Linguagem Python e Séries de Fourier : Ferramentas

para construção de material de apoio ao docente

Marcos Araquem Scopel [1] , Thayse Adineia Pacheco [1], Karina dos Santos Timboni [1]

Humberto Luz Oliveira[2]

[1]] Instituto Federal de Santa Catarina (IF-SC), Campus Araranguá.[2] Instituto Federal do Rio Grande do Sul (IFRS), Campus Osório

INTRODUÇÃO

O recém criado grupo de pesquisa foi idealizado para atender as demandas do também recente público formado de

acadêmicos do Curso de Licenciatura em Ciências Naturais com Habilitação em Física do IF-SC, Campus Araranguá. A idéia

desenvolvida em nossa linha de pesquisa é a de poder contribuir com o aprimoramento da formação desses acadêmicos, futuros

docentes e/ou pesquisadores, com subsídios diferenciadores que os potencialize para o sucesso em suas carreiras. Nesse sentido

propomos trabalhar com duas poderosas ferramentas, a linguagem de programação Pyhton e as Séries de Fourier.

O enfoque em nosso trabalho foi o de produzir material de apoio ao professor em sala de aula. Nessa fase, geramos scripts

em Python que reproduziram funções periódicas e suas respectivas expansões em Séries de Fourier, scripts de animações que

reproduziram a propagação de ondas, o fenômeno superposição, do batimento e da ressonância.

POR QUE USAR PYTHON ?

Como existem muitas linguagens de programação, essa normalmente é a primeira pergunta. Não há como respondê-la com

brevidade. Mas podemos enumerar alguns pontos fortes que tem influenciado centenas de milhares de novos programadores e

outros tantos experientes nessa área. As motivações mais comuns são [1]:

Qualidade do Software: Python dá enfoque a legibilidade, coerência e qualidade do software, sendo assim é mais fácil de

manter, muito mais que as linguagens de script tradicionais. Além disso, Python tem excelente suporte para mecanismos de

reutilização de código, como a programação orientada a objetos (POO).

Produtividade do desenvolvedor: O Python aumenta a produtividade do desenvolvedor muitas vezes além do que

conseguem as linguagens compiladas ou estaticamente tipadas como C, C++ e Java. O código em Python normalmente tem de

1/3 a 1/5 do tamanho do código equivalente em C++ ou Java. Isso significa uma economia nas etapas de digitação, depuração e

manutenção após o desenvolvimento. Os programas em Python são executados imediatamente, sem as cansativas etapas de

compilação e vinculação de algumas outras ferramentas.

Portabilidade do programa: Portar um código Python entre o unix, linux, windows e mac é apenas uma questão de copiar

o código entre os sistemas operacionais.

Bibliotecas de suporte: O Python vem com um grande conjunto de funcionalidades pré-compiladas e portáveis, conhecidas

como bibliotecas padrão. Essas bibliotecas suportam diversas tarefas de programação como aplicativos em ambientes gráficos

(GUI – Interface Gráfica com o Usuário) utilizando os módulos Tkinter (biblioteca nativo na instalação padrão Python),

programação numérica com uma vasta biblioteca com rotinas numéricas de fácil de utilização e construídas para obter

velocidade em “arrays”. Python pode ser utilizado para programação gráfica e de jogos através da biblioteca pygame.

Processamente de imagens com o pacote PIL, programação de IA com simuladores de redes neurais e muito mais.

Orientado a objetos: É uma linguagem completamente orientada a objetos, seu modelo de classes suporta noções

avançadas, como polimorfismo, sobrecarga de operadores e herança múltipla. Contudo, no contexto da sintaxe e tipagem

simples do Python, a POO é notadamente fácil de aplicar. Python pode ser utilizado como uma espécie de cola em outras

linguagens de programação (C, C++, Fortran, Java), pois há inúmeras implementações que possibilitam um desenvolvimento

de aplicações híbridas que unem o código python com essas linguagens. Um exemplo é a implementação Jython que gera o

bytecode de python em java.

Fig. 1 (a) Onda quadrada. Demais figuras: a onda quadrada descrita pela Série de Fourier para expansões (b) n = 1,

(c) n = 5, (d) n = 31, (e) n = 61 e (f) n = 1001. O aumento no número de termos na expansão melhora a reprodução

da onda original apresentada em (a).

CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS

REFERÊNCIAS

[1] Disponível em: <http://pyscience-brasil.wikidot.com>. Acessado em 14 de abril de 2011.

[2] Sodré, Ulysses. Notas de aulas sobre Séries de Fourier. Disponível em: <www.mat.uel.br/matessencial>. Acessado

em 10 de março de 2011.

[3] Butkov, Eugene. Física Matemática. LTC Editora, 1988.

A função de onda dente de serra é dada por:

(7)

E a sua Série de Fourier é descrita por:

(8)

Fig. 2 (a) Onda dente de serra. Demais figuras: a onda dente de serra descrita pela Série de Fourier para expansões

(b) n = 1, (c) n = 5, (d) n = 31, (e) n = 61 e (f) n = 1001. O aumento no número de termos na expansão melhora a

reprodução da onda original apresentada em (a).

AS SÉRIES DE FOURIER

(1)

(2)

(3)

(4)

Cuja Série pode ser escrita por:

Podemos encontrar o valor dos coeficientes na equação acima encontrando a solução para as integrais:

RESULTADOS

A seguir apresentamos duas aplicações do nosso trabalho, uma para a função onda quadrada (Fig.1) e outra para afunção dente de serra (Fig. 2). A função de onda quadrada é dada por:

Seja f(x) = f(x +2π ) uma função integrável sobre o intervalo [-π, π]. A Série de Fourier de f(x) é uma série trigonométrica do tipo [2,3]:

(6)

(5)

Utilizamos com sucesso o código Python em aplicações de ondulatória. A principal vantagem dessa linguagem é a

sua sintaxe simples que facilita o acesso de programadores iniciantes. As Séries de Fourier descreveram muito bem as

funções ondas quadradas e dente de serra. O ajuste entre elas é melhor quanto maior o número de termos utilizados na

expansão da Série.

Em seguida, aplicaremos a mesma técnica de programação para aplicações em Física da Transformada Discreta de

Fourier.

Pretendemos disponibilizar na internet os resultados do nosso grupo de trabalho para formar um banco de dados de

aplicações dessa programação em problemas de física, matemática e outras áreas que possam auxiliar o professor em

sala de aula. Com o intuito de incentivar a programação em Python iremos disponibilizar o código fonte dos arquivos.