PROPRIETILE I CARACTERISTICILE STRATULUI LIMIT

LISTA PRINCIPALELOR NOTAII

A aria

a acceleraia; coeficientul de conductibilitate termic; seminlimea canalului; coeficientul

b limea; lungimea

cm coeficientul de moment

cx coeficientul de rezisten la naintare

cxf coeficientul de rezisten de frecare

cxp coeficientul de rezisten de presiune

cz coeficientul de portan

c coeficientul; cldura specific (raportat la unitatea de mas); viteza sunetului

cp cldura specific la presiune constant

cv cldura specific la volum constant

D diametrul

E energia intern

Et energia total

Ec numrul Eckert

e energia intern specific

F fora

Fr numrul Froude

f frecvena; funcia de curent adimensional

fi (gi, hi, ki, ji, qi, mi, ni) coeficientul-funcie din seria lui Blasius a funciei de curent

Gr numrul Grashof

g acceleraia gravitaional; presiunea total

gx (gy, gz) componenta vectorului acceleraiei gravitaionale pe axa Ox (Oy, Oz)

h nlimea; limea; distana care depete grosimea stratului limit

Ix componenta impulsului jetului pe axa Ox

i entalpia

- versorul axei Ox (Oy, Oz)

K constanta adimensional; funcia adimensional

Kx componenta impulsului cinematic al jetului pe axa Ox

k exponentul; coeficientul; parametrul de form al lui Holstein i Bohlen

L lungimea; dimensiunea lungimii; lucrul mecanic

l lungimea (dimensiunea) caracteristic

ls lungimea de stabilizare a profilului de viteze

M masa; dimensiunea masei

momentul

Ma numrul Mach

m masa; exponentul; constanta

Nu numrul Nusselt

n frecvena

- normala

P portana

Pr numrul Prandtl

p presiunea

Q debitul; cantitatea de cldur

q fluxul de cldur

R raza; constanta gazului perfect

fora de rezisten la naintare

Rf rezistena de frecare

Ri rezistena indus

Rj rezistena de presiune (de form)

Re numrul Reynolds

r raza

raza vectoare

ri coeficientul-funcie din seria funciei raz a corpului de revoluie

S suprafaa

Sh numrul Strouhal

s coordonata curbilinie

t timpul; dimensiunea timpului; temperatura absolut

efortul unitar

t timpul

tD timpul la care se produce desprinderea

U (W) viteza curgerii exterioare

viteza la infinit

u (v, w) componenta vitezei pe axa Ox (Oy, Oz)

ui coeficientul funcie din seria Blasius a vitezei

viteza

V volumul

X (Y) variabila lui Crocco

X (Y, Z) coordonata cartezian (adimensional); componenta forei masice unitare pe axa Ox (Oy, Oz)

X (y, z) coordonata cartezian; exponentul

coeficientul local de convecie termic; constanta

coeficientul de dilataie; constanta

- constanta

grosimea stratului limit

grosimea substratului (filmului) laminar (a substratului vscos)

l grosimea de deplasare

2 grosimea pierderii de impuls

3 grosimea pierderii de energie

() coordonata adimensional

unghiul; creterea temperaturii

coeficientul lui Darcy; parametrul de form al lui Pohlhausen

t coeficientul de conductivitate termic

vscozitatea dinamic

vscozitatea dinamic

() variabila lui Mises; variabila de transformare a ecuaiilor stratului-limit

densitatea

frontiera stratului-limit

efortul unitar normal

tensiunea tangenial

0 tensiunea tangenial la perete

funcia de disipaie

funcia de curent

viteza unghiular

ASPECTEV TEORETICE PRIVIND PROPRIETILE I CARACTERISTICILE STRATULUI LIMIT

1.1 Rezistena la naintare a corpurilor solideDeterminarea rezistenei la naintare a unui corp ntr-un fluid prezint o importan practic deosebit. Experimental se constat c intensitatea R a forei de rezistena la naintarea unui corp ntr-un mediu fluid (presupus nelimitat) depinde de viteza v a corpului, de o dimensiune caracteristic l a acestuia, de densitatea i vscozitatea dinamic a fluidului precum i acceleraia gravitaional g. n conformitatea cu metoda Rayleigh a analizei dimensionale, intensitatea forei de rezisten la naintare este proporional cu un produs de puteri al mrimilor fizice care o determin,

.

(1.1)Valorile exponenilor se obin impunnd condiia omogenitii dimensionale a ambilor membri ai acestei egaliti. Din ecuaia dimensional

Rezult sistemul de ecuaii:

1=x1+y,

,

(1.2)Se obine x1=1-y, x2=2-y+z, deci:

sau,

(1.3)Se verific uor c expresiile din paranteze sunt adimensionale i anume i s-a inut seama de expresiile numerelor REynolds i Froude). Dac se noteaz , formula (1.3) devine:

(1.4)i reprezint expresia rezistenei la naintare a unui corp n cazul general n care se ine seama att de influena forelor de vscozitate ct i de influena forelor gravitaionale. Funcia k(Re, Fr) depinde, n afar de numerele Reynolds i Froude ale micrii, de forma corpului solid.

n cazurile n care rezistena la naintare a unui corp este dat n principal de influena vscozitii, se neglijeaz influena acceleraiei gravitaionale, deci z=0 n formula (1.3) i se obine

(1.5)

valoarea lui y trebuie determinat pe cale teoretic sau experimental.

Pentru viteze foarte mici se constat c fora de rezisten la naintare este direct proporional cu viteza, deci n acest caz y=1 i,

(1.6)

Aceast formul, n care nu intervine densitatea , corespunde micrilor lente (la numere Reynolds mici) pentru care se pot neglija forele de inerie. Formula este analog formulei lui Stokes pentru rezistena la naintare a unei sfere de raz r care se deplaseaz lent ntr-un fluid vscos, .Pentru viteze mai mari se observ experimental c fora de rezisten la naintare este dat de o relaie de tipul (1.5) cu , deci

(1.7)

Se obine o formul asemntoare formulei rezistenei la naintare a unei plci plane de dimensiuni l i h, plasat ntr-un curent laminar rectiliniu paralel cu planul plcii, cu dimensiunea h dispus perpendicular pe direcia curentului. ntr-adevr, din teoria stratului-limit laminar pe placa plan rezultat

Pentru viteze nc mai mari se constat c , deci formula (1.5) devine

(1.8)

Aceast relaie corespunde formulei rezistenei la naintare a unei plci palne plasat ntr-un curent turbulent. (dup cum se va arta, n cazul stratului-limit turbulent pe placa plan rezult ).

Pentru viteze foarte mari (dar nu comparabile cu viteza sunetului), experienele arat c mrimea forei de rezisten la naintare este proporional cu ptratul vitezei, deci formula (1.5), corespunztor valorii y=0, ia forma

(1.9)Formula (1.9) reprezint legea de rezisten a lui Newton, , observnd c aria maxim A a seciunii corpului cu un plan perpendicular pe direcia vitezei este proporional cu ptratul unei dimensiuni caracteristice a corpului.

Pentru determinarea teoretic a valorii rezistenei la naintare, n mecanica fluidelor se pot face diferite ipoteze. Astfel, pentru micrile plane, se obin unele rezultate n ipoteza fluidului ideal prin utilizarea modelului lui G. Kirchhoff (bazat pe ipoteza lui H. v. Helmholtz cu privire la micarea cu suprafee de discontinuitate care delimiteaz zona de ap moart existent n spatele corpului) i a modelului lui Th. v. Krmn (bazat pe considerarea aleii de vrtejuri Bnard-Krmn, format n avalul corpului). Rezultate mai concludente se obin prin utilizarea ipotezei fluidului real. Este normal s se ncerce rezolvarea problemei determinrii rezistenei hidro-aerodinamice pornind de la ecuaiile de micare Navier-Stokes. Posibilitile de soluionare exact a ecuaiilor (neliniare) Navier-Stokes sunt limitate datorit dificultilor matematice care apar la integrare. Din aceast cauz a aprut necesitatea considerrii unor soluionri aproximative care au la baz ideea neglijrii anumitor termeni din ecuaiile de micare. Astfel, pentru micrile foarte lente i lente ale fluidelor vscoase se pot neglija fie toi termenii care reprezint forele de inerie (aproximaia Stokes), fie numai o parte din ei (aproximaiile Ossen i Burgers). Soluiile obinute pe aceast cale de rezolvare aproximativ a ecuaiilor Navier-stokes sunt valabile numai pentru curgerile caracterizate prin numere Rexnolds foarte mici sau mici. Astfel, n cazurile n care numrul Reynolds este mult mai mic dect 1 legea de rezisten este de forma (1.6). Dar cele mai multe din micrile fluidelor, importante din punct de vedere al aplicaiilor practice, sunt caracterizate prin numere Reynolds care depesc valorile care permit o astfel de aproximare. Este deci necesar s se gseasc o alt metod de rezolvare aproximativ a ecuaiilor de micare, astfel nct soluiile s fie valabile pentru micri caracterizate de valori mari i foarte mari ale numrului Reynolds pentru care legile de rezisten sunt de forma (1.7), (1.8) i (1.9). Dintre ncercrile efectuate n aceast direcie cea mai important este teoria stratului-limit.1.2 Noiunea de strat-limit. Caracteristicile curgerii n stratul limit

Se examineaz micarea unui fluid vscos n jurul unui corp de o form oarecare (fig.1.1), n ipoteza c numrul lui Reynolds ataat curgerii corespunde regimului laminar de micare. Experienele dovedesc c influena vscozitii se manifest ntr-un strat subire de fluid din imediata vecintate a suprafeei corpului. n interiorul acestui strat vitezele particulelor de fluid variaz dup direcia perpendicular pe suprafaa corpului de la valoarea 0 la suprafaa corpului (ca urmare a proprietii de adeziune a fluidului) pn la valoarea U a curgerii exterioare.

Fig.1.1 Micarea unui fluid vscos n jurul unui corp

n acest strat de fluid creterea rapid a vitezei tangeniale determin valori mari ale gradientului vitezei i n consecin tensiunile tangeniale de frecare ating valori considerabile, deci forele de viscozitate au valori mari, comparabile cu forele de inerie. n exteriorul acestui strat gradientul vitezei are o valoare mic i se pot neglija tensiunile tangeniale .. Forele de viscozitate devin neglijabil de mici n comparaie cu forele de inerie. Stratul de fluid n micare din imediata vecintate a corpului n care viteza variaz de la valoarea zero la suprafaa corpului pn la pn la valoarea corespunztoare curgerii exterioare a fluidului i n care se manifest intens aciunea forelor de vscozitate (de frecare) se numete strat-limit (strat marginal sau strat de frecare).

n studiul teoretic al curgerii unui fluid de vscozitate mic se separ cmpul de curgere n dou domenii: domeniul stratului limit n care trebuie s se ia n consideraie forele de viscozitate i domeniul din exteriorul stratului limit n care forele de vscozitate pot fi neglijate i n care micarea poate fi deci considerat potenial. Aceast separare aproximativ a cmpului n dou domenii, introdus de Prandtl, simplific mult studiul teoretic al curgerii fluidelor reale.

Grosimea stratului-limit se definete convenional ca fiind distana de la suprafaa corpului, msurat n lungul normalei la aceast suprafa, la care viteza fluidului atinge 99% din viteza curgerii poteniale exterioare. Grosimea stratului-limit crete treptat, n lungul suprafeei corpului, n sensul curgerii. Trebuie observat c frontiera exterioar a stratului-limit, innd seama de definiia adoptat pentru grosimea , nu este linie de curent a curgerii i servete numai de limita convenional a zonei de influen a vscozitii. Pe de alt parte, datorit grosimii mici i a caracterului uniform al curgerii n stratul-limit, presiunea n seciunea stratului limit normal la suprafaa corpului poate fi considerat constant i egal cu presiunea corespunztoare curgerii exterioare (aceast ipotez se confirm experimental i se poate demonstra teoretic).Curgerea n stratul limit poate fi laminar sau turbulent. Regimul de micare n stratul-limit, laminar sau turbulent, poate fi caracterizat prin numrul Reynolds , unde U este viteza curgerii exterioare, la frontiera stratului-limit, - grosimea stratului limit, att U ct i corespund aceleai normale la suprafaa corpului. Deoarece U ct i variaz de-a lungul suprafeei corpului, rezult c i Re variaz de-a lungul suprafeei i deci valoarea critic Recr la care are loc tranziia de la micarea laminar la micarea turbulent se realizeaz ntr-o anumit regiune a suprafeei corpului (la o anumit abscis x). Prin urmare, stratul- limit format pe suprafaa unui corp, n cazul curgerii unui fluid la numere Reynolds mari, este laminar n vecintatea bordului de atac i devine turbulent spre aval, la o anumit distan de bordul de atac. Lungimea zonei laminare depinde de gradul de perturbare a curentului exterior de rugozitatea suprafeei n vecintatea bordului de atac i de forma suprafeei corpului. Zona de tranziie a stratului-limit este locul unor pulsaii intense ale vitezei, presiunii, densitii. n zona de tranziie se produce o cretere important a grosimii a stratului-limit i o schimbare brusc a repartiiei de viteze.n stratul-limit turbulent are loc un amestec intens al particulelor macroscopice de fluid n direcia transversal, ceea ce produce o nivelare (uniformizare) a vitezelor medii. n stratul-limit turbulent se formeaz n imediata apropiere a suprafeei corpului o pelicul subire de fluid de grosime n care vitezele au o distribuie practic liniar, pulsaiile fiind aproape inexistente, curgerea avnd un caracter laminar; aceast pelicul este numit substrat (film) laminar. n substratul laminar gradienii transversali de vitez au valori foarte mari, determinnd valori mari tensiunilor tangeniale de frecare . Cercetrile recente arat c micarea n acest substrat nu este totui laminar, existnd pulsaii paralele cu suprafaa corpului; de aceea denumirea mai corect este de substrat vscos.Fluidul frnat n stratul-limit nu rmne , n toate cazurile n contact cu suprafaa corpului pe ntreaga ntindere a acestuia. Se poate ntmpla ca n stratul-limit mult ngroat s apar o curgere n sensul contrar curentului principal ceea ce conduce la desprinderea stratului-limit de suprafaa corpului; acest fenomen va fi explicat ulterior.

Un alt exemplu de strat-limit format pe suprafee solide este cel care se realizeaz n tronsonul iniial al unei conducte n care intr un fluid vscos. Pe pereii interiori ai conductei apare stratul-limit care se dezvolt progresiv spre aval. n interior, dincolo de stratul-limit, exist fluidul liber pn n seciunea de stabilizare a profilului de viteze, acolo unde se realizeaz jonciunea straturilor-limit formate pe perei.

Se poate trage concluzia c micarea fluidelor n prezena corpurilor solide este influenat de acestea. Datorit proprietii de adeziune la perete, particulele fluide au viteza egal cu viteza corpului solid (viteza relativ dintre fluid i corpul solid este zero). n imediata apropiere a suprafeei corpului vitezele variaz foarte mult n direcia normalei, ceea ce determin apariia unor eforturi tangeniale, datorate vscozitii mari. Stratul limit reprezint zona din apropierea corpului n care se resimte influena acestuia asupra micrii fluidului. n studiul stratului-limit se disting dou tipuri de probleme de micare i anume problema extern, dac fluidul curge n jurul unui corp solid (de exemplu micarea aerului n jurul unei aripi de avion sau a apei n lungul unei pale a unei turbine) i problem intern, dac micarea fluidului este limitat de un contur rigid (de exemplu micarea apei sau gazelor prin conducte); poate fi definit i o problem mixt (de exemplu micarea apei n jurul unei vane fluture montat ntr-o conduct).Stratul-limit poate exista i n lipsa unui contur rigid. Se pot evidenia trei feluri de astfel de curgeri de tip strat-limit i anume frontiere de jeturi (vne) libere, jeturi (vne) libere i jeturi (vne) libere i dre (siaje). Frontiera de jet liber apare atunci cnd doi cureni fluizi se mic n aceeai direcie cu viteze diferite, jetul liber se formeaz la ptrunderea unui curent de fluid, printr-un orificiu, fant sau ajutaj, ntr-un spaiu ocupat de un mediu fluid imobil, iar dra ia natere n spatele unui corp care se deplaseaz ntr-un fluid sau n spatele unui corp n repaus plasat ntr-un curent de fluid.1.3 Stratul limit pe placa plan i pe profilul hidro-aerodinamic

Se consider micare laminar a unui fluid vscos n jurul unei plci plane subire, de lungime convenabil de mic, aezat paralel cu direcia de curgere (fig.1.2).

Fig.1.2. Stratul-limit laminar pe placa plann amonte de plac viteza de curgere este constant i egal cu . Dac fluidul ar fi fost ideal (nevscos), atunci particulele slear fi alunecat pe suprafaa plcii cu viteza , repartiia vitezelor n lungul unei normale oarecare la suprafaa plcii fiind uniform. Fluidul fiind ns real (vscos), ader la suprafaa plcii i se formeaz strat-limit. Grosimea stratului-limit, notat cu , crete treptat. Particulele fluidului de pe suprafaa plcii au viteza nul datorit adeziunii. Pe msura deprtrii de plac viteza de curgere se mrete apropiindu-se (asimptotic) de viteza teoretic corespunztoare curgerii unui fluid ideal (viteza la infinit ). Tensiunea tangenial de frecare , n interiorul stratului-limit, atinge valori mari chiar i pentru o viscozitate foarte mic, deoarece gradientul vitezei n direcia perpendicular pe placa plan este foarte mare.

Particulele de fluid din stratul-limt snt duse de curent i n aval de plac, unde se mic cu viteze mai mici dect viteza curentului exterior, formnd aa numita dr (siaj sau urm) hidro sau aerodinamic.Dac placa plan are o lungime suficient de mare i curentul exterior este turbulent, atunci regimul de micare n stratul-limit este laminar pentru distane x mici, deci n apropierea bordului de atac, trece n regim de tranziie la o anumit lungime critic xcr1 i apoi n regim turbulent pentru distane mai mari dect o valoare critic xcr2. Regimul de micare depinde n numrul Reynolds construit cu viteza curentului exterior . i cu abscisa x msurat n lungul plcii, . Cele dou numere Reynolds critice, pentru placa plan neted, au valorile , reprezentnd limita pn la care regimul de micare rmne laminar i de care reprezint limita pentru care micarea devine turbulent. ntr-o prim aproximaie, se poate considera c zona de tranziie se reduce la seciunea de tranziie precizat de . (Deseori se consider ). Grosimea stratului-limit depinde de regimul de micare (fig. 1.3).

Figura 1.3. Variaia grosimii stratului-limit pe placa plan

n funcie de regimul de micareLungimea zonei laminare depinde de gradul de turbulen al curentului exterior (zona laminar este cu att mai lung, cu ct curentul exterior este mai puin perturbat) de rugozitatea suprafeei n apropierea bordului de atac (rugozitile din vecintatea lui pot face ca stratul-limit s fie turbulent chiar de la nceput) precum i de plasarea plcii ntr-o configuraie de difuzor sau confuzor (dac placa este peretele unui difuzor, viteza curentului exterior scade spre aval i este mai mic dect n cazul n care placa este peretele unui confuzor, cnd viteza crete spre aval). n zona de tranziie se produce o cretere brusc a grosimii a stratului-limit i o schimbare brusc a distribuiei de viteze, vitezele crescnd foarte rapid n apropierea peretelui, tinznd apoi s se uniformizeze de-a lungul normalei la perete. n zona turbulent a stratului-limit, n imediata apropiere a peretelui, se menine un substrat laminar , numit i film laminar sau, mai corect, substrat vscos.Se examineaz acum micarea laminar permanent (suficient de lent) a unui fluid n jurul unui corp solid aflat n stare de repaus, de forma unui cilindru drept infinit lung, avnd drept curb generatoare un profil hidroaerodinamic; la infinit fluidul are viteza uniform distribuit, cu direcia normal pe generatoarele cilindrului (micarea este deci plan, n jurul unui profil). Se consider un sistem de axe, cu abscisa curbilinie x dirijat n lungul profilului, n sensul curgerii, originea 0 fiind n bordul de atac i ordonata rectilinie, normal profilului. n figura 1.4 a este definit sistemul de axe corespunztor unui punct curent P aflat pe profil. n cazul fluidului ideal se stabilete o repartiie a vitezelor care poate fi determinat cu ajutorul teoriei micrilor poteniale plane. n punctul P viteza are doar component tangenial, notat cu UP . n toate celelalte puncte de pe axa local y care trece prin P viteza are att component tangenial, notat cu U, ct i component normal. Componenta U variaz n lungul normalei Py la suprafaa profilului dup o lege de tipul curbei I (fig. 1.4 b). n cazul fluidului real se constat experimental c n lungul normalei Py componenta u a vitezei variaz dup o lege de tipul curbei II, tinznd asimptotic ctre curba I corespunztoare fluidului ideal (viteza este nul pe suprafaa profilului, datorit adeziunii). Curba II ar corespunde unor numere Reynolds mici. Cnd numerele Reynolds sunt mai mari distribuia vitezelor se face dup o curb de tipul III sau IV care se apropie tot mai mult de profilul de viteze corespunztor fluidului ideal cu excepia zonei din imediata apropiere a suprafeei profilului unde viteza crete brusc de la valoarea zero la o valoare foarte apropiat de cea corespunztoare fluidului ideal (stratul-limit).

n general, pentru curgerile ntlnite n tehnic, stratul-limit format pe suprafaa unui profil hidroaerodinamic este laminar numai n vecintatea bordului de atac 0 i devine turbulent n aval, la o anumit distan de 0, corespunztor unui numr Reynolds critic. Regimul de micare n stratul limit, laminar sau turbulent, poate fi caracterizat prin numrul Reynolds , unde U este componenta longitudinal a vitezei pe frontiera stratului-limit, iar este grosimea stratului-limit, att U ct i corespunznd aceleiai normale la suprafaa profilului. Deoarece U i variaz de-a lungul profilului (sunt funcii de abscisa curbilinie x) rezult c i Re variaz de-a lungul profilului, prin urmare numrul Reynolds critic variaz de-a lungul profilului, prin urmare numrul Reynolds critic este atins ntr-un anumit punct numit punct de tranziie.

a

b

Fig.1.4 Stratul-limit pe profilul hidroaerodinamic

De fapt tranziia are loc pe o anumit zon, precizat de dou numere Reynolds critice (analog plcii plane). i n cazul profilului hidroaerodinamic n zona stratului-limit turbulent se formeaz, n imediata vecintate a suprafeei profilului, substratul (filmul) laminar . De asemenea, n spatele profilului se formeaz dra hidroaerodinamic (siajul).

1.4 Stratul-limit n tronsonul iniial al unui canal i al unei conducte circulare

Stratul-limit se formeaz i la curgerea n tronsonul iniial al unui canal, adic n poriunea din avalul seciunii transversale de intrare. La distana mare de intrarea n canalul format de dou plci plane paralele profilul vitezelor este parabolic (curgere plan Hagen-Poiseuille). Viteza fluidului n seciune transversal de intrare Uo este constant pe ntreaga lime b=2a a canalului, i are direcia axei x, paralel cu pereii canalului (fig. 1.5). Numrul Reynolds al canalului este suficient de mic, astfel nct curgerea este laminar.Pe fiecare din cei doi perei ai canalului se formeaz strat-limit i, prin urmare, la distane nu prea mari de intrarea n canal, curgerea comport trei zone: una central, numit nucleul (smburele) curgerii, n care viteza are o distribuie constant pe seciunea precizat de abscisa x i dou laterale, formate de straturile-limit. Deoarece prin fiecare seciune transversal trebuie s treac una i aceeai cantitate de fluid, atunci micorarea debitului ca urmare a aciunii de frnare care se exercit n straturile-limit este compensat de mrimea debitului n nucleu, deci de creterea vitezei. Prin urmare, spre deosebire de cazul stratului-limit format pe placa plan longitudinal ( 1.3) n cazul canalului stratul-limit se dezvolt sub aciunea unei curgeri exterioare accelerate. Apoi la o distan mai mare de seciunea de intrare n canal, cele dou straturi-limit se unesc i vitezele tind asimptotic spre profilul parabolic Hagen-Poiseuille; n centrul canalului, pe axa x, viteza capt valoarea maxim 2Uo .Studiul teoretic al curgerii n tronsonul iniial al unui canal a fost efectuat de H. Schlichting [36], care a determinat repartiia vitezelor n diferite seciuni transversale. Din figura 1.5 se observ c profilul parabolic al vitezelor se realizeaz la de unde rezult lungimea prii iniiale (lungimea de stabilizare a profilului de viteze).

(1.10)

Fig.1.5 Distribuia vitezelor curgerii laminare

n tronsonul iniial al unui canalAstfel, pentru Re=2000 lungime de stabilizare (deci lungimea poriunii iniiale a canalului necesar formrii distribuiei parabolice vitezelor) este egal cu 80b. Prin urmare n cazul unei lungimi mici a canalului (sau n cazul unor numere Reynolds mici) nu se poate realiza distribuia parabolic a vitezelor.

Curgerea laminar n tronsonul iniial al unei conducte circulare (curgere axial simetric) se desfoar analog celei din tronsonul iniial al unui canal (curgere plan). La intrarea n conduct (racordat, de exemplu, la un rezervor) micarea are caracter de micare de fluid ideal, distribuia vitezelor fiind uniform i egal cu viteza medie. Particulele de fluid din apropierea pereilor sunt frnate n micarea lor, dnd natere stratului-limit, iar cele din zona axei conductei sunt accelerate n aa fel nct debitul rmne acelai n orice seciune ortogonal conductei. Dup o lungime ls, numit lungime de stabilizare, profilul de viteze devine stabil (profil parabolic Hagen-Poiseuille (fig. 1.6). Curgerea laminar n tronsonul iniial al unei conducte circulare de raz a fost studiat, utiliznd ipoteze de calcul ale stratului-limit, de L.Schiller [35] care a stabilit c profilul parabolic al vitezelor se realizeaz aproximativ la de unde rezult lungimea de stabilizare

(1.11)

Fig.1.6. Distribuia vitezelor curgerii laminare

n tronsonul iniial al unei conducte

Dac numrul Reynolds este mai mare dect valoarea critic de tranziie, deci n cazul n care micarea din conduct este turbulent, curgerea n tronsonul iniial este asemntoare, cu deosebire c ntr-o anumit seciune T micarea n stratul-limit devine turbulent, iar zona de strat-limit laminar se ngusteaz i se transform n substrat-limit laminar (film laminar sau, mai corect, substrat vscos, 1.2). n acest substrat viteza crete rapid, aproximativ liniar, de la valoarea zero la perete pn la o valoare apropiat de viteza maxim (fig. 1.7). Grosimea a substratului vscos scade odat cu creterea numrului Reynolds dup legea aproximativ

(1.12)n care este coeficientul pierderilor liniare de sarcin (coeficientul lui Darcy).

Fig.1.7 Distribuia vitezelor curgerii turbulente

n tronsonul iniial al unei conducte

Lungimea de stabilizare ls , n cazul curgerii turbulente, depinde ntr-o mic msur de valoarea numrului Reynolds i este dat de relaia

(1.13)

(relaie aproximativ).1.5 Stratul-limit n lipsa unei suprafee solide: frontiera de jet liber, jetul liber i dra

O curgere fluid care nu este mrginit de perei solizi se numete liber. Exist n general trei feluri de curgeri libere, laminare sau turbulente, care pot fi studiate pornind de la ecuaiile stratului-limit, prin metode specifice teoriei stratului-limit; acestea sunt frontiere de jeturi libere, jeturi libere i dre.

Frontiera de jet liber apare atunci cnd doi cureni fluizi se deplaseaz n aceeai direcie cu viteze diferite, U1 i U2 (fig. 1.8 ) sau U i 0 (fig. 1.8 b). Ca urmare a eforturilor tangeniale cei doi cureni ncep s interacioneze, ncepnd cu punctul de abscis 0 al suprafeei lorde contact i ca rezultat, la o anumit distan x, apare o distribuie de viteze cu un gradient important n direcia transversal curgerii. Experienele arat c racordarea celor dou profiluri de viteze se realizeaz ntr-o zon de grosime mic.

Studiul frontierelor de jet liber este important n rezolvarea unor probleme de interes practic, de exemplu micarea aerului la suprafaa apei, transferul de cldur i mas la racordarea unor curgeri diferite, dispersia jeturilor libere etc.

Jetul liber se formeaz la ptrunderea unui curent de fluid, printr-un orificiu, ajutaj sau fant, ntr-un spaiu ocupat de un mediu fluid imobil; jetul este necat dac evolueaz ntr-un mediu fluid de aceeai stare de agregare (de exemplu jet de aer n aer).

a

bFig.1.8 frontiera de jet liber: a) frontiera ntre doi cureni cu viteze diferite

b) frontiera ntre un curent i un fluid n repaus (semijet)

Aspectul micrii unui jet liber necat care iese cu viteza U0 dintr-un ajutaj de diametru D0 este prezentat n figura 1.9.

Fig.1.9 Jetul liber necatJetul liber necat prezint dou pri distincte: nucleul central, cu seciunea transversal continuu descresctoare, n care micarea are caracter de micare de fluid ideal cu distribuie uniform a vitezelor i stratul-limit, mrginit spre interior de nucleul central i n exterior de o suprafa conic, numit frontiera jetului.n stratul limit micarea principal este dirijat n lungul jetului, dup axa Ox. Componenta longitudinal a vitezei locale descrete rapid cu deprtarea de axa jetului (la distan de ax, ea se reduce la jumtate din valoarea de pe ax, iar la y = R devine practic nul, u = 0). Componentele transversale ale vitezei pstreaz aproximativ acelai ordin de mrime n toat zona stratului-limit i sunt orientate spre axa jetului pe frontier, valoarea lor este de circa ; datorit componentelor transversale fluidul imobil este parial absorbit de jet (de aceea zona stratului-limit mai este numit i zon de amestec).Studiul jeturilor se impune datorit numeroaselor aplicaii tehnice: tehnica ventilaiei; carburaia motoarelor termice; propulsia avioanelor i rachetelor; tierea metalelor cu jeturile de plasm etc.Dra (siajul) ia natere n spatele unui corp care se deplaseaz ntr-un fluid sau n spatele unui corp n repaus plasat ntr-un curent de fluid (fig. 1.10 a i b).

a

bFig.1.10. Dra: a) n spatele unui corp care se deplaseaz ntr-un fluidb) n spatele unui corp n repaus plasat ntr-un curent de fluid

n spatele unui corp n repaus plasat ntr-un curent de fluid viteza este mai mic dect viteza curentului exterior. Limea drei crete pe msur ce crete distana de la corp, iar diferena dintre vitezele curgerii exterioare i a curgerii n dr este cu att mai mic cu ct este mai mare distana de la corp. Gradientul vitezei n direcia transversal curgerii are valori mari, mai ales n apropierea corpului.

Studiul curgerii n dre este important n determinarea rezistenei la naintare a corpurilor.

1.6 Grosimea stratului-limit

Aa cum s-a artat, stratul-limit este stratul de fluid n micare din vecintatea unui corp solid n carte viteza variaz de la valoarea zero la suprafaa corpului pn la valoarea corespunztoare curgerii poteniale exterioare (fluidul liber) i n care se manifest intens aciunea forelor de viscozitate.Grosimea stratului-limit nu poate fi precizat n mod riguros i univoc deoarece trecerea de la viteza din stratul limit la viteza curgerii exterioare se face asimptotic, influena vscozitii resimindu-se (teoretic) n ntregul domeniu ocupat de fluidul real n micare. Cercetrile experimentale demonstreaz ns c la o distan foarte mic de suprafaa corpului viteza fluidului atinge o valoare sensibil apropiat de cea corespunztoare curgerii exterioare. Grosimea stratului-limit este definit de distana de la suprafaa corpului, msurat pe normal, la care mrimea vitezei difer cu 1% de cea corespunztoare curgerii exterioare poteniale. Dac se noteaz cu U componenta dup direcia x a vitezei pe care ar avea-o fluidul ideal care s-ar mica n jurul corpului considerat, atunci grosimea stratului-limit ntr-un punct P al suprafeei S a corpului este distana msurat pe normala PY la suprafa (ncepnd din P) la care .

a

b

Fig.1.11 Grosimea stratului limit: a) suprafaa plan;

b) suprafaa oarecare

n cazul micrilor nepermanente grosimea stratului-limit depinde, n general, de poziia punctului de pe suprafaa corpului, viteza curentului de fluid, vscozitatea cinematic a fluidului i de timp. Dependena grosimii stratului-limit de ultimele dou mrimi poate fi determinat prin rezolvarea problemei lui Rayleigh.

Fig.1.12 Determinarea grosimii stratului-limit format pe o plac plan antrenat brusc ntr-o micare n planul suSe consider un fluid vscos care ocup semispaiul y>0 limitat de placa plan impermeabil orizontal y=0 (fig.1.12). Iniial fluidul se gsete n stare de repaus. La un moment dat placa ncepe s se mite brusc n planul su cu viteza constant u dup o direcie fix de-a lungul creia se ia axa Ox. Fluidul este antrenat, de plac, ntr-o micare paralel cu axa Ox din aproape n aproape, cu viteze din ce n ce mai mici pe msur ce distana y de la plac se mrete. Pentru descrierea micrii se face apel la prima ecuaie Navier-Stokes

(1.14)

i se ine seama c u=u(y, t), v=0, x=0 i .

Rezult c ecuaia care determin micare este

,

(1.15)

adic ecuaia cldurii ntr-o dimensiune, care trebuie rezolvat cu condiiile iniiale i la limit

u=0pentru

i

u=Upentru t>0i

pentru t>0i

(1.16)

Se introduce variabila adimensional

(1.17)

cu ajutorul creia se exprim viteza fluidului ntr-un punct oarecare

(1.18)

Se calculeaz derivatele i din ecuaia (1.15), innd seama de expresiile (1.17) i (1.18), rezult

;

,

i ecuaia (1.15) se transform ntr-o ecuaie diferenial ordinar pentru funcia f(Y),

(1.19)Aceast ecuaie se rezolv impunnd condiiile la limit

f(0)=1,

(1.20)

rezultate din (1.16). Se obine soluia

(1.21)

n care erf(Y) i erfc(Y) reprezint funcia erorilor i complementara funciei erorilor de argument Y, funcii care pot fi prezentate i tabelar.

Viteza u=u(y, t) este, innd seama de relaiile (1.18), (1.17) i (1.21),

(1.22)

Dac se definete grosimea a stratului-limit ca distana de la perete la care viteza difer doar cu 1% de viteza fluidului liber, atunci este distana la care . Din (1.22) rezult erf(Y)=0,01 ceea ce corespunde, aproximativ, valorii Y=2 de unde se obine

(1.23)

Prin urmare grosimea stratului-limit este proporional cu rdcina ptrat a vscozitii i cu rdcina a timpului. Pentru un fluid dat (de vscozitate precizat), grosimea stratului-limit crete cu timpul i pentru ntreg fluidul care ocup semispaiul y>0 este antrenat n micare.

n cazul micrii permanente, grosimea stratului-limit laminar se poate evalua aproximativ prin considerarea ordinelor de mrime ale forelor de inerie i de vscozitate. (Se reamintete c fiecare termen din ecuaiile de micare ale fluidelor reale n componente de eforturi sub forma dat de Cauchy are semnificaia unei fore unitare, corespunztoare unitii de mas [3]). Prima ecuaie

se scrie, n cazul micrii permanente n lungul unei plci plane i al neglijrii forelor masice, sub forma . Fora de inerie raportat la unitatea de mas egal cu . Pentru o plac de lungime L plasat ntr-un curent de fluid de vitez U, mrimea este proporional cu i deci fora de inerie are ordinul de mrime . Fora de vscozitate raportat la unitatea de mas este dat de expresia . n cazul n care curgerea n stratul-limit este laminar, i fora de vscozitate se exprim prin formula . Deoarece gradientul vitezei pe direcia normal peretelui are ordinul de mrime , rezult c ordinul de mrime al forei de frecare este dat de expresia . Spre deosebire de curgerea exterioar n care fora de vscozitate poate fi neglijat fa de fora de inerie, n stratul limit fora de vscozitate i fora de inerie au acelai ordin de mrime,

(1.24)

Se rezolv aceast relaie n raport cu grosimea stratului-limit i se obine

(1.25)

n conformitate cu rezultatele obinute de H. Blasius, factorul de proporionalitatedin formula (1.25) este egal cu 5 i rezult

(1.26)

Prin raportarea grosimii la lungimea L a plcii se obine grosimea adimensional a stratului-limit

(1.27)

n care este numrul lui Reynolds construit cu lungimea L a plcii. Dac se nlcouiete lungimea L a plcii cu o lungime oarecare x se obine legea de variaie a grosimii stratului-limit laminar,

(1.28)

n zona turbulenei depline, grosimea a stratului-limit se calculeaz cu formulele empirice. Pentru placa plan neted, paralel cu curentul de fluid, legea de variaie a grosimii n funcie de distana x de la bordul de atac este dat de formula

(1.29)

Se reamintete c n stratul-limit turbulent se menine un substrat laminar , numit film laminar, a crui grosime este foarte mic.

Grosimea a stratului-limit este mic n raport cu L, chiar i n regimul turbulent dup cum reiese din tabelul 1.1 n care sunt date valorile grosimii calculate cu ajutorul relaiei (1.29).

Tabelul 1.1

Grosimea stratului-limit turbulent pe placa plan

Natura fluidului

L (m)

(mm) (%)

Aer

501

181,8

1005

601,2

20010

900,9

Ap

12

402,0

550

3850,8

10200

10000,5

n teoria stratului-limit se mai definesc i alte grosimi ale acestuia, reflectnd influena formrii stratului-limit asupra unor mrimi care caracterizeaz curgerea fluidului n jurul corpului (debitul, impulsul, energia). Astfel se introduce mrimea numit grosime de deplasare 1 , definit prin relaia

(1.30)

Grosimea de deplasare 1, msurat de la suprafaa corpului, reprezint grosimea seciunii prin care ar trece un debit (masic) de fluid ideal n absena stratului-limit egal cu pierderea de debit prin seciunea stratului-limit datorit existenei frecrilor n curgerea real. Pierderea de debit n stratul-limit este exprimat de partea a doua a egalitii (1.30), iar debitul echivalent de fluid ideal prin seciunea de grosime 1 prin partea nti a egalitii. (n aceste formulri prin debite nelege debit specific, corespunztor unitii de lime transversal curgerii). Grosimea de deplasare arat cu ct au fost deplasate ctre afar, prin formarea stratului-limit, liniile de curent ale curgerii exterioare (ale fluidului liber), fa de liniile de curent care ar fi corespuns curgerii unui fluid ideal (deci fr formarea stratului-limit).n studiul stratului-limit se utilizeaz i o alt grosime pierderii de impuls 2, introdus prin egalitatea

(1.31)

Grosimea pierderii de impuls 2 reprezint grosimea seciunii prin care, n absena stratului-limit, se realizeaz un impuls corespunztor unui fluid ideal egal cu pierderea de impuls n curgerea real prin stratul-limit. Grosimea 2 caracterizeaz pierderea de impuls necesar nvingerii forelor de frecare din interiorul stratului-limit. (Aici prin impuls se nelege un impuls specific, corespunztor unitii de lime transversal curgerii i unitii de timp).

n teoria stratului-limit se introduce o grosime 3 numit grosimea pierderii de energie, cu ajutorul relaiei

(1.32)Grosimea pierderii de energie reprezint grosimea seciunii prin care trece o cantitate de energie cinetic corespunztoare unui fluid ideal egal cu energia specific disipat n curgerea real n stratul-limit (i aici energia cinetic este specific, corespunztoare unitii de lime transversal curgerii i unitii de timp).

n cazul stratului-limit laminar incompresibil pe placa plan, = constant i ; de unde rezult

(1.33)n cazul stratului-limit laminar incompresibil pe un corp oarecare, p=constant, dar U este variabil (variaz de-a lungul lui Py, ntre suprafaa S a corpului i frontiera a stratului-limit). Se admite c relaiile (1.33) rmn variabile, prin U notndu-se componenta dup direcia x a curgerii exterioare poteniale msurat la distana y = .Deoarece la distana egal cu grosimea stratului-limit viteza fluidului difer cu numai 1% de viteza curentului exterior, practic se poate nlocui limita superioar a integralelor prin .Pentru stratul-limit pe placa plan rezult grosimile de deplasare 1, de pierdere de impuls 2 i de pierdere de energie 3.

(1.34)(n conformitate cu determinrile lui H.Blasius ).

1.7 Desprinderea stratului-limit i formarea vrtejurilor

n cazul micrii unui fluid n jurul unui corp de o form oarecare se poate ntmpla ca fluidul din stratul-limit s nu mai poat urmri conturul corpului pe ntreaga suprafa a acestuia desprinzndu-se. Acest fenomen se produce atunci cnd n lungul conturului corpului apare un domeniu n care presiunea prezint o tendin de cretere. Particulele de fluid din stratul-limit care au energia cinetic micorat din cauza frecrii nu mai pot ptrunde n domeniul de lng suprafaa corpului n care presiunea este mai ridicat i se deprteaz de aceast suprafa, fiind mpins n masa fluidului. Deprtarea particulelor din stratul-limit de suprafaa corpului este nsoit de o curgere de sens contrar cu aceea a curentului exterior, n imediata apropiere a suprafeei, datorit gradientului de presiune. Acest fenomen poart denumirea de desprinderea stratului-limit.

Fig.1.13 Reprezentarea schematic a desprinderii stratului-limit

i a formrii vrtejurilor n cazul curgerii n jurul unui cilindru circular;

diagrama repartiiei presiunii

Pentru explicarea fenomenului de desprindere a stratului-limit se examineaz curgerea unui fluid n jurul unui cilindru circular (fig. 1.13). Dac fluidul este ideal, pe jumtatea amonte a cilindrului, ntre punctele A i B, fluidul se mic accelerat, iar presiunea se micoreaz pe msura apropierii de punctul B. Pe jumtatea aval a cilindrului, ntre punctele B i C, are loc o micare ncetinit n timp ce presiunea crete pe msura apropierii de punctul C. n cazul fluidului real se mparte cmpul de curgere n dou domenii i anume domeniul stratului-limit i domeniul din exteriorul stratului-limit. La examinarea micrii unei particule care se deplaseaz n jurul cilindrului n domeniul curgerii exterioare n care forele de vscozitate pot fi neglijate, se pot folosi rezultatele stabilite n cazul curgerii poteniale a unui fluid ideal n jurul unui cilindru. Astfel pe drumul de la A la B are loc o transformare a energiei de presiune n energie cinetic, iar pe drumul de la B la C are loc o transformare invers, a energiei cinetice n energie de presiune, n aa fel nct n seciunea transversal corespunztoare punctului C particula trece cu aceeai vitez pe care o avea n seciunea transversal prin punctul A. La examinarea micrii unei particule de fluid care se deplaseaz n stratul-limit, trebuie s se in seama de forele de viscozitate care frneaz particula. Astfel pe drumul de la A la B o parte din energia cinetic a particulei este disipat i energia cinetic rmas nu mai este suficient pentru a nvinge creterea de presiune pe drumul de la B la C. Rezult c particula nu se poate deplasa prea mult n interiorul stratului-limit pe drumul de la B la C i se oprete ntr-un punct D de unde este mpins n afar de ctre particulele din stratul-limit din amonte. Apoi sub aciunea repartiiei presiunii din curentul exterior, particula este mpins napoi, dnd natere unui vrtej. Spectrul micrii n jurul cilindrului se schimb complet n raport cu cel corespunztor fluidului ideal i odat cu acesta i repartiia presiunilor. n zona cu vrtejuri din avalul cilindrului presiunea este sensibil mai mic n comparaie cu presiunea care se realizeaz aici n cazul curgerii unui fluid perfect. Aceast coborre a presiunii constituie cauza aa numitei rezistene de presiune, care pentru cilindru are o valoare nsemnat.

Poziia punctului de desprindere a stratului-limit poate fi definit printr-o condiie matematic. Pentru aceasta se examineaz profilurile de vitez longitudinale n stratul-limit n jurul unui corp oarecare, n vecintatea punctului de desprindere (fig. 1.14). Poziia acestui punct este stabilit de faptul c n apropierea peretelui, dup desprindere, particulele de fluid curg n sens contrar fa de micarea exterioar, datorit gradientului de presiune . Punctul de desprindere reprezint limita dintre cele dou micri de sens contrar i deci n acest punct gradientul vitezei n direcia perpendicular peretelui este nul , (1.35)

Fig.1.14 Profilurile de viteze n stratul-limit

n vecintatea punctului de desprindere

Relaia (1.35) reprezint condiia matematic de definire a punctului de desprindere a stratului-limit. Din aceast relaie rezult imediat c n punctul de desprindere tensiunea de frecare vscoas la perete devine nul.n cazul curgerii n jurul profilurilor hidroaerodinamice desprinderea stratului-limit este un fenomen nedorit. Astfel desprinderea conduce la formarea vrtejurilor, deci la un consum suplimentar de energie. Desprinderea stratului-limit duce la modificarea repartiiei presiunilor de profil i la micorarea circulaiei (mai ales la unghiuri de inciden mari), ceea ce determin micorarea portanei. Pe de alt parte poziia punctului de desprindere (care depinde de forma i rugozitatea profilului, de numrul Reynolds al micrii i de unghiul de inciden) nu este constant, ci oscileaz, ceea ce constituie o surs de vibraii pentru profil. n consecin, n multe situaii se impun o serie de msuri pentru controlul i dirijarea curgerii n stratul-limit, astfel ca punctul de desprindere s fie mpins ct mai spre aval sau chiar pe bordul de fug._1426701916.unknown

_1426702096.unknown

_1426702248.unknown

_1426702329.unknown

_1426702375.unknown

_1426702501.unknown

_1426702524.unknown

_1426702535.unknown

_1426702610.unknown

_1426702614.unknown

_1426702539.unknown

_1426702530.unknown

_1426702515.unknown

_1426702518.unknown

_1426702504.unknown

_1426702398.unknown

_1426702478.unknown

_1426702483.unknown

_1426702407.unknown

_1426702388.unknown

_1426702393.unknown

_1426702379.unknown

_1426702351.unknown

_1426702366.unknown

_1426702370.unknown

_1426702358.unknown

_1426702338.unknown

_1426702342.unknown

_1426702333.unknown

_1426702310.unknown

_1426702318.unknown

_1426702322.unknown

_1426702315.unknown

_1426702288.unknown

_1426702296.unknown

_1426702268.unknown

_1426702191.unknown

_1426702212.unknown

_1426702222.unknown

_1426702243.unknown

_1426702215.unknown

_1426702202.unknown

_1426702208.unknown

_1426702199.unknown

_1426702164.unknown

_1426702174.unknown

_1426702186.unknown

_1426702170.unknown

_1426702107.unknown

_1426702152.unknown

_1426702099.unknown

_1426701998.unknown

_1426702028.unknown

_1426702039.unknown

_1426702048.unknown

_1426702035.unknown

_1426702019.unknown

_1426702025.unknown

_1426702003.unknown

_1426701936.unknown

_1426701968.unknown

_1426701991.unknown

_1426701961.unknown

_1426701923.unknown

_1426701932.unknown

_1426701919.unknown

_1426701758.unknown

_1426701812.unknown

_1426701830.unknown

_1426701869.unknown

_1426701882.unknown

_1426701858.unknown

_1426701822.unknown

_1426701826.unknown

_1426701815.unknown

_1426701797.unknown

_1426701805.unknown

_1426701808.unknown

_1426701800.unknown

_1426701785.unknown

_1426701789.unknown

_1426701766.unknown

_1319186514.unknown

_1426701554.unknown

_1426701750.unknown

_1426701754.unknown

_1426701558.unknown

_1319300291.unknown

_1320397379.unknown

_1320415433.unknown

_1426654082.unknown

_1320415407.unknown

_1319697161.unknown

_1319699927.unknown

_1319883377.unknown

_1319885281.unknown

_1319700231.unknown

_1319699784.unknown

_1319386161.unknown

_1319390478.unknown

_1319697128.unknown

_1319387449.unknown

_1319312332.unknown

_1319201061.unknown

_1319201337.unknown

_1319300179.unknown

_1319300226.unknown

_1319201369.unknown

_1319201391.unknown

_1319300088.unknown

_1319201378.unknown

_1319201350.unknown

_1319201185.unknown

_1319201297.unknown

_1319201250.unknown

_1319201121.unknown

_1319201011.unknown

_1319201031.unknown

_1319186626.unknown

_1319186104.unknown

_1319186322.unknown

_1319186441.unknown

_1319186216.unknown

_1319019814.unknown

_1319185803.unknown

_1319186016.unknown

_1319019977.unknown

_1319022524.unknown

_1319185747.unknown

_1319022206.unknown

_1319019897.unknown

_1319019976.unknown

_1319015020.unknown

_1319019795.unknown

_1319014229.unknown