Ljetni kamp mladih matematicara 2016. g.

Ovogodisnji Ljetni kamp mladih matematicara, u organizaciji udruge Mladi nadarenimatematicari “Marin Getaldic”, odrzao se od 15. do 22. kolovoza u Novom Vinodolskom.U aktivnostima kampa sudjelovao je do sada rekordan broj ucenika, njih cak 71,srednjoskolaca i osnovnoskolaca koji su zavrsili 7. ili 8. razred. Raspored je i ove godinebio prepun aktivnosti: predavanja, rad na projektima i popularno-znanstvena predavanja,ali ostalo je i dovoljno vremena za zabavu.

Slika 1. Sudionici Ljetnog kampa mladih matematicara 2016.

U jutarnjim satima polaznici su slusali predavanja o raznim natjecateljskim temamaiz kombinatorike, algebre, geometrije i teorije brojeva. Zbog velikog broja sudionika,svakog se dana odrzavalo sest predavanja: dva za osnovnu i cetiri za srednju skolu.Predavanja su razlicitih tezina i zahtijevala razlicito predznanje, tako da nesto novo mogunauciti i potpuni pocetnici u natjecateljskoj matematici, i vrhunski olimpijci (najtezapredavanja bila su dio priprema za Srednjoeuropsku matematicku olimpijadu).

Poslijepodneva smo provodili radeci na projektima. Glavni cilj projekata jest prikazatiucenicima matematiku iz perspektive razlicite od one na koju su naviknuli. Tako naprojektu radi manja grupa ucenika, a naglasak je stavljen na rjesavanje prakticnihproblema i primjenu matematike u znanostima i stvarnom zivotu. Na ovom smokampu imali cak 12 projekata: Kriptografija, Platonova i Arhimedova tijela, Origami,Allianz projekt, Linearno programiranje, Teorija informacija, Grafika, Glatko kotrljanje,Logika i ordinali, Statistika, Matematika i glazba, Modeliranje u biologiji. Na zavrsnojceremoniji kampa ucenici su prezentirali svoj cjelokupni rad na projektu.

Projekt Kriptografija bio je namijenjen ucenicima mla -deg uzrasta, a cilj projektabio je upoznati ih s osnovama kriptografije. Ucili su o nekim od najpoznatijih nacinakriptiranja koji su se koristili kroz povijest te o matematickoj pozadini koja stoji izapojedinog nacina kriptiranja. Podijelili smo sifre na supstitucijske i transpozicijske.Proucavali smo prednosti i mane klasicnih metoda sifriranja, kao sto su Cesarova,Vigenerova, Playfairova te ATBASH sifru. Upoznali smo ucenike s idejom javnogkljuca te Diffie-Hellman protokolom za razmjenu kljuceva. Na kraju su ucenici osmislilisami svoj nacin kriptiranja, a zatim su raspravljali o jacini njihove sifre te nacinimadesifriranja.

Na projektu Platonova i Arhimedova tijela tako -der su sudjelovali mla -di ucenici.Naucili smo sto su to grafovi i izveli Eulerovu formulu za planarne grafove i poliedre.Zatim smo se upoznali s Platonovim tijelima – poliedrima cije su sve strane pravilni

130 Matematicko-fizicki list, LXVII 2 (2016. – 2017.)

brought to you by COREView metadata, citation and similar papers at core.ac.uk

mnogokuti te dokazali da ih ima samo pet: tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar,dodekaedar i ikosaedar. Zatim smo proucavali slucaj kada su stranice poliedra pravilnimnogokuti, ali ne moraju biti jednaki (kao na primjer kod nogometne lopte) te se takoupoznali s prizmama, antiprizmama i Arhimedovim tijelima.

Projekt Origami sastojao se od dva dijela: teorijskog i prakticnog, a na njemusu sudjelovali ucenici 8. i 1. razreda. Ciljevi projekta su bili upoznavanje ucenikas korisnoscu origamija u rjesavanju nekih netrivijalnih matematickih problema (npr.dijeljenje papira na n jednakih dijelova, dokazivanje da ima samo pet pravilnih poliedara(Platonova tijela) i upoznavanje s nacinima izrade razlicitih origamija. Uz teorijski dioizra -divali smo i razne vrste origamija (npr. oktaedar, 5-interlocking tetraedar, zdral,cvijet. . . ).

Allianz projekt ra -den u suradnji s Allianz osiguranjem i cilj mu je bio educiratiucenike o nacinu rada takve kuce, s naglaskom na zivotno osiguranje. Promatrali smo trivrste: mjesovito osiguranje, osiguranje u slucaju smrti te osiguranje u slucaju dozivljenja.Racunali smo premije te pratili njihove promjene u odnosu na dob osiguranika te trajanjeugovora osiguranja.

Na projektu Linearno programiranje sudjelovali su ucenici 8. i 1. razreda. Problem ulinearnom programiranju definira se kao problem maksimizacije ili minimizacije linearnefunkcije koja je predmet linearnih ogranicenja. Ogranicenja mogu biti jednakosti ilinejednakosti. Htjeli smo rijesiti problem raspore -divanja ucenika na kampu na projektepo ocjenama kako bi svi bili sto sretniji. Cilj je bio maksimizirati “funkciju srece” kojaje suma ocjena koje su sudionici dali za projekt za koji su izabrani. Nasi su se rezultati,iako smo imali samo dio podataka s kampa, uglavnom preklapali sa stvarnim odabiromucenika.

Projekt Teorija informacija bio je prilago -den za 1. i 2. razred srednje skole. Ciljprojekta je bio sto sazetije prenijeti poruku od posiljatelja do primatelja kroz kanalkoji ima razlicit jezik od primatelja i posiljatelja. Bavio se kompresijom i vrstamakompresije (Shannonov, Shannon-Fano i Hoffmanov algoritam i aritmeticko kodiranje).Proucavala se efikasnost pojedinih algoritama. Najzanimljiviji dio projekta jest cinjenicada se projekt bavio primjenom matematike na konkretnom problemu.

Na projektu Grafika, prilago -denom starijem uzrastu, promatrao se problem promjeneoblika slova (na primjer, dobivanje zakosenih fontova slova) u racunarskoj grafici. Utu su se svrhu ucenici upoznali s osnovnim pojmovima linearne algebre – pojmomvektorskog prostora, linearne nezavisnosti i baze vektorskog prostora te pojmomlinearnog operatora. Glavni dio projekta sveo se na opisivanje poznatih preslikavanjaravnine i prostora pomocu linearnih operatora i njihovih matricnih zapisa te uocavanjenekih osnovnih rezultata vezanih uz matricni zapis linearnog operatora. Sva stecenaznanja ucenici su na kraju primijenili i na vec spomenuti problem oblikovanja slova.

Cilj projekta Glatko kotrljanje bio je prouciti svojstva i uvjete glatkog kotrljanja,to jest kotrljanja gdje je trenje dovoljno veliko da tijelo ne proklize i gdje se energijatrosi samo na savladavanje trenja i tromost. Htjeli smo odrediti po kakvoj ce se cestiglatko kotrljati pravilni mnogokuti i ostali likovi (kardioida, spirala. . . ). Rjesavanjemdiferencijalnih jednadzbi dobivaju se modeli cesta koje smo kasnije i primijenili u praksigradnje cesta od glinamola. Projekt je bio namijenjen starijim ucenicima.

Projekt Logika i ordinali bio je namijenjen srednjoskolskom uzrastu. Poceli smo supoznavanjem skupova, proucavali kardinalnost te konstruirali bijekcije izme -du razlicitihskupova brojeva. Zatim smo presli na malo zahtijevniji dio, ordinale (redne tipove),koji nam omogucuju da “poredamo” elemente konacnih i beskonacnih skupova. Nakonteorijskih osnova o ordinalima, presli smo na rjesavanje razlicitih logickih igara koje zaodgovor imaju neki ordinal. Na kraju smo generalizirali i pomocu jednostavnog algoritmanapravili program u “Pythonu” koji prevodi ordinale u igru te obratno u programskomjeziku C++. Nakon toga smo se bavili vektorskim prostorom te naucili dosta novih

Matematicko-fizicki list, LXVII 2 (2016. – 2017.) 131

pojmova kao sto su: skup izvodnica, linearno nezavisan skup te baza vektorskogprostora. Proucavali smo i grupe, prstenove te polja. Na samom kraju projekta smotransfinitnom indukcijom prosirili rjesenja Cauchyeve funkcijske jednadzbe.

Na projektu Statistika naucili smo osnove vjerojatnosti te neke jednostavne statisticketestove koji se koriste u raznim znanostima. Proucavali smo binomnu i geometrijskuslucajnu varijablu te im izracunali ocekivanje. Upoznali smo se s pojmom p -vrijednostite smo izveli egzaktni i simulacijski test za ocekivanje binomne slucajne varijable te ihiskoristili za neke prave podatke o broju djece u obiteljima polaznika kampa. Naucilismo racunati i intervale pouzdanosti za ocekivanje. Na kraju smo testirali pojavljuju li seu decimalnom zapisu broja π sve znamenke jednako cesto i upozorili na probleme kodtestiranja previse hipoteza. Projekt je bio namijenjen starijim ucenicima, sa zavrsenim2. ili 3. razredom srednje skole.

Na projektu Matematika i glazba stvarali smo novu glazbu pomocu Markovljevihlanaca. Ideja je bila da se u vec postojecim skladbama analiziraju prijelazi iz tonau ton, te zatim nova glazba generira prema dobivenoj prijelaznoj matrici vjerojatnosti(primjerice ako je u originalnoj skladbi ton C u 2/3 slucajeva presao u D, a u 1/3 u G,sada ce svi tonovi C prelaziti u D s vjerojatnoscu 2/3, a u G s vjerojatnoscu 1/3). Nataj nacin dobili smo glazbu koja zvuci bolje nego slucajno generirana, jer je “naucila”koji prijelazi zvuce dobro. Nakon igranja s ritmom, razlicitim instrumentima i vrstamaglazbe, pokusali smo zapisati harmonijska pravila slaganja tonova kao prijelaznu matricuvjerojatnosti te tako stvorili viseglasnu skladbu. Rezultat je bio izvanredan, a mozete gaposlusati na stranici kampa.

Projekt Modeliranje u biologiji bio je namijenjen ucenicima koji su zavrsili 2. i 3.razred. Projekt se sastojao od upoznavanja ucenika s osnovim modelima populacija,derivacijama i diferencijalnim jednadzbama kao nacinom postavljanja modela. Kasnije suucenici sami primjenjivali stecena znanja na konkretnim problemima Zombie apokalipsai Ratovi plemena te su simulirali postavljene modele koristeci Small Basic.

U poslijepodnevnim su se satima, umjesto rada na projektima, clanovi hrvatske ekipepripremali za nadolazecu Srednjoeuropsku matematicku olimpijadu. Njihov su programosmislili bivsi olimpijci u suradnji s voditeljima ekipe, Petrom Bakicem i StipomVidakom, koje smo ugostili na nekoliko dana kako bi pripreme bile sto uspjesnije.Tjedan pun teskih predavanja i simulacija natjecanja se isplatio – hrvatska je ekipa opetostvarila vrhunske rezultate i u pojedinacnoj i ekipnoj konkurenciji.

Slika 2. Predavanje Ivice Kicica: adaptirana metoda za crtanje gdje se preciznije crtaju rubovii vise zakrivljeni dijelovi.

132 Matematicko-fizicki list, LXVII 2 (2016. – 2017.)

Matematike nije nedostajalo ni u vecernjim satima: u srijedu navecer posjetio nasje nas dragi prijatelj i bivsi clan udruge Ivica Kicic te ucenicima odrzao popularno-znanstveno predavanje na temu: Kako nacrtati crnu rupu. Na predavanju smo nauciliponesto o crnim rupama, kako izgleda vjerni prikaz crne rupe te koliko su one dobroprikazane u filmskom hitu Interstellar.

Iako su dani bili prepuni aktivnosti, ostalo nam je dovoljno vremena za zabavu.Buduci da je ovo bio prvi Ljetni kamp na moru, iskoristili smo mnoge slobodnetrenutke za plivanje, ronjenje i skakanje u vodu, ali nismo zaboravili odigrati i nekolikonogometnih utakmica. Jednu smo vecer proveli igrajuci pub kviz, a pobjedu je, iakotijesnu, odnio tim Vlatko i kmetovi, osvojivsi pritom vrijedne nagrade – vjecnu slavu ivrecicu kokica. Sudjelovali smo i na predstavljanju grupa gostiju Doma Crvenog krizasa zabavnom tockom u kojoj su neki od sudionika prezentirali svoje vjestine u slaganjurubikovih kocaka i pricanju matematickih viceva. Ostale smo veceri uglavnom proveliigrajuci “Mafiju” i druzeci se.

Slika 3. Pozdrav do sljedece godine.

Veselimo se sljedecem Ljetnom kampu, a jos vise nadolazecoj Zimskoj skolimatematike u sijecnju!

Vlatka Vazdar

Matematicko-fizicki list, LXVII 2 (2016. – 2017.) 133