); I(Q) = {1}Ejercicio (10.1)

Debemos probar que V(∀xφ → ∃xφ) = 1 en todo modelo. Como el enunciado es una

implicación material, por cl.→

de la def.V hay que probar que en todo modelo y todainterpretación en la que V(∀xφ) = 1 se cumplirá que V(∃xφ) = 1 (prueba directa), o, loque es lo mismo, que no puede darse el caso que exista un modelo tal que V(∀xφ) = 1 yV(∃xφ) = 0 (prueba por el absurdo).Prueba directa:

(1)

Dado un modelo M cualquiera se cumplirá que V(∀xφ) = 1 o que V(∀xφ) = 0(principio del tercero excluido)

(2)

Si V(∀xφ) = 0 entonces V(∀xφ → ∃xφ) = 1, por cl→, df. V.(3)

Si V(∀xφ) = 1 entonces V([c/x]φ) = 1 para toda constante c de L, cl∀,df.V.(4)

Si V([c/x]φ) = 1 para toda constante c de L, entonces V(∃xφ) = 1, cl∃,df.V.(5)

Si V(∀xφ) = 1 entonces V(∃xφ) = 1, por transitividad de (3), (4)(6)

V(∀xφ → ∃xφ) = 1 en todo modelo, de (2) y (5), cl→,df.VPrueba por el absurdo:

(1) Supóngase que existe por lo menos un modelo M tal que VM(∀xφ → ∃xφ) = 0(2)

VM(∀xφ ) = 1 y VM(∃xφ) = 0, de (1) , cl→,df.V.(3)

V([c/x]φ) = 1 para toda constante c de L, de (2),cl∀,df.V(4)

V([c/x]φ) = 0 para toda constante c de L, de (2),cl∃,df.V


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(5) las líneas (3) y (4) se contradicen, por lo que el supuesto de partida es falso yentonces si no existe el modelo supuesto en (1), se cumple que ⊨ ∀xφ → ∃xφ

Ejercicio (11):

1. D = {1, 2}, I(a1) = 1 ; I(a2) = 2 ; I(P) = {1}; I(Q) = {2}Ejercicio (12)

2. 1) ∀x((Px∧Qx)→∀y(Qy→Rxy)) sup2) (Pa ∧ Qa)→∀y(Qy→Ray)) E∀,13) Pa ∧ Qa sup4) ∀y(Qy→ Ray) E→,2,35) Qa→ Raa E∀, 46) Qa E∧,37) Raa E→,5,68) (Pa ∧ Qa)→ Raa I→ 9) ∀x((Px∧Qx)→Rxx)) I∀,8

Ejercicio (13)1 1) ∀xPx sup.

2) ∃x¬Px sup.⊥ 3) ¬Pa sup.→ 4) Pa E∀,15) ⊥ E¬ ,3,4

6) ¬Pa→ ⊥ I→ 7) ⊥ E∃ ,2,68) ¬∃x¬Px I¬

6 1) ∃x(Px ∨ Qx) sup

2) ∀x¬Qx sup3) Pa ∨ Qa sup→ 4) Pa sup→ 5) ∃xPx I∃, 46) Pa→ ∃xPx I→ 7) Qa sup→ 8) ¬Qa E∀, 19) ⊥ E¬,7,810) ∃xPx EFSQ, 911) Qa→ ∃xPx I→ 12) ∃xPx E∨, 3,6,11

13) (Pa∨Qa)→ ∃xPx I→ 14) ∃xPx E∃, 1,13


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Fac. Ingeniería (2011–2º sem.)-Electiva Humanística (Lógica )- Anexo 1 – Prof. Cecilia Duran | 31

FICHA DE CATEDRA

Estandarización de la técnica del condicional asociado y del método indirecto de

asignación de valores de verdad. (Prof. Cecilia Duran)

Una oración (o proposición) condicional material debe distinguirse de un

argumento, por ejemplo:(1) Si mi automóvil funciona entonces tiene combustible. (condicional material)

(2) Dado que si un automóvil funciona entonces tiene combustible y que mi automóvil

funciona, se sigue que mi automóvil tiene combustible. (argumento)

El condicional material es una conectiva veritativo funcional que permite formar

proposiciones complejas a partir de proposiciones más simples. Su significado queda

expresado en su tabla de verdad: un condicional material es verdadero si y sólo si su

antecedente es falso o su consecuente es verdadero o, dicho de otro modo si no se da el

caso que su antecedente sea verdadero y su consecuente falso. Una oración condicional

material verdadera establece una cierta relación entre los hechos expresados por el

antecedente y el consecuente: el antecedente es condición suficiente del consecuente y el

consecuente es condición necesaria del antecedente. Mientras que un argumento válido

establece una relación entre oraciones; a saber, que si las premisas son verdaderas,

entonces la conclusión también lo es.

A pesar de que una oración (o proposición) condicional material es distinta de un

argumento, existe una analogía entre las condiciones de tautologicidad de una oración (o

proposición) condicional material y las condiciones de validez de un argumento.

Un condicional material es tautológico, es decir ⊨ φ → ψ1, si y sólo si para toda

valuación V se cumple que V(φ → ψ) = 1. A su vez, dada la tabla de verdad del

condicional material podemos afirmar que V(φ → ψ) = 1 si y sólo si V(φ) = 0 ó V(ψ) =

1; dicho de otro modo:

(3) ⊨ φ → ψ si y sólo si no existe una valuación V tal que V(φ) = 1 y V(ψ) = 0.

Supongamos ahora que el antecedente del condicional material es una conjunción de n

oraciones: φ1 ∧ … ∧ φn. En este caso, para que se cumpla que un condicional tal sea

tautológico, es decir ⊨ (φ1 ∧ … ∧ φn) → ψ, deberá cumplirse que al menos uno de los

conjuntivos del antecedente sea falso (con lo cual el antecedente es falso) o que el

consecuente sea verdadero; o, dicho de otro modo:

(4) ⊨ (φ1 ∧ … ∧ φn)→ ψ si y sólo si no existe una valuación V tal que V(φ1) = … V(φn)

= 1 y V(ψ) = 0.

1 Empleamos variables metalógicas en lugar de letras proposicionales para indicar que tanto el antecedente como

el consecuente podrían ser a su vez oraciones moleculares.


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Fac. Ingeniería (2011–2º sem.)-Electiva Humanística (Lógica )- Anexo 1 – Prof. Cecilia Duran

Adviértase que un esquema de argumento es semánticamente válido si y sólo si no

existe un ejemplo de sustitución tal que sus premisas sean verdaderas y su conclusión sea

falsa, es decir:

(5) ⊨ φ1, … , φn ⊨ ψ si y sólo si no existe una valuación V tal que V(φ1) = … V(φn) = 1 yV(ψ) = 0.

Dado un esquema de argumento, es posible construir una oración condicional

asociada al mismo (pero que no debe confundirse con el argumento) de forma tal que el

antecedente del condicional esté formado por la conjunción de las premisas del

argumento y el consecuente sea la conclusión del argumento. Dado el esquema de

argumento

φ1, … , φn / ψ

su oración condicional material asociada es

(φ1 ∧ … ∧ φn)→ ψ .Supongamos ahora que el esquema de argumento es inválido, es decir existe al menos

una valuación V tal que V(φ1) = … V(φn) = 1 y V(ψ) = 0. Adviértase que esa misma

valuación permitiría determinar que el condicional asociado tiene al menos una valuación

que lo hace falso, es decir no es tautológico.

A la inversa, si el condicional asociado no es tautológico, el esquema de argumento al

cual está asociado no puede ser válido, pues tendrá al menos un caso de premisas

verdaderas y conclusión falsa.

Ahora supongamos que el esquema de argumento es válido. En tal caso, según (5) no

existe una valuación V tal que V(φ1) = … V(φn) = 1 y V(ψ) = 0. Pero entonces en este

caso, el condicional asociado es tautológico, según (4). Y viceversa.Es decir, la relación que nos interesa enfatizar entre un condicional material y un

esquema de argumento consiste en que las condiciones de tautologicidad de un enunciado

condicional son análogas a las condiciones de validez de un esquema de argumento.

Esta analogía es fecunda pues permite diseñar métodos de decisión para

determinar la validez o invalidez de un argumento.

A continuación consignamos en forma resumida los pasos a seguir en dos

procedimientos del tipo mencionado: el método del condicional asociado y el método

indirecto (o abreviado) de asignación de valores de verdad.

(I) Técnica del condicional asociado para determinar validez o invalidez de argumentos:

1) Traducir el argumento al lenguaje de la Lógica Proposicional.

2) Construir el enunciado condicional asociado al esquema de argumento hallado en el

paso anterior.

3) Asignar valores de verdad al enunciado condicional y resolver la tabla de verdad.

4) Interpretar el resultado:


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a. si el enunciado condicional es tautológico, el esquema de argumento al cual

está asociado es válido (y por consiguiente todos sus ejemplos de sustitución

son argumentos válidos);

b. si el enunciado condicional no es tautológico, el esquema de argumento al

cual está asociado no es válido (y por consiguiente todos sus ejemplos de

sustitución son argumentos inválidos).

(II) Método indirecto de asignación de valores de verdad:

A. Aplicado para determinar la validez o invalidez de un esquema de argumento,

dicho de otro modo, para determinar si las premisas implican lógicamente a la

conclusión (φ1, …, φn ⊨ ψ) o no la implican (φ1, …, φn ⊭ ψ):

1) Se supone que cada una de las premisas es verdadera y la conclusión falsa, es

decir V(premisa) = 1, para cada premisa, y V(conclusión) = 0.

2) Se intenta encontrar una asignación de valores para cada fórmula de modo que

se cumpla la hipótesis.3) Resultado:

(a) Si se encontró una asignación como la buscada se termina el ejercicio y,

por cumplirse la hipótesis, el argumento es inválido.

(b)

Si toda asignación posible lleva a una contradicción con la hipótesis: se

señala la o las contradicciones (en caso de que hubiere más de una

asignación posible) y el resultado es que el argumento es válido.

B.

Aplicado para determinar si una fórmula es una tautología (⊨ φ) o no lo es (⊭ φ):

1)

Se supone que la fórmula es falsa, es decir que su valuación es 0.

2) Se intenta encontrar una asignación de valores para la fórmula de forma tal

que se cumpla la hipótesis.

3) Resultado:

a)

Si se encontró una asignación como la buscada se termina el ejercicio

y, por cumplirse la hipótesis, la fórmula no es una tautología.

b) Si toda asignación posible lleva a una contradicción con la hipótesis:

se señala la o las contradicciones (en caso de que hubiere más de una

asignación posible) y el resultado es que la fórmula es una tautología.

C. Aplicado para determinar si dos fórmulas son lógicamente equivalentes (φ ⊨ ψ y

ψ ⊨ φ). Hay dos formas de construir la prueba:

o

Primera forma:

Si dos fórmulas son lógicamente equivalentes la primera implicalógicamente a la segunda y la segunda implica lógicamente a la

primera. En este caso hay que hacer dos pruebas del tipo (A), la

primera prueba para determinar si la primera fórmula implica

lógicamente a la segunda y la segunda prueba para determinar si

la segunda fórmula implica lógicamente a la primera.

Resultado:


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Si alguna de las fórmulas no implica lógicamente a la otra,

no son lógicamente equivalentes.

Si hay implicación lógica en los dos sentidos, son

lógicamente equivalentes.

o Segunda forma:

Si dos fórmulas son lógicamente equivalentes, el resultado de

unirlas por un bicondicional material es una tautología (véase

Teorema 1, cap.2 del libro de Gamut: φ y ψ son lógicamente

equivalentes si y sólo si ⊨ φ ↔ ψ). En este caso se unen las dos

fórmulas por un bicondicional material y se determina si el

enunciado resultante es o no una tautología a la manera de la

prueba (B)

Resultado:

Si el bicondicional no es una tautología, las fórmulas no sonlógicamente equivalentes

Si el bicondicional es una tautología, las fórmulas son

lógicamente equivalentes.


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ANEXO 2

Reglas Básicas del Sistema de Deducción Natural de Gentzen para Lógica

Proposicional:

I ∧ ( Introducción de la Conjunción)

1. .

m1. φ

m2. ψ

n. φ ∧ ψ I∧, m1, m2

E ∧ (Eliminación de la Conjunción)

(i) 1. .

m. φ ∧ ψ

n. φ E∧, m

(ii) 1. .

m. φ ∧ ψ

n. φ E∧, m

I → (Introducción del Condicional)

1. .

m. φ supuesto

n-1. ψ

n. φ → ψ I→

E → (Eliminación del Condicional)

1. .

m1. φ → ψ

m2. φ

n. ψ E→, m1, m2


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|


I ∨ (Introducción de la Disyunción)

(i) 1. .

m. φ

n. φ ∨ ψ I∨, m

(ii) 1. .

m. ψ

n. φ ∨ ψ E∧, m

E ∨ (Eliminación de la Disyunción)

1. .

m1. φ ∨ ψ

m2. φ → χ

m3, ψ → χ

n. χ E∨, m1, m2, m3

I ¬ (Introducción de la Negación)

1. .

m. φ supuesto

n-1. ⊥

n. ¬ φ I¬

E ¬ (Eliminación de la Negación)

1. .

m1. ¬ φ

m2. φ

n. ⊥ E¬, m1, m2

EFSQ (ex falso sequitur quodlibet)

1. .

m. ⊥

n. φ EFSQ,m.

Doble Negación

1. .

m. ¬¬ φ

n. φ ¬¬,m


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Rep. (Regla de Repetición)

1. .

m. φ

n. φ Rep., m

Reglas Básicas del Sistema de Deducción Natural de Gentzen para Lógica de Predicados de

Primer Orden:

I (Introd. del cuantificador universal)

1. .

m. [a/x] φ

n. x φ I ,m

Restricción: "a" no debe aparecer en

ningún supuesto previo no cancelado ni

en x φ .

E (Elimin. del cuantificador universal)

1. .

m. x φ

n. [a/x] φ E , m

I (Introd. del cuantificador existencial)

1. .

m. [a/x] φ

n. x φ I , m

E (Elim.del cuantificador existencial)

1. .

m1. x φ

m2. [a/x] φ → ψ

n. ψ E , m1, m2

Restricción: "a" no debe aparecer en

ningún supuesto previo no cancelado, ni

en x φ ni en ψ.


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Ejemplos más usuales de Reglas Derivadas de Deducción Natural

SH (Silogismo Hipotético)

1. .

m1. φ → ψ

m2. ψ → χ

n. φ → χ SH, m1, m2

Mut (Mutación de Premisas)

1. .

m. φ → (ψ → χ )

n. ψ → (φ → χ) Mut, m

CPr (Carga de Premisas)1. .

m. φ

n. ψ → φ CPr., m

Cp (Contraposición)

1. .

m. φ → ψ

n. ¬ψ → ¬ φ Cp., m

MT (Modus Tollens)

1. .

m1. φ → ψ

m2. ¬ ψ

n. ¬ φ MT, m1,m2

Imp. (Importación)

1. .

m. φ → (ψ → χ )

n. (φ ∧ ψ ) → χ Imp., m

Exp. (Exportación)

1. .

m. (φ ∧ ψ ) → χ

n. φ → (ψ → χ ) Exp., m


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DDS (Dilema Destructivo Simple)

1. .

m1. ¬ φ ∨ ¬ ψ

m2. χ → φ

m3, χ → ψ

n. ¬ χ DDS, m1, m2, m3

DCC (Dilema Constructivo Complejo)

1. .

m1. φ ∨ ψ

m2. φ → χ

m3. ψ → μ

n. χ ∨ μ DCC, m1, m2, m3

DDC (Dilema Destrutivo Complejo)

1. .

m1. ¬ φ ∨ ¬ ψ

m2. χ → φ

m3. μ → ψ

n. ¬ χ ∨ ¬μ DDC, m1, m2, m3

RI (Regla de Intercambio)

(i) 1. . (ii) 1. .

m1. φ ↔ ψ m1. φ ↔ ψ

m2. χφ m2. χψ

n. χψ

RI, m1, m2 n. χφ RI, m1, m2


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ALGUNAS EQUIVALENCIAS LOGICAS

(“φ ⊣ ψ “ significa que φ es lógicamente equivalente a ψ )

Interdefinición de → y negación de ∧

φ → ψ ⊣ ¬(φ ∧ ¬ψ)

Interdefinición de → y ∨

φ → ψ ⊣ ¬φ ∨ ψ

Interdefinición de ∧ y negación de →

φ ∧ ψ ⊣ ¬(φ → ¬ψ)

Interdefinición de ∨ y →

φ ∨ ψ ⊣ ¬φ → ψ)

Interdefinición de ∧ y negación de ∨

φ ∧ ψ ⊣ ¬( ¬φ ∨ ¬ψ)

Interdefinición de ∨ y negación de ∧

φ ∨ ψ ⊣ ¬( ¬φ ∧ ¬ψ)

DM1 (De Morgan 1)

¬(φ ∧ ψ) ⊣ ¬φ ∨ ¬ψ

DM2 ( De Morgan 2)

¬(φ ∨ ψ) ⊣ ¬φ ∧ ¬ψ

Interdefinición del ↔ y →

φ ↔ψ ⊣ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)

CC ( Conmutatividad de la Conjunción)

φ ∧ ψ ⊣ ψ ∧ φ

CD ( Conmutatividad de la Disyunción)

φ ∨ ψ ⊣ ψ ∨ φ

AC (Asociatividad de la Conjunción)

(φ ∧ ψ ) ∧ χ ⊣ φ ∧ (ψ ∧ χ)

AD (Asociatividad de la Disyunción)

(φ ∨ ψ ) ∨ χ ⊣ φ ∨ (ψ ∨ χ)]

DC (Distributiv.de la ∧ respecto de la ∨)

φ ∧ (ψ ∨ χ) ⊣ (φ ∧ ψ ) ∨ (φ ∧χ )

DD (Distributiv.de la ∨ respecto de la ∧)

φ ∨ (ψ ∧ χ) ⊣ (φ ∨ ψ ) ∧ (φ ∨ χ )

IdC (Idempotencia de la ∧)

φ ∧ φ ⊣ φ

IdD (Idempotencia de la ∨)

φ ∨ φ ⊣ φ

Refl ↔ (Reflexividad del ↔)

φ ⊣ φ

Sim ↔ (Simetría del ↔)

φ ↔ ψ ⊣ ψ ↔ φ

AbsC (Absorción de la ∧)

φ ∧ (φ ∨ ψ) ⊣ φ

AbsD (Absorción de la ∨)

φ ∨ (φ ∧ ψ) ⊣ φ

D (Def. del Cuantif. Existencial)

xφ ⊣ ¬ x ¬φ

D (Def. del Cuantificador Universal)

x φ ↔ ¬ x ¬φ

N (Negación del Cuant. Existencial)

¬ x φ ⊣ x ¬φ

N (Negación del cuantif. Universal)

¬ x φ ⊣ x ¬φ

MV (Mutación de variable en )xφ ⊣ yφ

MV (Mutación de variable en )xφ ⊣ yφ

D (Distribución del )

x(φ ∨ ψ) ⊣ xφ ∨ xψ

D (Distribución del )

xφ ∧ ψ ⊣ xφ ∧ xψ

C (Conmutatividad del )

x yφ ⊣ y xφ

C (Conmutatividad del )

x yφ ⊣ y xφ

lógica, guía de tp 2011 2º semestre

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