limita funkcie jednej premennej. jpg
TRANSCRIPT
Limita funkcie jednej premennej
Definícia 1. Heineho definícia limity funkcieNech je funkcia f definovaná pre všetky z niektorého okolia bodu a.
Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu číslo b, ak pre každú postupnosť spĺňajúcu podmienky:
má odpovedajúcu postupnosť funkčných hodnôt limitu b.
Ak funkcia f v bode a má limitu rovnú b, píšeme
Definícia 2. Cauchyho definícia limity funkcieNech je funkcia f definovaná pre všetky z niektorého okolia bodu a.
Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu číslo b, ak ku každému okoliu existuje
také okolie je . Túto podmienku formulujeme
Niektoré pravidlá pre výpočet limít Limita konštantnej funkcie je pre každé x rovné k
Ak existuje v bode a, tak existuje aj a platí
Ak existujú a , tak platí
t.j. limita súčinu sa rovná súčinu limít
Ak existujú , a ak tak platí
t.j. limita podielu sa rovná podielu limít Nech je zložená funkcia; ak existujú limity
a ak pre každé , , tak existuje limita zloženej funkcie
Limita niektorých funkcií častejšie sa vyskytujúcich:
L`Hospitalovo pravidlo (neurčité výrazy)
a) Ak majú funkcie a v bode limity , tak výraz
označujeme ako neurčitý výraz. Keď majú funkcie a v okolí
bodu spojité prvé derivácie, prípadne vyššie, súčasne rôzne od nuly, môžeme postupne pomocou týchto derivácií určiť limitu
prípadne ďalej atď.,
pokiaľ posledné limity existujú. Tento postup nazývame L`Hospitalovo pravidlo. Ak
neexistuje , nie je to dôkazom toho, že neexistuje ani . V takýchto
prípadoch nemôžeme použiť L`Hospitalovo pravidlo, a limitu počítame zvyčajne priamo.
b) Okrem neurčitého výrazu typu je druhým základným typom neurčitý výraz
vtedy, keď majú funkcie a v bode limity .
Pri výpočte postupujeme ako v prípade a). V prípade a) a b) môže byť .c) Limity, ktoré sú neurčitými výrazmi môžeme upravovať
na základné neurčité výrazy a .
Poznámka:
Súčin funkcií môžeme vyjadriť: .
Rozdiel funkcií môžeme vyjadriť: .
Riešené príklady
1.
2.
3. , alebo substitúciou:
ak potom
4.
5.
6.
7.
8.
, alebo L`Hospitalovo pravidlo:
9. , alebo substitúcia:
ak potom
,
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
10.
, alebo L`Hospitalovo pravidlo:
11.
12.
, alebo L`Hospitalovo pravidlo:
13.
, alebo L`Hospitalovo pravidlo:
14.
, alebo L`Hospitalovo pravidlo:
15.
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
16.
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
17.
18.
19.
20.
21.
22.
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Poznámka: v ďalších úlohách použijeme nasledovné vzťahy:
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
každú limitu vypočítame zvlášť:
potom pôvodná limita:
48.
49.
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
50.
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
51.
52.
53.
54. , alebo
55. ,
alebo:
56.
57.
58.
59.
60. , alebo
61.
62.
63.
64.
, alebo
65.
v druhej limite použijeme substitúciu:
, alebo
66.
pre limitu v čitateli použijeme substitúciu
ak
pre limitu v menovateli použijeme substitúciu
ak
67.
68.
alebo L`Hospitalovo pravidlo:
69.
70.
V nasledujúcich príkladoch budeme na riešenie používať L`Hospitalovo pravidlo:
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83. Limitu položíme rovnú y, obidve strany rovnice logaritmujeme a po
úprave použijeme L`Hospitalovo pravidlo.
potom , teda , čiže
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. Limitu položíme rovnú y, obidve strany rovnice logaritmujeme a po úprave
použijeme L`Hospitalovo pravidlo.
potom , teda , čiže
91. Limitu položíme rovnú y, obidve strany rovnice logaritmujeme a po
úprave použijeme L`Hospitalovo pravidlo.
potom , teda , čiže
92. Limitu položíme rovnú y, obidve strany rovnice logaritmujeme a po
úprave použijeme L`Hospitalovo pravidlo.
potom , teda , čiže
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99. Limitu položíme rovnú y, obidve strany rovnice logaritmujeme a po
úprave použijeme L`Hospitalovo pravidlo.
potom , teda , čiže
100.