Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

De�nition �Seien V, W Vektorräume. Eine Abbildung f : V ! W heißt linear,wenn gilt

(L.�) f ist homogen; d.h. f (↵~v) = ↵ f (~v) für alle↵ 2 R, ~v 2 V,

(L.�) f ist additiv; d.h. f (~u+~v) = f (~u) + f (~v) für alle ~u, ~v 2 V.

Die Eigenschaften L.� und L.� sind äquivalent zu

f (↵~u+ ~v) = ↵f (~u) + f (~v) für alle ↵ 2 R und alle ~u, ~v 2 V.

Man nennt lineare Abbildungen auch lineare Transformationenoder auch lineare Operatoren.

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Beispiel

ProjektionMan zeige, dass die Abbildung T : R� ! R� mit T(x, y, z) = (�, y,�)linear ist.

Diese Abbildung heißt Projektion.

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Abbildungsmatrix

Satz �Gegeben sei eine lineare Abbildung f : Rn ! Rm. Mit der MatrixF = (f (~e�), f (~e�), . . . , f (~en)), deren Spalten aus den Bildern derBasisvektoren bestehen, gilt

f (~x) = F~x.

Man nennt F die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis~e�, ~e�, . . . , ~en.

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Basiswechsel

Substitutions- und TransformationsformelIst {~e�, ~e�, . . . ~en} die Standardbasis und {~b�, ~b�, . . . ~bn} eineweitere Basis des Rn, dann gilt für die Koordinatenvektoren:

~x = B~xB mit der Matrix B =

0

BBB@

b�� b�� . . . b�nb�� b�� . . . b�n. . . . . . . . . . . .

bn� bn� . . . bnn

1

CCCA.

Umgekehrt ergeben sich die Koordinaten ~xb aus den Koordinaten ~xaus der Transformationsformel

~xB = B��~x.

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Koordinatentransformation

Man bestimme die Koordinaten des Punktes P(�; �) im

Koordinatenssystem {~b�;~b�} mit ~b� = ��

!und ~b� =

���

!.

Abbildung �: Punkt P in den Koordinatensystemen

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Hintereinanderausführung von linearen Transformationen

VerkettungEs seien

T� : R� ! R� mit T�(x, y) = (x + y, �x, �y)

undT� : R� ! R� und T�(x, y, z) = (x, x + y, �x � z).

Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung der Abbildung T = T� � T�.

Gilt T� � T� = T� � T�?

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Lineare Abbildungen im R�

Abbildung �: Original, Drehung, Spiegelung

Abbildung �: Steckung/Stauchung, Scherung�/��

Spezielle Transformationen (im R�)

• Drehungen um den Ursprung D =

cos' � sin'

sin' cos'

!,

• Streckung und Stauchung S =

r� �� r�

!, � < r�, r� < 1,

• Spiegelung (an der x-Achse) R =

� �� ��

!,

• Scherung T =

� t� �

!, t 2 R,

• Translation T~u : T~u(~x) = ~x + ~u ist nicht linear.

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Scherung

Abbildung �: Scherung

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Iwasawa-Zerlegung

Satz (Iwasawa-Zerlegung)Jede invertierbare Matrix A 2 GL�(R) lässt sich darstellen alsVerknüpfung einer Rotation, einer Spiegelung, einerStreckung/Stauchung und einer Scherung:

A =

cos(↵) � sin(↵)

sin(↵) cos(↵)

! ±� �� ±�

! sx �� sy

! � t� �

!.

Analoge Zerlegungen gelten für A 2 GLn(K) für beliebiges n undK = R oder K = C.

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A�n-linearer Transformationen

De�nition �Eine a�n-lineare Transformation ist eine Abbildung T : Rn ! Rm,

de�niert alsT(~u) = A~u+ ~b,

mit einer Matrix A und einem festen Vektor ~b.

Eine a�n-lineare Transformation ist eine lineare Transformationgefolgt von einer Verschiebung.

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Fraktale: Barnsley fern

Gegeben seien die folgenden � Transformationen:

T�(x, y) = �, �� �,����,�� �, ��

! xy

!+

��, �

!, p� = �, ��,

T�(x, y) = �, � ��, ���, �� �, ��

! xy

!+

��, �

!, p� = �,��,

T�(x, y) = ��, �� �, ���, �� �, ��

! xy

!+

�

�, ��

!, p� = �,��,

T�(x, y) = � �� �, ��

! xy

!+

��

!, p� = �,��.

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Fraktale: Barnsley fern

Algorithmus

�. Sei x = �, y = �.�. Man nutze einen Zufallszahlengenerator um eine der � a�nenTransformationen Ti gemäß der Wahrscheinlichkeit piauszuwählen.

�. Es sei (x0, y0) = Ti(x, y).�. Plotte (x0, y0).�. Setze (x, y) = (x0, y0).�. Man wiederhole die Schritte �-� ca. ���� mal.

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Fraktale: Barnsley fern

Abbildung �: Barnsley Farn

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Computergra�k/Robotersteuerung

Wie kann man Verschiebungen als lineare Transformationeinbeziehen?

Homogene Koordinaten!

(x, y) 7! (!x : !y : !), ! 6= �

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Homogene Koordinaten

Speziell für ! = � erhält man (x, y)T 2 R� 7! (x, y, �)T 2 R�

Abbildung �: Homogene Koordinaten

Jetzt kann man Verschiebungen (Translationen) in der Ebene alsScherungen im R� realisieren.

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Drehungen im R�

Drehungen im R� werden in Drehungen um die Achsen zerlegt.Drehung um die z-Achse:

Abbildung �: Drehung um z-Achse inx-y-Ebene Abbildung �: Drehung um z-Achse

im Raum

Drehmatrix Dz =

0

B@cos(↵) � sin(↵) �sin(↵) cos(↵) �� � �

1

CA .

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Lineare Transformationen mittels homogener Koordinaten

Sei A =

a�� a��a�� a��

!eine Matrix und ~v =

vxvy

!.

Dann lässt sich die a�n-lineare Transformation

A~x + ~v

als die folgende �⇥ �-Matrix darstellen:0

B@a�� a�� vxa�� a�� vy� � �

1

CA .

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Drehmatrizen für Drehungen im R�

Drehung um die x-Achse

Dx =

0

B@� � �� cos(↵) � sin(↵)

� sin(↵) cos(↵)

1

CA ,

Drehung um die y-Achse

Dy =

0

B@cos(↵) � � sin(↵)

� � �sin(↵) � cos(↵)

1

CA ,

Drehung um die z-Achse

Dz =

0

B@cos(↵) � sin(↵) �sin(↵) cos(↵) �� � �

1

CA .

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Durchführung einer Drehung

Man unterscheidet passive Drehungen; der Körper bleibt am Ort, dasKoordinatensystem wird im mathematisch positiven Sinn gedreht,und aktive Drehungen; das Koordinatensystem bleibt fest und derKörper wird gedreht.

Beschreibt D die passive Drehung, dann beschreibt DT die aktiveDrehung.

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Euler- und Kardanwinkel

�. Euler-Winkel z x0 z00: Standard-x-Konvention: Zuerst wird um diez-Achse gedreht. Dann folgt eine Drehung um die neue x-Achse (x0)und schliesslich eine Drehung um die z-Achse in deren Lage nachden beiden vorherigen Drehungen (z00).

�. Kardan-Winkel z y0 x00: In der Fahrzeugtechnik wird eine andereReihenfolge gewählt „Gier-, Nick- und Roll-Winkel“.Als erstes wird um die z-Achse gedreht, dann um die neue y-Achse(y0) und abschliessend um die erhaltene x-Achse (x00).

Die Abbildung, die den Winkeln die zugehörige Drehmatrix zuordnet,besitzt singuläre Punkte (kritische Punkte), in denen die Zuordnungnicht lokal umkehrbar ist ist. Man spricht dann von einerkardanischen Blockade (engl. gimbal lock). Dieses Problem kanndurch Verwendung von Quaternionen umgangen werden.

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Roboter

Die einzelnen Bauteile eines Roboters sind verbunden durchSchubgelenke oder Drehgelenke.

Abbildung �: Roboter: Puma ���

Roboterarm mit � Drehgelenken. Am Ende des Arms wird einWerkzeug befestigt.

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Denavit-Hartenberg-Transformationsmatrix

Abbildung ��:Denavit-Hartenberg-Konvention

Für die Berechnungbei einem Robotermit mehreren Gelen-ken müssen die DH-Matrizen für jedesGelenk miteinandermulitpliziert werden.

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Robotersteuerung

• Zur Steuerung des Roboters werden über kleine Motoren dieWinkel an den Gelenkachsen geändert.

• Die Lage des Arms ist durch die Winkel eindeutig festgelegt.• Umgekehrt können mehrere Winkeleinstellungen zur gleichenPositionierung des Werkzeugs führen (Mehrdeutigkeit!).

• Das Problem der direkten Kinematik besteht darin, beigegebenen Gelenkwinkeln die Position des Roboterarmes zubestimmen.

• Das Problem der inversen Kinematik besteht darin, zu einervorgeschriebenen Position des Werkzeugs diejenigenGelenkwinkel zu bestimmen, die den Roboterarm in diesePosition bringen.

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Weitere lineare Transformationen

... Abbildungen zwischen Räumen von Polynomen, Ableitungen,Integrale, ....

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Rangsatz

De�nitionFür eine lineare Abbildung f : V ! W, heißt

• die Menge aller ~x 2 V mit f (~x) = ~� heißt Kern der linearenAbbildung f ,

• die Menge aller ~y 2 W, für die mindestens ein ~x 2 V exisitert mit~y = f (~x) heißt Bild der linearen Abbildung f .

Satz (Rangsatz)Für jede lineare Abbildung f : V ! W, gilt

Dim Bild(f ) + Dim Kern(f ) = DimV.

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Lösungsverhalten

Lösung (allgemeiner) linearer GleichungssystemeJede Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich darstellenals

~x = ~xh +~xs,

die Summe aus der allgemeinen Lösung des homogenen Systemsund einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems.

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Literaturverzeichnis

J. Härtig, Praktikumsarbeit, Roboterkinematiken, Direkte- undinverse Koordinatentransformationen, Juli ����,http://www.easy-rob.com/uploads/media/bps-inverse-kinematik-jhaertig.pdf(aufgerufen am ��.��.����)

W. Globke, Vorlesungsfolien, Koordinaten, Transformationen undRoboter,http://www.math.kit.edu/iag�/ globke/media/koordinaten.pdf(aufgerufen am ��.��.����)

A. Prutsch, Vorwissenschaftliche Arbeit,Industrieroboter-Vorwärtskoordinatentransformation, Schuljahr����/��,https://www.schule.at/�leadmin/DAM/Gegenstandsportale/Raumgeometrie/Dateien/ak/VWA/VWA_Prutsch.pdf(aufgerufen am ��.��.����)

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