limites e continuidade -...

Limites e continuidade

Limite (finito) de uma função em a � �

Salvo indicação em contrário, quando nos referimos a uma

função estamos sempre a considerar funções reais de variável

real (f.r.v.r.), ou seja, funções definidas num subconjunto de �,

D f, com imagens em �.

Começamos por dar a noção de limite de uma função em a � �,

que terá de ser um ponto de acumulação do domínio de f.

Intuitivamente,

� um valor a � � é um ponto de acumulação de A, com A

subconjunto de �, se nos podemos aproximar de a, tanto

quanto pretendermos, por valores de A, diferentes de a.

� Uma função f tende para l quando x tende para a (sendo

a um ponto de acumulação de D f) se as imagens por meio

de f dos valores do domínio diferentes de a aproximam-se

tanto quanto quisermos de l, desde que os objectos se

aproximem o suficiente de a.

Definição: Diz-se que a � � é um ponto de acumulação deA (sendo A um subconjunto de �) se, em qualquer intervalo da

forma �a � �,a � ��, com � � 0, existe pelo menos um elemento

de A diferente de a.

Ao intervalo �a � �,a � ��, com � � 0, chama-se vizinhançade a com raio �.

Notação: O conjunto dos pontos de acumulação de A representa-

-se por A �.

Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 1

Nota 1: Um ponto de acumulação de A pode pertencer ou não a

A; um ponto de A pode ser ou não ponto de acumulação de A.

Nota 2: Pode-se provar que a é um ponto de acumulação do

conjunto A sse existe uma sucessão de elementos de A,

diferentes de a, que tende para a.

Recordemos a definição de limite de uma função, dada no

secundário (recorrendo a sucessões).

Definição de Limite (segundo Heine):

Sejam f uma função, a um ponto de acumulação de D f e l � �.

Diz-se que f tende para l quando x tende para a se

qualquer que seja a sucessão xn, de elementos de D f, diferentes

de a (pelo menos a partir de certa ordem),

se xn � a então f�xn� � l.

Diz-se ainda que l é o limite de f quando x tende para a e

escreve-se

x�alim f�x� � l.

Consequência imediata: Se existem sucessões de elementos de

D f, que tendem para a por valores diferentes de a (ou seja, os

termos, pelo menos a partir de certa ordem, são diferentes de a),

cujas imagens tendem para limites diferentes, então não existe

x�alim f�x�.

Isto é, se existem un e vn, sucessões de elementos de D f, tais que

un�� a, vn

�� a e lim f�un� � lim f�vn�, então não existe

x�alim f�x�.


Definição de limite (segundo Cauchy):

Sejam f uma função, a um ponto de acumulação de D f e l � �.

Diz-se que f tende para l quando x tende para a se,

qualquer que seja o número real � � 0,

existe um número real � � 0,

tal que, para qualquer x � D f\�a�,

se |x � a| � �, então f�x� � l � �.

Simbolicamente,

x�alim f�x� � l

sse

�� 0 �� 0 �x � D f\�a� : |x � a| � � � f�x� � l � � .

Podemos, agora, tornar um pouco mais precisa a ideia intuitiva:

x�alim f�x� � l

sse

as imagens dos pontos do domínio, diferentes de a,

estão tão próximas quanto quisermos de l

(proximidade definida pelo �, f�x� � �l � �, l � �� ),

desde que nos aproximemos suficientemente de a

(proximidade definida pelo �, x � �a � �,a � �� ).

Observação: As definição de limite segundo Heine e segundo

Cauchy são equivalentes.

Proposição: O limite de uma função num ponto, se existe, é único.


Limites laterais:

Intuitivamente:

� estudamos um limite lateral de f em a quando a aproximação

de a é feita apenas por valores superiores a a - no caso do

limite à direita - ou apenas por valores inferiores a a - no

caso do limite à esquerda;

� no primeiro caso, f terá de ser um ponto de acumulação do

conjunto dos pontos do domínio superiores a a e, no

segundo, terá de ser um ponto de acumulação do conjunto dos

pontos do domínio inferiores a a.

Definição: Limites laterais (segundo Cauchy):

� Sejam a um ponto de acumulação de D f � �a,�� e l � �.

Diz-se que f tende para l, quando x tende para a por

valores superiores a a (ou à direita de a), e escreve-se

x�a�lim f�x� � l,

se �� 0�� 0�x � D f :

0�x�a��

x�a � |x�a|��

�a � x � a � � � |f�x� � l| � ��.

� Sejam a um ponto de acumulação de D f � ��,a e l � �.

Diz-se que f tende para l, quando x tende para a por

valores inferiores a a (ou à esquerda de a), e escreve-se

x�a�lim f�x� � l,

se �� 0�� 0�x � D f :

��x�a�

0 x�a � |x�a|��

�a � � � x � a � |f�x� � l| � ��.


Proposição: Seja a um ponto de acumulação de D f. Então

x�alim f�x� existe sse

x�a�lim f�x� e

x�a�lim f�x� existem e são iguais

(sendo esse o seu valor).

Limites infinitos e no infinito

Pretendemos agora generalizar a noção de limite aos casos em

que x tende para infinito e/ou o limite da função é infinito.

Observações prévias

As definições que se seguem serão mais claras se pensarmos

que, quando falamos de x próximo de a, temos que distinguir três

casos:

� se a � �, estamos a considerar x num intervalo

�a � �,a � ��, com � � 0 (quanto menor for o �, mais

próximo garantimos que x está de a);

� se a � ��, estamos a considerar x num intervalo �M,��,com M � 0 (quanto maior for o M, mais próximo

garantimos que x está de ��);

� se a � ��, estamos a considerar x num intervalo ��,N�,com N � 0 (quanto menor for o N, mais próximo

garantimos que x está de ��).


Casos a � � e l � �� ou l � ��

Seja a um ponto de acumulação de D f.

� Diz-se que f tende para �� quando x � a, e escreve-se

x�alim f�x� � ��,

se �M � 0 �� 0 �x � D f\�a� : �|x � a|� � � f�x� � M�.

Intuitivamente,

x�alim f�x� � ��

sse

as imagens dos pontos do domínio, diferentes de a,

estão tão próximas quanto quisermos de ��

(proximidade definida pelo M, f�x� � �M,�� ),

desde que nos aproximemos suficientemente de a

(proximidade definida pelo �, x � �a � �,a � �� ).

� Diz-se que f tende para �� quando x � a, e escreve-se

x�alim f�x� � ��,

se �N � 0�� 0�x � D f\�a� : �|x � a|� � � f�x� � N�.

Nota: De modo análogo ao que já foi feito, definem-se os limites

infinitos quando x tende para a por valores superiores a a ou

por valores inferiores.


Diz-se que f tende para infinito quando x tende para a, e

escreve-sex�alim f�x� � �, se

x�alim |f�x�| � ��.

� Sex�alim f�x� � ��, f diz-se um infinitamente grande

positivo quando x tende para a;

� sex�alim f�x� � ��, f diz-se um infinitamente grande

negativo quando x tende para a;

� sex�alim f�x� � �, f diz-se um infinitamente grande quando

x tende para a.

Observação: Uma função f pode ser um infinitamente grande

em a sem quex�alim f�x� � �� ou

x�alim f�x� � ��.

Neste caso diz-se que, quando x tende para a, f tende parainfinito sem sinal determinado.


Casos a � �� e l � �

� Sejam f uma função cujo domínio não é majorado e l � �.

Diz-se que f tende para l quando x � ��, e escreve-se

x��lim f�x� � l,

se �� 0 �M � 0 �x � D f : �x � M � |f�x� � l| � ��.

� Intuitivamente,

x��lim f�x� � l

sse

as imagens dos pontos do domínio

estão tão próximas quanto quanto quisermos de l

(proximidade definida pelo �, f�x� � �l � �, l � �� ,

desde que nos aproximemos suficientemente de ��

(proximidade definida pelo M, x � M, � � �.

� Sejam f uma função cujo domínio não é minorado e l � �.

Diz-se que f tende para l quando x � ��, e escreve-se

x��lim f�x� � l,

se �� 0 �N � 0 �x � D f : �x � N � |f�x� � l| � ��.


Casos a � �� e l � ��

a � ��

Seja f uma função cujo domínio não é majorado.

� Diz-se que f tende para �� quando x � ��, e escreve-se

x��lim f�x� � ��,

se �M � 0 �N � 0 �x � D f : �x � N � f�x� � M�.


x��lim f�x� � ��,

se �N � 0 �M � 0 �x � D f : �x � M � f�x� � N�.

a � ��

Seja f uma função cujo domínio não é minorado.


x��lim f�x� � ��,

se �M � 0 �N � 0 �x � D f : �x � N � f�x� � M�.


x��lim f�x� � ��,

se �M � 0 �N � 0 �x � D f : �x � N � f�x� � M�.


Propriedades dos limites finitos

Proposição (alguns limites básicos):

Sejam a,b � � e n � �. Então

1.x�alim b � b;

2.x�alim x � a;

3.x�alim xn � an.

Proposição: Sejam b � �, n � � e f e g funções tais que

x�alim f�x� e

x�alim g�x� existem e são finitos, com a finito ou

infinito. Então:

� as funções bf, f � g, f � g, f � g e f n têm limite finito em a e

x�alim bf�x� � b

x�alim f�x�,

x�alim �f�x� � g�x��

x�alim f�x�

x�a� lim g�x�,


x�alim f�x�



x�alim f�x�


x�alim �f�x��n �

x�alim f�x�

n

;

� sex�alim g�x� � 0, a função

fg tem limite finito em a e

x�alim

f�x�g�x�

� x�alim f�x�

x�alim g�x�

.


Proposição (limites alguma funções)

As seguintes funções têm limite, em qualquer valor a dos

respectivos domínios, cujo valor é igual ao valor da função em

a:

� polinómios, funções racionais (isto é, o quociente de dois

polinómios), raiz índice n, as funções trigonométricas (seno,

coseno e tangente), exponencial e logaritmo.

Proposição (Princípio do Encaixe para funções):

Se f, g e h são funções tais que, para todo o x numa

vizinhança de a (excepto, eventualmente, em a),

h�x� f�x� g�x�,

e

x�alim h�x� �

x�alim g�x� � l,

então

x�alim f�x� � l.

Limite notável:

x�0

limsen�x�

x � 1.


Observações complementares

Nota: Da definição de Cauchy resulta imediatamente que

x�alim f�x� � l �

x�alim �f�x� � l� � 0 �

x�alim f�x� � l � 0,

o que se usa frequentemente quando aplicamos o Princípio do

Encaixe.

Recorde-se ainda o seguinte:

Diz-se que f é um infinitésimo quando x tende para a se

x�alim f�x� � 0.

Proposição: Se f é um infinitésimo quando x tende para a e g

é uma função limitada, então f � g é um infinitésimo quando x

tende para a.

Ou seja,

o produto de um infinitésimo por uma função limitada

é um infinitésimo.


Propriedades dos limites infinitos

Para limites infinitos, nalguns casos o conhecimento dos limites

das funções envolvidas nas operações permite-nos, de imediato,

saber o limite da nova função; noutros casos, temos que calcular

explicitamente o valor do limite da nova função - tem-se o que

se chama uma indeterminação.

Nota: Todas as propriedades que se seguem são válidas para a

finito ou infinito.

Proposição: Sejam f e g funções, para as quais faz sentido

falar de limite em a, tais que, para todo o x numa vizinhança de

a (excepto, eventualmente, em a),

g�x� f�x�.

1. Sex�alim f�x� � ��, então

x�alim g�x� � ��;

2. sex�alim g�x� � ��, então

x�alim f�x� � ��.

Propriedades da soma

Proposição: Sejam f e g funções.

1. Sex�alim f�x� � �� e

x�alim g�x� � ��, então

x�alim �f�x� � g�x�� ;

2. sex�alim f�x� � �� e

x�alim g�x� � ��, então

x�alim �f�x� � g�x�� ;


3. sendo b � �, sex�alim f�x� � � e

x�alim g�x� � b, então


(se o limite de f for �� ou ��, o limite da soma também o é).

Notação abreviada:

Estas propriedades são frequentemente escritas na forma

��

�� b � �� b � � � � � b � �

Atenção, esta é uma mera notação abreviada, que deve ser

interpretada exactamente no sentido das propriedades 1., 2. e 3.

da proposição anterior, e não como se estivessemos realmente a

"somar os infinitos" ou a "somar infinito com b".

Símbolos de indeterminação (associados à soma)

Na notação abreviada, os símbolos

��

são designados por símbolos de indeterminação.

Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes, o

facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende

das funções envolvidas; não resulta imediatamente de uma

propriedade das operações.


Observação: Como f � g � f � ��1 � g�, é fácil deduzir as

propriedades da subtracção. Os símbolos de indeterminação da

subtracção são:

��

Propriedades do produto

Proposição: Sejam f e g funções.

1. Sex�alim f�x� � � e

x�alim g�x� � �, então

x�alim ��f � g��x��

(caso f e g tendam para � � ou para � �, pelo sinal do

produto podemos saber se f � g tende para � � ou � �);

2. Sex�alim f�x� � � e

x�alim g�x� � b � �\�0�, então

x�alim ��f � g��x��

(caso f tenda para � � ou para � �, pelo sinal do produto

podemos saber se f � g tende para � � ou ��).

Observação: Por exemplo, na alínea 1, tem-se que:

� se f e g tendem ambas para �� ou ambas para � �, f � g

tende para ��;

� se uma das funções tende para �� e a outra para � �,

f � g tende para � �.

Conclusões análogas se tiram para a alínea 2.

Símbolos de indeterminação (associados ao produto)

0 � �� 0 � �� 0 � �


Propriedades do quociente

O estudo do quociente de duas funções fica mais simples tendo

presente que

f�x�g�x�

� f�x� � 1g�x�

.

Assim, as propriedades desta operação resultam das do produto e

das duas primeiras alíneas da proposição que se segue.

De igual modo, uma indeterminação associada ao quociente

pode sempre transformar-se numa indeterminação associada ao

produto.

Proposição: Sejam f e g funções, com g não nula numa

vizinhança de a (excepto eventualmente em a�:

1. sex�alim g�x� � �, então

x�alim 1

g�x�� 0;

2. sex�alim g�x� � 0, então

x�alim 1

g�x��

[ sex�alim g�x� � 0�, então

x�alim 1

g�x�� ,

sex�alim g�x� � 0�, então

x�alim 1

g�x�� ];

3. sex�alim g�x� � � e

x�alim f�x� é finito, então

x�alim

f�x�g�x�

� 0;

4. sex�alim g�x� � 0 e

x�alim f�x� é infinito ou finito e diferente

de zero, então

x�alim

f�x�g�x�

� �

(dependendo do sinal das funções f e g, poderemos podemos


saber se este limite é �� ou ��.

Na notação abreviada, escreve-se

b� � 0 �

0� � b

0� �, se b � 0

Símbolos de indeterminação (associados ao quociente)

00

��

Mais alguns limites notáveis

Os seguintes limites são conhecidos (demonstram-se sem ser

pelas propriedades dos limites), estão relacionados com

propriedades importantes das funções em causa e são chamados

de limites notáveis:

x��lim ex

x � ��

x��lim lnx

x � 0

x�0lim ex�1

x � 1

x�0lim

ln�x�1�x � 1


Propriedades da exponenciação de funções

Sejam f e g funções, com f�x� � 0, para qualquer x � D f.

Em ��

x � e ln�x�

pelo que

f�x�g�x� � e ln�f�x��g�x�.

Assim, as propriedades da exponenciação de funções resultam

das propriedades da exponencial, do logaritmo e do produto de

funções.

Proposição: Se f e g são funções, com f�x� � 0, para qualquer

x � D f, tais que

x�alim f�x� � b � �\�0� e

x�alim g�x� � c � �,

então

x�alim f�x�g�x� � bc.

Quando algum dos limites é infinito na prática o mais eficaz, em

geral, é fazer a transformação acima indicada.

Símbolos de Indeterminação (assoc. à exponenciação):

00 1� ��0

Recorrendo a

f�x�g�x� � e ln�f�x��g�x�

podemos transformar estas situações em indeterminações do tipo

�� 0, 0 � � e �� 0.


Continuidade de uma função

Sejam f : D f � � � � uma função real e a um ponto de

acumulação de D f , que pertence a D f.

Diz-se que f é contínua em a sex�alim f�x� existe e é igual a f�a�.

Assim, da definição de limite segundo Cauchy, resulta que

f é contínua em a � D f

sse

�� 0�� 0�x � D f : |x � a| � � � f�x� � f�a� � � .

� f é uma função contínua, se f for contínua em todos os

pontos do seu domínio;

� f é contínua à direita em a sex�a�lim f�x� � f�a�;

� f é contínua à esquerda em a sex�a�lim f�x� � f�a�;

� Se �a,b� � D f, diz-se que f é contínua no intervalo �a,b�se f é contínua em todos os pontos do intervalo �a,b�, é

contínua à direita em a e é contínua à esquerda em b.

Nota: Das correspondentes propriedades dos limites resulta que

as seguintes funções são contínuas, nos respectivos domínios:

� polinomiais, racionais, raíz índice n, trigonométricas (seno,

coseno e tangente), exponencial e logaritmo.


Prolongamento por continuidade

Sendo f e g duas funções com domínios D f e Dg, diz-se que

g é um prolongamento de f (ou que f é uma restrição de g)

se

D f � Dg e �x � D f, f�x� � g�x�.

Sendo a um ponto de acumulação de D f, com a � D f, diz-se

que f é prolongável por continuidade a a, se existe um

prolongamento de f, com domínio D f �a�, contínuo em a.

Proposição: Seja a um ponto de acumulação de D f, com

a � D f . Então

f é prolongável por continuidade a a sse existe e é finitox�alim f�x�.

Neste caso, o prolongamento por continuidade de f a a é a função

g : D f �a� � �

definida por

g�x� �f�x� , se x � D f

x�alim f�x� , se x � a

.

Exemplo:

O prolongamento por continuidade da função senxx , definida

em �\�0�, é a função g : � � � definida por

g�x� �senx

x , se x � 0

1 , se x � 0.


Propriedades da continuidade (relativamente àsoperações)

Das correspondentes propriedades dos limites resulta que:

Proposição: Sejam b um número real, n um inteiro positivo e

f e g funções contínuas em a. Então

� as funções bf, f � g, f � g, f � g, fn e | f | são contínuas em a;

� se g�a� � 0, as funções 1g e

fg são contínuas em a;

Proposição: Se f é uma função contínua em a e g é contínua

em f�a�, então g � f é contínua em a.

Teorema (continuidade da função inversa):

Se f : I � � � � é uma função contínua e estritamente

monótona em I, então:

� f é invertível em I;

� f�1 é estritamente monótona;

� f�1 é contínua.


Funções trigonométricas inversas

Considere-se a função sen : � � ��1,1�.

Esta função é contínua, mas não é injectiva.

O seu gráfico é

Restringindo-a ao intervalo �� 2

, �2�, temos a restrição

principal do seno:

sen| ��

2, �

2�: ��

2, �

2� � ��1,1�

(por abuso de notação, em geral é representada apenas por sen).

Esta função é contínua e estritamente crescente em �� 2

, �2�,

logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente

crescente em ��1,1�:

1

-1

π/2

-π/2

0

1

-1

π/2

-π/2

1

-1

π/2

-π/2

0

senx arcsenx

arcsen : ��1,1� � �� 2

, �2� e

y � arcsenx sen y � x � y � �� 2

, �2�


Considere-se a função cos : � � ��1,1�.

Esta função é contínua, mas também não é injectiva.

O seu gráfico é

Restringindo-a ao intervalo �0,��, temos a restrição principaldo coseno:

cos| �0,��

: �0,�� 1,1�

(em geral, é representada simplesmente por cos).

Esta função é contínua e estritamente decrescente em �0,��, logo

é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente decrescente

em ��1, 1�:

1

-1

0

π

π/2

1

-1

0

π

π/2

cosx

1-1 0

π

π/2

1-1 0

π

π/2

arccosx

arccos : ��1,1� � �0,�� e

y � arccosx cosy � x � y � �0,��


Considere-se a função tangente, definida por tgx � senxcosx , em

�\ k� � �2

: k � � .

Esta função não é injectiva, mas é sobrejectiva.

O seu gráfico é

Restringindo-a ao intervalo � �2

, �2

, temos a restrição

principal da tangente:

tg| � �

2, �

2

: � �2

, �2

� �

(em geral, é representada simplesmente por tg).

Esta função é contínua e estritamente crescente em � �2

, �2

,

logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente

crescente em �:

0 π/2-π/2 0 π/2-π/2

tg x

0

π/2

-π/2

0

π/2

-π/2

arctgx

arctg : � � � �2

, �2

e

y � arctg x tgy � x � y � � �2

, �2


Funções cotangente, secante e cosecante

Observação: As três funções trigonométricas seguintes serão

usadas à frente.

Cotangente

A função cotangente é definida por

cotg x � cosxsenx , em �\�k� : k � ��.

O seu contra-domínio é �.

Para x � k� � x � k� � �2

, com k � �,

cotgx � 1tgx

.

Funções secante e cosecante

As funções secante e cosecante são definidas por

sec x � 1cosx , em �\ k� � �

2: k � � ,

cosec x � 1senx , em �\�k� : k � ��.

Trabalhar com estas funções reduz-se a trabalhar com o seno e

com o coseno.


Teoremas fundamentais das funções contínuas

Teorema de Bolzano (ou do Valor Intermédio):

Se f é contínua no intervalo fechado �a,b� e k é um número

estritamente entre f�a� e f�b�, então existe pelo menos um

c ��a,b� tal que f�c� � k.

Intuitivamente,

uma função contínua num intervalo não passa de um valor a

outro sem assumir todos os valores intermédios.

Corolário 1: Se f é contínua no intervalo �a,b� e não se anula

em ponto algum de �a,b�, então em todos os pontos de �a,b� a

função f tem o mesmo sinal.

Corolário 2: Se f é contínua no intervalo �a,b� e

f�a� � f�b� � 0, então f tem pelo menos um zero em �a,b�.

Teorema de Weirstrass: Qualquer função contínua num

intervalo �a,b� (fechado e limitado) tem máximo e mínimo

nesse intervalo.

Observação: Em qualquer um destes resultados, as condições

são apenas condições suficientes; não são condições necessárias.


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