FACULDADE ASSIS GURCACZ RESISÊNCIA DOS MATERIAIS Professor: Suedêmio de Lima Silva

Lista de Exercício 1 – Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto B como indicado. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra. Resp.: σAB = 42,4 MPa σBC = 35,7 MPa

2 – No problema 1, determine a intensidade da força P para que a tensão normal seja a mesma em ambas as barras. Resp.: 22,5 kN 3 – Três pranchas de madeira são unidas por uma série de parafusos, formando uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é 12 mm, e o diâmetro interno de cada arruela é de 15 mm, que é ligeiramente maior que os furos das pranchas. Sabendo-se que o diâmetro de cada arruela é d = 30 mm, e que a tensão de esmagamento média não deve exceder a 5 MPa, determine a máxima tensão normal admissível em cada parafuso. Resp.: 23,4 MPa

4 – Para a estrutura do problema 3, determine o diâmetro externo d necessário para as arruelas, sabendo-se que a tensão normal axial em cada parafuso é 20 MPa e que a tensão normal de esmagamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5 MPa. Resp.: 28,3 mm 5 – Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção transversal uniforme, de área igual a 800 mm2, determine a intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa. Resp.: a) 62,7 kN b)33,1 kN

(a)

(b)

6 – Cada uma das quatro hastes verticais, ligadas às duas barras horizontais, tem uma seção transversal retangular uniforme de 10 x 40 mm e os pinos têm diâmetro de 14 mm. Determine o máximo valor da tensão normal média, causada pela carga de 24 kN, nas hastes conectadas pelos (a) pontos B e E; (b) pontos C e F. Resp.: σBE = -18,75 MPa σCF = 48,75 MPa

7 – Para a treliça e carregamento mostrado, determine a tensão normal na barra AD. Sabe-se que a área da seção transversal da barra é de 1200 mm2. Resp.: σAD = 158,4 MPa

8 – No guindaste marítimo, a barra de ligação CD tem uma seção transversal uniforme de 50 x 150 mm. Para o carregamento mostrado, determine a tensão normal na parte central desta barra. Resp.: σCD = 195,3 MPa

9 – Duas pranchas de madeira, cada uma com 15 mm de espessura e 200 mm de largura, são unidas por uma respiga de união colada, como indicado. Sabendo-se que esta junta irá falhar, quando a tensão de cisalhamento média na cola atingir 900 kPa, determine o comprimento necessário d, se a junta deve resistir a uma carga axial de intensidade P = 4 kN. Resp.: d = 42,3 mm

10 – As barras AB e BE da treliça mostrada são da mesma liga metálica. Sabe-se que uma barra de 20 mm de diâmetro desta mesma liga foi testada até a falha e foi registrada uma carga máxima de 150 kN. Usando um coeficiente de segurança igual a 3,2, determine qual o diâmetro necessário para (a) a barra AB; (b) a barra BE. Resp.: a) 29,2 mm b) 32,7 mm

11 – Uma haste de poliestireno, de comprimento 300 mm e diâmetro 25,4 mm, é submetida a uma carga de tração de 3560 N. Sabendo-se que E = 3,1 Gpa, determinar: (a) o alongamento da haste; (b) a tensão normal na haste. Resp.: a) 6,81 x 10-4 m b) 7,04 MPa 12 – Um arame de aço de 60 m de comprimento não deve alongar-se mais do que 48 mm, quando é aplicada uma tração de 6 kN. Sendo E = 200 Gpa, determinar: (a) o menor diâmetro que pode ser especificado para o arame; (b) o correspondente valor da tensão normal.

Resp.: a) d = 6,91 mm b) 160 MPa 13 – Um arame de 80 m de comprimento e diâmetro de 5 mm é feito de um aço com E = 200 Gpa e tensão última de 400 Mpa. Se um coeficiente de segurança de 3,2 é desejado, qual e: (a) a maior tração admissível no arame; (b) o correspondente alongamento do arame? Resp.: a) 2,45 kN b) 50,0 mm 14 – Num arame de alumínio de 4 mm de diâmetro, é observado um alongamento de 25 mm, quando a tração no arame é de 400 N. Sabendo-se que E = 70 GPa e, que a tensão última para o alumínio é de 110 MPa, determinar: (a) o comprimento do arame; (b) o coeficiente de segurança. Resp.: L = 55,0 m b) 3,46 15 – Para a barra composta mostrada a seguir, determinar: (a) a deformação total da barra composta ABC;(b) a deflexão do ponto B; (c) a carga P, para que a deformação total da barra seja –0,2 mm; (d) a correspondente deflexão do ponto B. Resp.: a) –0,1549 mm b) 0,1019 mm c) 44,0 kN d) 0,1222 mm

16 – Uma amostra para ensaio de 5 mm de espessura deve ser cortada de uma placa de vinil (E = 3,10 GPa) e submetida a uma carga de tração de 1,5 kN. Determinar: (a) a deformação total da amostra; (b) a deformação da mesma, na porção central. Resp.: a) 0,795 mm b) 0,484 mm

17 – Para a barra composta do Prob. 15, determinar a maior carga P admissível, se em valores absolutos a deformação total da barra e sua máxima tensão normal não podem exceder a 0,2 mm e 75 MPa, respectivamente. Resp.: 44,0 kN 18 – Para a amostra do Prob. 16, determinar a maior carga P admissível, se a deformação na porção AB e a deformação total da amostra não devem exceder a 0,2 mm e 1 mm, respectivamente. Resp.: 1,89 kN 19 – Os membros AB e BE da treliça mostrada são de barras de aço (E = 200 Gpa) com 25 mm de diâmetro. Para o carregamento mostrado, determinar o alongamento de (a) barra AB; (b) barra BE. Resp.: a) 1,222 mm b) 1,910 mm

AB = Aço BC = Latão EAço = 200 GPa ELatão = 105 GPa

20 – Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, conectadas às duas vigas horizontais, são de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma seção transversal retangular de 10 x 40 mm. Para o carregamento mostrado, determinar a deflexão no: (a) ponto E; (b) ponto F; (c) ponto G. Resp.:a) 80,4 µm b) 209 µm c) 390 µm

22 – Determinar: (a) o torque que causará uma tensão de cisalhamento máximo de 45 MPa no cilindro vazado de aço, como indicado; (b) a máxima tensão de cisalhamento causada pelo mesmo torque T, em um eixo cilíndrico maciço de mesma área e seção transversal. Resp.: a) 5,17 kNm b) 87,2 MPa

23 – Um torque de 1,75 kN⋅m é aplicado ao cilindro maciço mostrado. Determine: (a) a máxima tensão de cisalhamento; (b) o percentual de torque absorvido pelo núcleo de diâmetro 25 mm. Resp.: a) 71,3 MPa b) 6,25%

24 – Os torques são exercidos nas polias A, B e C. Sabendo-se que ambos o s eixos são maciços, determinar a máxima tensão de cisalhamento: (a) no eixo AB; (b) no eixo BC. Resp.: a) 75,5 MPa b) 63,7 MPa

25 – Os torques mostrados são aplicados às polias A, B, C e D. Sabendo-se que todo o eixo é maciço, determine: (a) em qual trecho do eixo ocorre a maior tensão de cisalhamento; (b) a intensidade dessa tensão. Resp.:a) Eixo CD b) 85,9 MPa

26 – O eixo AB tem diâmetro de 30 mm e é feito de um aço, com tensão admissível ao cisalhamento de 90 MPa, enquanto que o eixo BC tem diâmetro de 50 mm e é feito de uma liga de alumínio, com tensão admissível ao cisalhamento de 60 MPa. Desprezando-se o efeito de concentração de tensões, determine o maior torque T que pode ser aplicado em A. Resp.: T = 477 Nm

27 – Pede-se determinar: (a) o torque T que causa um ângulo de torção de 3o no eixo cilíndrico vazado de aço (G = 77 GPa); (b) o ângulo de torção causado pelo mesmo torque, num eixo cilíndrico maciço de mesma área de seção transversal. Resp.: a) T = 8,68 kNm b) 7,8o

28 – Pede-se determinar: (a) o ângulo de torção causado por um torque T de 4500 N⋅m, em um eixo de alumínio maciço e de diâmetro 75 mm (G = 25,5 GPa); (b) idem à parte a, assumindo que o eixo maciço tenha sido substituído por um eixo vazado, com mesmo diâmetro externo e com 25,4 mm de diâmetro interno. Resp.: a) 3,92º b) 3,97º

30 – O motor elétrico exerce um torque de 675 N⋅m sobre o eixo de alumínio ABCD, quando está girando com uma velocidade constante. Sabendo-se que G = 26 GPa e os torques aplicados sobre as polias B e C são tal como mostrado, determinar o ângulo de torção entre (a) B e C; (b) B e D. Resp.:

31 – Resolver o Prob.30, considerando que um furo de 25,4 mm foi broqueado ao longo do eixo. Resp.: a) 1,96º b) 4,30º 32 – Um furo é puncionado em A, numa chapa plástica, por uma força P = 600 N aplicada na extremidade D da alavanca CD, que está rigidamente fixada a um eixo cilíndrico maciço BC. As especificações de projeto estabelecem que o deslocamento em D não poderá exceder a 15 mm, desde o instante em que o punção toca a chapa plástica, até o instante em que ele penetra totalmente. Determinar o diâmetro necessário do eixo BC, quando o eixo é deito de: (a) um aço com G = 77 GPa e τAdm = 80 Mpa; (b) um eixo de alumínio com G = 26 GPa e τAdm = 70 MPa. Resp.: a) d = 22,5 mm b) d = 23,58 mm

33 – Determinar a máxima tensão de cisalhamento em um eixo maciço de 12 mm de diâmetro, que transmite 2,5 kW a uma freqüência de: (a) 25 Hz; (b) 50 Hz. Resp.: a) 46,9 MPa b) 23,5 MPa 34 – Usando uma tensão de cisalhamento admissível de 50 MPa , projetar um eixo maciço de aço para transmitir 15 kW, a uma freqüência de: (a) 30 Hz; (b) 60 Hz. Resp.: a) d = 20,1 mm b) d = 15,94 mm 35 – Uma vez que o eixo vazado de aço mostrado gira a 180 rpm, uma luz estroboscópica para medições indica que o ângulo de torção do eixo é 3º Sabendo-se que G = 77 GPa, determinar: (a) a potência que está sendo transmitida; (b) a máxima tensão de cisalhamento no eixo.

Resp.: a) 18,76 kN b) τmax = 24,2 MPa

36 – O eixo vazado de aço mostrado no Prob. 35 (G = 77 GPa), τAdm = 50 MPa gira a 240 rpm. Determinar: (a) a máxima potência que pode ser transmitida; (b) o correspondente ângulo de torção. Resp.: a) 51,7 kN b) 6,20º 37 – Um eixo maciço de aço (G = 77 GPa), de 3 m de comprimento, transmite 12 kW a uma freqüência de 25 Hz. Determinar o diâmetro necessário do eixo, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa e o ângulo de torção não deve exceder a 10º. Resp.: d = 20,4 mm 38 – Um eixo maciço de aço (G = 77 GPa), de 30 mm de diâmetro, gira com uma freqüência de 30 Hz. Determinar a máxima potência que o eixo pode transmitir, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder a 7,5º. Resp.: P = 50,0 kW 39 – Um cilíndro de alumínio está no interior de um cilíndro de aço. O conjunto é comprimido, axialmente, com a força P, por intermédio de placas rígidas, tal como se indica na figura. O cilíndro de alumínio tem 8 cm de diâmetro; o de aço tem diâmetro externo igual a 10 cm e a força P é de 24 tf. Determinar as tensões no alumínio e no aço. Sendo, para este: EAço = 2100 tf/cm2 e EAL= 280 tf/cm2.

Resp.: σAL = 91,46 kgf/cm2 σAço = 686,32 kgf/cm2

40 – Considere-se um pilar de concreto armado de 2,5 m de altura e seção quadrada de lado igual a 30 cm, armado com quatro barras de aço de 0,5 polegadas, colocadas simetricamente em relação ao eixo vertical. O pilar suporta a carga axial de, de compressão, de 60 tf, aplicada por intermédio de uma placa absolutamente rígida. Sendo, para o aço, E = 2100 tf/cm2 e, para o concreto, E =180 tf/cm2, quais as tensões no aço e no concreto.

Resp.: σAço = 733,71 kgf/cm2 σConcreto = 62,89 kgf/cm2

41 – Um tubo vertical, de aço, cheio de concreto, tem diâmetro externo igual a 90 cm e interno igual a 87 cm. Para o aço, o limite de escoamento é 2400 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança 2,25, para o concreto, a tensão de ruptura é 150 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança, 2,5. Os módulos de elasticidade, do aço e do concreto,respectivamente, são: EAço = 2100 tf/cm2 e EConcreto = 180 tf/cm2. Pede-se a carga máxima, de compressão, que pode ser aplicada ao conjunto. Resp.: 649.159 kgf ou 649,16 tf 42 – A barra da figura é formada de um trecho prismático, de alumínio ( o da direita) e outro, também prismático, de cobre (o da esquerda). A parte de cobre tem seção transversal de área

Ac = 75 cm2; Ec = 1,2 x 106 kgf/cm2 e αc = 16,7 x 10-6 oC-1. A parte de alumínio tem seção

transversal de área AL = 20 cm2; Ec = 0,7 x 106 kgf/cm2 e αAL = 23 x 10-6 oC-1. Sabe-se que à temperatura de 27 oC não há tensões normais na barra; quando se diminui a temperatura, até atingir o valor T, os engastamento se deslocam, aproximando-se um dou outro, de 0,0025 cm. Qual o valor de T, sabendo-se que a esta temperatura a tensão normal no alumínio é de 1700 kgf/cm2. Resp.: -37,93 oC

43- A barra AB, absolutamente rígida, é suspensa por três cabos, como mostra a figura. Os cabos das extremidades são de aço e têm, cada um, 3,23 cm2 de área de seção transversal. O cabo central é de cobre e a área de seção transversal é 9,68 cm2. O comprimento de cada um dos cabos é 213 cm. Sabendo-se que a barra AB permanece na horizontal quando se aplica as duas forças de 5440 kgf, indicadas, e desprezando o peso próprio, pede-se determinar as forças que solicitam cada um dos cabos. Para o aço tem-se EAço = 2100 tf/cm2 e para o cobre ECobre = 1200 tf/cm2. Resp.: FCobre = 5018,75 kgf FAço = 2910,87 kgf

44 – A barra rígida horizontal, AB, é articulada em A e nos pontos D e B, que a ligam às barras CD e EB, tal como se indica na Figura. A barra EB é de aço, tem 1,5 m de comprimento e secção transversal de área igual a 3 cm2; a barra CD é de cobre, tem 1,0 m de comprimento e secção transversal de área igual a 5 cm2. O módulo de elasticidade do aço é 2100 tf/cm2 e o do cobre, 1200 tf/cm2. Quais as tensões normais, nas barras de aço e de cobre, produzidas pela carga de 18 tf que se indica na Figura ? Admite-se que o peso próprio seja desprezível,

Resp.: σCD = 1416,00 kgf/cm2 σBE = 3323,33 kgf/cm2

45 – A barra rígida, AD, é articulada em A e nas extremidades B e D das barras BD, de latão, e DE, de aço, como se indica na figura. A temperatura de BC diminui de 20 oC e a temperatura de ED aumenta de 20 oC. Desprezada a influência do peso próprio e a possibilidade de flambagem, pedem-se as tensões normais nas barras BC e ED. Para a barra de latão, tem-se

ALatão = 6 cm2, ELatão = 0,98 x 106 kgf/cm2 αLatão = 18,7 x 10-6 oC-1 e, para a barra de aço

AAço = 3 cm2; EAço = 2,1 x 106 kgf/cm2 e αAço = 11,7 x 10-6 oC-1

Resp.: σAço = 379,66 kgf/cm2 σLatão = 496,56 kgf/cm2

46 – Um cilindro oco, de aço, está situado em volta de um cilindro de cobre, tal como mostrado na figura. Ao conjunto se aplica, por intermédio de uma placa rígida, a carga axial de 25 tf. A área, da seção transversal do cilindro de aço, é de 20 cm2 e a do cobre, 60 cm2. Determinar o acréscimo de temperatura, para o qual a carga externa é equilibrada só pelos esforços que aparecem no cilindro de cobre. Para o cobre, tem-se ECobre = 1,2 x 106 kgf/cm2

αCobre = 16,7 x 10-6 oC-1; para o aço, EAço = 2,1 x 106 kgf/cm2 αAço = 11,7 x 10-6 oC-1

47 – A barra rígida, horizontal, AB é presa em três fios verticais como se mostra na Fig. O peso próprio das barras é desprezível e não há tensões, antes da aplicação da carga de 12 tf. A barra central é de latão, com 2 m de comprimento, A = 3,5 cm2, E = 0,98 x 106 kgf/cm2 e α = 18,7 x 10-6 oC; a da esquerda é de aço, com 3 m ,de comprimento, A = 1,5 cm2, E = 2,1 x

106 kgf/cm2 e α = 11,7 x 10-6 oC; a da direita é de cobre, com 2,5 m de comprimento, A = 2,0

cm2, E = 1,19 x 106 kgf/cm2 e α = 16,7 x 10-6 oC. Admita- se que, ao aplicar a carga de 12 tf, se acresça, a temperatura das barras, de 22,5°C. Pede-se determinar a tensão em cada fio e. a posição da carga, sabendo-se que, quando assim solicitada, a posição final de AB é horizontal.

Resp.: σAço = 2300 kgf/cm2 σLatão = 1588 kgf/cm2 σCobre = 1496,8 kgf/cm2 X = 0,92 m