Ministerul Educa iei al Republicii Moldova Universitatea de Stat Alecu Russo din B l i Facultatea Tehnic , Fizic , Matematic i Informatic

Tez de licen

n Matematic

TEOREMELE DE BAZ ALE CALCULULUI DIFEREN IAL CU FUNC IILE DE O VARIABIL REAL . APLICA IILE LOR

Studentul Gr jdianu Natalia grupa MI41Z Conduc tor tiin ific lect. superior Ga i oi Natalia

B li 2011

CUPRINS:INTRODUCERE ................................ ................................ ................................ ........................ 3 CAPITOLUL I. CALCULUL DIFEREN IAL AL FUNC IILOR DE O VARIABIL REAL 4 1.1 Probleme care au condus la no iunea de derivat ................................ .............................. 4 1.1.1 Problema despre trasarea tangentei la graficul unei func ii ................................ ........ 6 1.1.2 Problema despre aflarea vitezei instantanee a unui mobil ................................ .......... 7 1.2 No iunea de derivat a unei func ii ntr-un punct................................ ............................... 8 1.3 Continuitatea func iilor derivabile ................................ ................................ .................. 11 1.4 Derivatele laterale ................................ ................................ ................................ .......... 13 1.5 Interpretarea geometric a derivatei ................................ ................................ ................ 15 1.5.1 Ecua iei tangentei la graficul func iei ................................ ................................ ...... 15 1.5.2 Interpretarea geometric a derivatelor laterale ................................ ......................... 18 1.6 Derivatele unor func ii elementare ................................ ................................ .................. 22 1.7 Opera ii cu func ii derivabile ................................ ................................ .......................... 23 1.7.1 Derivata sumei, produsului i a ctului a dou func ii derivabile .............................. 23 1.7.2 Derivata func iei compuse ................................ ................................ ....................... 25 1.7.3 Derivata func iei inverse ................................ ................................ ......................... 27 1.8 Derivata de ordin superior ................................ ................................ .............................. 30 1.9 Diferen iala unei func ii ................................ ................................ ................................ .. 33 CAPITOLUL II. PROPRIET ILE FUNC IILOR DERIVABILE ................................ ......... 36 2.1 Puncte de extrem ................................ ................................ ................................ ............ 36 2.2 Teorema lui Fermat ................................ ................................ ................................ ........ 37 2.3 Teorema lui Rolle................................ ................................ ................................ ........... 42 2.4 Teorema lui Lagrange................................ ................................ ................................ ..... 45 2.4.1 Consecin e ale teoremei lui Lagrange ................................ ................................ ...... 48 2.5 Teorema lui Cauchy ................................ ................................ ................................ ....... 50 2.6 Teorema lui Darboux ................................ ................................ ................................ ...... 52 2.7Teoremele lui LHospital ................................ ................................ ................................ . 53 CONCLUZII ................................ ................................ ................................ ............................ 66 BIBLIOGRAFIE ................................ ................................ ................................ ...................... 67

2

INTRODUCEREElementele analizei matematice ocup un loc important n programa colar . No iunea de derivat este una dintre cele mai importante din analiza matematic . A a cum se ntmpl cu orice concept fundamental, no iunea de derivat sintetizeaz modelarea unor fenomene care provin din domenii diferite, ca de exemplu problema tangentei, problema vitezei sau problema densit ii liniare a unei bare materiale.

CAPITOLUL I. CALCULUL DIFEREN IAL AL FUNC IILOR DE O VARIABIL REAL1.1 Probleme care au condus la no iunea de derivatCalculul diferen ial i integral au fost inventate practic simultan, dar independent unul de cel lalt, de c tre englezul Isaac Newton (16431727), respectiv de c tre matematicianul german Gottfried Wilhelm von Leibniz (16461716). Se poate men iona, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, c lumea tiin ific a momentului respectiv (1685-1690) a asistat, aproape cu sufletul la gur , timp de c iva ani buni, la un dialog deschis i permanent al celor doi titani, Leibnitz i Newton. Doar dup ce cei doi oameni de tiin au ajuns la n elegerea abord rii conceptelor i no iunilor din ambele puncte de vedere (al fizicianului i al matematicianului), dup ce s-au pus de acord cu no iunile preliminare, limitele i metodologia de abordare a conceptelor etc., cei doi au putut explica i restului lumii tiin ifice despre ce este vorba.[http://ro.wikipedia.org/wiki/Derivat ] Leibniz elaboreaz n jurul anului 1675 bazele calculului diferen ial i integral, de o mare nsemn tate pentru dezvoltarea ulterioar a matematicii i fizicii, independent de Isaac Newton, care enun ase deja principiile calculului infinitezimal ntr-o lucrare din 1666. Simbolurile matematice introduse de Leibniz n calculul diferen ial i integral se folosesc i ast zi. n calculul diferen ial, nota ia lui Leibniz folose te simbolurile dx i dy pentru a prezenta cre teri infinitezimale ale lui x i y, a a cum x i y reprezint cre teri finite ale x i y. Pentru y ca func ie de x avem: y ! f (x) , derivata lui y n raport cu x, care mai apoi devine:f ( x (x ) f ( x ) (y ! lim ( x p0 ( x ( x p0 ( x (x ) x lim

care dup Leibniz, a fost coeficientul unei infinitezimle a lui y printr-o cre tere infinitezimal a lui x, sau dy ! f ' ( x) unde expresia din dreapta reprezint nota ia lui Lagrange pentru derivata lui f n dx

raport cu x. Din punct de vedere al teoriei moderne a infinitezimalelor, x reprezint o x cre tere infinitezimal , y, respectiv, y cre tere, i derivata este partea standard a frac iei infinitezimale:f ' ( x) ! (y . (x (y . Apoi, punem (x

Respectiv, f ' ( x ) reprezint num rul real echivalent cu frac ia infinitezimaldx ! (x , dy ! f ( x)dx , i prin defini ie f ( x) este raportul dintre dy i dx .

4

Nota ia pentru derivate introduse de Gottfried Leibniz este una dintre primele. Este utilizat n mod obi nuit atunci cnd ecua ia y ! f (x) este v zut ca o rela ie func ional ntre variabilele dependente i independente. Derivatele de ordin superior sunt exprimate folosind nota iadny dn f dn , (x ), sau f (x ) dx n dx n dx n

pentru derivata de ordinul n a func iei y ! f (x ) (n raport cu x). Acestea sunt nota iile pentru aplica ii multiple ale operatorului de derivare. Nota ia lui Leibniz permite s specific m variabila de diferen iere (la numitor). Acest lucru este specific , mai ales, pentru derivatele par iale. De asemenea, putem u or scrie regula lan ului: dy dy du ! . dx du dx Cteodat , folosit ca nota ie primar , una dintre cele mai r spndite nota ii moderne pentru diferen iere este cea a lui Lagrange, astfel nct derivata func iei f(x) se noteaz prin f ' ( x ) sau simplu . Asem n tor a II a i a III a derivat se noteaz : i (f ) ! f

( f ')' ! f

''

Pentru a ar ta ordinul derivatei, unii autori folosesc cifrele romane, al ii folosesc cifrele situate n paranteze: fIV

sau f ( 4 ) i nota ia punctat , se plaseaz un

Nota ia lui Newton folosit pentru diferen iere, numit

punct peste numele func iei pentru a reprezenta derivata n raport cu timpul. Dac y ! f (t ) , atunci avem: Aceast nota ie se folose te doar pentru derivatele n raport cu timpul, ceea ce nseamn c variabila independent a func iei reprezint timpul. Este foarte r spndit n fizic i n disciplinele matematice care au leg tur cu fizica, a a ca teoria ecua iilor diferen iale ordinare, de obicei este folosit doar pentru derivatele de ordinul nti i doi, doar pentru a desemna derivatele n raport cu timpul. A a tip de nota ie este destul de dificil pentru derivatele de ordin superior. [http://en.wikipedia.org/wiki/Notation_for_differentiation] Al i matematicieni care au adus contribu ii importante la dezvoltarea calculului diferen ial sunt P.Fermat (1601-1665), M. Rolle (1652-1719), J.L. Lagrange ( 1736 - 1813). L Hpital (16611704), care a scris prima carte despre calculul diferen ial, Analyse des infiniments petits ap rut n 1696 la Paris i n care se afl i celebra regul care-i poart numele.

5

1.1.1 Problema despre trasarea tangentei la graficul unei func iiFie I un inerval deschis i Graficul Fie o func ie continu .

= {(x, f(x)) | xI} al acestei func ii este o curb de ecua ie y ! f (x ) Consider m punctele A( x0 , f ( x0 )) G f , B( x0 (x, f ( x0 (x)) G f not m cuf

punctul A, adic cnd (x p 0 secanta AB ocup pozi ii diferite unghiul (fig. 1.). dreapta AT este tangent

anumit pozi ie limit , determinat de dreapta AT, care formeaz cu direc ia pozitiv a axei Ox Defini ie ([1]). Spunem c la graficul func iei n punctul

A( x 0 , f ( x 0 )) dac aceast dreapt coincide cu pozi ia limit (n cazul n care o astfel de pozi ie

exist ) a secantei AB cnd (x p 0 (fig. 1).

y f ( x 0 (x ) B1 ff ( x0 )

A C(x x0

O

Fig. 1. Tangenta la graficul func iei f n punctul dat A( x 0 , f ( x 0 )) Tangenta la graficul func iei f n punctul dat A( x 0 , f ( x 0 )) poate fi determinat dac este cunoscut coeficientul ei unghiular. Coieficientul unghiular a al dreptei de ecua ie y = ax + b este egal cu tangenta unghiului pe care l formeaz aceast dreapt cu axa Ox. Cum m (