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LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE

CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS ENSAYOS

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA 2010

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INDICE

Contenido Página 1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3 2 Números racionales, operatoria, propiedades 10 3 Potencias, propiedades, aplicaciones 20 4 Operatoria algebraica 26 5 Simbología 38 6 Razones y proporciones 42 7 Tanto por ciento 49 8 Raíces, propiedades, aplicaciones 57 9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de

ecuaciones 64

10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 79 11 Ecuación de segundo grado 83 12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 85 13 Funciones, operatoria, tipos de funciones 88 14 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de

Pitágoras, teorema de Euclides 108

15 Congruencia de triángulos 129 16 Semejanza de triángulos 133 17 Cuadriláteros 141 18 Polígonos 152 19 Ángulos en la circunferencia 153 20 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 162 21 Poliedros, volumen 166 22 División interior y exterior 173 23 Trigonometría 175 24 Probabilidad 183 25 Estadística 198 26 Transformaciones isométricas 209 27 Teorema de Tales 221 28 Evaluación de suficiencia de datos 226 29 Respuestas 243 30 Resumen contenidos Primer año medio 248 31 Resumen contenidos Segundo año medio 258 32 Resumen tercer año medio 269 33 Resumen Cuarto año medio 280 34 Ensayo 1 290 35 Ensayo 2 308 36 Ensayo 3 329 37 Ensayo 4 348 38 Ensayo 5 365 39 Ensayo 6 384

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RESUMEN PSU MATEMATICA I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 ) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, …} se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, …} llamado “conjunto de los números cardinales”. NÚMEROS ENTEROS (Z) Los elementos del conjunto Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros” Algunos subconjuntos de Z son: Z+ = {1, 2, 3, …} enteros positivos Z +

0 = {0, 1, 2, … } enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3, …} enteros negativos Z −0 = {0, -1, -2, -3, …} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, … 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, … MÚLTIPLO Y DIVISOR

En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor común entre dos o más enteros. CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Se descomponen los números en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor. 2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor. OPERATORIA EN Z ADICIÓN i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común. ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto. MULTIPLICACIÓN i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo. ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un número y el 0

DEFINICIÓN:

<−

≥

0nsin0nsi,n

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Si D: d = c, entonces D = d ⋅⋅⋅⋅ c + r r // D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente r = resto

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OBSERVACIONES: 1) 0 ≤ r < d 2) La división por cero no está definida. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: 1. Resolver los paréntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. 4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIÓN DE ORDEN EN Z Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo. iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez). EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta A) – 2 B) 2 C) 4 D) – 4 E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 = A) m + n + 1 B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1 D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)? A) -11 B) -5 C) 5 D) 7 E) -7

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EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7 EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco? A) $ 8p B) $ 10p C) $ 12p D) $ 16p E) $ 14p EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16 EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar de círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras consecutivas es 2 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

x 4 20 4 9 8 13 24 16 55

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EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-9: Se define baba b +=◊ y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, el valor de (2 ◊ 5) # (-2) es: A) 82 B) 66 C) 60 D) 38 E) 22 EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resulta A) 41x - 2 B) 61x + 25 C) 41x - 109 D) 41x + 109 E) 41x - 21 EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos? A) De 1 forma B) De 2 formas C) De 4 formas D) De 3 formas E) De 6 formas EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy? A) Viernes B) Sábado C) Lunes D) Miércoles E) Jueves

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EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno? A) $280 B) $200 C) $120 D) $100 E) $ 40 EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T? A) 6n - 14 B) 6n – 6 C) 5n – 14 D) 3n – 14 E) 3n - 6 EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q? A) p = nq + r B) q = np + r C) q = np D) p = nq

E) q1

1qp

+=

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a A) -12 B) -7 C) -2 D) 4 E) 12

9

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P? A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1 EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:

5

6

2

000.1)E

6000.1

)D

2

000.1)C

2000.1

6)B

12000.1

)A

•

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

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II. NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números de la forma ba con a y b números

enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si dc

,ba ∈Q, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) de ba es -

ba , el cual se puede escribir también como

ba

oba

−

−

2. El número mixto Acb se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si dc

,ba ∈Q, entonces:

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de ba es 0acon,

ab

ba

1

≠=

−

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RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES 1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a) igualar numeradores. b) igualar denominadores. c) convertir a número decimal. 2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. Ejemplo: 0,444.... = 0,4 c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. Ejemplo: 24,42323 ... = 24,423 OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES 1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20 2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.

Así por ejemplo: 3,21 · 2,3 963 642 7,383

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3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número.

Por ejemplo: 3,24 = 100324

2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Por ejemplo: 2,15 = 99

2215 −

3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Por ejemplo: 5,34 = 90

53534 −

EJEMPLO PSU-1: 5•

5,005,0

A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a =32 , b =

65 y c =

83 de menor a mayor es

A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ⋅ 2,5 + 10 = A) 0 B) -20 C) 60 D) 75 E) 250

13

EJEMPLO PSU-4: =−53

89

A) 0,15 B) 0,5 C) 0,52 D) 0,525 E) 2

EJEMPLO PSU-5: Si a 65 se le resta

31 resulta:

92

)E

34

)D

32

)C

21

)B

21

)A −

EJEMPLO PSU-6: 25,0

83

1

75,083

1

−+

−

38

)E

4)D3

16)C

316

)B

315

)A

−

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces r

rt − =

A) 80,89 B) 80,9 C) 88,9 D) 89 E) Ninguno de los valores anteriores

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EJEMPLO PSU-8: En la igualdad R1

Q1

P1

−= , si P y R se reducen a la mitad, entonces

para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe A) duplicar. B) reducir a la mitad. C) mantener igual. D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte. EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: =++x1

x1

x1

3

3

x

3)E

x31

)D

x3

)C

x

1)B

3)A

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EJEMPLO PSU-11: Si RH21

P = , entonces H-1 es igual a:

P2R

)E

PR2

)D

RP2

)C

P2R

)B

RP2

)A

−

−

EJEMPLO PSU-12: =⋅+21

61

31

41

)E

32

)D

91

)C

152

)B

125

)A

EJEMPLO PSU-13: =+⋅

⋅−

8,366,28,326,2

8,96,7

)E

4,1928,2

)D

4,195

)C

4,195

)B

31

)A

−

−

16

EJEMPLO PSU-14: =−

+

41

1

231

3)E1)D611

)C

31

)B

23

)A

EJEMPLO PSU-15: =⋅

+

2)5,0(

5,010050

A) 10 B) 1 C) 0,1 D) 0,25 E) 0,75 EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer? A) 4,45 km B) 4,55 km C) 5,55 km D) 5,45 km E) 6,62 km EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta

entre las fracciones:a3

p = 1a

3t

−=

1a3

r+

=

A) p <t < r B) r < p < t C) t < r < p D) r < t < p E) p < r < t

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EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

18)b2a3(5

$)E

18b2a3

$)D

)b3a2$()C5

ba$)B

3ba

$)A

+⋅

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 31

2

litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?

32

1)E

31

3)D

23

2)C

32

2)B

31

2)A

EJEMPLO PSU-20: =•+32

41

31

214

)E

121

)D

51

)C

41

)B

21

)A

18

EJEMPLO PSU-21: Se define a ∗ b =ab1 , entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a:

abc

)E

cab

)D

abc

)C

bca

)B

abc1

)A

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si

P =ba + d y Q =

ca + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre

verdadera(s)? I) P - Q ≠ 0

II) bc

QP

=

III) P � Q = 22

dbca

+

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-23: =

++

+

111

1

11

1

21

)E

53

)D

1)C52

)B

25

)A

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EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan? A) 33,3 B) 200 C) 1.200 D) 6 E) 0,03

EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si da

ba

S += , entonces 1S − es:

)db(abd

)E

a2db

)D

adb

)C

bdabad

)B

a2bd

)A

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-27: 2)2,0( − = A) 5 B) 10 C) 25

D) 251

E) 51

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III. POTENCIAS EN Z DEFINICIÓN

PROPIEDADES 1. n0 = 0, si n ∈Z+ 2. n1 = 1 3. Si n es par, n)1(− = 1

4. Si n es impar, n)1(− = -1

Signos de una potencia: na =

<

≠

imparesny0asiNegativo

paresny0asiPositivo

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS Sean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+

1.- Multiplicación de potencias de igual base

2.- División de potencias de igual base

3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

4.- División de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN:

00 no está definido POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

POTENCIAS DE BASE 10

010 = 1 110 − =101 =0,1

21

110 = 10 210 − =1001 =0,01

210 = 100 310 − =1000

1 =0,001

310 = 1000 Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:

1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · n10 , en que 1 ≤ k < 10 y n ∈ Z.

2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, en que p es el menor entero y n ∈ Z. 3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,

centésima...) abcde = a · 210 + b · 110 + c · 100 + d · 110 − + e · 210 −

EJEMPLO PSU-1: =+−

−−

1

11

5

43

125

)E

75

)D

57

)C

1235

)B

3512

)A

EJEMPLO PSU-2: =⋅⋅

0003,060000002,00009,0

A) 10-15 B) 10-12 C) 10-7 D) 10-6 E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51⋅ 610 − ; N = 45,1⋅ 510 − y P = 451⋅ 710− , de menor a mayor, es A) M, N, P B) P, M, N C) N, M, P D) P, N, M E) M, P, N

22

EJEMPLO PSU-4: =

−−

32a

21

6

6

5

5

6

a21

)E

a81

)D

a21

)C

a8)B

a8)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-5: Si x22 = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9? A) 6

B) 29

C) 3

D) 23

E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-6: =−+ −−− 432 224

6)E8)D

61

)C

41

)B

81

)A

−

−

EJEMPLO PSU-7: 23 )a3()a2( • = A) 72a2 B) 72a5 C) 6a5 D) 36a6 E) 36a5

23

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 62 ? A) 25 B) 23 C) 16

D) 3

21

E) 6

21

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?

n22n

nnn2

n2nn

a2)a2()III

aaa)II

aaa)I

=

=−

=⋅

A) Solo I B) Sólo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?

32

00

24

27)III

7676)II

52)I

−

⋅−⋅

+

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II, III E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión n1n21

n

263184

−+− ⋅⋅

⋅es

A) n2 B) 4⋅ n2 C) 2 D) 6 E) 36

24

EJEMPLO PSU-12: =⋅⋅

000.000.2000006,0106,3 6

15

7

6

5

4

1008,1)E

1008,1)D

1008,1)C

1008,1)B

1008,1)A

−

−

−

−

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 44n4nn 24444 =+++ , el valor de n es:

22)D21)C11)B211

)A

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-14: (0,2) – 2

= A) 5 B) 10 C) 25

D) 251

E) 5

EJEMPLO PSU-15: =−−

−

52

156

ba

ba

9)Eba)D

ba)C

ba)B79

)A

33

204

108

−

−

−

−

−

EJEMPLO PSU-16: Si x399 =⋅ . Entonces x= A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 27

25

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es: A) 5.000 ⋅ 33 bacterias B) 5.000 ⋅ 34 bacterias C) 5.000 ⋅ 39 bacterias D) 5.000 ⋅ 360 bacterias E) 5.000 ⋅ 3180 bacterias EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?

64)4()III

144)II

641

4)I

x1

3x

x

=

=⋅

=

−

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-19: Si 3102,5p −•= y q = 3102 −• , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)?

2,3qp)III

1004,1qp)II

102,7qp)I5

3

=−

•=•

•=+−

−

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-20: Si P33 xx =+ − , entonces xx 99 −+ es igual a: A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P

26

IV. ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,

a ···· (b ···· c) = (a ···· b) ···· c MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad

27

POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. PRODUCTOS NOTABLES:

∗∗∗∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

∗∗∗∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2

∗∗∗∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

∗∗∗∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

∗∗∗∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac

∗∗∗∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

∗∗∗∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

EJEMPLO PSU-1: La expresión 44 ba − se puede escribir como A) 4)ba( −

B) 22 )ba()ba( −+

C) )ba)(ba( 33 +−

D) )ba)(ba( 2222 −+

E) )ba)(ba( 33 +−

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a · b =

)pn(4)E4

pn)D

4pn

)C

4pn

)B

2pn

)A

22

44

−

−

−

−

−

28

EJEMPLO PSU-3: La expresión 2y

aay:

yxxy −− es igual a:

axy

)E

y

)1y(xa)D

yax

)C

xya

)B

0)A

3

2−

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?

ab2ba

)ab()III

)ba(ba

)II

a233a2

)I

22

2

2

22

−+

−

−

−++

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: El doble de [ ]))b(a( −−−− A) 2a + 2b B) a - b + 2 C) a + b + 2 D) a + b E) -2a - 2b EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? A) 2x + y B) 4x + 2y C) 7x + 4y D) x + 2y

E) 27 x + 2y

29

EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide A) (x + 8) B) 2(x + 8) C) 2(x - 4) D) 2(x - 3) E) 2(x + 4)

EJEMPLO PSU-8: Si b1

aentonces,36b

1bay9

b1

a 2

22

−=−

=+

A) -9 B) 6 C) 4 D) 3 E) 1 EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica 2x2 − 6x − 20 ? I) 2 II) (x − 5) III) (x + 2) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide 2z , entonces ¿cuánto

mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo?

A) 4z

B) 22z

C) z

D) 2z

E) 4z2

EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2x2 − 3) = A) − 45 B) − 75 C) 15 D) 75 E) 105

30

EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces =+xy

yx

2)Exy

y2x2)D

1)Cxy

yx)B

xyyx

)A22

+

+

+

EJEMPLO PSU-13: =+−−− )3w2)(3w2(2)2w3( 2 A) 2w – 12w - 14 B) 2w – 12w + 22 C) 2w – 12w -5 D) 2w – 12w + 13 E) 2w – 12w + 14 EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es: A) 9 B) 16 C) 18

D) 1027

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6? A) k + 1 B) k + 2 C) k – 6 D) k – 3 E) k – 2

31

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2 II) El área de la región achurada es (a + b)2 III) El área de AEFD es b2 + ab A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados? A) (x – 1) y (x – 5) B) (x + 2) y (x – 3) C) (x – 1) y (x + 6) D) (x + 1) y (x – 6) E) (x – 2) y (x – 3) EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión xxyyxyx 222 +++ , ¿cuál(es) de las siguientes

expresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a ( )22n3n 33 −− − es:

)3n(2

)3n(2

)3n(2

)3n(

)3n(2

38)E

316)D

34)C

32)B

32)A

−

−

−

−

−

⋅−

⋅

⋅

⋅−

⋅

32

EJEMPLO PSU-20: =−−⋅−−−⋅ a:]aa)aa(aa[a A) –a2 B) –a C) a D) 2a E) a - 2

EJEMPLO PSU-21: =−−

−−+

4a26a2

6a34a5

10a2a3

)E

)2a(33a2

)D

)2a(35a2

)C

)2a(35a2

)B

)2a(313a2

)A

−−

−−

−+

−−

−+

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=

4

3

2

m

1)E

m

1)D

m

1)C

m1

)B

1)A

EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a) A) 1 - a B) a C) 0 D) –a2 E) a2

EJEMPLO PSU-24: Si 29bay10ba 22 =+=⋅ , entonces el valor de (a – b)2 es: A) 9 B) 19 C) 29 D) 49 E) No se puede determinar el valor

33

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2)nm( + – 4mn? A) (m – n)2 B) m2 – 2 + n2 C) m2 – 4mn + n2 D) 2m – 4mn + 2n E) 2m – 2mn + 2n

EJEMPLO PSU-26: Sea m ≠ 0, al simplificar la expresión m2mrm −

resulta:

2mr1

)E

2rm

)D

2r1

)C

2r

)B

0)A

−

−

−

−

EJEMPLO PSU-27: Al sumar tx con m se obtiene

2tx+

, entonces ¿cuál es el valor de de

m?

)2t(t2

)E

)2t(tx2

)D

2tx

)C

)2t(tx2

)B

0)A

+−

+−+−

+

EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5) =

A) 0 B) 50

C) 300 D) 350 E) 450

34

EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero? A) $ a B) $ 7a C) $ (3a – b) D) $ (3a + 2b) E) $ (a + 2b) EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) Ninguno de los anteriores

EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es 2x3 y el largo es el doble del ancho.

¿Cuánto mide su perímetro?

x6)Ex9)D2x9

)C

x3)B2x9

)A2

EJEMPLO PSU-32: Si x61

cyx4

1b,

x21

a === , entonces la expresión x – (a + b + c)

equivale a:

x127

)E

x1211

)D

12x11

)C

x127x

)B

x1211x12

)A

2

2

−

−

35

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura: Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y el lado de b.

III. a(a + b) > a2 + b2 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada? A) 8 – x B) 64 – 4x2 C) 64 – x2 D) 8 – x2 E) 64 – x4 EJEMPLO PSU-35: Si )ba(b#ay)ba(ba 222 +=+=∇ , ¿a cuánto equivale la expresión

A) -2m2 + 8p2 B) -2m2 + 6mp + 8p2 C) 8m2 + 6mp – 2p2 D) -2m2 + 3mp + 8p2 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a A) -10 B) 10 C) 13 D) -25 E) 25

36

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s) A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo I y III

EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n33n

n 2 +− es igual a:

A) 6 B) 9 C) 14 D) 17 E) 18

EJEMPLO PSU-39: =

−

+ yx

32

yx32

22

22

22

22

yx64

)D

yx92

)C

yx94

)B

yx34

)A

−

−

−

−

E) Ninguna de las expresiones anteriores EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como:

3

)yz(x)E

2

xy)D

xz)C

)zy(x)B

)yz(x)A

+

−

−

37

EJEMPLO PSU-41: para que la expresión =

−

++

−

+−

yx

yx1

yxyx

1sea positiva, se debe cumplir

necesariamente que: A) xy < 0 B) x < 0 C) xy > 0 D) y < 0 E) x > y EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión 432 xxx +− ? A) -9 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3

EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x2 – 2xy, si x = 2 e y = – 1?

A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0 EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] = A) –a + b – c B) a + b – c C) –a – b + c D) a – b – c E) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p)2 =

A) 6m2 – 10p

2

B) 9m2 – 25p

2

C) 9m2 – 15mp + 25p

2

D) 9m2 – 30mp – 25p

2

E) 9m2 – 30mp + 25p

2

38

V. SIMBOLOGÍA:

∗∗∗∗ Números natural cualquiera = n

∗∗∗∗ El antecesor de un número = n – 1

∗∗∗∗El sucesor de un número = n + 1

∗∗∗∗Número natural par = 2n

∗∗∗∗ Número natural impar = 2n – 1

∗∗∗∗El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2

∗∗∗∗El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1

∗∗∗∗El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2

∗∗∗∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1

∗∗∗∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n

∗∗∗∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n1

∗∗∗∗El triple de un número = 3n

∗∗∗∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u

∗∗∗∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

∗∗∗∗La razón o cuociente entre p y q = q

p

∗∗∗∗ El valor absoluto de un número = | n |

∗∗∗∗p es directamente proporcional a q = )tetancons(kq

p=

∗∗∗∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante) EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por: A) [2(x-3)]2 B) 2(x2 – 32) C) (2x – 6)2 D) 2(x – 3)2 E) (x2 – 32)2

39

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”?

A) 455x2

=+

B) x55x2

=+

C) x95x

=+

D) x95x2

=+

E) 455x

=+

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe

2

2

2

2

2

)d3()2d()E

d3)d2d()D

)d3()d2d()C

)d3(d2d)B

d3d2d)A

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como

22

2

2

22

2

)n(n)E

)n(n)D

n1

n)C

n1

n)B

n1

n)A

−+

−+

+

+

+

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como

2

2

22

22

2

)r()E

)r()D

)r()C

r)B

r)A

επ

επ

επ

επ

επ

+

+

+

+

+

40

EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”, se escribe

t

m25m

)E

tm

5m

)D

tm

m5)C

t

m5m

)B

tmm5

)A

2

2

2

2

+

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan?

102Jy4J

2M)E

10Jy4J

2M)D

102Jy4J

2M)C

102Jy4J

2M)B

102Jy4J

2M)A

=+=+

==−

=−=+

=−=−

=+=−

EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más? A) (11 + 3a) años B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 – b)” se representa como:

[ ]

[ ]

[ ]22

22

2

22

22

)b3(2)b3(2)E

)b3(2)b3(2)D

)b3)(b3(2b3(2)C

)b3(4)b3(4)B

)b3(2b3(2)A

−=+

−=+

−+=+

−=+

−=+

41

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es: A) (4x + 16) metros B) (2x + 8) metros C) (2x + 16) metros D) (4x + 8) metros E) (4x + 32) metros EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este problema? A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291 B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291 C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291 E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291 EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) – 4 = 18 C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 – 2(a + c) = 18 E) 2a + c – 4 = 18 EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de café en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?

A) 40x

000.48x000.36

++

B) 40x

000.48x000.36

−+

C) 000.4840x

000.36x +

+

D) 000.4840x

000.36x −

+

E) 40000.48

x000.36

+

42

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe ba o a: b.

Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe by

ax

= ó x: a = y : b

Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) ⇔ (x � b = y � a) OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 � y1 = x2 � y2 = x3 � y3 = ..........= xn � yn = k k : constante OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera

43

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas

diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la quinta? A) 54 B) 77 C) 84 D) 126 E) 210

A 10 15 20 B 3 x 1,5

44

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

9)E4)D2)C41

)B

21

)A

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas? A) 180 mm 120 mm 90 mm B) 420 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 240 mm 160 mm D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número b1 y cuando a

toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:

415

)E

101

)D

85

)C

58

)B

10)A

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 62,5 km E) ninguno de los valores anteriores.

45

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante.

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a y1 . Según los

datos registrados, el valor de ba , es

A) 256 B) 16

C) 161

D) 64

E) 641

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas? A 1,75 km B 17,5 km C 175 km D 1.750 km E 17.500 km EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K = A) 4: 7 B) 4: 3 C) 7: 4 D) 3: 7 E) 3: 4

z y 8 2 a 4 1 16

41

b

46

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es

TVP ⋅

= constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura

absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la

temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al

volumen III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la

temperatura A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total? A 6 litros B 10 litros C 12 litros D 14 litros E 16 litros EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m: h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres?

hm40

)E

hmh40

)D

h)hm(40

)C

m)hm(40

)B

hmm40

)A

+

+

++

47

EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento? A) 8 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32 EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día?

x50h

)D

h50x

)C

hx50

)B

50hx

)A

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay en febrero? A) 416 B) 4.000 C) 12.500 D) 15.000 E) 17.500

48

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho?

A) 2ux

= y w • v = 8

B) x – u = 2 y w + v = 8

C) x • u = 2 y 8vw

=

D) x + u = 2 y w – v = 8 E) x + w = 10 EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo? A) 30 B) 28 C) 25 D) 20 E) 15 EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se cumple: A) D = 0,5C B) D = C2

C) D = C5,0

D) D = 0,125C

E) D = C125,0

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3 A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

49

TANTO POR CIENTO El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100:

P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es

P% de C = C100P

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C ± b% de C = (a ± b)% de C ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos INTERÉS SIMPLE Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula: OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al

finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital

permanece inalterable. INTERÉS COMPUESTO Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

n

F 100i

1CC

+=

El a% del b% de C = C100b

100a

⋅⋅

⋅+=

100i

n1CCF

50

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses. EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores? A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54 EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el interés simple anual. A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75% EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? A) $ 45.000 B) $ 50.000 C) $ 57.150 D) $ 72.000 E) $ 81.900 EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes? A) $ 254.625 B) $ 532.000 C) $ 1.275.000 D) $ 1.812.500 E) $ 3.962.500

51

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar A) 4 litros. B) 24 litros. C) 40 litros. D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores.

52

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1? A) 5,0 B) 5,1 C) 5,2 D) 6,0 E) 6,3 EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original? A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%. C) Disminuye en un 4%. D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad. EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artículo?

I) 81 del precio del artículo

II) El precio del artículo multiplicado por 12,5 III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es de: A) $ 145⋅P B) $ 170⋅P C) $ 175⋅P D) $ 245⋅P E) $ 195⋅P

53

EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de ab es:

358

)E

1835

)D

3518

)C

835

)B

7400

)A

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades? A) Menos del 91%. B) Entre el 91% y el 93%. C) Entre el 93% y el 95%. D) Entre el 95% y el 97%. E) Más del 97%. EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo total C en alfombras? A) C = 1,6• p •100 + p• 100 B) C = 0,6• p • 100 + p •100 C) C = 0,6• p • 60 + p • 40 D) C = p• 60 + 0,6 •p • 40 E) C = 1,6 •p •60 + p•40 EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Faltó la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

54

EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

%30)E%20)D

%3)C

%61

)B

%51

)A

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son: A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 28 EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan? A) $ 555 B) $ 510 C) $ 255 D) $ 45 E) $ 90 EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400, ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?

A) 34 %

B) 10% C) 25% D) 33,3% E) 75% EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso? A) 20% B) 80% C) 16,6…..% D) 83,3…..% E) No se puede determinar

55

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado? M P A) $ 288.000 $ 72.000 B) $ 288.000 $ 172.000 C) $ 388.000 $ 172.000 D) $ 960.000 $ 240.000 E) $ 960.000 $ 340.000 EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000 ⋅12100

B) 1.000 + 1.000 12

12100

•

C) 2.000

D) 1.000 12100

•

E) 1.000 12

12100

1

+•

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son T54

II) El 20% de las gallinas son blancas III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de gallinas que son blancas A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? A) Por 15% B) Por 0,15 C) Por 1,5 D) Por 1,15 E) depende del precio de cada artículo

56

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada

por: nt

n1001

1CP

+= .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto

trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:

4

3

4

3

4

)015,1(000.50)E

)015,1(000.50)D

)18,1(000.50)C

)06,1(000.50)B

)06,1(000.50)A

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación? A) $ 21.450 B) $ 23.571 C) $ 28.050 D) $ 55.000 E) $ 115.500 EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento? A) $ 600 B) $ 750 C) $ 792 D) $ 800 E) $ 19.200 EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de alumnos del curso? A) 83, 3 % B) 80% C) 20% D) 16, 6 % E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5? A) 5,0% B) 5,5% C) 5,27% D) 5,25% E) 5,05%

57

VII. RAÍCES Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no negativo, tal que nb = a 0b,abba nn ≥=⇔=

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, tal que nb =a Rb,abba nn ∈=⇔=

OBSERVACIONES

1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL

2. La expresión n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de

exponente fraccionario nk

n k aa =

3. ,aa 2 = para todo número real

PROPIEDADES Si nn bya están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE nnn baba ⋅=• DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

0b,ba

b

an

n

n≠=

POTENCIA DE UNA RAÍZ

( ) 0a,aamnn m >=

RAÍZ DE UNA RAÍZ

nmn m aa = AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ

++ ∈∈= Ra,Zmaa mn mn PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE

+∈⋅=• Rb,a,baba mn nmmn FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL

+∈⋅= Rb,abab n nn

58

RACIONALIZACIÓN Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz

Fracciones de la forma cb

a

Fracciones de la forma cqbp

a

+

EJEMPLO PSU-1: 272125 −

arminerdetpuedeseNo)E

33)D

32)C

34)B

316)A

EJEMPLO PSU-2: =−++−+254

8161

541

6

anterioresvaloreslosdeNinguno)E207

856)D

20151

)C

52

46

27

)B

2061

)A

++−

+−

EJEMPLO PSU-3: =• ++ 3 1x3 2x2 aa

1x

3x

x3

6 3x3

3x3

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

+

+

+

+

59

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?

xx)III

xx)II

xx)I

2

2

2

=

=

−=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas. EJEMPLO PSU-5: 3443 )22()22()22()22( +−++− es un número: A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo D) Irracional negativo E) No real

EJEMPLO PSU-6: 3 2

2 =

1)E2)D

8)C

2)B

4)A

6

6

3

3

EJEMPLO PSU-7: Si a2 = , c5yb3 == entonces ¿cuál(es) de las expresiones

siguientes es(son) equivalentes a 60 I) 2bc

II) 4 224 cba

III) bca2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

60

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión 7

1472 + resulta

4)E272)D

22)C

142)B

32)A

+

+

+

EJEMPLO PSU-9: =−+− 38212

520)D

510)C

15)B

23)A

−

+

+

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-10: =−+ 2:)24251250(

40)E32)D

58)C

210)B

10)A

EJEMPLO PSU-11: =++++

++++3 55555

55555

55555

55555

23

32

65

5)E

5)D

1)C5)B

5)A

61

EJEMPLO PSU-12: Si t3232 =−−+ , entonces el valor de t2 – 2 es:

2)E2)D

32)C

0)B232)A

−

−

EJEMPLO PSU-13: =−a1)25,0(

a

2a

2a

a1

a

21

)E

21

)D

21

)C

21

)B

21

)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de

22 x5xy ++= I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguno de ellos EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

24

6)III

333)II

82)I

+

⋅

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

62

EJEMPLO PSU-16: =−

−+ 22

3

22

6

2236

)E

2296

)D

296)C

22

3)B

0)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

xx)E

1x)D

xx1

)C

xx1

)B

xx)A

<

>

>

<

>

EJEMPLO PSU-18: =⋅ −3 3x 2727

3x

3x

3x

9x3

9x

3)E

9)D

3)C

33)B

2727)A

−

+

+

−

−

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales 23− ,311

− , 7− , 32− ,3

14− , al

ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:

3

14)E

311

)D

7)C

23)B

32)A

−

−

−

−

−

63

EJEMPLO PSU-20: =+− )253)(325(

0)E47)D7)C

524)B

525)A −

EJEMPLO PSU-21: El número 162 es igual a:

( )14

4

4

2)D

2)C

32)B

2)A

E) Ninguno de los números anteriores

64

VIII. ECUACIONES: (a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. (b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones. (c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atención el problema. Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación. Paso 5: Resolver la ecuación. Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos. PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un

número. La fracciónba de un número x se calcula multiplicando

ba por x.

PROBLEMAS DE DÍGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la

forma x y z queda representado por x · 102 + 101 + z · 100 PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda:

Edad pasada (hace b años)

Edad Actual Edad futura (dentro de c años)

x - b x x + c y - b y y + c

B. ECUACIONES LINEALES: La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

212

212AB )yy()xx(d −+−=

65

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son

PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva (α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0)

L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es

66

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe:

Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:

BC

nyBA

mdondeBC

xBA

y−

=−

=−

+−

=

RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:

67

SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales. Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades. i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1). ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2). iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).

21 LL ∩ 2121 LLLL ==∩ =∩ 21 LL ∅ (Vacío) RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

68

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sea el sistema:

=+

=+

222

111

cybxa

cybxa Entonces:

* El sistema tiene solución única si 2

1

2

1

bb

aa

≠

* El sistema tiene infinitas soluciones si 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

==

* El sistema no tiene solución si 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

≠=

EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es A) –2 B) –3

C) –21

D) 21

E) 2 EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale A) − 5 B) − 2 C) 2 D) 5

E) −21

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación52

15x1

=− ?

A) - 5 B) 5 C) – 25 D) 25 E) – 35

69

EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400? A) $ 600 B) $ 580 C) $ 547 D) $ 537 E) $ 530 EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1?

)2x(45

y)E

2x54

y)D

)2x(54

y)C

)2x(45

y)B

2x45

y)A

−−=

−=

−=

−=

−=

EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la temperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente? A) – 21º C B) – 12,7º C C) 12,7º C D) 23º C E) 25,9º C EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k? A) 20

B) 23

C) 8

D) 27

E) 613

70

EJEMPLO PSU-8: Si ==− xentonces,9x3

1

83

)E

38

)D

29

)C

92

)B

29

)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0?

A) B) C)

D) E)

EJEMPLO PSU-10: En el sistema,

−=+

=−

11y4nx9myx3

¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ? m n A) − 2 1 B) − 2 − 1 C) 2 1 D) 4 −23 E) Ninguno de los valores anteriores

71

EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L1 // L2 II) La ecuación de L2 es y = -x + 3 III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto: A) (2,3) B) (2,1) C) (3,-2) D) (0,2) E) (3,2) EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Juan en un año más? A) 21 años B) 20 años C) 16 años D) 15 años E) 11 años EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta? A) $ 20.000 B) $ 22.000 C) $ 25.500 D) $ 26.000 E) $ 29.500

72

EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?

)p3s$()E

2ps

$)D

2p3s

$)C

2p3s

$)B

)p3s$()A

+

−

+

−

−

EJEMPLO PSU-16: Si x311x2

3−

−=− , entonces ¿cuánto vale x?

4)E2)D52

)C

74

)B

72

)A

−

EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es: A) 9 B) 16 C) 18

D) 1027

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a? A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a). B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0). C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a). D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0). E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

73

EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x

hectáreas, al del medio los 32 de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las

hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió A) 2.000 hectáreas B) 4.000 hectáreas C) 5.333,3 hectáreas D) 6.000 hectáreas E) 8.000 hectáreas

EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema

=+

=−

3y2x32kyx5

no tiene solución?

A) 2 B) -2

C) -310

D) -34

E) -23

EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 13

2x−=

+ ?

A) -9 B) -5 C) -1

D) 31

E) 1 EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación 0,03x = 5,2?

2,5x103)E

2,5x1003

)D

51

5x1003

)C

102,5x3)B

526

x03,0)A

2

2

=⋅

=

=

⋅=

=

−

−

74

EJEMPLO PSU-23: Si

=+

=+

32

b1

a1

6ba, entonces ba ⋅ =

1)E32

)D

31

)C

9)B3)A

EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el punto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son:

23

,21

)B

1,21

)A

C) (4,2) D) (2,4) E) (1,2) EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan? A) 4a B) 16a

C) 3a

D) 4a3

E) 3a4

EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramos de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30 por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana? A) $450 B) $350 C) $400 D) $346 E) $292

75

EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A(-1,-2), B(5,-2) y C(5,3), en el sistema de ejes coordenados, se pude afirmar que:

BCtrazodelpuntounes)5,0()III

XejealparaleloesAB)II

BCAB)I ⊥

Es(son) correcta(s): A) Solo II B) Solo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-28: Según el sistema

−=−

+=+

b3a7yxb3a7yx

, ¿cuál es el valor de y?

A) 6b B) 3b C) b D) -b E) -3b EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta y = b

ax .

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-30: Tres números enteros consecutivos suman cero. Entonces es verdadero que: I) El número mayor y el menor suman cero II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

76

EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación y = px + q. ¿Cuál es el valor de q? A) 1 B) 2 C) 0 D) -1 E) -2 EJEMPLO PSU-32: Si 24)4x2(23 =+⋅ , entonces x es igual a: A) -4 B) 0 C) 3 D) 4 E) 36 EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a: A) -20 B) -10 C) -30 D) 10 E) 30 EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte? A) 250 cm y 50 cm B) 150 cm y 150 cm C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm E) Ninguna de las medidas anteriores EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de AD y de BC no es un número real II) La pendiente de DC es cero III) La pendiente de AB es positiva A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

77

EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más? A) (11 + 3a) años B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $ a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero? A) $ a B) $ 7a C) $ (3a – b) D) $ (3a + 2b) E) $ (a + 2b) EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-39: Si 42

1t2=

−, entonces t =

27

)E

29

)D

23

)C

3)B

5)A

78

EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

18)b2a3(5

$)E

18b2a3

$)D

)b3a2$()C5

ba$)B

3ba

$)A

+•

+

+

+

+

79

VII-2: DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a ≥ b ó a ≤ b. las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bc

INTERVALOS Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. se simboliza por ] [b,a

Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se simboliza por: [ [b,a Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza por: ] ]b,a ] [ { }bxa/Rxb,a <<∈= En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo [ ] { }bxa/Rxb,a ≤≤∈=

80

En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, que dichos puntos pertenecen al intervalo [ [ { }bxa/Rxb,a <≤∈=

Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda ] ] { }bxa/Rxb,a ≤<∈= Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S1, S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: n321 S....SSSS ∩∩∩= PROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ≥ ó ≤, tales como: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤), “como mínimo” (≥), “como máximo (≤), “sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.

81

EJEMPLO PSU-1¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones

>+

<−

21x

21x?

] [] [ ] [] [ ] [[ ]] [+∞

+∞∪∞−

+∞∪−∞−

,3)E3,1)D

,31,)C,33,)B

3,1)A

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?

] [] [] [ ] [] [] [ ] [ ] [∞∪−∪−∞−

∞−

∪−

,286,612,)E28,)D

28,66,12.)C28,6)B8,6)A

EJEMPLO PSU-3: 3x – 8 < 5x + 5, ¿cuánto vale x?

132

x)E

213

x)D

213

x)C

213

x)B

213

x)A

−>

−>

−<

>

<

EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones 41x64x2

<+

≥+, ¿cuál es el

gráfico solución?

A) B)

C) D)

E)

82

EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que:

752

)E

782

)D

52)C49)B42)A

EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación –6 ≥ 4x es

EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de

inecuaciones

≤−

<−

6x2436x3

es

83

B. ECUACIONES CUADRATICAS: � Ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0

� Fórmula cuadrática: a2

ca4bbx

2

⋅⋅⋅−±−

=

� Número de soluciones: (∆: discriminante)

(∆: b2 – 4ac) ∆ > 0…. 2 raíces reales y distintas ∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales ∆ < 0…. No tiene raíces reales � Cortes en el eje x: ∆ > 0…. 2 cortes en el eje x ∆ = 0…. 1 corte en el eje x ∆ < 0…. No corta el eje x

� Propiedades de las raíces: a

cxx

a

bxx 2121 =•−=+

EJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que:

I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X. II. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.

III. Si a < 1, no hay intersección con el eje X.

A) Sólo I B) I y II C) II y III D) Sólo II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio? A) x(x + 2) – 24 = 0 B) x(x – 2) – 24 = 0 C) x(x – 2) + 24 = 0 D) x2 - 22 = 0 E) 4x - 20 = 0 EJEMPLO PSU-3: Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x − 1) = 20 son A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y − 5 E) −4 y 5

84

EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces

¿cuál es el valor de c? A) - 24 B) -8 C) -2 D) 2

E) 35

EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión x2

x2 + cuando x satisface la

igualdad 16x

15x =+ ?

A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) -1 EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es: A) {0} B) {1} C) {0,1} D) {0,-1} E) Ninguno de los conjuntos anteriores

85

IX. LOGARITMOS:

mlogn1

mlog)6(

xlogyxlog)5(

ylogxlogyx

log)4(

ylogxlog)yx(log)3(

1alog)2(

01log)1(

an

a

ay

a

aaa

aaa

a

a

⋅=

⋅=

−=

+=⋅

=

=

� Cambio de base: alog

blogblog a =

EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 – log (a + b) = A) 2 B) a + b C) log a + 3log b D) log a + log b E) log (a + b)

EJEMPLO PSU-2: Si 2x1

1log =

−

entonces x vale:

2019

)E

100101

)D

10099

)C

99)B10099

)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?

2log6log)E

3log2log2log)D

6log2)C

2log10log)B

2log6log)A

+

⋅⋅

⋅

+

⋅

86

EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión es16log

91

log8log

4

32

−

47

)E

45

)D

3)C21

)B

25

)A

EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta A) a3 = 2 B) a2 = 3 C) 23 = a D) 32 = a E) 3a = 2 EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces )a(loglog 2

a2 =

A) 0 B) 1 C) 2 D) a E) a2 EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

4log10log4log)III

3030log21

log)II

20log20log1log)I

=⋅

<⋅

=⋅

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

87

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

71

xentonces,249logSi)III

3xentonces,2xlogSi)II

291

log)I

x

3

3

=−=

=−=

−=

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 = A) 4 • log 1.000 B) 6 + 2 • log 2 C) 2(6 + log 2) D) 2(log 2)(log 1.000) E) 3 + 2 • log 2

88

X. FUNCIONES: DEFINICIÓN: función Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: A → B x → f(x) = y Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

∗∗∗∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.

∗∗∗∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f.

∗∗∗∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.

∗∗∗∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

∗∗∗∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor. EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Para encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o expresión que corresponda. Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería f(-1) = 3 � (-1) – 1 = - 4. Si la imagen es 29 y la función es f(x) = 2x + 1, la pre-imagen se obtendrá igualando 2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.

∗∗∗∗ Función continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión (figura 1).

∗∗∗∗ Función discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).

∗∗∗∗ Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período (figura 4).

iominDo

corridoRe

x

yx y

89

A. FUNCION DE PRIMER GRADO:

∗∗∗∗ f(x) = ax + b B. FUNCION LINEAL:

∗∗∗∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0: f(x) = ax , con a ≠ 0

∗∗∗∗ La recta pasa por el origen. C. FUNCION IDENTIDAD: Función lineal f(x) = ax, con a = 1: f(x) = x

∗∗∗∗ La recta pasa por el origen.

∗∗∗∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y. TRASLACIÓN DE FUNCIONES Sea y = f(x) una función. La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2). La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (figura 3 y 4). La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x. Si f(x) = ax entonces: f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x – h), h < 0 f(x) = a(x – h), h > 0

y

x

f (x)

a > 0

y

x

f (x)

a < 0

positivamnegativam

y

x

f (x) = ax

y

x

f (x) = x

90

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número real no

negativo.

f(x) = Rx,0xSi,x

0xSixx ∈

<−

≥=

Representaciones gráficas

a indica el punto de traslación en el eje b indica el punto de traslación en el eje de las ordenadas de las abscisas. E. FUNCION CONSTANTE:

∗∗∗∗ Función de grado cero.

∗∗∗∗ Su gráfico es una recta horizontal. F. FUNCION CUADRATICA:

∗∗∗∗ Función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c

∗∗∗∗ Se grafica una curva llamada parábola. A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c ∈ lR y a ≠ 0 se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.

y

x f (x) = 3

3

y

x f (x) = ax

2 + bx + c

91

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola Si a > 0, la concavidad de la parábola está Si a < 0, la concavidad de la parábola Orientada hacia arriba está orientada hacia abajo

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.

CEROS DE LA FUNCIÓN Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0

92

DISCRIMINANTE La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c

EJE DE SIMETRÍA El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas” congruentes. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.

93

G. FUNCION RAIZ CUADRADA: Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por

OBSERVACIONES: i. La función es creciente. ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.

∗∗∗∗ Su dominio son los IR+ U {0}. H. FUNCION EXPONENCIAL:

La función f definida por 1ayRacon,a)x(f x ≠∈= + se denomina función exponencial.

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

En las gráficas se puede observar que:

∗∗∗∗ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).

∗∗∗∗ Si a > 1, entonces f(x) = xa es creciente.

∗∗∗∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) = xa es decreciente.

∗∗∗∗ La gráfica no corta al eje de las abscisas.

x2)x(f =

x

21

)x(f

=

94

I. FUNCION LOGARITMICA: Una función f definida por 0xy1a,Racon,xlog)x(f a >≠∈= + se denomina función

logarítmica

En los gráficos se puede observar que:

∗∗∗∗ La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0) ∗∗∗∗ Si a > 1, entonces xlog)x(f a= es creciente

∗∗∗∗ Si 0 < a < 1, entonces xlog)x(f a= es decreciente

∗∗∗∗ La curva no intersecta al eje y

xlog)x(f 2=xlog)x(f 2=

xlog)x(f21=

xlog)x(f21=

95

J. FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x. Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6. Su representación gráfica es

OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”. APLICACIONES LINEALES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.

96

EJEMPLO PSU-1: Si 2

3x2)x(f

−

+−= , entonces f(7) es igual a:

217

)E

211

)D

211

)C

217

)B

4)A

−

−

EJEMPLO PSU-2: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó? A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?

)A )B )C

)D )E

97

EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? I) 6 segundos II) 10 segundos III) 14 segundos A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) Sólo en I y en II E) Sólo en I y en III

EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola 2)1x(21

y −= ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parábola se abre hacia arriba II) Su vértice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetría es x = 1 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: ¿Cuál es el dominio de la función 4x)x(f 2 −= en los números reales? [ [[ [[ [] ] [ [[ [+∞

+∞∪−∞−

+∞

+∞−

+∞

,4)E,22,)D

,0)C,2)B

,2)A

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

98

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura? A) y = (– x + 1)(x – 2) B) y = (x + 1)(x – 2) C) y = (– x + 1)(x + 2) D) y = (– x – 1)(x – 2) E) y = (x + 1)(– x – 2) EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es A) 1 B) 1 − a C) 2 − a D) 1 + a E) 3 − 2a EJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el valor de t? A) -3 B) -2 C) 3 D) 2

E) 23

EJEMPLO PSU-11: Del gráfico de la función real x1)x(f −= , se puede afirmar que:

I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1 Es(son) verdadera(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 • f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2 E) ninguna de las expresiones anteriores.

99

EJEMPLO PSU-13: Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es A) 5 B) 3 C) 2 D) 0 E) –1 EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III EJEMPLO PSU-15: Si f(x) = ax + 1 y f(2) = 9, entonces a = A) 9 B) 4 C) 3 D) 2 E) 8

EJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por 1xx1

)x(f+−

= ,

entonces f(-2) A) 1 B) -1 C) 3 D) -3

E) -31

100

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?

EJEMPLO PSU-19: Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x II) Su valor mínimo es -1 III) f(-3) > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

101

EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. ¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de semana x? A) y = -12 + 0,5x B) y = - 0,5 + 12x C) y = 12 + 0,5x D) y = 12 – 3,5x E) y = 12 – 0,5x EJEMPLO PSU-21: De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3⋅f(-2) – f(0) = 2⋅f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-22: Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1? A) {-2} B) {-2,2} C) {2} D) {4} E) No tiene solución en el conjunto de los números reales EJEMPLO PSU-23: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x + 6?

102

EJEMPLO PSU-24: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =

xx3)E

xx)D

xx)C

xx)B

x2)A

−

−

−

+

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 1?

EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:

Consumo en m3 Precio 0 - 9 $3.000 10 – 19 $ 8.000 20 o más $11.000

Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa?

103

EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura? A) y = x2 B) y = x3 C) y = 4x4 D) y = 4x E) y = 4x2

104

EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: 2rA ⋅= π ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. π es variable. II. r es variable y A sólo toma valores positivos. III. A es función de r.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30: Dada la función x2

x3x)x(f

−

−−= , entonces f(-4)=

valorOtro)E611

)D

21

)C

21

)B

611

)A

−

−

EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:

[ ][ ][ ]

[ ][ ]1x300150y)E

1x300150y)D

3001x150y)C

300x150y)B

x300150y)A

+⋅+=

−⋅+=

+−⋅=

+⋅=

⋅+=

EJEMPLO PSU-32: Dada la función )2x()x(f −= , se puede afirmar que:

I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la función A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

105

EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?

A) 21 y 5

B) - 1 y 21

C) 2 y 2

D) 21 y

213

E) 2 y 10 EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno. Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-35: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)? A) C(x) = x + 1.005.000 B) C(x) = 1.000.000x + 5.000 C) C(x) = 1.005.000x D) C(x) = 5.000x + 1.000.000 E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000

106

EJEMPLO PSU-36: Dada la función f(x)= xx12 −− , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades

es(son) verdadera(s)?

0)2(f)III21

21

f)II

)1(f)2(f)I

=

=

−=−

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III EJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a: A) x2 + 3x - 2 B) x2 + 5x – 3 C) x2 + 5x – 2 D) x2 + 5x E) x2 + 3x EJEMPLO PSU-39: dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

107

EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática cbxax)x(f 2 ++= , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntos A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura?

4

3

2

2

x)x(s)E

x2)x(t)D

x4)x(h)C

x2)x(g)B

x8)x(f)A

=

=

=

=

=

108

XI. ANGULOS:

Clasificación de ángulos

Según su medida, un ángulo puede ser:

DEFINICIÓN Ángulo Agudo: su medida es menor que 90°

DEFINICIÓN Ángulo Recto: su medida es 90°, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son “perpendiculares” )(⊥

DEFINICIÓN Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90° y menor que 180°

DEFINICIÓN Ángulo Extendido: Su medida es 180°

Ángulos en el plano

DEFINICIÓN Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si y solo si tienen en común el vértice y un lado, y sus interiores no se intersectan.

Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD

°=∠ 90BOC

°<∠<° 180AOB90

°=∠ 180BAC

º90AOB <∠<∠ α

109

DEFINICIÓN Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.”Complemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta

para completar 41 de giro (90°).

°=+ 90βα , complemento de αα −°= 90

DEFINICIÓN Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. “suplemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para

completar 21 de giro. (180°)

Suplemento de αα −°= 180

Así entonces, podemos tener:

a) ángulos adyacentes complementarios °=+ 90βα

b) ángulos adyacentes suplementarios:

°=+ 180βα

DEFINICIÓN Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Propiedad: ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida ( son congruentes)

δγβα == y

°=+ 180βα

110

Ángulos entre paralelas y una transversal

Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales hay parejas que cumplen propiedades importantes

Opuestos por el vértice .Son congruentes. 75864231 ∠≅∠∠≅∠∠≅∠∠≅∠

Ángulos Correspondientes. Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el nombre de correspondientes, y obviamente son congruentes.

84736251 ∠≅∠∠≅∠∠≅∠∠≅∠

Ángulos alternos internos. Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos internos son congruentes.

∡ 3 ≅ ∡ 5 ∡ 4 ≅ ∡ 6 Ángulos alternos externos Son los que están en el exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos externos son congruentes.

8271 ∠≅∠∠≅∠

Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen. Observación: Sea L1 // L2, entonces:

(1) :siβα =

(2) °=+ 180βα

111

Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: βαε +=

Observaciones: (a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes)

(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida es de 90º

21 LL ⊥

βα ∠≅∠

112

• Triángulo

DEFINICIÓN Un triángulo lo podemos entender como la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vértices, y los segmentos, lados del triángulo; además, se determinan tres ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores del triángulo Se acostumbra usar letras minúsculas para los lados, de acuerdo al vértice al que se oponen.

Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°”

°=++ 180γβα

DEFINICIÓN Ángulo Exterior Se llama ángulo exterior de un triángulo, al ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro.

exterioresángulos';';' γβα

Propiedades (1) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes

βαγ

γαβ

γβα

+=

+=

+=

'

'

'

(2) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360° °=++ 360''' γβα

113

• Clasificación de los triángulos Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos

Según la medida de sus ángulos

Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos

Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ángulo recto se denominan “catetos” y el lado opuesto al ángulo recto “hipotenusa”

Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso

114

Según la medida de sus lados

Equilátero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos interiores también lo son, y como la suma de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°

Isósceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados “lados”, y el tercero se llama “base” Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los “lados” son también congruentes. A estos ángulos se les llama “ángulos basales”

Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO

Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos. Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas notables” • Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices,

simetrales y medianas. • Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo tipo de

rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro.

115

DEFINICIÓN 1. Transversal de gravedad.- Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb, tc, donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)

)Baricentroo(GravedaddeCentro:G

}G{ttt

tCF;tBE;tAD

ladoslosdemediosPuntos:F,E,D

cba

cba

=∩∩

===

Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2 : 1. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado

DEFINICIÓN 2.- Altura. Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados

khchbha cba =⋅=⋅=⋅

12

GFCG

GEBG

GDAG

===⇒

{ }Ortocentro:H

Hhhh

hCD;hBF;hAE

ABCD;ACBF;BCAE

cba

cba

=∩∩

===

⊥⊥⊥

116

Observaciones:

∗∗∗∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo

∗∗∗∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puesto que los catetos se confunden con las alturas.

DEFINICIÓN

3.- Bisectriz.- Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se denominan: γβα b;b;b ; donde el subíndice

indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, se decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega “ ρ ”.

Propiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las medidas de los lados que forman el ángulo

{ }

genciatandePuntos:R,Q,PIncentro:I

Ibbb

bCE;bBG;bAF

=∩∩

===

γβα

β γαBABC

GACG

;ACAB

FCFB

;CBAC

EBAE

===

117

Observaciones:

∗∗∗∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices

∗∗∗∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.

DEFINICIÓN 4.- Simetral

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc , donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por “r”

Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo.

DEFINICIÓN 5.- Mediana

Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo P, Q, R : Puntos medios de los lados

Propiedades: • La mediana es paralela al tercer lado: BC//PQ;AC//QR;AB//RP

{ }roCircuncent:O

OSSS

SOE;SOF;SOD

cba

cba

=∩∩

===

Medianas:RP,QR,PQ

118

• La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:

AB = 2 PR ; BC = 2 PQ ; AC = 2 QR

• Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes

Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los triángulos equiláteros e isósceles.

Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO

PROPIEDADES

°=

°

===

60

,unocada60aigualesángulos)2(

aCABCAB)1(

α

(3) Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma recta

γβα bbbhhhttt cbacba ========

33a

33lado

tacircunscrinciacircunfereladeRadio)8(6

3a6

3lado

inscritanciacircunfereladeRadio)7(

34

a4

3)lado(Área)6(

32a

23lado

Altura)5(

mediopunto;MMBAM)4(

22

==

==

==

==

=

119

TRIÁNGULO ISÓSCELES

PROPIEDADES

vérticedelángulo)3(

basalesángulos)2(

baseAB;BCAC)1(

21

β

αα =

=

(4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo hc = tc = bβ= CM

La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo del triángulo

La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior del triángulo.

ab

uv

bienoba

vu

==

ab

EBEA

=

120

TEOREMA DE PITÁGORAS “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos” “En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir 222 cba =+ ” RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS “Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo” � Tríos pitagóricos: (a – b – c)

a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37

TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema: “Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”

Tesis: 2

ABBC =

121

Teorema: “En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa”

Tesis: 2AC

BM =

Corolario: “En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa” Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º) CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que abarcan los dos catetos es de 180º

Por tanto, se cumplirá: a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia. b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c. c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

122

TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura es rectángulo en C y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes. Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

qph 2c •=

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

cpa 2 •=

cba

h c•

=

Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados

ACUTÁNGULO

222 bac +<

RECTÁNGULO

222 bac +=

OBTUSÁNGULO

222 bac +>

OBSERVACIÓN: “En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”

cqb2 •=

123

PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial

cbaba++

⋅=ρ

trosemiperíme:s;2

cbas

++=

124

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC = 5 cm y BD = 4 cm. La medida del segmento AD es:

cm9)Ecm4)D

cm43

)C

cm49

)B

cm23

)A

EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ? I) x = z II) x + y = EBD III) x + y – z = 60° A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos A) isósceles rectángulos congruentes. B) acutángulos escalenos congruentes. C) acutángulos congruentes. D) escalenos rectángulos congruentes. E) equiláteros congruentes. EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El área del ∆ DEF es la sexta parte del área del ∆ ABC. II) El lado FE es paralelo al lado AB . III) El lado FE es perpendicular al lado AC . A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

125

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:

2

2

2

2

2

cm329

)E

cm529

)D

cm59)C

cm39)B

cm9)A

EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el ∆ ABC es rectángulo en C y AC = BC = 2 6 , entonces CD es

A) 2 3

B) 2 6 C) 3 D) 6 E) 12 EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, CE = 3 cm y BE = 12 cm, entonces la medida de CD es: A) 6 cm

B) 3 5 cm

C) 3 2 cm D) 9 cm E) Indeterminable con los datos dados EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se divide por dos y se mantiene su base? A) Se reduce en media unidad cuadrada B) Se reduce a la mitad C) Se reduce a la cuarta parte D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada E) Falta información para decir que ocurre con el

126

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividen a BC en tres segmentos iguales. Si B'C' // BC, AC = 12, AC' = 4 y B'C' = 3,

Entonces ACEƇrea

'D'ABƇrea

91

)E

61

)D

41

)C

31

)B

181

)A

EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si 14

qp

= y p + q =

10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) I) a + b = 56 II) h = 4 III) El área del triángulo ABC = 20 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original? A) Se mantiene igual B) Aumenta en un 4% C) Disminuye en un 4% D) Aumenta al doble E) Disminuye a la mitad

127

EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide:

)as(2)Eas2)D

as)C2

as2)B

2as

)A

−

−

−

−

−

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la figura? A) 32º B) 39º C) 45º D) 52º E) No se puede determinar, faltan datos EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. CD es perpendicular a AB . AD = 9 y DB= 4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

52BC)III

117AC)II

6CD)I

=

=

=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25 cm y 31 cm,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Su hipotenusa es igual a 35 del cateto menor.

II) El área del triángulo es 125 cm2

III) Su perímetro es igual a 1 cm. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

128

EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C y hc =2c . ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) (p + q)2 = 4pq

II) 2q

pó2p

q ==

III) El ∆ ABC es isósceles. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

129

XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS: DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.

∠≅∠

∠≅∠

∠≅∠

≅

≅

≅

⇒≅

RCQBPA

RQCB

PRAC

PQAB

PQR∆ABC∆

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

130

EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales PRySQ se intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)?

RQP∆PSR∆)IIIRTQ∆PTS∆)IISTR∆PTS∆)I

≅

≅

≅

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-2: En la figura, ∆ PTR y ∆ SVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

RPTRQV)III

SV//PT)II

VQ//TR)I

∠≅∠

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

131

EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB . La circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)?

I. ABE ≅ ABE II. ∆ BEC ≅ ADC III. ABD ≅ ADC

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: En la figura BAD∆ABC∆ ≅

DBAC)III

BED∆AEC∆)II

ADB∆AEC∆)I

≅

≅

≅

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes de bases BC y AE , respectivamente. Si ∠BAC = 36º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∡ DAC ≅ ∡ CAB II) ∆ ABC ≅ ∆ ACD III) ∆ AEP ≅ ∆ DCP A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

132

EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y DBAD ≅ , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∆ ADC ≅ ∆ BDC

II) ∡ ACD = 30º

III) 23

CD =

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

133

XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS: DEFINICIÓN: Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales

Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así, por ejemplo;

(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí (2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí (3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí

En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son semejantes entre si. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras

RPCA

QRBC

PQAB

y

RC;QB;PA

:sisoloysiPQR∆ABC∆

==

∠=∠∠=∠∠=∠

≈

∡ A ≅ ∡ P

∡ B ≅ ∡ Q

∡ C ≅∡ R

∡ D ≅ ∡ S

∡ E ≅ ∡ T

TPEA

STDE

RSCD

QRBC

PQAB

====

134

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes. * TEOREMA FUNDAMENTAL Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero Si AB//DE , entonces ∆ CDE ~ ∆CAB Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales. TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA) Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes

Hipótesis: ∡ A ≅ ∡ D y ∡ C ≅ ∡ F Tesis ∆ ABC ∼ ∆ DEF Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes.

135

TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)

Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

⇓

∠≅∠∧= 'CC'B'C

CB'A'C

CA

∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza) Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

'A'CCA

'C'BBC

'B'AAB

==

⇒ ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales. Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90°. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce: a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.

136

b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales

c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional.

RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a los lados respectivos.

Sea ∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ∆ADC ∼ ∆ A’D’C’. De esa

semejanza se deduce que: 'C'A

AC'D'C

CD=

En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes.

λα

α ==== ..................'b

b't

t'h

h

c

c

a

a

RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera

137

....................................bb

hh

'C'B'A∆perímetroABC∆perímetro

'a

a

'c

c ===

RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera

..........................hh

bb

'C'B'AƇreaABCƇrea

2

'c

c

2

'a

a =

=

=

• Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma unidad, se establece una razón entre estas medidas.

Nota: MN es el segmento. MN es la medida de MN

La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo. Dicho número puede ser racional o irracional.

• Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos

son conmensurables entre si. Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre si.

Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes.

• Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los

triángulos equiláteros son semejantes) • Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus

perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos.

138

Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e Perímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’

'ee

'PP

....;;.........'b

b'P

P;

'aa

'PP

===

EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q? A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre? A) 200 metros B) 198,4 metros C) 113,2 metros D) 112,5 metros E) 110 metros EJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes? A) Que tienen igual área B) Que tienen igual perímetro C) Que sus lados son proporcionales D) Que sus tres lados respectivos coinciden E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno

139

EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?

CAB∆yACD∆)IIIAEB∆yBEC∆)IIBCE∆yACD∆)I

A) Sólo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes I) ∆ ABE ∼ ∆ AFD II) ∆ FEC ∼ ∆ BDC III) ∆ CFE ∼ ∆ ABE A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguno de ellos son semejantes entre si EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, ¿cuál es la altura del poste? A) 3,5 metros B) 7,1 metros C) 14 metros D) 35 metros E) No se puede determinar

140

EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM = 5, AB = 21 y CN = 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

91

ABC∆Área

EDC∆Área)III

235

EDC∆Área)II

ED:CMAB:CN)I

=

=

=

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón NMAN

es equivalente a:

ACAM

)E

NCAN

)D

BCAC

)C

BCAB

)B

ABBC

)A

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso? A) 8 m B) 10 m C) 15 m

D) 3

40 m

E) No se puede determinar

141

XV. CUADRILATEROS: � Los ángulos interiores suman 360º � Los ángulos exteriores suman 360º � Clasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares) > Trapecios (1 par) > Trapezoides (ningún par) A. PARALELOGRAMOS: � Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos. � Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide 1. CUADRADO: � 4 ángulos interiores rectos � 4 lados iguales � Lados opuestos paralelos � Las diagonales son iguales y son perpendiculares � Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales) � Las diagonales bisectan los ángulos � Se puede inscribir una circunferencia � Se puede circunscribir una circunferencia � d = 2a � p = 4a � A = a2 2. RECTANGULO: � 4 ángulos interiores rectos � Lados opuestos de igual medida � Lados opuestos paralelos � Las diagonales son iguales y se dimidian � Se puede circunscribir una circunferencia � p = 2a + 2b � A = ab 3. ROMBO: � 4 lados iguales � Lados opuestos paralelos � Ángulos opuestos iguales � Ángulos contiguos suplementarios � Las diagonales son perpendiculares � Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos � Se puede inscribir una circunferencia � p = 4a

� A = a � h // A =2

fe ⋅

A B

D C

a

d1

d2

A B

D C

a

b d1

d2

A B

D C

a

d1 d2

f e

h

142

4. ROMBOIDE: � Lados opuestos de igual medida � Lados opuestos paralelos � Ángulos opuestos iguales � Ángulos contiguos suplementarios � Las diagonales se dimidian � p = 2a + 2b � A = a � h B. TRAPECIOS: � Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales. � Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo 1. TRAPECIO ESCALENO: � Lados no paralelos no son congruentes. � AB // CD � α + δ = 180º � β + γ = 180º � p = a + b + c + d

� A = MN � h / A = h2

)ba(•

+

2

baMN

+=

2. TRAPECIO ISOSCELES: � Lados no paralelos son iguales (AD = BC) � AB // CD � Las diagonales son iguales � Ángulos contiguos suplementarios � α = β � γ = δ � p = a + b + 2c

� A = MN � h / A = h2

)ba(•

+

A B

D C

a

d1

d2 h b

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α β

γ δ

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α β

γ δ d1

d2

143

3. TRAPECIO RECTANGULO: � Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases. � AB es perpendicular a AD � DA es perpendicular a DC � AB // CD � c = h = altura � Ángulos en A y D son rectos � β + γ = 180º � p = a + b + c + d

� A = MN � h / A = h2

)ba(•

+

4. MEDIANA DE UN TRAPECIO: � Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. � Es paralela a las bases. � MN = AB + DC 2 C. TRAPEZOIDES: � No tienen lados opuestos paralelos. D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS: � En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. (α + γ = β + δ = 180º)

A B

D C

a

d

b

N M

h

c

β

γ

A B

D

a

d

c

b

α β

γ

δ

C

A B

D

α β

γ δ C

A B

D C

N M

144

� En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí. (a + c = b + d)

EJEMPLO PSU-1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:

anterioresvaloreslosdeNinguno)E612)D

6212)C

66)B

626)A

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de FCGI es 12 II) El área de ABFI es 6 III) El área de AEIH es 3 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El perímetro de la figura es 8 2 . II) Cada diagonal mide 4. III) El área de la figura es 4 2 . A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

A B

D

a

d

c

b

C

145

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos? A Si sus ángulos son rectos es un cuadrado. B Los ángulos consecutivos son complementarios. C Las diagonales son bisectrices. D Los ángulos opuestos son congruentes. E Los ángulos opuestos son suplementarios. EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es

9a8

)E

9a5

)D

4a3

)C

3a5

)B

9a4

)A

2

2

2

2

2

EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El perímetro del polígono es 8 2 . II) Cada diagonal del polígono mide 4. III) El área del polígono es 4 2 . A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

146

EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio 21 BC

II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una

circunferencia de radio 31 AB

III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de ABCD. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PB3PC = ,

QC2QD = y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es

6k

)E

9k2

)D

9k4

)C

3k

)B

9k

)A

2

2

2

2

2

EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide

1)E5

2)D

532

)C

5

1)B

25

)A

147

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es A) 42 cm B) 46 cm C) 48 cm D) 50 cm E) 56 cm EJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura? A) 3 m B) 6 m C) 12 m

D) 80 m

E) m2

1653

+−

EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, FCAF = y α mide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

BCAB)III2

ABFE)II

FCFE)I

=

=

=

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide A) 50 cm2 B) 75 cm2 C) 100 cm2 D) 112,5 cm2 E) 125 cm2

148

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q? A) 4p + 3q B) 4p + 4q C) 3p + 3q D) 3p + 2q E) No se puede determinar EJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AByAD , respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?

8a

)E

4a

)D

8a

)C

4a

)B

2a

)A

2

2

2

EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) Área de la región sombreada es 13 II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro del rectángulo ABCD A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II, III EJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? TLP∆)I ∼ TMB∆

CBLDTA)III

LTM∆PML∆)II

∠=∠

≅

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

149

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica? A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetro E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área EJEMPLO PSU-19: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD? A) 2 B) 6

23)E

33)D

32)C

EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:

13)E

332

)D

2)C1)B89

)A

−

EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 33 cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:

2

2

2

2

2

cm18)E

cm9)D

cm312)C

cm39)B

cm36)A

EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? A) 50 cm B) 48 cm C) 60 cm D) 150 cm E) Ninguno de los valores anteriores

150

EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

16d

)E

8d

)D

4d

)C

2d

)B

d)a

2

2

2

2

2

EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si CFB∆AHD∆ ≅ y BEA∆DGC∆ ≅ entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

ADGDCG)III

ABDC)II

DABDCB)I

∠≅∠

≅

∠≅∠

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm? A) 60 cm B) 70 cm C) 80 cm D) 84 cm E) 120 cm EJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de EFGH es 48 II) ∆ AEH ≅ ∆ CFG III) HJ = EF A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

151

EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura, AB//EF , DG = 5 cm, EG = 4 cm y BG = 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABGE? A) 28 cm B) 34 cm C) 32 cm D) 35 cm E) 42 cm EJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla. ¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30 metros? A) 600 m2 B) 1.050 m2 C) 1.200 m2 D) 2.100 m2 E) 2.400 m2 EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?

I) Sus perímetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes.

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

152

XVI. POLIGONOS:

∗∗∗∗ Figura plana limitada por lados rectos.

∗∗∗∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en: > 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono > 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono > 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono > 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono > 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono > 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono ∗∗∗∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: )2n(º180 −• (n = número de lados del polígono)

∗∗∗∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.

∗∗∗∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3

∗∗∗∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: 2

)3n(nD

−=

A. POLIGONOS REGULARES:

∗∗∗∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

∗∗∗∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: n

)2n(º180eriorintángulo

−=

∗∗∗∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: n

º360exteriorángulo =

∗∗∗∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia. EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

153

XVII. CIRCUNFERENCIA: DEFINICION: Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio. NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios

El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa. Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas.

El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.

dr2AB

r2BOAO

:quededuceseanteriorloDe

)diámetro(ABd

)radio(BOr

)radio(AOr

==

=+

=

=

=

154

ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.

La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se ubica fuera de la circunferencia.

La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda

155

La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende Corolarios 1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.

2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.

3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son suplementarios (suman 180°)

156

4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia

5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia

x + α = 180º 6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes

rT ⊥

157

EJEMPLO PSU-1: En la figura BCAB ≅ y O es centro de la circunferencia. Si DE//AB , entonces el ángulo α mide: A) 10º B) 40º C) 20º D) 70º E) 80º

EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y ∡ BAC = 20°. El valor

del ∡ x es A) 20° B) 35° C) 40° D) 55° E) 70° EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es A) 68° B) 66° C) 57° D) 44° E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es A) 32º B) 26º C) 38º D) 52º E) 64º

158

EJEMPLO PSU-5: En la figura,CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el ∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) ∡ CBO = 20°

II) ∡ CAO = ∡ AOD

III) ∡ AOD =∡ BOD A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura,

el ∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles AED? A) 70º B) 50º C) 40º D) 20º E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°.

Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide A 55° B 70° C 110° D 125° E 220° EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro,

º60DOC =∠ y DB es bisectriz del OBC∠ . ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

BEC∆AED∆)IIIBDA∆ACB∆)IIAOD∆OBC∆)I

≅

≅

≅

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

159

EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x? A) 20º B) 40º C) 70º D) 110º E) 160º EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la

cuerda 22

AC = y el ángulo ABC es inscrito de 45º?

1)E21

)D

41

)C

31

)B

42

)A

EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales II) Sus radios son de igual longitud III) Sus centros son coincidentes A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1. DFyDE,AD son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC .

¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?

22)E

13)D

12)C22

)B

12)A

−

−

−

+

160

EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC? A) 12° B) 24° C) 48° D) 132° E) 156° EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo α es A) 80º B) 100º C) 120º D) 125º E) 130º EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:

r121

)D

r32

)C

r61

)B

r31

)A

π

π

π

π

E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si º32=+ βα , entonces el valor del ángulo γ es: A) 16º B) 32º C) 48º D) 64º E) Indeterminable

161

EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la circunferencia de centro O es: A) 60º B) 70º C) 80º D) 110º E) 120º EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. DC//AB , ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

º180)III

)II

)I

=++

+=

=

γβα

βαγ

βα

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y ∡ ABC =2∡DAB.

La medida del ∡ ABC es: A) 100º B) 30º C) 35º D) 60º E) 70º

162

XVIII. CIRCULO: A. SECTOR CIRCULAR:

Área del sector = º360

r2 απ ⋅⋅

B. SEGMENTO CIRCULAR: Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo AOB

AOBtriánguloÁreaº360

r 2

−⋅⋅ απ

C. CORONA O ANILLO CIRCULAR: Área del anillo = ̟ � (R2 – r2) R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA Teorema de las cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra

PDCPPBAP •=•

163

Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior

PBPAPT2

•=

PDPBPCPA •=•

164

EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide A) 6 cm B) 12 cm C) 18 cm D) 20 cm E) 24 cm EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM, en términos de r, es

3r4

)E

22r

)D

23r

)C

25r

)B

r)A

EJEMPLO PSU-3: En la figura 12, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia de

centro O. Si 4:3TP:QT = , QT = 6 y ST = 12, entonces RT mide A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

165

EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetro AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la cuerda CD perpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda CD es

r23

)E

3r32

)D

3r23

)C

2r)B

3r)A

EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide: A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 16 cm E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, BDCD ⊥ ; CD = 4; BD = 3. El radio es:

625

)E

925

)D

35

)C

325

)B

5)A

EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, OPMP = ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) MQ = 6 II) PQ = 3 3

III) QN = 6 3 A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

166

XIX. CUERPOS POLIEDROS: POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

A. POLIEDROS REGULARES: � Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí. � Son cinco:

a. Tetraedro: Tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices,

6 aristas.

b. Octaedro:

Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12

aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.

c. Icosaedro:

Tiene 20 caras (triángulos equiláteros),

12 vértices, 30 aristas.

d. Hexaedro o cubo:

Tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, 12 aristas, 4 diagonales

congruentes.

e. Dodecaedro: tiene 12 caras (pentágonos regulares), 20 vértices, 30 aristas.

167

� Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total de caras del poliedro. B. POLIEDROS IRREGULARES: � No tienen todas sus caras congruentes. � Se clasifican en: > Prismas > Pirámides 1. PRISMA: � Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales. � A = Área lateral � 2 Área basal � V = Área basal � h 2. PIRAMIDE: � Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide.

� A = Área basal • (nº de caras) • Área lateral 2pa ⋅

� V = Área basal � h 3 XX. CUERPOS REDONDOS: � Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas. � Los principales son: > Cilindro > Cono > Esfera A. CILINDRO: � Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados. � A = 2 π r (h + r) � V = π r2 � h

B. CONO: � Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos. � A = π r (g + r)

� V = 3

hr 2⋅π

a

h p

h

r

h

r

g

168

C. ESFERA: � Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro. � A = 4 π r2

� V = 3

4π r3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

169

EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es: LD79,10V 2 ⋅⋅= Si el diámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro? A) 7.900 cm3 B) 790 cm3 C) 79 cm3 D) 7,9 cm3 E) 0,79 cm3 EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) 4 m3 B) 6 m3 C) 8 m3 D) 16 m3 E) 24 m3 EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC ? A) 30π cm3 B) 45π cm3 C) 75π cm3 D) 180π cm3 E) 300π cm3 EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las rectas AD' y BC' son paralelas. II) Las rectas A'B y DC' son paralelas. III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

170

EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es A) 9 π cm3

B)2

27π cm3

C) 36 π cm3 D) 27π cm3 E) 18π cm3 EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de lado 2 . La altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del prisma? A) 9 B) 18

69)E

39)D

29)C

EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:

3

3

3

3

3

r34

)E

r4)D

r3)C

r2)B

r)A

π

π

π

π

π

EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente,

2y221

)E

23y321

)D

23y3)C

2y321

)B

23y221

)A

2

3

171

EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir?

A) 12a2

B) 6a2

C) a2

D) 4a2

E) 8a2

EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?

172

EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm3, es A) 512 - 32π B) 512 - 16π C) 512 - 128π D) 256 - 32π E) 480π EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es: A) equilátero B) isósceles no equilátero C) isósceles rectángulo D) rectángulo en D E) rectángulo en B EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de: A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de 3 m y la base es un

hexágono regular de lado 2 m. Su volumen es:

3

3

3

3

3

m36)E

m33)D

m18)C

m9)B

m3)A

m2

m3

173

XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: A. DIVISION INTERIOR: DIVISIÓN INTERNA Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n

nm

PBAP

=

B. DIVISION EXTERIOR: � Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m : n , significa encontrar en el exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q

tal que: n

m

QB

AQ=

C. DIVISION ARMONICA: Dividir armónicamente el trazo AB en la razón m : n , significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón

dada, tal que: nm

QBAQ

PBAP

==

D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.

OBSERVACIÓN: La razón APAB

se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO

ÁUREO

618034,12

15APAB

≈+

=

)PBAP(PBAP

APAB

>=

Q B A

m

A Q B

m n n

A B P Q

m n

174

EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio? A) 45 cm B) 15 cm C) 60 cm D) 25 cm E) No se puede determinar. EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si QR

mide 20, entonces ¿cuánto mide PR ? A) 28 B) 28 C) 50 D) 70 E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto P en la razón 2:3? A) Sólo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como A) 1: 2 B) 1: 3 C) 1: 4 D) 1: 5 E) 1: 6

175

XXII. TRIGONOMETRIA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos

Si prolongamos los lados ACyAB , y unimos algunos puntos de dichas prolongaciones

mediante segmentos paralelos a BC , obtenemos entonces otros triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC

∆∆∆∆ABC ∼∼∼∼ ∆∆∆∆ADE ∼∼∼∼ ∆∆∆∆AFG ∼∼∼∼ ∆∆∆∆AHJ Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:

En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un valor constante Respecto al ángulo agudo αααα de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene que: (A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de αααα, y se abrevia senαααα (B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de αααα, y se le abrevia cosαααα (C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de αααα, y se la abrevia tgαααα

∆ ABC ∆ ADE ∆ AFG ∆ AHJ

ABhipotenusaBCcateto

ADDE

= AFFG

= 1KAHHJ

== CONSTANTE

ABhipotenusaACcateto

ADAE

= AFAG

= 2KAHAJ

== CONSTANTE

ACcatetoBCcateto

AEDE

= AGFG

= 3KAJHJ

== CONSTANTE

agudosángulos:y

catetosBCyAC

hipotenusa:AB

βα

176

Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura

En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

)º90(tggcot)º90(gcottg

)º90(eccossec)º90(sencos

)º90sec(eccos)º90cos(sen

αααα

αααα

αααα

−=−=

−=−=

−=−=

Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.

Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.

FUNCIÓN DEFINICIÓN RAZÓN ABREVIACIÓN

Seno de α hipotenusa

opuesto.cat ca sen α

Coseno de α hipotenusa

adyacente.cat cb cos α

Tangente de α adyacnte.cat

opuesto.cat ba tg α

Cotangente de α apuesto.cat

adyacente.cat ab cotg α

Secante de α adyacente.cat

hipotenusa bc sec α

Cosecante de α opuesto.cat

hipotenusa ac cosec α

177

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES )º90º0:( <<∀ αα

30º 45º 60º αsen

21

22

23

αcos

23

22

21

αtg

33

1 3

1. 1eccossen =• αα 4. α

αα

cossen

tg =

2. 1seccos =• αα 5. α

αα

sencos

gcot =

3. 1gcottg =• αα 6. 1cossen 22 =+ αα

3

2

178

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tgα es igual a:

2

2

2

2

2

p1

1)E

p1

p)D

p

p1)C

p1

p)B

p

p1)A

−

+

+

−

−

EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces senβ=

53

)E

34

5)D

43

)C

45

)B

34

3)A

EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura: Es verdadero que:

25

tan)III

29

2cos)II

29

5sen)I

=

=

=

α

α

α

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

179

EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es 12 m, determinar la distancia entre el águila y el ratón.

12º70sen

)E

12º70cos

)D

º70sen12

)C

º70cos12

)B

º70tan12

)A

EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la

tierra, es de 20 3 metros. El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el poste? A) A 10 3 metros

B) A 10 6 metros C) A 30 metros D) A 40 metros E) A 60 metros EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros? A) 750 metros B) 3.000 metros

C) 1.000 3 metros

D) 750 3 metros

E) 1.500 3 metros

180

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la escalera de la figura?

metrosº70cos2,1)III

metrosº70cos

12)II

metrosº20sen

2,1)I

⋅

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) ? I) tg α = 2

II) sen α + cosβ =554

III) tg β + tgα = 1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área

es 32

cm2, entonces tgα=

34

)E

43

)D

23

)C

32

)B

31

)A

181

EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm, entonces el coseno del ángulo menor es:

1213

)E

512

)D

125

)C

1312

)B

135

)A

EJEMPLO PSU-11: Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y 53

sen =α ,

entonces αα costg − =

158

)E

1511

)D

201

)C

203

)B

201

)A −

EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen α – cos α es igual a:

bcabac

)E

cab

)D

cba

)C

bac

)B

bca

)A

−

−

−

−

−

182

EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de 12 m de altura, observa a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?

º40sen6)Eº40cos

6)D

º40sen6

)C

º40tg6

)B

º40tg6)A

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si la hipotenusa es 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo? I) sen γ + sen β + 1 II) cos γ + cos β + 1 III) sen β + cos β + 1 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

ba

tg)E

cb

sen)D

ca

cos)C

ac

cos)B

cb

sen)A

=

=

=

=

=

α

β

β

α

α

183

XXIII. PROBABILIDAD:

∗∗∗∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.

∗∗∗∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de resultados posibles.

∗∗∗∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral.

∗∗∗∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.

∗∗∗∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa. TIPOS DE EVENTOS

∗∗∗∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.

∗∗∗∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto

vacío (∅) del espacio muestral.

∗∗∗∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.

∗∗∗∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral.

∗∗∗∗ PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles. La probabilidad de A se denotará por P(A).

∗∗∗∗ Observación: 1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre 2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%

∗∗∗∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS

∗∗∗∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

184

∗∗∗∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

∗∗∗∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

∗∗∗∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido.

∗∗∗∗ Probabilidad y triángulo de Pascal

Caras y sellos

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1 C S

1, 1

2 CC

CS SC SS

1, 2, 1

3

CCC CCS, CSC, SCC CSS, SCS, SSC

SSS

1, 3, 3, 1

4 CCCC

CCCS, CCSC, CSCC, SCCC CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC

1, 4, 6, 4, 1

185

CSSS, SCSS, SSCS, SSSC SSSS

... etc ...

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos

caras. Así que la probabilidad es 166

, o 37.5%

Triángulo de Pascal

DIAGRAMA DEL ARBOL: � Representa de manera grafica todos los resultados posibles. Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda. Resultados favorables: 8 (CCC – CCS – CSC – CSS – SCC – SCS – SSC – SSS) Casos favorables: 3 (CCS – CSC – SCC)

Probabilidad =8

3

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S S S

C C S

186

EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es 31

. ¿Cuál es la

probabilidad de sacar una bola que no sea roja?

nInformacióFalta)E61

)D

32

)C

1)B31

)A

EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?

3621

)E

365

)D

364

)C

367

)B

61

)A

EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?

85

)E

83

)D

21

)C

41

)B

87

)A

EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46? A) 0,4 B) 0,41 C) 0,42 D) 0,5 E) Ninguna de las anteriores

187

EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?

4711

4818

4920

5012

)E

4712

4818

4920

5012

)D

5012

5018

5020

5012

)C

4711

4818

4920

5012

)B

5011

5018

5020

5012

)A

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

+++

+++

EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo NIVEL EDUCACIONAL

Sexo Universitaria Media Básica Masculino 250 100 40 Femenino 225 110 25

Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que sea varón es de 750390

II) La probabilidad que sea mujer es de 390360

III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de 750475

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

188

EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es:

32

)E

41

)D

51

)C

52

)B

101

)A

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 21

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de41

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de 32

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?

241

)E

81

)D

43

)C

21

)B

41

)A

189

EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual tamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una

ficha negra sea 32 ?

A) 1N y 0B B) 1N y 3B C) 1N y 4B D) 1N y 1B E) 0N y 1B EJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par menor que 5?

anterioreslasdeNinguna)E64

)D

63

)C

62

)B

61

)A

EJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?

306

)E

308

)D

307

)C

3023

)B

303

)A

190

EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Todos tienen probabilidad 21 de ganar.

B) Todos tienen probabilidad 31 de ganar.

C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos. D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto. E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos. EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?

32

)E

31

)D

82

)C

81

)B

83

)A

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados?

181

)D

83

)C

2161

)B

2163

)A

E) Ninguno de los valores anteriores

191

EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradas del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es:

41

)E

112

)D

115

)C

52

)B

21

)A

EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la probabilidad de que un

habitante sea una mujer es 31 , ¿cuántas mujeres hay en el pueblo?

A) 200 B) 300 C) 400 D) 600 E) 800 EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra? A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65 D) -0,45 E) -0,55 EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o un número menor que 4?

66

)E

63

)D

64

)C

62

)B

61

)A

192

EJEMPLO PSU-20: ¿En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a 1? A) Nacer en un año bisiesto B) Que al tirar una moneda salga cara C) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébol D) Que un mes tenga 30 días E) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6 EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados

Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 13 15 17 16 20 19

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener par es de un 50% II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30% III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?

I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6.

II) La probabilidad de obtener un número impar es 21 .

III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es 61 .

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

193

EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas. Si se escoge un número al azar del 1 al 40, ¿cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al de una niña en la lista del curso?

4023

)E

2317

)D

171

)C

401

)B

4017

)A

EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de sacar una M es 121 .

II) La probabilidad de no sacar una vocal es 127 .

III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma:

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO NIÑOS 15 20 18 12 NIÑAS 30 25 27 33

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que sea un niño es 18065 .

II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es 18045 .

III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es 4525 .

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

194

EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 4?

65

)E

32

)D

31

)C

21

)B

61

)A

EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor? A) P B) Q C) R D) S E) T EJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para

que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea 43 ?

A) 1 blanca y 0 negra B) 0 blanca y 1 negra C) 0 blanca y 5 negras D) 3 blancas y 5 negras E) 2 blancas y 2 negras

195

EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas sea diferente de 10?

87

)E

109

)D

1716

)C

1817

)B

98

)A

EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4?

64

)E

63

)D

41

)C

61

)B

31

)A

EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales

algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es 31

, ¿cuál es la probabilidad

de sacar una ficha de cualquier otro color?

1)D32

)C

31

)B

21

)A

E) No se puede determinar

196

EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A?

207

)E

127

)D

53

)C

41

)B

3501

137

)A ⋅

EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad de salir en los dos dados? A) 12 B) 10 C) 9 D) 7 E) 6 EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:

3719

)E

1219

)D

2521

)C

81

)B

507

)A

197

EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

3231

)E

51

)D

325

)C

21

)B

321

)A

EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entre sí, donde la flecha no puede caer en los límites. La probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número mayor que 3 es de:

43

)E

81

)D

83

)C

41

)B

21

)A

EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o 4?

21

)E

127

)D

125

)C

367

)B

365

)A

198

XXIV. ESTADÍSTICA Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas Muestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria. Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de departamentos en un edificio, etc Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc TABULACIÓN DE DATOS Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta) Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e inferior de cada intervalo MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media aritmética )x( : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de

datos.n

x......xxxx n321 ++++

=

Media aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias Si los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn entonces

la media aritmética es: n321

nn332211

f........ffffx......fxfxfx

x++++

⋅++⋅+⋅+⋅=

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de frecuencia es amodal

199

Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS A) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno

B) GRÁFICO DE SECTORES: La representación gráfica se hace por medio de un círculo, dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variable

C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcional a la dicha frecuencia

Asignatura Estudiantes que la prefieren

Matemática 4 Lenguaje 3 Arte 2 Historia 1 Total 10

200

D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa gráficamente las distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos

f 16 14

12 8 6 3 29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Salarios en miles de $

E) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a un punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se obtiene un polígono de frecuencias

201

EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene? A) Mediana B) Media Aritmética C) Moda D) Media geométrica E) Desviación estándar EJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302? A) 78 B) 68 C) 62 D) 58 E) 72 EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) La moda es 17 años. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del niño al que le perdieron la ficha? A) 39 kg B) 29 kg C) 21 kg D) 20 kg E) 19 kg

Edad (en años)

15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

202

EJEMPLO PSU-5: El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ? I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%. II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él se indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisión, según una muestra aleatoria, en un año determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es TV 5. II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros centrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos cinco canales. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera? A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso. B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente. D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente. E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

203

EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gusta hacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear. II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar. III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29. III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda, respectivamente? A) 4 y 5 B) 5 y 5 C) 4,1 y 4 D) 4,1 y 5 E) 4 y 4,5

Intervalos de puntaje

Frecuencia

10 – 19 6 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 5 50 – 59 9

204

EJEMPLO PSU-11: Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican en la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba? A) 4,25 B) 5,00 C) 5,16 D) 5,25 E) 5,50 EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana es 7 II) La moda es 5 III) La media aritmética (o promedio) es 5 A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba de matemática, obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 II) La moda corresponde a la nota 5,0 III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0 A) Sólo II y III B) Sólo III y IV C) Sólo I, II y III D) Sólo I, II y IV E) Sólo II, III y IV EJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados ¿Cuántos artículos se han vendido en total hasta el término del día miércoles? A) 24 B) 20 C) 30 D) 8 E) Ninguna de las anteriores

Nota f 3,0 3 3,5 5 4,0 4 4,5 6 5,0 7 5,5 5 6,0 4 6,5 4 7,0 2

Total alumnos

40

Días Nº de artículos

Total acumulado

Lunes Martes 12 16 Miércoles 8 Jueves 6

205

EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es: A) 5,7 B) 5,6 C) 5,5 D) 5,4 E) 5,3 EJEMPLO PSU-16: El gráfico de la figura representa la distribución de las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5. II) La moda es la nota 5. III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000 III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

206

EJEMPLO PSU-18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son: moda mediana A) 16 17 B) 17 15 C) 15 17 D) 5 1 E) 17 16 EJEMPLO PSU-19: El promedio (media aritmética) de los números 3; 2; 5; 5 y 6 es A) 4 B) 4,2 C) 5 D) 5,25 E) ninguno de los anteriores. EJEMPLO PSU-20: La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

TRAMO NÚMERO DE PERSONAS

SUELDO EN PESOS DESDE – HASTA

A 3 5.000.000 – 7.000.000 B 2 2.000.000 – 3.000.000 C 5 800.000 - 1.200.000 D 15 500.000 - 700.000 E 13 300.000 - 400.000 F 7 150.000 - 250.000

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo. II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D. III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $ 21.000.000.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III EJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5. II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

Edad Frecuencia 13 5 14 11 15 1 16 5 17 13

207

EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en iguales condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el más homogéneo. II) El curso R es el más homogéneo. III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas EJEMPLO PSU-23: El gráfico de la figura, representa la distribución de los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos

III) 101 de los alumnos obtuvo 10 puntos

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura de un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana de las notas es 4 II) La moda de las notas es 5 III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

CURSO PROMEDIO DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Q 4,6 1 R 5,2 0,8

Notas 1 2 3 4 5 6 7 Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4

208

EJEMPLO PSU-25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la siguiente tabla: Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 13 15 17 16 20 19

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 50% de las veces se obtuvo un número par II) El 30% de las veces resultó 1 o 3 III) El 20% de las veces salió el número 5 A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿qué indicador estadístico se obtiene? A) La moda B) La media aritmética (o promedio) C) La mediana D) El rango E) La desviación estándar EJEMPLO PSU-27: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades:

Edad Frecuencia

1E 1N

2E 2N

3E 3N

4E 4N ¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra?

4NNNN

)E

4ENENENEN

)D

NNNNENENENEN

)C

NNNNEEEE

)B

4EEEE

)A

4321

44332211

4321

44332211

4321

4321

4321

+++

⋅+⋅+⋅+⋅

+++

⋅+⋅+⋅+⋅

+++

+++

+++

209

XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)

Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías)

Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:

Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua

Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo

Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical

EJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto A) (1, -2) B) (-5, 0) C) (3, -1) D) (-5, 2) E) (1, 0)

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos:

El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.

Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación

El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los punteros del reloj)

Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación.

Rotación de 90º (x,y) -------���� (-y,x)

Rotación de 180º (x,y) -------���� (-x,-y)

210

EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición? A) En (2, 2) B) En (2, 0) C) En (4, 2) D) En (0, 0) E) En (0, 2)

Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’ equidisten del eje de simetría y el segmento 'PP sea perpendicular al eje de simetría

Nota:

(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial (2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central

EJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de simetría L, es el punto A) Q B) R C) S D) T E) U

211

Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura.

El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado.

También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos

Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.

El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría

En el caso de los triángulos, tenemos:

Tipo Ejes

Triángulo equilátero Tres ejes de simetría

Triángulo Isósceles Un eje de simetría

Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría

En el caso de los cuadriláteros, tenemos:

Tipo Ejes

Cuadrado Cuatro ejes de simetría

Rectángulo Dos ejes de simetría

Rombo Dos ejes de simetría

Trapecio isósceles Un eje de simetría

Trapezoide Ningún eje de simetría

Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de simetría del círculo.

212

Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como números de lados

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de simetría?

I) Cuadrado II) Rombo

III) Trapecio A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir

Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos

Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.

Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano

EJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de cerámicas que se ocuparían es A) 120 B) 60 C) 40 D) 18 E) 12

EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es el reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es un segmento A) paralelo al eje x. B) paralelo al eje y. C) de la bisectriz del segundo cuadrante. D) de la bisectriz del primer cuadrante. E) perpendicular al eje x.

213

EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el punto medio de P MQ . ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la reflexión del eje NP? A) S B) Q C) P D) N E) M

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la traslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadas A) (1, 2) B) (2, 1) C) (1, 1) D) (2, 2) E) (0, 2)

EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al punto P. ¿Cuál de las opciones representa mejor la rotación de la figura?

A) B) C) D) E) EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90º con respecto al punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son: A) (6,2) B) (-3,6) C) (6,-7) D) (6,-3) E) (6,-5)

214

EJEMPLO PSU-11: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(-1,-2) con respecto a la recta y = 3? A) (-1,8) B) (1,8) C) (-1,6) D) (7,-2) E) (-1,-4)

EJEMPLO PSU-12: ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares permite(n) teselar (o embaldosar) el plano? I) Pentágonos. II) Triángulos equiláteros. III) Hexágonos. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas? A) (-8, -3) B) (8, 3) C) (-8, 3) D) (-3, 8) E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-14: La en I) está formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) es un cuadrado y la figura en III) es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n) simetría central?

A) Sólo I B) Solo II C) Solo III D) Sólo I y II E) I, II y III

215

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto P(2,3), con respecto a la recta L de ecuación y = x A) (2,1) B) (-2,3) C) (-2,-3) D) (2,-3) E) (3,2) EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas? A) (-8, -3) B) (8, 3) C) (-8, 3) D) (-3, 8) E) (3, 8) EJEMPLO PSU-18: En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el cuadrado A’B’C’D’ con respecto al eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) D’ = (-5,6) II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro III) Ambos cuadrados tienen igual área A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

216

EJEMPLO PSU-19: En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo) con el triángulo QPR respecto al eje T, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

NQS∆PMR∆)III

NS//QR)II

TRS)I

≅

⊥

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-20: En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada al cuadrado dibujado con línea punteada. ¿Cuáles son los componentes del vector de la traslación? A) (1,2) B) (-2,1) C) (-1,2) D) (2,1) E) (-2,-1) EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetría central? I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y tamaño II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma forma y tamaño III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y tamaño A) Sólo I B) Solo III C) Solo en I y en II D) Solo en I y en III E) En I, en II y en III EJEMPLO PSU-22: En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones rígidas permite obtener el polígono P a partir del polígono Q? A) Simetría (reflexión) con respecto al eje y B) rotación en 180º con respecto al origen C) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto al origen D) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotación en 180º con respecto al origen E) Rotación de 90º con respecto al origen

217

EJEMPLO PSU-23: El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B(-3,8) y C(3,7). Si se aplica una traslación según el vector (5,-7), las nuevas coordenadas del triángulo serán: I) A’(7,-4) II) B’(-8,1) III) C’(8,0) A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-24: En la figura, el ∆ ABC se traslada según el vector (4, 2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).

II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5 . III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual al perímetro del triángulo ABC. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-25: En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia

tiene radio 21 . Si se gira toda la figura en torno al centro O en 180º, en el sentido de la

flecha, el punto A, que está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas

−

−−

−

21

,21

)E

21

,0)D

21

,21

)C

0,21

)B

21

,21

)A

218

EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1,2), B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en una unidad a la izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos unidades hacia arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4) II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7) III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4) A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos lados iguales y uno distinto es: A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P con respecto al eje y? A) (-7,-9) B) (7,9) C) (-7,9) D) (-9,7) E) (-9,-7) EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y C(4, 0), se le aplica

la traslación según el vector )7,5(u −= , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A se transforma en A’(-4, 9) II) B se transforma en B’(-3, 8) III) C se transforma en C’(-1, 7) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

219

EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con respecto al eje RS. ¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante?

EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la función g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación?

220

EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, – 1).

II) Al rotar el punto A en 90° en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el punto (–1, 4).

III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto (–2, 1).

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) de la figura respecto a la recta L?

221

XXVI. TEOREMA GENERAL DE THALES Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.

Hipótesis: lestransversaMyM

L//L//L

21

321

Tesis: 'C'B'B'A

BCAB

=

Nota: en una proporción es posible:

(a) alternar los términos medios (b) alternar los términos extremos (c) invertir las razones (d) permutar las razones (e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al

consecuente de cada razón Teorema recíproco del teorema general de Thales señala que: “Si tres o más rectas son intersectadas por dos transversales, determinando en estas segmentos proporcionales, entonces las rectas son paralelas” M1 y M2 transversales

321 L//L//L'C'B'B'A

BCAB

⇒=

222

EJEMPLO PSU-1: La figura muestra un rectángulo ABEF con BC = 10, CF = 5 y CD = 4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE? A) 16 B) 22 C) 28 D) 32 E) 36 EJEMPLO PSU-2: En el triángulo ABC de la figura, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, y AP: PR: RB = 1: 2: 3, entonces el valor de CB es: A) 96 cm B) 72 cm C) 48 cm D) 36 cm E) 24 cm EJEMPLO PSU-3: En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y DE//AB . ¿Cuál es el área del trapecio ADEB? A) 36 cm2 B) 40 cm2 C) 50 cm2 D) 54 cm2 E) 60 cm2

223

EJEMPLO PSU-4: En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

AC

AB

AF

AG)III

GF

AG

CF

BG)II

CD

AB

FE

AG)I

=

=

=

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: En la figura, DE//AC La medida de BC es A) 25 B) 20 C) 9 D) 30 E) 14 EJEMPLO PSU-6: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12? A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III

224

EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED? A) 1 metro B) 9 metros C) 6 metros D) 3 metros E) 30 metros EJEMPLO PSU-8: En la figura CD//AB . Si CD mide el doble de AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes III) OA2AC ⋅= A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-9: En el triángulo ABC de la figura, AB//PM Si PM = 10, AB = 15 y CT = 12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de x?

x12

1510

)E

x1212

1510

)D

1212x

1510

)C

xx12

1510

)B

12x12

1510

)A

=

−=

−=

−=

−=

225

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso? A) 8 m B) 10 m C) 15 m

D) 3

40m

E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-11: En la figura, ED // BC. Si 23

ECAE

= , ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

ADAB

AEAC

)III

23

EDEC

)II

23

DBAD

)I

=

=

=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-12: Si en la figura L1//L2, entonces el valor de x es: A) 2 B) 7 C) 12,5 D) 18 E) Ninguno de los valores anteriores

226

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 64 A LA Nº 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, se puede determinar el

capital de Q si: (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2 (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto: P: Q = 3: 2, luego (P + Q): Q = 5: 2, de donde $ 10.000.000: Q = 5: 2 Q = $ 4.000.000 Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

227

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS 1. Se puede determinar cuanto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatro proporcionales si: (1) La cuerda mide 72 cm (2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6 A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 2. Si x e y son dos números distintos, se puede determinar el valor de la expresión

yxyx 22

−

− si:

(1) x + y = 8 (2) x – y = 2

A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del ángulo AOB se puede determinar si: (1) El área del sector achurado representa el 40% (2) la medida del ángulo ACB = 72º A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

4. El valor numérico de log(ab) +

ba

log se puede determinar si:

(1) a = 1.000 (2) b = 100 A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

228

5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede determinar el precio promedio de una manzana si: (1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total es $ 4.800 (2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100 manzanas A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 6. m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si: (1) m es un número impar (2) nm ⋅ es un número impar A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 7. En la figura, el triángulo FEC es semejante con el triángulo BDE si: (1) CBDFCB ∠≅∠

(2) BD//AC A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 8. ax + by es igual a bx + ay si: (1) x = y (2) a = b A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

229

9. En la figura, DE = AB = 10. Se puede determinar la magnitud AC si se sabe que: (1) AD = 8 (2) = 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 10. En la figura, EB = 6. Se puede determinar el valor de DB si: (1) CE: EB = 3: 2 (2) AD = 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

11. Se puede determinar el valor numérico de la expresión 33

2

2

9z

z9

y)x3(

)3x(

•

+

−

− si:

(1) z = 9 (2) y = 6 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos. Se puede saber el número total de trabajadores si: (1) Enfermos: Sanos = 1: 3 (2) El 75% de los trabajadores están sanos A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

230

13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y caramelos tipo 2 que cuestan $4 c/u. se puede determinar la cantidad de caramelos de cada tipo que compró si: (1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que tipo 1 (2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 14. En la siguiente tabla se muestra la edad de un grupo de personas. Se puede determinar x si:

(1) El promedio es 6 (2) La mediana es 7

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 15. Se puede determinar el monto de una deuda si: (1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 16. Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que: (1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7. (2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Edad Frecuencia 5 2 6 X 7 10 8 6

231

17. Se pueden calcular las edades de Juanita y de su madre si se sabe que: (1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años. (2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de su madre. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 18. Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x mayor que y si: (1) x = n + y

(2)nx = y - 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 19. En la figura el trazo AC corresponde a la sombra de la torre vertical AB, en un cierto momento. Es posible calcular la altura de la torre si se sabe que, en ese mismo instante: (1) Muy cerca de la torre, un poste vertical de 1 metro tiene una sombra de 1 metro. (2) Se conoce la medida del trazo AC. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 20. En la figura, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersección de los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del ∆ PBC si: (1) El lado del cuadrado mide 8 cm. (2) Se sabe que M es punto medio de AD. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

232

21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si: (1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes. (2) El número total de fichas es 36. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 22. a2 + b2 = (a + b)2 si : (1) a = 0 (2) b = 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 23. Si x es un entero comprendido entre 80 y 90, se puede determinar el valor exacto de x si: (1) x es múltiplo de 4 (2) x es múltiplo de 7 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede saber el valor de yx si:

(1) y es el triple de x. (2) La suma de x e y es 8. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

233

25. En el rectángulo ABCD de la figura, el perímetro mide 28 cm. Se puede determinar el área achurada si (1) 3:4BC:AB = (2) 10AC = A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

26. En la figura, sen α = 74 , se puede afirmar que 7UT = si:

(1) US = 4 (2) L1 // L2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el valor de b

ba2 − si:

(1) a : b = 5 : 2 (2) a + b = 21 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Cada una por sí sola, (1) ó (2) D) Ambas juntas, (1) y (2) E) Se requiere información adicional

234

28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Se puede determinar la relación que hay entre los volúmenes de los conos que se generan si se sabe que: (1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que un cateto de la de Pedro. (2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que mide el otro cateto de la de Pedro. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 29. Se puede determinar la edad de Benjamín si: (1) Benjamín es menor en 46 años que su padre que tiene el triple de su edad. (2) Al sumar la edad de Benjamín con 1950 se obtiene su año de nacimiento que es 1973. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se puede determinar el número exacto si: (1) La suma de sus cifras es 9. (2) El número es par. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos congruentes. Se puede determinar el perímetro de la figura MNPQRM si se sabe que:

(1) MQ = 12 cm

(2) PQ = 2 cm A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

235

32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabe que:

(1) El 52% de la población del país son mujeres. (2) El 0,5% de la población son médicos.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas y viudas, se puede determinar el número de mujeres viudas si:

(1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3. (2) Las casadas son 25.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar la edad de Cecilia si:

(1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella. (2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 35. Se puede concluir que x es un número negativo si se sabe que: (1) 4x es negativo. (2) x – 3 es negativo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

236

36. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H si se sabe que:

(1) a = 10 (2) a + b = 30

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 37. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm, se puede determinar el área del triángulo NME si:

NMAN)2(

MDAM;ECAE)1(

=

==

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

38. En la figura, AB//CD .Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DCB si:

(1) α = ε (2) = CDAB =

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

237

39. Un automóvil tiene un rendimiento promedio de 10 km por litro de bencina. Se puede determinar la velocidad promedio en un viaje entre dos ciudades A y B, si se sabe que el automóvil: (1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina. (2) Demoró en el viaje 30 minutos. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 40. Se puede determinar que existe semejanza entre los triángulos ABC y DEC de la figura, si: (1) DE es mediana. (2) εα = A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 41. Sean n, m números enteros positivos y a = mn 32 • . Se puede afirmar que el número

2a

es el cuadrado de un número entero, si se sabe que:

(1) n es impar. (2) m es par. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 42. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si: (1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche (2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

238

43. En la expresión 3a – 2b = 8 se puede determinar el valor de a si: (1) b es la mitad de a (2) b + 2 = a A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 44. En el triángulo ACD de la figura, BE // CD. Se puede determinar la medida del segmento ED si: (1) CD = 12 (2) = 3x A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6, entonces se puede determinar el valor de x si: (1) La moda es 6 (2) La mediana es 6 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se puede determinar el valor de a si: (1) X e Y son inversamente proporcionales (2) T e Y son directamente proporcionales A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

T X Y 5 354 432 10 a b

239

47. La expresión 8b

5b

aa

+

+

toma siempre un valor positivo si:

(1) a es un número positivo (2) a es un número par A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 48. Sean m y p números enteros positivos, se puede determinar exactamente el valor de ellos si:

500.22)pm()2(

1911

pm

)1(

2 =+

=

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se puede determinar siempre el valor numérico de la altura si: (1) Se conoce el área del triángulo (2) Se conoce el perímetro del triángulo A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 50. En la figura PT es tangente en T a la circunferencia de centro O. PQ pasa por el centro de la circunferencia y la intersecta en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valor del radio si: (1) Se conoce la medida de PT (2) Se conoce la medida de RP A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

240

51. Se tienen los números 3, 7, 9, 5 y x. Se puede determinar el valor de x si: (1) El promedio de los números es 8 (2) La mediana de los números es 7 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

52. Se puede determinar el valor numérico de yx

xy2yx 22

−

−+, con yx ≠ , si se sabe que:

(1) x + y = 5 (2) x – y = 3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 53. En la figura, se puede determinar la medida de AB si: (1) BCABycm6BCAC <==

(2) 3:2AC:AB = A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

54. Si c es un número entero positivo y c

baG

•= , entonces G es positivo si:

(1) a y b son positivos (2) a y b son negativos A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

241

55. Las edades de dos personas están en la razón de 3: 4. Se puede determinar las edades si: (1) La diferencia de edades es 5 años (2) Las edades suman 35 años A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 56. Se puede conocer la edad de Paz si: (1) La suma de las edades de su mamá y su hermana menor es 36 años (2) La diferencia de edad entre Paz y su hermana menor es de 5 años A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

57. Se puede determinar el valor numérico de la expresión m3a

:mp

con m distinto de cero,

si se conoce que: (1) p = 4

(2) 8ap

=

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 58. En la circunferencia de centro O, PB y PD son secantes, si PA = 6, entonces se puede determinar PC si: (1) PA: AB =3: 2 (2) DC = 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

242

59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y (ay + bx) son iguales si se sabe que: (1) a = b (2) x = y A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7 cada uno y caramelos de tipo II que cuestan $ 4 cada uno. Se puede saber la cantidad comprada de cada tipo si: I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del tipo I II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm. (2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm y 20 cm. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 62. Sea a: b = 2: 3. Se pueden determinar los valores numéricos de a y b si: (1) 2b: c = 6: 5 y c = 15 (2) a + b = 15 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

243

RESPUESTAS

NÚMEROS ENTEROS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B D A E D E D A E C A B A D D A B C A

21 D

NÚMEROS RACIONALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D A D B B D B E C E A B E B A B A B A

21 22 23 24 25 26 27 C A D E A E C

POTENCIAS EN Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C E A A A B B A D C B C C B C C E D C ÁLGEBRA y FUNCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D D E C A A E C E D B A B C E D C D C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A E E A A C D D E C D A D B C E D D B B 41 42 43 44 45 A E A B E SIMBOLOGÍA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D D C A E B C A E A C C A

244

RAZONES y PROPORCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C A C B C B A C C A D E A D A A 21 22 E A TANTO POR CIENTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B D C E E A D C E D B B E D D E D C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 B C E D E D A D D RAÍCES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A E B D B A C A A A B B A B D C E A D 21 E ECUACIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C A B B C B E D C E E A C B A C D A C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B B B A E C B B D C B B A C D A E C D A DESIGUALDADES 1 2 3 4 5 6 7 A C D A E D E ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1 2 3 4 5 6 D A E A B C

245

LOGARITMOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E C E A E B D C B FUNCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B B E E D D D A B D A B D C D C D E E 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E B A B A A D E D A A C C E D E A D B C 41 C EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA UNIDAD: ÁNGULOS – TRIÁNGULOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B D D B E A B B E E C E D D D D UNIDAD: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1 2 3 4 5 6 7 8 D D E B D E C C UNIDAD: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E A C E E A C E B A UNIDAD: CUADRILÁTEROS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B C D D C E A D B B E B B C E D A E B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 A A E C A E C A B

246

UNIDAD: POLÍGONOS 1 E UNIDAD: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C B C C D E C D B C C B A B A B E UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D B C C A B C C D A D A D D E A E D B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 D E C E C E D A D D E D C UNIDAD: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 1 2 3 4 5 6 7 E B C A D E E UNIDAD: CUERPOS POLIEDROS – VOLUMEN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B C B D E A B D B C A A E B UNIDAD: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 1 2 3 4 A B B D UNIDAD: TRIGONOMETRÍA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A A E B C B D C D B A A B E A C

247

UNIDAD: TEOREMA DE THALES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C C A D D B A A D B UNIDAD: ESTADÍSTICA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A E B E D E D D A C D C A D E E E B E 21 22 23 24 25 26 27 C D D D E B C UNIDAD: PROBABILIDAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D B A E D B D C A B C A A A D C B C E 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 E B A E C B C E A B C E D A E B A EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D A C B D D E C B D A E C D C A C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E D B A D C A E D E C E D C A D C D D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C E D B A C A C A C A B C D D E B C D B 61 62 B D

248

PRIMER AÑO MEDIO

• Eje Temático: Números y proporcionalidad Contenidos Curriculares: Conjuntos numéricos - Potencias de base racional y exponente entero - Regularidades numéricas - Razones y proporciones – Porcentaje. • Eje Temático: Álgebra y funciones Contenidos Curriculares: Operatoria algebraica - Ecuaciones de primer grado. • Eje Temático: Geometría Contenidos Curriculares: Criterios de congruencia de triángulos - Transformaciones isométricas – Teselaciones. 1. 222 )4()3()2( −−−−− = A) -25 B) -21 C) -3 D) 11 E) 29 2. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2 , 2 . 10-3 , 0,00002 , .... ¿Cuál es el quinto término? A) 2 • 510 − B) 2 • 610 − C) 2 • 710− D) 2 • 910 − E) 2 • 1110− 3. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es:

A)98

B) 29

C) 49

D) 98

E) 9

249

4. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones permite(n) calcular “un número aumentado en su 25%”? I. multiplicarlo por 5 y dividir el resultado por 4. II. multiplicarlo por 1,25. III. dividirlo por 0,8. De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s) A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 5. ¿Qué porcentaje es 0,002 de 0,04? A) 0,05% B) 0,5% C) 0,8% D) 5% E) 8% 6. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras necesita 49 fósforos para ser construida? A) la figura 23 B) la figura 24 C) la figura 25 D) la figura 99 E) la figura 100 7. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de las siguientes magnitudes corresponde(n) a un número racional? I. Su longitud o perímetro. II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia. III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 8. Si 0,002 • x10 = 2.000; entonces x = A) -7 B) -6 C) 5 D) 6 E) 7

250

9. 10

22 108 +

A) 27 B) 185− C) 218 • 10-1 D) 236 • 10-1 E) 280 •10-1 10. Dada la sucesión: 2 • 21 , 3 •22 , 2 • 23 , 3 • 24 , 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese orden?

A) 43

B) 41

C) 34

D) 3 E) 6 11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. (0,2) 2− = 25 II. (0, 1 ) 2− = 81 III. (0,1 6 ) 2− = 36 A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

12. Los 54

de 0,008 escrito en notación científica es:

A) 64 • 10-4

B) 6,4 •10-3 C) 1 •10-2

D) 0,1 •10-1 E) 0,64 •10-2

251

13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una pizza. Sebastián

compró 260 gramos, Francisco 41

de kg y Leonardo 83

de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sebastián compró menos que Francisco. II. Leonardo compró más que Francisco. III. Sebastián compró más que Leonardo. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo III. D) Sólo I y II. E) Ninguna de ellas. 14. (a – 2b)2 – (b – 2a)2 = A) 5a2 – 3b2 B) 5a2 + 3b2 C) -3a2 – 3b2 D) 5a2 – 8ab + 3b2 E) -3a2 + 3b2 15. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar quince”, se expresa mediante: A) 2A – B = 15 B) 2A + 15 = B C) 2A + B = 15 D) 2AB = 15

E) BA2

= 15

16. Si x2 – y 2 = 2 y x+y = 4, entonces 2x – 2y = A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 4

17. =−−

a4b2ba4 22

A) -a+b B) -a-b C) -4a-2b

D) 2

ba2 −−

E) 2

ba2 +

252

18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos afirmar que el triángulo es: A) equilátero. B) isósceles no rectángulo. C) isósceles rectángulo. D) escaleno rectángulo. E) No se puede determinar 19. Si (a - b)2 = 25 y a2+b2 = 9, entonces ab = A) -17 B) -8 C) 2 D) 8 E) 17

20. Se define a * b =

b1

1

1a

++ a + 1 , entonces 2 * 3 =

A) 5

B) 74

C) 47

D) 4

11

E) 45

21. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de Enrique? A) 11 años B) 22 años C) 33 años D) 66 años E) 77 años 22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada? I. ab – c2 II. a(b – c) + (a – c)c III. (a – c)b + c(b – c) A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo I y III. E) I, II y III

253

23. 32x • 22x = A) 52x B) 64x C) 12x D) 24x E) 36x 24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2. II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab. III. El área de PQDF es 2a2 + ab A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

25. Se define : a ∇ b =baba

+−

, entonces )3(31

−∇

− =

45

)E

54

)D

54

)C

45

)B

31

)A

−

−

−

26. Si a-1 + 1= 4 entonces =+a

1a

A) 2 B) 4 C) 6

D) 34

E) 56

254

27. En un rectángulo de 42 cm de perímetro, el largo mide tres centímetros más que el doble del ancho. ¿Cuál es su área? A) 36 cm2 B) 42 cm2 C) 54 cm2 D) 90 cm2 E) 270 cm2 28. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en el cuadrado EFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación? A) (1,2) B) (1,-2) C) (2,1) D) (2,-1) E) (-2,1) 29. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el punto: A) (3,-2) B) (2,-3) C) (-2,-3) D) (3,2) E) (-2,3) 30. Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que: A) son congruentes por el criterio (L,L,L). B) son congruentes por el criterio (L,A,L). C) son congruentes por el criterio (A,L,A). D) son congruentes por el criterio (L,L,A>). E) no son congruentes necesariamente. 31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto (a,b), entonces a+b = A) -5 B) -1 C) 1 D) 2 E) 5

255

32. Según los datos de la figura, el valor de α es: A) 21º B) 31,5º C) 32º D) 42º E) Falta información. 33. Si el ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda en el vértice A, entonces el punto B queda en el punto de coordenadas: A) (3,1) B) (-1,-3) C) (-1,-2) D) (0,-2) E) (0,-3) 34. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si el ABC es isósceles de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. ∆ CEA ≅ ∆ CFB. II. ∆ SCE ≅ ∆ RCF. III. ∆ CQE ≅ ∆ CPF. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con cuál(es) de ellas se puede teselar (embaldosar) un plano? A) sólo con I. B) sólo con II. C) sólo con III. D) sólo con I y II. E) sólo con I y III. 36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría? I. Cuadrado. II. Rectángulo. III. Rombo. A) sólo I. B) sólo II. C) sólo I y II. D) sólo II y III. E) I, II y III.

256

37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + 2 cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? A) 1 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 8 cm2 E) 16 cm2

38. En la figura, AB = BC y ∆ ABC ≅ ∆ ABE ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. AFCE ⊥

II. ∡ ACF ≅ ∡ AEF

III. ∡ CBE ≅ 2∡ CAE A) sólo I. B) sólo I y II. C) sólo II y III. D) sólo I y III. E) I, II y III. 39. ¿Con cuál(es) de las siguientes figuras se puede teselar (embaldosar) un plano? I. Rombos. II. Romboides. III. Triángulos escalenos. A) sólo I. B) sólo I y II. C) sólo I y III. D) sólo II y III. E) I, II y III. 40. Si el punto A(-1,2) se refleja en torno a la recta x = 2, su imagen queda en el punto: A) (3,2) B) (4,2) C) (5,2) D) (1,2) E) (6,2)

257

RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D B E D B B D A A E B B E C C D D B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A E E E C B D E C E A D B E E D B E E C

258

SEGUNDO AÑO MEDIO Eje Temático: Álgebra y funciones Contenidos Curriculares: Funciones - Sistemas de ecuaciones - Operatoria con expresiones algebraicas. • Eje Temático: Geometría Contenidos Curriculares: Propiedades angulares en la circunferencia - Semejanza de triángulos. • Eje Temático: Estadística y probabilidades Contenidos Curriculares: Sucesos equiprobables - Probabilidad de un evento - Regla de Laplace - Regla de multiplicación de probabilidades - Probabilidad y frecuencia relativa. 1. Si f(x) = x2 – 3x, entonces f(-1) + f(2) = A) -6 B) -2 C) 2 D) 4 E) 6

2. Si f(x) = 22 ba

x)ba(

−

− (a ≠ b), entonces f(a+b) =

A) a+b B) a - b C) a2 – b2 D) a2 + b2 E) 1 3. Si x + y = 2, entonces 11 yx −− + =

A) 2

B) 21

C) 2xy

D) xy2

E) 2

xy

4. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de ecuaciones: L1: (1+k)x – y = 2 ; L2: (1-k)x + 2y = 3 sean paralelas? A) -3 B) 3 C) 2 D) 2 E) No existe tal valor de “k”

259

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que es perpendicular a

la recta de ecuación: y = - 21

x + 3 y pasa por el punto (2,1)?

A) y - 1= 2(x - 1) B) y - 1= -2(x - 2) C) y - 2= 2(x - 1) D) y - 1= 2(x - 2)

E) y - 1= 21

(x - 2)

6. ¿Cuál debe ser el valor de K para que el sistema de ecuaciones: 2x - ky = 3 4x + 2y = 5 NO tenga solución? A) -4 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2 7. Si 2x – y = 3 y | x | = 2, entonces el o los valores posibles de y es(son): I. 1 II. -7 III. 7 A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo I y III. E) Ninguno de ellos. 8. Si x e y son números reales distintos de cero tales que 1yx 11 =+ −− , entonces x+y =

A) 1 B) 2 C) x-y D) xy E) 1 x + y 9. Las rectas de ecuaciones: L1: 2x-y-m = 0 ; L2: px+2y+m = 0 se interceptan en el punto(2,-2). Entonces m + p = A) -5 B) -1 C) 5 D) 6 E) 7

260

10. Si |x| corresponde al valor absoluto de x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la función: y = -|x - 1|+1? I. Pasa por el punto (-2,-2). II. Intercepta al eje x en dos puntos. III. Intercepta al eje y en el origen. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

11. Al simplificar la fracción algebraica: )x2)(ba(

)ab(x)ba(2−−

−+−, resulta:

A) 1 B) -1

C) x2

1−

D) ba

1−

E) a – b

12. Si x = y, entonces =−

+− xy

y2

yxx2

A) -2 B) 0 C) 2

D) xy1

E)xy

)yx(2 +−

13. Con respecto a la recta de ecuación: x+2y - 3= 0, se afirma que: I. Pasa por el punto (3,0) II. Intercepta a la recta de ecuación 2x - y-1= 0 en el punto (1,1). III. Es perpendicular a la recta de ecuación 2x- y + 4= 0. Es(son) verdadera(s): A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

261

14. Con respecto a las rectas L1 y L2 de la figura: Se afirma que:

I. La ecuación de L1 es: y-1 = 32−

(x-2)

II. La ecuación de L2 es: y =23

x - 2

III. Las rectas son perpendiculares. Es (son) correctas: A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

15. BCA es una semicircunferencia y ∡ ACO = 40º Entonces el ∡ABC mide: A) 20° B) 40° C) 50° D) 70° E) 80° 16. En la figura: L1 // L2 y L1 ⊥ L3. Entonces x mide: A) 1,5 B) 2,6 C) 3 D) 3,3 E) 4 17. En la figura: PT es un segmento tangente a la circunferencia que mide 6 cm. Si PA mide 4 cm, entonces AB mide: A) 2 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 9 cm E) 13 cm

262

18. Si ADyEB son perpendiculares a CEyAC respectivamente. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. ∆ABF ~ ∆EDF. II. ∆ABF ~ ∆EBC. III. ∆ADC ~ ∆EBC. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 19. En la figura: L1//L2, entonces x = A) 3 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

20. En la figura: O es el centro de la circunferencia, entonces ∡ x: A) 20º B) 100º C) 120º D) 140º E) 160º 21. En la figura, los triángulos ABC y ADE son rectángulos en B y D respectivamente. Según los datos dados, BC mide A) 6 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 10 cm E) 12 cm 22. En la figura: L1//L2//L3 Si AC = 12; DF = 15 y FE = 3, Entonces AB mide: A) 2,4 B) 4,8 C) 5,4 D) 6 E) 9,6

263

23. ABCD es un rectángulo y ACBE ⊥ , entonces BE = A) 3 cm B) 4 cm C) 4,8 cm D) 2 2 cm E) 2 5 cm

24. Según los datos dados en la figura, el ∡ x mide A) 70° B) 80° C) 100° D) 110° E) 140° 25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto medio del lado AD, entonces el área del ∆ AEM es:

4a

)E

6a

)D

9a

)C

12a

)B

18a

)A

2

2

2

2

2

26. O: centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ∡ χ? A) 40º B) 70º C) 100º D) 120º E) 140º 27. En la figura “B” es punto de tangencia, “O” centro de la circunferencia. Entonces la medida del ángulo x es: A) 120° B) 90° C) 60° D) 45° E) 30°

264

28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que aparece sea un múltiplo de tres?

A) 61

B) 62

C) 63

D) 64

E) 65

29. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que NO SALGA el color verde?

A) 31

B) 125

C) 127

D) 32

E) 43

30. Se tienen 10 fichas iguales numeradas del 0 al 9. Si se eligen 2 al azar, reponiendo la primera, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 5? A) 0,04 B) 0,05 C) 0,06 D) 0,2 E) 0,4

265

31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros 16 números naturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 36?

169

)E

41

)D

21

)C

83

)B

167

)A

32. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color numerado del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita de color rojo o mayor que 5?

2016

)E

2015

)D

2014

)C

2010

)B

205

)A

33. La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares numerados del 1 al 4. Si L1 y L2 son líneas que pasan por el centro, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. La probabilidad de que salga un número impar es igual a la probabilidad de que salga par. II. La probabilidad de que salga el “1” es igual a la probabilidad de que salga un “4”. III. La probabilidad de que salga un número mayor que “1” es 0,75. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

266

34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello y en el dado un número menor que 3?

21

)E

32

)D

41

)C

31

)B

61

)A

35. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:

41

)E

53

)D

52

)C

51

)B

21

)A

36. Al lanzar la ruleta de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) SIEMPRE verdadera(s)?

I. La probabilidad de que salga un número par es 41

II. La probabilidad de que salga el “1” es51

III. La probabilidad de que salga el “4” es 61

A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo I y III. E) I, II y III.

267

37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad de sacar una bolita

verde es 94

, ¿cuántas bolitas rojas hay?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 16 38. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto de los puntajes. ¿Cuál es la probabilidad de que X > 20?

368

)E

367

)D

366

)C

365

)B

364

)A

39. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a optar solo por una actividad extra programática. Si las tres cuartas partes de los estudiantes eligen practicar deporte y una octava parte elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidad de que al entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realiza actividades extra programáticas?

83

)E

87

)D

85

)C

41

)B

81

)A

268

40. De 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?

252

)E

201

)D

1001

)C

501

)B

251

)A

RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C E D A D C C D C E A C E E C B C E C D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B E C D B E E B C C C D A A C D D E A A

269

TERCER AÑO MEDIO • Eje Temático: Álgebra y funciones Contenidos Curriculares: Raíces cuadradas y cúbicas - Función cuadrática - Ecuaciones de segundo grado - Intervalos en los números reales - Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita • Eje Temático: Estadística y probabilidades Contenidos Curriculares: Variable aleatoria - Probabilidad y frecuencia relativa - Probabilidad de eventos compuestos - Probabilidad condicionada • Eje Temático: Geometría Contenidos Curriculares: Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo - Teorema de Euclides - Teorema de Pitágoras - Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

1. =−− 321850 A) 0 B) - 8

C) 8

D) 18

E) 72 2. ¿Cuál es el vértice de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 4? A) (3, 31) B) (-3, 31) C) (6, 4) D) (3, -5) E) (-6, 76)

3. Con respecto a las soluciones de la ecuación x2 – 2ax – 3a2 = 0, donde a ≠ 0, se afirma que: I. Una es el triple de la otra. II. Tienen signos distintos. III. Su suma es un número positivo. ¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)? A) Solo I. B) Solo II. C) Solo I y III. D) Solo II y III. E) I, II y III.

270

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las funciones: f(x)=x2+2 y g(x)=-x+1?

5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3, entonces p = A) -6 B) -5 C) 5 D) 6 E) Falta información. 6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la siguiente? A) y = -2x2 + 8x - 8 B) y = -x2 + 4x - 4 C) y = x2 - 4x + 4 D) y = -x2 - 4x + 4 E) y = -x2 - 4x - 4

7. Si a = 5353 −−+ , entonces a2 = A) 2 B) 4 C) 6 D) 10

E) 2 5

8. =+

−− 12

2

12

2

A) -4 B) -2 C) 1 D) 2 E) 4

271

9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto (2,3) entonces p + q = A) -3 B) -2 C) 2 D) 5 E) 11 10. La solución del sistema de inecuaciones 2x – 3 < 5 es el intervalo -x + 4 < 2 A) [2 , 4] B) ]2 , 4[ C) ]2 , 4] D) [2 , 4[ E) Ø 11. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x – 1 > 2 -2x + 1 > -1 ? A) IR B) IR – {1} C) Ø D) ]1, +∞] E) [1, +∞[

12. A y B son dos eventos independientes. Si la probabilidad de que ocurra A es p y de que ocurra B es q, ¿cuál es la probabilidad de que NO ocurran ambos eventos? A) (1 - p) q B) p (1 - q) C) (1 - p) (1 - q) D) pq E) 1 - pq

13. Si x≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes al cociente xx3 2

?

x)III

x)II

x

1)I

31

3

A) Solo I. B) Solo II. C) Solo III. D) Solo I y II. E) Ninguna de ellas.

272

14. Con respecto a la función cuadrática y = -x2 + 4x, se afirma que: I. Intercepta al eje x en dos puntos. II. Intercepta al eje y en el origen. III. Su vértice es el punto (2,4) ¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)? A) Solo I. B) Solo II. C) Solo I y II. D) Solo I y III. E) I, II y III. 15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca cae fuera del disco, entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga sobre el sector marcado “rojo”?

61

)E

31

)D

271

)C

1)B278

)A

16. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas oportunidades salga el color verde?

1441

)E

121

)D

91

)C

61

)B

31

)A

273

17. Una persona contesta al azar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo dos correctas?

21

)E

83

)D

81

)C

41

)B

31

)A

18. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga un número mayor que 4?

271

)E

32

)D

92

)C

91

)B

81

)A

19. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos resultantes sea 4?

366

)E

365

)D

364

)C

363

)B

362

)A

274

20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos resultantes sea 6?

3612

)E

367

)D

366

)C

365

)B

364

)A

21. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la primera vez salga un número mayor que 3 y la segunda vez salga un múltiplo de 3?

366

)E

365

)D

364

)C

363

)B

361

)A

22. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea menor o igual que 3?

365

)E

364

)D

363

)C

362

)B

361

)A

275

23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75% de las bolitas son verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas blancas, reponiendo la primera?

4916

)E

251

)D

161

)C

81

)B

21

)A

24. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen tres tarjetas, reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la probabilidad de que las tarjetas sumen 5? A) 0,002 B) 0,003 C) 0,004 D) 0,006 E) 0,2 25. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar la flecha dos veces, en ambas ocasiones salga el color verde?

32449

)E

8116

)D

98

)C

97

)B

94

)A

26. En el triángulo ABC de la figura, BCAE ⊥ y ABEF ⊥ . Si EC = 4 cm, EB = 2 cm y BF = 1 cm, entonces ¿cuál es el área del ABC? A) 3 2 cm2 B) 6 2 cm2 C) 3 3 cm2

D) 6 3 cm2

E) 12 3 cm2

276

27. Si α es un ángulo agudo tal que sen α = 0,6, entonces tg α = A) 0,75 B) 0,8 C) 1,25 D) 1,3 E) 1,6 28. En el ABC rectángulo en C de la figura, DB mide 5 cm más que AD y la altura CD mide 6 cm, ¿cuál es el área del triángulo? A) 6 cm2 B) 27 cm2 C) 39 cm2 D) 54 cm2 E) 78 cm2 29. Si tg α = 0,75, entonces cos α = A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,8 E) 4

30. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si CD = a, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. AC = a 2 II. BC = 2a

III. DB = a 3 A) Solo I. B) Solo II. C) Solo I y II. D) Solo II y III. E) I, II y III.

277

31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total. En el 4º A hay 18 mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de mujeres entre los dos cursos es 25. Si se eligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre del 4ºA y el segundo sea una mujer del 4º B?

2507

)E

445

)D

5017

)C

3512

)B

351

)A

32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. sen 60° = cos 30° II. sen 30° = sen2 45° III. tg 30° > cos 60° A) Solo I. B) Solo II. C) Solo I y II. D) Solo II y III. E) I, II y III. 33. Según los datos dados, x + y = A) 4,5 B) 8 C) 9,5 D) 10 E) 10,5 34. El ACB es rectángulo en C y CHBE es un rectángulo. Si AC = 6 cm y BC = 8 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo? A) 16 cm B) 16,8 cm C) 22,4 cm D) 30,4 cm E) 46,08 cm

278

35. =+

º30tgº60cosº30sen

1)E

3)D33

)C

23

)B

3)A

36. En un triángulo rectángulo, α es uno de los ángulos agudos tal que sen α = 0,6. Si la hipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto mayor? A) 9 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 13 cm E) Falta información 37. Según los datos de la figura, x = A) 2 2 B) 3 2 C) 2 6

D) 4 3 E) 18

38. En la figura, ABCD ⊥ , ∡ CBA = 20º y ∡BAD = 70º. Si AE = 2 cm y EB = 8 cm, entonces AD = A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm

D) 2 5 cm

E) 10 2 cm 39. En una superficie sintética la probabilidad de que un deportista resbale si la superficie esté mojada es 0,8. Si la probabilidad de que la superficie esté mojada y que resbale el deportista es 0,02, ¿cuál es la probabilidad de que la superficie esté mojada? A) 0,025 B) 0,02 C) 0,25 D) 0,78 E) 0,8

279

40. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C y EFGD es un rectángulo. Si AE = 3 cm y ED = 4 cm, entonces BF = A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm

D) 3

16cm

E) 49

cm

RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D B A C B A E E B C C D E C E D E B B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E C C D D D A C D E A E E C A C C D A D

280

CUARTO AÑO MEDIO Eje Temático: Álgebra y funciones Contenidos Curriculares: Logaritmos Eje Temático: Geometría Contenidos Curriculares: Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos generados por traslación o rotación de figuras planas - Rectas y planos en el espacio - Sistema cartesiano tridimensional Eje Temático: Estadística y probabilidades Contenidos Curriculares: Gráficos estadísticos - Estadígrafos de tendencia central 1. log25 5 = A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I. log4 2 = 0,5 II. log8 16 = 1,3 III. log 0,01 = -1 A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 3. 2xx )22( + =

A) x4

B) 1x4 + C) 1x2 +

D) x42 E) x82 4. log 8 + log 2 = A) 0 B) 1 C) 4 D) 3 log 2 E) 4 log 2

281

5. Si x2 = p, entonces x4− = A) 2p B) p-2 C) 4p D) p-4 E) p4

6. El conjunto de las soluciones de la ecuación 2x1

1x

2

1)25,0(

−

− = es:

A) {-3} B) {1} C) {3} D) {1,3} E) {-3,1} 7. Si x3 = 9 - y y yx2 + = 0,125, entonces y – x = A) 3-3 B) 3-2 C) 1 D) 3 E) 32 8. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica: log x = log (x+18) – log (10 – x)? A) {-6} B) {-3} C) {3} D) {6} E) {3,6} 9. Si xx 22 + = 0,25, entonces x = A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) 1 10. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. x = 3 2y

II. y = x x III. 3 log x = 2 log y A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

282

11. El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log (x+6) = 2 log x es: A) {3} B) {-2} C) {2} D) {3,-2} E) Ø 12. La solución de la ecuación: 1xx 222 −=+ es x = A) -4 B) -3 C) -2 D) -1

E) -21

13. Sea la función f definida por f(x) = x3 – 1. Si f(a) = 1, entonces a = A) log2 3 B) log3 2 C) log 2 – log 3 D) log 3 – log 2 E) 0 14. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el segundo y su radio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los volúmenes de ambos cilindros? A) 1: 1 B) 1: 2 C) 1: 3 D) 1: 4 E) 1: 6 15. La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la esfera es 36 π cm3, ¿cuál es el volumen del cilindro? A) 9 π cm3 B) 18 π cm3 C) 27 π cm3 D) 54 π cm3 E) 432 π cm3 16. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los vértices B y D son (3, 4,0) y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide la diagonal AD del paralelepípedo? A) 5 B) 10 C) 12 D) 13 E) 17

283

17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta L? A) 10 π cm3 B) 11 π cm3 C) 12 π cm3 D) 16 π cm3 E) 17 π cm3 18. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el triángulo de la figura en torno al cateto AB? A) 4,5 π 3 cm3

B) 9 π 3 cm3

C) 12 π 3 cm3

D) 18 π 3 cm3

E) 36 π 3 cm3 19. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano horizontal. Si este triángulo se traslada en dirección vertical “b” cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo generado?

32

32

32

32

32

cm6

3ba)E

cm12

3ba)D

cm3

3ba)C

cm4

3ba)B

cm2

3ba)A

20. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio 3 cm, tangente al lado CD. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en torno al lado AB? A) 18 π cm3 B) 24 π cm3 C) 27 π cm3

D) 36 π cm3 E) 64 π cm3

284

21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado BC. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. tg α= 2. II. tg β= 0,5. III. γ= α+β . A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 22. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y DC es una semicircunferencia. Si M y N son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en torno a la recta MN? A) 6 π cm3 B) 9 π cm3 C) 12 π cm3 D) 24 π cm3 E) 36 π cm3 23. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la figura?

A) 13 3 cm

B) 18 3 cm

C) 11 + 2 3 cm

D) 16 + 2 3 cm

E) 22 + 2 3 cm 24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ; B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuál es su área?

A) 2 3

B) 4 3

C) 8 3

D) 12 2 E) 16

285

25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al girar la figura sombreada en torno al lado AD?

π

π

π

π

π

671

)E

335

)D

332

)C

317

)B

35

)A

26. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto A? A) (1 , 2, 3) B) (2 , 1 ,3) C) (1 , 3 , 2) D) (2 , 3 , 1) E) (3 , 2 , 1) 27. Se ha efectuado un estudio de precios de un artículo. Para ello se ha consultado en seis supermercados, obteniendo los siguientes valores: $ 320 ; $ 350 ; $ 348 ; $ 332 ; $ 350 ; $ 327. ¿Cuál es la mediana de estos datos? A) $ 335 B) $ 338 C) $ 340 D) $ 349 E) $ 350 28. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de estos datos? A) 2 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 5

Número Frecuencia 1 2 2 3 3 5 4 4 5 2 6 3

286

29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Su mediana es 5 años. II. Su media es 8 años. III. Su moda es 12 años. A) Sólo I. B) Sólo I y II. C) Sólo II y III. D) Sólo I y III. E) I, II y III. 30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de un curso electivo de Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas? A) 5,0 B) 5,5 C) 6,0 D) 6,5 E) 7,0 31. Si la media entre a, b y c es p, ¿cuál es la media entre a-2, b-2 y c-2? A) p-6 B) p-3 C) p-2 D) p E) p+2 32. El menor de 5 números consecutivos es “a”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La media es a+2. II. La mediana es igual a la media. III. La moda es 1. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo I y III. E) I, II y III.

287

33. Un curso tiene 40 alumnos y la distribución por edad y sexo se muestra en la siguiente tabla: Si se elige un(a) alumno(a) al azar de este curso, se puede afirmar que:

I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es 4018

.

II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es 4022

III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de 15 años es 4024

Es(son) correcta(s): A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 34. Las estaturas de 8 alumnos seleccionados para representar a un Colegio en un interescolar son las siguientes: (en cm) 170 ; 172 ; 173 ; 171 ; 170 ; 172 ; 173 ; 170 ¿Cuál es la mediana de estas estaturas? A) 170,5 B) 171 C) 171,5 D) 172 E) 175 35. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica Pedro durante una semana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes para que la media de estudio diario durante esa semana sea de dos horas? A) 0 B) 0,5 C) 1 D) 1,5 E) 2

Hombres Mujeres Total ≤ 15 años 16 > 15 años 22 18

288

36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para realizar un estudio acerca del tiempo en el cual permanecen estacionados. Los resultados se ilustran en la siguiente tabla: ¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos? A) [0 , 1) B) [1 , 2) C) [2 , 3) D) [3 , 4) E) [4 , 5) 37. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2 Kg. Elige 30 bolsas al azar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de naranjas que contiene, obteniendo lo siguiente: ¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra? A) 10,87 B) 11 C) 11,2 D) 11,5 E) 12 38. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres cuartos medios de un establecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo masculino. II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B. III. La media de alumnos(as) por curso es 30. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y III. D) Sólo II y III. E) I, II y III. 39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8 años, ¿cuál es la mediana? A) 6 años B) 8 años C) 10 años D) 14 años E) Falta información

Tiempo (en horas)

Frecuencia

[0,1) 14 [1,2) 10 [2,3) 6 [3,4) 3 [4,5) 1

Unds. Frecuencia 9 4

10 6 11 6 12 8 13 6

289

40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis meses seguidos en una casa de cambio fue el siguiente: $510; $515; $512; $508; $508; $519. ¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos? A) $512 y $508. B) $511 y $508 C) $511 y $519 D) $512 y $519 E) $512 y $508 RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 E C B E B E E E B E A C B B D D B B B A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C E D C E D C B C C C C E C C B C C B B

290

FACSIMIL 1

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

1. =−−

002,0018,005,0002,0

ValorOtro)E1630

)D

3)C

3,0)B163

)A

−

−

−

−

2. Dados los decimales 0,15 ; 0,149 ; 0,2 ; 0,1437 ; 0,07 ; al sumar el menor con el mayor se obtiene: A) 0,2137 B) 0,27 C) 0,2927 D) 0,299 E) 0,7127

3. Si los 5 primeros términos de una secuencia son: ,........107

,86

,65

,44

,23

¿cuál es el

término que ocupa la posición n-esima?

n22n

)E

2nn2

)D

n2n

)C

2n1n

)B

nn3

)A2

++

++

+

4. La distancia de la Tierra a la Luna es de 386.000 Km. Ésta es, aproximadamente, cinco milésimas de la distancia de la Tierra a Marte. ¿Cuál es la distancia aproximada de la Tierra a Marte? A) 1,93 x 102 Km B) 1,93 x 105 Km C) 772.000 Km D) 77,2 � 10−2 Km E) 77,2 � 106 Km

291

5. El valor de (0,25−2 − 5)2 es: A) 9 B) 22 C) 50 D) 81 E) 121 6. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa

se ocupa la cuarta parte de los hombres y en la segunda los 32

del resto. ¿Cuántos

hombres trabajan en la tercera etapa? A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa. B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa. C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa. D) Un tercio del total. E) La mitad del total.

7. Los 119

de 33 es igual a101

de:

A) 0,27 B) 2,7 C) 27 D) 270 E) Ninguna de las anteriores 8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre es posible afirmar que: I) a2 + b2 es un número real positivo II) (a + b)2 es un número real positivo III) (a + b)(a − b) es un número real positivo A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III 9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la edad de Marcela. El promedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué edad tiene Raúl? A) 36 años B) 24 años C) 18 años D) 12 años E) 9 años

292

10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta $ 30.000 más que A. Además, verifica que si a B se le descuenta el 10%, ambas quedarán con el mismo valor. ¿Cuál será el valor de la mercancía B? A) $ 300.000 B) $ 270.000 C) $ 99.000 D) $ 33.333 E) $ 30.000

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES 11. Si 89xy – 99 = 98xy , entonces xy = ? A) –11 B) –9 C) 9 D) 11 E) 89 12. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume en partes iguales por el total de los b alumnos del curso, pero a última hora desistieron del viaje c alumnos. ¿Cuál es el valor de la nueva cuota que deben cancelar los que realizan el viaje? A) a B) a (b − c)

C) cb

a−

D) cb

a+

E) cba

−

13. Con el 70% del perímetro de un cuadrado se construye un triángulo equilátero de 14 cm de lado. ¿Cuál es el área del cuadrado? A) 25 cm2 B) 100 cm2 C) 225 cm2 D) 360 cm2 E) 400 cm2 14. En la expresión: xk − 2 = 3x , ¿para qué valor de k ocurre que no existe el valor de x? A) 2 B) −2 C) −3 D) 3 E) 0

293

15. Si a + b + c = 90 y c2b

2a

== entonces el valor de c es:

A) 72 B) 36 C) 18 D) 12 E) 9 16. La expresión: “La mitad del cuadrado de 3a es equivalente al cuadrado de la mitad de a”. Corresponde a:

2a

2a3

)D

2a

2)a3(

)C

2a

2a3

)B

2a

2a3

)A

22

22

22

22

=

=

=

=

E) Otra expresión 17. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta tiene b años y Sonia tiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea? A) 2a B) 2b C) a + 2b D) 2a + b E) 2a + 2b 18. Si al cuadrado de (x − 3) le restamos el triple de (3 − x) resulta: A) x2 + 3x B) x2 + 9x C) x2 - 9x D) x2 - 3x + 18 E) x2 - 3x 19. Si 2a − 3b = 8 y 3m + 2n = 18 , entonces 2 (a + 2n) + 3 (2m − b) = ? A) 26 B) 34 C) 36 D) 44 E) Ninguna de las anteriores

294

20. Si x - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ? A) 1 B) 19 C) 16 D) 253 E) 256

21. Sea y1

xba

+= . ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre verdadera(s)?

I) b = ay − bx

II) yb1a

x−−

=

III) y1

bxa

+=

A) Sólo I B) I y II C) Sólo III D) II y III E) Ninguna 22. Si a + b = 25 ; entonces a2 + b2 = ? ab = -150 A) 1.225 B) 925 C) 625 D) 325 E) Ninguna de las anteriores 23. Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) =? A) −1 B) −6 C) 15 D) 26 E) No se puede determinar 24. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) =? A) 8 B) 4 C) 3 D) 2 E) Ninguna de las anteriores

295

25. Si el punto P (4, 3) pertenece a la recta de ecuación x - 2py - 5 = 3 y además satisface la ecuación de la recta qx + 1 - 2y = 3, entonces los valores de p y q son, respectivamente:

2y32

)E

32

y2)D

2y32

)C

32

y2)B

2y32

)A

−

−−

−−

26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la figura?

11xy)E

11xy)D

2xy)C

1xy)B

1xy)A

−−=

−−=

−=

−=

−=

27. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x − 1 < 5?

28. ?5555

10n9n

9n8n

=+

+++

++

A) 5 B) 1

C) 51

D) 0 E) Ninguna de las anteriores

296

29. ?12

1

12

2=

−−

+

A) 2 B) 2 C) 2 - 1 D) 2 - 2 E) 2 - 3

30. Si 540 = 2a •�3b • 5c, entonces 2

cba −+ = ?

A) 1 B) 2 C) 0

D) 21

E) 4

31. Si log x = a y log y = b , entonces log 3 xy = ?

A) 3a + 3b B) 3ab

C) 3b

3a

+

D) ab31

E) 3 3 ba +

32. Un elemento radiactivo se desintegra de acuerdo a la relación M = M0 •501

51

, donde

M0 es la cantidad inicial del elemento y M es la cantidad que queda de él después de transcurridos los t años. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que una muestra de 400 gr de este elemento se reduzca en un 80%?

5log

)5log4(log50)D

50)C51

log50)B

5log

4log5log50)A

−

−

E) Ninguna de las Anteriores

297

33. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es igual al semiproducto de ellas, entonces: A) r - p = 0 B) p = r C) r + 2q = 0 D) r - 2q = 0 E) - 2q = pr 34. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f (x) = a (x − h)2+ k . Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente: A) 1 ; -8 ; 15 B) 1 ; 8 ; 15 C) 1 ; 4 ; -1 D) -1 ; 4 ; -1 E) -1 ; -4 ; -1 35. Una ameba, en condiciones de laboratorio, se duplica cada 3 minutos. Al cabo de 30 minutos de transcurrido un experimento se cuentan 210 amebas. ¿Con cuántos ejemplares se inició éste? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 12

III. GEOMETRÍA 36. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le aplica una reflexión con respecto al eje Y, y posteriormente una reflexión con respecto a la recta y = x. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante? A) (1, −1) B) (1, 1) C) (−1, 1) D) (−1, −1) E) (0, −1)

298

37. Al ∆ ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica una rotación en 90º con respecto al origen del sistema cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’, imágenes de A y B respectivamente? A) (−2, 0) y (1, 0) B) (0, −2) y (0, 1) C) (−2, 0) y (0, 1) D) (0, −2) y (1, 0) E) (−2, 0) y (1, 1) 38. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de P al rotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º en sentido horario (figura)? A) ( 2, −3) ; ( 3, −2) ; (−2, 3) B) ( 2, −3) ; (−3, −2) ; (−2, 3) C) ( 2, −3) ; (−2, −3) ; (−2, 3) D) ( 3, −2) ; (−3, −2) ; (−3, 2) E) (−2, 3) ; (−2, −3) ; ( 3, −2) 39. En la figura, ABCD es un paralelogramo. ¿Cuál(es) de la(s) afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) ∡1 + ∡2 +∡ 4 = 180º

II) ∡1 + ∡2 = ∡3

III) ∡1 + ∡2 = ∡3 + ∡5 A) Sólo I B) I y II C) I y III D) Sólo III E) Todas 40. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm? A) 20 cm B) 40 cm C) 60 cm D) 80 cm E) 100 cm

299

41. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie de la región circular que tiene por radio la diagonal del cuadrado es:

2

2

2

2

2

a4)E

a2)D2a3

)C

a)B2a

)A

π

π

π

π

π

42. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del triángulo CDE?

32

)D

41

)C

31

)B

61

)A

E) Ninguna de las anteriores 43. En la figura se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero EFG. Si AD = 4 cm y FG = 12 cm, entonces el perímetro del sector sombreado es: A) 52 cm

B) cm338

52

−

C) cm33

1652

+

D) cm33

13

−

E) Ninguna de las anteriores 44. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, los arcos AD y DC son

congruentes y Arco DA = 2 Arco BC. ¿Cuál es el valor del ∡ DEC? A) 36º B) 54º C) 72º D) 108º E) 120º

300

45. En la figura, ABC equilátero, EBCE = y DA:CD = 2 : 1. ¿En qué razón están las áreas del cuadrilátero ABED y el triángulo ABC? A) 3 : 4 B) 2 : 3 C) 3 : 5 D) 4 : 5 E) Ninguna de las anteriores. 46. Dos triángulos son semejantes si tienen: I) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. II) los tres lados proporcionales. III) sus tres ángulos congruentes. De las afirmaciones anteriores, es (son) siempre verdadera(s): A) Sólo I B) I y III C) I y II D) II y III E) I, II, III

47. En la figura, PR = 5 cm y RQ = 12 cm. El ∆ PQR es rectángulo en R y PQRS ⊥ .

Entonces, SQ:PS =?

A) 125

B) 5

12

C)14425

D) 25

144

E) Otro Valor 48. En el ABC de la figura, se tiene que AC = t, DE = u, AD = p, DB = q, BE = r y CE = s. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) AB = p + q II) CE = p + q - r

III) CB =utq

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III

301

49. En la figura, O es el centro de la circunferencia, RQ2PQ = y Arco RS ≅ Arco SQ.

Entonces, el ∡ SOR mide: A) 75º B) 60º C) 45º D) 30º E) 15º 50. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente a ella y una secante que pase por su centro, entonces ¿cuál es el radio de la circunferencia si el segmento exterior de la secante mide 8 cm y la tangente mide 12 cm? A) 18 cm B) 10 cm C) 9 cm D) 5 cm E) No se puede determinar 51. De acuerdo a los datos de la figura, la longitud de BC es: A) 5 cm B) 6 cm C) 9 cm D) 5 3 cm

E) 3 5 cm

52. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, ABCD ⊥ y BC = 17 cm. Si tg53

=α , entonces

AD =?

cm33

25)D

cm3625

)C

cm625

)B

cm2625

)A

E) Ninguna de las anteriores

302

53. Con los datos de la figura, ¿cuál es el valor de sen2α + cos2α?

2

22

2

2

2

22

2

2

p2nm

)D

p

)nm()C

pnm

)B

pm2

)A

+

+

+

E) 1 54. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de 1.000 litros de capacidad. Para ello determinó que la arista debía medir un metro de longitud. Cuando terminó la construcción, notó que las aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es la diferencia, en cc, de la capacidad del estanque que construyó? A) 8 B) 404 C) 800 D) 61.208 E) Otro Valor

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 55. Una caja contiene 10 fi chas de igual peso y tamaño. Cada fi cha tiene grabada una letra de la palabra LITERATURA. Si se escoge una fi cha al azar, ¿cuál es la probabilidad de escoger una vocal?

107

)E

106

)D

105

)C

104

)B

101

)A

303

56. Si la probabilidad de un suceso es 0,001, entonces ¿cuál es la afirmación más adecuada? A) Este suceso jamás ocurre. B) Ese suceso siempre ocurre. C) El suceso ocurre con mucha frecuencia. D) Ese evento ocurre rara vez. E) El suceso es seguro. 57. Un dado es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento se obtenga un número par?

61

)E

31

)D

121

)C

1)B21

)A

58. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los sucesos posibles son 36. II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero.

III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es 92

.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Todas son verdaderas E) Ninguna es verdadera 59. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se sacan 2 bolitas al azar y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas se obtenga un número par?

21

)E

101

)D

92

)C

41

)B

51

)A

304

60. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU fueron los siguientes: 450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675 782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690 Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es: A) 600,0 B) 612,8 C) 615,8 D) 616,2 E) 622,8 61. En la tabla Nº 1 se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces, al sumar la media con la moda de la distribución se obtiene: A) 3,1 B) 3,3 C) 5,12 D) 5,8 E) Ninguna de las anteriores 62. La tabla Nº 2 muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de Inglés. De acuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota promedio del curso? A) 5,0 B) 4,5 C) 4,0 D) 3,5 E) 3,0 63. De acuerdo a la información de la tabla Nº 2 es correcto afirmar que: A) la moda es 5 B) la mediana es 5 C) el promedio y la mediana son iguales D) el promedio es mayor que la mediana E) el promedio es menor que la mediana

x 1 2 3 4 5 6 7 f 1 7 4 3 5 4 1

Nota Nº alumnos 2 5 3 5 4 5 5 5

305

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente; D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 64. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y el resto chilenos. ¿Cuántas chilenas viajan? (1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número de mujeres. (2) Del total de pasajeros, los son hombres. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 65. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular? (1) El cerco que lo rodea mide 500 metros. (2) Los lados están en razón 2 : 3. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

306

66. En la figura, EOA = 135º ¿Cuánto mide el ∡ AOB? (1) Arco AB : Arco BC : Arco CD :Arco DE = 1 : 2 : 4 : 8 (2) EOB = 150º A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

67. Sean α y β ángulos. ¿En qué razón están sus suplementos?

(1) α + β= 90º

(2) α:β = 1 : 2 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 68. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál es el valor de BC? (1) ABCD trapecio isósceles de base AB igual a 5 cm de longitud.

(2) AB53

DC =

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 69. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados, ¿cuál será el área sombreada? (1) El área total es 100 cm2. (2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 70. ¿Cuál es el promedio de edad en un curso mixto? (1) La edad promedio de las niñas es 17 años. (2) La edad promedio de los varones es 18 años. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

307

PAUTA FACSIMIL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B E E E A D A D A A C C D C C E E D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E B B A E D D C E B C C C C A A C B C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D C B A B E C E D D E A A D C D A D C D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 D D C C C D C E D E

308

ENSAYO Nº 2 INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para responderla.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x función parte entera de x

≤

>

≥

<

log

φ

[x]

≅

∼

⊥

≠

//

AB

|x|

∈

∠

309

1. 12 : 2(-5 + 8) – 7 =

A) -31 B) -17 C) -12 D) -5 E) 11

2. Cuando un entero positivo n es dividido por 9 el resto es 7. ¿Cuál es el resto

cuando 5n es dividido por 9?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

3. Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por

A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 32

4. Se tienen dos cajas A y B. la caja A contiene 4 fichas negras y 1 blanca; la caja B

contiene 4 fichas negras y 3 blancas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que deben ser removidas de la caja A a la caja B para que la razón de fichas blancas y fichas negras sea la misma en ambas cajas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Ninguno de los valores anteriores

5. Si x es el 66 23

% de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x?

A) 33 13

%

B) 75%

C) 133 13

%

D) 150%

E) 166 23

%

310

6. 48 + 12 + 3 =

A) 63 B) 7 3 C) 20 3 D) 4 15 + 3 E) 30 + 3

7. Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo muestra la figura.

¿Cuál de las siguientes opciones podría ser verdadera?

A) R � S = P B) P � R = T C) R � S = T D) R � T = P E) P � T = S

8. En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5)(5, 12, 13)(7, 24, 25)(9, 40,

41)…, la suma de los números que forman el séptimo trío es

A) 132 B) 182 C) 240 D) 306 E) 312

9. Manejando a un promedio de 48 kmh

, Juan llega a su destino exactamente en 2

horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta, demora exactamente 2 horas en regresar. ¿Cuál fue el promedio de su regreso?

A) 50 kmh

B) 54 kmh

C) 55 kmh

D) 60 kmh

E) 64 kmh

0 1 -1

R P S

T

311

10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 � 20 � b + c2, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a > b > c B) b > a > c C) c > a > b D) a = b > c E) a = b = c

11. (-a + b)2 =

A) –(a – b)2 B) (a – b)2 C) (a + b)2 D) –(a + b)2 E) (-a – b)2

12. Si x2 = 7, ¿cuál es el valor de (x + 1)(x – 1)?

A) 6 B) 8 C) 48 D) 50 E) No se puede determinar

13. Si los trinomios 9x2 + ax + 4 y x2 – 5x + b son cuadrados perfectos, entonces el

mayor valor de a + 4b es

A) 12 B) 13 C) 31 D) 37 E) 49

14. Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 =

A) 6 B) 9 C) 11 D) 20 E) 26

312

15. Sean a y b números enteros distintos de cero y a ≠ b. Si ab = m[(a + b)2 – (a – b)2], entonces m =

A) -3ab B) ab C) 0

D) 14

E) 4

16. Si 2x 2x 7

A− − = x + 2 – -1

A, entonces A =

A) x + 4 B) x – 4 C) x + 3 D) x – 3 E) x + 2

17. Si abc ≠ 0, entonces 2 2 2a bc + ab c + abc

abc =

A) a + b + c B) a + b + abc2 C) a3b3c3 D) 3abc E) 2abc

18. Si 2(2t – 2) = 1, entonces (t – 1)-1 es igual

A) 4

B) 12

C) 14

D) - 12

E) -4 19. Si la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es x + 2 y la

longitud de la hipotenusa es x + 3 donde x > -2, ¿cuál es la longitud del otro cateto?

A) x B) x + 1 C) x + 5 D) x + 5 E) 2x + 5

313

20. Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en 23

del tiempo que tomará

para finalizar la segunda mitad. Si el examen completo lo rindió en 1 hora, ¿en cuántos minutos realizó la primera mitad del examen?

A) 20 B) 24 C) 27 D) 36 E) 40

21. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2) y B(3, -3)?

A) -1

B) - 13

C) 0

D) 13

E) 1 22. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y (-4, 3), entonces a – b

=

A) -1

B) - 13

C) 13

D) 23

E) 1

23. Si f x 51 x

− −

= x – 1, entonces f(3) =

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

314

24. Sea f(x) = 2x – 5. Si g(x – 2) = f(x + 2), entonces g(-2) =

A) -9 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2

25. Sea x � y definida como x2 + y2

para todo x e y. Si 3 � 4 = 5 � m, ¿cuál es el valor

de m?

A) -28 B) -7

C) 125

D) 6 E) 60

26. Sea f(x) = 3x + 2. Si f(2m + 1) = f(m + 2) – 5, entonces m =

A) 23

B) 13

C) - 14

D) - 13

E) - 23

27. Si 3y = x + 1 y 4y + x = 13, ¿cuál es el valor de y?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

315

28. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = x + 2, en sentido horario y con centro (0,0), se obtiene

A) B) C)

D) E) 29. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector (-3, -2), entonces el

nuevo gráfico queda mejor representado por

A) B) C)

D) E)

y

x 2

2

y

x -2

-2

y

x 2

2

y

x -2

-2

y

x -2

-2

y

x -3

y

x -3 -2

y

x -3 -2

y

x -2

9

y

x 9

-2

316

30. Si la ecuación x2 – 4x + 1 = 0 se escribe de la forma (x + a)2 = b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a = 3, b = 2 B) a = 3, b = -2 C) a = 2, b = 3 D) a = -2, b = 3 E) a = b = 3

31. Una solución o raíz de la ecuación 2

1 2 + 1 =

xx es

A) 1

B) 12

C) - 12

D) -1 E) -2

32. ¿Cuál es el punto de intersección entre la parábola y = -x2 + 2x – 3 y la recta x = -1?

A) (1,-2) B) (-1,-4) C) (1,-6) D) (-1,-6) E) (-1,0)

33. Si 2x – 3 = 3y + 1 = 1, entonces (x + y)(x – y) =

A) 0 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

34. 3

6

3 2

3

⋅ =

A) 3 2

B) 6 2

C) 3 23

D) 618

E) 6 24

317

35. 66 2 6−

=

A) 2 B) 2 + 1 C) 2 – 1 D) 1 – 2

E) 22

36. La gráfica se puede expresar como

A) ]-5-1] ∩ [6,12[

B) [-5,-1[ ∪ [6,12]

C) [-5,-1[ ∪ ]6,12]

D) [-5,-1 [ ∩ ]6,12]

E) [-5,12]

37. El conjunto solución del sistema x + 5 x 3

3 2

5(x 1) 10

−≥

− ≥ es

A) ∅ B) [3, +∞[ C) [19, +∞[ D) [3, 19] E) ]-∞, 19]

38. En el ∆ABC de la figura, si AE y CD son bisectrices de los ángulos A y C,

respectivamente, entonces ∡ CDB =

A) 90º B) 85º C) 80º D) 75º E) 70º

-5 -1 6 12 lR

20º A D B

C

50º

E

318

39. En la figura, la expresión que representa el área del ∆EFD inscrito en el rectángulo

ABCD es

A) 21 + 6x B) 21 + 18x C) 123 + 6x D) 123 + 18x E) 21 – 6x

40. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 53 12

cm y PBQR es un cuadrado de

lado 46 12

cm. ¿Cuál es el área de la región achurada?

A) 7 cm2

B) 494

cm2

C) 814

cm2

D) 6934

cm2

E) 700 cm2 41. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes en B. Si

AC = AB + BC , ¿cuál es la medida del ∡ ACD?

A) 20º B) 30º C) 45º D) 50º E) 70º

42. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del lado del

cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada del sexto cuadrado?

A) 1 + 2 B) 1 + 2 2 C) 2 + 2 D) 1 – 2

D C

A B 5

F

E

12

6

x

D C

A B

R Q

P

O’ O A B

C

D

20º

32

319

E) 1 – 2 2

43. En la circunferencia de la figura, Arco AB = Arco BC = 60º. Entonces, ∡x +∡ y =

A) 120º B) 100º C) 90º D) 80º E) 60º

44. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la quinta figura de la

sucesión debería ser

A)

B)

C)

D)

E)

A

B

x

y

C

320

45. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura con respecto a

la recta L?

A) B) C)

D) E) 46. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores están en la razón

de 2 : 3 : 5 : 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas del mayor y menor de los ángulos?

A) 112,5º B) 90º C) 67,5º D) 45º E) 13,5º

47. En el círculo de centro O de la figura, si el área del ∆AOB es 25, ¿cuál es el área del

círculo?

A) 25π B) 25π 2 C) 50π D) 50π 3 E) 625π

L

A

B

O

321

48. En la figura, AB = 4 cm, AC = 3 cm, DB = 5 cm y DE = 3 cm. ¿Cuál es el perímetro

del cuadrilátero ABDC?

A) (20 + 10 ) cm B) (17 + 10 ) cm C) (15 + 10 ) cm D) (12 + 10 ) cm E) (12 + 2 10 ) cm

49. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son números enteros y de

perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo 60?

A) 120 B) 144 C) 240 D) 360 E) 480

50. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados de área 25 cada

uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

51. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ∆ABE es equilátero. ¿Qué parte del área del

cuadrado ABCD es el área de la región achurada?

A) 2 3 B) 6 3

C) 312

D) 3 34

E) 36

E

A B

D

C

A B

D C E

3

322

52. ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles ABCD de la figura, si DE = 3, AB = 12

y CD = 6? A) 21 B) 24 C) 18 + 4 2 D) 18 + 6 2 E) 24 + 6 2

53. La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la longitud de otro

lado. Si las longitudes de los tres lados son números enteros, ¿cuál es el mínimo perímetro posible del triángulo?

A) 25 B) 21 C) 13 D) 10 E) 5

54. En la figura, la región achurada es un cuadrado de área 3, y el ∆ABC es equilátero.

¿Cuál es el perímetro del ∆ABC?

A) 3 3 B) 6 3 C) 2 + 3 D) 3 + 6 3 E) 6 + 3 3

55. El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál es el área de otro

hexágono regular de lado a3

?

A) 12 cm2 B) 6 cm2 C) 3 cm2 D) 2 cm2 E) 1 cm2

A

D

B

C

E

A B

C

323

56. En la figura, ∆ADC ∼ ∆BDC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es

(son) verdadera(s)?

I) ∡ DCB = 2∡ABC

II) ∡ ADC = ∡ CDB III) CD AB⊥

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

57. En una caja A hay 5 ampolletas de 75 w y 3 de 100 w; en otra caja B hay 4

ampolletas de 100 w y 6 de 75 w. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una ampolleta al azar, de cada caja, ambas sean de 75 w?

A) 18

B) 3

16

C) 38

D) 12

E) 34

58. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12, ¿cuál es la media

aritmética de 2 y x?

A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

30º A D B

C

324

59. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál

es la probabilidad que sea impar y divisor de 18?

A) 340

B) 110

C) 320

D) 15

E) Ninguno de los valores anteriores 60. Si un matrimonio desea tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que salga, a lo

menos, una mujer?

A) 38

B) 14

C) 78

D) 12

E) 58

61. Si el promedio (media aritmética) de 3 enteros positivos y distintos es 4, ¿cuál es el

mayor valor posible para uno de esos enteros?

A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 12

62. Si al siguiente conjunto de datos: 7 – 10 – 9 – 3 – 7, se le agregan dos datos, su

mediana sería 9 y su moda sería 10. ¿Cuál sería su media?

A) 7 B) 8 C) 8,5 D) 9 E) 10

325

63. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que “chatea” un grupo

de 40 jóvenes. Luego, la moda es

A) 2 B) 3 C) 12,5 D) 15 E) 30

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes

para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

Nº de horas frecuencia

0 1 2 3 4 5

1 6 15 10 5 3

326

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el

enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en

efecto:

P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde

$ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2). 64. Se puede determinar el valor de A + B de la tabla de la figura, si:

(1) P y Q son inversamente proporcionales.

(2) A � B = 1

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. El sistema de ecuaciones 3x + 2y = 5

5x 3ky = 6− tiene solución única si:

(1) k ≠ -10

(2) k ≠ -109

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

D

P Q 4

0,5 B

A 40 100

327

66. En la ecuación y = mx + 3, donde m es una constante, se puede determinar que el

par (x, y) = (2,7) es solución de la ecuación si :

(1) (1, 4) es solución de la ecuación y = mx + 2.

(2) (5, 3) es solución de la ecuación 3y = mx – 1. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

67. En el ∆ABC de la figura, AB = 10. Se puede determinar que el ∆ABC es equilátero

si:

(1) AC = 10

(2) h = 5 3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

68. Se puede determinar el área del cuadrado ABCD de la figura si:

(1) Las coordenadas del punto A son (0,4).

(2) Los puntos D y B tienen coordenadas (4,8) y (4,0), respectivamente. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

C

A B

h

A

B

y

N

D

C

x

328

69. En la figura, L1 // L2. Se puede determinar el área del ∆ADC si:

(1) AD = 9

(2) BE AC⋅ = 24

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. Se puede determinar el valor de x si:

(1) El promedio (media aritmética) de x2, 6x y 3 es -2.

(2) 4x = 9 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A C C B D B C D D C E D C E D E A E A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A D C A E B A C D A D D E B C D B A E

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 E A E B D B D C B E B A D E D B A A E B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 C B A A B D E B B A

A C

B

E

D

L2

L1

329

ENSAYO Nº 3

1. =

++

+

222

2

22

2

53

)E

75

)D

21

)C

27

)B

72

)A

2. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma hora para dirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco demoró 7,02 minutos y Luis 7,2 minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Hugo llegó después que Luis. II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de diferencia en llegar al colegio. III) Francisco llegó primero. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Solo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se necesitan dos hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarán para construir una pared similar a la anterior en m horas de trabajo? A) 16m

B) 16m

C) m16

D) 5m E) 40m

330

4. El gráfico de la figura muestra el itinerario de un vehículo al ir y volver, en línea recta, a un determinado lugar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El vehículo recorrió en total 420 Km.

II) Al regreso viajó con una rapidez de 70 h

km

III) Entre t = 2 y t = 3 recorrió 120 Km. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 5. De un cargamento de porotos, k toneladas son de porotos negros, las cuales corresponden a un tercio del total. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) Los porotos no negros son 32

del total.

II) El %32

66 de los porotos no son negros.

III) El número de toneladas que no son porotos negros es dos veces el número de toneladas de porotos que son negros. A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) I, II, y III E) Ninguna de ellas 6. Si R = 4,3 � 10-5 y S = 2 � 10-5, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)? I) R + S = 6,3 � 10-5 II) R � S = 8,6 � 10-6 III) R – S = 2,3 A) Solo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III 7. Una orquesta sinfónica está compuesta por instrumentos de percusión, bronces y cuerdas. Si el 20% corresponde a instrumentos de percusión, los bronces son 12 y éstos son un cuarto de las cuerdas, ¿cuántos instrumentos tienen la orquesta? A) 15 B) 48 C) 60 D) 63

331

E) 75 8. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo reajustaron de acuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo del año 2008 será

A) $ 7,8 • 600.000

B) $ 0,78 • 600.000

C) $ 1,78 • 600.000

D) $ 1,078 • 600.000

E) $ 0,078 • 600.000 9. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos el proceso 10 veces, el lado del triángulo que se obtiene es

50021

)E

50021

)D

500101

)C

2500

10)B

20500

)A

9

10

•

•

•

•

10. Si la tasa de natalidad T de cierto país es inversamente proporcional a la densidad de población P y en un instante en que T= 0,1 se tiene que P = 0,4, entonces se cumple que

A) T = P04,0

B) T = 0,04 � P

C) T = 4P

D) T = 4P

E) T = P4,0

11. Si t = 2, entonces t22t

t 2 +− es igual a:

A) 15 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5

332

12. Si la expresión 5[3(4x – 1)] = 15, entonces 4x es igual a A) -2

B) -21

C) 21

D) 2 E) 4 13. ¿Cuál es el valor de (-x + 1)(x + 1) si 4 – 2x = 8? A) -5 B) -3 C) 1 D) 3 E) 5 14. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12. Entonces, siempre se cumple que: I) Uno de ellos es divisible por 4. II) El menor de los enteros es divisible por tres. III) El término central es divisible por 2. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

15. =

+•

+ ba

53

ba53

22

22

22

22

bab56

a53

)E

b2a106

)D

bab56

a259

)C

ba259

)B

ba53

)A

++

+

++

+

+

333

16. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene 500 monedas más que Pablo, entonces el dinero que posee cada uno, respectivamente, es A) $ 1.500 y $ 3.000 B) $ 1.000 y $ 2.000 C) $ 1.500 y $ 1.000 D) $ 10.000 y $ 15.000 E) $ 12.750 y $ 12.250 17. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el largo del rectángulo es Y metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es A) (4Y – 12) metros B) (2Y – 6) metros C) (2Y – 12) metros D) (4Y – 6) metros E) (4Y – 24) metros

18. Si m = x31

, n = x61

y p = x91

, entonces x – (m + n + p) es:

x1811x18

)D

x1811x7

)C

x187

)B

x1811x18

)A

2 −

−

−

E) Ninguna de las expresiones anteriores 19. =−+ )323)(233( A) 0 B) 15

C) 8 5

D) 9 5 E) 21

20. El número 243 es equivalente a

A) 8)3( B) 3 C) 38 D) 312 E) ninguna de las anteriores

334

21. Si 4-x + 4x = U, entonces 2x + 2-x es igual a A) 2U B) U2

C) U

D) 2 + U

E) 2U + 22. En la figura, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del trapecio es 3x – y.

II) El área del trapecio es 4

3)xy( 2−.

III) El trapecio es isósceles. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 23. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es igual a 200. Si y es un entero par, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la ecuación que soluciona el problema? A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4) B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2 C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2 D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2 E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)2 24. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones 4(x + 3) < 4 15 - 2x ≥ 5 es A) ]-∞, -2] B) ]-∞, -2[ C) ]-2, 5[ D) ]2, 5[ E) [5, +∞[

335

25. Para que la expresión 1

BABA

1BABA

++−

−+−

sea negativa, se debe cumplir necesariamente que

A) A > 0 B) B < 0 C) AB > 0 D) A < 0 E) AB < 0

26. Dado el sistema

−=−

+=+

b2a5yx

b2a5yx , el valor de y es

A) 0 B) 2b C) 4b D) 5a E) 10a 27. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m3 y un cargo fijo de $ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3 consumidos mensualmente, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo mensual C(x)? A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100 B) C(x) = 1.980x + 1.100 C) C(x) = 3.080x D) C(x) = 1.100x + 1.980 E) C(x) = x + 3.380 28. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación y + 3 = y2 + 3 es A) {0, 1} B) {0, -1} C) {0} D) {1} E) ninguno de los anteriores 29. ¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es - 4? I) 1 = x3 � 81

II) x3 = 1 3331 −•

III) 21x 9)3( =− A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III

336

30. Dada la función 2

x1)x(f

−= , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) f(0) = f(1) II) f(-2) = 3 f(0) III) f(3) = f(-1) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 31. Si f(x) = log3x , entonces f(27) – f(3) es A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 9 32. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, entonces f(x) es igual a A) x2 + 2x – 2 B) x2 + 2x – 4 C) x2 – 2 D) x2 – 4 E) (x + 3)(x – 1) 33. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = x2 − ?

337

34. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 35. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa semestral del i% de interés compuesto n veces al semestre, obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el

cual está dado por: nt

oF n100i

1CC

+= Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de interés

compuesto bimestral, al término de 1 año se tendrá A) $ 25.000 (1,06)6 B) $ 25.000 (1,02)6 C) $ 25.000 (1,06)12 D) $ 25.000 (1,02)12 E) $ 25.000 (1,12)6 36. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) La pendiente del segmento AB es creciente. II) La pendiente del segmento BC se indetermina. III) La pendiente del segmento CD es nula. IV) La pendiente del segmento DE es decreciente. A) Sólo I y III B) Sólo II y III C) Sólo I, II y IV D) Sólo II, III y IV E) I, II, III y IV

338

37. En la figura, el cuadrado ABCD tiene lado 2. Si F es el punto de intersección de las diagonales del cuadrado OMCN y se gira toda la figura en 180º en el sentido de la flecha y en torno al punto O, el punto F queda en las coordenadas

−−

−

21

,21

)E

21

,21

)D

21

,0)C

0,21

)B

21

,21

)A

38. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y D(1,3) se le aplica una traslación paralela al eje x en dos unidades a la derecha, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en tres unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3). II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0). III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0). A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 39. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados iguales es A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 40. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de Q con respecto al eje X? A) (5 , 3) B) (3 , 5) C) (-3 ,5) D) (3 ,-5) E) (-5 ,-3)

339

41. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha dibujado el pentágono EFGHD. Si K es el punto de intersección de DB con FG , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área del pentágono es 64.

II) ∆ AEF ≅ ∆ CGH III) BK = KF A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 42. En la figura, el ∆ ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y de radio 32 . Si los arcos AB, BC y CA son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ADC ≅ ∆BDC II) AD = 3

III) ∡ DCB = 30º A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II, III 43. El ∆ ABO es isósceles y rectángulo en O. La circunferencia de centro O y radio r intersecta a los lados del triángulo en D, E y F como lo muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ ABD ≅ ∆ ADO

II) ∆ ABE ≅ ∆ BAD

III) ∆ ADO ≅ ∆ BEO A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 44. En la figura, el rectángulo se ha dividido en 8 cuadrados congruentes entre sí, y cada cuadrado tiene un perímetro de 8 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo mayor? A) 12 cm B) 18 cm C) 24 cm D) 48 cm E) Ninguno de los anteriores

340

45. En la semicircunferencia de centro O de la figura, DB = 6 y DE = 8. El diámetro de la circunferencia es A) 8

B) 3

50

C) 3

25

D) 3

19

E) Faltan datos para determinarlo 46. En la figura, N es punto medio del segmento OP y el segmento MN triplica al segmento MP. El segmento MN es al segmento OP como A) 3 : 8 B) 3 : 7 C) 3 : 6 D) 3 : 5 E) 3 : 4 47. En la figura, L1 // L2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

bc

aax

)III

bbc

ax

)II

ba

cx

)I

=+

−=

=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III 48. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes entre sí?

A) Sólo I y II B) Solo II y III C) Sólo III y IV D) Sólo I, II y IV E) I, II, III y IV

341

49. La figura representa un poste perpendicular a la tierra que sobresale 2 metros y un edificio. Las sombras del poste y del edificio miden 80 centímetros y 14 metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio? A) 98 metros B) 46 metros C) 35 metros D) 22,4 metros E) 11,4 metros 50. En la circunferencia de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ AED ∼ ∆ CEB

II) ∆ AEC ∼ ∆ DEB

III) ∆ BCA ∼ ∆ DAC A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

51. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de radio r y ∡ PQR = 15º. La longitud del arco QP es

24r

)E

12r

)D

9r

)C

6r

)B

3r

)A

π

π

π

π

π

52. En la circunferencia de la figura, ε = 60º. Si β – α = 16º, entonces el valor del ángulo α es A) 44º B) 37º C) 22º D) 38º E) Imposible de determinar

342

53. En la figura, se muestra un cubo de arista a. El ∆ BEG es A) Rectángulo en B B) rectángulo en E C) isósceles rectángulo D) isósceles no equilátero E) equilátero 54. Respecto del triangulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es falsa? A) sen α = cos β

B) sen β =cb

C) tg β = ab

D) tg α + tg β = bc

ac•

E) sen α + sen β = c

ab

55. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de igual radio, una encima de la otra como se muestra en la figura. Si la altura del prisma es h, entonces el volumen de una esfera es

π

π

π

π

π

3

3

3

3

3

h)E3

h)D

4h

)C

24h

)B

48h

)A

343

56. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las seis ocasiones ha salido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente giro, salga un 6?

A)51

B) 101

C) 61

D) 21

E) 107

57. Una canasta contiene cuatro tipos de frutas: A, B, C y D. Si la probabilidad de escoger

una fruta del tipo A es 41

, ¿cuál es la probabilidad de extraer una fruta que no sea del tipo

A?

A) 41

B) 21

C) 43

D) 1 E) No se puede determinar 58. Un club de baile tiene 100 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorías A (Avanzados) y B (Novatos). Se sabe que 22 hombres bailan en B, 18 hombres en A y 25 mujeres en B. Si se elige al azar un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y baile en la categoría A?

A) 41

B) 53

C) 127

D) 207

E) 351

137

•

344

59. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los dos dados, que tiene menor probabilidad de salir? A) Tanto el 2 como el 12 B) Sólo el 6 C) Solo el 2 D) Sólo el 12 E) Tanto el 1 como el 6 60. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros y 2 rojos, el segundo 4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12 rojos. Si se saca al azar un lápiz de cada estuche, la probabilidad de que los tres lápices sean rojos es

408

)E

98

)D

58

)C

4524

)B

458

)A

61. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y 30 metros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 20. II) La moda es igual a la mediana. III) La media aritmética es menor que la mediana. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

345

62. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que tienen las familias de un condominio. La fórmula correcta que permite determinar el número promedio de hijos por familia para este condominio es

zyxdcba

)E

dcba

dzcybx)D

dcb

dzcybx)C

dcba

zyx)B

4

zyx)A

++++++++

++++

+++++

++

++

63. El gráfico de la figura, representa la distribución de tiempos registrados en una carrera. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 50% de los participantes marcaron 180 segundos. II) 60 participantes registraron más de 120 segundos.

III) 103

de los participantes registraron 120 segundos.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

64. En la figura, se puede determinar el valor del ∡ δ si se sabe que: (1) ABCD es un cuadrado y α = 70º. (2) El ∆ AEF es equilátero. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 65. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar un trabajo, si: (1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2. (2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

346

66. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la cuarta parte de los puntos de Hernán. Se puede determinar el número de puntos que tiene Hernán si: (1) Se conoce el total de los puntos. (2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere la información adicional. 67. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil. Se puede determinar el valor de x si: (1) La moda es 3 años. (2) El promedio es 4,3 años. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola,(1) ó (2) E) Se requiere información adicional 68. Una terraza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma rectángulos de lados 10 cm y 20 cm. (2) Se dispone de baldosas con forma de hexágonos regulares. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 69. Sea m : n = 3 : 5. Se puede determinar los valores numéricos de m y n si : (1) 3m : p = 18 : 7 y p = 21 (2) m + n = 16 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas junta, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

347

70. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión rqr1

p)2p(

2pp

••+−

•−

se

puede determinar si: (1) q = 8 (2) r = 2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas junta, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D E C B E A E D D A C D B C C D A D B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E C C B C B B A E B A D D A B B D E B E 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 E E D C B A E E C C B C E E A B C D A A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 E D D C B A B A D A

348

ENSAYO Nº 4

1. 30 – 25

� 10 + 16: (-0,5)-1 =

A) 117 B) 13 C) -3 D) -10,5 E) -18

2. El opuesto de - α

1es el recíproco de

A) 0

B) - α

1

C) α

1

D) -α E) α 3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál sería el mínimo número de globos que faltarían para que todos sus alumnos quedaran con igual número de globos? A) 10 B) 15 C) 25 D) 35 E) 40 4. Al elevarse al cubo 2 se obtiene un número A) entero B) racional C) irracional D) no real E) racional no entero

5. Si A = 12

3

107,11018,0100051,03600

−−

−

•••

•• , entonces A, escrito en notación científica, es

A) 0,06 B) 0,6 C) 6 � 10 D) 60 E) 0,6 � 102

349

6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el pedazo más largo mide 180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser cortada? A) 324 cm B) 360 cm C) 540 cm D) 900 cm E) No se puede determinar

7. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las siguientes: “por cada 21

taza de leche agregar 421

tazas de agua”. Si se siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas

de agua se deben agregar a 43

taza de leche?

7)E

6)D81

7)C

21

6)B

43

6)A

8. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo? A) 7 horas B) 31,5 horas C) 16 horas D) 14 horas E) 28 horas 9. Si el 15% de un número es 30, entonces el 30% del número es A) 45 B) 60 C) 75 D) 100 E) 120

350

10. ¿Qué porcentaje de 4 es 32

de 8?

A) 25%

B) 6632

%

C) 120%

D) 13331

%

E) 150% 11. En una prueba PSU, Donoso y Novoa contestaron todas las preguntas. Si Donoso contestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Novoa contestó en forma correcta el 15% del total de incorrectas contestadas por Donoso, ¿qué fracción de las preguntas de la prueba contestó en forma correcta Novoa?

1003

)E

207

)D

203

)C

201

)B

253

)A

12. Dada la siguiente tabla: Si x es inversamente proporcional a y2, entonces P � Q = A) 576 B) 144 C) 48 D) 12 E) 4 13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de interés compuesto anual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento de su capital?

351

14. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción 32

para que la nueva fracción

sea igual a 0,25? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 15. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y), el segundo 3y. ¿Cuánto costó el tercero? A) 3y – 4x B) 4x – 3y C) 5x – 3y D) 6x – 4y E) 6x – 3y

16. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces c)ba(bac

+++−

=

A) 9 B) 0,9 C) 0 D) -0,9 E) -9 17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación para cada par de números (x, y) en la tabla adjunta? A) y = x + 5 B) y = 2x + 3 C) y = 2x + 5 D) y = 3x – 1 E) y = 3x + 1 18. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8 unidades mayor que el cuádruplo del número menor. ¿Cuál es el producto de estos números? A) 24 B) 12 C) 8 D) 0 E) -8

352

19. Si x = 21

1

−, entonces x + 1 es igual a

A) 2 + 1 B) 2 – 1 C) - 2 D) 0 E) 1 20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto al gráfico de la figura? I) L1 tiene pendiente nula. II) L2 tiene pendiente positiva. III) L3 carece de pendiente. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 21. Si A = 25,0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A2 > A II) (-A)2 > -A III) (-A)3 > -A A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

22. Al dividir 32

32

32 baba

porba1

−− se obtiene

A) a2b3 B) a4b6

C) 32 ba

1

D) 64ba

1

E) 96 ba

1

353

23. En la figura, ¿a cuál de las siguientes rectas corresponde la ecuación y = -2x + 1? A) L1 B) L2 C) L3 D) L4 E) L5

24. Al despejar x en la ecuación a

2x4 −= 3 se obtiene

A) x = 24a

B) x = 2

4a3 +

C) x = 2

3a4 +

D) x =2a3

4+

E) x =4

2a3 +

25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2x

x44x

−

−+si x > 4?

A) x + x

B) x – 2

C) x + 2

D) 2 x

E) x

26. Si a – b = 4 y a � b = 2, entonces el valor de 2

b1

a1

− es

A) 2(a – b) B) 2(b – a) C) 2b – a D) -4 E) 4 27. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el punto A(-3, 0), entonces su ecuación general es A) x – y – 3 = 0 B) x – y + 3 = 0 C) x + y – 3 = 0 D) x + y + 1 = 2 E) x + y + 3 = 0

354

28. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual al radio del círculo? A) k B) k( 2 + 1) C) k( 2 – 1) D) k(2 – 2 ) E) 2k

29. Si A = n1

m1

+ , entonces A1

=

A) m + n B) mn

C) nm

mn+

D) mn

nm +

E) mn

1

30. El punto (p, 16) pertenece a la función f(x) = 2x, si p = A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 31. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos momentos marca las 5 con 2 minutos y se sabe que hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora que debería marcar correctamente es: las cuatro con A) 28 minutos B) 30 minutos C) 32 minutos D) 48 minutos E) 52 minutos 32. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales. ¿Para qué valor de x se verifica que f(x) � g(x) = f(g(x))? A) 1 B) -1 C) 0 D) 2 E) -2

355

33. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor el gráfico de la figura? A) y = -x2 B) y = -x2 – 2 C) y = -2x2 D) y = 2 – 2x2 E) y = 2 – x2

34. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función f(x) = 9x

12 −

?

A) [3, +∞[ B) ]3, +∞[ C) ]-3, +∞[ D) [-3, 3] E) ]-∞, 3[

35. n

2n4n

555 ++ −

=

A) 10 B) 25 C) 500 D) 600 E) 625 36. El valor de x en la igualdad 2x + 1 + 2x + 2 = 3 es A) 2 B) 3 C) 4 D) -1 E) -2

37. =3,0log3

A) 21

B) 31

C) - 31

D) -21

E) -2

356

38. Si ab > 1, entonces 3log

9log

ab

ab =

A) logab 3 B) logab6 C) 2 D) 3 E) Depende de los valores de a y b 39. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β son complementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) El ∆ ABC es rectángulo.

II) ∡ ABC = ∡ CBD

III) BC es bisectriz del ∡ ABD. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 40. El cuadrado de la figura, está formado por 4 rectángulos congruentes. Si el perímetro de uno de los rectángulos es igual a 20 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del cuadrado es igual a 32 cm. II) La mitad del cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. III) El área de uno de los rectángulos es igual a 8 cm2. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III 41. El cuadrilátero de la figura es un rombo. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) ∡ABD ≅ ∡CDB II) CEBCDEAD +=+ III) DEBE ≅ A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

357

42. En la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia de centro O. Si

Arco AB = 50º, entonces (∡ x + ∡ y) es igual A) 25º B) 30º C) 50º D) 75º E) 100º 43. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada uno. Si DAFD ⊥ , entonces BF = A) 8 cm B) 10 cm C) 5 2 cm D) 10 2 cm E) 10 3 cm 44. ¿Cuál(es) de las figuras tiene(n) centro de simetría? I) Rombo. II) Triángulo equilátero. III) Hexágono regular. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 45. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si a la recta se le realiza una rotación de 180º en sentido antihorario con respecto al origen (0, 0), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta que se obtuvo? A) (0, -4) B) (0, -3) C) (-4, -3) D) (-3, -4) E) (-5, 0) 46. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el área del círculo es 100 π , ¿cuál es el área del hexágono? A) 600 B) 300 C) 200 2 D) 200 3

E) 120 3

358

47. En el rectángulo ABCD, EDAE ⊥ , AB = 6 cm y CE = 3 cm. ¿En qué razón están las longitudes de BCyEC , respectivamente?

A) 1 : 5 B) 1 : 4 C) 2 : 5 D) 1 : 6 E) 1 : 3 48. Con los datos de la figura, la expresión sen α + cos α es igual a

A) y

1x +

B) y

yx +

C) 1x

y

+

D) 1x

y

−

E) x

yx +

49. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?

A) Sólo I con II B) Sólo I con III C) Sólo II con III D) Todos son semejantes entre sí E) No son semejantes entre sí 50. El triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C. ¿Cuál es la medida de la altura h si a = 4 y b = 3?

12)E

6)D5

16)C

512

)B

59

)A

359

51. En la figura, Arco BCA es una semicircunferencia de centro O. Si ABCD ⊥ , DOAD = ,

∡ AOC = 60º y 34CD = , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) DB = 12 II) AD = 4 III) BC = 192 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 52. AB es diámetro de la circunferencia. Si CDAB ⊥ , 6CE = y 2AE = , ¿cuál es la longitud de la circunferencia? A) 20 π B) 18 π C) 10 π D) 9 π E) 6 π 53. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con respecto al triángulo rectángulo de la figura? I) a2 + b2 = 2h2 II) a � b = h2

III) 222 b

1a1

h1

+=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III 54. En el ∆ ABC de lados 10, 12 y 20 de la figura, el segmento AD mide A) 3 B) 5 C) 12 D) 15 E) 20

360

55. En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide el trazo que une los centros de gravedad de ambos cuadrados? A) 2 B) 2 5

C) 2 3

D) 2 2 E) 4

56. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de un 40%. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca? A) 60% B) 50% C) 40% D) 30% E) No se puede determinar 57. Dada la palabra GEOMETRÍA, ¿cuál es la probabilidad de sacar una vocal?

92

)E

31

)D

94

)C

95

)B

32

)A

361

58. En una pirinola de 8 caras, en cada una de ellas se puede leer una de las siguientes frases: − Toma uno. − Toma dos. − Toma tres. − Toma todo. − Pone uno. − Pone dos. − Pone tres. − Todos ponen. Si se lanza la pirinola, con respecto a la cara que muestre (cara superior), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad que salga “Toma todo” es de un 12,5%. II) Es igualmente probable “Tomar” que “Poner”. III) La probabilidad de “Tomar más de uno” es de un 37,5%. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 59. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál de las siguientes alternativas se indica una acción que una vez realizada permita que al extraer una bolita al azar de la caja, la probabilidad de que ésta sea blanca corresponda a un 50%? A) Agregar a la caja una bolita verde B) Sacar de la caja una bolita verde y una blanca C) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancas D) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blanca E) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas 60. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan a lo menos 3 sellos?

1611

)E

85

)D

165

)C

41

)B

161

)A

362

61. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un curso en la prueba de matemática. En relación a la distribución de las notas, es verdadero que A) 6 alumnos dieron la prueba. B) hay más mujeres que hombres. C) las mujeres sacaron mejores notas. D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los que obtuvieron nota 7. E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.

62. Se entrevistaron a 100 fumadores consultándoles por la cantidad de cigarrillos que fuman diariamente. Sobre la base de la tabla siguiente que resume esta información: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 35. II) La media aritmética es 19,6. III) La mediana es 25. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 63. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al resultado de una prueba de biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) La moda es 5. II) La mediana es menor que la moda. III) El promedio es mayor que la mediana. A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

363

Evaluación de Suficiencia de Datos 64. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero desconocido tal que 3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se sabe que: (1) El MCD entre los tres es 1. (2) x no es primo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional 65. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple mensual x. Se puede conocer el valor de x si: (1) Don Humberto depositó $ 500.000. (2) En un trimestre ganó $ 9.600. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

66. En el siguiente sistema:

−=−

+=+

b5ayx3

b3ayx , se puede determinar el valor numérico de y

si: (1) a = 4 ; b = 1 (2) a + 3b = 7 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 67. En el triángulo ABC de la figura, se puede conocer el valor de sen α si:

(1) ∡ ABC = 90º (2) AB = 3, BC = 4, AC = 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

364

68. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede determinar la medida del lado del cuadrado A si: (1) Se conoce el perímetro del cuadrado C. (2) Se conoce el área del cuadrado B. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 69. En la figura, BC es tangente en C a la circunferencia de centro O. Se puede determinar la longitud del radio de la circunferencia si: (1) Se conoce la medida de BD . (2) Se conocen las medidas de AByBC .

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 70. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es 0,6. Se puede determinar el número de varones que hay en el curso si: (1) En el curso hay 40 alumnos. (2) En el curso hay 24 mujeres. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2). D) Cada una por sí sola (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C E A C C A A D B D E D E D B A E A C B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D E B E B E B B C A B A C B D D E C A A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B C E D B D A A D B E A C D D A B E C C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 E C E C C A B C B D

365

ENSAYO Nº 5 INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15 minutos para responderla. 2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD. 1. Si m es un número positivo y el cuadrado de 2m es 16, entonces el doble de 2m es A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16 2. ¿Cuál es el valor de 32 + 33? A) 15 B) 18 C) 36 D) 243 E) 729 3. Si m es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) número(s) real(es) positivo(s)? I) m2 II) -m III) m3 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la primera página de la hoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para completar la novela? A) 61 B) 62 C) 142 D) 143 E) 224

366

5. La cifra de las unidades de 699 es A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) No se puede calcular 6. r es directamente proporcional a t y r = 54 cuando t = 9. ¿Cuál es el valor de r si t = 6? A) 20 B) 18 C) 15 D) 30 E) 36 7. Se compra un electrodoméstico al crédito pagándose por él, en total, la suma de $ 187.000, incluido un interés del 10%. ¿Cuánto se habría ahorrado al cancelar al contado? A) $ 1.700 B) $ 1.870 C) $ 17.000 D) $ 18.700 E) $ 170.000 8. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho fósforos también. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede construir un cuadrado? A) 94 fósforos B) 63 fósforos C) 132 fósforos D) 154 fósforos E) 190 fósforos

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES 9. El 0,1% de 100x es igual a 0,1. Entonces, el valor de x es A) 0,0001 B) 0,01 C) 1 D) 10 E) 100 10. 2x - [3x -(3x - 2) - (4 - 5x)] = A) 2 - 3x B) 6 - 3x C) 7x - 6 D) 7x - 6 E) Ninguna de las anteriores

367

11. (5a - 5b)2 =? A) 25a - 25b B) 10a - 10b C) 25a - 25b - 10(a + b) D) 25(a - b) – 2 • 5(a + b) E) 25a + 25b – 2 • 5(a + b) 12. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá dentro de (2a + 3) años? A) 6a años B) 2a + 6 años C) 4a + 4 años D) 6a + 6 años E) 6a + 12 años

13. El valor de la expresión xy

4x +cuando y = 4 es:

x44x

)E

x1x

)D

44x

)C

45

)B

1)A

+

+

+

14. Se definen las operaciones: a S b = a + b y a R b = a + (-b). ¿Cuál es el resultado de (2 S 3) R (3 R 2)? A) 0 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 15. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que Rosa. Si Rosa y Daniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea es A) 6 años B) 7 años C) 8 años D) 9 años E) 10 años

368

16. En un canasto hay n naranjas, 12 plátanos y 8 manzanas. Si se sacan 5 naranjas, p plátanos y se agregan m manzanas, ¿cuánta fruta contiene el canasto? A) n - p + m + 15 B) m - p + 15 C) n - p - m + 15 D) n - p + m + 25 E) n - p - m + 25 17. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros para llenarse. ¿Cuál es el doble de la capacidad del jarrón? A) R - q B) 2p - q C) 2R + 2q D) 2R - 2q E) 2p - 2q 18. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan $ 3b. ¿Cuánto cuestan 3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos? A) 2a + 3b B) 6a + 12b C) 2a + 12b

D) 12

b9a8 +

E) 12

b27a8 +

19. 22 )1x2( −− =?

2

2

22

22

2

x5)E

x4)D

1xx3)C

1x4x3)B

1x2)A

−

−

−−+

−−+

−−

20. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una docena y media de bebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces ¿cuánto cuestan 5 envases? A) $ 75 B) $ 125 C) $ 150 D) $ 200 E) $ 250

369

21. Una persona asiste a un casino con $ p, apuesta $ r en la ruleta y gana $ g. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) p = r - g II) Después de ganar, tiene $ (p + r + g).

III) p ≥ r A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III 22. La figura muestra 2 cuadrados congruentes construidos con un alambre de largo x. ¿Cuál es la superficie total de la figura?

64x

)E

32x

)D

16x

)C

2x

)B

x)A

2

2

2

2

2

23. El perímetro de un rectángulo es igual a q y la suma de los valores recíprocos del

ancho y del largo es igual a r1

El área del rectángulo es:

rq

)E

rq2

)D

r2q

)C

2qr

)B

qr)A

370

24. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante una semana. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que:

I) La mayor variación diaria en el consumo ocurrió entre viernes y sábado. II) Entre viernes y sábado se produjo una variación del 50%. III) Entre lunes y martes la familia no consumió pan. A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) II y III E) I, II y III 25. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la función f(x) =

1x2 − ? [ [] [] ] [ [] ] [ [[ ]1,1)E

,11,)D

,11,)C

,1)B

,1)A

−

∞∩−∞−

∞∪−∞−

∞

∞

26. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces se cumple una de las siguientes alternativas: A) son perpendiculares B) son paralelas C) son coincidentes D) se intersectan en (2,1) E) el punto (2,4) pertenece a L1

371

27. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función f(x) = [x] + 1?

28. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura? A) x + y + 1 = 0 B) x - y - 1 = 0 C) x + y - 1 = 0 D) -x + y + 1 = 0 E) Ninguna de las anteriores 29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) 532 =+

II) 72 + es un número irracional III) 182 • es un número irracional A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) II y III

30. Si a = 21 − y b = 12 + entonces ?b

ba +

)12(2)E

2)D

3

2)C

12)B

21)A

−

−

−

372

31. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x • (-2)x equivale a: A) 22x B) (-3)x C) (-3)2x D) 2-2x

E) 2x 32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) log 0,1100 = 3

II) log 10 = 2 III) Si log x 25 = -2, entonces x = 0,2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 33. De la función de segundo grado representada en el gráfico de la figura, podemos deducir que la ecuación de segundo grado asociada a ella: A) tiene una solución real. B) tiene una solución imaginaria. C) tiene dos soluciones imaginarias. D) tiene dos soluciones reales. E) una de las soluciones es x = 2. 34. ¿Cuál es el mayor valor de 1xy += si x es raíz de ?08x9x 2 =+−

A) 1 B) 2 C) 3 D) 8 E) 0

373

35. Un depósito de $ m se reajusta todos los meses en un p%. ¿Cuál es el monto acumulado después de t meses?

100mp

)E

100mpt

)D

100pt

m)C

100p

1m)B

100p

1mt)A

t

t

+

+

+

III. GEOMETRÍA

36. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∡ AED ≅ ∡ CDE

II) AD ≅AC

III) AD ≅ CE A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 37. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto del eje de las abscisas?

374

38. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene coordenadas (-3, 1). II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda en el tercer cuadrante. III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el punto (1, 3). A) Sólo I B) Sólo III C) I y III D) II y III E) I, II, III 39. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus coordenadas cambian a (m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector traslación aplicado? A) (m, n) B) (m + 3, n + 4) C) (3, 4) D) (-3,-4) E) (4, 3) 40. Si el perímetro de un cuadrado es 72 cm, ¿cuál(es) de las siguientes conclusiones es(son) falsa(s)? I) Su área es 324 cm2

II) Su lado mide 18 cm III) El doble de su perímetro equivale a la mitad de su área. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo III D) I, II y III E) Ninguna

41. ∆ ACD isósceles con ADAC = y K ∆ BDE rectángulo. El ∡ x mide A) 10º B) 15º C) 25º D) 30º E) 50º

375

42. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos congruentes cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm? A) 30 cm B) 40 cm C) 48 cm D) 60 cm E) 80 cm 43. En la figura, ABCD es un cuadrado y E es punto medio de AB . Si el área achurada es t 2, el lado del cuadrado mide A) t B) 2t

C) t

D) t2 E) No se puede calcular 44. En la figura, ADACAB == = 13 cm. Si CE = 1 cm, ¿cuánto mide BD ? A) 5 cm B) 10 cm

C) 10 3 cm D) 11,5 cm E) 12 cm 45. En la figura, ABCD y BEFG son cuadrados; BC = 4 cm; E es punto medio de CD . ¿Cuánto mide la superficie achurada? A) 16 cm2 B) 20 cm2 C) 28 cm2 D) 32 cm2 E) 36 cm2

376

46. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡ AOB = 125º y ∡ COB = 100º. ¿Cuál es la

medida del ∡ ABC? A) 55º B) 67,5º C) 112,5º D) 135º E) 225º 47. Un trazo AB queda dividido en sección áurea por un punto P si se cumple que

PB:APAP:AB = , con PBAP > . ¿Cuál(es) de los siguientes trazos está(n) divido(s) en sección áurea?

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) I, II y III 48. Si en la figura CD//AB , entonces x + y =

cm71

27)D

cm141

27)C

cm151

27)B

cm27)A

E) Ninguna de las anteriores 49. En la circunferencia de la figura, O es el centro, AD es diámetro y DC es tangente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ ABD ~ ∆ DBC

II) ∆ ABD ~ ∆ ADC

III) ∆ DBC ~ ∆ ADC A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) I, II y III

377

50. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con los datos de la figura? I) a2 - p2 = b2 - q2 II) a2 + b2 = (p + q)2 III) h2 = (c - p)(c - q) A) Sólo I y II B) Sólo II y III C) Sólo I y III D) Todas E) Ninguna

51. Si 43

tg =α entonces αα cossen + =?

5,0)D

1)C57

)B

7)A

E) No se puede determinar 52. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma posada en el extremo superior de éste con un ángulo de elevación de 50º. ¿Qué distancia separa a la gata de la paloma?

º50cos4)E4

º50cos)D

º50cos4

)C

º50tg4)B

º50tg4

)A

•

•

53. Si asumimos que la Tierra es geométricamente esférica y de un radio aproximado de 6.400 Km, ¿cuál es su superficie, expresada en notación científica? A) 1,1 × 1012 Km2 B) 2,6 × 108 Km2 C) 4,1 × 107 Km2 D) 5,1 × 108 Km2 E) 6,4 × 108 Km2

378

54. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro? A) 2 + 2 5

B) 4 5

C) 2 5 D) 12 E) 8

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 55. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número primo de entre los primeros 25 números naturales, éste sea par?

121

)E

91

)D

259

)C

2512

)B

251

)A

56. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan un 1 y un 2?

361

)E

181

)D

91

)C

31

)B

21

)A

57. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer una bolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son rojas? A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 4

379

58. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón de 5: 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólo hay rubios y morenos en el curso?

32

)E

71

)D

72

)C

61

)B

52

)A

59. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las pintas sea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo?

92

)D

91

)C

1081

)B

811

)A

E) Ninguna de las anteriores 60. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5 de color blanco, 2 de color negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del conjunto de poleras? A) 2 B) 5 C) blanco D) rojo y negro E) amarillo 61. La tabla muestra las estaturas de un grupo de 20 niños de un colegio, agrupadas en intervalos, donde Xi es la marca de clase, fi es la frecuencia y Fi es la frecuencia acumulada. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa los valores correctos de p y q, respectivamente? A) 1,14 y 13 B) 1,15 y 13 C) 1,15 y 17 D) 1,16 y 13 E) 1,16 y 17

Estatura [m] Xi fi Fi 1,10 – 1,12 4 1,12 – 1,14 6 1,14 - 1,16 p 7 q 1,16 – 1,18 3

380

62. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5 , 5,5 y 4,0, cuyo promedio se pondera en un 60% para obtener la nota final. Si la nota mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberá sacarse como mínimo en la última evaluación, para aprobar el curso? A) 5,0 B) 4,0 C) 3,5 D) 2,0 E) 1,0 63. En un curso de Matemática de 32 alumnos, se registró la siguiente asistencia durante 2 meses: 24, 20, 25, 21, 23, 25, 28, 25, 30, 18, 15, 20, 18, 25, 23, 26. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son verdadera(s)? I) La moda es menor que la mediana y que la media II) La media es menor que la moda y la mediana III) La media es mayor que la mediana A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de las anteriores

381

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente; D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 64. a y b son números enteros distintos de cero. ab es negativo si: (1) a < 0

(2) 0ba

<

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 65. Si a es el 10% de b, entonces b =? (1) a es el 50% de c ; c = 18 (2) c = 2a: a + c = 27 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 66. x2 = x si: (1) x = 0 (2) 2x = 2 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

382

67. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del ∆ DFG si: (1) E y F son puntos medios (2) HBGHDG == A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 68. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD de la figura?

(1) AECGCF;AB21

AE ===

(2) El área achurada mide 23 cm2. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 69. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una caja de cartón? (1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo (2) El alto de la caja es la mitad del ancho A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 70. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el origen si: (1) su pendiente es 1,5. (2) pasa por el punto (2; 3) A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

383

HOJA DE RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C B D C E C C C A E D E B A A E E B B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D B B C A C C B E E C D C B D C C B C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B A B B D B A C E D B C D A D D A C B C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 C D B B D D D C C D

384

ENSAYO Nº 6

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD. 1. En un curso de 28 alumnos, 21 asistieron a clases. ¿Qué porcentaje faltó? A) 75% B) 25% C) 7% D) 0,75% E) 0,25%

2. ?2

621

3

=−−

A) 0 B) -1 C) -2 D) -6 E) 4 3. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc cada una. “A” bebe

los 107

de su lata, “B” toma los 54

y “C” toma los 43

. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A bebió más que B. II) C bebió más que B. III) A bebió menos que C. A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) I y III E) I, II y III 4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de claveles, ¿cuántas plantas de claveles hay en el huerto? A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) 40

385

5. En la secuencia siguiente, con cuatro palitos se forma un rombo y al agregar 3, se forma un nuevo rombo.

¿Cuántos rombos se pueden formar con 169 palitos? A) 56 B) 57 C) 59 D) 60 E) 63 6. Un artículo de ferretería se vende en $ 16.000, luego de aplicarle un 20% de descuento. ¿Cuál era el precio del artículo antes de aplicarle el descuento? A) $ 12.800 B) $ 19.200 C) $ 20.000 D) $ 21.600 E) $ 28.000 7. d dulces cuestan $ p. ¿Cuántos dulces puedo comprar con $ x?

xdp

)E

dxp

)D

pxd

)C

pdx

)B

xpd

)A

8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que hay el la caldera de una industria durante 5 horas de funcionamiento. ¿Cuál de las siguientes alternativas entrega la mayor información correcta que se puede obtener del gráfico? Se agregó agua: A) 4 veces en 5 horas. B) cada 1 hora, 100 litros cada vez. C) cada 1 hora, 200 litros cada vez. D) 5 veces, 200 litros cada vez E) cada vez que la caldera tenía menos de 250 litros.

386

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES 9. x es el lado de un triángulo equilátero. Si el lado se aumenta en y unidades, entonces el perímetro resultante es: A) x + y B) 3x + y C) 3x + 3y

D) 2

)yx( 2+

E) 2

xy

10. La solución de la ecuación: 2x - 4 = 6 es A) -1 B) 1 C) 5 D) 7 E) 8 11. (-2m2)3 = ? A) -6m6 B) -6m2 C) -8m6 D) -8m2 E) -2m6

12. ?aa

5.

2

=

7

52

52

3

7

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

−

−

−

13. Si 2x = , entonces x + x2 =? A) 4 B) 6 C) 2 + 2 D) 12 E) 20

387

14. Al simplificar la expresión 3

63 +resulta:

3)E

233)D

21)C

2)B

6)A

+

+

15. Al simplificar la expresión 2p1p

−

+ con p ≠ 2, se obtiene:

1)D

1)C21

)B

2)A

−

−

−

E) No se puede simplificar 16. Si se desarrolla la expresión (x - y)2 como x2 + y2 se está cometiendo un error. El error consiste en I) el exponente del primer término II) el signo del segundo término III) que falta el doble producto de x = (-y) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III 17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación 0,01x = 3,14?

22

2

1031410x)E100314

x01,0)D

14,310x)C

x01,0)B

14,3x100

1)A

−−

−

•=•

=

=•

=

=

π

18. Si x = 3 es una solución de la ecuación 3x + 5 = x + k, entonces el valor de k es: A) 5 B) -5 C) 8 D) 11 E) 17

388

19. Pedro (P) tiene el doble de la edad de José (J) y hace 3 años era el triple. ¿En cuál de las alternativas se plantea el sistema que permite calcular las edades de Pedro y José?

20. (m + n)2 - 2n(m + n) = ? A) (m + n)(m - n) B) m2 - 2n2 C) m2 - n2 - n D) m2 - n2 - 2mn E) (m - n)2 21. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está dada por la relación v2 = v 2

0 + 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la aceleración de gravedad y d es la distancia recorrida por el móvil. ¿Qué rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caída si se lanza con v0 = 10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2? A) 10 m/s B) 20 m/s C) 100 m/s D) 200 m/s E) 400 m/s 22. Si el perímetro de un rectángulo es 2(x + y) y el ancho es x - y, ¿cuál es el largo? A) 2y B) 2x C) 0

D) yx

yx

−

+

E) 2x - 2y

389

23. La diferencia entre mx

y t es 1m

x−

¿Cuál es el valor de t?

)1m(mx

)E

)1m(m1m2

)D

)1m(mxm

)C

0)B

)1m(m1

)A

−−

−−

−

−−

24. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $ 5.400. ¿Cuánto dinero me sobraría si quiero comprar una revista que cuesta $ 3.000? A) $ 1.080 B) $ 1.320 C) $ 1.500 D) $ 2.400 E) $ 4.500 25. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $ 400 a Beatriz, ambas quedarían con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene Rosa? A) $ 400 B) $ 800 C) $ 1.200 D) $ 1.600 E) $ 1.800 26. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas, precio contado. ¿Cuánto vale cada cuota? A) $ (x + 1) B) $ x

C) 3

)1x($

+

D) 3

)3x($

+

E) 3x

$

390

27. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $ 10.000. ¿Cuál es la función que permite determinar el ahorro total y en el mes x? A) y = 50.000x + 10.000 B) y = 50.000x - 10.000 C) y = 10.000x + 50.000 D) y = 10.000x - 50.000 E) y = x + 10.000 + 50.000 28. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta de ecuación y - x + 2 = 0? I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2). II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0). III) La pendiente de la recta es -1. A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III 29. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta de ecuación x - y = 0?

30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto de las soluciones de la ecuación x2 - 6x + 8 = 0? I) Son reales. II) Una es el doble de la otra. III) Son negativas. A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) I y III E) I, II y III

391

31. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 50t - t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) en metros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros. II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos. III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de 400 metros. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III 32. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = 3 - 3x - x2?

33. Una bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el número de bacterias que tiene un cultivo al cabo de t minutos si se inicia el proceso con una sola bacteria? (NOTA: [x] = función parte entera de x)

[ ]

[ ]

•

•

20t

2)E

20t

2)D

t202)C20t

)B

t20)A

392

34. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I) log 1 + log 2 = log 2 II) log 2 + log 3 = log 6 III) log 4 - log 2 = log 2 A) Sólo II B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III 35. La figura representa a un rectángulo divido en 8 partes. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el área de la región achurada?

2

)ab(d)III

2)cd(b

)II2

bd)I

−−

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III

III. GEOMETRÍA

36. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño. II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño. III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III 37. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un eje de simetría?

A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) En I y III E) En I, II y III

393

38. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura respecto del eje OP ?

39. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación de la figura superior en torno al eje AB ?

A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) En I y en III E) En I, en II y en III 40. En la figura se tienen 5 cuadrados congruentes de 4 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro total de la figura? A) 32 cm B) 40 cm C) 80 cm D) 200 cm E) No se puede determinar 41. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de componentes (4, 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice A trasladado? A) (4, 2) B) (5, 2) C) (5, 3) D) (3, 5) E) No se puede determinar

394

42. ¿Cuál de las siguientes traslaciones permite dejar íntegramente el polígono de la figura en el primer cuadrante? A) (4, 0) B) (0, 4) C) (2, 3) D) (4, 2) E) (3, 0) 43. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta L. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

MO//BC)III

AM//CO)II

NOBC)I ≅

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) II y III 44. Un rectángulo de dimensiones 3 m × 2 m, se traslada 4 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) 6 m3 B) 8 m3 C) 9 m3 D) 20 m3 E) 24 m3

45. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, BCAC ⊥ , ABCD ⊥ , AD = 16 cm y BC = 6

cm. Entonces, el área del ∆ ABC es: A) 36 2 cm² B) 48 cm² C) 32 2 cm² D) 12 2 cm² E) No se puede determinar 46. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y DC//AB . ¿Cuál es el área del ∆ ABC? A) 10 cm2 B) 20 cm2 C) 30 cm2 D) 40 cm2 E) 50 cm2

395

47. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?

I) ∆ DAB y ∆ BAC

II) ∆ EBD y ∆ DCB

III) ∆ BAC y ∆ DBC A) Sólo I B) Sólo II C) I y III D) II y III E) I, II y III 48. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos medios. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ ABN ≅ ∆ CBM

II) Área ∆ ABN = Área ∆ CBM

III) Área ∆ ABN = Área ∆ ANC A) Sólo II B) Sólo III C) I y II D) I y III E) II y III

49. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 221

m, en ese mismo lugar,

proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del edificio? A) 12 m B) 10 m C) 9 m D) 8 m E) 7 m 50. En la circunferencia de centro O, se trazan AB y DE diámetros y CD cuerda, como se indica en la figura. Si CD//AB y ∡ AOE = 30°, entonces el ∡ x mide A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 45°

396

51. En la circunferencia de la figura, ∡ DAC=30º y ∡ BCA =40º. ¿Cuál es la medida del

∡ x? A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 70º 52. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes a cos a?

ααααα

eccostg1

)IIIsec

1)IIsengcot)I

••

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) I, II y III 53. En el cuadriculado de la figura, cada cuadrado es de lado 1. ¿Cuál es el valor de cos a?

541

)E

45

)D

54

)C

41

5)B

41

4)A

54. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura. Si el piloto observa la torre de control con un ángulo de depresión de 30º, ¿a qué distancia d se encuentra el avión del aeropuerto? A) 750 m

B) 750 3 m C) 3.000 m D) 3.000 3 m E) 4.500 m

397

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 55. En un estante hay 10 libros de Biología y 12 de Química. Si se sabe que 5 libros de Biología y 6 de Química están en inglés y el resto en español, entonces ¿cuál es la probabilidad de escoger un libro de Química en español?

116

)E

126

)D

226

)C

2212

)B

2218

)A

56. La probabilidad de que ocurra un suceso A es de 10% y la probabilidad de que ocurra un suceso B, independiente de A, es de 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los sucesos A y B simultáneamente? A) 2% B) 15% C) 30% D) 50% E) 200% 57. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita roja es de 0,25. ¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna? A) 0,25 B) 4 C) 8 D) 20 E) 25 58. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del suceso es 0,5? A) Lanzar un dado y obtener un 5. B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello. C) Ganarse el sorteo del Loto. D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz. E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena. 59. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la mayor probabilidad de ocurrencia? A) Obtener 2 ó 4. B) Obtener 4 ó 6. C) Obtener un número par. D) Obtener un número primo. E) Obtener 2 ó más.

398

60. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos de un curso en una prueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 3? A) 3 B) 4 C) 12 D) 17 E) 35 61. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre los meses de Enero y Junio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de mayor venta? A) 200 B) 250 C) 300 D) 350 E) 400 62. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de 4º medio de un liceo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 17 años. II) El 20% del curso tiene 18 años. III) La mediana es 17 años. A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) I y III E) I, II y III 63. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18 Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11 Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 13 Kg. II) La mediana es 13 Kg. III) La media es 13 Kg. A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

399

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente; D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 64. ¿Cuánto dinero tiene Jaime? (1) Si consigue $ 500, puede comprar 2 libros de $ 5.000 cada uno y le sobra dinero. (2) Si compra un CD de $ 9.000, le sobrarían más de $ 500. A) 1) por sí sola. B) 2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) e requiere información adicional. 65. ¿Cuál es el volumen de un baúl? (1) La razón entre el largo, el ancho y el alto es 5 : 3 : 2. (2) El área basal es 6.000 cm2. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 66. La expresión a + b, con a y b números reales, es positiva si: (1) a > b (2) a - b > 0 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

400

67. ¿Cuál es el valor de la expresión x2 - y2? (1) x + y = 5 ; x - y = 2 (2) x = 3 ; y = 2 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

68. En la figura, ∆ ABC rectángulo isósceles de 18 cm2 de superficie. C es el centro del círculo. Se puede determinar el área de la región achurada si: (1) P es punto medio (2) AB = 6 cm A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 69. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la región achurada si:

(1) ∡ ACB = 45º (2) el radio del círculo es 5 cm A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

70. En la figura, el ∆ AMN es congruente con ∆ CMN si: (1) ABCD es un cuadrado (2) NDMNBM == A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

401

RESPUESTAS CORRECTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B E B C A C C B C C C A E C E C B D C A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A E C D D C B C C E B E E A C D C E B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C D C E A A E E B D E E B C C A D D E C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 C E B E C E D A A A