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Limites Introducción El límite de funciones reales de una variable real. Es el concepto sobre el cual descansan los dos pilares más importantes del cálculo. En efecto, el cálculo diferencial e integral, a veces denominada el “análisis matemático”, trata con cambios infinitesimalmente pequeños de las variables independiente i dependiente de una función. Los cambios ha que se hace referencia se explican matemáticamente utilizando los conceptos de límite i continuidad. Tales conceptos fueron formulados en forma precisa en el siglo XIX, con lo que desapareció su aparente dificultad que adquirió en sus orígenes. La idea de aproximarse a un valor tan cercano como se especifique i aún así nunca alcanzarlo constituye, en esencia, el concepto de límite, el cual también se utiliza frecuentemente en razonamientos ajenos a la matemática, como por ejemplo, en el lenguaje diario cuando se dice “estoy acercándome al limite de mi paciencia”. Tal sentido tiene que ver con el cálculo, pero no mucho. Otro ejemplo, la producción máxima teórica a la que está empeñada una fábrica es un límite que en la práctica nunca se alcanza, pero a la cual es posible aproximarse arbitrariamente. La escuela rusa contemporánea de matemáticas concibe una gran división de la siguiente manera:

1. “Matemática superior” (donde se estudia la idea de límite) 2. “Matemática elemental” (donde no se estudia la idea de límite)

Los calificativos “superior” i “elemental” no son sinónimos de “difícil” i “fácil”

respectivamente. Lo que pasa es que la idea de límite nos proporciona un concepto profundamente imprescindible para la comprensión del análisis matemático. Por el momento se quiere estudiar el comportamiento que tienen las imágenes f(x) de la función f cuando la variable x se encuentra cerca de un valor de x=a; este comportamiento se logra por medio de este concepto. 12.1 Límites Como ejemplo motivador, consideremos la función algebraica definida por

8x224x2x)x(f

2

−−+

= . Note que esta función no está definida para x = 4; sin embargo,

queremos saber qué sucede con f(x) cuando x se aproxima a x = 4. Esta idea se traduce en escribir: ?)x(flim

4x=

→. Para responder a esta pregunta, en primer lugar calculamos los

valores de f(x) cuando x toma valores próximos a 4, pero menores que 4; i en segundo lugar, mayores que 4:

x 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 → 4 ← 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 f(x) 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 → 5 ← 5.05 5.10 5.15 5.20 5.25

2

LIMITES Lic. José L. Estrada P.

Observando la tabla podemos tener f(x) tan cercano a 5 como nosotros queremos, teniendo suficientemente x cerca de 4, por tanto podríamos escribir: 5)x(flim

4x=

→. Dicho de

otra manera, el valor de f(x) se aproxima cada vez más a 5 a medida que x se aproxima cada vez más a 4; de aquí que podemos hacer que el valor absoluto de la diferencia f(x) – 5 sea tan pequeña como se quiera, haciendo que el valor absoluto de la diferencia x – 4 sea suficientemente pequeña. Si representamos estas diferencias con los símbolos ε (epsilon) i δ (delta), entonces podemos decir en forma más precisa que | 5)x(f − | sea menor que ε siempre que |x – 4| sea menor que δ (x ≠ 4). En estas condiciones diremos que 5 es el

límite de la función 8x2

24x2x)x(f2

−−+

= con x ≠ 4, cuando x tiende a 4.

¿Cuál es la gráfica de y = f(x)?. Para ello observemos que las funciones

8x224x2x)x(f

2

−−+

= i 32x)x(g += para x ≠ 4 son iguales, puesto que

( )( )( ) ( )6x

21

4x24x6x)x(f +=

−−+

= , x ≠ 4. La gráfica es la recta expuesta en la figura 1

Fig. 1 Definición 12.2 El número b se llama límite de una función f en el punto a (a no necesariamente ∈ Dom (f)), si para cada ε > 0, existe δ > 0 (que depende de a i ε ) tal que

0 < |x –a| < δ ⇒ |f(x) – b| < ε.

En tal caso, escribiremos b)x(flimax

=→

.

Nosotros asumiremos que a es un punto de acumulación del Dom (f), de manera que a puede no estar en el dominio de f; es decir, f(a) puede estar o no definido. Si )x(flim

ax→

i f(a) existen, pueden ser iguales o diferentes. Por otra parte, la existencia del número real

4

5

4+2ε 4 -2ε x

5+ε

5-ε f(x) •

•

•

4+δ 4 -δ

x

y

Análisis Matemático I

3 positivo δ dependerá de ε que está dado de antemano. Cualquier otro número δ’ con δ’ < δ satisfará igualmente la definición. No es muy fácil familiarizarse con esta definición, ya que a la misma matemática le costó más de un siglo precisarla. Lo que confiere trascendencia al cálculo es el concepto de límite, i esto es, lo que lo diferencia del álgebra. Los ejemplos que vienen a continuación ilustran el uso de la definición para comprobar limites.

Ejemplo. Verificar que efectivamente 58x2

24x2xlim2

4x=

−−+

→

Solución: Como ( )( )( ) 3

2x

4x24x 6x)x(f +=

−−+

= para x ≠ 4, vamos a demostrar que

532xlim

4x=

+

→. En efecto, dado ε > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que 0 < |x – 4| < δ

implique |

+ 3

2x –5| < ε. A propósito empezamos de lo último: |

+ 3

2x –5| =

21 |x – 4|.

Queremos que |f(x) – 5| < ε con la condición de que 0 < |x – 4| < δ. Si elegimos δ = 2ε evidentemente satisface la definición, con lo cual 5)x(flim

4x=

→. Véase nuevamente la figura

1. Note que cualquier x ∈ ⟨4 – δ,4 + δ⟩ su imagen f(x) ∈ ⟨5 – ε, 5 + ε⟩ con δ = 2ε.

Propiedades de los límites

La mayoría de los lectores coincidirán en que demostrar la existencia de límites mediante la definición formal de la sección anterior consume tiempo i es algo difícil. Por esta razón bienvenidos los teoremas de esta sección i las siguientes. Preferimos llamarlos propiedades, i nos servirán eficazmente para calcular límites.

P R O P I E D A D E S

Supongamos que ),x(glim),x(flim

axax →→existen:

1. b)x(f

axlim =→

i c)x(fax

lim =→

⇒ b = c (Unicidad de límite).

2. kkax

lim =→

, k es una constante (Función constante).

3. axax

lim =→

(Función identidad).

4. [ ] )]x(flimax

[k)x(kfax

lim→

=→

, k es una constante (Múltiplo).

5. [ ] )x(g)x(fax

limax

lim)x(g)x(fax

lim→→

=+→

+ (Suma).

4


6. [ ] )x(g)x(fax

limax

lim)x(g)x(fax

lim→→

=−→

− (Diferencia).

7. [ ] )x(g)x(fax

limax

lim)x(g)x(fax

lim→→

=×→

× (Producto).

8. )x(g

axlim

)x(fax

lim

)x(g)x(f

axlim

→

→=→

, 0)x(g

axlim ≠→

(Cociente).

9. [ ]n

axn

ax)x(flim)x(flim

=

→→, n entero. (Potencia).

10. nax

nax

)x(flim)x(flim→→

= , n impar positivo.

Si n par positivo, entonces 0)x(flimax

≥→

(Raíz).

11.

=

→→)x(flimg)x)(fg(lim

axax , siempre que:

b)x(flimax

=→

i )b(g)t(glimbt

=→

(Composición).

Ejemplo 1. Hallar 2x

lim→ 13x

6x32x+

++

Solución:2x

lim→ 13x

6x32x+

++ =

+

++→ 13x

6x32x 2x

lim =

+→

++→

13x 2x

lim

63x2x 2x

lim=

1 lim xlim

6 lim xlim3 lim x lim

2x

3

2x

2x2x2x

2

2x

→→

→→→→

+

+

+

= ( )( )34

13262322 =

+

++ .

Ejemplo 2. Obtener 1x

lim→ 12x

2x2x73x−

+−+

Solución: Sean f(x) = x3 + 7x2 + 2 i g(x) = x2

1xlim→

– 1. Como g(x) = 0, la propiedad 8

no dice nada del comportamiento del límite de )x(g)x(f ; es decir, este cociente puede tender o

no tender a un límite cuando x → 1, i como 1x

lim→

f(x) = 9 ≠ 0, el cociente )x(g)x(f toma


5

valores tan grandes como se quiera. En este caso 1x

lim→ )x(g

)x(f = 09 = ∞; es decir, no existe

límite. En cambio, cuando

axlim→

f(x) = 0, i ax

lim→

g(x) = 0 puede ocurrir que

axlim→ )x(g

)x(f exista, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Encontrar el valor de 1x

lim→

−+−

1x1x32x2 .

Solución: 1x

lim→

−+−

1x1x32x2 = ( )1x

1xlim

1x32x21x

lim

−→

+−→

= 00 . En este caso, antes de utilizar

la propiedad del cociente, podemos factorizar el numerador, con lo que resulta:

1xlim→

−+−

1x1x32x2 =

1xlim→

( ) ( )1x

1x1x2−

−− = 1x

lim→

(2x – 1) = 1.

Cuando se presenta la expresión 00 , llamada forma indeterminada, es

conveniente transformar la expresión )x(g)x(f , antes de aplicar las propiedades

correspondientes. Existen otras formas indeterminadas tales como: ∞/∞, 0×∞, ∞–∞, 00, ∞0, 1∞

1xlim→

; que se verán más adelante.

Ejemplo 4. Hallar

−−−+−+

−+−+−

1x23x24x55x76x47x3

x2x3x4x5x6x

Solución: Cuando reemplazamos x = 1, en el numerador i en el denominador, entonces

00)x(f

1xlim =→

. Otra vez estamos en el caso de la primera indeterminación. Para salvarla

factoricemos el numerador i el denominador: (usando el método de Ruffini) x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x = x (x–1) (x4 + x2 + 1), 3x7 + 4x6 – 7x5 + 5x4 – 2x3 – 2x – 1 = (x – 1) (3x6 + 7x5 + 5x3 + 3x2

1xlim→

+ 3x + 1). Reemplazando i simplificando resulta

1x32x33x55x76x3

)12x4x(x

+++++

++ , llevando a límite se obtiene 1x

lim→

f(x) = 223 .

Ejemplo 5. Determinar el valor de 0 x

lim→

−−x

x42

Solución: 0 x

lim→

−−x

x42 = 0 x

lim→

( ) ( ))x42(x

x42 x42−+

−+−− = 0 x

lim→ )x42(x

)x4(4−+

−− =

0 xlim→ )x42(x

x−+

=0 x

lim→ x42

1−+

= 41 .

6


Ejemplo 6. Obtener el valor de 16 x

lim→

−−

4x2x4

Solución: 16 x

lim→

−−

4x2x4

= 16 x

lim→

4x16x

8x 4x 2x

16x44 24 3

+−

+++

−

=

16 xlim→ 8x 4x 2x

4x44 24 3 +++

+ = 41

888844

=+++

+ .

Ejemplo 7. Determine 1x

lim→ 2

31

32

)1x(1x2x

−

+−

Solución: Desde que el numerador es un cuadrado perfecto, escribimos 1x

lim→ 2

23

)1x()1x(

−

− =

1xlim→ 2

2

33 2

33

)1x(1

1xx

1)x(−

×

++

− = 1x

lim→

2

33 2 1xx

1

++=

91 .

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 30, calcular los siguientes límites:

1.

+−

→ 2x5x3lim

0x 2.

+−+−

→ 4x6x2x3xlim

23

3x 3.

−−

→ 8x64xlim

2

8x

4.

−−

→ 2x8xlim

3

2x 5.

−−

−→ 1xx2

1xlim 2

2

1x 6.

++

−−→ 2x3x

1xlim 2

2

1x

7.

−−

++−→ 6yy

y4y4ylim 2

23

2y 8.

+−

+−→ 15x8x

6x5xlim 2

2

3x 9.

+−

+−→ 3x4x

2x3xlim 4

3

1x

10.

+−

+−−→ 16x8x

8x4x2xlim 24

23

2x 11.

−+−−

−−−+→ 12x8xx2x

12x8xx2xlim 234

234

2x 12.

−

−→ 1x

1xlim 3

6

1x

13.

+−

+−→ 3x4x

2x3xlim 5

4

1x 14. ( )

( )103

202

2x 16x12x

2xxlim+−

−−

→ 15.

−−+

−+→ 1xxx

3x2xlim 27

11

1x

16. ( ) ( )52

5

0x xxx51x1lim

+

+−+

→ 17.

+−

+−→ 1x2x

1x2xlim 1530

3060

1x 18. ∈

−−

→n,

1x1xlim

n

1xN

19. ∈

−

−+−

−

→n,

xx2xxlim n2n2

n2n2

1xN 20. ∈

−

−

→m,n;

1x1xlim m

n

1xN


7

21.

−−−−++−−−+

−−++−−+→ 1x4x3x7x11x4xx3x4x7x

5x5x7x3x4x4x7xlim 2345678910

245678

1x

22.

−++

−+−→ 6xx4x

2xxlim 2812

214

1x 23.

−++

++−→ 3xxx

5x4xlim 41224

1521

1x

24.

+

−−→ 1x

1xlim 27

34

1x 25.

−

−→ 1x

1xlim 50

49

1x

26.

+−

−+−→ 2x3x

1xxxlim 4999

2350101

1x 27.

−−++++

→ 1xnx...xxxlim

n32

1x

28. ( )h

xhxlimnn

0h

−+→

29. ( ) ( )2

mn

0x xnx1mx1lim +−+

→

30.

+−

+−→ 1x2x

1x2xlim 50

100

1x

31. Dadas las funciones: 1x2x

2x2xx)x(f 2

23

+−

−+−= , 2

32

xx21xx2x43)x(g

+−

−+−=

(a) Probar que : )x(flim1x→

i )x(glim1x→

no existen

(b) A pesar de que )x(flim1x→

i )x(glim1x→

no existen, probar que:

[ ])x(g)x(flim1x

+→

existe i es igual a 1.

En los ejercicios del 32 al 45, obtener el límite de las funciones siguientes:

32. 9x3xlim

9x −−

→ 33.

49x3x2lim 27x −

−−→

34. 1x1xlim 31x −

−→

35. x92x114lim

5x −−+−

→

36. 9x

1x213xlim 23x −

+−+→

37. 1x1xlim

3

1x −−

→

38. 10x5x6x9x

8x5x43x3xlim22

3 23 2

1x ++−++

−+−−+→

39. 1x1xlim 4

3

1x −−

→

40. 38x

80x26xlim43

1x −++−+

→ 41.

xaxalim

33

0x

−+→

42. 2x4x2lim 38x −

−→

43. 38x x23x1lim

+−−

−→

44. x2ccx2

bax2xbax2xlim22

0x −−++−−++

→ 45.

axaxlim

55

ax −−

→

8


Límites unilaterales. Al estudiar el concepto de límite de una función, nos hemos referido al comportamiento de la función f(x) cuando x se encuentra cerca de a; es decir, x se encuentra en una vecindad de a (puede ocurrir que x sea mayor o menor que a), i las imágenes se “aglomeran” alrededor de algún valor b; en tal caso decimos que b)x(flim

ax=

→.

Ocasionalmente se presentan funciones y = f(x) de tal manera que el límite no existe cuando x → a, pero puede existir cuando imponemos la condición de que x < a o

x > a; así por ejemplo, en la función 3xx

x)x(f

+= que no está definida para x = 0, ocurre lo

siguiente:

(a) Si x < 0, 22 x11

)x1(xx)x(f

+−=

+

−= , entonces 1

x11lim)x(flim 20x0x

−=

+

−=→→

(b) Si x > 0, 22 x11

)x1(xx)x(f

+=

+= , entonces 1

x11lim)x(flim 20x0x

=

+

=→→

Esto se puede apreciar fácilmente observando la gráfica de la función dada. Figura 2 Dicho de otra manera, cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, f(x) se aproxima a –1, i cuando x se aproxima a 0 por la derecha, f(x) se aproxima a +1. Estos límites reciben el nombre de límites unilaterales. Las definiciones de estos límites son similares a la definición 12.2. En efecto, desde que b)x(flim

ax=

→ significa que dado el ε >0, existe δ > 0

tal que 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – b| < ε, entonces: Si 0 < a – x < δ ⇒ |f(x) – b| < ε, se tiene el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por la izquierda, i se escribe

b)x(f

axlim =−→

1

-1

0 x x • • x

y

Fig. 2


9

Si 0 < x – a < δ ⇒ |f(x) – b| < ε, se tiene el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por la derecha, i se escribe

b)x(fax

lim =+→

Teniendo en cuenta la propiedad 1 de la sección 12.2, concluimos que:

)x(fax

lim→

existe ⇔ )x(fax

lim)x(fax

lim +→=−→

Finalmente, para evaluar límites unilaterales se utilizan las mismas propiedades del 1 al 10, expuestas en la sección 12.2. (algunos autores, denominan límites laterales) Ejemplo 1. Hallar [ ][ ]( )x425x3

3xlim ++

+→

Solución: El proceso de límite se realiza para los x inmediatamente a la derecha de a = 3 (x > 3). Si x → 3+ ⇒ (3x) → 9+ ⇒ (3x + 5/2) → (11.5)+

[ ][ ]25x3 +

. Esto quiere decir, que el punto (3x + 5/2) se aproxima a 11.5 por la derecha, ha tenido que pasar por 12, de manera que 11.5 < (3x + 5/2) < 12, luego =11. Por tanto:

( )x425x33x

lim +++→ = 23)x411(

3xlim =++→

Ejemplo 2. Calcular el valor de xx

lim0x→

Solución:

(a) Si x > 0, 11limxx

limxx

lim0x0x0x

===++ →→→

(b) Si x < 0, 1)1(limxx

limxx

lim0x0x0x

−=−==−− →→→

Por tanto, el límite no existe ya que contradice la unicidad desde que se han encontrado dos límites diferentes cuando x → 0. Ver figura 3. Ejemplo 3. Determinar el valor de

3xlim→

x

x

∘

∘ –1

1

y

∘ ∘

∘ ∘

∘ ∘

∘

1 2 3 4 -1 -2 -3

1 2 3

-1 -2 -3

x

y

Fig. 3 Fig. 4

10


Solución: Como

<≤<≤

=4x3,33x2,2

x , entonces 3x

lim→

x = 22lim3x

=−→

i 3x

lim→

x

= 33lim3x

=+→

, luego el límite bilateral 3x

lim→

x no existe, sin embargo los límites

unilaterales sí existen que son 2 i 3. Ver figura 4.

Ejemplo 4. Encontrar ),x(flim),x(flim),x(flim2x2x2x +− −→−→−→

donde

−>−−=−<+

=2x,x112x,02x,x3

)x(f2

2

Solución: 7)x11(lim)x(flim,7)x3(lim)x(flim 2

2x2x

2

2x2x=−==+=

++−− −→−→−→−→. Como ambos

límites existen i son iguales, se tiene 7)x(flim2x

=−→

. Ver figura 5.

Ejemplo 5. Hállese (a) )x(f

2xlim−→

, (b) )x(f2x

lim+→, (c) )x(f

2xlim→

; donde

f(x) = [ ][ ]1x 4x2 3

+

−+

Solución: (a) Si 2x – 4 < 0 o x < 2, entonces | 2x –4 | = –2x + 4. Cuando x → 2–

)x(f2x

lim−→

, x < 2, x + 1 < 3,

[[ x + 1 ]] = 2; luego = −→2xlim [ ][ ]1x

4x2 3+

−+ = −→2x

lim23

24x23=

+− .

(b) Si 2x – 4 ≥ 0 o x ≥ 2, entonces | 2x – 4 | = 2x – 4. Cuando x → 2+, x > 2, x + 1 > 3,

[[ x + 1 ]] )x(f2x

lim+→= 3; luego = +→2x

lim [ ][ ]1x 4x2 3

+

−+ = +→ 2x

lim 1 3

4x23=

−+ .

(c) Desde que −→2xlim f(x) ≠ +→2x

lim f(x), entonces 2x

lim→

f(x) no existe.

• –2

7 Fig. 5

x

y


11

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 19, calcular los límites que se indican:

1. (a) f(x) =

≥−<+

3 x,x103x ,1x2

; cuando x → 3+, x → 3–

≥−<+

2 x , x62x ,1x4

, x → 3.

(b) f(x) = ; cuando x → 2–, x → 2+

>−=<+

1x ,x271x , 2 1x ,3x2

, x → 2.

2. (a) f(x) = ; cuando x → 1+, x → 1–

>−<<

<

4x , x44x1 , x

1x , x 2

, x → 1

(b) f(x) = ; cuando x → 1 i x → 4.

3. f(x) =

≥<<

=<−

1x , 2 1x0 , x

0x , 0 0x , )x1( / 1

; cuando x → 0–, x → 0+, x → 1–, x → 1+

≥<<−

=<−

2x , 2 2x1 , 2x

1x , 0 1x , )2x( / 1

.

4. f(x) = ; cuando x → 1, x → 2.

5. f(x) =

>−

+−−

<<+−

<−

−

4x , 4x

12x3x8x2

4x3 , 1x5x3

3x , 9x3x

23

2

2

; cuando x → 3, x → 4.

6. f(x) = |1x|

1x−− ; cuando x → 1+ i x → 1

22 ax

axax

−

−+−

–

7. f(x) = , a > 0; si x → a+ i x → a

|x|xx2 +

–

8. f(x) = , x ≠ 0; cuando x → 0+ i x → 0–

xx|x| −

9. f(x) = ; cuando x → 0–, x → 0+, x → 0

12


10. f(x) = 32

2

x27 ]] x/1 [[ x

−

+ ; hallar )x(f1 x

lim→

.

11. f(x) = | x | + | x – 1 |; si x → 0 i x → 1

12. f(x) = x

3 |x||x3| −−+ ; si x → –3 i x → 0

13. f(x) = 3 + [[ x ]] ; cuando x → 3– 14. f(x) = [[ x ]] + [[ 4 – x ]] ; si x → 3+, x → 3–

[[ ]]2x3x1x1xxx

2 +−

−+−

, x → 3

15. f(x) = ; cuando x → 1

16. f(x) = (1–x) [[ x ]]

+− x4

; cuando x → 1 17. f(x) = [[ x – 1 ]] ; cuando x → 4– 18. f(x) = | x | +[[ x ]] ; cuando x → 0 19. f(x) = 1–x + [[ x ]] – [[ 1 – x ]] ; cuando x → 1

L)x(flim0x

=→

–

20. Hallar las constantes a, b i L a fin de que tales que f(1) = 1, donde

[[ ]]

[[ ]]

<+−++

≥++=

0x,xxb

xa)bx(2

0x,)x-(3sgn ab 1x bx)x(f 52/12

222

21. Hallar el límite [ ][ ] ;2-x

x x)x(f

−

= cuando x → 2

[ ][ ]xx)x(f =

–

22. Hallar el límite ; cuando x → 1– , x → 1+ , x → 1


13 Límites infinitos i límites al infinito El concepto de “infinito” ha inspirado i hechizado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales. Los problemas i paradojas más profundas de las matemáticas a menudo van unidos a esta palabra. A. Límites infinitos

Consideremos la función 2)3x(1)x(f−

= cuya gráfica se presenta en la figura 5.

Fig. 5 Fig. 6 Cuando x se aproxima a 3 por la derecha, podemos observar en la gráfica que f(x) crece indefinidamente, i lo mismo ocurre cuando x se aproxima a 3 por la izquierda. Este hecho lo precisamos en la definición siguiente. Definición 12.3

(a)

>⇒δ<−<>δ>

⇔∞+=→ n)x(fax0quetal

0existe,0nrealnúmerounDado)x(flim

ax

(b)

<⇒δ<−<>δ<

⇔∞−=→ n)x(fax0quetal

0existe,0nrealnúmerounDado)x(flim

ax

En ambos, el límite no existe; los símbolos + ∞ i – ∞ indican solamente el comportamiento de los valores f(x) a medida de que x se aproxima cada vez hacia a. Obsérvese que de la parte (a) de la definición anterior, se desprende que

+∞=+→)x(f

axlim i +∞=−→

)x(fax

lim ; i de la parte (b): −∞=+→)x(f

axlim i

−∞=−→)x(f

axlim .

x

x = 3

y

x = 3

x

y

14


Existen otras funciones, como por ejemplo 3x

1y−

= . Ver figura 6, en las cuales

ocurre: +∞=+→)x(f

3xlim i −∞=−→

)x(f3x

lim , en tal caso escribiremos simplemente

∞=→

)x(f3x

lim .

Para el cálculo de límites infinitos necesitamos adicionar a las propiedades de las sección 12.2 otras, que faciliten su determinación.


1. +∞=+→

nx

10x

lim , si n es un entero positivo

2.

∞+∞−

=−→ positivoparesnsi,positivoimparesnsi,

nx

10x

lim

Las mismas reglas de suma, diferencia, producto i cociente de límites de funciones en un punto dado son aplicables para encontrar límites infinitos, siempre que los cálculos se efectúen teniendo en cuenta las siguientes reglas:

(1) (+∞) + (+∞) = + ∞ (2) (–∞) + (–∞) = – ∞ (3) c + (+∞) = + ∞, c ∈R (4) c + (– ∞) = – ∞, c ∈R (5) c (+∞) = + ∞, c > 0 (6) c (–∞) = –∞, c > 0 (7) c (+∞) = –∞, c < 0 (8) c(–∞) = + ∞, c < 0 (9) (+∞) (+∞) = + ∞ (10) (–∞) (–∞) = + ∞

(11) (+∞) (–∞) = – ∞ (12) ∈=∞−

=∞+

c,0cc R

Observemos que hay casos no contemplados en la lista anterior, tales como: 0 (+∞) = ?,

(+∞) – (–∞) = ?, ∞+

+∞ = ?, etc. que son indeterminaciones (faltan 4). Note que las doce

relaciones anteriores no son indeterminaciones.

Ejemplo 1. Sea 12xx

2x)x(f 2 −+

+= , hallar )x(f

4xlim −−→

, )x(f4x

lim +−→, )x(f

3xlim−→

,

)x(f3x

lim+→.

Solución: El límite de la función dada es equivalente a escribir:

)3x()4x(2xlim

12xx2xlim

4x24x −++

=−+

+−→−→

.

(a) Cuando x → –4–, vemos que (x+2) → –2, (x–3) → –7, (x+4) → 0– , entonces el

numerador tiende a –2 negativamente , i el denominador tiende a 0 positivamente,


15 (producto de dos negativos), luego −∞=−−→

)x(f4x

lim . Otra forma de establecer este

resultado es la siguiente: considere un valor muy cercano a –4, pero menor que 4, por ejemplo, x = – 4.1, luego analice el signo en cada factor: x+2 = (–), x–3 = (–), x+4 =

(–); resultando )()()(

)()x(f −=−−

−= .

Los demás casos son semejantes al caso anterior, puesto que las rectas x = – 4 i x = 3 son asíntotas verticales , que se obtienen rápidamente igualando el denominador a cero. Lo que nos importa es el comportamiento de la función cuando x está próximo a las asíntotas.

(b) Supongamos que x = –3.9, entonces )()()(

)()x(f +=−+

−= , luego ∞+=+−→ 4x

lim .

(c) Sea x = 2.9, entonces )()()(

)()x(f −=−+

+= , por tanto ∞−=−→3x

lim .

(d) Supongamos que x = 3.1, entonces )()()(

)()x(f +=++

+= ; es decir ∞+=+→3x

lim .

Ejemplo 2. Demostrar que ∞+=+→

x1

0xlim

Solución: Para probar que ∞+=+→

x1

0xlim , entonces dado n > 0, debe existir δ > 0 tal

que 0x1> siempre que 0 < x < δ. En efecto, n

x1> ⇒

n1x < siempre que 0 < x < δ.

Luego, haciendo δ = n1 , evidentemente se cumple la definición.

Ejemplo 3. Calcular el valor de

−+→ x11

1xlim

Solución: Como x → 1+ ⇒ x > 1 o 1–x < 0 ⇒ (1– x) → 0–

∞−=−−→−

=−+→

x11

0)x1(lim

x11

1xlim

, entonces aplicando la propiedad 2 anterior, con n = 1 ( n impar), se tiene:

.

Ejemplo 4. Encontrar el valor de ( )21x

11x

lim−→

.

Solución: (a) x → 1+ ⇒ x > 1 o x – 1 > 0 ⇒ (x –1) → 0+

( ) ( )+∞=

−=

− +→−+→22 1x

11x

1

0)1x(lim

1xlim

. Usando la propiedad 1 anterior, se tiene

.

16


(b) x →1– ⇒ x < 1 o x – 1 < 0 ⇒ (x –1) → 0–

( ) ( )+∞=

−=

− −→−−→22 1x

11x

1

0)1x(lim

1xlim

. Usando la propiedad 2 anterior, se tiene

.

Por tanto, de las partes (a) i (b) obtenemos ( )

+∞=−→ 21x1

1xlim .

Ejemplo 5. Determinar el valor de [ ][ ]x3

x- x lim3x −−→

Solución: Ya que [[ x ]] = 2 si 2 ≤ x < 3, i como x → 3– ⇒ (3 – x) → 0+

[ ][ ]−∞=+∞−=

−=

− +− →−→)()1(

x33-2lim

x3x- xlim

0)x3(3x

, entonces

.

E J E R C I C I O S Calcular los siguientes límites i grafique las funciones correspondientes:

1.

−+→ 4x1lim

4x 2.

−→ 4xxlim

4x

3. (a)

−

++→ 4x

2xlim 22x

4. (a)

−−→ 4x

1lim 22x

(b) 22x )4x(2xlim

−

+−→

(b)

−+→ 4x

1lim 22x

5.

−+−

−−+→ 1x3x3x

2x2x3xlim 23

23

1x 6. 22x )2x(

4xlim−

−→

7.

−

+−→ 25x

10x5xlim 2

2

5x 8.

+−

−→ 4x4x

x2xlim 2

2

2x

9. )1x()2x(

)3x(lim50

2x +−−

−→ 10.

→ x3senxlim 20x

11.

−→ 20x x

1x1lim 12.

−

−−→ 4x

32x

1lim 22x

13. (a)

−+→ xx1lim 2

1x 14. (a)

−−→

320x x

1x1lim

(b)

−−→ xx1lim 2

1x (b)

−+→

320x x

1x1lim

15.

−→ x2cos1

xsenlim0x


17

16. (a)

−

++→ 25x

5xlim 25x

17. (a)5x25xlim

2

5x −−

+→

(b)

−

+→ 25x

5xlim 25x (b)

5x25xlim

2

5x −−

−→

18. x

x3lim2

0x

+−→

19. x

x5lim2

0x

+→

20.

+−−

−++−→ 2xx4x3

7x5x2xxlim 23

234

1x 21.

−−

−−→ 2x1

2x1lim

2x

22. 1x

1– ]] x[[lim 2

2

1x −−→ 23.

xx– ]] x [[lim

0x −→

24. 1)–(x ]]2x [[

1lim1x +→

25.

++−

++−→ 4x8x113x

27x 32xxlim 23

_245

2x

B. Límites al infinito. Consideremos una función y = f(x) cuya gráfica se muestra en la figura 7. Por

ejemplo, podría ser la función logística kxAe1B)x(f −+

= (Véase la sección 8.2, parte E)

Fig. 7

Al observar la gráfica podemos afirmar que cuando x crece indefinidamente; es decir, x → + ∞, entonces los valores correspondientes f(x) se aproximan a B. De manera semejante, cuando x → – ∞, entonces los valores f(x) se aproximan a 0. Estas consideraciones nos conducen a expresar en forma más precisa su definición. Definición 12. 4

(a)

ε<−⇒>>>ε

⇔=∞+→ b)x(fnxquetal

0nrealunexiste,0Dadob)x(flim

x

• • •

•

x x

f(x)

f(x)

→ ←

↑

↓

• A1B+

B

x

y

18


(b)

ε<−⇒<<>ε

⇔=∞−→ c)x(fnxquetal

0nrealunexiste,0Dadoc)x(flim

x

En este tipo de límites es posible aplicar las propiedades 1 a 10 de la sección 12.2, debido a que no se alteran cuando x → a se reemplaza por x → + ∞ o x → – ∞.

Existen otras funciones, como por ejemplo 2x

bxy 2

2

+= (Ver figura 8) en las que

ocurre b)x(flimx

=∞+→

i b)x(flimx

=∞−→

; en tal caso escribiremos simplemente b)x(flimx

=∞→

.

Fig. 8 Finalmente, para calcular límites al infinito, necesitamos añadir 2 propiedades más.


Si n es un entero positivo, entonces:

3. 0nx

1x

lim =∞+→

4. 0nx

1x

lim =−∞→

La demostración de estas propiedades, requiere indudablemente emplear la definición 12. 4. dejamos la prueba, como pequeña tarea para el lector.

Ejemplo 6. Usando la definición correspondiente, demostrar que 25x27x4lim

x=

−+

∞+→

Solución: Dado cualquier número ε > 0, debemos encontrar un número n > 0 tal que x > n

⇒ 25x27x4−

−+ < ε. En efecto: ε<

−=−

−+

5x2172

5x27x4 ; es decir, ε<

−<ε−

5x217 . Si

ε<− 5x2

17 , entonces

ε+>

17521x . Luego, llamando n =

ε+

17521 , evidentemente se

cumple la definición. (Observe que si se considera la desigualdad 5x2

17−

<ε− no es posible

encontrar un n tal que x > n).

-4 -2 0 2 40

2

0

b •

x

y


19 Veamos cómo calcular algunos límites al infinito para funciones racionales

)x(h)x(g)x(f = , donde g(x) i h(x) son funciones polinomiales. En efecto, aquí aparecen tres

resultados típicos. El “truco” más popular empleado en estos límites consiste en dividir el numerador i denominador entre xk

)x(flim 1x ∞+→

, en donde k es el mayor exponente de x que aparece en f(x), i luego emplear las propiedades dadas anteriormente Ejemplo 7. Hallar los siguientes límites: (a) , (b) )x(flim 2

x ∞−→, (c) )x(flim 3

x ∞+→,

donde: 1x

1x4x3)x(f 4

3

1−

+−= ,

10x3x25x2x6)x(f 2

2

2+−

−+= ,

1x4x31x)x(f 3

4

3+−

−=

Solución:

(a) Dividiendo numerador i denominador por x4

4

431

x11

x1

x4

x3

)x(f−

+−=, resulta , llevando al

límite se tiene 0)x(flim 1x

=∞+→

.

(b) Análogamente, dividimos por x2 3

x10

x32

x5

x26

lim)x(flim

2

2

x2

x=

+−

−+=

∞−→∞−→, obteniendo

(c) En este caso, dividimos por x4 ∞+=+−

−=

∞+→∞+→43

4

x3

x

x1

x4

x3

x11

lim)x(flim, resultando .

Ejemplo 8. Calcular el límite: 4x

4xlim2

x ++

∞−→

Solución: Para encontrar el límite, en este caso también, dividimos numerador i

denominador en la expresión dada entre x = – 2x (1 es la potencia más grande de – x) debido a que x adopta solamente valores negativos.

4x4xlim

2

x ++

∞−→= ( ) 1

x41x41

limx4x

x4xlim

2

x

22

x−=

++−

=+

−

+

∞−→∞−→

Ejemplo 9. Determinar 1x

xxxlim

x +

++∞+→

20


Solución: 1x

xxxlim

x +

++∞+→

= 1

x11

x1

x11

lim1x

xxxlim3

xx=

+

++=

+++

∞+→∞+→

Ejemplo 10. Hallar 2xx1xx

x2x1lim23 25

2

x +++++

++∞+→

Solución: La mayor potencia de x en el numerador es 1. En el primer sumando del

denominador es 35 ( 3

5

x , como potencia dominante), i en el segundo es 1. como 35 es

mayor que 1, se tiene 2xx1xx

x2x1lim23 25

2

x +++++

++∞+→

= 0.

Ejemplo 12. Hallar: )x(flimx ∞+→

, donde f(x) =1x6x

2xx1x3x

1x2

3

2

3

++

++−

++

+

Solución: Teniendo en cuenta el resumen, podemos afirmar directamente que )()()x(flim

x+∞−+∞=

∞+→. Para evitar esto, efectuamos primero la operación sustracción, i

luego llevar al límite en el resultado: 1x9x20x9x

1xx4xx31x6x

2xx1x3x

1x234

234

2

3

2

3

++++

−−−−=

++

++−

++

+ .

Ahora, 3)x(flimx

=∞+→

.

C. Límites infinitos al infinito. Todavía existen funciones, como por ejemplo, f(x) = x2

∞+=∞+→

)x(flimx

, mediante la cual i ∞+=

∞−→)x(flim

x. Su comportamiento puede observarse rápidamente en

la gráfica de la figura 9 Fig. 9 Su definición es la siguiente:

x

y

• •

•

•

N x

M

f(x)


21 Definición 12. 5

1° ∞+=∞+→

)x(flimx

⇔

>⇒>>>

M)x(fNxquetal0Nexiste,0MDado

2° ∞+=∞−→

)x(flimx

⇔

>⇒<<>


3° ∞−=∞+→

)x(flimx

⇔

<⇒>><


4° ∞−=∞−→

)x(flimx

⇔

<⇒<<<


Ejemplo 13. Hallar: 3x2

5xx4lim2

x +++

∞+→,

Solución: Sea f(x) =3x2

5xx4 2

+++ . Basta dividir numerador i denominador por x2

∞+=∞+→

)x(flimx

i llevar al

límite, de donde .

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 59, calcular los límites dados:

1.

++

∞+→ 1x5x3lim

x 2.

++

∞−→ 1x5x3lim

x 3.

++

+−∞+→ 1xx7

5x2xlim 3

2

x

4.

++

+−∞−→ 1xx7

5x2xlim 3

2

x 5.

+−

+−∞→ 5x8x

3xx2lim 3

2

x 6.

+−

+−∞→ 3xx2

5x8xlim 2

3

x

7.

+

+∞→ 33

22

x axaxlim 8.

++

−+∞→ 2xx

3xx2lim 3

23

x

9. ( )( )( )( )( )( )5x 1x5

5x4x3x2x1xlim−

−−−−−∞→

10.

++

−+∞−→ 2xx8

5x2x4lim 3

23

x

11. ( )( ) ( ) ( )( )22345

432

x 1xxxxx

4x3x2x1xlim+++++

++++∞+→

12. ( ) ( )5x

2x33x2lim 5

23

x +

−+∞→

13. ( )( ) ( )( )( ) ( )210x...2x1x

20x...2x1xlim202

x +++−−−

∞+→ 14. ( ) ( )

( )50

3020

x 1x22x33x2lim

+

+−∞→

15. ( ) ( )( )227

3322

x 12x3xx

1xx2x3xlim+++

++++∞+→

16. ( ) ( ) ( ))13x2x10()101x90x3(

100x...2x1xlim 22

444

x ++++

+++∞+→

22


17. 3x

9xlim2

x ++

∞−→ 18.

+

+−∞→ 1x

4x3x2lim4

2

x

19.

+

+∞→ 3x xx

3x2lim 20.

+∞+→ xx10xlim

2

x

21.

++

∞→ 1x1xlim

3 2

x 22.

xxx

xlimx

++∞+→

23. 5 24 6

5 233 4

x 7x4x2x3x

1xx3x2xxlim+++++

++++++∞+→

24. ( )( ) 5 20254 25

5 23 35

x 1x40x1x2x3x

1xx7xx2xlim++++++

+++++∞+→

25.

−+−

∞+→x6x5xlim 2

x 26. ( )xaxlim

x−+

∞+→

27.

−+

∞−→

3 3x

x1xlim 28.

−+

∞+→x1xxlim 2

x

29. ( )( )xbxxlimx

−+∞+→

30.

−+

∞+→x1xlim 2

x

31.

+−+

∞−→

3 33 3x

1xxxlim 32. ( )( )32

23

x 1xx2

1x2xlim−+

+−∞→

33. ( ) ( ) ( )( ) 22

22352x 5x2

1x1x1xlim−

+−+

∞+→ 34.

1x2xxxlim

43

x +

++∞+→

35.

−++

∞+→xxxxlim

x 36.

++−+

∞+→xxx2x2xxlim 22

x

37.

−−+

∞+→x2xx3xlim 23 23

x 38. ( ) ( )[ ]3/23/23/1

x1x1xxlim −−+

∞→

39. [ ]x1x22xxlim 2/3x

++−+∞+→

40.

+−−++

∞→

3 233 23x

1xx1xxlim

41. ( ) ( )33

12/144

x x1xxx1xlim

−+−+

∞+→ 42. n

n2

n2

x x

1xx1xxlim

−++

−−

∞+→

43.

+++

−++

+++∞+→ 2x

1xx1x3x

2x3x2xlim4

2

45

x 44.

++

−++

∞+→ 1x10x

2x1xlim

22

x


23

45.

+++

−+

++∞+→ 1x

10x3x2x

1x3xlim22

x 46. ( )( )( ) ( )

( )[ ] ( ) 2/1nn

n32

x 1nx1x...1x1x1xlim +∞→ +

++++

47. 1010

101010

x 10x)100x(...)2x()1x(lim

+

++++++∞+→

48. [ ]x)ax(...)ax()ax()ax(lim nn321

x−++++

∞+→

49. (a) 2n nn...321lim ++++

∞+→ (b) 3

2222

n nn...321lim ++++

∞+→

50.

−++++

∞+→ 3

2

3

2

3

2

3

2

n n)1n(...

n3

n2

n1lim 51.

−++++

∞→ 2222n n)1n(...

n1

n1

n1lim

52.

+++

++

++

+∞+→ 2222n )1n(n...

)1n(3

)1n(2

)1n(1lim

53.

+×

++×

+×

+×

+×∞+→ )1n(n

1...54

143

132

121

1limn

54.

+×

++×

+×

+×

+×∞+→ )2n(n

1...64

153

142

131

1limn

55.

+×+

++×

+×

+×

+×∞+→ )4n()3n(

3...87

376

365

354

3limn

56.

+

−+

−+++++∞+→ 2

1n21n

)1n2(...7531limn

57.

−

+++++∞+→ 4

nn

n...4321lim 3

33333

n

58.

−

+++

++

++

+

∞+→

2222

n na)1n(x...

na3x

na2x

nax

n1lim

59.

+++++

−+++++∞+→ 22222

22222

n )n2(...8642)1n2(...7531lim

Observación: Para los ejercicios del 49 al 59, tener en cuenta las igualdades siguientes, si fuera necesario:

(1) 2

)1n(nn...4321 +=+++++

(2) 2n)1n2(...531 =−++++

(3) 3

)1n2()1n2(n)1n2(...531 2222 +−=−++++

(4) 6

)1n2()1n(nn...4321 22222 ++=+++++

24


(5) ( )4

)1n(nn...321n...432122

233333 +=++++=+++++

(6) 30

)1nn9n6()1n(nn...432123

44444 −+++=+++++

(7) 3

)2n()1n(n)1n(n...433221 ++=+×+×+×+×

(8) n2

1nn11...

1611

911

411 2

+=

−

−

−

−

60. Demostrar que

<∞−>∞+

=∞+→ 0a,

0a,axlim n

x 61. Hallar

x1xx

1x23xlim6 78

4 35 7

x −++

+++∞+→

62. Sea 4 24 2

3 33 3

3x2x

4x3x)x(f−−+

+−+= Hallar )x(flimi)x(flim

xx ∞−→∞+→.

63. Obtener las asíntotas verticales i horizontales, si es que tiene, de: (Bosqueje la gráfica

de cada una)

(a) 6x5x

x)x(f 2

2

+−= (b)

x2x3x3)x(f 23 +−

=

(c) 2x1x)x(f 33 −−−= (d) xx

1)x(f 2 −= (e) 24 xx

1)x(f−

=

64. Hallar las asíntotas oblicuas, si es que tiene, de: (Bosqueje i trate de dibujar las

gráficas).

(a) f(x) = 1x

1xx2

3

−

++

(c) f(x) = 1x

1xx3

24

+

++

(e) f(x)=3x2x4x3x

3

4

++

++

(b) f(x) = 1xx2x3x2

2

3

++

++

(d) f(x) = 1x

1xx2

−++

(f) f(x) = 1xx9x3x

2

3

−+

−+

En los ejercicios del 65 al 80, hallar todas las asíntotas, si es que tiene, i trate de bosquejar las gráficas de las funciones.


25

65. f(x) = 1x

x2

2

−, | x | > 1. 66. f(x) = | x+4 | +

3|x|4−

67. f(x) = 1x

4x2x3x23

34

−

−−+ 68. f(x) = 4x

x2

2

++ x – 5

69. f(x) = x2x

)1x(2

2

−

− 70. f(x) = 4x

3x2

3

−

+

71. f(x) = 2

3

)1x()1x(

−

+ 72. f(x) = 32x8x2x12x

x324

2

+−+−

73. f(x) = 1x3x

2

2

+

+ 74. f(x) = 1x

5x3x2 2

−−+−

75. f(x) = x

1x2x2 −+ 76. f(x) = 1xxx2

++

77. f(x) = –x + 1 + 36x13x

x224

3

+− 78. f(x) = 3 – 2x –

2xx

x2

2

−−

79. f(x) = 4x

x2

2

++ x – 5 80. y2 (x – 2a) = x3 – a3

LIMITE DE FUNCIONES TRASCENDENTES, I CONTINUIDAD

Una función trascendente es aquella que no es función algebraica. Recuerde que una función algebraica está definida mediante un número finito de operaciones algebraicas en las funciones identidad i constante. (Véase la sección 8.1) 13. 1 Límite de funciones trascendentes

Consideraremos ahora funciones tales como y = sen 5x, y = ln (1 – x2 1xey +=), ,

2xcoshy = , etc. que son efectivamente funciones trascendentes. Para calcular el límite de

estas funciones es necesario considerar algunas propiedades adicionales, a las que ya se conocen, i que están dadas en el capitulo anterior.


1. cxcx

aalim =→

, 0 < a ≠ 1

2. ∞+=∞+→

xx

alim , a > 1

3. 0alim x

x=

∞+→, a < 1

26


4. [ ] ])x(flim[ln)x(flnlimaxax →→

=

5. [ ] ])x(flim[sen)x(fsenlimaxax →→

=

Las propiedades 4 i 5 son consecuencia de la propiedad 11 de la sección 12. 2: el límite de una composición. En igual forma se tienen propiedades para las demás funciones trigonométricas circulares, siempre que )x(flim

ax→ esté en el dominio de la función

trigonométrica correspondiente. Usted puede completar numerando las propiedades desde 6 hasta 10, para las funciones: coseno, tangente, cotangente, secante i cosecante respectivamente. La determinación de límite de funciones trascendentes, además, se basan frecuentemente en límites de la forma:

11. 1x

xsenlim0x

=→

12. ex11lim

x

x=

+

∞+→ o ( ) ey1lim y/1

0y=+

→

13. [ ])x(g

axlim

ax)x(g

ax)x(flim)x(flim →

→→

= , 0b)x(flim

ax>=

→

Ejemplo 1. Hallar 4x

x 21lim

+

∞+→

Solución: 012lim

12

1lim21lim 4x

x4xx

4x

x=

∞+==

=

+

∞+→

+∞+→

+

∞+→.

Ejemplo 2. Determinar x

x6senlim0x→

Solución: 6x6

x6senlim6x6

x6sen6limx

x6senlim0x60x0x

=×=

×=

→→→.

Ejemplo 3. Encontrar 20x xxcos1lim −

→

Solución: 21

xcos11

xxsenlim

)xcos1(xxcos1lim

xxcos1lim

2

0x2

2

0x20x=

+

=

+

−=

−→→→

Ejemplo 4. Obtener 2

3

0x x4xcos1lim −

→


27

Solución: )xcos1(x4

)xcosxcos1()xsen(limx4

)xcosxcos1()xcos1(limx4

xcos1lim 2

22

0x2

2

0x2

3

0x +

++=

++−=

−→→→

83

)xcos1(4xcosxcos1

xxsenlim

22

0x=

+++

→.

Ejemplo 5. Hallar xcos1

xtanlim2

x +π→

Solución: Sea x –π = z, x = z + π. Si x → π, entonces z → 0. Además, recuerde que:

btanatan1btanatan

)ba(tan−

+=+ , luego:

)z(cos1)z(tanlim

xcos1xtanlim

2

0z

2

x π++π+

=+ →π→

⇒

π−π+

π−π+

=+ →π→ senzsencoszcos1

tanztan1tanztan

limxcos1

xtanlim

2

0z

2

x ⇒

2zsenzcos1

zcoszsenlim

zcos11

zcoszsenlim

xcos1xtanlim 22

2

0z2

2

0z

2

x=

+=

−=

+ →→π→

Ejemplo 6. Determinar xcsc)3x(lim

3xπ−

→

Solución: Sea x – 3 = y, de donde x = 3 + y. Como x → 3, entonces y → 0; luego:

π−=

ππ

π

−=

π−=

π+π=π−

→→→→

1

yysen

1limysen

ylim)y3(sen

ylimxcsc)3x(lim0y0y0y3x

.

Ejemplo 7. Hállese x

x x211lim

+

∞+→

Solución: 212

1x2

x2

)21(x2

x

x

xe

x211lim

x211lim

x211lim =

+=

+=

+

∞+→∞+→∞+→.

Ejemplo 8. Hállese 1x

x 1x32x3lim

+

∞+→

−+

Solución: =

−+=

−

−+

+=

−+ +

∞+→

+

∞+→

+

∞+→

1x

x

1x

x

1x

x 1x331lim1

1x32x31lim

1x32x3lim

ee1x3

31lim 1x3)1x(3

xlim

1x3)1x(3

31x3

x==

−+ −

+

∞+→−+−

∞+→.

Ejemplo 9. Encuéntrese x

1alimx

0x

−→

28


Solución: Sea ax

aln)y1(ln + – 1 = y, de donde x = . Como x → 0, entonces y → 0. Luego:

alnelnaln

)y1(lnalnlim

aln)y1(ln

ylimx

1alim y/10y0y

x

0x==

+=

+=

−→→→

.

Ejemplo 10. Determínese xsen

a1limx

0x

−

→

−

Solución: alna1

xsenx

x1alim

xsena1alim

xsena1lim x

x

0xx

x

0x

x

0x=

−=

−=

−→→

−

→.

Ejemplo 11. Obténgase )x1x(ln

)xn1nx(lnlim

2

22

0x −+

−+→

Solución: Teniendo en cuenta que: ln f(x) = p ln [f(x)]1/p

=−−++

−−++=

−+

−+→→ )]1x1x(1[ln

)]1xn1nx(1[lnlim

)x1x(ln

)xn1nx(lnlim

2

22

0x2

22

0x

se tiene:

=

−−++−−+

−−++−−+

−−+

−−+

→

)12x1x(

1

22

)12x2n1nx(

1

2222

0x

)1x1x(1ln)1x1x(

)1xn1nx(1ln)1xn1nx(lim

n]xn1)1nx[(x2

]x1)1x([nx2lim

x1)1x(

xn1)1nx(lim

eln)1x1x(

eln)1xn1nx(lim

22

2

0x2

22

0x2

22

0x=

−−−−

−−−−=

−+−

−+−=

−−+

−−+→→→

.

Ejemplo 13. Determínese 3

3x x2tanxtan

x2cosxcoslim++

π→

Solución: Teniendo en cuenta las fórmulas: sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen 2a = 2 sen a cos a

cos a + cos b = 2 cos (2

ba + ) cos (2

ba − ) , se tiene:

=+

+=

+

+=

++

xcosx2senx2cosxsen)x2cosx(cos)x2cosx(cos

x2cosx2sen

xcosxsen

x2cosxcosx2tanxtanx2cosxcos


29

2x3cos

2x3sen2

)x2cosx(cos)2xcos

2x3cos2(

x3sen

)x2cosx(cos)2xcos

2x3cos2(

= =

2x3sen

x2cosxcos2xcos

, luego

3

3x

2x3sen

x2cosxcos2xcos

limπ

→

, llevando al límite se tiene 23

1

)21()

21()

23( 63

−=−

.

E J E R C I C I O S

Hallar el valor de los siguientes límites:

1. (a) x

x 21lim

∞+→ (b)

x

x 21lim

∞−→ 2. (a) 1a,alim x

x>

∞−→ (b) 1a,alim x

x<

∞−→

3.

2xcos

x2senlim2

2

x π→ 4.

1xsen3xsen21xsenxsen2lim 2

2

6x +−

−+π

→

5. (a) x9senx2senlim

0x→ (b)

x8x6senlim

0x→ 6. (a)

x2senx3cos1lim 20x

−→

(b) x5cos1

x4tanlim2

0x −→

7. (a) x3tanx3senx2tanx2senlim

0x −−

→ (b)

)x3sec1()x4sen()x4sec1()xsen(lim

0x −−

→

8. (a) xsen

xcos1lim 2

3

x

+π→

(b) x2cos

xsenxcoslim

4x

−π

→

9. (a) 2

2x )

2x(

x3sen1limπ

−

+π

→ (b)

xsen)x(lim 2

2

x

π−π→

10. ( )xtanxseclim

2x

−π

→

11. xtan1

xcosxsenlim

4x −

−π

→ 12.

xsenxtanxsenlim

3

0x −→

13. x3secxseclim 2

2

2x π→

14. x3senxsenlim

1x ππ

→

15. x

xcsc1xctg)x1(lim3/1

0x

+−−+→

16. xtan11

xtanlim0x +−→

17. (a) x

x5senlim0x→

(b) x

axsenlim0x→

18. (a) x

xarcsenlim0x→

(b) x3

xarcsen2lim0x→

19. (a) x

xtanlim0x→

(b) x

xarctanlim0x→

20. x4cos1

xtan2xseclim2

4x +

−π

→

30


21. (a) x3sen

x2arctanlim0x→

(b) x3arcsen

x2tanlim0x→

22. 30x xxsenxtanlim −

→

23. x2senxx2senxlim

0x +−

→ 24.

hxsen)hx(senlim

0h

−+→

25. 30x x

x2senxsen2lim

−±→

26. x1senxlim

x ∞→

27. 20x xxcos1

lim−

→ 28.

xxsen1xsen1

lim0x

−−+→

29. 30x xxsen1xtan1

lim+−+

→ 30.

2xtan

x2cosxsenx1lim

20x

−+→

31. xcosxsenx1

xlim2

0x −+→ 32. 20x x

nxcosmxcoslim −→

33. axcosaxsen1xcosxsen1lim

0x −+−+

→

xsenxcosxcos

lim 2

3

0x

−→

34.

35. (a) xsen

)xtan(senlim0x→

(b) xcos

)xcos2(senlim

2x π→

36. x

2xsen1

limx −π

−

π→

37. ax

asenxsenlimax −

−→

38. x3

xcos21lim

3x −π

−π

→

39. ( )4xtan2xlim

2x

π−

→ 40.

4x

1xtanlim

4x

π−

−π

→

41. )

2x(sec)x1(

1lim1x π

−→ 42. x/2

0x)x1(lim +

→

43. xx

)x31(lim +

∞+→ 44. m

m)

mxsen1(lim +

∞→

45. x3cos1

xsenlim2

0x −→ 46. )x1/(1

1xxlim −

→

47. xcsc0x

)xsen31(lim −→

48. xcsc)21(lim x0x

−→

49. xtan

2x

)xctg1(lim +π

→ 50.

x5cos1x7senlim 3

2

0x −→

51. nn n!nlim

∞→ 52. n

1n

n n!)1n(!n)1n(lim

+

+ +

∞+→


31

53. x0x

x21lim −→

54. n0n na

nalim−+

→

55. )x(flim0x→

, donde

>−

=

<−

=

0x,x2sen

xtanxsen0x,5

0x,x

x3cos1

)x(f 56. 2x/1

0x x2cosxcoslim

→

57. xsen/1

0x xsen1xtan1lim

++

→ 58. ( ) x2tan

4x

xtanlimπ

→ 59. xtan

2x

)xsen(limπ

→

60. x53

13x5cos

lim

53x −π

+

π→

61. x0x

xcoslim→

62. 2x

x 3x1xlim

+

∞→

+−

63. ( ) 2x/10x

xcoslim→

64. 1x

21x 1x1xlim

+

→

−

− 65. 1x

xcos2xsen

lim21x −

π+π

→

66. x

xsen

2

2

0x 2x3x3x2xlim

+−

+−→

67. 2x

x 1x22xlim

−+

∞→ 68.

1x1x

2

2

x 1x1xlim

+−

∞→

+

−

69. x

x 1x1xlim

+−

∞→ 70. )x)(gf(lim

0x+

→, donde f i g están dadas por:

≤≤π

≤≤−−−=

4x0,)2x(senx

0x2,)1x(2)x(f

2

2

<≤+

−

<<−−+

=8x2,

4x2x

0x4,5x2x

)x(g

2

71. x/1

2

2

x 2x3x21x2x2lim

−−

−+∞→

72. 1x

x 1x23x2lim

+

∞→

++ 73.

− −

→ xsene1lim

x

0x

74.

−→ x

eelimbxax

0x 75.

x21

)]x1(sen)

x1(cos1[x

lim23

x +

+π−+π+

∞−→

76.

−→ x

balimxx

0x 77.

−→ xsen

12limx

0x 78.

−−

→ bxsenaxseneelim

bxax

0x

79. 0a),1a(nlim nn

>−∞→

80.

+−+

∞−→1x8xlim 24 4

x

81. x/1x0x

)xe(lnlim +→

82. 0c,b,a;3

cbalimxxx

0x>

++→

32


83. x/11x1x1x

0x cbacbalim

++++ +++

→ 84.

xsen)xsen1(lnlim

0x

+→

85. xcosx

x1xsenlim

1x π+−−π

−→

86. )x(tanln1xtanlim

4x

−π

→ 87. 20x x

)x(coslnlim→

88. 5x

)4x(lnlim5x −

−→

89. x

)x1(lnlim0x

+→

90. x

)e1(lnlimx

x

+∞+→

91. x

)e1(lnlimx

x

+∞−→

92. ]}nln)1n(ln[n{limn

−+∞+→

93. x

)x101(loglim0x

+→

94.

−+

→ x1x1ln

x1lim

0x

95. 0a,ax

alnxlnlimax

>−−

→ 96.

)e3(ln)e2(lnlim x2

x3

n +

+∞+→

97.

−+

−+→ 2

22

0x x1x

xn1nxlnlim

98. )bxcos(ln)axcos(lnlim

0x→ 99.

)1xx(ln)1xx(lnlim 10

2

x ++

+−∞+→

100. )xx1(ln)xx1(lnlim 43

3

x ++

++∞+→

101. )21(ln)31(lnlim x

x

x +

+∞+→

102. )21(ln)31(lnlim x

x

x +

+∞−→

103. )ex(ln)ex(lnlim x24

x2

0x +

+→

104. )x1x(ln

)ex1(lnlim2

x

0x ++

+→

105. ]xlnx)1x(ln)1x(2)2x(ln)2x([limx

+++−++∞+→

106. (a) xsenhlim0x→

(b) x

xtanhlim0x→

107. (a) x

xsenhlim0x→

(b) xcoshlim0x→

108. 20x x1xcoshlim −

→ 109.

)x3(coshlnxsenhlim

2

0x→ 110.

axasenhxsenhlim

ax −−

→

111. xtanheelim

xsenx2sen

0x

−→

112. ax

acoshxcoshlimax −

−→

113. )x(cosln)x(coshlnlim

0x→

114. Hallar el valor de n de manera que 2x

xe

1nx1nxlim =

−+

∞→.

115. Si f : N → Q es una función del conjunto de los números naturales en el conjunto de los números racionales i Si k)n(flim

n=

∞+→, donde k es un número real, definimos:

,aalim k)n(fn

=∞+→

con a real i 0 < a ≠ 1

Probar que:

(a) ( )( ) qpqp aaa += (b) ( ) pqqp aa = (c) )b()a()ab( ppp = (d) qpq

pa

aa −= , p, q ∈ R

116. Una pelota se deja caer de una altura de 12 m. Cada vez que rebota en el suelo alcanza una altura de 3/4 la distancia de la cual cayó. Encontrar la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar en reposo.


33 117. Dado un cuadrado de lado a, se inscriben cuadrados de manera que sus vértices sean

los puntos medios de cada cuadrado anterior. Hallar el límite de la suma de las áreas de los cuadrados cuando éstos se inscriben indefinidamente.

118. En un cono de radio r i altura h se inscribe un cilindro circular cuya base está sobre la

base de cono i con una altura igual a la mitad de la altura del cono. Se repite el procedimiento con el cono parcial que resulta i así indefinidamente. Hallar el límite de la suma de las áreas laterales de los cilindros así construidos.

119. El segmento AB = a de la figura que aparece en este ejercicio , está dividido en n

partes iguales. Sobre cada una de ellas, tomándola como base, se ha construido un triángulo isósceles, cuyos ángulos en la base son iguales a θ = 45°. Demostrar que el límite del perímetro de la línea quebrada así formada es diferente de la longitud del segmento AB, a pesar de que pasando a límites cuando n → ∞, la línea quebrada se confunde geométricamente con el segmento AB.

120. Sobre los segmentos obtenidos al dividir un cateto a de un triángulo rectángulo en n partes iguales, se han construido rectángulos inscritos. Determinar el límite del área de la figura escalonada así construida, si n → ∞.

La continuidad de funciones.

Definición 13. 1 Sea f : R → R tal que y = f(x). Se dice que f es continua en a, si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(a) existe 2. )x(flim

ax→ existe 3. )a(f)x(flim

ax=

→

En caso contrario, si falla una de estas condiciones, diremos que f es discontinua en a. En ocasiones, para simplificar las referencias diremos que f es continua en x = a si i sólo si )a(f)x(flim

ax=

→. Queda entendido que para que se cumpla esta igualdad deben

previamente cumplirse las dos propiedades anteriores.

Continúe pensando a una función f como una máquina que toma una entrada a i produce una salida f(a). Esta es una buena máquina (una continua) cuando un pequeño error en la entrada genera un pequeño error en la salida. En otras palabras, una máquina continua toma x cerca de a i produce f(x) cerca de f(a). Un buen ejemplo, de una máquina discontinua es la “máquina postal” que cargaba (antiguamente) 30 céntimos de sol por una carta de 1onza pero 55 céntimos de sol por 1.1 onza. Vea la figura 4

θ • • A B

34


Por este motivo, podríamos definir también la continuidad en un punto como:

“ f es continua en x = a ⇔ )a(f)ha(flim0h

=+→

”

O B S E R V A C I O N E S

1. Por la condición 1 de la definición 13.1, solamente tiene sentido analizar la continuidad

de f en puntos del dominio de f. 2. Afirmar que )a(f)x(flim

ax=

→, equivale a decir: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |x – a| <

δ ⇒ | f(x) – f(a) | < ε. No es necesario la restricción 0 < |x – a| < δ, ya que a ∈ Dom (f), x = a, i también | f(x) – f(a) | = 0 < ε.

3. Si a es un punto de acumulación del dominio de f, entonces se deben cumplir las tres

condiciones de la definición 13.1. 4. Si a no es punto de acumulación del dominio de f, entonces f resulta continua en a. Por

ejemplo, si y = f(x) tiene dominio: Dom (f) = ⟨2,3⟩ ∪ {4}, entonces a = 4 no es punto de acumulación i por tanto f es continua en a = 4. Consideremos cuatro funciones cuyas gráficas son el prototipo de funciones discontinuas en un punto: Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8

x

a

f(x) f(a)

f Fig. 4

x x x x a

y

M

y

a

M N

y

a

M N

y

a


35 La figura 5 nos muestra que M)x(flim

ax=

→ existe, pero f(a) no existe.

La figura 6 nos dice que M)x(flimax

=→

i f(a) = N, ambos existen, pero no son iguales.

La figura 7 nos conduce a decir que )x(flimax→

no existe, i f(a) = N sí existe.

La figura 8 nos proporciona la información de que )x(flimax→

i f(a) ambos no existen.

En cada caso a es un punto de acumulación del Dom (f), las funciones dadas no son continuas en x = a.

Ejemplo 1. Toda función polinomial de grado n: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, an

)f(Domc),c(P)x(Plimcx

∈∀=→

≠ 0, es continua en todo punto de su dominio. Recuerde que el dominio es todo R. Fácilmente se prueba que .

Si n = 2, entonces P(x) es de la forma P(x) = ax2

Ejemplo 2. Toda función racional

+ bx + c. Su gráfica es una parábola, i se puede afirmar que es continua en todo punto de R. Si n = 1, entonces P(x) = ax + b. Su gráfica es una recta, i también es continua en todo punto de R. Si n = 0, entonces P(x) se transforma en la recta horizontal P(x) = a, que también es continua.

)x(Q)x(P)x(R = , donde P i Q son funciones

polinomiales de grado m i n respectivamente, es continua en todo punto a ∈ Dom (R) =

{ x ∈ R / x ∈ Dom (P) ∩ Dom (Q) i Q(x) ≠ 0}. Sea f(x) = 12xx

2x2 −+

+ una función

racional, cuyo dominio es Dom (f) = R – {– 4,3}, puesto que f(x) = )3x()4x(

2x−+

+ . Esta

función es continua en todo punto de su dominio. Note que –4 i 3 son puntos de acumulación del dominio de f, pero )x(flimi)x(flim

3x4x →−→ no existen, de manera que f

no es continua en estos puntos. Observe que los límites unilaterales en los puntos de discontinuidad son infinitos:

+∞=−∞=+∞=−∞=+→−→+−→−−→

)x(flim,)x(flim,)x(flim,)x(flim3x3x4x4x

; lo cual nos dice que

x = –4 i x = 3 son las asíntotas verticales. Note también que los límites al infinito: 0)x(flim,0)x(flim

xx==

∞+→∞−→; con lo cual la recta y = 0 es una asíntota horizontal. Vea

la figura 9

-5 0 5

5

0

y

x –2 • • –1/6

x = –4 x = 2

Fig. 9 (2,0)

(-2,0)

(0,2)

• •

•

x

y

Fig. 10

36


Ejemplo 3. Debemos mencionar que las funciones trigonométricas circulares y = sen x, y = cos x, la función exponencial y = ex son continuas en todo punto de R. Las demás funciones trigonométricas circulares son continuas en su dominio. La función logarítmica natural: y = ln x es continua en todo punto de R+

x, mientras que la función raíz cuadrada: y

= es continua en todo punto de +0R . La gráfica de estas funciones nos ayudan a afirmar

tal continuidad. Por su puesto la demostración de cada una de ellas se puede proceder rigurosamente.

Ejemplo 4. Estudie la continuidad de

>−≤+−=

0x,)2x(0x,4x)x(f 2

2

Solución: La función f(x) = –x2 + 4 es continua en ⟨–∞,0] por ser un polinomio; del mismo modo f(x) = (x – 2)2

,4)0(fqueDesde.4)x(flim4)2x(lim)x(flim

4)4x(lim)x(flim

0x2

0x0x

2

0x0x ==⇒

=−=

=+−=

→+→+→

−→−→

es continua en ⟨ 0,+∞⟩. Pero f está definida en todo R, Veamos si es continua en x = 0:

se sigue que:

)0(f)x(flim0x

=→

, con lo que probamos que f es continua en x = 0. Véase la figura 10.

Ejemplo 5. Estudie la continuidad de la función y = | x | + [[ x]]

Solución: Observando la gráfica de la función dada (en el capitulo 6), podemos afirmar que la función es discontinua en todo número entero. En efecto, (como ejemplo) para x = 0 i x = 1 :

Para x = 0 :

==

−=−−=

+→+→

−→−→

0 )x(lim)x(flim

1)1x(lim)x(flim

0 x0 x

0 x0 x ⇒ )x(flim0 x→

no existe

Para x = 1 :

=+=

==

+→+→

−→−→

2 )1x(lim)x(flim

1)x(lim)x(flim

1 x1 x

1 x1 x ⇒ )x(flim1 x→

no existe.

Ejemplo 6. Determine si la función f es continua en x = 2 i x = 4; donde f se define

por f(x) =

≥+<≤

<

4 xsi 6x- 4 x2 si 4

2 xsi x 2

Solución: 4)x(lim)x(flim 2

2 x2 x==

−→−→ i 44lim)x(flim

2 x2 x==

+→+→. Como f(2) = 4, se sigue

que )2(f)x(flim2x

=→

, luego f es continua en x = 2. Análogamente, −→ 4 x

lim f(x) = −→ 4 x

lim (4) =


37 4 i

+→ 4 xlim f(x) =

+→ 4 xlim (–x+6) = 2. Ya que

+→ 4 xlim f(x) no existe, afirmamos que f no es

continua en x = 4. Vea la figura 11. Ejemplo 7. Probar que f es continua en R, donde f está definida por:

f(x) =

=≠

0 x, 0 0 x(1/x),sen x

Solución: (a) Supongamos que x = a, donde a ≠ 0, entonces f(a) = a sen (1/a) i

)a/1( sen a)x(flima x

=→

, lo cual demuestra que f es continua en todo número real a ≠ 0.

(b) Supongamos que x = 0, luego f(0) = 0 i ) (1/x)sen x (lim0 x→

= 0, en virtud del ejemplo 12.

de la sección 13.1; es decir, f es continua en x = 0. De las partes (a) i (b) concluimos que f es continua en todo R. Vea la figura 12.

Ejemplo 8. Localice los puntos de discontinuidad de la función f dada por:

f(x) =

=

≠

0 x si 1

0 si xx

xtan

Solución: 0 x

lim→

f(x) = 0 x

lim→

x xtan =

0 xlim→

xcos1

x xsen = 1 = f(0), luego f es continua en

x = 0. Como tan x = xcos xsen , entonces f es discontinua en los puntos para los cuales cos x =

0; es decir, x = 2π + n π , n Z.

Ejemplo 9. Determine los valores de A i B para que la función f sea continua en x = –1 i

x = 1, donde f(x) =

≥+

<−

−

−≤

1x , Bx

1|x| , 1x1x

1x , A

4

6.

y

00

5 o

(4,2)

2 4

4

x

y

y = x y = – x

x

y

Fig. 11 Fig. 12

38


Solución: Note que | x | < 1 es equivalente a escribir –1 < x < 1 i 1x1x

4

6

−

− =

1x)1xx( )1xx(

2

22

+

+++− para x ≠ –1 i x ≠ 1.

(a) Para saber si f es continua en x = –1, debe cumplir 1 x

lim−→

f(x) = f(–1). En efecto,

−−→ 1 xlim f(x) =

−−→ 1 xlim A = A,

+−→ 1 xlim f(x) =

+−→ 1 xlim

1x)1xx( )1xx(

2

22

+

+++− = 23 . Como

debe ser−−→ 1 x

lim f(x) =+−→ 1 x

lim f(x), entonces A = 23 , con lo cual

1 xlim

−→f(x) = f (–1) =

23 .

(b) Similarmente, a fin de que sea f continua en x = 1, debe verificarse 1 x

lim→

f(x) = f(1).

Siendo así: −→1 x

lim f(x) = −→1 x

lim1x

)1xx( )1xx(2

22

+

+++− = 23 i

+→1 xlim f(x) =

+→1 xlim (x + B)

= 1 + B; de donde 1+B = 23 ; esto es, B =

21 .

B. Operaciones con funciones continuas.

Vamos a establecer si la propiedad de continuidad de las funciones se conserva al operar con ellas.

Teorema: Sean f i g dos funciones continuas en x = a. Entonces: 1 La función “suma” f + g es continua en x = a. 2 La función “diferencia” f – g es continua en x = a 3 La función “producto” f × g es continua en x = a . 4 La función “cociente” f / g es continua en x = a, g(a) ≠ 0. 5 La función “producto por un escalar” k f es continua en x = a. 6 La función “composición” f

g es continua en x = a, supuesta que f es continua en g(a).

O B S E R V A C I O N E S

(1) Otro punto de vista de continuidad es la siguiente: Hemos dicho que si f es continua en x = a, entonces

a xlim→

f(x) = f(a); esto significa a x

lim→

f(x) = f(a x

lim→

x). Por lo tanto, la

continuidad para una función significa que podemos introducir un límite dentro de una función.

(2) Note en la parte (1) del teorema anterior, f i g son continuas en x = a, implica que f+g es continua en x = a. El recíproco no siempre es cierto; esto es, si f + g es continua en x = a, entonces no siempre cada sumando es continua en x = a. Para ello, basta presentar en contraejemplo.


39

Sean f(x) =

>−=<+

0x , 1x 0x , 0 0x , 1x

i g(x) =

>=<−

0x , 1 0x , 0 0x , 1

Ambas funciones son

discontinuas en x = 0, pues ninguno de los límites 0 x

lim→

f(x) , 0 x

lim→

g(x) existen. Véanse

las figuras 14 i 15. Veamos la suma:

(f + g)(x) =

>=<

0x , x 0x , 0 0x , x

, luego (f + g )(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0, −→ 0 x

lim (f + g)(x) =

−→ 0 xlim x = 0 i

+→ 0 xlim (f + g)(x) =

+→ 0 xlim x = 0, luego

0 xlim→

(f + g)(x) = (f + g)(0); esto es,

f + g es continua en x = a. Vea la figura 16.

Fig. 14 Fig. 15 Fig. 16 De igual manera Ud. puede encontrar contraejemplos para mostrar que la recíproca

de las partes 2, 4 i 5 del teorema último no son siempre ciertas.

Ejemplo 10. Demostrar que f(x) = x

++

16xx24 2 + 3x2 – 1 es continua en todo número

real no negativo.

Solución: Sean f1 x(x) = , f216x

x24 2 ++(x) = , f3(x) = 3x2 – 1. Todas ellas son

continuas en su dominio: f1 en todo real no negativo, f2

16xx2

2 +

en todo número real, por ser suma

de dos continuas: la función constante y = 4 i la función racional y = , f3 por ser

un polinomio en todo R; luego f(x) = f1(x) f2(x) + f3(x) es continua en R0+

C. Continuidad en un conjunto.

.

Definición 13.2

(1) Decimos que f es continua sobre un intervalo abierto ⟨a,b⟩ si es continua en todo punto x0

ε ⟨a,b⟩.

o

o o • 1 –1 x

y

• o 1

–1 x

y y = x

x

y

40


(2) Diremos que f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b], si es continua sobre ⟨a,b⟩ i

+→ axlim f(x) = f(a),

−→ bxlim f(x) = f(b).

(3) f es continua sobre el intervalo semicerrado [a,b⟩, si es continua sobre ⟨a,b⟩ i

+→ axlim f(x) = f(a).

(4) f es continua sobre el intervalo semiabierto ⟨a,b], si es continua sobre ⟨a,b⟩ i

−→ bxlim f(x) = f(b).

Otras veces, la continuidad sobre un conjunto recibe el nombre de “continuidad global”. Por otra parte, los límites dados: )a(f)x(flim

ax=

+→ i )b(f)x(flim

bx=

−→ se

denominan continua por la derecha en a i continua por la izquierda en b, respectivamente. Ahora bien, una misma función puede ser continua sobre un conjunto i ser discontinua sobre otro conjunto. Por ejemplo, la función f definida por:

f(x) =

≥<−+−

5x,45x,5x6x2

es continua sobre ⟨0,5⟩ i discontinua sobre [ 0,5].

En efecto: (a) f es continua sobre ⟨0,5⟩ por ser una función polinomial. (b) Para que f sea continua sobre [ 0,5] debe cumplirse: )0(f)x(flim

0x=

+→ i )5(f)x(flim

5x=

−→. Para el

1ro 5)5x6x(lim)x(flim 2

0x0x−=−+−=

+→+→: , i f(0) = –5, luego cumple la condición. Para

el 2do 0)5x6x(lim)x(flim 2

5x5x=−+−=

−→−→: i f(5) = 4; como no se cumple la condición,

se sigue que f no es continua sobre [0,5].

Ejemplo 11. La función f(x) = [[ x]] +2, con Dom(f) = [0,3⟩ no es continua en [0,3⟩. Pues fallan en x1 =1 i x2 = 2. Véase la figura 17. Sin embargo, sí es continua en [0,1⟩, ya que es en ⟨0,1⟩ i )0(f)x(flim

0x=

+→. Lo mismo ocurre en los intervalos [1,2⟩ i [2,3⟩. En resumen f

es continua en su dominio Dom(f) = [0,1⟩ ∪ ⟨1,2⟩ ∪ ⟨2,3⟩.

Fig. 17 Fig. 18

o

o

o

1 2 3

2 3 4

x

y

x

y

1 -1 -2 -3 2 3 0

1

2


41

Ejemplo 12. Estudie la continuidad, sobre su dominio de la función f(x) =

−∈∈

ZRx,1Zx,2

Solución: El dominio constituye todo R. Sea x0 ∈ Z, evaluando el límite por la izquierda i por la derecha de x0, se establece que 1)x(flim

0xx=

→, en cambio f(x0) = 2. Luego f no es

continua en R. Vea la figura 18. D. Tipos de discontinuidad. Extensión continua. Un punto a ∈ R se llama punto de discontinuidad de la función y = f(x) si satisface cualquiera de las condiciones expuestas en las figuras 5, 6, 7, 8. Ahora clasificaremos los tipos de discontinuidad en la forma siguiente: Supongamos que a es un punto de acumulación del Dom(f) tal que a ∉ Dom(f). Esta condición da lugar a discontinuidades que son de tres tipos: (1°) Discontinuidad evitable (o removible). Se define cuando a ∉Dom(f) i existe

)x(flimax→

. Esta situación se puede eliminar por medio de un procedimiento adecuado; es

decir, redefiniendo la función a fin de que a ∈ Dom(f) i )a(f)x(flimax

=→

. Esa nueva

función recibe el nombre de “extensión continua de f en a”. En efecto, podemos definir.

=≠∈

=→

ax),x(flimax),f(Domx),x(f

)x(f̂ax

Ejemplo 13. La función 3x9x)x(f

2

−−

= con x ∈ R – {3} tiene discontinuidad evitable en

x = 3 , por que 3 ∉ Dom(f) i 3x9xlim

2

3x −−

→= 6)3x(lim

3x=+

→. Definimos la extensión continua

en a = 3, mediante

=≠

=→

3x),x(flim3x),x(f

)x(f̂3x

La figura 5 muestra la discontinuidad

evitable. Cuando a ∈ Dom(f) i )a(f)x(flim

ax≠

→, podemos todavía remediarlo volviendo a

cambiar el valor de f(a) como puede observarse en la figura 6.

(2°) Discontinuidad de polo. Se define cuando 0)x(f

1lim)x(f

1limaxax

==+→−→

. Se necesita un

tratamiento especial a causa de que el valor funcional no se puede controlar. La figura 18 muestra tal discontinuidad.

42


Ejemplo 14. La función f(x) = 2x

1−

con x ∈ R – {2} tiene una discontinuidad de polo en

x = 2, por que 2 ∉Dom(f) i 0)2x(lim)x(f

1lim2x2x

=−=−→−→

. Igualmente se tiene cuando x →2+

∞+=∞−=+→−→

)x(flimi)x(flim2x2x

.

Note que .

(3°) Discontinuidad esencial. Se define cuando a no es un polo ni una discontinuidad evitable. Son aquellas que no se pueden evitar.

Ejemplo 15. La función f(x)= xx

con x∈ R – {0}, tiene una discontinuidad esencial en

a = 0, por que 0∉Dom(f) i 0)x(f

1lim0x

≠→

. La figura 6 muestra una discontinuidad esencial

en x = a.

Ejemplo 16. Graficar la función x2xx

12xx)x(f 23

2

−−

−−= , indicando los puntos de

discontinuidad, los límites unilaterales en los puntos discontinuos, los límites al infinito i los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Solución: La función dada podemos expresarla como )1x()2x(x

)3x()4x()x(f+−+−

= , de aquí

afirmamos que el Dom(f) = R – {–1, 0, 2}. (a) Las discontinuidades de polo se presentan en x = –1, x = 0, x = 2. (b) +∞=

−−→)x(flim

1x −∞=

−→)x(flim

0x +∞=

−→)x(flim

2x

−∞=+−→

)x(flim1x

+∞=+→

)x(flim0x

−∞=+→

)x(flim2x

Esto demuestra que la gráfica tiene tres asíntotas verticales: x = –1, x = 0, x = 2. (c) Los límites al infinito son: 0)x(flim,0)x(flim

xx==

∞+→∞−→. Esto demuestra que la

gráfica tiene una asíntota horizontal: y = 0. (d) Intersección con los ejes coordenados:

Con el eje x: y = 0 ⇒ (x-4) (x+3) = 0 ⇒ x = –3 i x = 4

Con el eje y: x = 0 ⇒ 012y −

= no existe.


43 Con los resultados obtenidos pasamos a dibujar la gráfica. Véase la figura 19.

E J E R C I C I O S En los ejercicios del 1 al 16, hallar los puntos de discontinuidad de las funciones i trate de dibujar las gráficas de cada una de ellas (siga el modelo del ejemplo 16)

1. 1x1x)x(f

2

−−

= 2. 3x

x)x(f2

−= 3.

1xx)x(f 2 −

=

4. 4x4x

5x3)x(f 2 ++

+= 5.

2x6x5x)x(f

2

+++

= 6. x4x1x)x(f 3

2

−

+=

7. 2x3x

1x)x(f 3

2

+−

−= 8.

x55x)x(f −+

= 9. 6x5x

1x)x(f 24

4

−+

−=

10.

1x11

1)x(f

5 −+

= 11.

>−≤

=1x,x21x,x2

)x(f 12.

>−≤=

1x,x21x,x)x(f

2

13.

=

≠−−

=2x,2

2x,2x4x

)x(f2

14.

=

≠−

−=

4x,0

4x,4x4x

)x(f 15.

>−≤<−+−

−≤+=

2x,1x22x2,2x

2x,1x)x(f

16.

−=

−≠+−+

=3.x,1

3x,3x

6xx)x(f

2

En los ejercicios del 17 al 26, encontrar todos los valores de x para los cuales las funciones dadas son continuas, i bosqueje las gráficas de cada una de ellas.

17. 2x1)x(f −= 18. 4x

x)x(f 2 −=

–3 –1 0 2 4 x

y

Fig. 19

44


19. 12x5x6x

8x2x)x(f 23

2

−++

−+= 20. 32/122 )xx(x)x(f −− +=

21. x4x4x

2x)x(f 23

2

+−

−= 22. 3/1

2

2)

x1

4xx()x(f −−

=

23.

>+≤−=

3x,1x23x,2x)x(f

2 24.

±=>+<−

=1xsi,0

1xsi,11xsi,1

)x(f

25.

=

≠−−+

−−+−

=1x,

177

1x,6x4x9x

3x3x9x4x

)x(f 23

234

26.

=

≠+

++−++

=

0x,31

0x,x3x

1xx21x3x)x(f 5

22

En los ejercicios del 27 al 37, hallar los valores de a i b de modo que y = f(x) sea continua en todas partes.

27.

>−≤+

=4x,1ax4x,7x3

)x(f 28.

<−≥=

2x,1ax2x,ax)x(f

2

29.

≥−<<+

≤=

4x,x24x1,bax

1x,x)x(f 30.

>−≤≤−+

−<+=

1x,b2x31x2,bax3

2x,a2x)x(f

31.

≥−<<−

≤−=

4x,xa24x0,)bx(

0x,xa)x(f 2

2

32.

≥+<<−≤≤−+

−<−

=

3x,ax3x1,xc1x2,bx

2x,xax

)x(f2

2

33.

>++≤≤−+

−<+−=

1x,3x2x1x1,bax

1x,2x)x(f

2

2

34.

>−≤+−<++

=1x,4x21x,bax

1x,1xx)x(f

2

35.

>+≤<−+

−≤+=

2x,2x2x1,bax

1x,1x3)x(f 36.

>+≤≤−

−<+=

3x,bx3x1,x

1x,ax)x(f 2

37.

>

<<−−

−−+−<+−

=

1x,x

1x1,1x

baxbxax1x,1x

)x(f

42

45

2

En los ejercicios del 38 al 54, localizar los puntos de discontinuidad, i bosqueje las gráficas.


45

38. f(x) = ln (cos x) 39. x

sen)x(f π= 40.

xsenx)x(f =

41. xln

1)x(f = 42. )1x(/1e)x(f −= 43. )5x2(log)x(f −=

44. )6x(ln)x(f 2 −= 45. )1e(/1)x(f x −= 46. )12(/1)x(f x −=

47. )1e(/1)x(f x4 −= 48. 2e2

x2e)x(f x3

2x

−

+= 49.

3e3x4e)x(f x4

x

−

+=

50. x/1

x/1

2121)x(f

+

−= 51. f(x) = ctg x 52. f(x) = sen (cos x)

53. f(x) = ln (x–1) 54. xcos1

1)x(f−

=

En los ejercicios del 55 al 63, determine f(0) de manera que las funciones dadas sean continuas en x = 0.

55. 2xxcos1)x(f −

= 56. xee)x(f

xx −−= 57.

xsenx)x(f =

58. xtan

x)x(f = 59. 2x/1e)x(f −= 60. x/)12x()1x(/x )1e(2)x(f ++ −=

61. x)1x()x(f

1n−+= , n∈N 62.

x)x1(ln)x1(ln)x(f −−+

= 63. x1senx)x(f 2=

En los ejercicios del 64 al 70, hallar los valores de a i b de manera que y = f(x) sea continua en todas partes.

64.

≥+<=

0x,xa0x,e)x(f

x 65.

π>+

π≤

=

2x,2ax

2x,xsen

)x(f

66.

π>−

π≤

=

2x,1ax

2x,xcos2

)x(f2

67.

π≥

π<<

π−+

π−≤−

=

2x,xcos

2x

2,bxsena

2x,xsen2

)x(f

68.

≥<≤−+

−<=

1x,xln1x2,bax

2x,x/1)x(f 69.

π>+

π−

π≤+

=

4x,x

4a

4x,xcosxsen

)x(f

46


70.

>+

+≤≤−+

−<<−+π

=

0x,xx2

xsen3xsen20x2,bax

2x2/5,2xxtan

)x(f

4

2con Dom(f) = ⟨ –5/2 , +∞⟩

En los ejercicios del 71 al 75, encontrar los puntos de discontinuidad de las funciones dadas, i luego trate de graficarlas.

71. −= x)x(f [[ x ]] 72. =)x(f [[ x1 ]]

73. f(x) = 1 – x + [[ x]] – [[ 1 – x]] 74.

+−−

=impares]]x[[si,]]1x[[x

pares]]x[[si,]]x[[x)x(f

75. f(x) = [[ x]] + ]]x[[x − ,∀ x ∈ R En los ejercicios del 76 al 78, diga si es continua en el punto indicado

76. 0xEn

0x,x

x3tan0x,2

0x,x

x3sen

)x(f =

>

=

<

= 77. 0xEn

0x,x2senx8sen

0x,4

0x,1x1x

)x(f

4

=

>

=

<−−

=

78. 0xEn0x,20x,1

0x,1x

1

)x(f2

=

>=

<+

=

Determine los puntos, donde la función es discontinua:

79.

≥−<<−−

−=−<

=

1x,2x1x1,1

1x,01x,x

)x(f

2

80.

π≥π<≤<<−

−<

=

x,1x0,xsen

0x1,x1x,x/1

)x(f

81. Investigue la continuidad de las funciones f o g i g o f, donde

>+=<−

=0x,10x,00x,1

)x(f ,

g(x) = x2+1

limites - introducciÓnjestradap.weebly.com/uploads/8/2/2/9/8229848/02...limites introducción el...

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