limites infinitos y limites en el infinito
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Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Delys RodríguezMatemática I
Sección: S1
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LÍMITES DE FUNCIONES
Limites infinitosLímites en el
infinito
tiempo(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …En una empresa el número de clientes a lo largo de los años evoluciona con arreglo a la siguiente gráfica
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim
tft
Esto es un límite en el infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
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Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:
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Límites infinitos
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
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Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas verticales se pueden presentar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Límites infinitos
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Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L
Análogamente, si los valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x M
Límites en el infinito
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y = f (x) y
y = L
y = M M
Llim ( )x
f x L
lim ( )x
f x M
x
Por ejemplo….
Límites en el infinito
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Para funciones polinómicas1
1 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a
lim ( ) lim nnx x
f x a x
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59lim3 6x
x x
b) )5( 24lim
xxx
x
Límites en el infinito
11 1 0
11 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af xb x b x b x b
11 1 0
11 1 0
lim ( ) lim
n nn n
m
m mx xm m
m
a x a x a x axf x
b x b x b x bx
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:
Resolución:
Para funciones racionales
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Límites en el infinito
11
Para funciones racionales: 1
1 1 01
1 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af xb x b x b x b
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:
m
m
nn
x xbxa
lim
Límites en el infinito