libro-sintesis de mecanismos

7/29/2019 Libro-sintesis de Mecanismos

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SNTESIS

DE

MECANISMOS Y MQUINAS

2010

I. ZABALZA VILLAVA


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Sntesis de Mecanismos y Mquinas

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INDICE

CAPTULO I SNTESIS DE LEVAS.......................................................... 1I.1 INTRODUCCIN........................................................................................... 1I.2 CLASIFICACIN DE LAS LEVAS............................................................... 1I.3 DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO........................................................ 3I.4 DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO....................... 5I.5 MOVIMIENTOS ESTNDAR DE LAS LEVAS......................................... 6I.6 DISEO GRFICO DE PERFILES DE LEVAS......................................... 11I.7 FUERZAS EN LEVAS.................................................................................. 13

CAPTULO II SNTESIS DE ENGRANAJES......................................... 17II.1 INTRODUCCIN........................................................................................ 17II.2 CLASIFICACIN DE LOS ENGRANAJES.............................................. 17

II.2.1 Engranajes cilndricos........................................................................ 18II.2.2 Engranajes cnicos............................................................................ 20II.2.3 Engranajes hiperblicos..................................................................... 22II.2.3.1 Engranajes tornillo sinfn y corona................................................. 23

II.3 TEORA DE ENGRANE............................................................................. 25II.3.1 Engranajes cilndricos rectos exteriores............................................ 25II.3.2 Ley de engrane................................................................................... 26II.3.3 Tamao del diente: Paso y mdulo.................................................... 29II.3.4 Lnea de engrane............................................................................... 32

II.3.5 Lnea de accin o empuje y ngulo de presin.................................. 33II.3.6 Zona de engrane................................................................................. 33II.3.7 Dimensiones de un engranaje normal................................................. 35II.3.8 Dimensiones de un engranaje de diente corto.................................... 37II.3.9 Perfil del diente: Cicloidal y evolvente.............................................. 37II.3.10 Ecuaciones paramtricas de la evolvente........................................ 39II.3.11 Datos intrnsecos de una rueda con perfil de evolvente................... 44II.3.12 Engrane entre perfiles de evolvente................................................. 46II.3.13 Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente................................ 48II.3.14 Datos de funcionamiento de una rueda de perfil de evolvente......... 49II.3.15 Engrane de dos ruedas dentadas sin holgura................................... 52II.3.16 Cremallera de envolvente................................................................. 53II.3.17 Engrane de rueda dentada y cremallera.......................................... 55

II.3.18 Engranaje cilndrico recto interior................................................... 55II.4 LIMITACIONES EN EL ENGRANE DE PERFILES DE EVOLVENTE.. 57II.4.1 Coeficiente de recubrimiento............................................................. 57

II.4.1.1 Coeficiente de recubrimiento de dos ruedas........................... 57II.4.1.2 Coeficiente de recubrimiento de rueda y cremallera.............. 59

II.4.2 Interferencia y socavacin................................................................. 59II.4.2.1 Zona activa del perfil del diente............................................. 59II.4.2.2 Interferencia y socavacin...................................................... 60II.4.2.3 Radio de apuntamiento............................................................ 65


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ndice

ii

II.5 TALLADO DE RUEDAS DENTADAS..................................................... 67II.5.1 Tallado con fresa de forma................................................................ 67II.5.2 Tallado por generacin....................................................................... 68

II.5.2.1 Cremallera herramienta........................................................... 70II.5.2.2 Sincronizacin de los movimientos de la rueda y la

herramienta.......................................................................................... 71II.5.2.3 Parmetros de generacin........................................................ 72

II.5.3 Clculo de datos intrnsecos.............................................................. 73II.5.4 Clculo de datos de funcionamiento.................................................. 76

II.5.4.1 Engrane de dos ruedas sin holgura.......................................... 77II.5.4.2 Datos de funcionamiento sin holgura...................................... 77II.5.4.3 Datos de funcionamiento sin holgura y engrane a cero........... 78

II.5.4.4 Datos de funcionamiento con holgura..................................... 79II.5.5 Diente socavado en la generacin...................................................... 79II.5.5.1 Nmero de dientes mnimo para que no aparezca

socavacin........................................................................................... 80II.5.6 Fuerzas en los engranajes rectos........................................................ 81

II.6 ENGRANAJES HELICOIDALES............................................................... 83II.6.1 Forma de los dientes.......................................................................... 83II.6.2 Engrane de dos ruedas helicoidales................................................... 85II.6.3 Relacin entre ngulos de las hlices base y primitiva...................... 86II.6.5 Cremallera helicoidal......................................................................... 87II.6.6 Relacin entre perfil tangencial y perfil normal................................ 88II.6.7 Coeficiente de recubrimiento............................................................. 89II.6.8 Generacin de ruedas helicoidales por cremallera............................. 90

II.6.9 Dimensiones de una rueda helicoidal................................................. 92II.6.10 Fuerzas en engranajes helicoidales.................................................. 93II.7 ENGRANAJES CONICOS.......................................................................... 97

II.7.1 Movimiento esfrico.......................................................................... 99II.7.2 Evolvente esfrica............................................................................ 100II.7.3 Ruedas cnicas de dientes piramidales............................................ 101II.7.4 Cono complementario. Rueda cilndrica equivalente...................... 103II.7.5 Dimensiones de engranajes cnicos................................................ 104II.7.6 Fuerzas en los engranajes cnicos................................................... 105

II.8 ENGRANAJES DE TORNILLO SINFIN................................................. 107II.8.1 Tornillo sinfn y corona glbicos.................................................... 109II.8.2 Mecanizado de coronas y tornillos sinfn........................................ 110II.8.3 Dimensiones de un engranaje de tornillo sinfn.............................. 112

II.8.4 Fuerzas en un engranaje de tornillo sinfn...................................... 113

CAPTULO III SNTESIS DE MECANISMOS DE FRICCIN YADHERENCIA............................................................... 115

III.1 ROZAMIENTO EN PLANO HORIZONTAL......................................... 115III.2 ROZAMIENTO EN PLANO INCLINADO............................................ 118

III.2.1 Plano inclinado con ngulo respecto de la horizontal < s......... 119III.2.2 Plano inclinado con ngulo respecto de la horizontal = s......... 120III.2.3 Plano inclinado con ngulo respecto de la horizontal > s......... 121


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iii

III.3 CUAS..................................................................................................... 123III.4 ROSCAS................................................................................................... 126III.5 COJINETES DE SUSTENTACIN........................................................ 129III.6 COJINETES DE EMPUJE....................................................................... 130

III.6.1 Cojinete de empuje a presin constante......................................... 131III.6.2 Cojinete de empuje a desgaste constante........................................ 132

III.7 FRENOS Y EMBRAGUES DE DISCO.................................................. 134III.7.1 Frenos y embragues de disco a presin constante.......................... 135III.7.2 Frenos y embragues de disco a desgaste constante......................... 135

III.8 FRENOS Y EMBRAGUES CNICOS.................................................... 135III.8.1 Frenos y embragues cnicos a presin constante........................... 137III.8.2 Frenos y embragues cnicos a desgaste constante......................... 138

III.9 FRENOS Y EMBRAGUES CENTRFUGOS......................................... 139III.10 FRENOS Y EMBRAGUES RADIALES DE ACCIONAMIENTONEUMTICO.................................................................................................. 141

III.11 LIMITADORES DE PAR...................................................................... 143III.12 TRANSMISIONES POR CORREAS.................................................... 145

III.12.1 Correas planas.............................................................................. 146III.12.2 Correas trapeciales........................................................................ 148

III.13 FRENOS DE CINTA.............................................................................. 151III.14 FRENOS Y EMBRAGUES DE ZAPATAS........................................... 152

III.14.1 Zapata lineal.................................................................................. 152III.14.2 Frenos y embragues de tambor con zapatas interiores................. 153

CAPTULO IV SNTESIS DE TRANSMISIONES............................... 159

IV.1 TRANSMISIONES ENTRE EJES ALINEADOS................................... 159IV.1.1 Elementos de unin rgidos............................................................ 159IV.1.2 Elementos de unin flexibles......................................................... 160

IV.2 TRANSMISIONES ENTRE EJES QUE SE CORTAN FORMANDO UNNGULO......................................................................................................... 163

IV.3 TRANSMISIONES ENTRE EJES PARALELOS RELATIVAMENTEPRXIMOS..................................................................................................... 165

IV.4 TRANSMISIONES ENTRE EJES PARALELOS RELATIVAMENTEALEJADOS...................................................................................................... 165

CAPTULO V SNTESIS DE MECANISMOS DE GIROINTERMITENTE......................................................... 167

V.1 UNIDADES DE GIRO INTERMITENTE................................................ 167

V.2 CRUZ DE MALTA.................................................................................... 168V.3 ENGRANAJES DE LINTERNA............................................................... 169V.4 MECANISMOS DE TRINQUETE........................................................... 170

CAPTULO VI SNTESIS DE MECANISMOS..................................... 173VI.1 TIPOS DE SNTESIS............................................................................... 173

VI.1.1 Sntesis de tipo............................................................................... 173VI.1.2 Sntesis de nmero......................................................................... 174VI.1.3 Sntesis dimensional....................................................................... 174


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ndice

iv

VI.1.4 Sntesis estructural......................................................................... 174VI.2 OTROS TIPOS DE SNTESIS................................................................. 174VI.3 EJEMPLOS DE SNTESIS ESTRUCTURAL......................................... 175VI.4 DIRECCIN ACKERMANN.................................................................. 176VI.5 SUSPENSIN MACPHERSON.............................................................. 178

CAPTULO VII DINMICA DE MQUINAS...................................... 179VII.1 VOLANTE............................................................................................... 179VII.2 GIROSCOPIO......................................................................................... 182

VII.2.1 Efecto giroscpico........................................................................ 183VII.3 REGULADOR DE WATT...................................................................... 184


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CAPTULO I - SNTESIS DE LEVAS

I.1 - INTRODUCCIN

Las levas son unos mecanismos compuestos generalmente por un eslabnimpulsor llamado "leva" y otro eslabn de salida llamado "seguidor" entre losque se transmite el movimiento por contacto directo.

Son mecanismos sencillos, poco costosos, tienen pocas piezas mviles y

ocupan espacios reducidos. Adems su principal ventaja reside en que sepueden disear de forma que se obtenga casi cualquier movimiento deseado delseguidor.

I.2 - CLASIFICACIN DE LAS LEVAS

Los mecanismos de leva se pueden clasificar teniendo en cuenta comoson la "leva" y el "seguidor".

Teniendo en cuenta la leva, (Fig. I-1):

a) Leva de placa, llamada tambin de disco o radial.

b) Leva de cua.

c) Leva cilndrica o de tambor.

d) Leva lateral o de cara.

Teniendo en cuenta el seguidor, (Fig. I-2):

a) Seguidor de cua.

b) Seguidor de cara plana.

c) Seguidor de rodillo.

d) Seguidor de cara esfrica o zapata curva.

Otra clasificacin de las levas se puede hacer teniendo en cuenta elmovimiento del seguidor, pudiendo ser ste rectilneo alternativo (traslacin) u


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Levas

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oscilante (rotacin). Teniendo en cuenta la posicin relativa entre el seguidor yla leva, pueden ser de seguidor centrado, cuando el eje del seguidor pasa por elcentro de la leva o de seguidor descentrado.

Fig. I-1 Tipos de levas: a) de placa, b) de cua, c) de tambor y d) de cara.

Fig. I-2 Tipos de seguidor: a) de cua, b) de cara plana, c) de rodillo y d) de zapata.


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El tipo de leva ms comn es el formado por una leva de placa y unseguidor de rodillo con movimiento rectilneo alternativo.

I.3 - DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO

El diagrama de desplazamiento "y = f ()" (Fig. I-3) representa, en elcaso ms general, la posicin del seguidor respecto de la posicin de la leva.Por ejemplo en una leva de placa con seguidor de movimiento rectilneoalternativo, representara la posicin del seguidor respecto del ngulo girado porla leva, pero en otros casos, tanto "y" como "", pueden ser desplazamientos

lineales o angulares.

Fig. I-3 Diagrama de desplazamiento.

Un movimiento muy tpico a conseguir por medio de un mecanismo de

leva es el movimiento uniforme en el cual la velocidad del seguidor serconstante siempre que sea constante la velocidad de la leva, (quizs sera mejorllamarlo movimiento proporcional). Este tipo de movimiento queda reflejado enel diagrama de desplazamiento por medio de un segmento rectilneo.

Fig. I-4 Desplazamientos, velocidades y aceleraciones del seguidor


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Levas

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Si se tuviese una leva con la que se pretende, por ejemplo, realizar: unasubida con movimiento uniforme, una detencin y finalmente un retorno, y nose tomase ningn tipo de precaucin resultara que podran apareceraceleraciones del seguidor tendiendo a infinito, tal como se ve en la figura I-4.

Si la aceleracin del seguidor tiende a infinito, tambin lo harn lasfuerzas de inercia, con lo que llegaran a romperse las piezas que componen laleva. Como esto es inadmisible, se debe prever un diagrama de desplazamientoque no produzca discontinuidades en el diagrama de velocidades.

Para suavizar el inicio o final de un movimiento uniforme se suele

utilizar una rama de parbola, consiguiendo que las pendientes de los tramos deparbola coincidan con la pendiente del movimiento uniforme. (Fig. I-5).

Fig. I-5 Tramos de parbola. a) Unin de movimiento uniforme y b) dibujo del tramo.

Cuando se desea realizar un desplazamiento del seguidor de subida ybajada sin detenciones, un movimiento muy adecuado es el armnico (Fig. I-6),ya que este tipo de movimiento tiene velocidades y aceleraciones que sonfunciones continuas.

Fig. I-6 Diagrama de desplazamiento con movimiento armnico


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Si se desea que el seguidor realice unos desplazamientos de subida ybajada entre detenciones, un movimiento adecuado es el cicloidal (Fig. I-7),puesto que este movimiento tiene aceleraciones nulas al inicio y al final,correspondindose con las aceleraciones nulas de las detenciones.

Fig. I-7 Diagrama de desplazamiento con movimiento cicloidal

Cuando se precisen otros tipos de movimientos se ajustarn por medio decurvas estndar, que se vern ms adelante.

I.4 - DERIVADAS DEL DIAGRAMA DEDESPLAZAMIENTO

En una leva de placa con seguidor de movimiento rectilneo alternativo,que es la ms comn, el diagrama de desplazamiento, ecuacin (I-1), representala posicin del seguidor en funcin del ngulo girado por la leva.

y = f() (I-1)

El diagrama de desplazamiento (I-1) se puede derivar respecto de "" yrespecto de "t".

Derivando (I-1) respecto de "" se tendr:

y' =d

dy(I-2)

y" =d

yd2

2

(I-3)


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Levas

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Estas derivadas dependen solamente del perfil de la leva y sonindependientes de la velocidad de giro de la leva. La primera derivada (y')representa la pendiente del diagrama de desplazamiento y sus unidades seran,

por ejemplo, milmetros / radian. La (y") representa la pendiente de la (y') y susunidades seran, por ejemplo, milmetros / radin2.

Derivando (I-1) respecto de "t" se tendr:

dt

dyyV == & (I-4)

dtydyA2

2

== && (I-5)

Las derivadas primera y segunda del diagrama de desplazamientorespecto de "t" representan la velocidad y aceleracin del seguidorrespectivamente.

Entre las derivadas de (I-1) respecto de "" y respecto de "t" existen lassiguientes relaciones:

dt

dy

yV == & = 'ydt

d

d

dy=

(I-6)

dt

ydyA2

2

== && = =

+

=

=

dt

dd

dy

dt

d

d

dy

dt

d

dt

d

d

dy

dt

d

dt

dv2

2

= 'y"ydt

dd

dy

dt

d

dt

d

d

dy

d

d 22

2

+=

+

(I-7)

Si la leva girase con velocidad constante, movimiento que es muy comnen las mquinas, la aceleracin sera:

A = 2y" (I-8)

I.5 - MOVIMIENTOS ESTNDAR DE LAS LEVAS

Para conseguir cualquier tipo de movimiento en el seguidor, no siempreresultar suficiente con los movimientos que se han visto en el apartado


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anterior, por ello, hay toda una serie de curvas estndar por medio de las cualesresultar ms sencillo enlazar los movimientos deseados de forma que resultenfunciones continuas tanto el diagrama de desplazamiento como sus dos

primeras derivadas.

Este tipo de curvas estn basados en curvas armnicas y cicloidales y sonlas que se acompaan a continuacin, primero las de subida completa.

Fig. I-9 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnico simplede subida completa, ecuacin (I-9).

Fig. I-10 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal desubida completa, ecuacin (I-10).

Fig. I-11 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnicomodificado de subida completa, ecuacin (I-11).


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Levas

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A continuacin las tres curvas estndar de retorno completo.

Fig. I-12 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnico simplede retorno completo, ecuacin (I-12).

Fig. I-13 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal deretorno completo, ecuacin (I-13).

Fig. I-14 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnicomodificado de retorno completo, ecuacin (I-14).

Cuando no se tiene que realizar una subida o bajada completa, porejemplo desde una detencin hasta un tramo de movimiento uniforme, seutilizan trozos de movimiento armnico o cicloidal, tanto de subida como de

bajada y son los que se exponen a continuacin.


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Fig. I-15 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico desubida, parte baja, ecuacin (I-15).

Fig. I-16 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico desubida, parte alta, ecuacin (I-16).

Fig. I-17 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico deretorno, parte alta, ecuacin (I-17).

Fig. I-18 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico deretorno, parte baja, ecuacin (I-18).


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Levas

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Fig. I-19 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de

subida, parte baja, ecuacin (I-19).

Fig. I-20 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal desubida, parte alta, ecuacin (I-20).

Fig. I-21 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal debajada, parte alta, ecuacin (I-21).

Fig. I-22 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal debajada, parte baja, ecuacin (I-22).


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Una vez escogidos los movimientos estndar ms apropiados para cadatramo, se debe intentar conseguir que tanto el diagrama de desplazamientocomo las velocidades y aceleraciones sean funciones continuas, paraconseguirlo se pueden variar la elevacin y la amplitud de los movimientosestndar.

La continuidad es imprescindible en los diagramas de desplazamiento yde velocidades cuando son levas que giran a gran velocidad, aunque esrecomendable siempre.

I.6 - DISEO GRFICO DE PERFILES DE LEVASUna vez establecido como debe ser el diagrama de desplazamiento, se

debe dibujar el perfil de la leva que haga que se cumpla el diagrama previsto. Elperfil de la leva ser diferente en funcin del seguidor sobre el que acte.

Para dibujar el perfil de la leva se inicia dibujando el seguidor en laposicin correspondiente al punto "0" del diagrama de desplazamiento. Serealiza una inversin cinemtica haciendo girar el seguidor en sentido contrarioal del giro de la leva y dibujndolo en varias posiciones de acuerdo con eldiagrama de desplazamiento. El perfil de la leva ser la curva envuelta por lasdiferentes posiciones que alcance el seguidor.

Cuanto en mayor nmero de posiciones se dibuje el seguidor, mayor serla precisin del perfil de la leva.

Fig. I-23 Diseo del perfil de una leva con seguidor de rodillo centrado. Superficie de laleva desarrollada mantenindola estacionaria y haciendo girar al seguidor en sentido

contrario al del giro de la leva.


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Levas

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Fig. I-24 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo descentrado

Fig. I-25 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de cara plana


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Fig. I-26 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo oscilante

I.7 - FUERZAS EN LEVAS

En las levas se pueden considerar dos tipos de fuerzas:

- Estticas, debidas a las fuerzas exteriores que actan sobre elseguidor y a la fuerza del muelle.

- Dinmicas, debidas a la masa del seguidor.Si no se toma ningn tipo de precaucin, la fuerza entre el seguidor y la

leva debe ser positiva, ya que sino se perdera el contacto entre ellos dejando deser un mecanismo.

En la figura I-27 pueden verse las fuerzas estticas en una leva de placa yseguidor de rodillo que es una de las levas ms comunes.

En la figura I-28 se pueden observar las fuerzas dinmicas cuando laaceleracin del seguidor es positiva.

Finalmente, en la figura I-29 se muestran las fuerzas dinmicas cuando laaceleracin del seguidor es negativa.


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Levas

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Fig. I-27 Fuerzas estticas en una leva de placa y seguidor de rodillo


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Fig. I-28 Fuerzas dinmicas en una leva de placa y seguidor de rodillo siendo laaceleracin del seguidor positiva


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Levas

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Fig. I-29 Fuerzas dinmicas en una leva de placa y seguidor de rodillo siendo laaceleracin del seguidor negativa


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CAPTULO II - SNTESIS DE ENGRANAJES

II.1 - INTRODUCCIN

Para transmitir movimiento entre dos ejes el mecanismo ms sencillo esel formado por poleas de friccin. Estas poleas transmiten el movimiento pormedio de la rodadura de una con otra.

Para transmitir una determinada potencia por medio de rodadura debe

aparecer una fuerza tangencial a las poleas de friccin en el punto de contacto ypara conseguir una fuerza tangencial, que ser una fuerza de rozamiento, sernecesaria una fuerza normal.

Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento en unas poleas defriccin puede ser en algunos casos un valor tan bajo como 0.1, resulta que lafuerza normal deber ser 10 veces superior a la fuerza tangencial necesaria.

Adems con las poleas de friccin puede existir deslizamiento, con lo quela relacin de transmisin no ser exacta.

Para evitar estos problemas se utilizan los engranajes en los que se

produce una transmisin de movimiento por contacto directo con deslizamiento,similar al de las levas. El diente de rueda dentada motora se puede considerar laleva y el diente de la rueda conducida el seguidor, lo que ocurre en losengranajes es que los dientes van entrando en contacto de forma sucesiva.

II.2 - CLASIFICACIN DE LOS ENGRANAJES

Los engranajes se pueden clasificar en funcin de la posicin relativa delos ejes entre los que se transmite el movimiento, clasificndose en los tipossiguientes:

- Engranajes cilndricos, cuando transmiten el movimiento entre ejesparalelos.

- Engranajes cnicos, transmiten el movimiento entre ejes que secortan.

- Engranajes hiperblicos, transmiten el movimiento entre ejes que secruzan.


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Engranajes

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El nombre lo reciben de la forma geomtrica de los axoides relativos a lasruedas dentadas que forman el engranaje. En los cilndricos los axoides soncilindros, en los cnicos son conos y en los hiperblicos, los axoides sonhiperboloides de revolucin.

II.2.1 - Engranajes cilndricos

Los engranajes cilndricos pueden ser:

- Exteriores, cuando las dos ruedas tienen dentado exterior (Fig. II-1).- Interiores, cuando la rueda mayor tiene dentado interior (Fig. II-2).

Fig. II-1 Engranaje cilndrico exterior

Fig. II-2 Engranaje cilndrico interior


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Otra clasificacin de los engranajes cilndricos, teniendo en cuenta laforma del diente, es la siguiente:

- Rectos, cuando los dientes son paralelos a las generatrices de loscilindros axoides (Fig. II-3).

- Helicoidales, cuando los dientes forman una hlice sobre el cilindroaxoide. En este tipo de engranajes, el valor del ngulo de la hlicesobre el cilindro axoide debe ser el mismo en las dos ruedas, pero enuna a derechas y otra a izquierdas (Fig. II-4).

Fig. II-3 Rueda dentada cilndrica recta

Fig. II-4 Rueda dentada cilndrica helicoidal


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Engranajes

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II.2.2 - Engranajes cnicos

En los engranajes cnicos, el ngulo formado por los ejes puede ser:

- Menor de 90 (Fig. II-5).- Igual a 90 (Fig. II-6).- Mayor de 90, siendo el axoide de la rueda mayor un plano

(Fig. II-7).

- Mayor de 90, con el axoide de la rueda mayor un cono interior(Fig. II-8).

Fig. II-5 Engranaje cnico con ngulo entre ejes menor de 90

Fig. II-6 Engranaje cnico con ngulo entre ejes igual a 90


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Fig. II-7 Engranaje cnico con ngulo entre ejes mayor de 90 y rueda grande plana

Fig. II-8 Engranaje cnico con ngulo entre ejes mayor de 90 y rueda grande cnicainterior

De la clasificacin de los engranajes cnicos se aprecia que stos puedenabarcar toda la gama de ngulos entre ejes desde 0 hasta 180, es decir, desdelos engranajes cilndricos exteriores hasta los cilndricos interiores. Por lo tanto,los engranajes cilndricos exteriores e interiores se pueden considerar losextremos de la gama posible de engranajes cnicos.


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Engranajes

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II.2.3 - Engranajes hiperblicos

Los engranajes hiperblicos ms comunes son:

- Ruedas cilndricas helicoidales montadas sobre ejes que se cruzan.En este caso, los ngulos de las hlices sobre los cilindros axoides

pueden tomar cualquier valor e incluso pueden tener el mismo valorpero ser los dos a derechas o los dos a izquierdas (Fig. II-9).

Fig. II-9 Engranaje helicoidal entre ejes que se cruzan

- Cuando una de las dos ruedas del prrafo anterior tiene pocos dientes(1, 2, 3 4) se les llama tornillo sinfn y corona por la similitud deapariencia de la rueda de pocos dientes con un tornillo (Fig. II-10).

Fig. II-10 Tornillo sinfn y corona


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- Engranajes hipoides, tienen la apariencia de ruedas cnicas, perocomo sus ejes no se cortan, realmente son hiperblicos (Fig. II-11).

Fig. II-11 Engranaje hipoide

II.2.3.1 - Engranajes tornillo sinfn y corona

Los engranajes de tornillo sinfn y corona, atendiendo a la forma del

tornillo y de la corona se pueden clasificar como:

- Tornillo sinfn y corona cilndricos (Fig. II-10).- Tornillo sinfn cilndrico y corona glbica (Fig. II-12).

Fig. II-12 Tornillo sinfn cilndrico y corona glbica


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Engranajes

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- Tornillo sinfn glbico y corona cilndrica (Fig. II-13).- Tornillo sinfn y corona glbicos (Fig. II-14).

Fig. II-13 Tornillo sinfn glbico y corona cilndrica

Fig. II-14 Tornillo sinfn glbico y corona glbica


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II.3 - TEORA DE ENGRANE

II.3.1 - Engranajes cilndricos rectos exteriores

Para estudiar la teora de engrane, lo ms sencillo es realizarla sobre losengranajes rectos exteriores, ya que al tener los dientes paralelos a lasgeneratrices de los cilindros axoides, se pueden estudiar en el plano.

La transmisin de movimiento en un engranaje recto se realiza por mediode contacto directo con deslizamiento entre los dientes de las dos ruedas que

forman el engranaje. Esta transmisin, si las ruedas estn bien diseadas, esequivalente a una rodadura sin deslizamiento entre dos poleas de friccin cuyoscilindros de rodadura coincidan con los cilindros axoides (Fig. II-15).

Fig. II-15 Axoides en un engranaje cilndrico exterior

Como la velocidad del centro instantneo de rotacin "I" debe ser lamisma para las dos ruedas se cumplir la ecuacin (II-1).

2211 rr = (II-1)

De aqu se obtiene que la relacin de transmisin ser

2

1

1

2

r

r=

= (II-2)


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Engranajes

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Si se conoce la distancia entre centros de las ruedas "a" y la relacin detransmisin " ", como la distancia entre centros debe ser igual a la suma de los

radios de los axoides o radios primitivos, se cumplir:

a = r1 + r2 (II-3)

a1

r1+

= (II-4)

a

1

1r2

+

= (II-5)

II.3.2 - Ley de engrane

La ley de engrane o condicin de engrane dice que la relacin detransmisin de un engranaje debe ser constante.

Suponiendo que la velocidad angular de una rueda dentada de unengranaje sea constante, para conseguir que la velocidad angular de la otrarueda sea constante y no aparezcan aceleraciones angulares que produzcanvibraciones, se debe conseguir en todo momento que la relacin de transmisin

sea constante. Es decir que se cumpla la ley de engrane.

En la ecuacin (II-2) se observa que para que la relacin de transmisinsea constante se deben mantener constantes los radios primitivos de las ruedasdentadas. Los axoides deben ser circunferencias.

Para que los radios primitivos se mantengan constantes, el centroinstantneo de rotacin relativo a las dos ruedas, punto "I", se debe mantenerfijo (Fig. II-16).

Segn el teorema de los tres centros, si se tiene tres eslabones "0", "1" y"2", los centros relativos entre ellos estn en lnea recta, por lo tanto, el centro

instantneo "I" debe estar en la recta de unin de los centros de las ruedas. Porotro lado, cuando se tiene una transmisin de movimiento por contacto directocon deslizamiento, el centro instantneo relativo a esos eslabones se encuentraen la perpendicular a la tangente comn a las dos superficies en el punto decontacto.

Del prrafo anterior se desprende que cuando la perpendicular trazada entodo momento a la tangente de los perfiles de los dientes en el punto de contacto


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corta a la recta de unin de centros en un punto fijo, se cumple la ley deengrane.

Fig. II-16 Ley de engrane, I debe ser fijo

A los perfiles que cumplen la ley de engrane se les llama perfilesconjugados. Para dibujar un perfil conjugado de otro dado se puede seguir lossiguientes mtodos:

- Por generacin, fijando el perfil dado sobre una rueda cuyo radio seasu radio primitivo y hacindola rodar sin deslizamiento sobre otrarueda fija cuyo radio sea su radio primitivo correspondiente. De estemodo se cumple la ley de engrane, ya que las ruedas tienen radios

primitivos constantes. El perfil dado generar sobre la otra rueda elperfil conjugado, (Fig. II-17).

- Por puntos, haciendo que cuando la perpendicular trazada por unpunto al perfil dado pasa por el centro instantneo de rotacin, en esemomento ese sea el punto de contacto con el otro perfil, (Fig. II-18 yII-19).


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Engranajes

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Fig. II-17 Trazado de perfil conjugado por generacin

Fig. II-18 Trazado de perfil conjugado por puntos


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29

Fig. II-19 Trazado de un punto del perfil conjugado

II.3.3 - Tamao del diente: Paso y mdulo

El paso se define como la distancia entre flancos homlogos de dientesconsecutivos medida sobre la circunferencia primitiva o axoide, por lo tanto suvalor ser:

p =z

d

z

r2 =

(II-6)

Siendo "r" y "d" el radio y dimetro de la circunferencia primitivarespectivamente y "z" el nmero de dientes.

Con el fin de no manejar continuamente el nmero " " se define elmdulo como:

m =

p=

z

r2=

z

d(II-7)

Para que dos ruedas dentadas puedan engranar correctamente adems decumplir la ley de engrane deben tener el mismo paso, o lo que es equivalente, elmismo mdulo, por lo tanto se cumplir:


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Engranajes

30

m =2

2

1

1

2

2

1

1

z

d

z

d

z

r2

z

r2=== (II-8)

Y la relacin de transmisin ser:

2

1

2

1

2

1

1

2

d

d

z

z

r

r===

= (II-9)

Con el fin de reducir el nmero de herramientas de tallado de ruedasdentadas se han normalizado los mdulos segn se puede ver en la tabla (II-1),

aunque se pueden encontrar ruedas dentadas con mdulos no normalizados.

MDULOS NORMALES (mm)

(0.875) 1 (1.125) 1.25 (1.375) 1.5

(1.75) 2 (2.25) 2.5 (2.75) 3

(3.5) 4 (4.5) 5 (5.5) 6

(7) 8 (9) 10 (11) 12

Evitar los nmeros entre parntesis.

Los nmeros mayores o menores se obtienen multiplicando o dividiendo losde la tabla por 2, 4, 8, 16, etc...

Tabla II-1 Mdulos normalizados

Aunque los pases que utilizaban medidas inglesas van adoptando elsistema internacional de medidas, todava se puede encontrar ruedas dentadasen las que el tamao del diente viene determinado por el "Paso Diametral" o

"Diametral Pitch" (Pd) que representa el nmero de dientes dividido por eldimetro primitivo expresado en pulgadas. No confundir el paso diametral (Pd)con el paso entre dientes (p)

Pd =( )adaslgpuend

z(II-10)


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Su relacin con el mdulo ser:

m =dd P

4.25

P

adalgpu1= (II-11)

El la tabla II-2 se exponen pasos diametrales normalizados y suequivalencia aproximada con el mdulo correspondiente.

Evitar los nmeros entre parntesis

Tabla II-2 Pasos Diametrales normalizados


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Engranajes

32

II.3.4 - Lnea de engrane

La lnea de engrane est formada por los diferentes puntos que vaocupando el punto de contacto entre los dientes de dos ruedas dentadas respectodel eslabn fijo.

Como cada diente tiene dos flancos de posible contacto, un engranajetendr dos posibles lneas de engrane en funcin del sentido de giro y de larueda que sea la motora segn se ve en la figura (II-20).

Fig. II-20 Lneas de engrane


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II.3.5 - Lnea de accin o empuje y ngulo de presin

La lnea de accin o de empuje es la direccin de las fuerzas que setransmiten entre las dos ruedas dentadas que forman el engranaje. Si no se tieneen cuenta el rozamiento, estas fuerzas sern perpendiculares a la tangente a los

perfiles de los dientes en el punto de contacto "P", y si estos cumplen la ley deengrane, pasar por el centro instantneo de rotacin "I" segn se ve en la figura(II-21).

Fig. II-21 Lnea de accin o de empuje y ngulo de presin

El ngulo de presin " " es el formado entre la lnea de accin o empujey la tangente comn a los axoides en el punto "I".

II.3.6 - Zona de engrane

El contacto entre las ruedas dentadas de un engranaje se produce entre losflancos de sus dientes. En la figura (II-22) se pueden apreciar las

circunferencias de fondo y cabeza que limitan al diente, la circunferencia axoideo primitiva, el paso "p", la altura de cabeza ha y la altura de fondo hf.

La zona de contacto entre los dientes est limitada por las circunferenciasde cabeza, por lo que las lneas de engrane representadas en la figura (II-20)quedan reducidas a la porcin de ellas que queda dentro de dicha zona como

puede apreciarse en la figura (II-23).


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Engranajes

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Fig. II-22 Dimensiones del diente de una rueda dentada

Fig. II-23 Zona de engrane entre dos ruedas dentadas

Cuando el engrane se produce entre una rueda dentada y una cremallera,la zona de engrane queda limitada por la circunferencia de cabeza de la rueda yla recta de cabeza de la cremallera, tal como se ve en la figura (II-24).


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Fig. II-24 Zona de engrane entre rueda dentada y cremallera

II.3.7 - Dimensiones de un engranaje normal

Un engranaje se puede considerar totalmente normal cuando estformado por dos ruedas en las que:

- El mdulo "m" tiene un valor normalizado, se expresa en milmetros.- El ngulo de presin "" es de 20.- La altura de cabeza "ha" es igual a 1 mdulo.-

La altura de fondo "hf" es igual a 1.25 mdulos.- El espesor del diente "s" y del hueco "e" son iguales a la mitad del

paso.

- La distancia entre centros de las ruedas "a" es la correcta.Tambin se puede considerar casi normal un engranaje en el que ngulo

de presin sea diferente de 20, si se cumplen las otras condiciones.


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Engranajes

36

Las dimensiones de una rueda normal pueden verse en la figura (II-25).

Fig. II-25 Dimensiones de una rueda dentada normal

En una rueda dentada normal cuyo nmero de dientes sea "z" y sumdulo "m", se tendrn las dimensiones siguientes:

d = zm (II-12)

p = m (II-13)

e = s =2

p(II-14)

a =2

dd 21 + (II-15)

ha = 1m (II-16)

hf= 1.25m (II-17)

h = ha + hf= 2.25m (II-18)

da = d + 2ha = d + 2m = (z + 2)m (II-19)

df= d - 2hf= d - 2 x 1.25m = d - 2.5m (II-20)

= 20


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II.3.8 - Dimensiones de un engranaje de diente corto

Un engranaje que se puede considerar casi normal es el formado porruedas dentadas de diente de corto, figura (II-26), en el que solamente vararespecto de los normales la altura de cabeza "ha", la altura de fondo "hf" y por lotanto la altura del diente "h", el dimetro de cabeza "da" y el dimetro de fondo"df". En estas ruedas son vlidas las ecuaciones de la (II-12) a la (II-15),quedando de (II-16) a la (II-20) de la forma siguiente:

ha = 0.75m (II-21)

hf= 1m (II-22)

h = ha + hf= 1.75m (II-23)

da = d + 2ha = d + 2 x 0.75m = d + 1.5m (II-24)

df= d - 2hf= d - 2 x 1m = d - 2m (II-25)

= 20

Fig. II-25 Dimensiones del diente corto

II.3.9 - Perfil del diente: Cicloidal y evolvente

Segn se vio en el apartado (II.3.2), para que las dos ruedas dentadas queforman un engranaje transmitan bien el movimiento deben cumplir la leyengrane, es decir, los perfiles de sus dientes deben ser conjugados.

Aunque tericamente existen infinitos perfiles conjugados, en la prcticase han utilizado muy pocos, y de stos cabe destacar los siguientes:

- Perfil cicloidal.- Perfil de evolvente o involuta.


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Engranajes

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Los dientes de perfil cicloidal estn formados: en la cabeza por un trozode epicicloide y en el pie por un trozo de hipocicloide, figura (II-27).

Fig. II-27 Perfil del diente cicloidal

La epicicloide de la cabeza del diente de una rueda es perfil conjugado dela hipocicloide del pie de la otra rueda siempre que estas curvas estn generadas

por circunferencias del mismo dimetro girando sin deslizamiento sobre y bajola circunferencia axoide respectivamente.

El perfil cicloidal se utiliz mucho a principios del siglo XX, pero en laactualidad est prcticamente desechado por la serie de ventajas que ofrece el

perfil de evolvente o involuta que es el que ms se utiliza en la actualidad.

En las ruedas de perfil de evolvente todo el flanco del perfil del dienteest formado por un trozo de evolvente.

La evolvente es la curva que describe el extremo de una cuerda quedesarrolla, mantenindose tensa, de una circunferencia que recibe el nombre decircunferencia base. Tambin sera la trayectoria que describe un punto de unaregla que rueda sin deslizamiento sobre la circunferencia base, figura (II-28).

Por la forma en que se dibuja, se cumple que la perpendicular trazada a latangente de la evolvente en cualquier punto de la evolvente, es tangente a lacircunferencia base.


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Segn se ver en los prximos apartados, el perfil de evolvente tiene unaserie de ventajas, como son:

- El perfil de evolvente es conjugado de si mismo.- Sigue siendo conjugado aunque vare la distancia entre centros de las

ruedas.

- La lnea de engrane es recta.- El ngulo de presin es constante.- La cremallera de evolvente tiene los flancos rectos.

Fig. II-28 Evolvente de crculo

II.3.10 - Ecuaciones paramtricas de la evolvente

Tomando como origen la recta que va del centro de la circunferencia baseal punto "B", un punto cualquiera de la evolvente se puede expresar encoordenadas polares "r" y " " en funcin de un parmetro que ser el ngulo

" ", de este modo las coordenadas paramtricas sern:

r =cos

rb (II-26)

= tg (II-27)


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Engranajes

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Para demostrar la ecuacin (II-27), en la figura (II-29) se observa que elarco "BC" es igual al arco "TB" menos el arco "TC" y que la longitud del arco"TB" es igual al de la recta "TA", por lo tanto se puede escribir:

BC = AT - TC (II-28)

La ecuacin (II-28) se puede expresar como

= rtgrr bbb (II-29)

De la que simplificando resulta la ecuacin (II-27).

Al ngulo " " se le llama evolvente de " " (Ev. ) o involuta de " "

(inv. ), con lo que la ecuacin (II-27) se puede expresar

inv. = Ev. = = tg (II-30)

Fig. II-29 Coordenadas polares de la evolvente

Con el fin de facilitar los clculos los valores de la funcin evolvente oinvoluta estn tabulados.

En la tabla (II-3) se recogen los valores de la evolvente o involuta de" " que es con la letra que se representa el ngulo de presin en las ruedasdentadas.


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Grados inv. Grados inv. Grados inv. Grados inv.

00.0 0.00000000.1 0.00000000.2 0.00000000.3 0.00000000.4 0.00000000.5 0.000000

00.6 0.00000000.7 0.00000000.8 0.00000000.9 0.00000101.0 0.000002

01.1 0.00000201.2 0.00000301.3 0.00000401.4 0.00000501.5 0.000006

01.6 0.00000701.7 0.00000901.8 0.00001001.9 0.00001202.0 0.000014

02.1 0.00001602.2 0.00001902.3 0.00002202.4 0.00002502.5 0.000028

02.6 0.00003102.7 0.00003502.8 0.00003902.9 0.00004303.0 0.000048

03.1 0.00005303.2 0.00005803.3 0.00006403.4 0.000070

03.5 0.000076

03.6 0.00008303.7 0.00009003.8 0.00009703.9 0.00010504.0 0.000114

04.1 0.00012204.2 0.00013204.3 0.00014104.4 0.00015104.5 0.000162

04.6 0.00017304.7 0.00018404.8 0.00019704.9 0.00020905.0 0.000222

05.1 0.00023605.2 0.00025005.3 0.00026505.4 0.00028005.5 0.000296

05.6 0.00031205.7 0.00032905.8 0.00034705.9 0.00036606.0 0.000384

06.1 0.00040406.2 0.00042406.3 0.00044506.4 0.00046706.5 0.000489

06.6 0.00051206.7 0.00053606.8 0.00056006.9 0.00058607.0 0.000612

07.1 0.00063807.2 0.00066607.3 0.00069407.4 0.000723

07.5 0.000753

07.6 0.00078307.7 0.00081507.8 0.00084707.9 0.00088008.0 0.000914

08.1 0.00094908.2 0.00098508.3 0.00102208.4 0.00105908.5 0.001098

08.6 0.00113708.7 0.00117808.8 0.00121908.9 0.00126209.0 0.001305

09.1 0.00134909.2 0.00139409.3 0.00144009.4 0.00148809.5 0.001536

09.6 0.00158609.7 0.00163609.8 0.00168809.9 0.00174010.0 0.001794

10.1 0.00184910.2 0.00190510.3 0.00196210.4 0.00202010.5 0.002079

10.6 0.00214010.7 0.00220210.8 0.00226510.9 0.00232911.0 0.002394

11.1 0.00246111.2 0.00252811.3 0.00259811.4 0.002668

11.5 0.002739

11.6 0.00281211.7 0.00289411.8 0.00296211.9 0.00303912.0 0.003117

12.1 0.00319712.2 0.00327712.3 0.00336012.4 0.00344312.5 0.003529

12.6 0.00361512.7 0.00371212.8 0.00379212.9 0.00388313.0 0.003975

13.1 0.00406913.2 0.00416413.3 0.00426113.4 0.00435913.5 0.004459

13.6 0.00456113.7 0.00466413.8 0.00476813.9 0.00487414.0 0.004982

14.1 0.00509114.2 0.00520214.3 0.00531514.4 0.00542914.5 0.005545

14.6 0.00566214.7 0.00578214.8 0.00590314.9 0.00602515.0 0.006150

15.1 0.00627615.2 0.00640415.3 0.00653415.4 0.006665

15.5 0.006799

15.6 0.00693415.7 0.00707115.8 0.00720915.9 0.00735016.0 0.007493

Contina.


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Engranajes

42

Continuacin.Grados inv. Grados inv. Grados inv. Grados inv.

16.1 0.00763716.2 0.00778416.3 0.00793216.4 0.00808216.5 0.008234

16.6 0.00838816.7 0.00854416.8 0.00870216.9 0.00886317.0 0.009025

17.1 0.00918917.2 0.00935517.3 0.00952317.4 0.00969417.5 0.009866

17.6 0.01004117.7 0.01021717.8 0.01039617.9 0.01057718.0 0.010760

18.1 0.010946

18.2 0.01113318.3 0.01132318.4 0.01151518.5 0.011709

18.6 0.01190618.7 0.01210518.8 0.01230618.9 0.01250919.0 0.012715

19.1 0.01292319.2 0.01313419.3 0.01334619.4 0.01356219.5 0.013779

19.6 0.01399919.7 0.01422219.8 0.01444719.9 0.01467420.0 0.014904

20.1 0.01513720.2 0.01537220.3 0.01560920.4 0.01585020.5 0.016092

20.6 0.01633720.7 0.01658520.8 0.01683620.9 0.01708921.0 0.017345

21.1 0.01760321.2 0.01786521.3 0.01812921.4 0.01839521.5 0.018665

21.6 0.01893721.7 0.01921221.8 0.01949021.9 0.01977022.0 0.020054

22.1 0.020340

22.2 0.02063022.3 0.02092122.4 0.02121622.5 0.021514

22.6 0.02181522.7 0.02211922.8 0.02242622.9 0.02273623.0 0.023049

23.1 0.02336523.2 0.02368423.3 0.02400623.4 0.02433223.5 0.024660

23.6 0.02499223.7 0.02532623.8 0.02566423.9 0.02600524.0 0.026350

24.1 0.02669724.2 0.02704824.3 0.02740224.4 0.02776024.5 0.028121

24.6 0.02848524.7 0.02885224.8 0.02922324.9 0.02959825.0 0.029975

25.1 0.03035725.2 0.03074125.3 0.03113025.4 0.03152125.5 0.031917

25.6 0.03231525.7 0.03271825.8 0.03312425.9 0.03353426.0 0.033947

26.1 0.034364

26.2 0.03478526.3 0.03520926.4 0.03563726.5 0.036069

26.6 0.03650526.7 0.03694526.8 0.03738826.9 0.03783527.0 0.038287

27.1 0.03874227.2 0.03920127.3 0.03966427.4 0.04013127.5 0.040602

27.6 0.04107627.7 0.04155627.8 0.04203927.9 0.04252628.0 0.043017

28.1 0.04351328.2 0.04401228.3 0.04451628.4 0.04502428.5 0.045537

28.6 0.04605428.7 0.04657528.8 0.04710028.9 0.04763029.0 0.048164

29.1 0.04870229.2 0.04924529.3 0.04979229.4 0.05034429.5 0.050901

29.6 0.05146229.7 0.05202729.8 0.05259729.9 0.05317230.0 0.053751

30.1 0.054336

30.2 0.05492430.3 0.05551830.4 0.05611630.5 0.056720

30.6 0.05732830.7 0.05794030.8 0.05855830.9 0.05918131.0 0.059809

31.1 0.06044131.2 0.06107931.3 0.06172131.4 0.06236931.5 0.063022

31.6 0.06368031.7 0.06434331.8 0.06501231.9 0.06568532.0 0.066364

Contina.


49/191


43

Continuacin.

Grados inv. Grados inv. Grados inv. Grados inv.

32.1 0.06704832.2 0.06773832.3 0.06843232.4 0.06913332.5 0.069838

32.6 0.07054932.7 0.07126632.8 0.07198832.9 0.072716

33.0 0.073449

33.1 0.07418833.2 0.07493233.3 0.07568333.4 0.07643933.5 0.077200

33.6 0.07796833.7 0.07874133.8 0.07952033.9 0.08030534.0 0.081097

34.1 0.08189434.2 0.08269734.3 0.08350634.4 0.08432134.5 0.085142

34.6 0.08597034.7 0.08680434.8 0.08764434.9 0.08849035.0 0.089342

35.1 0.09020135.2 0.091067

35.3 0.09193835.4 0.09281635.5 0.093701

35.6 0.09459235.7 0.09549035.8 0.09639535.9 0.09730636.0 0.098224

36.1 0.09914936.2 0.10008036.3 0.10101936.4 0.101964

36.5 0.102916

36.6 0.10387536.7 0.10484136.8 0.10581436.9 0.10679537.0 0.107782

37.1 0.10877737.2 0.10977937.3 0.11078837.4 0.11180537.5 0.112829

37.6 0.11386037.7 0.11489937.8 0.11594537.9 0.11699938.0 0.118061

38.1 0.11913038.2 0.12020738.3 0.12129138.4 0.12238438.5 0.123484

38.6 0.12459238.7 0.125709

38.8 0.12683338.9 0.12796539.0 0.129106

39.1 0.13025439.2 0.13141139.3 0.13257639.4 0.13375039.5 0.134931

39.6 0.13612239.7 0.13732039.8 0.13852839.9 0.139743

40.0 0.140968

40.1 0.14220140.2 0.14344340.3 0.14469440.4 0.14595440.5 0.147222

40.6 0.14850040.7 0.14978740.8 0.15108340.9 0.15238841.0 0.153702

41.1 0.15502541.2 0.15635841.3 0.15770041.4 0.15905241.5 0.160414

41.6 0.16178541.7 0.16316541.8 0.16455641.9 0.16595642.0 0.167366

42.1 0.16878642.2 0.170216

42.3 0.17165642.4 0.17310642.5 0.174566

42.6 0.17603742.7 0.17751842.8 0.17900942.9 0.18051143.0 0.182024

43.1 0.18354743.2 0.18508043.3 0.18662543.4 0.188180

43.5 0.189746

43.6 0.19132443.7 0.19291243.8 0.19451143.9 0.19612244.0 0.19774444.1 0.19937744.2 0.20102244.3 0.20267844.4 0.20434644.5 0.206026

44.6 0.20771744.7 0.20942044.8 0.21113544.9 0.21286345.0 0.21460245.1 0.21635345.2 0.21811745.3 0.21989345.4 0.22168245.5 0.223483

45.6 0.22529645.7 0.227123

45.8 0.22896245.9 0.23081446.0 0.232679

Tabla II-3 Valores de la evolvente o involuta de


50/191

Engranajes

44

II.3.11 - Datos intrnsecos de una rueda con perfil de evolvente

Cuando las ruedas dentadas con perfil de evolvente que forman unengranaje no cumplen las condiciones expuestas en los apartados (II.3.7) o(II.3.8), es decir no son ruedas normales, no se pueden aplicar las ecuacionesrecogidas en dichos apartados para determinar sus dimensiones. En este caso seutilizan los datos intrnsecos de las ruedas.

El origen de la anormalidad de las ruedas suele proceder principalmentedel hecho de que los espesores del diente y del hueco medidos sobre lacircunferencia primitiva son diferentes. Esta diferencia puede provenir de que se

han hecho diferentes o de que se ha variado la distancia entre centros de lasruedas con lo que varan los dimetros primitivos.

Fig. II-30 Datos intrnsecos de una rueda dentada con perfil de evolvente

Los datos intrnsecos de una rueda dentada con perfil de evolvente(figura II-30) son aquellos datos, propios de la rueda, que no varanindependientemente de con que otra rueda engrane y a que distancia entrecentros lo haga, y son los siguientes:

- Nmero de dientes "z".- Radio de la circunferencia base sobre la que se ha generado el perfil

de evolvente "rb".

- Paso base (paso medido sobre la circunferencia base de generacinde la evolvente) "pb".


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45

- Espesor base (espesor del diente medido sobre la circunferenciabase) "sb".

- Radio de la circunferencia de cabeza "ra".- Radio de la circunferencia del fondo del diente "rf".- Radio de pie "rp" o radio de la circunferencia del punto ms bajo del

diente con el que contacta el vrtice de cabeza de la cremallera conque se ha tallado la rueda.

Sobre la circunferencia base tambin se puede definir el mdulo basecomo:

mb =z

d

z

r2

z

r2p bbbb ==

=

(II-31)

Los datos intrnsecos de una rueda dentada ya tallada se puedendeterminar: "z" contndolos y "ra" y "rf" midindolos. Para determinar "rb", "pb"y "sb", segn se observa en la figura (II-31), se toman las medidas "Wk+1" y"Wk" entre los flancos de los dientes y cuyos valores sern:

Wk+1 = kpb + sb (II-32)

Wk = (k-1)pb + sb (II-33)

Fig. II-31 Medida del paso base y del espesor base


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Engranajes

46

De las ecuaciones (II-32) y (II-33) se obtiene:

pb = Wk+1 - Wk (II-34)

sb = Wk -(k-1)pb (II-35)

Y de la (II-34) se puede obtener

rb =2

pz b (II-36)

II.3.12 - Engrane entre perfiles de evolvente

La figura (II-32) muestra el engrane entre los perfiles de evolvente de dosruedas dentadas en los que el contacto se produce en el punto "P".

Fig. II-32 Engrane entre perfiles de evolvente

Al ser evolvente el perfil de la rueda "1", la perpendicular trazada a latangente al perfil de la rueda "1" en el punto "P" ser tangente a lacircunferencia base de la rueda "1". Al ser tambin evolvente el perfil de la


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47

rueda "2", la perpendicular trazada a la tangente del perfil de la rueda "2" en elpunto "P" ser tangente a la circunferencia base de la rueda "2".

Como la tangente a los dos perfiles en el punto "P" es nica, superpendicular tambin lo ser, y por lo tanto, la perpendicular trazada por elpunto "P" a la tangente a los perfiles en el punto de contacto es tangente a lasdos circunferencias base. De aqu se desprende que:

- La perpendicular trazada a la tangente comn a los perfiles de losdientes en el punto de contacto corta siempre a la recta de unin decentros en un punto fijo que ser el centro instantneo de rotacin

relativo a las dos ruedas "I", por lo que se cumple la ley de engrane.Resultando que el perfil de evolvente es conjugado de si mismo.

- El contacto se produce siempre sobre la tangente comn a las doscircunferencias base, por lo que la lnea de engrane es recta.

- Al ser la lnea de engrane recta, el ngulo de presin ser constantedurante toda la lnea de engrane.

As quedan demostradas tres de las ventajas del perfil de evolventeenumeradas en el apartado (II.3.9).

De la figura se desprende que los radios de las circunferencias primitivassern:

r1 =cos

r1b (II-37)

r2 =cos

r2b (II-38)

De las ecuaciones (II-37) y (II-38) se desprende que

2b

1b

2

1

rr

rr = (II-39)

Y la ecuacin (II-9) se podr ampliar a

2b

1b

2

1

2

1

2

1

1

2

r

r

d

d

z

z

r

r====

= (II-40)


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Engranajes

48

De la ecuacin (II-40) se obtiene que

2b21b1rr = (II-41)

La ecuacin (II-41) indica que la velocidades lineales de los puntos de lascircunferencias base de las dos ruedas son iguales. De esta ecuacin se deduceque el movimiento de dos ruedas con perfil de evolvente es equivalente almovimiento de dos carretes en los que en uno se desenrolla una cuerda y en elotro se enrolla y cuyos radios son los radios de base de las ruedas.

De la figura (II-32) tambin se deduce que el deslizamiento en el punto

de contacto ser:

Deslizamiento = )(PI 12 + (II-42)

II.3.13 - Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente

En la figura (II-33) se aprecia que la distancia entre centros "a" a la quese pueden montar dos ruedas dentadas con perfil de evolvente puede variar, y el

perfil de evolvente sigue siendo conjugado. Al variar la distancia entre centros"a" lo que ocurre es que vara el ngulo de presin "".

Fig. II-33 Una pareja de ruedas puede engranar con diferentes distancias entre centros


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49

En la figura (II-33) se observa que

a

rr

rr

rr

r

r

r

rcos 2

b1b

21

2b1b

2

2b

1

1b+

=+

+=== (II-43)

a

rrcos 2

b1b

+= (II-44)

II.3.14 - Datos de funcionamiento de una rueda de perfil de evolvente

Dos ruedas dentadas con perfil de evolvente tienen cada una suscorrespondientes datos intrnsecos. En el momento en que engranan aparecen encada rueda los datos de funcionamiento, figura (II-34).

Fig. II-34 Datos de funcionamiento de una rueda dentada

Al engranar las dos ruedas a una determinada distancia entre centros, latangente a las dos circunferencias base corta a la recta de unin de centrosdefiniendo el punto "I" y los radios de los axoides que son los que determinanlos datos de funcionamiento que son los siguientes:

- ngulo de empuje o de presin "".- Radio del axoide o primitivo "r".- Paso medido sobre la circunferencia primitiva "p".- Altura de la cabeza del diente "ha".- Altura del pie del diente "hp".


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Engranajes

50

- Altura del fondo del diente "hf".- Espesor del diente medido sobre la circunferencia primitiva "s".Las ecuaciones que relacionan los datos intrnsecos y los de

funcionamiento son las siguientes:

Cos =a

rr2b1b

+(II-45)

r = cos

rb(II-46)

p =z

r2(II-47)

ha = ra - r (II-48)

hp = r - rp (II-49)

hf= r - rf (II-50)

Sobre la circunferencia primitiva se puede definir tambin el mdulocomo:

m =

p(II-51)

Y teniendo en cuenta las ecuaciones (II-31), (II-36), (II-46), (II-47) y(II-51).

mb = bp

, pb = z

r2 b

, cos = r

rbp = z

r2

m =

p

Resulta

=== cosm

m

p

p

r

r bbb (II-52)


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51

Para determinar el espesor del diente medido sobre la circunferenciaprimitiva "s" se parte del espesor del diente sobre la circunferencia base "sb". Enla figura (II-35) se puede observar:

= (II-53)

Fig. II-35 Espesor del diente en la circunferencia primitiva

Expresando los ngulos en funcin de los arcos y teniendo en cuenta queel ngulo " " es igual a la "inv. ", resulta:

= .invr

2/s

r

2/s

b

b (II-54)

Reduciendo a comn denominador el segundo trmino y multiplicandopor 2r se obtiene:

).invr2s(rrs bbb

= (II-55)

Y teniendo en cuenta la ecuacin (II-46), queda finalmente

=

cos

).invr2s(s bb (II-55)


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Engranajes

52

El espesor del hueco medido sobre la circunferencia primitiva "e" ser:

e = p - s (II-56)

II.3.15 - Engrane de dos ruedas dentadas sin holgura

En la figura (II-36) se aprecia que si dos ruedas dentadas engranan sinholgura, habr un momento en que los puntos "A1" y "A2" contactarn en "I" ylo mismo ocurrir con los puntos "B1" y "B2".

Fig. II-36 Engrane de dos ruedas dentadas sin holgura

Como el engrane de dos ruedas dentadas es equivalente a una rodadurasin deslizamiento de las circunferencias primitivas, resultar las siguientesigualdades de longitudes de arcos:

A1I = A2I (II-57)

B1I = B2I (II-58)

Y comoA1I = s1 (II-59)

A2I = e2 (II-60)

B1I = e1 (II-61)

B2I = s2 (II-62)


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53

p = s1 + e1 = s2 + e2 (II-63)

Resultar

p = s1 + s2 (II-64)

Sustituyendo los valores de "s1" y "s2" de la ecuacin (II-55) se obtendr:

=

+

cos

p

cos

.invr2s

cos

.invr2sb2b2b1b1b = p (II-65)

Y operando

++=+ .inv)rr(2pss2b1bb2b1b

(II-66)

De la ecuacin (II-66) se puede obtener la "inv " mnima con la quepodrn engranar dos ruedas dentadas, y con ella los datos de funcionamiento sinholgura.

)rr(2

pss.inv

2b1b

b2b1b.mn

+

+= (II-67)

.mn

1b

.mn1 cos

rr

= (II-68)

.mn

2b

.mn2 cos

rr

= (II-69)

.mn

2b1b.mn cos

rra

+= (II-70)

II.3.16 - Cremallera de evolvente

La cremallera de evolvente se puede considerar como el lmite a quetiende una rueda dentada cuando su dimetro tiende a infinito conservando el

paso y el ngulo de presin.

En la figura (II-37) se aprecia que el radio de curvatura del perfil deevolvente en el punto "P" es la distancia "TP". En la cremallera como el punto


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Engranajes

54

"T" se va al infinito, resulta que el radio de curvatura del perfil se hace infinitopor lo tanto el flanco del perfil del diente de la cremallera de evolvente es recto.

Fig. II-37 Cremallera, lmite cuando el radio de una rueda tiende a infinito

En la figura (II-38) se aprecian los datos intrnsecos de una cremalleraque son:

- ngulo de presin "".- Paso "p".- Espesor del diente en la lnea de referencia "s".- Altura de cabeza "ha".La lnea de referencia se suele tomar a una altura del diente en el que el

espesor del diente "s" es igual al espesor del hueco "e".

Fig. II-38 Datos intrnsecos de una cremallera de evolvente


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55

En la cremallera, al igual que en las ruedas dentadas la relacin entre elpaso y el paso base ser:

pb = pcos (II-71)

II.3.17 - Engrane de rueda dentada y cremallera

Para que puedan engranar una rueda dentada y una cremallera, figura(II-39), deben tener las dos el mismo paso base

pb (cremallera) = pb (rueda) = p (cremallera) cos (II-72)

Fig. II-39 Engrane de rueda y cremallera

Y el radio primitivo de la rueda ser

r =)cremallera(

b

cos

r

(II-73)

II.3.18 - Engranaje cilndrico recto interior

Un engranaje interior, figura (II-40), est formado por una rueda dentadaexterior y otra rueda dentada interior.

El hueco de los dientes de la rueda interior tiene la misma forma que losdientes de una rueda dentada exterior del mismo mdulo y nmero de dientes.

En un engranaje interior las velocidades angulares de las dos ruedas quelo forman tienen el mismo sentido.


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Engranajes

56

Fig. II-40 Engranaje cilndrico recto interior

El engranaje interior de ruedas dentadas con perfil de evolvente, figura(II-41), cumple la ley de engrane, ya que la perpendicular trazada a la tangentede los perfiles de los dientes en el punto de contacto es tangente a las doscircunferencias base y por lo tanto corta a la recta de unin de centros en un

punto fijo.

Fig. II-41 Engrane de un diente interior con un diente exterior


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57

II.4 - LIMITACIONES EN EL ENGRANE DE PERFILESDE EVOLVENTE

Para que dos ruedas dentadas engranen bien se debe cumplir que:

- Antes de dejar de engranar dos dientes, entren en contacto losdientes siguientes.

- No haya interferencia entre los dientes de las dos ruedas.- El radio de cabeza sea como mximo igual al radio de apuntamiento

del diente.

II.4.1 - Coeficiente de recubrimiento

El coeficiente de recubrimiento indica el nmero de dientes de una ruedadentada, que por trmino medio, estn engranando a la vez con dientes de laotra rueda. Debe ser mayor que "1", as se garantiza que antes de dejar deengranar un diente empieza a engranar el siguiente y de este modo latransmisin de movimiento es suave y continua.

II.4.1.1 - Coeficiente de recubrimiento de dos ruedas

En la figura (II-42) se observa que el engrane de un diente comienza en elpunto "A2" y finaliza en el punto "A1".

Fig. II-42 Comienzo y fin del engrane de una pareja de dientes


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Engranajes

58

El arco de conduccin, medido sobre la circunferencia base, durante elque se produce el engrane de un diente ser "gb", y por tanto el coeficiente derecubrimiento ser:

b

b

p

g= (II-74)

Por la forma en que se traza la evolvente resulta que:

gb = 12 AA = 21 IAIA + (II-75)

Fig. II-43 Zona activa de la lnea de engrane

En la figura (II-43) se puede apreciar que:

ITATIA 1111 = (II-76)

21b

21a11

rrAT = (II-77)

= tgrIT 1b1 (II-78)

De las ecuaciones (II-76), (II-77) y (II-78) aplicadas a las dos ruedas seobtiene:

+= tgrrrtgrrrg2b

22b

22a1b

21b

21ab

(II-79)


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59

II.4.1.2 - Coeficiente de recubrimiento de rueda y cremallera

Si engranan una rueda y una cremallera, la parte del arco de conduccincorrespondiente a la cremallera, figura (II-44), ser:

=

sen

hIA a (II-80)

Fig. II-44 Lnea de engrane de una cremallera

Y el arco de conduccin total ser:

+= sen

h

tgrrrg

a

b

2

b

2

ab (II-81)

II.4.2 - Interferencia y socavacin

Cuando el diente de una rueda dentada intenta penetrar en el diente de larueda con la engrana se produce la interferencia y cuando la interferencia se

produce con la herramienta que talla la rueda, la herramienta elimina todo elmaterial de la rueda que produce la interferencia, producindose en este caso lasocavacin del diente. Estos dos fenmenos son inadmisibles, por lo que debenser eliminados.

II.4.2.1 - Zona activa del perfil del diente

Como el contacto entre dientes de ruedas dentadas con perfil deevolvente se produce siempre sobre la lnea de engrane que es una recta, la zonaactiva del diente de la rueda representada en la figura (II-45) ser el tramo de

perfil comprendido entre los puntos "A2" y "C".


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Engranajes

60

Fig. II-45 Zona activa del perfil del diente

El radio mnimo de la zona activa ser:

rA =2

2121b

ATr + (II-82)

Siendo:

2121 IAITAT = (II-83)

= tgrIT1b1

(II-84)

= tgrrrIA2

b2

2b

2

2a2 (II-85)

II.4.2.2 - Interferencia y socavacin

La distancia entre la circunferencia primitiva y la circunferencia baseser:

r - rb = r(1 - cos ) (II-86)


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61

Cuando una rueda tiene pocos dientes la distancia entre la circunferenciaprimitiva y la de base se hace muy pequea pudiendo penetrar la cabeza de laotra rueda por debajo de la circunferencia base de la rueda pequea tal como se

puede observar en la figura (II-46).

Fig. II-46 La cabeza de los dientes de una rueda pueden penetrar por debajo de lacircunferencia base de la otra rueda

Aunque la circunferencia de cabeza de una rueda penetre por debajo de lacircunferencia base de la otra rueda, no habr problemas de interferencia osocavacin siempre que se cumpla que el radio mnimo de la zona activa seamayor que el radio base, pues en este caso el contacto se producir siempreentre perfiles de evolvente.

Si engrana una rueda con una cremallera el radio de pie "rp" deber ser

mayor que el radio de base.El problema de interferencia o socavacin aparecer cuando el contacto

se intente producir por debajo de la circunferencia base. En este caso, tal comose aprecia en la figura (II-47), la trayectoria del punto de contacto, punto "C", alser el punto "I" centro instantneo de rotacin relativo, intenta penetrar en eldiente de la otra rueda produciendo la interferencia y si el punto "C" fuese de laherramienta, producira la socavacin.


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Engranajes

62

Fig. II-47 Interferencia y socavacin

En la figura (II-47) se aprecia que cuando se produce socavacin quedadebilitado el pie del diente con lo queda reducida su resistencia.

Adems al producirse socavacin se elimina parte del perfil de evolventepor encima de la circunferencia base. Esto es debido, segn se observa en lafigura (II-48), a que a partir del punto "T2" el perfil de evolvente de la rueda "1"

es conjugado de la otra rama de evolvente de la rueda "2" y como el radio decurvatura de la otra rama de evolvente es "T2P" y el del perfil del diente "T1P",resulta que el perfil del diente de la rueda "1" penetra en el perfil del diente dela rueda "2" por encima de su circunferencia base.

Fig. II-48 En el punto "P", el perfil del diente es conjugado de la otra rama de evolvente


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63

Segn se observa en las figuras (II-47) y (II-48), para que no le produzcainterferencia o socavacin la rueda "1" a la "2", la circunferencia de cabeza dela rueda "1" no debe pasar ms all del punto "T2".

En la figura (II-49) se representa el radio mximo de cabeza de la rueda"1" para que no le produzca interferencia o socavacin a la rueda "2".

Fig. II-49 Radio mximo de cabeza de la rueda "1"

2

2121b(mx)1a

TTrr += (II-87)

Teniendo en cuenta que:

2

1

2b

1b

2

1

z

z

r

r

r

r=== (II-88)

+= )tgrr(TT2b1b21

(II-89)

+=

+= tg

z

zzrtg

11rTT

1

211b1b21

(II-90)


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Engranajes

64

Resulta

++= 2

2

1

211b(mx)1a

tgz

zz1rr (II-91)

La interferencia o socavacin de una cremallera a una rueda dentada seproducir si la cresta de la cremallera va ms all del punto "T2", por lo tanto elmximo de la altura de cabeza de la cremallera ser tal que la cresta de lacremallera pase por dicho punto "T2" como se aprecia en la figura (II-50).

Fig. II-50 Altura mxima de cabeza de la cremallera

== 222(mx)a senrsenITh (II-92)

Para evitar la interferencia o socavacin se debe alejar el punto "T2" odisminuir la altura de cabeza, para ello se suelen utilizar los siguientes mtodos:

- Aumentar el nmero de dientes de la rueda pequea.- Aumentar el ngulo de presin.- Utilizar dientes cortos.- Aumentar el espesor del diente desplazando la herramienta de

generacin.


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65

Este ltimo mtodo es el ms utilizado, ya que no precisa herramientasespeciales.

II.4.2.3 - Radio de apuntamiento

Al desplazar la herramienta para evitar la socavacin al generar la ruedadentada, se puede llegar a que la cabeza del diente se reduzca a un punto comose observa en la figura (II-51), poniendo lmite al desplazamiento.

Fig. II-51 Radio de apuntamiento

En el apuntamiento el espesor del diente se hace cero, por lo tanto

0cos

.invr2ss bb =

= (II-93)

Para que el espesor sea cero se debe anular el numerador

0.invr2s bb = (II-94)

De la ecuacin (II-94) se obtiene

b

b

r2

s.inv = (II-95)


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Engranajes

66

Y en la figura (II-51) se aprecia que el radio de apuntamiento ser:

=

cos

rr bap (II-96)

En las figuras (II-52) y (II-53) se pueden apreciar ruedas de pocos dientesen las que se ha evitado la socavacin a base de desplazar la herramienta detallado hasta llegar al apuntamiento de los dientes.

Fig. II-52 Ejemplo de ruedas de 6 dientes

Fig. II-53 Ejemplo de rueda de 4 dientes y cremallera


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67

II.5 - TALLADO DE RUEDAS DENTADASLas formas ms comunes de tallar ruedas dentadas son las siguientes:

- Con fresa de forma.- Por generacin.

II.5.1 - Tallado con fresa de forma

Este tallado se hace mediante una fresa cuya seccin coincide con laforma del hueco entre dientes, (Fig. II-54).

Fig. II-54 Tallado con fresa de forma

El hueco entre dientes vara con el nmero de dientes de la rueda, por lotanto seran necesarias infinitas fresas para cada mdulo. En la prctica seutilizan 8 fresas para cada mdulo, sirviendo cada fresa para una gama denmeros de dientes. De aqu se desprende que este tallado no es de mucha

precisin.

II.5.2 - Tallado por generacin

En el tallado por generacin, si elimina el movimiento de corte de laherramienta, resulta que los movimientos de la rueda a tallar y el de laherramienta son los mismos que si estuviesen engranando entre ellas.

La mquina de tallado, adems de proporcionar el movimiento de corte ala herramienta, sincroniza los movimientos de engrane entre la pieza y laherramienta.


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Engranajes

68

Hay varios tipos de tallado por generacin como son:

- Por cremallera, (Fig. II-55).- Por medio de pin cortador, (Fig. II-56).- Por fresa madre, (Fig. II-57).

Fig. II-55 Tallado con cremallera


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69

Fig. II-56 Tallado con pin cortador

Fig. II-57 Tallado con fresa madre

En los tipos de tallado anteriores, las diferentes posiciones relativas deldiente de la herramienta van generando el perfil del diente de la rueda a tallar,tal como se observa en la figura (II-58).

Fig. II-58 Cortes sucesivos de la herramienta en el hueco del diente


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Engranajes

70

II.5.2.1 - Cremallera herramienta

En los tallados por generacin por medio de cremallera-herramienta ofresa madre, la seccin de corte de la herramienta es una cremallera tal como seobserva en la figura (II-59).

Fig. II-59 Herramienta cremallera

Los datos intrnsecos de la cremallera herramienta son los siguientes:

- ngulo de empuje 0 - Paso p0- Altura de cabeza

0ah

- Altura de pie0p

h

- Suplemento de cabeza fLos subndices "0" indican que los valores se refieren a la herramienta o a

la generacin.


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71

Las dimensiones normalizadas para la cremallera herramienta son lassiguientes:

Normal Rebajada o diente corto

0 = 20 0 = 20

p0 = 0m p0 = 0m

0ah = m0 0ah = 0.75 m0

0ph = m0 0ph = 0.75 m0

f = 0.25 m0 f = 0.25 m0

II.5.2.2 - Sincronizacin de los movimientos de la rueda y de laherramienta

La mquina de tallar ruedas dentadas debe sincronizar los movimientosde giro de la rueda a tallar y el desplazamiento lateral bien sea de la pieza o de

la cremallera. Por tanto se debe cumplir:

r0 =

v(II-97)

Siendo:

- r0 = radio primitivo de generacin de la rueda.- v = velocidad de desplazamiento de la rueda o de la herramienta.- = velocidad angular de la rueda.En las mquinas de tallar engranajes por medio de fresa madre, la

sincronizacin citada se consigue haciendo que la fresa madre gire tantasvueltas como dientes tiene la rueda a dentar por cada vuelta de giro de dicharueda.

La longitud de la circunferencia primitiva de generacin debe ser igual alpaso primitivo de generacin por el nmero de dientes, por tanto se cumplir:


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Engranajes

72

r0 =2

zm

2

zp 00 =

(II-98)

II.5.2.3 - Parmetros de generacin

Al tallar una rueda dentada se puede hacer que la lnea media de lacremallera herramienta coincida o no con el axoide de la cremallera, tal como seobserva en la figura (II-60). El desplazamiento de la herramienta se sueleexpresar en mdulos. Los axoides de generacin quedan definidos por losmovimientos de giro de la rueda y de traslacin de la rueda o de la herramienta

segn las ecuaciones (II-97) y (II-98).

Fig. II-60 Axoides de generacin, lnea media de la cremallera y desplazamiento

Los datos de generacin de una rueda dentada sern: Los datosintrnsecos de la cremallera ( 0 , p0, 0ah , 0ph y f), el radio de generacin de la

rueda "r0" y el desplazamiento de la herramienta "V".

Segn sea el desplazamiento de la herramienta negativo, nulo o positivose obtienen diferentes perfiles de los dientes tal como se observa en lafigura (II-61).


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73

Fig. II-61 Dientes obtenidos con diferentes desplazamientos de la herramienta

II.5.3 - Clculo de datos intrnsecos

A partir de los datos de generacin se obtendrn en la rueda dentada unos

datos de funcionamiento que se pueden deducir de la figura (II-62).

Fig. II-62 Engrane de rueda y cremallera con desplazamiento

Para determinar los datos intrnsecos de la rueda generada, en la figura(II-62) se observa que:


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Engranajes

74

rb = r0cos 0 (II-99)

Y por tanto:

pb = p0cos 0 (II-100)

mb = m0cos 0 (II-101)

Tambin se observa que:

s0 = 00 tgV22

p+ (II-102)

Siendo "s0" espesor del hueco de la cremallera medida sobre la rectaaxoide y que, como la generacin es similar a un engrane sin holgura, coincidecon el espesor del diente de la rueda "s0" medida sobre la circunferencia

primitiva de generacin.

Teniendo en cuenta la ecuacin (II-55) que relaciona los espesores deldiente medidos sobre las circunferencias base y primitiva, se tendr:

s0 =000

b

0

0bb .invr2cos

s

cos

.invr2s

=

(II-103)

Despejando "sb" y sustituyendo "s0" segn la ecuacin (II-102), seobtiene:

sb = 00000 cos.invr2tgV2

2

p

++ (II-104)

El radio de pie "rp" de la rueda es el radio del punto ms bajo del dienteque contacta con el diente de la cremallera herramienta, sin tener en cuenta elsuplemento de cabeza "f".

Segn se aprecia en la figura (II-62), el radio de pie ser la distancia"OA", y su valor ser:

rp =22 )AT()OT( + (II-105)

Y como


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OT = 00 cosr (II-106)

AT = TI - AI (II-107)

TI = 00 senr (II-108)

AI =0

0a

sen

Vh

(II-109)

Resulta:

rp = ( )2

0

0a00

200 sen

Vhsenrcosr

+ (II-110)

El radio de fondo de la rueda "rf" ser:

rf= r0 + V - 0ah -f (II-111)

Y el radio de cabeza de la rueda "ra" ser:

ra op0 hVr ++ (II-112)

Recopilando, los datos intrnsecos de la rueda sern:

Radio base rb = r0cos 0

Paso base pb = p0cos 0

Mdulo base mb = m0cos 0

Espesor base sb = 00000 cos.invr2tgV2

2

p

++

Radio de cabeza ra op0 hVr ++

Radio de pie rp = ( )2

0

0a00

200 sen

Vhsenrcosr

+

Radio de fondo rf= r0 + V - 0ah -f


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Engranajes

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II.5.4 - Clculo de datos de funcionamiento

Si se tiene engranadas dos ruedas dentadas totalmente normales, susdimensiones sern las que se han expuesto en los apartados (II.3.7) y (II.3.8).

Dos ruedas engranadas sern normales cuando se generen haciendocoincidir la lnea media de la cremallera herramienta con el axoide de lacremallera y adems se engranen sin holgura.

Si se engranan dos ruedas en la que alguna de las dos se ha generadoaplicando un determinado desplazamiento a la herramienta o si se engranan con

holgura, las dimensiones de las ruedas ya no se pueden calcular segn losapartados (II.3.7) y (II.3.8). En este caso, con los datos de generacin sedeterminan los datos intrnsecos de cada rueda, y con stos y la holgura demontaje se determinan los datos de funcionamiento.

En la figura (II-63) se aprecia como vara la distancia entre centrosmnima a que pueden engranar dos ruedas dentadas generadas condesplazamiento positivo de la herramienta.

Fig. II-63 Variacin de la distancia entre centros de ruedas generadas condesplazamiento positivo.


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II.5.4.1 - Engrane de dos ruedas sin holgura

En el apartado (II.3.15) se expuso como sern los datos defuncionamiento de dos ruedas que engranan sin holgura.

Si se sustituye la ecuacin (II.104) en la ecuacin (II.67) se tendr:

++

++

=)rr(2

cos.invr2tgV22

p

.inv2b1b

0010010

.min

)rr(2

pcos.invr2tgV22

p

2b1b

b0020020

+

++

+ (II-113)

Operando se obtiene:

0

2010

210.min tgrr

VV.inv.inv

+

++= (II-114)

A partir de la "inv. .min " con las ecuaciones (II-68), (II-69) y (II-70) sepueden determinar los radios primitivos y las distancia entre centros para elengrane de dos ruedas sin holgura.

II.5.4.2 - Datos de funcionamiento sin holgura

El ngulo de presin " " ser el dado por la "inv. .min ".

Teniendo en cuenta las ecuaciones (II-46), (II-47) y (II-55) y lasecuaciones (II-99), (II-100) y (II-104), resulta:

r =

=

coscosr

cosr 0

0b (II-115)

p =

=

cos

cosp

cos

p 00

b (II-116)


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Engranajes

78

s = =

cos

.invr2s bb

=

++

cos

cos.invr2cos.invr2tgV22

p000000

0

=

=

++

cos

cos.invr2.invr2tgV2

2

p 00000

0 (II-117)

Las alturas de cabeza, de pie y de fondo sern:

ha = ra - r (II-118)

hp = r - rp (II-119)

hf= r - rf (II-120)

II.5.4.3 - Datos de funcionamiento sin holgura y engrane a cero

Cuando dos ruedas dentadas que engranan sin holgura, se generan, unacon desplazamiento positivo y la otra con desplazamiento negativo del mismovalor, se produce el "engrane a cero".

V1 + V2 = 0 (II-121)

En este caso, sustituyendo los valores de los desplazamientos en lasecuaciones (II-114), (II-115), (II-116) y (II-117) se obtienen los valoressiguientes:

0= (II-122)

r = r0 (II-123)p = p0 (II-124)

s = 00 tgV2

2

p+ (II-125)

La altura de cabeza, para que parte del diente no resulte mecanizado porel fondo de la cremallera-herramienta, deber ser:


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ha Vh 0p + (II-126)

Y la altura de fondo ser:

hf= Vfh 0a + (II-127)

II.5.4.4 - Datos de funcionamiento con h

libro-sintesis de mecanismos

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