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Lineare Strahlenoptik

von Simon Schlesinger

Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 2

Übersicht

Motivation

Bewegung geladener Teilchen im B-Feld- Klassischer Ansatz

- Herleitung der Bewegungsgleichung

Strahlführungsmagnete- Wirkung der Magnete

- Geometrische Beschaffenheit

Matrizenformalismus- Mögliche Teilchenbahnen

- Beschreibung durch Vektoren+Matrizen

- Beispielkonfiguration: FODO-Element

Zusammenfassung


Motivation

Analogie zur klassischen Optik

Warum nicht „E-Feld Optik“ ?

Einfachheit des Formalismus (Matrizenmultiplikation)

Anwendung:

- Elektronenmikroskop

- Teilchenbeschleuniger (Linear und Ring)

- Massenspektrometer

- …


Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (I)

1. Wahl des KoordinatensystemsTeilchenstrahl in Richtung s: (0,0,v)Magnetfeld in Richtung x und z: (Bx,Bz,0)

2. Kräftegleichgewicht zw. Lorentz- und Zentrifugalkraft

3. Taylorentwicklung

zzzs

zsx

L Bp

eB

mv

e

szxRF

R

mvBevF

),,(

12)(

)(!3

1

!2

1 433

32

2

2

0xOx

x

B

p

ex

x

B

p

ex

x

B

p

eB

p

eB

p

e zzzzz

)(!3

1

!2

11 432 xOoxmxkxR

Dipol Quadrupol Sextupol Oktupol


Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (II)

1. Setze Ursprung des Koordinatensystems auf Orbit und führe Zylinderkoordinaten ein:

2. Zeitliche Ableitungen der Einheitsvektoren:

3. Linearkombination:

Rs

z

tR

tR

s ))(sin(

))(cos(

0100

0)cos()sin(1

0)sin()cos(

0

000

000

T

T

T

dt

d

dz

sd

dt

dz

xR

sx

dt

d

d

sd

Rdt

ds

sR

ss

dt

d

dR

sd

dt

dx

000 zzxxrr

Mit Aufpunkt , für den gilt: 00 ssr 0r


Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (III)Durch Kenntnis von lässt sich die Bewegungsgleichung der

Teilchen nach Newton aufstellen:000 zzxxrr

00

22 '''1'

21''' zszszss

R

xsx

Rx

R

s

R

xsxsxrm

F

000

2

000

12

1

1

ssR

xsx

Rzzx

R

s

R

xxr

ssR

xzzxxr

00

00

00

z

xR

ss

sR

sx

Erinnere Einheitsvektoren:

Mit Hilfe von folgt: sxsxsxsxsxsxdt

ds

ds

dxsx ''''')(' 2


Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (IV)

mFzszszss

R

xsx

Rx

R

s

R

xsxsxr L

!

00

22 '''1'

21'''

R

xsv 1

R

xB

p

e

s

vz

R

xB

p

e

s

v

RR

xx

x

z

1''

11

1''

0''

11''

2

zkz

p

p

Rxk

Rx

Rzx , 1p

pEinsetzen der lin. Näherung für B und Ausnutzen von und liefert:

Koeffizientenvergleich und Vernachlässigung der s-Beschleunigung ergibt dann:

Wobei und ausgenutzt wurden.mvp


Strahlführungsmagnete (I)

Wie muss die Beschaffenheit eines Magneten sein, um ein entsprechendes Feld (1/R, k, m,…) zu erzeugen?

Antwort: Liegt in kl. E-Dyn. begründet, denn nach Maxwell gilt:Alle Punkte auf der Oberfläche besitzen dasselbe Potential!

Geben wir einen Feldverlauf G entlang der x-Achse vor, so erhält man mit Hilfe der Laplace - Gleichung einen Ausdruck für das skalare Potential:

Für konventionelle Eisenmagneten können wir nun neben Geometrie auch die Feldstärkegrößen (1/R, k, m…) bestimmen!

T

zz dz

d

dx

dzxBz

dx

xGdzxGzx

),()(

6

1)(),( 3

2

2


Strahlführungsmagnete (II)

zBzxBxGz 00 ),()(

h

nIB 00

h

nI

p

eB

p

e

R 00

1

Dipolmagnet

•Feldstärkenverlauf auf x-Achse konstant:

•Magnetfeld:

•Dipolmoment:

•Wirkung: Ablenkung unter Radius R


Strahlführungsmagnete (III)

gxzzxgxGz ),(

Quadrupolmagnet

Feldstärke

xa

nIBz 2

02

202

a

nI

p

e

dx

dB

p

ek z

•Feldstärkenverlauf auf x-Achse linear:

•Magnetfeld:

•Quadrupolmoment:

•Wirkung: Bei k<0 Fokussierung zum Orbit bzw. bei k>0 Defokussierung


Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (I)

0'' kxx 01

''2

xR

x

)sin()cos()(:0

)(:0

)sinh()cosh()(:0

skBskAsxk

BsAsxk

skBskAsxk

0''

11''

2

zkz

p

p

Rxk

Rx

Bewegungsgleichung der linearen Strahlenopik:

Nicht gekoppelte DGL, daher betrachte z.B. nur horizontale Richtung (x)

und vernachlässige Impulsunschärfe:

Quadrupol (1/R=0) Dipol (k=0)

R

sB

R

sAsx sincos)(


Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (II)

)cosh(')sinh()('

)sinh('

)cosh()(

00

00

skxskkxsx

skk

xskxsx

sk

0

0

0

')cosh()sinh(

)sinh(1

)cosh(

)('

)(

xM

x

x

kk

sx

sx

k

Beispiel: Quadrupol-Lösung für k>0 mit gelöstem AWP

Setzen wir und schreiben dann in Matrixform:

0'' kxxDie Differentialgleichung liefert dann z.B. die reellen Lösungen:

Mit dieser vektoriellen Beschreibung kennen wir neben der Ablage in x-Richtung auch die Tendenz der Auslenkung (Steigung).


Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (III)

)cosh()sinh(

)sinh(1

)cosh(

kkM k

10

10

sM k

R

s

R

s

R

R

sR

R

s

M Dipol

cossin1

sincos

)cos()sin(

sin)cos(

k

kM k

Analog findet man Matrizen für weitere DGL Lösungen:

• Defokussierung (k>0):

• Fokussierung (k<0):

• Freie Driftstrecke (k=0):

• Ablenkung (Dipol):

sk


Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (IV)

Beschreibung des Teilchens komplett mit 4-Komponentenvektor:

2x2 Matrizen gehen über zu 4x4 Matrizen (vgl. DGL)

System vieler Magnete durch Matrixmultiplikation beschrieben, z.B.:

TzzxxX ''

RMM

MM xz

j

xi

440

0

0112233445 XMMMMMMMMMX DQDQDQDQDE


Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (V)

FODO-Prinzip (Starke Fokussierung)

•Ziel: Möglichst gute Fokussierung eines Teilchenstroms

•Problematik: Ein in x-Richtung fokussierender Quadrupol defokussiert in z-Richtung und umgekehrt!

•Abhilfe: FODO-Optik


Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (VI)

00 )()()()( xmMdMmMdMxMx xk

xd

xk

xdFODOE

FODO-Prinzip (Starke Fokussierung)

•Matrixmultiplikation einer FODO-Zelle:Länge der Driftstrecke: d , Länge eines Magneten: m

•Durch die Kombination von fokussierenden und defokussierenden Quadrupolen erreicht man also eine resultierende Fokussierung zum Orbit!

90°-DrehungQuadrupol


Zusammenfassung

1. Beschreibung der Bewegung von bewegten Teilchen in linearer Näherung gegeben durch:

2. Wirkung + geometrische Beschaffenheit der Führungsmagnete:i) Dipol: Strahlablenkungii) Quadrupol: Strahl(de)fokussierungiii) (Sextupol: Feldfehlerkompensation…)

3. Matrizenformalismus zur systematischen Ablagebestimmung mit Grundmatrizen zur Ablenkung, (De)Fokussierung und freien Driftstrecken bei beliebigen Anordnungen (z.B. FODO).

0''

11''

2

zkz

p

p

Rxk

Rx


Literatur

1. Wille, Klaus – „Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen“ – Teubner

2. http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/GK/Workshop/Beschleunigerphysik2.pdf

3. http://de.wikipedia.org

Vielen Dank

für Aufmerksamkeit und Interesse!

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