LIBRO RECOPILACIN PSU EJERCICIOS DEMRE

CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS ENSAYOS

LVARO M. SNCHEZ VSQUEZ PROF. MATEMTICA y FSICA 2010

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INDICE Contenido Nmeros Enteros, operatoria, propiedades Nmeros racionales, operatoria, propiedades Potencias, propiedades, aplicaciones Operatoria algebraica Simbologa Razones y proporciones Tanto por ciento Races, propiedades, aplicaciones Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones Desigualdades, intervalos, inecuaciones Ecuacin de segundo grado Logaritmos, propiedades, aplicaciones Funciones, operatoria, tipos de funciones ngulos y Tringulos, propiedades, Teorema de Pitgoras, teorema de Euclides Congruencia de tringulos Semejanza de tringulos Cuadrilteros Polgonos ngulos en la circunferencia Relaciones mtricas en la circunferencia, crculo Poliedros, volumen Divisin interior y exterior Trigonometra Probabilidad Estadstica Transformaciones isomtricas Teorema de Tales Evaluacin de suficiencia de datos Respuestas Resumen contenidos Primer ao medio Resumen contenidos Segundo ao medio Resumen tercer ao medio Resumen Cuarto ao medio Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6 Pgina 3 10 20 26 38 42 49 57 64 79 83 85 88 108 129 133 141 152 153 162 166 173 175 183 198 209 221 226 243 248 258 269 280 290 308 329 348 365 384

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

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RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 ) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, } se denominan nmeros naturales. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, } llamado conjunto de los nmeros cardinales. NMEROS ENTEROS (Z) Los elementos del conjunto Z = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, } se denominan nmeros enteros Algunos subconjuntos de Z son: Z+ = {1, 2, 3, } enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2, } enteros no negativos Z- = {-1, -2, -3, } enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3, } enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, y tambin: 1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, MLTIPLO Y DIVISOR En la expresin a = b c en que a, b y c son nmeros enteros, a es mltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un nmero entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres. 4 Las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La ltima cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la ltima cifra y el nmero que forman las Cifras restantes es mltiplo de siete. 8 Las tres ltimas cifras forman un nmero mltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es mltiplo de once.

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NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIN EN FACTORES Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisores distintos. Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, TEOREMA FUNDAMENTAL Todo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto de factores de nmeros primos MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.) Es el menor mltiplo comn positivo de dos o ms enteros. MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor comn entre dos o ms enteros. CLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIN EN FACTORES PRIMOS Se descomponen los nmeros en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor. 2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor. OPERATORIA EN Z ADICIN i. Al sumar nmeros de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo comn. ii. Al sumar dos nmeros de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto. MULTIPLICACIN i. Si se multiplican dos nmeros de igual signo al resultado es siempre positivo. ii. Si se multiplican dos nmeros de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIN: La divisin cumple con las reglas de signos de la multiplicacin. VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un nmero y el 0

DEFINICIN:

n , si n u 0 n si n 0

ALGORITMO DE LA DIVISIN Si D: d = c, entonces D = d c + r r // D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente r = resto

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OBSERVACIONES: 1) 0 r < d 2) La divisin por cero no est definida. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: 1. Resolver los parntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. 4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIN DE ORDEN EN Z Si a y b son nmeros enteros, entonces diremos que: i. a > b si y slo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y slo si (a - b) es un entero negativo. iii. a b si y slo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a b si y slo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez). EJEMPLO PSU-1: Si al entero ( 1) le restamos el entero ( 3), resulta A) 2 B) 2 C) 4 D) 4 E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-2: Si a es un nmero de dos dgitos, en que el dgito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 = A) m + n + 1 B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1 D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, cul es el valor de nm (n + m)? A) -11 B) -5 C) 5 D) 7 E) -7

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EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaos hay 237 golosinas para repartir entre 31 nios invitados. Cul es el nmero mnimo de golosinas que se necesita agregar para que cada nio invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7 EJEMPLO PSU-5: Claudia tena en el banco $ 4p. Retir la mitad y horas ms tarde deposit el triple de lo que tena al comienzo. Cunto dinero tiene ahora Claudia en el banco? A) $ 8p B) $ 10p C) $ 12p D) $ 16p E) $ 14p EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el ltimo nmero de cada fila es la suma de los tres nmeros anteriores y el ltimo nmero de cada columna es la suma de los tres nmeros anteriores. Cul es el valor de x? A) 5 x 4 20 B) 7 4 9 C) 8 8 13 D) 9 24 16 55 E) 16 EJEMPLO PSU-7: Con los crculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La dcima figura de la secuencia est formada por 21 crculos II) De acuerdo a la formacin de la secuencia cualquier figura tendr un nmero impar de crculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de crculos entre dos figuras consecutivas es 2 A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

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EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define a b ! ab b y a # b = 2a - 4b, para a y b nmeros enteros, el valor de (2 5) # (-2) es: A) 82 B) 66 C) 60 D) 38 E) 22 EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto trmino de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resulta A) 41x - 2 B) 61x + 25 C) 41x - 109 D) 41x + 109 E) 41x - 21 EJEMPLO PSU-11: De cuntas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos? A) De 1 forma B) De 2 formas C) De 4 formas D) De 3 formas E) De 6 formas EJEMPLO PSU-12: Si hoy es mircoles, qu da de la semana ser en 100 das ms, a partir de hoy? A) Viernes B) Sbado C) Lunes D) Mircoles E) Jueves

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EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 ms de los que tengo podra comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, cunto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno? A) $280 B) $200 C) $120 D) $100 E) $ 40 EJEMPLO PSU-14: El precio de los artculos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. Cuntos pesos se deben pagar por un artculo M, dos artculos N y tres artculos T? A) 6n - 14 B) 6n 6 C) 5n 14 D) 3n 14 E) 3n - 6 EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los nmeros n. p, q y r son enteros positivos. Cul de las opciones expresa la afirmacin p es divisible por q? A) p = nq + r B) q = np + r C) q = np D) p = nq E)p 1 !1 q q

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a A) -12 B) -7 C) -2 D) 4 E) 12

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EJEMPLO PSU-18: M, N y P son nmeros enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en comn, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, cul es el menor valor posible de P? A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1 EJEMPLO PSU-19: En un tringulo equiltero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo tringulo equiltero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del tringulo que se obtiene es:1.000 12 1.000 B) 6 y 2 A) 26 1.000 D) 6 1.000 E) 25 C) 1.000

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres nmeros impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-21: La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos nmeros, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

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II. NMEROS RACIONALES Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la formaa con a y b nmeros b

enteros y b distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES

ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES Sia c Q, entonces: , b d

OBSERVACIONES 1. El inverso aditivo (u opuesto) dea o b a b b se transforma a fraccin con la siguiente frmula: c a a es - , el cual se puede escribir tambin como b b

2. El nmero mixto A

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALES Sia c Q, entonces: , b d

MULTIPLICACIN

DIVISIN

OBSERVACIN El inverso multiplicativo (o recproco) dea a es b b 1

!

b , con a { 0 a

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RELACIN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES 1. Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a) igualar numeradores. b) igualar denominadores. c) convertir a nmero decimal. 2. Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales. NMEROS DECIMALES Al efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtiene un desarrollo decimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinito semiperidico. a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b) Desarrollo decimal infinito peridico: Son aquellos que estn formados por la parte entera y el perodo. Ejemplo: 0,444.... = 0, 4 c) Desarrollo decimal infinito semiperidico: Son aquellos que estn formados por la parte entera, un anteperodo y el perodo. Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23 OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES 1. Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmeros decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuacin se realiza la operatoria respectiva. As por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20 2. Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmeros decimales, se multiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los nmeros en conjunto. As por ejemplo: 3,21 2,3 963 642 7,383

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3. Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por una potencia en base 10. As por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como nmeros enteros TRANSFORMACIN DE DECIMAL A FRACCIN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el nmero decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho nmero. Por ejemplo: 3,24 =324 100

2. Decimal infinito peridico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero decimal completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodo y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo. Por ejemplo: 2, 15 =215 2 99

3. Decimal infinito semiperidico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodo y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el perodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo. Por ejemplo: 5,3 4 =534 53 90 0,05 0,5

EJEMPLO PSU-1: 5 y A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los nmeros a = , b = A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 = A) 0 B) -20 C) 60 D) 75 E) 250

2 3

5 3 y c = de menor a mayor es 6 8

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EJEMPLO PSU-4: A) 0,15 B) 0,5 C) 0,52 D) 0,525 E) 2

9 3 ! 8 5

EJEMPLO PSU-5: Si aA) B) 1 2

5 1 se le resta resulta: 6 3

1 2 2 C) 3 4 D) 3 2 E) 9

EJEMPLO PSU-6:15 3 16 3 16 3 4 8 3

1 1 3 3 0,75 0,25 8 8

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces A) 80,89 B) 80,9 C) 88,9 D) 89 E) Ninguno de los valores anteriores

t r = r

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EJEMPLO PSU-8: En la igualdad

1 1 1 ! , si P y R se reducen a la mitad, entonces P Q R

para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe A) duplicar. B) reducir a la mitad. C) mantener igual. D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretencin. Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo ms 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo ms 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10:A) B) 3 1

1 1 1 ! x x x

x3 3 C) x 1 D) 3x 3 E) x3

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EJEMPLO PSU-11: Si P !A) B) C) D) E) 2P R R 2P 2P R 2R P R 2P

1 RH , entonces H-1 es igual a: 2

EJEMPLO PSU-12:A) B) C) D) E) 5 12 2 15 1 9 2 3 1 4

1 1 1 ! 3 6 2

EJEMPLO PSU-13:A) B) 1 3

2,6 2 3,8 ! 2,6 6 3,8

5 19,4 5 C) 19,4 2,28 D) 19,4 7,6 E) 9,8

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EJEMPLO PSU-14:3 2 1 3 11 6 1 3

1 3

2 1 1 4

!

A) B) C) D) E)

50 0,5 EJEMPLO PSU-15: 100 ! (0,5) 2

A) 10 B) 1 C) 0,1 D) 0,25 E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilmetros y ha caminado 7.850 metros. Cunto le falta por recorrer? A) 4,45 km B) 4,55 km C) 5,55 km D) 5,45 km E) 6,62 km EJEMPLO PSU-17: Si a es un nmero natural mayor que 1, cul es la relacin correcta entre las fracciones: p ! A) p b. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

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I. El rea del cuadrado de lado (a + b) es igual al rea achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las reas del cuadrado de lado a y el lado de b. III. a(a + b) > a + b2 2

A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. Cul es el rea sombreada? A) 8 x B) 64 4x2 C) 64 x2 D) 8 x2 E) 64 x4

EJEMPLO PSU-35: Si ab ! ( a b ) 2 y a# b ! ( a 2 b 2 ) , a cunto equivale la expresin A) -2m2 + 8p2 B) -2m2 + 6mp + 8p2 C) 8m2 + 6mp 2p2 D) -2m2 + 3mp + 8p2 E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a A) -10 B) 10 C) 13 D) -25 E) 25

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.

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III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s) A) slo I. B) slo II. C) slo III. D) slo I y II. E) slo I y III EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n 2 A) 6 B) 9 C) 14 D) 17 E) 18 EJEMPLO PSU-39: x y x y ! 4 2 x 3 4 B) x 2 9 2 C) x 2 9 4 2 D) x 6 A) y2 y2 y2 y2 2 3 2 3

n 3n es igual a: 3

E) Ninguna de las expresiones anteriores EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectngulo, entonces el rea de la regin achurada se expresa como: A ) x( z y ) B) x( y z) C ) xz xy D) 2 x( z y ) E) 3 xy xy EJEMPLO PSU-41: para que la expresin ! sea positiva, se debe cumplir xy 1 xy necesariamente que: 1

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A) xy < 0 B) x < 0 C) xy > 0 D) y < 0 E) x > y EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, cul es el valor de la expresin x 2 x 3 x 4 ? A) -9 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3 EJEMPLO PSU-43: Cul es el valor de x 2xy, si x = 2 e y = 1? A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0 EJEMPLO PSU-44: a [a (a + b c)] = A) a + b c B) a + b c C) a b + c D) a b c E) a + b + c EJEMPLO PSU-45: (3m 5p) = A) 6m 10p B) 9m 25p2 2 2 2 2 2 2 2 2

C) 9m 15mp + 25p D) 9m 30mp 25p E) 9m 30mp + 25p2

2

2

V. SIMBOLOGA: Nmeros natural cualquiera = n El antecesor de un nmero = n 1 El sucesor de un nmero = n + 1

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Nmero natural par = 2n Nmero natural impar = 2n 1 El cuadrado del sucesor de un nmero = (n + 1) 2 El sucesor del cuadrado de un nmero = n2 + 1 El cuadrado del sucesor del antecesor de un nmero = n2 Dos nmeros naturales impares consecutivos = 2n 1, 2n +1 El inverso aditivo u opuesto de un nmero = n1 n

El inverso multiplicativo o recproco de un nmero =

El triple de un nmero = 3n Un nmero de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u Un nmero de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u La razn o cuociente entre p y q =p q

El valor absoluto de un nmero = | n | p ! k( cons tan te ) p es directamente proporcional a q = q p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x 3) se expresa por: A) [2(x-3)]2 B) 2(x2 32) C) (2x 6)2 D) 2(x 3)2 E) (x2 32)2

EJEMPLO PSU-2: Cul de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 ms que a ti, me quedo con 4? A)2x 5 ! 4 5 2x B) 5 ! x 5 x 9! x C) 5

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2x 9! x 5 x E) 5 ! 4 5

D)

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: A un nmero d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe A ) d 2d 3d 2 B) d 2d ( 3d ) 2 C ) (d 2d) ( 3d) 2 D ) (d 2d ) 3d 2 E) (d 2 ) ( 3d) 2 EJEMPLO PSU-4: Un nmero real n, distinto de cero, sumado con su recproco, y todo al cuadrado, se expresa como 2 1 A) n n 1 B) n 2 n 1 C) n n D) n (n ) 2 E) n 2 ( n ) 2 EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un crculo aumenta en nuevo crculo se expresa, en unidades cuadradas, como A) r 2 B) C) r2 (r 2 2 2 2 2

unidades, entonces el rea del

)

D ) (r 2 ) E) ( r ) 2 EJEMPLO PSU-6: Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t, se escribe

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A)

B) C) D)

E)

5m m 2 t m m2 5 t m2 5m t m m2 5 t m 2m 5 t

EJEMPLO PSU-7: Mara (M) tiene dos aos menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos aos Juan tena 10 aos, en cul de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de Mara y Juan?A) M 2 ! B) M 2 ! C) M 2 ! D) M 2 ! E) M 2 ! J 4 J 4 J 4 J 4 J 4 y y y y y J 2 ! 10 J 2 ! 10 J 2 ! 10 J ! 10 J 2 ! 10

EJEMPLO PSU-8: hace 3 aos Luisa tena 5 aos y Teresa a aos. Cul ser la suma de sus edades en a aos ms? A) (11 + 3a) aos B) (11 + 2a) aos C) (11 + a) aos D) (8 + 3a) aos E) (5 + 3a) aos EJEMPLO PSU-9: La expresin: El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 b) se representa como:A) ? (3 bA ! 2(3 b)2 2 B) 4(3 b)2 ! 4(3 b)22 C) ? (3 bA ! 2(3 b)(3 b) 2 2

D) 2(3 b)2 ! 2(3 b)2 E) 2(3 b)2 ! ? (3 b)A 22

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectngulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectngulo es x metros, la expresin algebraica que representa su permetro es: A) (4x + 16) metros

40

B) (2x + 8) metros C) (2x + 16) metros D) (4x + 8) metros E) (4x + 32) metros EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. Cul de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este problema? A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291 B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291 C) (x 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 D) (x 1)2 x2 (x + 1)2 = 291 E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291 EJEMPLO PSU-12: La expresin: para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades, se expresa como A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) 4 = 18 C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 2(a + c) = 18 E) 2a + c 4 = 18 EJEMPLO PSU-13: Compr x kg de caf en $ 36.000 y compr 40 kg ms de t que de caf en $ 48.000. Cmo se expresa el valor de 1 kg de caf ms 1 kg de t, en funcin de x? 36.000 48.000 A) x x 40 36.000 48.000 B) x x 40 x x 40 C) 36.000 48.000 x x 40 D) 36.000 48.000 36.000 48.000 E) x 40

VI. RAZONES y PROPORCIONES RAZN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribea o a: b. b

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Y se lee a es a b; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente. PROPORCIN es la igualdad de dos razones. Se escribex y x: a = y : b ! a b

Y se lee x es a a como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) (x b = y a) OBSERVACIN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. OBSERVACIONES: En una proporcin directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo nmero de veces. El grfico de una proporcionalidad directa corresponde a una lnea recta que pasa por el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo nmero de veces. El grfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hiprbola equiltera

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:

A B

10 3

15 x

20 1,5

42

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30. A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 das, trabajando 8 horas diarias. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. 4 electricistas harn el trabajo en 3 das, trabajando 8 horas diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es 3. A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 rboles. Si hay 120 naranjos y la razn entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuntos duraznos hay en la quinta? A) 54 B) 77 C) 84 D) 126 E) 210

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

43

1 2 1 B) 4 C) 2 A) D) 4 E) 9

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cunto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas? A) 180 mm 120 mm 90 mm B) 420 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 240 mm 160 mm D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al nmero1 y cuando a b

toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es: A ) 10 8 B) 5 5 C) 8 1 D) 10 15 E) 4 EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en l corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 62,5 km E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre s. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N

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A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante. EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a datos registrados, el valor de A) 256 B) 16 C)1 16 1 64 a , es b 1 . Segn los y

z 8 a 11 4

D) 64 E)

y 2 4 16 b

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, cul es la distancia real entre ellas? A 1,75 km B 17,5 km C 175 km D 1.750 km E 17.500 km EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razn entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K = A) 4: 7 B) 4: 3 C) 7: 4 D) 3: 7 E) 3: 4

45

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es PV = constante, donde P es la presin del gas, V su volumen y T su temperatura T absoluta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presin es directamente proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presin es inversamente proporcional al volumen III) A presin constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volmenes estn en la razn 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, cuntos litros tiene la mezcla total? A 6 litros B 10 litros C 12 litros D 14 litros E 16 litros EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razn entre mujeres y hombres es m: h. Cul es la expresin que representa el nmero de mujeres?A) B) C) D) E) 40m mh 40(m h) m 40(m h) h 40h mh 40m h

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EJEMPLO PSU-15: El grfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si haba 4 mujeres por cada 3 hombres, cuntas mujeres asistieron al evento? A) 8 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32 EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artculos en un da, cuntos hombres se necesitan para fabricar x artculos en un da?hx 50 50x B) h x C) 50h h D) 50x A)

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuntas personas hay en febrero? A) 416 B) 4.000 C) 12.500 D) 15.000 E) 17.500

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EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cules de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho? A)x !2 yw y v=8 u w !8 v

B) x u = 2 y w + v = 8 C) x y u = 2 y D) x + u = 2 y w v = 8 E) x + w = 10 EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t das en hacer un jardn, otro trabajador Y se demora t + 15 das en hacer el mismo jardn, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 das. Cuntos das se demorar Y trabajando solo? A) 30 B) 28 C) 25 D) 20 E) 15 EJEMPLO PSU-21: Si el ndice de crecimiento C de una poblacin es inversamente proporcional al ndice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ndices se cumple: A) D = 0,5C B) D = C2 C) D =0,5 C 0,125 C

D) D = 0,125C E) D =

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratar un cierto nmero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demoraran 6 das, trabajando 8 horas diarias, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demoraran 3 das, trabajando 8 horas diarias II) El nmero de electricistas y el nmero de das son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3 A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

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TANTO POR CIENTO El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los trminos de la proporcin es 100:

P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fraccin es P% de C =P C 100

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS i) Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar a% de C s b% de C = (a s b)% de C ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos El a% del b% de C = a b C 100 100

INTERS SIMPLE Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF despus de cumplido el periodo n est dada por la frmula: i C F ! C 1 n 100

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters simple cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.INTERS COMPUESTO Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La frmula para calcular la cantidad final CF despus de cumplido el periodo n es: i C F ! C 1 100 n

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OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters compuesto cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses no se retiran y se aaden al capital para producir nuevos intereses. EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y stos son un tercio de los cajeros, cul es el total de trabajadores? A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54 EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres aos gana $157,5. Calcular el inters simple anual. A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75% EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos ms dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o ms pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o ms pantalones del mismo precio un 15% en cada pantaln. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. Cunto pag Juan por los dos pares de zapatos? A) $ 45.000 B) $ 50.000 C) $ 57.150 D) $ 72.000 E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, ms un 8% de las ventas por comisin. Cunto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes? A) $ 254.625 B) $ 532.000 C) $ 1.275.000 D) $ 1.812.500 E) $ 3.962.500

50

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitaran 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitaran 4 vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro. A) Slo III B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultneos; el A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena slo el 50%. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El estadio A registr mayor asistencia de pblico que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habra quedado en ste, menos del 50% de sus asientos vacos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B. A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depsito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar A) 4 litros. B) 24 litros. C) 40 litros. D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores.

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EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. Qu nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1? A) 5,0 B) 5,1 C) 5,2 D) 6,0 E) 6,3 EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo issceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera para el rea del tringulo rectngulo resultante, respecto del rea original? A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%. C) Disminuye en un 4%. D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad.

EJEMPLO PSU-10: Cul(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artculo? I)1 del precio del artculo 8

II) El precio del artculo multiplicado por 12,5 III) El precio del artculo dividido por 100 y multiplicado por 12,5 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cermica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computacin. Si el metro cuadrado de cermica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% ms caro que la cermica, entonces el costo total es de: A) $ 145P B) $ 170P C) $ 175P D) $ 245P E) $ 195P

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EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor deA) B) C) D) E) 400 7 35 8 18 35 35 18 8 35

b es: a

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramtica: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. Cul de las siguientes es la mejor estimacin del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades? A) Menos del 91%. B) Entre el 91% y el 93%. C) Entre el 93% y el 95%. D) Entre el 95% y el 97%. E) Ms del 97%. EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un 60% ms cara, cul de las siguientes expresiones representa el costo total C en alfombras? A) C = 1,6 y p y 100 + p y 100 B) C = 0,6 y p y 100 + p y 100 C) C = 0,6 y p y 60 + p y 40 D) C = p y 60 + 0,6 y p y 40 E) C = 1,6 y p y 60 + p y 40 EJEMPLO PSU-15: El da lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Falt la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

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EJEMPLO PSU-16: Un nio aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:1 % 5 1 B) % 6 C) 3% D) 20% E) 30% A)

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 pginas. De ellas el 20% es geometra, el 10% es lgebra y el resto astronoma. Luego las pginas dedicadas a la astronoma son: A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 28 EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadera. Si la mercadera tiene un precio marcado de $ 600, cunto me descuentan? A) $ 555 B) $ 510 C) $ 255 D) $ 45 E) $ 90 EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: Antes $ 400, ahora $ 300. Con respecto al precio original, cul es el porcentaje de rebaja? A)4 % 3

B) 10% C) 25% D) 33, 3 % E) 75% EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relacin entre los que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. Qu porcentaje practica teatro en relacin al total del curso? A) 20% B) 80% C) 16,6..% D) 83,3..% E) No se puede determinar

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EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 ms un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $ 12.000.000 y slo el 30% corresponde a ganancias, cunto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado? M P A) $ 288.000 $ 72.000 B) $ 288.000 $ 172.000 C) $ 388.000 $ 172.000 D) $ 960.000 $ 240.000 E) $ 960.000 $ 340.000 EJEMPLO PSU-22: Un banco paga inters con una tasa anual del 100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo ao habr en la cuenta, en pesos, A) 1.000 + 1.000 100 12 100 12 12

B) 1.000 + 1.000 y C) 2.000 D) 1.000 y100 12

E) 1.000 y 1

100 12

12

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 4 I) Las gallinas que no son blancas son T 5 II) El 20% de las gallinas son blancas III) El nmero total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el nmero de gallinas que son blancas A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. Por cul nmero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? A) Por 15% B) Por 0,15 C) Por 1,5 D) Por 1,15 E) depende del precio de cada artculo

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EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de inters compuesto n veces al ao, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t aos est dada por:1 P ! C1 100n nt

.Al invertir $50.000 al 6% anual de inters compuesto

trimestralmente, al trmino de 1 ao se tendr, en pesos, una cantidad de: A ) 50.000 (1,06 ) 4 B) 50.000 (1,06) 3 C ) 50.000 (1,18) 4 D ) 50.000 (1,015) 3 E) 50.000 (1,015) 4 EJEMPLO PSU-26: En una liquidacin de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. Cunto costaba el abrigo antes de la liquidacin? A) $ 21.450 B) $ 23.571 C) $ 28.050 D) $ 55.000 E) $ 115.500 EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artculo en $ 19.800, a cunto asciende el valor de las estampillas de descuento? A) $ 600 B) $ 750 C) $ 792 D) $ 800 E) $ 19.200 EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razn entre los alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. Qu porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de alumnos del curso? A) 83, 3 % B) 80% C) 20% D) 16, 6 % E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-29: A qu inters simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres aos, para obtener una ganancia de $ 157,5? A) 5,0% B) 5,5% C) 5,27% D) 5,25% E) 5,05%

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VII. RACES Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el nico real b, no negativo, tal que b n = a n a ! b bn ! a, b u 0 Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el nico real b, tal que b n =a n a ! b b n ! a, b R OBSERVACIONES 1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL 2. La expresinn

a k , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia dek n

exponente fraccionario

ak ! a n

3. a 2 ! a , para todo nmero real PROPIEDADES Si n a y n b estn definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades: MULTIPLICACIN DE RACES DE IGUAL NDICEn

a y

n

b !

n

ab

DIVISIN DE RACES DE IGUAL NDICEn n

a b

!

n

a , b

b{0

POTENCIA DE UNA RAZn

am !

a ,n m

a"0

RAZ DE UNA RAZnm

a !

nm

a

AMPLIFICACIN y SIMPLIFICACIN DEL ORDEN DE UNA RAZn

a !

mn

am

m Z ,

a R

PRODUCTO DE RACES DE DISTINTO NDICEn

a y mb !

mn

am b n , a, b R

FACTOR DE UNA RAZ COMO FACTOR SUBRADICALbn

a ! b n a, b R n

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RACIONALIZACIN Racionalizar el denominador de una fraccin consiste en transformarla en una fraccin equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raz a Fracciones de la forma b c a Fracciones de la forma p b q c

EJEMPLO PSU-1: 5 12 2 27A) 16 3 B) 4 3 C) 2 3 D) 3 3 E) No se puede det er min ar

EJEMPLO PSU-2:A) B) 61 20

6

1 1 4 5 8 ! 4 16 25

7 6 2 2 4 5 151 C) 20 6 5 8

7 20 E) Ninguno de los valores D)

anteriores

EJEMPLO PSU-3: 3 a2x 2 yA) a3x 3 B)6

3

ax 1 !

a3x 3

C) a3x D) ax 3 E) a x 1

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EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, 1?I) II) III) x 2 ! x x2 ! x x2 ! x

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-5: ( 2 2)3( 2 2)4 ( 2 2)4 ( 2 2)3 es un nmero: A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo D) Irracional negativo E) No real

EJEMPLO PSU-6:A) B) C)3 3 6 6

23

2

=

4 2

8

D) 2 E) 1

EJEMPLO PSU-7: Si 2 ! a , 3 ! b y siguientes es(son) equivalentes a 60 I) 2bc II) 4 a4b 2 c 2 III) a2bc A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

5 ! c entonces cul(es) de las expresiones

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EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresinA) 2 3 B) 2 14 C) 2 2 D) 2 7 2 E) 4

2 7 14 7

resulta

EJEMPLO PSU-9:A) B) C) D) 3 2 15 10 5 20 5

12 2 8 3 !

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-10: ( 50 512 242 ) : 2 !A) 10 B) 10 2 C) 8 5 D) 32 E) 40

EJEMPLO PSU-11:

55 55 55 55 553

!

55 55 55 55 55

A) 5 B) C) 1 D)5 56

2 53 3

E) 5 2

60

EJEMPLO PSU-12: Si 2 3 2 3 ! t , entonces el valor de t2 2 es:A) 2 3 2 B) 0 C) 2 3 D) 2 E) 2

EJEMPLO PSU-13: (0,25)1 a !1 A) 2 1 B) 2a

1 a

1 C) 2

a 2

a

12 D) 2 1 E) 2a

EJEMPLO PSU-14: Cul(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solucin(es) dey ! x2 5 x2

I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguno de ellos EJEMPLO PSU-15: Cul(es) de los siguientes nmeros es(son) irracional(es)?I) II) III) 2 8 33 3 6 24

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

61

EJEMPLO PSU-16:A) 0 B) 3 2 2 C) 6 9 2 D) E) 69 2 2 63 2 2

6 2 2

3 2 2

!

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. Cul de las siguientes opciones es verdadera?A) x " x 1 B) x x 1 C) " x x D) x " 1 E) x x

EJEMPLO PSU-18: 3 27x 273 !A) 27x 279 B) 33x 39 C) 3x 3 D) 9x 3 E) 3x 3

EJEMPLO PSU-19: Dados los nmeros reales 3 2 , A) 2 3 B) 3 2 C) 7 11 D) 3 1 E) 4 3

1 11 , 7 , 2 3 , 4 , al 3 3

ordenarlos de menor a mayor, el trmino que queda en el centro es:

62

EJEMPLO PSU-20: (5 2 3)( 3 5 2 ) !A) 25 5 B) C) D) E) 24 5 7 47 0

EJEMPLO PSU-21: El nmero 216 es igual a:A) 2 4 B) C) 32

2

4

D) 214

E) Ninguno de los nmeros anteriores

63

VIII. ECUACIONES: (a) Una ecuacin es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incgnita. (b) Cuando una ecuacin contiene fracciones, puede escribirse en una forma ms sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mnimo comn mltiplo de todos los denominadores de la ecuacin. De esta forma se obtiene una ecuacin que no contenga fracciones. (c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atencin el problema. Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cul es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuacin. Paso 5: Resolver la ecuacin. Paso 6: Comprobar si el resultado est de acuerdo con los datos. PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fraccin de un nmero. La fraccina a de un nmero x se calcula multiplicando por x. b b

PROBLEMAS DE DGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un nmero de la forma x y z queda representado por x 102 + 101 + z 100 PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una lnea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, segn corresponda: Edad pasada Edad Actual Edad futura (hace b aos) (dentro de c aos) x-b x x+c y-b y y+c

B. ECUACIONES LINEALES: La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresin: d AB ! ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son64

PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonomtrica del ngulo de inclinacin (ngulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIN ENTRE EL NGULO DE INCLINACIN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea el ngulo de inclinacin y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (0 < < 90) si y slo si (m > 0)

( = 0) si y slo si (m = 0)

L es paralela al eje x ( = 90), si y slo si (m no est definida) (90 b, a < b, a u b a e b. las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo nmero, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son nmeros reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo nmero positivo, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son nmeros reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo nmero negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son nmeros reales tales que a bcINTERVALOS ,QWHUYDORDELHUWR6HGHQRPLQDDVDOFRQMXQWRGHQPHURVUHDOHVFRPSUHQGLGRVHQWUHD\EVH VLPEROL]DSRU Aa , b? ,QWHUYDOR FHUUDGR HV HO FRQMXQWR GH QPHURV UHDOHV FRPSUHQGLGRV HQWUH D \ E LQFOXLGRV DPERV6HVLPEROL]DFRPR>DE@ ,QWHUYDORVHPLDELHUWRSRUGHUHFKD6HOODPDDVDOFRQMXQWRGHQPHURVUHDOHVFRPSUHQGLGRV HQWUHD\ETXHLQFOX\HDOH[WUHPRDSHURH[FOX\HDOH[WUHPREVHVLPEROL]DSRU ?a, b? ,QWHUYDOR VHPLDELHUWR SRU L]TXLHUGD 6H GHQRPLQD DV DO FRQMXQWR GH QPHURV UHDOHV FRPSUHQGLGRV HQWUH D \ E TXH H[FOX\H DO H[WUHPRD SHUR LQFOX\H DO H[WUHPR E VH VLPEROL]D SRU Aa, bAAa , b? ! _x R / a x ba (Q HO JUILFR ORV SXQWRV H[WUHPRV VH LQGLFDQ FRQ FLUFXQIHUHQFLDV SDUD GDU OD LGHD HQ HVWH FDVRGHTXHGLFKRVSXQWRVQRVHFRQVLGHUDQFRPRSDUWHGHOLQWHUYDOR ?a , bA ! _x R / a e x e ba (Q HO JUILFR ORV SXQWRV H[WUHPRV VH LQGLFDQ FRQ FUFXORV SDUD VHDODU HQ HVWH FDVR TXH GLFKRVSXQWRVSHUWHQHFHQDOLQWHUYDOR ?a , b? ! _x R / a e x ba79 (VWHLQWHUYDORWDPELQVHGHQRPLQDVHPLFHUUDGRSRUL]TXLHUGD Aa , bA ! _x R / a x e ba Este intervalo tambin se semicerrado por derechaINECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITAdenominaSon desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b u 0, ax + b e 0, ax + b > 0 ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incgnita x, el cual se llama conjunto solucin de la inecuacin. Este conjunto se puede representar mediante la notacin de conjunto, intervalo o grfica SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCGNITA Es un sistema formado por dos o ms inecuaciones de primer grado con una incgnita. El conjunto solucin del sistema es la interseccin de los conjuntos de cada inecuacin. Si S1, S2,.,Sn son los conjuntos solucin de cada inecuacin y S es el conjunto solucin del sistema, entonces: S ! S1 S2 S3 .... SnPROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los smbolos , u e, tales como: a lo menos (u), cuando mucho (e), como mnimo (u), como mximo (e), sobrepasa (>), no alcanza ( 0. 2 races reales y distintas = 0. 2 races reales e iguales < 0. No tiene races reales Cortes en el eje x: > 0. 2 cortes en el eje x = 0. 1 corte en el eje x < 0. No corta el eje xx1 x 2 ! b a x1 y x 2 ! c a Propiedades de las races:EJEMPLO PSU-1: Segn la ecuacin y = x2 2x + a, es correcto afirmar que: I. II. III. A) Slo I B) I y II C) II y III D) Slo II E) Slo I y III Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X. Si a = 1, existe solo una interseccin con el eje X. Si a < 1, no hay interseccin con el eje X.EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros ms de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, cul de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio? A) x(x + 2) 24 = 0 B) x(x 2) 24 = 0 C) x(x 2) + 24 = 0 D) x2 - 22 = 0 E) 4x - 20 = 0 EJEMPLO PSU-3: Las races (o soluciones) de la ecuacin x(x 1) = 20 son A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y 5E) 4 y 5 EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solucin (raz) de la ecuacin x2 + 5x + c = 0, entonces cul es el valor de c?83A) - 24 B) -8 C) -2 D) 2 E)5 3 2 cuando x satisface la xEJEMPLO PSU-5: Cul es el menor valor para la expresin x 2 igualdad x A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) -1 15 ! 16 ? xEJEMPLO PSU-6: El conjunto solucin (o races) de la ecuacin x2 + 1 = x + 1 es: A) {0} B) {1} C) {0,1} D) {0,-1} E) Ninguno de los conjuntos anterioresIX. LOGARITMOS:84( 1) log a 1 ! 0 ( 2 ) log a a ! 1 ( 3) log a ( x y ) ! log a x log a y x ( 4 ) log a ! log a x log a y y ( 5) log a x y ! y log a x ( 6) log a n m ! 1 log a m n log b log a Cambio de base: log a b !EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 log (a + b) = A) 2 B) a + b C) log a + 3log b D) log a + log b E) log (a + b) EJEMPLO PSU-2: Si logA) B) C) D) E) 99 100 99 99 100 101 100 19 20 1 ! 2 entonces x vale: 1 x EJEMPLO PSU-3: Cul de las siguientes opciones es igual a log 12? A ) log 6 log 2 B) log 10 log 2 C ) 2 log 6 D ) log 2 log 2 log 3 E) log 6 log 2851 log 2 8 log 3 9 es EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresin log 4 16A) B) C) D) E) 5 2 1 2 3 5 4 7 4EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta A) a3 = 2 B) a2 = 3 C) 23 = a D) 32 = a E) 3a = 2EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces log 2 (log a a 2 ) = A) 0 B) 1 C) 2 D) a E) a2 EJEMPLO PSU-7: Cul de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I ) log 1 log 20 ! log 20 1 II ) log log 30 30 2 III ) log 4 log 10 ! log 4 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III86EJEMPLO PSU-8: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 1 I ) log 3 ! 2 9 II ) Si log 3 x ! 2 , entonces x ! 3 III ) Si log x 49 ! 2 , entonces x ! A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 = A) 4 y log 1.000 B) 6 + 2 y log 2 C) 2(6 + log 2) D) 2(log 2)(log 1.000) E) 3 + 2 y log 2 1 787X. FUNCIONES: '(),1,&,1IXQFLQ 6HDQ$\%FRQMXQWRVQRYDFRV8QDIXQFLQGH$HQ%HVXQDUHODFLQTXHDVLJQDDFDGD HOHPHQWR[GHOFRQMXQWR$XQR\VORXQHOHPHQWR\GHOFRQMXQWR% 6HH[SUHVDFRPR y y x I$ % [ I[ \ Re corrido x Do min io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ara encontrar los valores de las imgenes de una funcin definida, se reemplazar la variable independiente por el nmero o expresin que corresponda. Ejemplo: Si f(x) = 3x 1, la imagen de -1 sera f(-1) = 3 (-1) 1 = - 4. Si la imagen es 29 y la funcin es f(x) = 2x + 1, la preimagen se obtendr igualando 2x + 1 = 29 de aqu x = 14 pre-imagen. Funcin continua: Es aquella en la que su grfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensin (figura 1). Funcin discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su grfica (figura 2 y 3). Funcin peridica: Es aquella en la que parte de su grfica se repite cada cierto intervalo, llamado perodo (figura 4).A. FUNCION DE PRIMER GRADO: f(x) = ax + by f (x) a>0 f (x) a 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2). La funcin y = f(x h) es la funcin f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (figura 3 y 4). La funcin y = f(x h) + k es la funcin f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x. Si f(x) = ax entonces: f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x h), h < 0f(x) = a(x h), h > 0D. FUNCIN VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un nmero real x, denotado por x , es siempre un nmero real no negativo. x Si x u 0 f(x) = x ! , xR x , Si x 089Representaciones grficasa indica el punto de traslacin en el eje de las ordenadasb indica el punto de traslacin en el eje de las abscisas.yE. FUNCION CONSTANTE: Funcin de grado cero. Su grfico es una recta horizontal.3x f (x) = 3F. FUNCION CUADRATICA: Funcin de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c Se grafica una curva llamada parbola.f (x) = ax2 + bx + cyxA la funcin de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c lR y a 0 se le denomina funcin cuadrtica. La representacin grfica de una funcin cuadrtica es una parbola, simtrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetra.90Concavidad: Es la abertura que tiene la parbola Si a > 0, la concavidad de la parbola est Orientada hacia arriba Si a < 0, la concavidad de la parbola est orientada hacia abajoINTERSECCIN CON EL EJE Y La parbola asociada a la funcin y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.CEROS DE LA FUNCIN Los ceros (o races) de la funcin cuadrtica son los valores x1 y x2 para los que y = 0DISCRIMINANTE La expresin b2 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las races de la ecuacin cuadrtica asociada a la funcin y = ax2 + bx + c91EJE DE SIMETRA El eje de simetra de una parbola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes.VRTICE DE LA PARBOLA El vrtice de la parbola es el punto de interseccin de sta con su eje de simetra.G. FUNCION RAIZ CUADRADA: Si x es un nmero real no negativo, se define la funcin raz cuadrada de x por92OBSERVACIONES: i. La funcin es creciente. ii. La funcin raz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento. Su dominio son los IR+ U {0}. H. FUNCION EXPONENCIAL: La funcin f definida por f( x) ! a x , con a R y a { 1 se denomina funcin exponencial.GRFICAS DE LA FUNCIN EXPONENCIALf(x) ! 2 x1 f( x ) ! 2xEn las grficas se puede observar que: La grfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, entonces f(x) = a x es creciente. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente. La grfica no corta al eje de las abscisas.I. FUNCION LOGARITMICA: Una funcin f definida por f( x) ! log a x, con a R , a { 1 y x " 0 se denomina funcin logartmica93f(x ) ! log 2 xf(x ) ! log 2 xf ( x ) ! log 1 x2f ( x ) ! log 1 x2(QORVJUILFRVVHSXHGHREVHUYDUTXH /DJUILFDLQWHUVHFWDDOHMH[HQHOSXQWR 6LD!HQWRQFHV f( x) ! log a x HVFUHFLHQWH 6LDHQWRQFHV f( x) ! log a x HVGHFUHFLHQWH /DFXUYDQRLQWHUVHFWDDOHMH\J. FUNCIN PARTE ENTERADado un nmero real x, la funcin parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x.94Dado que todo nmero real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el nmero 6,215, esta funcin persigue que al nmero real 6,215 se le asocie el nmero real 6. Su representacin grfica esOBSERVACIN: A la grfica de esta funcin se le llama funcin escalonada.APLICACIONES LINEALESEn el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situacin prctica en trminos de una relacin funcional. La funcin que se obtiene produce un modelo matemtico de la situacin.EJEMPLO PSU-1: Si f(x) ! 2x 3 2, entonces f(7) es igual a:95A) 4 17 2 11 C) 2 11 D) 2 17 E) 2 B)EJEMPLO PSU-2: En el grfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 das: el primer da 152 minutos, el segundo da 180 minutos, el tercer da 90 minutos y el cuarto da 210 minutos. Cunto cancel en total por los das que estacion? A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-3: En cul de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?A) B) C)D)E)EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil est dada por la ecuacin y(t) = 100t 5t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces en cul(es) de los siguientes valores de t estar el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?96I) 6 segundos II) 10 segundos III) 14 segundos A) Slo en I B) Slo en II C) Slo en III D) Slo en I y en II E) Slo en I y en III EJEMPLO PSU-5: Considere la parbola y ! afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parbola se abre hacia arriba II) Su vrtice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetra es x = 1 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 1 ( x 1) 2 Cul(es) de las siguientes 2EJEMPLO PSU-6: Cul es el dominio de la funcin f( x ) ! x 2 4 en los nmeros reales?A) ? ,g? 2 B) ? 2,g? C) ? ,g? 0 D) A g,2A ? ,g? 2 E) ? ,g? 4EJEMPLO PSU-7: Cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del grfico de la funcin f(x), en la figura? I) f( 2) > f(4) II) f( 1) + f(3) = f( 3) III) f( 6) f(8) = 2 A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo II y IIIEJEMPLO PSU-8: Cul es la ecuacin de la parbola de la figura? A) y = ( x + 1)(x 2) B) y = (x + 1)(x 2)97C) y = ( x + 1)(x + 2) D) y = ( x 1)(x 2) E) y = (x + 1)( x 2)EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una funcin tal que: f(x 1) = x2 (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es A) 1 B) 1 a C) 2 a D) 1 + a E) 3 2a EJEMPLO PSU-10: Sea f una funcin en los nmeros reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(2) = 5 Cul es el valor de t? A) -3 B) -2 C) 3 D) 2 E)3 2EJEMPLO PSU-11: Del grfico de la funcin real f( x) ! 1 x , se puede afirmar que: I) tiene su vrtice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1 Es(son) verdadera(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 y f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2E) ninguna de las expresiones anteriores.EJEMPLO PSU-13: Considere la funcin f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los nmeros reales. El menor valor que alcanza la funcin es A) 598B) 3 C) 2 D) 0 E) 1EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) { g(x), para todo nmero real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algn nmero real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo nmero real x distinto de cero. A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo II y IIIEJEMPLO PSU-15: Si f(x) = x a + 1 y f(2) = 9, entonces a = A) 9 B) 4 C) 3 D) 2 E) 8EJEMPLO PSU-16: Sea f una funcin cuyo dominio es R {-1} definida por f( x) ! entonces f(-2) A) 1 B) -1 C) 3 D) -3 1 E) 31x , x1EJEMPLO PSU-17: Cul de los siguientes grficos representa a la funcin real y = [x +1]99EJEMPLO PSU-18: Cul de los siguientes grficos representa mejor a la funcin real f(x) = -(x + 1)2 + 1?EJEMPLO PSU-19: Considere la funcin f(x) = x2 8x + 15, cul(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El grfico de la funcin intersecta en dos puntos al eje x II) Su valor mnimo es -1 III) f(-3) > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. Cul de las siguientes funciones representa la situacin descrita relacionando el nivel de agua y con el nmero de semana x?100A) y = -12 + 0,5x B) y = - 0,5 + 12x C) y = 12 + 0,5x D) y = 12 3,5x E) y = 12 0,5x EJEMPLO PSU-21: De acuerdo al grfico de la figura, cul(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3f(-2) f(0) = 2f(2) III) f(-2) f(1) = f(2) -1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-22: Sea la funcin de nmeros reales f(x) = x2 3, cul es el conjunto de los nmeros reales t que satisfacen f(t) = 1? A) {-2} B) {-2,2} C) {2} D) {4} E) No tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales EJEMPLO PSU-23: Cul de los siguientes grficos representa a la funcin f(x) = x2 5x + 6?EJEMPLO PSU-24: La lnea quebrada de la figura es el grfico de la funcin f(x) =101A) 2x B) x x C) x x D) x x E) 3 x xEJEMPLO PSU-25: Cul de los siguientes grficos representa mejor al grfico de la funcin f(x) = x2 1?EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas segn tramo de consumo: Consumo en m3 Precio 0-9 $3.000 10 19 $ 8.000 20 o ms $11.000 Adems, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un nmero entero, ste se aproxima al entero superior. Cul de los siguientes grficos interpreta el sistema de cobros de la empresa?102EJEMPLO PSU-27: En la figura Cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuacin de la recta es y = 5x - 10 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: Cul es la ecuacin que mejor representa al grfico de la figura? A) B) C) D) E) y = x2 y = x3 y = 4x4 y = 4x y = 4x2103EJEMPLO PSU-29: La relacin entre el radio y el rea de una circunferencia es: A ! r 2 Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. es variable. II. r es variable y A slo toma valores positivos. III. A es funcin de r. A) Slo I B) Slo I y II C) Slo II D) Slo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-30: Dada la funcin f( x ) !11 6 1 B) 2 1 C) 2 11 D) 6 E) Otro valor A)x3 x 2x, entonces f(-4)=EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, adems, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la funcin que relaciona el valor (y) y los kilmetros recorridos (x) es: A ) y ! 150 300 ?xA B) y ! 150 ?xA 300 C ) y ! 150 ?x 1A 300 D ) y ! 150 300 ?x 1A E) y ! 150 300 ?x 1AEJEMPLO PSU-32: Dada la funcin f( x) ! ( x 2 ) , se puede afirmar que: I) La funcin est definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la funcin A) Slo II B) Slo III C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III104EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, qu valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6? A)1 y5 2 1 B) - 1 y 2C) 2 y 2 D)1 13 y 2 2E) 2 y 10EJEMPLO PSU-34: Una compaa telefnica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, ms $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno. Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o ms minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate. A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-35: Una fbrica de lmparas tiene un costo fijo de produccin de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lmpara de $ 5.000. Si x representa el nmero de lmparas producidas en un mes, cul de las siguientes expresiones representa la funcin costo C(x)? A) C(x) = x + 1.005.000 B) C(x) = 1.000.000x + 5.000 C) C(x) = 1.005.000x D) C(x) = 5.000x + 1.000.000 E) C(x) = (x 5.000) + 1.000.000105EJEMPLO PSU-36: Dada la funcin f(x)= 2 1 x x , cul(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I ) f( 2 ) ! f( 1) 1 1 II ) f ! 2 2 III ) f( 2 ) ! 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III EJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) f(8) es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x 4, entonces f(x + 1) es igual a: A) x2 + 3x - 2 B) x2 + 5x 3 C) x2 + 5x 2 D) x2 + 5x E) x2 + 3x EJEMPLO PSU-39: dada la parbola de ecuacin y = x2 2x + a, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a > 1, la parbola intersecta en dos puntos al eje x II) Si a = 1, la parbola intersecta en un solo punto al eje x III) Si a < 1, la parbola no intersecta al eje x A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III106EJEMPLO PSU-40: Sea la funcin cuadrtica f( x) ! ax 2 bx c , cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a < 0, entonces la funcin tiene un mximo II) Si c = 0, la grfica de la funcin pasa por el origen III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la grfica de la funcin intersecta al eje x en dos puntos A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-41: Cul de las siguientes funciones est mejor representada por el grfico de la figura? A ) f ( x) ! 8x B) g ( x ) ! 2 x 2 C ) h( x ) ! 4 x 2 D ) t( x ) ! 2 x 3 E) s( x) ! x 4107XI. ANGULOS: &ODVLILFDFLQGHQJXORV 6HJQVXPHGLGDXQQJXORSXHGHVHU DEFINICIN ngulo Agudo: su medida es menor que 90AOB90DEFINICIN ngulo Recto: su medida es 90, es decir, mide la cuarta parte del ngulo completo. Se dice que sus lados son perpendiculares (B)BOC ! 90rDEFINICIN ngulo Obtuso: Su medida es mayor que 90 y menor que 18090rAOB180rDEFINICIN ngulo Extendido: Su medida es 180BAC ! 180rngulos en el plano DEFINICIN ngulos adyacentes: dos ngulos son adyacentes si y solo si tienen en comn el vrtice y un lado, y sus interiores no se intersectan. ngulo BAC adyacente al ngulo CAD108DEFINICIN ngulos complementarios: dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90.Complemento de un ngulo es la medida del ngulo que le falta para completar1 de giro (90). 4 ! 90r , complemento de ! 90r DEFINICIN ngulos Suplementarios: Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180. suplemento de un ngulo es la medida del ngulo que le falta para completar1 de giro. (180) 2 ! 180r Suplemento de! 180r As entonces, podemos tener: a) ngulos adyacentes complementarios ! 90rb) ngulos adyacentes suplementarios: ! 180rDEFINICIN ngulos opuestos por el vrtice: son dos ngulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Propiedad: ngulos opuestos por el vrtice tienen igual medida ( son congruentes)! y !109ngulos entre paralelas y una transversal Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta transversal, se determinan 8 ngulos; entre los cuales hay parejas que cumplen propiedades importantes Opuestos por el vrtice .Son congruentes.1 $ 3 2 $ 4 6 $ 8 5 $ 7ngulos Correspondientes. Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con L2, se superponen ciertos ngulos, stos reciben el nombre de correspondientes, y obviamente son congruentes.1 $ 5 2 $ 6 3 $ 7 4 $ 8ngulos alternos internos. Son los que estn entre las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ngulos alternos internos son congruentes. 4 $ 6 3 $ 5 ngulos alternos externos Son los que estn en el exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ngulos alternos externos son congruentes.1 $ 7 2 $ 8Observacin: los recprocos de las propiedades anteriores tambin se cumplen. Observacin: Sea L1 // L2, entonces: (1) ! si :(2) E F ! 180r110Observacin: T1 y T2 transversales, entonces se cumple:!Observaciones: (a) Bisectriz de un ngulo: Es el rayo que divide al ngulo, en dos ngulos de igual medida (congruentes) $(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ngulo cuya medida es de 90L1 B L 2111yTringuloDEFINICIN Un tringulo lo podemos entender como la unin de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vrtices, y lados del los segmentos, tringulo; adems, se determinan tres ngulos, cuyos lados son los lados del tringulo, y se denominan ngulos interiores del tringulo Se acostumbra usar letras minsculas para los lados, de acuerdo al vrtice al que se Teorema fundamental: En todo tringulo, la suma oponen. de las medidas de los ngulos interiores es 180 ! 180rDEFINICIN ngulo Exterior Se llama ngulo exterior de un tringulo, al ngulo formado por un lado del tringulo y la prolongacin de otro. ' ; ' ; ' ngulos exteriores Propiedades (1) La medida de un ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ngulos interiores no adyacentes '! '! '! (2) La suma de las medidas de los ngulos exteriores de un tringulo es 360 ' ' ' ! 360r112yClasificacin de los tringulosLos tringulos los podemos clasificar segn la medida de sus lados y de sus ngulosSegn la medida de sus ngulos Acutngulo: es aquel que tiene sus tres ngulos interiores agudosRectngulo: es aquel que tiene un ngulo recto. Los otros dos ngulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ngulo recto se denominan catetos y el lado opuesto al ngulo recto hipotenusaObtusngulo: es aquel que tiene un ngulo interior obtuso113Segn la medida de sus lados Equiltero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ngulos interiores tambin lo son, y como la suma de sus medidas es 180, cada uno mide 60Issceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados lados, y el tercero se llama base Se puede demostrar que los ngulos opuestos a los lados son tambin congruentes. A estos ngulos se les llama ngulos basales Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ngulos tambinELEMENTOS DEL TRINGULO 6HGHQRPLQDQ (OHPHQWRV3ULPDULRV GHOWULQJXORDVXVODGRV\QJXORV/RV (OHPHQWRV VHFXQGDULRV GHOWULQJXORVRQORVOODPDGRV 3XQWRV1RWDEOHV \ 5HFWDVQRWDEOHV y 5HFWDV 1RWDEOHV 6H OODPDQ DV D ODV WUDQVYHUVDOHV GH JUDYHGDG DOWXUDV ELVHFWULFHV VLPHWUDOHV\PHGLDQDV y 3XQWRV QRWDEOHV 6RQ ORV SXQWRV TXH VXUJHQ GH OD LQWHUVHFFLQ GH XQ PLVPR WLSR GH UHFWDVQRWDEOHVHOORVVRQHOFHQWURGHJUDYHGDG%DULFHQWURHORUWRFHQWURHOLQFHQWUR \HOFLUFXQFHQWURDEFINICIN 1. Transversal de gravedad.-114Es la recta que une un vrtice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb, tc, donde el subndice indica el vrtice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)D,E, F : Puntos medios de los ladosAD ! t a ; BE ! t b ; CF ! t c t a t b t c ! {G} G : Centro de Gravedad ( o Baricentro)AG BG CG 2 ! ! ! GD GE GF 1Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que estn en la razn 2 : 1. El segmento que va desde el vrtice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al ladoDEFINICIN 2.- Altura. Es la perpendicular bajada desde un vrtice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subndice indica el vrtice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. AE B BC ; BF B AC ; CD B AB AE ! h a ; BF ! h b ; CD ! h c ha hb hc ! _ a H H : Ortocentro Propiedad: Las alturas de un tringulo son inversamente proporcionales a los lados a ha ! b hb ! c hc ! kObservaciones: En un tringulo obtusngulo el ortocentro queda en el exterior del tringulo115 En un tringulo rectngulo, el ortocentro coincide con el vrtice del ngulo recto, puesto que los catetos se confunden con las alturas.DEFINICIN 3.- Bisectriz.Es la recta que pasa por un vrtice y divide al ngulo en dos ngulos congruentes. Se denominan: b ; b ; b ; donde el subndice indica el ngulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al tringulo, se decir, el incentro equidista de los lados del tringulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega V .AF ! b ; BG ! b ; CE ! b AE AC ! ; EB CB FB AB ! ; FC AC CG BC ! GA BAb b b ! _a I I:Incentro P, Q, R :Puntos de tan genciaPropiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razn de las medidas de los lados que forman el ngulo2EVHUYDFLRQHV116 (QJHQHUDOORVSXQWRVGHWDQJHQFLDGHORVODGRVFRQODFLUFXQIHUHQFLDLQVFULWDDOWULQJXORQR FRLQFLGHQFRQORVSLHVGHODVELVHFWULFHV 6LVHGLEXMDQODVELVHFWULFHVGHORVQJXORVH[WHULRUHVGHXQWULQJXORVHGHWHUPLQDQWUHV SXQWRVTXHHTXLGLVWDQGHORVODGRVGHOWULQJXOR'LFKRVSXQWRVVRQORV ([FHQWURV RFHQWURV GHODVFLUFXQIHUHQFLDVH[LQVFULWDVDOWULQJXOR DEFINICIN 4.- Simetral Es la recta perpendicular a un lado del tringulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc , donde el subndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de interseccin de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al tringulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vrtices del tringulo. Su radio se designa por rOD ! Sa ; OF ! Sb ; OE ! Sc Sa Sb Sc ! _ a O O: CircuncentroObservacin: En general, las simetrales no pasan por los vrtices del tringulo.DEFINICIN 5.- Mediana Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del tringulo P, Q, R : Puntos medios de los ladosPQ, QR , RP : MedianasPropiedades: y La mediana es paralela al tercer lado: RP // AB ; QR // AC ; PQ // BC y La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela: AB = 2 PR ; BC = 2 PQ ; AC = 2 QR117yCuando se dibujan las tres medianas de un tringulo, se forman cuatro tringulos congruentesNota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los tringulos equilteros e issceles.Observacin: TRINGULO EQUILTERO PROPIEDADES ( 1) AB ! BC ! CA ! a ( 2 ) ngulos iguales a 60r cada uno , ! 60r (3) Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma rectat a ! tb ! t c ! ha ! hb ! hc ! b ! b ! b( 4 ) AM ! MB M ; punto medio lado 3 a ! 3 2 2 (lado ) 2 3 a 2 ! ( 6) rea ! 3 4 4 (7 ) Radio de la circunferencia inscrita ( 5) Altura ! lado 3 a 3 ! 6 6 ( 8) Radio de la circunferencia circunscrita ! ! lado 3 a 3 ! 3 3TRINGULO ISSCELES118PROPIEDADES ( 1) AC ! BC ; AB base ( 2 ) 1 ! 2 ngulos basales ( 3) ngulo del vrtice (4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vrtice del ngulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vrtices y lados no ocurre lo Mismo hc = tc = bF= CMLa bisectriz de un ngulo interior del tringulo divide interiormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ngulo del tringulov b u a ! o bien ! u a v bLa bisectriz de un ngulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ngulo interior del tringulo.EA b ! EB aTEOREMA DE PITGORAS119El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos En todo tringulo ABC rectngulo en C se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir a2 b 2 ! c 2 RECPROCO DEL TEOREMA DE PITGORAS Sea un tringulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 = a2 + b2, entonces el tringulo ABC es un tringulo rectngulo Tros pitagricos: (a b c) a 3 5 8 7 20 12 b 4 12 15 24 21 35 c 5 13 17 25 29 37TEOREMAS RELATIVOS AL TRINGULO RECTNGULO Teorema: Si uno de los ngulos de un tringulo rectngulo mide 30, entonces el lado opuesto a dicho ngulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusaTesis: BC !AB 2Teorema: En un tringulo rectngulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa120Tesis: BM !AC 2Corolario: En un tringulo rectngulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa Nota: Un tringulo rectngulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ngulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condicin de tringulo rectngulo (ngulo de 90) &,5&81)(5(1&,$&,5&816&5,7$$8175,1*8/25(&71*8/2 6DEHPRVTXHODPHGLGDGHXQQJXORLQVFULWRHQXQDFLUFXQIHUHQFLDHVLJXDODODPLWDGGHODUFR TXH DEDUFDQ VXV ODGRV 3RU HVWD UD]Q VL HO WULQJXOR HV UHFWQJXOR HO DUFR TXH DEDUFDQ ORV GRVFDWHWRVHVGH 3RUWDQWRVHFXPSOLU D/DKLSRWHQXVDHVHOGLPHWURGHODFLUFXQIHUHQFLD E(OWULQJXORUHFWQJXORGHPD\RUUHDFX\DKLSRWHQXVDPLGHFHVHOLVVFHOHVGHEDVHF F/DPHGLDQDUHODWLYDDODKLSRWHQXVDHVLJXDODODPLWDGGHODKLSRWHQXVDTEOREMAS DE EUCLIDES El tringulo de la figura es rectngulo en C y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa121p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los tringulos ACB, ADC y CDB son semejantes. Referente a la altura: En todo tringulo rectngulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geomtrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2 ! p y q cReferente a los catetos: En todo tringulo rectngulo cada cateto es media proporcional Geomtrica entre la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto sobre la hipotenusa. a2 ! p y c b2 ! q y chc !ayb cClasificacin angular de un tringulo conocidas las medidas de sus lados $&871*8/2 5(&71*8/2 2%7861*8/2 c2a b 22 c ! a b 222 c 2 " a 2 b 2 2%6(59$&,1 (QWRGRWULQJXORUHFWQJXORHOUDGLRGHODFLUFXQIHUHQFLDLQVFULWDHQOHVLJXDODOFRFLHQWH HQWUHHOSURGXFWRGHORVFDWHWRV\HOSHUPHWURGHOWULQJXOR ! ab abcs!abc ; s : semipermetro 2 3523,('$''(/$$/785$&255(6321',(17($/$+,327(186$122 (QXQWULQJXORUHFWQJXORODDOWXUDFRUUHVSRQGLHQWHDODKLSRWHQXVDGHWHUPLQDGRV WULQJXORVVHPHMDQWHVHQWUHV\VHPHMDQWHVDOWULQJXORLQLFLDOEJEMPLO PSU-1: En el tringulo ABC rectngulo en C, BC = 5 cm y BD = 4 cm. La medida del segmento AD es:A) B) C) D) E) 3 cm 2 9 cm 4 3 cm 4 4 cm 9 cmEJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son tringulos equilteros y BFEC es un rombo, entoncescul(es)123de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ? I) x = z II) x + y = EBD III) x + y z = 60 A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-3: Si en un tringulo equiltero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos tringulos A) issceles rectngulos congruentes. B) acutngulos escalenos congruentes. C) acutngulos congruentes. D) escalenos rectngulos congruentes. E) equilteros congruentes. EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del tringulo equiltero ABC se construye otro tringulo equiltero, como se muestra en la figura, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El rea del DEF es la sexta parte del rea del ABC. II) El lado FE es paralelo al lado AB . III) El lado FE es perpendicular al lado AC . A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) Slo II y III EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un tringulo equiltero de 18 cm de permetro y DBEC es un rectngulo. El rea de la regin achurada es:A) 9 cm2 B) 9 3 cm2 C) 9 5 cm2 D) 9 5 cm2 2 9 E) 3 cm2 2EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el CD esABC es rectngulo en C y AC = BC = 2 6 , entonces124A) 2 3 B) 2 6 C) 3 D) 6 E) 12 EJEMPLO PSU-7: Si en el tringulo ABC de la figura, CE = 3 cm y BE = 12 cm, entonces la medida de CD es: A) 6 cm B) 3 5 cm C) 3 2 cm D) 9 cm E) Indeterminable con los datos dados EJEMPLO PSU-8: Qu pasa con el rea de un tringulo si su altura se divide por dos y se mantiene su base? A) Se reduce en media unidad cuadrada B) Se reduce a la mitad C) Se reduce a la cuarta parte D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada E) Falta informacin para decir que ocurre con elEJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectngulo en C. D y E son puntos que dividen a BC en tres segmentos iguales. Si B'C' // BC, AC = 12, AC' = 4 y B'C' = 3, Entoncesrea AB' D' rea ACE125A)1 18 1 B) 3 1 C) 4 1 D) 6 1 E) 9p 4 yp+q= ! q 1EJEMPLO PSU-10: En la figura, el tringulo ABC es rectngulo en C. Si10, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) I) a + b = 6 5 II) h = 4 III) El rea del tringulo ABC = 20 A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo II y III E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo issceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera para el rea del tringulo rectngulo resultante, respecto del rea original? A) Se mantiene igual B) Aumenta en un 4% C) Disminuye en un 4% D) Aumenta al doble E) Disminuye a la mitadEJEMPLO PSU-12: El permetro del tringulo issceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide:126sa 2 2s a B) 2 C) s a A) D) 2s a E) 2(s a)EJEMPLO PSU-13: Cunto mide el ngulo x en el tringulo ABC de la figura? A) 32 B) 39 C) 45 D) 52 E) No se puede determinar, faltan datosEJEMPLO PSU-14: El tringulo ABC es rectngulo en C. CD es perpendicular a AB . AD = 9 y DB= 4 Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I ) CD ! 6 II ) AC ! 117 III ) BC ! 52 A) Slo I B) Slo II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un tringulo rectngulo miden 0,25 cm y cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?5 del cateto menor. 3 5 cm2 II) El rea del tringulo es 12 1 cm, 3I) Su hipotenusa es igual aIII) Su permetro es igual a 1 cm. A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) Slo II y III127EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ( ABC es rectngulo en C y hc = . Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) (p + q)2 = 4pq II) q ! A) Slo II B) Slo III C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y IIIp q p ! 2 2c 2III) El ( ABC es issceles.128XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS: DEFINICIN Dos tringulos son congruentes si y slo si existe una correspondencia entre sus vrtices, de modo que cada par de lados y ngulos correspondientes sean congruentes. $ PQ AB $ PR AC CB $ RQ PQR A $ P B $ Q C $ R ABC $POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS ALA: Dos tringulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ngulos adyacentes a ese lado.LAL: Dos tringulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.LLL: Dos tringulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.LLA >: Dos tringulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ngulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.129EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se intersectan en T. Cul(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)?I) PTS $ STR II) PTS $ RTQ III) PSR $ RQPA) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-2: En la figura, PTR y SVQ son congruentes. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?I) TR // VQ II) PT // SV III) RQV $ RPTA) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-3: El tringulo ABC de la figura es issceles de base AB. Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los tringulos AQP y PRC son congruentes II) Los tringulos QBP y RPB son congruentes III) El rea del tringulo QBP es la cuarta parte del rea del tringulo ABC A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y IIE) I, II y III130EJEMPLO PSU-4: El tringulo ABC es issceles de base AB . La circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del tringulo en D y E. Cul(es) de la(s) siguiente(s) afirmacin(es) es(son) verdadera(s)? I. ABE $ ABE II. BEC $ ADC III. ABD $ ADC A) Slo III B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: En la figura I) II ) A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III AEC $ ADB AEC $ BED ABC $ BADIII ) AC $ DBEJEMPLO PSU-6: En la figura, los tringulos ABC y DAE son issceles congruentes de bases BC y AE , respectivamente. Si BAC = 36, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) DAC $ CAB II) ( ABC $ ( ACD III) ( AEP $ ( DCP A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III131EJEMPLO PSU-7: Si el tringulo ABC de la figura es equiltero de lado 2 y AD $ DB , cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ( ADC $ ( BDC II) ACD = 30 III) CD ! A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-8: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos tringulos son congruentes si sus lados homlogos con congruentes II) Dos tringulos son congruentes si sus ngulos respectivos son congruentes III) Dos tringulos rectngulos son congruentes si sus catetos homlogos son congruentes A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III3 2132XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS: DEFINICIN: Dos polgonos de un mismo nmero de lados se dirn semejantes, cuando los ngulos del uno sean respectivamente iguales con los ngulos del otro y cuando, adems, tengan sus lados homlogos proporcionales A$ B$ C $ D$ E$ P Q R S TAB BC CD DE EA ! ! ! ! PQ QR RS ST TPObservacin: Esta definicin de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polgonos son semejantes, s y solo si, tienen la misma forma. As, por ejemplo; (1) todos los cuadrados son semejantes entre s (2) todos los tringulos equilteros son semejantes entre s (3) todos los pentgonos regulares son semejantes entre s En general, todos los polgonos regulares de un mismo nmero de lados son semejantes entre s; e incluso podemos extender esta definicin y decir tambin que todas las circunferencias son semejantes entre si. SEMEJANZA DE TRINGULOS El hecho que todo polgono, de ms de tres lados, admita descomposicin en tringulos, motiv en los gemetras una especial atencin por estas elementales figuras ABC } PQR si y solo si : A ! P ; B ! Q ; C ! R y AB BC CA ! ! PQ QR RP133TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS Los gemetras griegos de la antigedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos tringulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes. * TEOREMA FUNDAMENTAL Para que dos tringulos sean semejantes, basta que los ngulos de uno sean iguales a los ngulos del otro Corolario: Toda paralela a un lado de un tringulo, determina un tringulo semejante al primero Si DE //AB , entonces ( CDE ~ (CABLos criterios de semejanza son condiciones mnimas para decidir si dos tringulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ngulos correspondientes son congruentes y los t