livro

Clculo Diferencial e Integral


Ed. v1.0.0

i


Sumrio

1 Nmeros Reais 1

1.1 Sistema dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Adio e Multiplicao de Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Subtrao e Diviso de Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Relao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Inequaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Resoluo de uma Inequao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1.1 Inequao de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1.2 Inequao de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1.3 Inequaes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1.4 Inequao Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1.5 Inequaes Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1.6 Inequaes Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Funes 29

2.1 Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Translaes e reflexes de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.2 Funes comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 Funo par e funo mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.4 Funo peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.5 Funo crescente e funo decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.6 Funo definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ii


2.2 Funo injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1 Operaes com funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Composio de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Limites 54

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Vizinhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Limites de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.10 Assntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Continuidade 86

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Noo intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3 Definio formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5 Propriedades de funes continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6 Continuidade de funes em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.7 Teorema de valor intermedirio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.8 Funes inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.9 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

iii


5 A Derivada 106

5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2 Definio formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3 A Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.4 A derivada como funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.5 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.6 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.7 Regras de derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.8 A derivada da composio de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.9 Teorema da funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.10 Derivadas de funes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.11 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.12 Derivao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6 Aplicaes da Derivada 135

6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2 Valores Extremos de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.3 Determinando Valores Extremos de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.4 Determinando os Pontos de Inflexo e Concavidade da Curva y=f (x) . . . . . . . . . 142

6.5 Esboando o grfico de y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.6 Teorema do Valor Mdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.7 Formas indeterminadas e a regra de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 A Integral Indefinida 162

7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.2 A Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.3 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.4 Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.5 Mtodo de Integrao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.6 Tcnicas de Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.6.1 Integrais de Funes que Contm um Trinmio Quadrado . . . . . . . . . . 179

7.6.2 Integrais de Funes Trigonomtricas e Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . 182

iv


7.6.3 Integrao por Substituio Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.6.4 Integrao de Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.6.5 O mtodo de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.6.6 Integrais de Funes Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8 A Integral Definida 216

8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.2 Somatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.2.1 Propriedades do Somatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.3 Clculo da rea de uma Regio Plana por Somatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.3.1 Partio de um Intervalo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.3.2 Aproximao da rea de uma Regio por reas de Retngulos . . . . . . . . 219

8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.3.4 Propriedades dos Somatrios Superiores e Inferiores . . . . . . . . . . . . . 224

8.4 Integrais Inferiores e Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.6 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.7 Teorema do Valor Intermedirio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.8 Teoremas Fundamentais do Clculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.9 Mudana de Varivel em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.10 Integrao por Partes em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.11 Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.11.1 Integrais Imprprias com Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.11.2 Integrais Imprprias com Limites Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.12 Aplicaes da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.12.1 reas de Regies Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.12.2 Volume de um Slido de Revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.12.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.12.4 rea de uma Superfcie de Revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

9 Referncias 257

9.1 Referncias Bibliogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10 ndice Remissivo 258

v


Prefcio

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciaturaem Computao a Distncia um material didtico de fcil entendimento dos fundamentos de umcurso de Clculo Diferencial e Integral. Temos nos esforado em apresentar o clculo de forma noto rigorosa, isto , neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e no nos aprofundamosnas demonstraes destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento terico com exemplos e com umaquantidade razovel de atividades para uma fixao do contedo, de tal forma que resulte de mximoproveito aos estudantes.

A obra composta por 8 captulos contendo os principais tpicos abordados em uma disciplina bsicade Clculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de contedo, por isto reco-mendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada captulo e resolva a mxima quantidadede atividades.

No primeiro captulo se faz uma apresentao axiomtica dos nmeros reais e suas principais propri-edades; no segundo captulo tratamos das relaes e das funes que sero o principal objeto mate-mtico tratado neste livro; no terceiro captulo estudamos os conceito de limite, fundamental para ateoria subsequente; no quarto captulo estudamos a continuidade de uma funo; no quinto captulointroduzimos a derivada de uma funo e suas principais propriedades; no sexto captulo apresenta-mos algumas aplicaes da derivada; no stimo captulo tratamos da integral indefinida e os mtodosde integrao; e no oitavo e ltimo captulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamosde algumas das aplicaes desta.

Sabemos que existem vrios outros materiais e livros que abordam o mesmo contedo apresentadoaqui, alguns at mais abrangentes. Somos porm, realistas que em uma primeira abordagem demosprioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos bsicos e interpretaes, deixando aprova de todos esses resultados a posteriori.

Esperamos que este livro fornea apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes con-ceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicaes prticas no mundo real.

Joo Pessoa, agosto de 2013.Kely D. V. VillacortaFelipe A. G. Moreno

Pblico alvo

O pblico alvo desse livro so os alunos de Licenciatura em Computao, na modalidade distncia.1

1Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraba, o seu uso no se restringea esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.

vi


Como voc deve estudar cada captulo

Leia a viso geral do captulo

Estude os contedos das sees

Realize as atividades no final do captulo

Verifique se voc atingiu os objetivos do captulo

NA SALA DE AULA DO CURSO

Tire dvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso

Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados

Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina

Caixas de dilogo

Nesta seo apresentamos as caixas de dilogo que podero ser utilizadas durante o texto. Confira ossignificados delas.

NotaEsta caixa utilizada para realizar alguma reflexo.

DicaEsta caixa utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.

ImportanteEsta caixa utilizada para chamar ateno sobre algo importante.

CuidadoEsta caixa utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.

AtenoEsta caixa utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.

Os significados das caixas so apenas uma referncia, podendo ser adaptados conforme as intenesdos autores.

vii


Compreendendo as referncias

As referncias so apresentadas conforme o elemento que est sendo referenciado:

Referncias a captulosPrefcio [vi]

Referncias a seesComo voc deve estudar cada captulo [vii], Caixas de dilogo [vii].

Referncias a imagens e tabelasFigura 1 [ix] Tabela 1 [viii]

NotaNa verso impressa, o nmero que aparece entre chaves [ ] corresponde ao nmero dapgina onde est o contedo referenciado. Nas verses digitais do livro voc poder clicarno link da referncia.

Contribuindo com o livro

Voc pode contribuir com a atualizao e correo deste livro. A tabela a seguir resume os mtodosde contribuies disponveis:

Tabela 1: Mtodos para contribuio do livro

Mtodo decontribui-o

Habilidades necessrias Descrio

Issue track

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Consiste em acessar o repositrio do livro esubmeter um erro, uma sugesto ou uma crtica atravs da criao de um Issue. Quandoprovidncias forem tomadas voc ser notificadodisso.

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Consiste em acessar os arquivos fontes do livro,realizar a correo desejada e submet-la paraavaliao. Este processo o mesmo utilizado naproduo de softwares livres.

viii


ImportanteQuando for enviar sua contribuio lembre-se de informar qual a verso e pgina do livro queest se referindo.

Contribuio atravs do Issue trackPara contribuir com um erro, sugesto ou crtica atravs de um envio de uma mensagem acesse:https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new

Figura 1: Exemplo de contribuio atravs do Issue track

Baixando a edio mais nova deste livro

Ns estamos constantemente atualizando o nosso material didtico. Todas as verses deste livroencontram-se disponveis para download.

DicaAcesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases para bai-xar a verso mais nova deste livro.

ix


Captulo 1

Nmeros Reais

OBJETIVOS DO CAPTULO

Ao final deste captulo voc dever ser capaz de:

Entender o conceito do sistema dos nmeros reais e saber diferenciar os subconjuntosque o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;

Dados dois nmeros reais, reconhecer a relao de ordem estabelecida entre eles e suaspropriedades;

Determinar as razes de uma equao dada;

Determinar o conjunto soluo de uma inequao dada;

Dominar o conceito de valor absoluto;

Familiarizar-se com o Axioma do Supremo.

O sistema dos nmeros reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexes porparte do homem. Desde o incio de nossa civilizao j se conheciam os nmeros inteiros positivos,ou seja, 1,2,3, . . . Os nmeros inteiros, to grandes quanto 100000, j eram utilizados no Egito empocas como 300 a. C.

Na aritmtica de nmeros inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egpcios e babilnios,podiam efetuar-se as operaes de adio e multiplicao, embora essa ltima no tenha sido desen-volvida por completo. Alm disso, naquela poca j se conheciam certas fraes, isto , os nmerosracionais. Por outro lado, os Babilnios tiveram maior xito no desenvolvimento da aritmtica e dalgebra, e a notao que eles usavam tambm era superior a dos egpcios, com a diferena que elestrabalhavam na base 60 e no na base 10.

Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no sculo XII,mediante a traduo de textos rabes, porm, essa notao demorou para ter uma aceitao geral, emuito depois disso veio a aceitao dos nmeros negativos, a qual aconteceu apenas no final do sculoXVI, poca em que eram descartadas as razes negativas das equaes.

Ainda que a necessidade dos nmeros irracionais, tais como

2 e pi , tivesse-se apresentado j aos ma-temticos da antiga Grcia no seus estudos geomtricos, no foram introduzidos mtodos satisfatriosde construo dos nmeros reais a partir dos racionais at finais do sculo XIX, quando os matem-ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construo total dos nmeros reais, abordagematualmente utilizada.

1 / 258


O ponto de vista adotado neste livro no construtivo, pois assume-se que existam certos objetos,chamados de nmeros reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste captulo. Todasas propriedades dos nmeros reais que sero apresentadas aqui, ou esto entre estes axiomas, oupodem ser deduzidas a partir deles.

Portanto, neste captulo revisaremos o sistema dos nmeros reais, desigualdades e intervalos, equa-es, inequaes, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando ateoria apresentada.

1.1 Sistema dos Nmeros Reais

Um conjunto no vazio de suma importncia o conjunto dos nmeros reais, que representado porR. O sistema dos nmeros reais o conjunto R fornecido de duas operaes: adio (+) e multi-plicao (), de uma relao de ordem (


Axioma 8Para cada nmero real a, diferente de zero, existe um nmero real chamado de inverso dea e representado por a1 ou

1a

, tal que a a1 = a1 a= a 1a = 1a a= 1.

O seguinte axioma conhecido como axioma distributivo e relaciona a adio e multiplicao denmeros reais:

Axioma 9a(b+ c) = a b+a c, a,b,c R

Nota

a. Os Axiomas 1 e 5 so conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-plicao, respectivamente.

b. Os Axiomas 2 e 6 so conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-plicao, respectivamente.

O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operaes.

Teorema 1.1

i. Os nmeros 0, 1, a e a1 so nicos;ii. a=(a), a R;

iii. Se a 6= 0, ento a= (a1)1;iv. a 0 = 0 a= 0, a R;v. a= (1) a, a R;

vi. a (b) = (a) b, a, b R;vii. (a) (b) = a b, a, b R;

viii. Se a+ c= b+ c, ento a= b;

ix. Se a c= b c e c 6= 0, ento a= b;x. a b= 0 se, e somente se, a= 0 ou b= 0;

xi. a b 6= 0 se, e somente se, a 6= 0 e b 6= 0;xii. a2 = b2 se, e somente se, a= b ou a=b.

1.1.2 Subtrao e Diviso de Nmeros Reais

SubtraoDados a e b R, a diferena de a e b ab= a+(b).

Diviso ou quocienteDados a e b R, com b 6= 0, o quociente de a e b a

b= a (b1).

Teorema 1.2

3 / 258

i. ab=(ba);ii. ab= c se, e somente se, a= b+ c;

iii. Se b 6= 0, ento c= ab

se, e somente se, b c= a;iv. a (b c) = a ba c;v. Se b 6= 0 e d 6= 0, ento a

b cd=

a db cb d .

1.1.3 Relao de Ordem

Axioma 10Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R++, que satisfaz asseguintes propriedades:

i. Se a R, ento, a R++ ou a R++ ou a= 0;ii. Se a R++ e b R++, ento a+b R++ e a b R++.

Definio 1.1Sejam a, b R. Diz-se que:

i. a menor que b, denotado por a a e leia-se b maior que a;

b. Da mesma forma, a b equivalente a b a e leia-se b maior ou igual que a.

O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas relao de ordem.

Teorema 1.3

i. Lei da tricotomia: dados a, b R. Ento a= b ou a b;ii. a2 0, a R. Se a 6= 0, ento a2 > 0;

iii. Lei transitiva: se a 0, ento, a c b c;

viii. Se a 0, ento a1 > 0,b. Se a< 0, ento a1 < 0;

4 / 258

x. Se 0< a< b, ento 0< b1 < a1;xi. Se a< b< 0, ento b1 < a1 < 0;

xii. a b> 0 se, e somente se, (a> 0 e b> 0) ou (a< 0 ou b< 0) ;xiii. a b 0 se, e somente se, (a 0 e b 0) ou (a 0 ou b 0)xiv. a b< 0 se, e somente se, (a< 0 e b> 0) ou (a> 0 ou b< 0) ;xv. a b 0 se, e somente se, (a 0 e b 0) ou (a 0 ou b 0)

xvi. Se a 0 e b 0, ento a< b se, e somente se, a2 < b2;xvii. a2+b2 = 0 se, e somente se, a= 0 e b= 0.

Nota

a. Se a e b so dois nmeros tais que a2 = b, diz-se que a a raiz quadrada de b ese escreve a =

b. Por exemplo, 2 e 2 so razes quadradas de 4, j que (2)2 =

22 = 4, e

3 e 3 so razes quadradas de 3, pois (3)2 = (3)2 = 3.b. Pelo Teorema 1.3.ii, no existe a R e b< 0 tal que a2 = b. Em outras palavras, no

conjunto dos nmeros reais no existe raiz quadrada de nmeros negativos;

c. Se a2 = 0, ento, deduz-se que a= 0. Portanto,

0 = 0.

Os nmeros reais so identificados por pontos em uma reta. E essa identificao d-se da seguintemaneira:

Figura 1.1: Reta Real

Dada uma reta L (por convenincia horizontal) e uma unidade de medida arbitrria, fixamos o ponto0 da reta, logo, a cada nmero real x se identifica com o ponto que est situado a x unidades direitado 0, se x> 0, e com o ponto situado a x unidades esquerda do 0, se x< 0.Essa correspondncia entre os nmeros reais e os pontos da reta biunvoca, isto , para cada nmeroreal h um nico ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta h um nico nmero realcorrespondente. No decorrer deste livro, no faremos nenhuma diferenciao entre ambos elementos.

Sejam x, y e z R tais que x< y< z. Ento x est esquerda de y, a uma distncia de y x unidadese z est direita de y, a uma distncia de z y unidades.

Figura 1.2: Distncia entre x e y, e distncia entre y e z

Definio 1.2Uma desigualdade uma expresso algbrica que contm relaes como , .

5 / 258


Assim:

6 / 258

x< y< z significa que x< y e y< z;

x< y z significa que x< y e y z;

x y< z significa que x y e y< z;

x y z significa que x y e y z.

1.2 Equaes

Definio 1.3Uma equao uma afirmao que se estabelece entre duas expresses algbricas medianteuma igualdade.

Exemplo 1.1 Tipos de Equaes

Equao de Primeiro grau

3x4 = 2 x Equao de Segundo grau

x24x5 = 0 Equao Racional

x25x+4x24 = x+2

Equao Irracional

x+3+

x+4 =3

Equao Exponencial

3

3(5x+1)/3 =

93(x+1)/5

Definio 1.4Diz-se que um nmero real a uma raiz da equao, ou um zero da equao se ao substituir avarivel da equao por a a igualdade for verdadeira. Resolver uma equao significa encontrartodas as suas razes.

7 / 258


Exemplo 1.2

a. Os nmeros reais 1 e 5 so razes da equao de segundo grau acima, pois (1)24(1)5 = 0 e (5)24(5)5 = 0;

b. Porm, o nmero real 4 no uma raiz, pois (4)24(4)5 =5 6= 0.

Exemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equaes

a. 5x+6 = 8.

Soluo

5x+6 = 8 5x= 86 = 2 x= 25

. Portanto,25

a raiz de 5x+6 = 8.

b. x2+1 = 0.

Soluox2 + 1 = 0 x2 = 1. Portanto, x2 + 1 = 0 no tem soluo em R. Veja o item b danota cima.

c. 5x+5 = 13x.Soluo

5x+ 5 = 1 3x 5x+ 3x = 1 5 8x = 4 x = 48 x = 1

2. Portanto,

12

a raiz de 5x+5 = 13x

d. 4x2 x3 = 0.Soluo

Mtodo 1 (Fatorando)4x2x3 = 0 (4x+3)(x1) = 0 4x+3 = 0 ou x1 = 0 x=3

4ou

x= 1.Mtodo 2 (Completando quadrados)

4x2 x3 = 0 (2x)2 x+(1

4

)2=

4916

(2x 1

4

)2=

4916 2x 1

4=

74

ou 2x 14=

74 2x=3

2ou 2x= 2 x=3

4ou x= 1.

Mtodo 3 (Usando o Discriminante)

4x2 x 3 = 0 x = (1)(1)24(4)(3)2(4)

x = 1

1+488

x=149

8 x= 17

8 x= 8

8ou x=6

8 x= 1 ou x=3

4.

Portanto, 34

e 1 so as razes de 5x+5 = 13x.

8 / 258

1.3 Desigualdades e Intervalos

Definio 1.5Dados a e b R, com a < b. Os intervalos so subconjuntos de R e podem ser clasificadosem:

Intervalos Limitados1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x R : a< x< b}

2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x R : a x b}

3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = {x R : a x< b}

4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = {x R : a< x b}

Intervalos Ilimitados1. Intervalo Aberto:

i. (a,+) = {x R : a< x}

ii. (,a) = {x R : x< a}

2. Intervalo Fechado:i. [a,+) = {x R : a x}

ii. (,a] = {x R : x a}

3. A Reta Real: (,+) = R

NotaOs intervalos semiabertos [a,b) e (a,b] tambm podem ser referenciados como intervalossemifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.

Exemplo 1.4 Dados os intervalosA= [5,2], B= (2,3] e C = (2,6),

9 / 258

temos que:

a. AB= [2,2]

b. AC = /0c. BC = (2,3]

d. AB= [5,3]

e. AC = [5,6)

f. BC = (2,6)

1.4 Inequaes

Definio 1.6Uma inequao uma afirmao que se estabelece entre duas expresses algbricas medianteuma desigualdade.

Exemplo 1.5 Tipos de Inequaes

Inequao de Primeiro grau

3x4< 2 x Inequao de Segundo grau

x24x5< 0 Inequao Racional

x25x+4x24 x+2

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Inequao Irracional

x+3+

x+4>3

Inequao Exponencial

3

3(5x+1)/3 0 ou ax+b< 0 ou ax+b 0 ou ax+b 0, com a 6= 0.Para resolver estas inequaes consideramos, sem perda de generalidade que, a> 0. Assim,

x>ba

ou x

Exemplo 1.7 Resolvamos as seguintes inequaes de primeiro grau

a. 5x+6< 8.

Soluo

5x+6< 8 5x< 86 = 2 x< 25

. Portanto, C. S.=(, 2

5

).

b. 5x+5 13x.Soluo

5x+5 13x 5x+3x 15 8x4 x48=1

2. Portanto, C. S.=[

12,+

).

c. 3x4< 2+ x.Soluo

3x4< 2+ x 3x x< 2+4 2x< 6 x< 3. Portanto, C. S.= (,3).

1.4.1.2 Inequao de Segundo Grau

As inequaes de segundo grau em uma varivel so da forma:

ax2+bx+c> 0 ou ax2+bx+c< 0 ou ax2+bx+c 0 ou ax2+bx+c 0, com a 6= 0.Suponhamos, sem perda de generalidade, que a > 0. Antes de mostrar como resolver este tipo deinequao, devemos lembrar que:

Se ax2+bx+ c= 0, ento x=b

2a,

onde = b24ac conhecido como o discriminante. Se < 0, ento esta equao no tem razesem R. Se 0, ento esta equao ter as seguintes razes x = b+

2aou x =

b2a

em R.Denotemos a cada uma destas razes por r1 e r2, respectivamente.

Caso ISe ax2+bx+ c= 0 tem duas razes diferentes, com r1 < r2, ento,

i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= (,r1) (r2,+);ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= (r1,r2);

iii. ax2+bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= (,r1] [r2,+);iv. ax2+bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= [r1,r2].

Caso IISe ax2+bx+ c= 0 tem uma nica raiz, r = r1 = r2, ento,

i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= R\{r};

12 / 258

ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= /0;

iii. ax2+bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= R;iv. ax2+bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= {r}.

Caso IIISe ax2+bx+ c= 0 no tem razes em R, ento,

i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= R;ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= /0;

iii. ax2+bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= R;iv. ax2+bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= /0.

Exemplo 1.8 Resolvamos as seguintes inequaes

a. x22< 3x+2Soluo

x2 2 < 3x+ 2 x2 3x 4 < 0. Logo, temos que as razes de x2 3x 4 = 0so x =

(3)2(1)

=3

2, com = (3)2 4(1)(4) = 25 > 0. Assim, r1 =

3252

=22

= 1 e r2 = 3+

252

=82= 4. Aplicando o item ii do Caso I, pois

r1 < r2, temos que C. S.= (1,4).Embora j tenhamos encontrado o conjunto soluo para a inequao dada, a seguir apre-sentamos mtodos alternativos para determin-lo.

Mtodo 1 (Decompondo)x22< 3x+2 x23x4< 0 (x4)(x+1)< 0 (x4< 0 e x+1> 0)ou (x4> 0 e x+1< 0) (x< 4 e x>1) ou (x> 4 e x

b. x2+1< 0

Soluo

x2 1 < 0. Logo, temos que as razes de x2 + 1 = 0 so x = (0)

2(1)=

2, com

= (0)24(1)(1) =16 < 0. Desde que, =< 0, ento a equao x2+1 = 0 no temrazes em R. Assim, Aplicando o item ii do Caso III, temos que C. S.= /0.

c. 4x2 x3 0.Soluo

4x2 x 3 0. Logo, temos que as razes de 4x2 x 30 so x = (1)

2(4)=

18

, com = (1)2 4(4)(3) = 49 > 0. Assim, r1 = 1

498

=68

= 34

e

r2 =1+

498

=88= 1. Aplicando o item iii do Caso I, pois r1 < r2, temos que C. S. =(,34] [1,+).

1.4.1.3 Inequaes Polinomiais

As inequaes polinomiais em uma varivel so da forma:

P(x) = anxn+ +a1x+a0 > 0 ou P(x) = anxn+ +a1x+a0 < 0 ou

P(x) = anxn+ +a1x+a0 0 ou P(x) = anxn+ +a1x+a0 0,onde a0, a1, . . . ,an so contantes e an > 0, n N.Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequao resolvido de acordo com a natureza dasrazes da equao polinomial P(x) = 0. Desde que este polinmio seja de grau n, ento esta equaopode ter no mximo n razes em R. Vamos denotar cada uma destas razes por r1, r2, . . . ,rn.

Caso ISe P(x) = 0 tem n razes diferentes em R, com r1 < r2 < < rn1 < rn, ento, alternamos osinal + e nos intervalos consecutivos determinados por elas razes, comeamos assinando osinal + ao intervalo mais a direita, isto , aquele que contm a raiz rn, veja a figura a seguir:

Logo,

i. P(x)> 0 se, e somente, x pertence unio dos intervalos com sinal +, isto :

a. Se n par, ento C. S.= (,r1) (rn,+);b. Se n mpar, ento C. S.= (r1,r2) (rn,+);

ii. P(x)< 0 se, e somente se, x pertence unio dos intervalos com sinal , isto :a. Se n par, ento C. S.= (r1,r2) (rn1,rn);

14 / 258


b. Se n mpar, ento C. S.= (,r1) (rn1,rn);iii. P(x) 0 se, e somente, x pertence unio dos intervalos com sinal +, isto :

a. Se n par, ento C. S.= (,r1] [rn,+);b. Se n mpar, ento C. S.= [r1,r2] [rn,+);

iv. P(x) 0 se, e somente se, x pertence unio dos intervalos com sinal , isto :a. Se n par, ento C. S.= [r1,r2] [rn1,rn];b. Se n mpar, ento C. S.= (,r1] [rn1,rn];

Caso IISe algumas das razes de P(x) = 0 so reais de multiciplicidade de ordem maior que 1, ento:

i. Se a multiciplicidade de uma das razes par, ento esta raiz no ser considerada para adeterminao dos intervalos e o C. S. ser obtido com o mesmo procedimento do Caso I;

ii. Se a multiciplicidade de uma das razes mpar, ento esta raiz considerada para adeterminao dos intervalos e o C. S. ser obtido com o mesmo procedimento do Caso I.

Caso IIISe algumas das razes de P(x) = 0 no so reais, ento, elas no so consideradas na determi-nao dos intervalos. Em outras palavras, o C. S. ser obtido seguindo os procedimentos doscasos anteriores com as razes reais.


a. (x1)4(x+2)(x+4) 0Soluo

Resolvendo a equao (x1)4(x+2)(x+4) = 0, temos que r1 = 4, r2 = 2 e r3 = 1,com multiciplicidade 4. Como a inequao da forma P(x) 0, podemos aplicar o itemi do Caso II e o item iv(a) do Caso I, pois, somente consideraremos as razes r1 = 4,r2 =2. Ou seja, x pertence unio dos intervalos com sinal (). Veja a figura a seguir:

Em outras palavras,C.S.= [4,2].

b. (x23)5(x2+16)(x216)(x4+1)> 0Soluo

Resolvendo a equao (x23)5(x2+16)(x216)(x4+1) = 0, temos que r1 =4, r2 =3, r3 =

3, com multiciplicidade 5 cada, e r4 = 4. Note que x4+1 = 0 e x2+16 = 0

no tm razes reais, logo, as expresses x4 + 1 e x2 + 16 no sero consideradas. Comoa inequao da forma P(x) > 0, podemos aplicar o item ii do Caso II e o item i(a) doCaso I, pois, consideraremos todas as razes r1 = 4, r2 =

3, r3 =

3 e r4 = 4. Ou

seja, ento x pertence unio dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir:

15 / 258

Em outras palavras,

C.S.= (,4) (

3,

3) (4,+).

1.4.1.4 Inequao Racional

As inequaes racionais em uma varivel so da forma:

P(x)Q(x)

> 0 ouP(x)Q(x)

< 0 ouP(x)Q(x)

0 ou P(x)Q(x)

0,

onde P(x) e Q(x) so polinmios diferentes de zero.

Para resolver este tipo de inequaes, devemos ter em mente que elas so equivalentes a:

P(x)Q(x)> 0 ou P(x)Q(x)< 0 ou P(x)Q(x) 0 e ou P(x)Q(x) 0,

respectivamente. Logo, para obter o conjunto soluo procedemos como nos casos anteriores, sendoque quando a inequao ou , os intervalos que contm alguma das razes da equao Q(x) = 0devem ser abertos nesses extremos.

Exemplo 1.10 Resolvamos a seguinte inequao

a.x2x4 >

x+2x

Soluo

x2x4 >

x+2x

x+2x x2x4 < 0

(x+2)(x4) x(x2)x(x4) < 0

8x(x4) < 0

1x(x4) > 0 x(x4)> 0.

Assim, as razes dos fatores so r1 = 0 e r2 = 4. Como a inequao da forma P(x)> 0,podemos aplicar o item i(a) do caso I, pois consideraremos todas as razes. Ou seja, xpertence unio dos intervalos com sinal (+), conforme a figura a seguir:

Logo, C. S.= (,0) (4,+).

b.x(x+2)x1 +

(x1)(x+2)x

2x(x+2)x+1

Soluo

x(x+2)x1 +

(x1)(x+2)x

2x(x+2)x+1

x(x+2)x1 +

(x1)(x+2)x

2x(x+2)x+1

0

(x2(x+1)+(x1)(x1)(x+1)2x2(x1))(x+2)

(x1)x(x+1) 0

16 / 258

(2x2 x+1)(x+2)(x1)x(x+1) 0 (2x

2 x+1)(x+2)(x1)x(x+1) 0,

com x 6= 1,0,1. Assim, as razes dos fatores so r1 = 2, r2 = 1, r3 = 0 e r4 = 1.Note que 2x2 x+ 1 = 0 no tem razes reais, logo a expresso 2x2 x+ 1 no serconsiderada. Como a inequao da forma P(x) 0, podemos aplicar o item iii(a) docaso I, pois consideraremos todas as razes. Ou seja, x pertence unio dos intervaloscom sinal (), veja figura a seguir:

Logo, C. S.= [2,1) (0,1).

1.4.1.5 Inequaes Exponenciais

As inequaes exponenciais em uma varivel so da forma:

a f (x) > ag(x) ou a f (x) < ag(x) ou a f (x) ag(x) ou a f (x) ag(x),

onde f (x) e g(x) so expresses em x, a> 0, a 6= 1.Para resolver este tipo de inequao, so considerados dois casos.

Caso ISe a> 1, ento os expoentes da inequao preservam a mesma ordem, isto :

i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);

ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);

iii. a f (x) ag(x) se, e somente se, f (x) g(x);iv. a f (x) ag(x) se, e somente se, f (x) g(x).

Caso IISe 0< a< 1, ento os expoentes da inequao invertem a ordem, isto :

i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);

ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);

iii. a f (x) ag(x) se, e somente se, f (x) g(x);iv. a f (x) ag(x) se, e somente se, f (x) g(x).

Logo, o conjunto soluo de cada item obtido resolvendo esta ltima inequao, usando os proce-dimentos vistos nos casos anteriormente.

17 / 258

Exemplo 1.11 Resolver as seguintes inequaes

a. 2(5x+2)/4 > 4

24(x+1)/5

Soluo

2(5x+2)/4 >4

24(x+1)/5 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/(45) 2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5Como a inequao da forma a f (x) > ag(x), com a = 2 > 1, podemos aplicar o item i docaso I, isto

2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5 5x+24

>x+1

5

5x+24 x+1

5> 0 5(5x+2)4(x+1)

20

21x+620

> 0 3(7x+2)20

> 0 7x+2> 0 x>27.

Portanto, C.S.=( 27 ,+).

b.((0,3)(3x+2)(x+1)

) 1x+2 (0,9)

2x+5

32x+5

Soluo ((0,3)(3x+2)(x+1)

) 1x+2 (0,9)

2x+5

32x+5 (0,3) (3x+2)(x+1)x+2

(0,93

)2x+5 (0,3) (3x+2)(x+1)x+2 (0,3)2x+5.

Como a inequao da forma a f (x) > ag(x), com a = 0,3 < 1, podemos aplicar o item ivdo caso II, isto

(0,3)(3x+2)(x+1)

x+2 (0,3)2x+5 (3x+2)(x+1)x+2

2x+5

(3x+2)(x+1)x+2

2x+5 0 (3x+2)(x+1) (2x+5)(x+2)x+2

0

x24x8x+2

0 (x22

3)(x2+23)x+2

0

(x22

3)(x2+2

3)(x+2) 0, com x 6=2.Como a inequao da forma P(x) 0, podemos aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja,x pertence unio dos intervalos com sinal (), veja figura a seguir:

2 -2 3

Logo, C. S.= (,2) [223,2+23].

18 / 258

1.4.1.6 Inequaes Irracionais

As inequaes irracionais em uma varivel so da forma:

F(x,P(x),Q(x), 3

R(x), . . . , n

W (x))> 0 ou F(x,P(x),

Q(x), 3

R(x), . . . , n

W (x))< 0 ou

F(x,P(x),Q(x), 3

R(x), . . . , n

W (x)) 0 ou F(x,P(x),

Q(x), 3

R(x), . . . , n

W (x)) 0,

onde P(x), Q(x), . . . ,W (x) so polinmios.

Casos Particulares

Caso IPara as inequaes da forma:

i.P(x)> Q(x) P(x) 0 e (Q(x) 0 ou P(x)> Q2(x));

ii.P(x) Q(x) P(x) 0 e (Q(x) 0 ou P(x) Q2(x));

iii.P(x)< Q(x) P(x) 0 e Q(x)> 0 e P(x)< Q2(x);

iv.P(x) Q(x) P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Q2(x).

Caso IIPara as inequaes da forma:

i.P(x)+

Q(x)> 0 (P(x) 0 e Q(x)> 0) ou (P(x)> 0 e Q(x) 0);

ii.P(x)+

Q(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0;

iii.P(x)Q(x) k, k > 0 P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) (kQ(x))2;

iv.P(x)+

Q(x)< 0 C.S.= /0;

v.P(x)+

Q(x) 0 P(x) = 0 e Q(x) = 0.

Caso IIIPara as inequaes da forma:

i.P(x)Q(x)> 0 P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x)> Q(x);

ii.P(x)Q(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Q(x).


a.x2 x2< 5 x

SoluoAplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x2 x2 e Q(x) = 5 x, temos que:

x2 x2< 5 x x2 x2 0 e 5 x 0 e x2 x2< (5 x)2

(x2)(x+1) 0 e 5 x e x2 x2< 2510x+ x2 x (,1] [2,+) e x (,5] e 9x< 27

x (,1] [2,5] e x (,3) x (,1] [2,3).Portanto, C.S.= (,1] [2,3).

19 / 258

b.x8 0

SoluoAplicando o item iv do Caso I, para P(x) = x8 e Q(x) = 0, temos que:

x8 0 x8 0 e 0 0 e x8 02 = 0

x 8 e x 8 x= 8.Portanto, C.S.= {8}.

c.x+5< 0

SoluoAplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x+5 e Q(x) = 0, temos que:

x+5< 0 x+5 0 e 0> 0 e x+5< 02 = 0

x5 e 0> 0 e x5 /0.Portanto, C.S.= /0.Note que no necessrio fazer as contas acima para obter C.S. = /0, pois

x+5 0 da

definio da raiz quadrada, logo,x+5< 0 uma inequao no vlida.

Caso IVSe n 1 mpar

i.P(x) n

Q(x)

R(x) 0 P(x)Q(x)

R(x) 0;

ii.P(x) n

Q(x)

R(x) 0 P(x)Q(x)

R(x) 0;

iii.P(x)

R(x) nQ(x)

0 P(x)R(x)Q(x)

0;

iv.P(x)

R(x) nQ(x)

0 P(x)R(x)Q(x)

0;

v. nP(x) nQ(x) P(x) Q(x).

NotaSe a desigualdade a ser analisada estrita, isto , > ou ou 0 par

i. P(x) nQ(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0;

ii. P(x) nQ(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0;

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iii.P(x)

R(x) nQ(x)

0 Q(x)> 0 e P(x)R(x)

0;

iv.P(x)

R(x) nQ(x)

0 Q(x)> 0 e P(x)R(x)

0;

v. nP(x) Q(x) P(x) 0 e (Q(x) 0 ou P(x) Qn(x));

vi. nP(x) Q(x) P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Qn(x);

vii. nP(x) nQ(x) P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Q(x).

NotaSe a desigualdade a ser analisada estrita, isto , > ou ou 0 ex+5x4 0

81> x2 e ((x+5)(x4) 0 com x 6= 4) x (9,9) e x (,5] (4,+) x (9,5] (4,9)

Portanto, C.S.= (9,5] (4,9)

NotaSe temos k radicais, cada um deles ter um conjunto soluo relativo, ento, o conjuntosoluo da inequao toda ser a interseo destes k conjuntos solues.

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1.5 Valor absoluto

Definio 1.9O valor absoluto de um nmero real denotado por |a| e definido como:

|a|={

a, se a 0a, se a< 0.

Desde o ponto de vista geomtrico |a| representa a distncia entre o ponto da reta real a e a origem 0.

0 a

|a|

Da mesma forma, |ab|= |ba| se interpreta como a distncia entre os pontos a e b.

a b

|b-a|=|a-b|

Exemplo 1.14|7|= 7; |0|= 0; |4|= 4; | |a||= |a|.

Teorema 1.4Se a e b R, ento:

i. |a| 0, a R e |a|= 0 se, e somente se, a= 0;ii. |ab|= |a||b|;

iii. |a+b| |a|+ |b|.A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto verifica.

Teorema 1.5Se a, b e x R, ento:

i. |a|2 = a2;ii. Se b 0, |a|= b se, e somente se, a= b ou a=b;

iii. |a|= |b| se, e somente se, a= b ou a=b;iv. |a|= |a|=

a2;

v.ab

= |a||b| , b 6= 0;vi. Se a< x< b, ento |x| b se, e somente se, x> b ou x

Exemplo 1.15 Resolvamos as seguintes equaes com valor absoluto:

a. |3x5|= 4.Soluo

|3x5|= 4 3x5 = 4 ou 3x5 =4 x = 3 ou x = 13

. Portanto, 13 e 3

so razes de |3x5|= 4.b. ||74x|3|= 9.

Soluo||74x|3|= 9 |74x|3 = 9 ou |74x|3 =9 |74x|= 12 ou|74x|=6, porm |74x| 0 e 6< 0. Ento, s devemos analisar |74x|= 12.Assim, |74x| = 12 74x = 12 ou 74x = 12 x = 5

4ou x =

194

.

Portanto, 54 e194 so razes de ||74x|3|= 9.

c. |x2|+3|x4|= 5|x+1|.Soluo

Denotemos por E(x) a equao |x 2|+ 3|x 4| = 5|x+ 1|. Para determinar as razesdesta equao, precisamos igualar cada valor absoluto a zero, pois precisamos aplicar adefinio do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos x = 2, x = 4 e x = 1.Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir:

Caso 1:Se x

Soluo 1x+1< xx2+2x+1

1|x+1| < |x||x+1|2 1< |x||x+1| , para x 6=1 |x+1|< |x| , para x 6=1

|x+1|2 < |x|2 , para x 6=1x2+2x+1< x2, para x 6=1

2x+1< 0, para x 6=1 x 0 e (4x+3)< x+3x+1 < 4x+3 x>3

4e(4x3< x+3

x+1e

x+3x+1

< 4x+3)

x>34

e(

0< 4x+3+x+3x+1

e 4x+3 x+3x+1

> 0)

x>34

e(

0 0)

x>34

e(

0< 2(

2x2+4x+3x+1

)e 2

(x(2x+3)x+1

)> 0)

x>34

e(

0 0)

Caso 1

Encontremos o conjunto soluo de 0 0. Daqui, r1 =32 , r2 =1 e r3 = 0,ento, C.S.2 =

(32 ,1) (0,+).Assim, o conjunto soluo ser obtido intersectando (C.S.1 e C.S.2) e x > 34 . Portanto,C.S.= (0,+)

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1.6 Axioma do Supremo

Antes de comear a falar sobre os limitantes de um conjunto A R, vejamos alguns conjuntosimportantes em R:

O conjunto dos nmeros naturais, denotado por N, o conjunto

N= {1,2,3,4, . . . ,n1,n,n+1, . . .}.Se n N, ento n dito de nmero natural.

O conjunto dos nmeros inteiros, denotado por Z, o conjunto

Z= {. . . ,4,3,2,1,0,1,2,3,4, . . .}.Se z Z, ento z dito de nmero inteiro.

O conjunto dos nmeros racionais, denotado por Q, o conjunto

Q={ab

: a Z e b Z, com b 6= 0}.

Se q Q, ento q dito de nmero racional. O conjunto dos nmeros irracionais, denotado por I, o conjunto

I= {x R : x 6Q}.Se x I, ento x dito de nmero irracional.

Assim, verifica-se que:

N ZQ R, R=Q I e Q I= /0.

Nota

a. Entre os nmeros irracionais temos:

2,

3, 7

4, 7, . . . pi = 3,141592 . . . e= 2,71828182 . . .

b. Uma propriedade importante dos nmeros racionais e irracionais que:

Entre dois nmeros racionais existe um nmero infinito de nmeros irracionais;

Entre dois nmeros irracionais existe um nmero finito de nmeros racionais.

Definio 1.10Seja A um subconjunto no vazio de R. Diz-se que:

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i. A limitado superiormente se existe M R tal que

xM, x A.O nmero M chamado de limitante superior de A.

ii. A limitado inferiormente se existe m R tal que

m x, x A.O nmero m chamado de limitante inferior de A.

iii. A limitado se existe k > 0 tal que

|x| k, x A.Um conjunto limitado se limitado superiormente e inferiormente.

Exemplo 1.17

a. Os conjuntos N e (1,+) so limitados inferiormente pelo limitante2, por exemplo, pormno so limitados superiormente.

b. Os conjuntos (,4] e N so conjuntos limitados superiormente pelo limitante superior 7,por exemplo, porm no so limitados inferiormente.

c. Os conjuntos{

23z

: z Z\{0}}

e {x R : 2x x2 7} so limitados por 4.

Definio 1.11Seja A um subconjunto no vazio de R. Diz-se que:

i. s R o supremo de A, denotado por Sup(A) se:ii. s limitante superior de A, isto , x s, x A.

Se b R e b< s, ento existe x A tal que b< x s.iii. r R o nfimo de A, denotado por Inf(A) se:iv. r limitante inferior de A, isto , r x, x A.

Se c R e r < c, ento existe x A tal que r x< c.

Nota

a. O supremo de um conjunto o menor limitante superior, e o nfimo o maiorlimitante inferior.

b. Se o supremo e o nfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses ele-mentos so chamados mximo de A, denotado por max(A), e mnimo de A,denotado por min(A), respectivamente.

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Exemplo 1.18Dados os conjuntos

A=(1, 9

4

], B=

{1k

: k N}

e C = {x Q :20 x}

temos que:

a. Inf(A) =1, Sup(A) = 94= max(A). Portanto, A limitado.

b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B limitado.

c. Inf(C) = 20 = min(C). Porm, C no limitado superiormente, logo, no tem supremo.Portanto, no limitado.

O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos nmeros reais.

Axioma 11 (Axioma do Supremo)Todo subconjunto no vazio, limitado superiormente, B R possui um supremo s= Sup(B) R.

Teorema 1.6Seja A R com A 6= /0. Se A limitado inferiormente, ento este possui nfimo.

Para finalizar, embora o princpio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele serapenas enunciado.

Teorema 1.7 (Princpio da boa ordem)Todo subconjunto no vazio de Z, limitado inferiormente, possui nfimo.

Este princpio usado para demonstrar o Princpio da Induo Finita e para provar vrias propriedadesreferentes aos nmeros inteiros.

1.7 Recapitulando

Neste captulo, apresentamos as noes bsicas sobre o conjunto dos Nmeros Reais com o intuitode fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento dos prximos captulos.

Desta forma, apresentamos o sistema dos nmeros reais, e nele os axiomas que regem a adio emultiplicao. Seguindo esse raciocnio, apresentamos dois teoremas que mostram as propriedadesda substrao e diviso.Desde que em matemtica importantssimo entender qual a relao de ordem entre dois ele-mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequaes, etc., esse conceito e suasprincipais propriedades foram revisadas.

Nas sees subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equaes, inequa-es e valor absoluto, alm de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.Por ltimo, mas no menos importante, o axioma do supremo e o princpio da boa ordem foramapresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,supremo, nfimo, mximo e mnimo.

No prximo captulo, apresentaremos as noes bsicas sobre relaes e funes, j que esta teoria fundamental para, por exemplo, determinar com preciso o domnio e a imagem das funes reais.

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1.8 Atividades

1. Encontre M tal que:

i. 2x x2 M, x R. ii. (x2+4x+13)M x R.iii. 2 x 13 x 23 M x R. iv.

x+62x+1 3 x2. x.x2+3x2x21

< 1.xi. 3

(|x+1| 1

6

)2 12

|x+1| 16.

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Captulo 2

Funes

OBJETIVOS DO CAPTULO

Ao final deste captulo voc dever ser capaz de:

Determinar com preciso o domnio e a imagem de uma funo real;

Dado o grfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma funo;

Dada uma funo, saber estabelecer se ela injetora, sobrejetora ou bijetora;

Realizar operaes com funes, isto , soma, substrao, produto, diviso e composi-o de funes;

Encontrar a inversa de uma funo, se ela existir;

Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemtico relativo sfunes definidas no conjunto dos nmeros reais.

Ao relacionarmos o espao em funo do tempo a intensidade da fotossntese realizada por uma plantaem funo da intensidade da luz a que ela exposta; ou uma pessoa em funo da impresso digital,percebemos quo importante o conceito de funo, pois este nos permite compreender as relaesentre os fenmenos fsicos, biolgicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto, nestecaptulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemtica: a funo. Iniciaremos ocaptulo dando a definio formal deste objeto matemtico, que o objetivo de estudo deste captuloe de todos os outros.

2.1 Funes

Em diversas situaes, apresentam-se relaes que existem entre um conjunto de objetos e outroconjunto de outros objetos, por exemplo: quando calculamos a rea de um crculo, esta depende doraio do crculo; a distncia que um objeto viaja a uma velocidade constante ao longo de um percursodepende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade varivel, denotada por y, depende dovalor de outra quantidade varivel, denotada por x. Dizemos ento que y uma funo de x e aescrevemos como y= f (x).

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f(x)

x

f

Sada

Entrada

Definio 2.1Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Uma funo f de A em B, denotada por f : A B, uma regra que associa um nico elemento f (x) B a cada elemento x A.

A B

f(x)x

f

Associados a uma funo temos os conjuntos: domnio, imagem e grfico de uma funo, e a seguintedefinio estabelece estes conceitos.

Definio 2.2Seja a funo f : A B. Ento:

i. O domnio da funo f o conjunto {x A : f (x) B}, e denotado por Dom( f ); isto, o domnio de f o subconjunto de A cujos elementos so todos os valores de entradapossveis da funo f .

ii. A imagem da funo f o conjunto { f (x) B : x A}, e denotado por Im( f ); isto , aimagem de f o subconjunto de B cujos elementos so todos os valores de f (x) conformex varia ao longo do conjunto A.

iii. Se A e B so subconjuntos de R, o grfico da funo f o conjunto{(x,y) RR : y= f (x)}, e denotado por Graf( f ).

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NotaSeja uma funo f : A B.

a. A notao y = f (x) (leia-se y igual a f de x) expressa que y o valorde f em x, neste caso, x denominada varivel independente e y variveldependente.

b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f uma aplicao de A em B. Alm disso, seIm( f ) = B, diz-se que f uma aplicao de A sobre B.

c. Se A e B so subconjuntos deR, ento f chamada de funo real de varivelreal.

d. Se f uma funo real de varivel real, definida pela regra de correspondnciay= f (x), ento:

i. Quando Dom( f ) no especificado, considera-se que este o maior sub-conjunto de R para os quais a regra de correspondncia tenha sentido eresulte em valores reais. Isso denominado domnio natural da funo.

ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 so as coordenadas x, para osquais o grfico de f intersecta o eixo x. Estes valores so denominadoszeros de f , razes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com oeixo x.

e. Os grficos podem fornecer uma informao visual importante sobre uma fun-o. Por exemplo, como o grfico de uma funo f no plano xy o grficoda equao y = f (x). Os pontos do grfico so da forma (x, f (x)), ou seja,a coordenada y de um ponto do grfico de f o valor de f na coordenada xcorrespondente.

Exemplo 2.1Para f definida a seguir, determinemos o domnio, a imagem e seu grfico:

a. Sejam A= {1,2,3,4}, B= {5,6,7,8,9} e f : A B definida por f (x) = x+2.Soluo

Desde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,verificamos que os nicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B so3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o grfico de f apresentado no item(a) da figura abaixo

b. Seja f : R R definida por f (x) = 1x

.

SoluoA funo f dada est definida para todo x R, exceto x= 0; assim Dom( f ) = R\{0}.Para determinar Im( f ) conveniente introduzir uma varivel dependente y:

y=1x.

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Embora para muitos o conjunto dos possveis valores de y no seja evidente nessa equao,o grfico de f (veja o item (b) da figura abaixo) sugere que Im( f ) = R\{0}. Para provaristo, resolvamos a equao acima para x, em termos de y:

x 6= 0 xy= 1 x= 1y.

Agora est evidente que essa expresso est definida para todo y R, exceto para y = 0.Portanto, Im( f ) = R\{0}.

0

Graf( )f

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

-

-

Graf( )f

x

y

x

y

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

x

y

5

-

6

-

10-

-

-

4

3

-

-

2

1

-

-

0

Dom( )f

Im( )f

(a) (b) (c)

Graf( )f

c. Seja f : (0,5] [1,10) definida por f (x) = (x3)2+1.Soluo

Da definio de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, medida que x varia sobreo intervalo (0,5], o valor de (x 3)2 + 1 varia sobre o intervalo [0,9); assim, o valor def (x) varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).Nesse caso, f uma aplicao de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita comof ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.

A prxima nota nos diz que nem toda curva no plano o grfico de uma funo.

Teste da Reta VerticalUma relao f : R R com domnio localizado no eixo horizontal e a imagem localizadano eixo vertical uma funo se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu grfico nomximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma funo, enquanto que oitem (b) no corresponde a uma funo.

x

y

0

y = f (x)

Graf( f ) x

y

0

L

P

Q

R

S

TGraf( f )

(a) (b)

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2.1.1 Translaes e reflexes de uma funo

Esta seo se dedicar a considerar o efeito geomtrico de efetuar operaes bsicas com funes.Isso nos permitir usar grficos de funes conhecidas para visualizar ou esboar grficos de funesrelacionadas.

Teorema 2.1 (Testes de simetria)

i. Uma curva plana simtrica em relao ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x porx em sua equao obtm-se uma equao equivalente;

ii. Uma curva plana simtrica em relao ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y pory em sua equao obtm-se uma equao equivalente;

iii. Uma curva plana simtrica em relao origem se, e somente se, subtituindo-se x porx e y por y em sua equao obtm-se uma equao equivalente.

Esboando grficosPara esboar o grfico de uma funo importante considerar a relao entre ela e uma outrafuno j conhecida, y = f (x). Seja o grfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figuraabaixo. Ento o grfico de:

y= f (x) a funo simtrica ao grfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) dafigura abaixo;

y = f (x) a curva simtrica ao grfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) dafigura abaixo;

y= | f (x)| obtida transladando a parte do grfico original que se encontra abaixo do eixo x( f (x)< 0) de forma simtrica a este ltimo e mantendo a parte do grfico que est por cimado eixo x ( f (x) 0). Veja o item (d) da figura abaixo;

x

y

0

y = f (x)

x

f(x)

(a)

x

y

0

y = f (x)

y = - f (x)

(b) (d)

x

y

0

y = f (x) y = f (- x)

x

yy = |f (x)|

y = f (x)

(c)

0

Sejam k > 0 e h> 0. Ento o grfico de:

y = f (x)+ k se obtm transladando verticalmente o grfico original k unidades para cima.Veja o item (a) da figura abaixo;

y = f (x) k se obtm transladando verticalmente o grfico original k unidades para baixo.Veja o item (a) da figura abaixo;.

y = f (x+ h) se obtm transladando horizontalmente o grfico original h unidades para aesquerda. Veja o item (b) da figura abaixo;

y = f (x h) se obtm transladando horizontalmente o grfico original h unidades para adireita. Veja o item (b) da figura abaixo;

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y= f (xh)+ k se obtm efetuando uma dupla translao h unidades para a direita horizon-talmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.

x

y

0

y = f (x)

(c)

y = f (x - h) + k

k

h

x

y

0

y = f (x)

x

y

0

y = f (x)

(a) (b)

y = f (x) + k

y = f (x) - k

y = f (x+h) y = f (x-h)

k

k

h h

Exemplo 2.2Dadas as seguintes funes:

a. f (x) = x2; b. f (x) =x2; c. h(x) = x2+1;

d. i(x) = (x+1)2; e. j(x) = (x1)22; f. k(x) = |x22|.

Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboo do grfico de cada uma delas.

(b)

x

y

0

(a)

x

y

0

y = - x2

x

y

0

y = x2

y = x2 + 1

y = x2y = x21

(c)

(f)

x

y

0

(e)

x

y

0

y = x2

y = (x -1)2 - 2

1

y = |x 2 - 2|

y = x 2 - 2

x

y

0

y = (x +1)2

1

-2

(d)

y = x2

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2.1.2 Funes comuns

Agora apresentaremos algumas funes reais de varivel real que so de uso frequente em clculo.

Funo linear a funo definida por f (x) = mx+b, onde m e b so constantes. O domnio da funo linear Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = R. Seu grfico a reta com coeficiente angular, ouinclinao, m que intersecta o eixo x em (0,b); veja o item (a) da figura abaixo.

Casos particularesa. Quando b = 0, a funo f (x) = mx passa pela origem; no item (b) da figura abaixo

vemos a ilustrao destas retas, para valores diferentes de m.b. Quando m= 1 e b= 0, a funo f (x) = x chamada de funo identidade, tambm

denotada por Id(x), e seu grfico a reta diagonal do primeiro e do terceiro quadrante;veja o item (c) da figura abaixo.

c. Quando m = 0, a funo f (x) = b chamada de funo constante e, nesse caso,Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.

x

y

0

y = mx + b

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = b

Im( ) = {b}f

Dom( ) = f R

x

y

0

y = x

(a) (b) (c) (d)

y

y = x

y = - x

y = - 4x

3

2

5

2

y = 2x

y = x

b

Funo valor absoluto a funo definida por f (x) = |x|, x R. Da definio de valor absoluto, temos:

|x|=x2 =

{x, se x 0;x, se x< 0.

O domnio da funo valor absoluto Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = [0,+); veja oitem (a) da figura abaixo.

Funo raiz quadrada a funo definida por f (x) =

x, x 0. O domnio da funo raiz quadrada Dom( f ) =

[0,+) e sua imagem Im( f ) = [0,+); veja o item (b) da figura abaixo.

Funo raiz cbica a funo definida por f (x) = 3

x, x R. O domnio da funo raiz cbica Dom( f ) = R e

sua imagem Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.

35 / 258

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R Dom( ) =

x0

f

Im( ) = f

y = 3 x

R

R

y

x

y

0

y = x

f

Im( ) = [0, + )f 88Dom( ) = [0, + )

(a) (b) (c)

Funo polinomial de grau n a funo definida por f (x)= a0xn+a1xn1+ +an, xR, onde a0,a1, . . . ,an so constantesreais, a0 6= 0 e nN{0}. O domnio da funo polinomial Dom( f )=R, porm, sua imagemdepende de n.

Casos particularesa. f (x) = xn, n N:

i. Se n par, sua imagem Im( f ) = [0,+), seu grfico simtrico em relao aoeixo y com formato geral de uma parbola, y = x2, embora no sejam realmenteconsideradas assim quando n > 2, e cada grfico passa pelos pontos (1,1) e(1,1); veja o item (a) da figura abaixo.

ii. Se n mpar, sua imagem Im( f ) = R, seu grfico simtrico origem comformato geral de uma cbica y = x3, e cada grfico passa pelos pontos (1,1)e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo.

iii. Quando n cresce, no intervalo (1,1) os grficos ficam mais achatados e nosintervalos (,1) e (1,+) cada vez mais prximos ao eixo y;

b. Funo quadrtica ou funo polinomial de 2 grau: f (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. Ogrfico desta funo uma parbola de vrtice

( b

2a,c b

2

4a

).

i. Se a> 0, a parbola se abre para cima e Im( f ) =[c b

2

4a,+

); veja o item (c)

da figura abaixo.

ii. se a< 0, a parbola se abre para baixo e Im( f ) =(,c b

2

4a

]; veja o item (d)

da figura abaixo.

iii. O valor mximo ou mnimo da funo ocorre no vrtice, isto , f( b

2a

)=

c b2

4a o valor mximo ou mnimo da funo.

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = x5

R

R

y = x3

Dom( ) =

x

y

0

f

f

y = x4

Ry = x2

8

(a) (b)

x

y

0 b2a

b2

4ac

x

y

0 b2a

b2

4ac

Im( ) = [0, + )

(c) (d)

y = x6

y = x7

36 / 258


Funo racional a funo definida por

f (x) =a0xn+a1xn1+ +anb0xm+b1xm1+ +bm , x R.

Esta funo o quociente dos polinmios P(x) = a0xn+ a1xn1 + + an e Q(x) = b0xm+b1xm1+ +bm, onde a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm so constantes reais, a0,b0 6= 0 e n,mN{0}. O domnio da funo racional Dom( f ) = {x R : Q(x) 6= 0} R\{x R : Q(x) = 0}.Casos particulares

a. f (x) =1xn

, n N:i. Se n mpar, o domnio da funo Dom( f ) = R\{0}, sua imagem Im( f ) =R\{0}, seu grfico semelhante ao grfico de y= 1

xe cada grfico passa pelos

pontos (1,1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaixo;ii. Se n par, o domnio da funo Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem Im( f ) =

[0,+) e seu grfico semelhante ao grfico de y =1x2

, e cada grfico passa

pelos pontos (1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo;iii. O fato de x /Dom( f ) implica que o grfico tem uma quebra na origem. Por esse

motivo, zero denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito ser vistono Captulo 4;

iv. Quando n cresce, nos intervalos (,1) e (1,+), os grficos ficam mais acha-tados e nos intervalos (1,0) e (0,1) cada vez mais prximos ao eixo y:

b. f (x) =1

1+ xn, n N:

i. Se n mpar, o domnio da funo Dom( f ) =R\{1}, sua imagem Im( f ) =R \ {0} e seu grfico tem um comportamento semelhante curva mostrada noitem (c) da figura abaixo;

ii. Se n par, o domnio da funo Dom( f ) = R, sua imagem Im( f ) = (0,1] eseu grfico tem um comportamento semelhante curva mostrada no item (d) dafigura abaixo.

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = \ {0} f R

R

1x

(a)

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = [0, + )f

R

8

1x2

(b) (c) (d)

x

y

0

Dom( ) = \ { - 1} f

Im( ) = \ {0} f R

R

-1

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

Funo algbrica qualquer funo construda a partir de polinmios por meio de operaes algbricas (adio,subtrao, multiplicao, diviso ou extrao de razes). Todas as funes racionais so algbri-cas, porm existem outras funes mais complexas inclusas nesse conjunto. Os grficos dessetipo de funo variam amplamente e, assim sendo, difcil fazer afirmaes sobre elas, veja ositens (a), (b) e (c) da figura abaixo.

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x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = [0, + )f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x2/3(x+2)2

(c)

3

4

8

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x(1 - x)2/5

R

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = - 3 4, +f

R

1 2 3

5

10

-3 -2 -1

-5

y = 3x1/3(2+ x)

(b)

15

20

8

(a)

94[ )

Funo trigonomtricaExistem 6 funes bsicas trigonomtricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).Os grficos das funes seno e cosseno so mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),respectivamente.

x

y

0

1

-1

y = sen(x)

(b)(a)

2

23

2

2

23

2

x

y

0

1

-1

y = cos(x)

2 23 2

2232

Dom( ) = f R Im( ) = [-1, 1]f

Funo exponencial da forma f (x) = ax, onde a base a> 0 uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos, odomnio Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = (0,+). Os grficos para as bases 2, 3, 5, 7so apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.

Dom( ) = (0,+ )f 8

(a)

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = (0,+ )f

R

1

y = 7-x

y = 5-x

y = 3-x

y = 2-x

8

x

y

0

Im( ) = f R

1

y = log2 x

x

y

0

1

(b)

y = 7x

y = 5x

y = 3x

y = 2x

(c)

y = log3 x

y = log5 x

y = log7 x

Funo logartmica da forma f (x) = logax, onde a base a > 0 uma constante positiva e a 6= 1. Esta funo a inversa das funes exponenciais. Em todos os casos, o domnio Dom( f ) = (0,+) e suaimagem Im( f ) =R. O item (c) da figura acima mostra os grficos da funo logartmica paraa= 2, 3, 5, 7.

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Funo sinal denotada por sgn(x), x R, leia-se sinal de x e est definida por

sgn(x) =

1, se x< 0;0, se x= 0;1, se x> 0.

O domnio da funo sinal Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = {1,0,1}. Seu grfico apresentado no item (a) da figura abaixo.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

-2

-3

y = x

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = {-1, 0, 1} f

R

y = sgn(x)

(a) (b)

Funo maior inteiro denotada por bxc, x R, leia-se maior inteiro de x e est definida por

bxc= n se, e somente se, n x< n+1, n ZIsto , bxc representa o maior nmero inteiro que no supera x. O domnio da funo maiorinteiro Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = Z. Seu grfico apresentado no item (b) dafigura acima.

Propriedades da funo maior inteiroa. x1< bxc x, x R;b. Se n Z bx+nc= bxc+n, x R;c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a funo permanece cons-

tante `=1|a| .

Exemplo 2.3Dada a funo maior inteiro bxc:

a. Se x= 3,1415 bxc= 3; b. Se x= 3 bxc= 3;

c. Se x=1,25 bxc=2; d. Se x [2,1) bxc=2;

e. Se x [1,0) bxc=1; f. Se x [0,1) bxc= 0;

g. Se x [1,2) bxc= 1.

39 / 258

Exemplo 2.4Esbocemos os grficos das seguintes funes:

a. f (x) = b3xcSoluo

Pela definio, b3xc = n n 3x < n+ 1 n3 x < n

3+

13

. O grfico desta funo apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a funo perma-

nece constante `=13

.

b. f (x) =x

3

Soluo

Pela definio,x

3

= n n x

3< n+ 1 3n 3 < x 3n. O grfico desta

funo apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a funo

constante `=113 = 3.

x

y

-1 3 3

0 1 2 1

-1

-2

-3

3 3

2 1

y = 3x

x

y

0

1

2

-9

-1

-2

-3

3 6

y =

9

-6 -3

x3

(a) (b)

1

2

2.1.3 Funo par e funo mpar

Definio 2.3

i. Uma funo f :RR chamada par se para todo x Dom( f ) se verificax Dom( f )e f (x) = f (x).

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x

y

0

y = xn

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = [0, + )f

R

8

1xn

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

y = 1

xn+1

Figura 2.1: Em todos os grficos de funes pares n par.

ii. Uma funo f : R R chamada mpar se para todo x Dom( f ) se verifica x Dom( f ) e f (x) = f (x).

x

y

0

y = x

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = n x

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = xn

R

R

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = \ {0} f R

R

1xn

Figura 2.2: Em todos os grficos de funes mpares n mpar.

Nota

a. O grfico de toda funo par simtrico em relao ao eixo y, uma vez que f (x) =f (x), um ponto (x,y) estar no grfico se, e somente se, o ponto (x,y) estiver nogrfico. Uma reflexo atravs do eixo y no altera o grfico.

b. O grfico de toda funo mpar simtrico em relao origem, uma vez que f (x) = f (x), um ponto (x,y) estar no grfico se, e somente se, o ponto (x,y) estiver nogrfico.

c. Um grfico simtrico em relao origem se uma rotao de 180 em relao origem no altera o grfico.

2.1.4 Funo peridica

Definio 2.4Uma funo f : R R dita peridica se existe um nmero real t 6= 0 tal que para todox Dom( f ) se verifica:

i. x+ t Dom( f );ii. f (x+ t) = f (x).

O menor valor de t tal que os itens acima sejam verificados denominado de perodo de f .

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Exemplo 2.5As seguintes funes so peridicas:

a. f (x) = xbxc , x R. De fato, notamos que f (x+1) = (x+1)bx+1c= x+1 (bxc+1) =xbxc= f (x) e desde que no existe outro nmero real t tal que 0< t < 1 e que seja o perodode f , assim f de perodo 1; veja o item (a) da figura abaixo.

x

y

1

-1

f(x) = |sen(2x)|

-2

-2

x

y

0

1

-3 1 2

f(x) = x x

3-2 -1-4 4

(a) (b)

-1

Dom( ) = f Im( ) = [0, 1] fR

b. f (x) = |sen(x)|, x R. Afirmamos que o perodo de f t = pi . De fato, f (x+pi) = |sen(x+pi)|= | sen(x)|= |sen(x)|= f (x); veja o item (b) da figura acima.

2.1.5 Funo crescente e funo decrescente

Definio 2.5Seja f uma funo definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.

i. Se f (x2)> f (x1) sempre que x1 < x2, ento, dizemos que f crescente em I; veja o item(a) da figura abaixo.

x

y

a bx1 x2

f(x1)

f(x2)

0

Ix

y

a bx1 x2

f(x2)

f(x1)

0

I

ii. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, ento, dizemos que f decrescente em I; veja oitem (b) da figura acima.

NotaUma funo crescente se seu grfico ascendente e decrescente se seu grfico des-cendente, em ambos casos, da esquerda para a direita.

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Exemplo 2.6A funo f (x)= |x24|, veja grfico abaixo, crecente nos intervalos [2,0] e [2,+), e decrescentenos intervalos (,2] e [0,2].

x

y

f(x) = | x2- 4 |

-2 2

4

2.1.6 Funo definida por partes

Definio 2.6Uma funo f :RR definida por partes se ela descrita por funes diferentes em partesdiferentes de seu domnio.

f (x) =

f1(x), se x I1;f2(x), se x I2;

......

fn(x), se x In;onde Ii Dom( fi), i, Dom( f ) =ni=1 Ii e Ii I j = /0, i, j {1,2, . . . ,n}, i 6= j.

Exemplo 2.7A funo

f (x) =

(x+1)2+1, se x (,1);|x|, se x [1,1);1, se x [1,pi);

cos(x), se x [pi,+); definida por partes, com Dom( f ) = (,1) [1,1) [1,pi) [pi,+) = R, e na figura abaixopodemos ver seu grfico.

x

y

1

-1

f(x)

-1 1

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2.2 Funo injetora, sobrejetora e bijetora

Nesta seo, apresentamos trs conceitos muito importantes para funes: injetividade, sobrejetivi-dade e bijetividade.

Definio 2.7Seja f : A B uma funo. Diz-se que:

i. f injetora se f (x1) = f (x2), implica que x1 = x2 para todo x1,x2 Dom( f ). Ou equi-valentemente, x1,x2 Dom( f ), com x1 6= x2, temos que f (x1) 6= f (x2).

ii. f sobrejetora ou sobre se para todo y B existe x A tal que f (x) = y. Em outraspalavras, f : A B sobrejetora se Im( f ) = B.

iii. f bijetora se, e somente se, f injetora e sobrejetora.

Nota

a. A funo injetora tambm conhecida como funo univalente ou um a um, j queexiste uma correspondncia um para um entre os elementos do domnio e a imagem.

b. Geometricamente, uma funo definida por y = f (x) injetora se, ao traar retasparalelas ao eixo x, essas intersectam o seu grfico em no mais de um ponto; vejafigura a seguir.

x

y

0

y

Exemplo 2.8

a. A funo f : R R definida por f (x) = 3x+ 2, injetora. De fato, se f (x1) = f (x2) 3x1+2 = 3x2+2 3x1 = 3x2 x1 = x2. Alm disso, f sobrejetora desde que se y R,existe x =

y23

tal que f (x) = f(y2

3

)= 3

(y2

3

)+ 2 = y. Portanto, podemos concluir

que f bijetora.

b. A funo f : R [0,+) definida por f (x) = x2 sobrejetora pois Im( f ) = [0,+). Porm,no injetora, pois x1 = 2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto , f (2) = 4 = f (2).Portanto, f no bijetora.

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2.2.1 Operaes com funes

Da mesma forma que fazemos operaes aritmticas com nmeros, podemos realizar este tipo deoperaes entre funes, produzindo outras novas.

Definio 2.8Sejam f e g duas funes reais de variveis reais com domnios Dom( f ) e Dom(g). Diz-se quef e g so iguais se:

i. Dom( f ) = Dom(g);

ii. f (x) = g(x), x Dom( f ) = Dom(g).

Exemplo 2.9As funes

a. f (x) = 4x36 e g(x) =(64x3) so iguais desde que Dom( f ) =Dom(g) =R e f (x) = g(x).b. f (x) =

(x2)(x5) e g(x) = x2x5 so diferentes, pois Dom( f ) = (,2]

[5,+) e Dom(g) = [5,+), ou seja, Dom( f ) 6= Dom(g).

Definio 2.9Sejam f e g duas funes reais de varivel real com domnios Dom( f ) e Dom(g), respectiva-mente. Define-se:

A funo soma

( f +g)(x) := f (x)+g(x), x Dom( f +g) = Dom( f )Dom(g).A funo diferena

( f g)(x) := f (x)g(x), x Dom( f g) = Dom( f )Dom(g).A funo produto

( f g)(x) := f (x) g(x), x Dom( f g) = Dom( f )Dom(g).A funo quociente(

fg

)(x) :=

f (x)g(x)

, x Dom(fg

)= Dom( f ) (Dom(g)\{x : g(x) = 0}) .

A funo valor absoluto

| f |(x) := | f (x)|, x Dom(| f |) = Dom( f ).A funo produto de uma constante por uma funo

(c f )(x) := c f (x), x Dom(c f ) = Dom( f ),onde c R uma constante real .

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Exemplo 2.10

Sejam f (x) =

9 x2 e g(x) =x2 14 . Encontremos as regras de correspondncia das funes:

f +g, f g, f g, 8g,(fg

), |g|.

SoluoCaculemos os domnios:

Dom( f ) ={x R : 9 x2 0}= [3,3];

Dom(g) ={x R : x2 1

4 0}=

(,1

2

][

12,+

);

Dom( f )Dom(g) =[3,1

2

][

12,3]

a. ( f +g)(x) = f (x)+g(x) =

9 x2+x2 14 , x [3,12 ] [12 ,3];

b. ( f g)(x) = f (x)g(x) =9 x2x2 14 , x [3,12 ] [12 ,3];

c. ( f g)(x) = f (x) g(x) =9 x2 x2 14 , x [3,12 ] [12 ,3];

d. (8g)(x) =8g(x) =8x2 14 , x (,12 ] [12 ,+);

e.(fg

)(x) =

f (x)g(x)

=

9 x2x2 14

, x [3,12) (12 ,3];

f. |g|(x) = |g(x)|=x2 14=x2 14 , x (,12 ] [12 ,+).

2.3 Composio de funes

A composio outra forma de combinar funes, esta operao no tem analga direta na aritmticausual.

Definio 2.10Sejam f : A B e g : BC duas funes reais tais que Im( f )Dom(g) 6= /0. A composiode g com f , denotada por g f , a funo g f : AC definida por:

(g f )(x) := g( f (x)).O domnio da funo composta g f dado por

Dom(g f ) = {x R : x Dom( f ) e f (x) Dom(g)} .

Na seguinte figura, ilustramos a funo composta g f

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A B C

Dom( f )

g f

Dom( g )

f (g(x))

f g

NotaFalando de forma informal, a operao de composio de duas funes a operao desubstituir a varivel dependente da sua definio pela funo que a precede.

Exemplo 2.11Sejam as funes f (x) = 2x6 e g(x) =x. Encontremos g f e f g.Soluo

a. (g f )(x) = g( f (x)) = g(2x6) =2x6,logo, o domnio da g f

Dom(g f ) = {x R : x Dom( f ) e f (x) Dom(g)}= {x R : x R e 2x6 0}= [3,+)

b. ( f g)(x) = f (g(x)) = f (x) = 2x6,logo, o domnio da f g

Dom( f g) = {x R : x Dom(g) e g(x) Dom( f )}= {x R : x 0 ex R}= [0,+)

A seguinte figura ilustra cada uma destas composies.

x

y

0

-4

-6

-2

1 5 6 9

x

(g f )(x) = 2x-6

y

3 540

(f g )(x) = 2 x - 6

2

2

NotaDeste exemplo, podemos concluir que a composio de funes no comutativa, isto ,g f e f g, em geral, so diferentes.

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Exemplo 2.12Sejam as funes

f (x) ={

x2 se x< 1;x3 se x 2; g(x) =

{ x se x< 2;2x se x 4.

Encontremos f g.Soluo

Neste caso cada uma das funes definida por partes:

f (x) ={

f1(x) se x Dom( f1);f2(x) se x Dom( f2); g(x) =

{g1(x) se x Dom(g1);g2(x) se x Dom(g2).

Logo, o domnio de f g ser obtido analisando todas as combinaes possveis de f1, f2, g1 eg2, isto :

a. f1 g1:

Dom( f1 g1) = {x R : x Dom(g1) e g1(x) Dom( f1)}= {x R : x (,2) e x (,1)}= {x R : x (,2) e x (1,+)}= (1,2)

Ento, ( f g)(x) = f1(g1(x)) = f1(x) = x2, x (1,2).b. f1 g2:

Dom( f1 g2) = {x R : x Dom(g2) e g2(x) Dom( f1)}= {x R : x [4,+) e 2x (,1)}=

{x R : x [4,+) e x (, 1

2)

}= /0

Portanto, neste caso a composio f1 g2 no esta definida.c. f2 g1:

Dom( f2 g1) = {x R : x Dom(g1) e g1(x) Dom( f2)}= {x R : x (,2) e x [2,+)}= {x R : x (,2) e x (,2]}= (,2)

Ento, ( f g)(x) = f2(g1(x)) = f2(x) = x3, x (,2).d. f2 g2:

Dom( f2 g2) = {x R : x Dom(g2) e g2(x) Dom( f2)}= {x R : x [4,+) e 2x [2,+)}= {x R : x [4,+) e x [1,+)}= [4,+)

Ento, ( f g)(x) = f2(g2(x)) = f1(2x) =8x3, x [4,+). Portanto,

( f g)(x) =

x2, se x (,2);x3, se x (1,2);8x3, se x [4,+).

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Propriedades da composio de funesSejam f ,g e h funes reais com domnios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Entose verifica que:

a. ( f g)h= f (gh)b. f Id = f = Id fc. ( f +g)h= f h+ghd. ( f g)h= f hghe. ( f g)h= ( f h) (gh)

f.(fg

)h= f h

gh

2.4 Funo inversa

Dada uma funo f : A B, gostaramos de saber como o efeito de uma funo pode ser invertidopara enviar o resultado de volta e obter o valor de onde veio. Nossa resposta seria: se f (x) = y, ento,x= f1(y), mas no necessariamente sempre obtemos uma funo.

De fato, sempre temos alguma das duas possibilidades: f injetora ou f no injetora.

Se f no injetora, existem pelo menos dois elementos x1,x2 A tais que:

f (x1) = y e f (x2) = y ento x1 = f1(y) e x2 = f1(y).

Portanto, a (relao) inversa de f , f1, no uma funo de B em A.

Se f : A B injetora, ento a inversa f1 : B A uma funo injetora e chamada de funoinversa de f

Ambos casos so apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo, respectivamente. No item (c) apresentada a interpretao da funo inversa.

f

(a) (b)

x1

x2

y

f -1

A Bf

x1

x2

f -1

A B

y1

y2

(c)

Bf

f -1(y) = x

f -1

A B

y = f(x)

Propriedades da funo inversaSeja f uma funo. Ento:

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a. f tem inversa se, e somente se, f for injetora;

b. Se f1, a inversa de f , existe. Ento:

i. Dom( f1) = Im( f );ii. Im( f1) = Dom( f );

iii. ( f1 f )(x) = x, x Dom( f );iv. ( f f1)(y) = y, y Dom( f1);v. os grficos de y = f (x) e y = f1(x) so simtricos com respeito reta L : y = x;

veja o item (a) da figura abaixo.

c. Sejam as funes f e g injetoras. Se existe g f , ento (g f )1 = f1 g1.

y = f -1(x)

y = f (x)0

L: x=y

x

y

y = f -1(x)

y = f (x)

0

L: x=y

x

y

(a) (b)

NotaSeja f uma funo real definida por y= f (x) a qual tem funo inversa f1. Para encontrara regra de correspondncia da f1, colocamos x em evidncia em termos da varivel y.Assim, obtemos x = f1(y); porm a conveno de representar a varivel independentepor x e a varivel dependente por y, faz com que escrevamos f1 em funo de x, isto ,trocando as variveis x e y em x= f1(y), para obter y= f1(x).

Exemplo 2.13Encontremos a funo inversa da funo f (x) = 5x3, se x [0,6].Soluo

Verificamos que f (x1) = f (x2) 5x13 = 5x23 x1 = x2, assim, f injetora. Por outrolado, desde que y= f (x), ento y= 5x3, x [0,6]. Pondo em evidncia a varivel x obtemosque x=

y+35

, para x [0,6], logo, determinamos a variao da varivel y

x=y+3

5 [0,6] 0 y+3

5 6 0 y+3 303 y 27 y [3,27]

Assim, x =y+3

5, para y [3,27], permutamos x por y, isto , y = x+3

5, para x [3,27].

Portanto, f1(x) =x+3

5, para x [3,27].

No item (b) da figura acima podemos ver os grficos de f e f1.

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2.5 Recapitulando

Neste captulo, apresentamos o importante conceito de funo com o intuito de fazer com que o alunodetermine com preciso o domnio, a imagem e o grfico de uma funo real dada; estes conceitostambm foram abordados e foram apresentados diversos exemplos ilustrando esses tpicos.

Nas sees subsequentes, apresentamos alguns casos particulares de funes, com as quais vamos alidar no decorrer deste livro, assim como as operaes aritmticas e composies que as envolvem.Por ltimo, e no menos importante, a teoria sobre a inversa de uma funo foi apresentada.

No prximo captulo, apresentaremos as noes bsicas sobre limites, o qual nos permitir definircom presciso a noo de continuidade, a qual uma das ideias mais importantes e mais fascinatesde toda a matemtica.

2.6 Atividades

1. Seja f a funo definida por:

i. f (x) = x25x+3. ii. f (x) =2x2+1.

iii. f (x) =x33x2+ x2

4x2 x5 . iv. f (x) =

|x|x, se x 6= 0;

1, se x= 0.

Em cada caso, calcule f (0), f (2), f (13).2. Se f (x) = ax+b tal que f (3) = 1 e f (3) = 6, encontre f (x).3. Sejam f e g funes definidas por:

f (x) ={

1, se 0 x 1,2, se 1< x 2; e g(x) = f (2x)+ f (x2).

Encontre Dom(g).

4. Sejam f e g funes definidas por:

f (x) ={

x2, se |x|< 1x, se |x| 1. e g(x) =

{1 x, se |x| 2x, se |x|< 2.

Encontre ( f +g)(x),(fg

)(x) e esboce seus respectivos grficos.

5. Seja f : Dom( f ) [0,1] definida por:

i. f (x) =|x|x

. ii. f (x) = 2+ x x2. iii. f (x) = x1x3.

Em cada caso, determine Dom( f ).

6. Seja f : Dom( f ) (2,6] definida por f (x) = x24x+1. Determine Dom( f ), e verifique sef injetora e sobrejetora.

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7. Determine Dom( f ) das seguintes funes:

i. f (x) =x x3. ii. f (x) = 3xbxc.

iii. f (x) = 4x2+4x12+ 3x

2

4

20+ x x2 .

8. Seja a funo f definida por:

i. f (x) =

x24x2 , se x 6= 2;

3, se x= 2.ii. f (x) =

{ |4 x2|, se |x|< 3;5, se |x| 3.

iii. f (x) =

(x1)3, se 0 x< 2;10 x2, se 2 x 3;2, caso contrrio .

iv f (x) = (xbxc)2.

Em cada caso esboce o grfico de f , determine Dom( f ) e Im( f ).

9. Verifique se as seguintes funes so pares ou mpares:

i. f (x) =x3+ x. ii. f (x) = |x|+4x2.iii. f (x) = x|x| . iv. f (x) =x

32x2.

10. Sejam f (x) = x3+2 e g(x) = x+a, determine o valor de a tal que ( f g)(3) = (g f )(a1).11. Sejam f e g duas funes, determine f (x) se:

i. g(x) = 1 x2 e f (g(x)) =1 x2. ii. g(x) = 2x+3 e f (g(x)) = 4x2+12x+9.

12. Sejam f e g funes definidas por:

f (x) ={

x+2, se x| 1x1, se x> 1. e g(x) =

{x2, se x< 0

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