DÖNÜŞÜM (ÇARPANLARA AYIRMA) FORMÜLLERİ

2cos.

2cos2coscos

2cos.

2sin2sinsin

bababa

bababa

.2

sin.2

sin2coscos

2cos.

2sin1sinsin

dirbaba

ba

bababa

TEOREM: a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere.

İSPAT

qsnpqpqp

pqqpqp

pqqpqp

cos.2sinsin

cos.sincos.sinsin

cos.sincos.sinsin

Eşitliklerini taraf tarafa toplarsak

(I) bulunur.

p + q = a ve p – q = b diyelim. Bu eşitlikleri taraf tarafa topğladığımız da,

2

bap

2

baq

; çıkardığımızda, buluruz.

Bu değerlei, (I) eşitliğinde yazarsak;

2cos.

2sin2sinsin

bababa

elde edilir.

•Bu eşitlikte, b yerine – b alınırsa,

2

cos.2

sin2sinsinbaba

ba

2cos.

2sin2sinsin

bababa

elde edilir.

Aynı düşünceyle;

qpqpqp

qpqpqp

qpqpqp

cos.cos2coscos

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

eşitliklerini taraf tarafa toplarsak.

(II) elde edilir.

bqp

aqpeşitliklerinden, 2

bap

ve

2

baq

bulunur.

Bu değerleri, ( II ) eşitliğine yazarsak ;

2cos.

2cos2coscos

bababa

bulunur.

qpqpqp

qpqpqp

qpqpqp

sin.sin2coscos

sin.sincos.coscos

sin.sincos.coscos

eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa.

(III) elde edilir.

2

bap

ve değerleri, (III) te yerine yazılırsa;

2

bap

2.

2sin2coscos

bababa

bulunur.

TEOREM: a ve b, herhangi iki reel sayı olmak üzere,

ba

baba

cos.cos

sintantan

ba

baba

sin.sin

sincotcot

ba

baba

cos.cos

sintantan

ba

abba

sin.sin

sincotcot

İSPAT:

ba

abba

b

b

a

aba

cos.cos

cos.sincos.sin

cos

sin

cos

sintantan

ba

baba

cos.cos

sintantan

bulunur.

•

•Bu eşitlikte, b yerine –b alınırsa, ba

baba

cos.cos

sintantan olur.

Buradan; bulunur.

ba

baba

cos.cos

sintantan

ba

abbave

ba

baba

sin.sin

sincotcot

sin.sin

sincotcot

eşitliklerinin doğruluğunu da siz gösteriniz.

1 + sinu, 1 + cosu, 1 + tanu, 1 + cotu, ifadelerini Çarpım Haline Dönüştürme

uu sin2

sinsin1 (Dönüşüm formülünü

uygulayalım.)

u

uuu

uuuu

4sin2

242sin.

24sin2

24cos.

24sin2

22cos.

22sin2

2

bulunur.

uu cos0coscos1 (Dönüşüm formülleri uygulayalım.)

2cos2

2cos.

2cos.

2cos2

2

0cos.

2

0cos2 2 uuuuuu

bulunur.

Bu işlemi aşağıdaki biçimde de yapanbiliriz;

2cos21

2cos21cos1 22 uu

u

bulunur.

uu tan4

tantan1 Dönünüşüm formülünü

uygulayınız

u

u

u

u

u

u

cos4

sin2

cos.2

14

sin

cos.4

cos

4sin

bulunur.

u

u

u

u

u

u

sin4

cos2

sin.2

14

cos

sin.4

sin

4cos

bulunur.

uu cot4

cotcot1

(Dönüşüm formülü uygulayalım.)

BİR ÜÇGENİN AÇILARININ, SİNÜS VE KOSİNÜS TOPLAMININ DÖNÜŞÜMÜ

2cos.

2cos.

2cos4sinsinsin

CBACBA olduğunu

gösterelim.

İSPAT: cos2sinsinsin CA

cBABA

CBA sin2

cos.2

sin2sinsinsin

( I )

CBA dir. ( III )

II ve III teki değerleri, I eşitliğinde yerine yazarsak,

2cos.

2sin2

2cos.

2cos2sinsinsin

CCBACCBA

2cos.

2cos.

2cos4

2cos.

2cos2

2cos

222cos.

222cos2

2cos2

2cos

2cos

2cos2

2sin

2cos

2cos2

CBABACa

BABABABAC

BABACCBAC

bulunur.

ÖRNEKLER

1. Aşağıdaki ifadeleri çarpım durumuna dönüştürelim.

a) cos7a – cos3a b) sin5a + sina + 2sin3a

a) aaaaaa

aa 2sin.5sin22

37sin.

2

37sin23cos7cos

b) aaaaa

aaa 3sin22

5cos.

2

5sin23sin2sin5sin

12cos.3sin2

3sin2cos.3sin2

aa

aaa

aaaa

aa22

2

cos.3sin4cos2.sin2

)11cos2.(3sin2

2. 40cos10sin70sin ifadesinin eşitini bulalım.

ÇÖZÜM

402

1070sin.

2

1070cos240cos10sin70sin

040cos40cos

40cos2

1.40cos2

40sin30sin.40cos2

bulunur.

3.xxx

xxx

cos7cos13cos

sin7sin13sin

ifadesinin sadeleşmiş biçimini bulalım.

ÇÖZÜM:Pay ve paydada, dönüşü formülleri uygulayalım:

xxx

xxx

xxx

xxx

7cos6cos.7cos2

7sin6cos.7sin2

cos7cos13cos

sin7sin13sin

x

x

x

xx

xx7tan

7cos

7sin

16cos27cos

16cos27sin

bulunur

Ters Dönüşümü (çarpımı toplama dönüştürme) Formülleri

TEOREM: a ve b, herhangi iki reel sayı olmak üzere;

bababa

bababa

coscos2

1cos.cos

sinsin2

1cos.sin

bababa

bababa

sinsin2

1sin.cos

coscos2

1sin.sin

İSPAT

bababa

abbaba

abbaba

cos.sin2sinsin

cos.sincos.sinsin

cos.sincos.sinsin

eşitliklerini taraf tarafa toplayalım

eşitliğinden;

bababa sincos2

1cos.sin elde edilir.

bababa

bababa

bababa

cos.cos2coscos

sin.sincos.coscos

sin.sincos.coscos

eşitliklerini taraf tarafa toplayalım

eşitliğinden

bababa coscos2

1cos.cos elde edilir

bababa

bababa

bababa

sin.sin2coscos

sin.sincos.coscos

sin.sincos.coscos

eşitliklerini taraf tarafa toplayalım

bababa coscos2

1sin.sin elde edilir

ÖRNEKLER

1.24

7cos.

24

7sin

ifadesinin eşitini bulalım.

ÇÖZÜM: ters dönüşüm formülünü uygulayalım:

2424

7sin

2424

7sin

2

1

24

7cos.

24

7sin

4

23

2

2

2

3

2

1

4sin

3sin

2

1

olur

2. aaa 2sec245tan45tan olduğunu gösterelim

ÇÖZÜM: Önce, tana + tanb dönüşüm formülünü uygulayalım

aa

aaaa

45cos.45cos

4545sin45tan45tan

Şimdi paydada, cosa . cosb ters dönüşüm formülünü uygulayalım:

aaaa

aa

4545cos4545cos21

90sin45tan45tan

a

aa2sec2

2cos0

2

2cos90cos21

1

3.16

180cos.60cos.40cos.20cos olduğunu gösterelim

ÇÖZÜM:Uygun olan iki çarpanı alarak, ters dönüşüm formülü uygulayalım 60cos.40cos.20cos.80cos80cos.60cos.40cos.20cos

2

1.40cos.2080cos2080cos.

2

1

40cos.60cos100cos.4

1

16

140cos

8

1

16

140cos

8

1

40cos8

1

2

140cos

8

1

40cos8

160cos140cos

8

1

40cos8

140100cos40100cos

2

1.4

1

40cos8

140cos.100cos

4

1

2

1100cos40cos.

4

1