Logica a a - A. Asperti

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<p>Logica ad InformaticaAndreaAspertieAgataCiabattoni2dicembre2008Indice1 Logicaproposizionale 11.1 Senso e denotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Connettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Sintassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Semantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Decidibilit`a della logica proposizionale. . . . . . . . . . 131.4.2 Teorema di compattezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3 Nota sul connettivo di implicazione . . . . . . . . . . . . 171.4.4 Equivalenza semantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.5 Completezza funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.6 Forme Normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.7 Dualit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Cenni storici e bibliograci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 SistemiDeduttivi 352.1 Propriet`a intuitive dei sistemi deduttivi . . . . . . . . . . . . . . 362.2 La Deduzione Naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Sistemi Assiomatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1 Formule e tipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.2 Altri Sistemi Assiomatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Relazione tra ND e H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 IL Calcolo dei Sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.1 Eliminazione del taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.2 Sulle regole strutturali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5.3 Invertibilit`a delle regole logiche . . . . . . . . . . . . . . . 652.6 Cenni storici e bibliograci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 CorrettezzaeCompletezza 733.1 Deduzione Naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2 Sistema Assiomatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Calcolo dei Sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4 Cenni storici e bibliograci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87vvi INDICE4 Logicadeipredicati 894.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Sintassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.1 Sottoformule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.3 Variabili libere e legate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.4 Sostituzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 Semantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.1 Soddisfacibilit`a, validit`a e modelli . . . . . . . . . . . . . 1034.3.2 Propriet`a della relazione di soddisfacibilit`a . . . . . . . . 1054.3.3 Equivalenza semantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.4 Forma Normale Prenessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.5 Forma di Skolem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3.6 Esempi di linguaggi del primo ordine. . . . . . . . . . . . 1145 IlCalcolodelPrimoordine 1255.1 La Deduzione Naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.1.1 Correttezza e Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.2 Sistemi Assiomatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3 IL Calcolo dei Sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.1 Invertibilit`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.2 Un algoritmo di ricerca automatica . . . . . . . . . . . . . 1415.3.3 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3.4 Discussione dellalgoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Applicazioni del Teorema di completezza . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.1 Il problema della decisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.3 Modelli niti ed inniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4.4 Categoricit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.4.5 Modelli non standard dellaritmetica. . . . . . . . . . . 1575.5 I Teoremi di Incompletezza di Godel . . . . . . . . . . . . . . . 1585.5.1 Primo Teorema di Incompletezza . . . . . . . . . . . . . . 1625.5.2 Secondo Teorema di Incompletezza. . . . . . . . . . . . . 1635.5.3 Teoremi di Tarski e Church . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6 Cenni storici e bibliograci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656 MetododiRisoluzione 1696.1 Teoria di Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.1.1 Teorema di Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.2 Metodo di Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.2.1 Risoluzione nella logica proposizionale . . . . . . . . . . . 1776.2.2 Unicazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.2.3 Risoluzione nella logica del primo ordine. . . . . . . . . . 1886.2.4 Ranamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3 Cenni storici e bibliograci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197viiviiiPrefazioneLaRazionalit`aeleMacchinediGiuseppeLongoLInformatica `enatadallaLogica, comeMinervadallatestadiGiove. Lagenesi `estatalungaed`eavvenutaparallelamenteallanascitadellanozionemoderna, formale e linguistica, di rigore matematico.Forsesi pu`oiniziarearaccontarelavicendadi questopercorsoversolaLogica(Matematica)moderna, elesueconseguenze, apartiredallariessio-nediCartesio. Descartesnonamalalogicaaristotelica: latrovainsucienteal ragionamento e, soprattutto, alla deduzione matematica. Nelle Regulae adRegulationem ingenii, un vero capolavoro di rigore cartesiano, conduce una-nalisi molto profonda della deduzione,cuore della razionalit`a umana. Essa vaben al di l`a delle poverissime regole di instanziazione,al centro della tradizio-ne aristotelica (gli uomini sono mortali,Socrate `e un uomo,dunque Socrate `emortale): frantumail ragionamentonei suoi elementi cruciali, lodispieganelsuoprocederepassodopopassodaverit`aevidenti, intuizioni dellospazioedelmondo. Malgradolanettadistinzionefraanimaeimeccanismidelcorposico(il dualismodi Descartes), nelleregoleperlingegnocheegli enunciasiintravedono i passi certi, scanditi meccanicamente, dei meravigliosi orologi deisuoi tempi o delle macchine a venire.Leibniz, con le sue intuizioni premonitrici (lesperto pensi anche alle idee sulcontinuo, non-standarddiremmooggi), andr`aoltre. Egli proponedi trattareilragionamento(matematico)conunaLinguaCaracteristica, unlinguaggioformale,nellaterminologiamoderna. ConLeibnizcio`e,insiemeallacrescenteesigenzadirigorematematico,iniziaademergerelideachelededuzionidellaMatematica, maforsedi pi` u, il ragionamentoumano, possanoesseretrattaticome sistema di regole linguistiche esplicite, come calcolo dei segni. Hobbesarriver`a a direconragionamentointendocalcolo. . . ogni ragionamentosi basasuqueste due operazioni dello spirito, la somma e la sottrazione [Com-putation sive Logica in De Corpore, 1655].Non `e stato tuttavia facile arrivare a concepire ed a realizzare formalmente taliprogetti, solo in nuce in Leibniz o in Hobbes: essi presuppongono il trasferimen-to dellintera prassi matematica in un linguaggio formale. La Matematica infattiixx`e ricca di riferimenti allo spazio, colti dallintuizione di Descartes; la geometriadomina linterazione ricchissima fra Matematica e Fisica. Il movimento dei corpiha luogo nello spazio di Newton: lanalisi innitesimale, la nozione di continuit`aattingono la loro certezza nellintuizione pura dello spazio euclideo, che `e assolu-to e perfettamente certo, come confermano i loso. In eetti, problematiche erisultati eminentemente geometrici dominano le scuole francesi e tedesche. Frane700edinizi 800, Monge, Lagrange, Laplace, Cauchy, Poncelet, maan-cheGauss, pensanolaMatematica, inparticolarelAnalisi Matematica, nellospazio;interpretano persino il Teorema fondamentale dellAlgebra ed i numericomplessi, sul piano cartesiano (linterpretazione di Argand-Gauss).Sono gli algebristi inglesi dellinizio dellottocento a precisare unaltra visionedella Matematica, riprendendo, loro modo, le idee di Leibniz e di Hobbes. Woo-dhouse, in un celebre articolo del 1801, propone un netto distacco fra geometriaed algebra: questultima si basa sulla manipolazione meccanica di simboli edeve trovare nella correttezza logica del ragionamento formale il suo fondamen-to, non gi`a nel riferimento allo spazio. Dopo di lui, Peacok, Babbage, Boole, frail 1820 e il 1850, confermeranno questottica: i calcoli algebrico-deduttivi hannounaloroautonomia, indipendentedal signicatodei simboli manipolati. Edecco, il Calculus of Deductive Reasoning e le celeberrime Laws of Thoughtdi Boole, ed inne, e soprattutto, la macchina analitico-deduttiva di Babbage.Vero calcolatore, ruote dentate che codicano elementi del calcolo dierenziale,ragionamento algebrico mosso da macchine a vapore.Pi` u o meno negli stessi anni, tuttavia, anche sul continente la ducia nellageometria viene messa a dura prova. Dopo le intuizioni di Gauss dei primissimidel secolo, fra il 35 ed il 50, Lobacevskij, Bolyai e Riemann dimostreranno chesi pu`o descrivere il mondo o che sono perlomeno compatibili con esso, geometrieradicalmentediverse, incuinessunaodinniteretteparallelepassanoperunpunto del piano esterno ad una retta. Ma allora, dove va a nire la certezza dellosguardo sul foglio, dellintuizione pura dello spazio assoluto?La matematica habisogno del linguaggio. Anzi solo nel linguaggio, spiegher`a Frege, pu`o trovare ilsuo fondamento. In alcuni libri di grande interesse, innazitutto nellIdeograa(1879) e nei Fondamenti dellAritmetica (1884), Frege propone il paradigmamoderno della Logica Matematica. Il calcolo `e deduzione, la deduzione `e calco-lo: un conto aritmetico `e una dimostrazione, una dimostrazione procede comeunconto. Icalcoli sonodeduzioni logichepropriocome`elogico-linguisticoilfondamento dellAritmetica: lAritmetica `e un sistema di segni che coincide conle sue stesse prove. In eetti, lideograa di Frege, o calcolo formale dei segni,sviluppa una analisi concettuale rigorosissima delle variabili e della quantica-zione(Perogni . . . Esiste. . . ) enefaunlinguaggioformalmenteperfetto,proprio come il lettore lo trover`a descritto nel testo che segue. Il balzo in avantirispetto alla logica Booleana, semplice calcolo proposizionale, `e enorme: Fregeformalizza luso matematico delle variabili e della loro quanticazione ed indivi-dua nel sistema logico, che ne regola limpiego, lorigine ed il fondamento dellastessaAritmetica, ovverodellaTeoriaFormaledei Numeri. Ora, cosavi `edipi` uimportantedelnumeroedellasuateoria, inMatematica, nonchedellusodelle variabili?Lanalisi di Frege centra gli aspetti della deduzione matematicaxiche saranno al cuore dellinvestigazione logica per tutto il XX secolo.Sar`aHilberttuttaviaarenderpienamentematematicalapropostadiFre-ge. Con lui nasce la Metamatematica, ovvero lanalisi matematica della stessadeduzionematematica,nascelaTeoriadellaDimostrazione. Illinguaggiofor-male, lideograadi Frege, `eestesoedarricchitonoaconglobare, grazieadopportuni assiomi formali, puramentelinguistici, lageometria. Econci`o, illinguaggio si distacca denitivamente da questultima, perch`e la certezza `e rag-giuntasolonellamanipolazionedistringhenitedisimboli, indipendentedalsignicato assunto da tali simboli su eventuali strutture geometriche. Lo sguar-do nello spazio, lintuizione geometrica, che Poincar`e cerca invano di difendere,eleambiguit`asemantichesonoalloriginedelleincertezzenelladeduzione, diquei mostri orrendi, i paradossi, chetantoavevanoinquietatoi matematici acavallo fra i due secoli. Strumento chiave dell analisi di Hilbert `e la distinzionefra il linguaggio in cui formalizzare la Matematica, oggetto di studio della Teo-riadellaDimostrazione,elaMetamatematica,descrittainunmetalinguaggioe che include la Teoria della Dimostrazione stessa. Linguaggio oggetto e meta-linguaggio dunque, da cui distinguere un terzo livello, quello del signicato (lasemantica come raccontata nel testo che segue): una semantica eventualmentegeometrica. Ma ora, dopo Leibniz, Boole, Frege (e Peano, non bisogna dimenti-care), il linguaggio oggetto `e nalmente abbastanza ricco da poter rappresentarela matematica, con le variabili, la quanticazione ed ogni altro costrutto lingui-stico di base; ora, si pu`o precisare che cosa si intende per completezza di questarappresentazione,per decidibilit`a (potenziale) di ogni asserto della AritmeticaedellAnalisi. BisognasolorendererigorosalintuizionediBooleediFregeedenireformalmentechecosasiauncalcolologico-deduttivo, di comeessosicorreli ai calcoli aritmetici. Proprio a Parigi, nel 1900, regno di Poincar`e, Hilbertfalalistadei problemi aperti edellecongettureinMatematicaedinLogica,che forgeranno, fra laltro, la Logica Matematica di questo secolo: fra queste, lacompletezza, la decidibilit`a, la dimostrabilit`a della coerenza (non contradditto-riet`a)dellAritmeticaedellAnalisi. Puricalcolidisegninitaridevonopoterdarelacertezzafondazionale,grazieallacoerenza,asserirelacompletezzadeisistemi formali e la decidibilit`a di ogni asserto ben formato della Matematica (odel suo nucleo logico: lAritmetica).Gli anni trenta danno la risposta. In primo luogo il Teorema di completezza,nel senso che il lettore trover`a pi` u oltre. Quindi losservazione che ogni deduzio-ne matematica, nei termini hilbertiani, `e una specica funzione aritmetica, dainumeri nei numeri.`Eunafunzionecalcolabile, spiegherannoGodel, Chur-ch, Kleene, Turingedaltri coni loroformalismi. Turing, ispiratoforsedalladistinzione fra metateorie e teorie e fra teoria e semantica, distinguer`a, in unamacchina formale, pura astrazione matematica, fra . . . hardware e software. E,sorpresastraordinaria, tutti otterranno, contecnicheestrumenti matematicidiversi, esattamente la stessa classe di funzioni; ovvero, i diversi formalismi, diHerbrand, Godel, Church, Kleene, leMacchinedi Turingdenisconotutti lastessaclassedi funzioni. Abbiamounassoluto, dir`aGodel nel 36: laclassedellededuzioni eettive, tutteequivalentementerappresentatenei numerosi ediversi calcoli logici proposti in quegli anni. Nasce la Teoria della Calcolabilit`a,xiibenprimadei calcolatori moderni, lateoriadellunicaclassedellededuzioni,comecalcoli, edellefunzioni eettivamenteeseguibili inmodomeccanico, inquantoelaborazionisustringhenitedisegni, guidatedaregolenitarie. Ladistinzione, poi, frahardwareesoftware, propostadaTuringperi soli scopidellanalisilogicadelladeduzione,sar`aalloriginedelsaltoqualitativorappre-sentatodai calcolatori moderni rispettoallemacchinedel secoloprecedente.LostessoTuringeVonNeumandisegneranno, infatti, leprimearchitetturedicalcolo, nellimmediatodopoguerra: nonpi` uingranaggi incui`einscrittapersempre loperazione da fare, come nei marchingegni meccanici di una volta, mamateriale inerme (hardware) attivato da linguaggi formali o di progr...</p>