libro mate iv

Maricela Gutirrez CarbajalCuauhtmoc Olivares JimnezAnnael Servn Martnez Luis Surez Mndez

CUADERNILLO DE PROCEDIMIENTOS PARA EL APRENDIZAJECon la colaboracin de:

Matemticas IVEDUCACIN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA

MATEMTICAS IVCuadernillo de procedimientos para el aprendizaje

Con la colaboracin de :

Maricela Gutirrez CarbajalCuauhtmoc Olivares Jimnez

Annael Servn Martnez Luis Surez Mndez

EDUCACIN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA

EMSAD

MATEMTICAS IVCuadernillo de Procedimientos para el aprendizaje

Con la colaboracin de:Maricela Gutirrez CarbajalCuauhtmoc Olivares JimnezAnnael Servn Martnez Luis Surez Mndez

Coordinacin de Educacin Media Superior a DistanciaMartha Elena Fuentes Torres

Departamento de Diseo de Material Didctico y Capacitacin:Antonio Cadena Magaa

Revisin y asesora acadmica:Vctor Manuel Mora Gonzlez

Diseo Grfico:Mildred Ximena Uribe Castan

Correccin de Estilo:Cristina Miranda Huerta

Secretara de Educacin Pblica. Mxico, febrero de 2008.

Subsecretara de Educacin Media SuperiorDireccin General del BachilleratoEducacin Media Superior a Distancia

ISBN: En trmiteDerechos Reservados

321

NDICE

RELACIONES Y FUNCIONES

9

56

83

102

135

FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES

4 FUNCIONES EXPONEN-CIALES Y LOGARTMICASRESPUESTAS

5PRESENTACIN

La asignatura de Matemticas IV, a la cual pertenece el Cuadernillo de Procedimien-tos para el Aprendizaje que tienes en tus manos, amable estudiante, se incluye dentro del campo de conocimiento fsico-matemtico.

Entre los propsitos formativos de este campo se encuentran el desarrollo de co-nocimientos, habilidades y actitudes que te permitan como estudiante interpretar de manera reflexiva y crtica el quehacer cientfico, valorar su importancia actual y futura, y tomar conciencia del impacto social, econmico y ambiental del desarrollo tecnolgico.

El estudio de esta asignatura, mediante el desarrollo de conceptos, mtodos y proce-sos lgicos, te permitir adquirir los elementos bsicos para efectuar el anlisis de la relacin funcional entre dos variables, indispensable para la explicacin de fenme-nos y la resolucin de problemas en distintos campos del conocimiento.

El estudio de las Matemticas te brinda, como estudiante de bachillerato, la oportuni-dad de desarrollar diversas formas de pensamiento y diferentes tipos de razonamien-to, y a utilizar distintos lenguajes y formas de representacin simblica, tiles para tu desarrollo y madurez intelectual, as como para la comprensin e interpretacin de tu realidad, tanto personal como social. Al cursar la asignatura de Matemticas I, apren-diste a transitar de las operaciones numricas de la Aritmtica al lenguaje general del lgebra; en Matemticas II, incorporaste el estudio de los conocimientos geomtri-cos; y en Matemticas III, conjugaste los aspectos anteriores mediante el estudio de la Geometra Analtica, es decir, aprendiste a transitar de las formas algebraicas a las representaciones geomtricas y viceversa.

Al estudiar los conceptos de variacin y aproximacin ligados a la idea de funcin; la asignatura de Matemticas IV tiene entre sus propsitos desarrollar en ti un pensa-miento flexible al constatar que la Matemtica tambin admite el titubeo, el error y la aproximacin, adems de la formalidad, el rigor y la exactitud, posibilitar asimismo el que desarrolles distintas formas de comunicacin oral y escrita, expresando tus ideas mediante diversas representaciones grficas o interpretando y describiendo pro-cesos; utilizars el pensamiento crtico al elaborar grficas e identificar las diferentes formas de variacin funcional al modelar situaciones; valorars la utilidad del trabajo colaborativo en equipos y en el grupo, lo mismo que la importancia del respeto a las opiniones de los dems, al participar en actividades grupales, y desarrollars una actitud de aprecio hacia el trabajo cientfico, particularmente de la Matemtica, al aplicar los conocimientos para la modelacin y resolucin de problemas de diversos mbitos.

6 El estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de estudios del bachillerato general posibilita, que concluyas el componente de formacin bsica consolidando y ampliando tus conocimientos algebraicos sobre variables y ecuaciones iniciado en Matemticas I y los del comportamiento de las funciones trigonomtricas abordados en Matemticas II (ubicndolas como un tipo particular de funciones trascendentes) y los de representacin grfica de ecuaciones adquiridos mediante el estudio de la Geo-metra Analtica en Matemticas III. Tambin, permitir que apliques especficamente dichos conocimientos en la modelacin de fenmenos, en la asignatura de Fsica II que se imparte en este mismo semestre y, ms all, constituir una base importante en los semestres subsecuentes, para el estudio del Clculo Diferencial e Integral, Ma-temticas Financieras y, Probabilidad y Estadstica, en el componente de formacin propedutica.

Los contenidos sobre funciones que sern abordados en el curso de Matemticas IV comprenden los temas de: Relaciones y funciones, Funciones polinomiales, Funcio-nes racionales y Funciones exponencial y logartmica. La idea general de interdepen-dencia funcional entre dos variables, as como sus distintas formas de representacin, vincular y estructurar el estudio de tales contenidos. Partiendo de la idea general de funcin, sus caractersticas algebraicas y geomtricas, operaciones y tipos bsicos es-peciales de funciones (indispensables para la representacin de la variacin entre dos magnitudes) se pasar al estudio de las funciones algebraicas polinomiales y raciona-les (incluyendo propiedades algebraicas de polinomios, tales como factores, residuos, races de ecuaciones lineales, cuadrticas, cbicas y curticas) y se concluir con el estudio del comportamiento de dos tipos especiales de funciones trascendentes, las funciones exponencial y logartmica, destacando el carcter inverso de ambas, revi-sando propiedades bsicas de logaritmos y resolviendo ecuaciones exponenciales y logartmicas (lo que complementar el estudio de las funciones trascendentes iniciado ya en Matemticas II con las funciones trigonomtricas).

En cada unidad aprenders a relacionar magnitudes para modelar diversas situaciones de tu entorno, a partir de la idea de variabilidad y relacin funcional de dos variables, que te resultar de utilidad para interpretar aspectos numricos y lgicos de tus viven-cias personales y de tu realidad social. En todas las unidades desarrollars habilidades de comunicacin al transitar por distintas formas de representacin de las funciones, incluyendo representaciones tanto matemticas (algebraicas: ecuaciones; numricas: tablas; geomtricas: grficas), como no matemticas (descripciones en lenguaje ordi-nario, orales o escritas), mediante la participacin en debates, anlisis, exposiciones, etc; igualmente, tendrs oportunidad de desarrollar actitudes de colaboracin y res-peto al participar en diversas actividades, como elaboracin de tareas y exposiciones en equipo y grupales; de desarrollar una actitud crtica al realizar investigaciones y participar en el anlisis de situaciones prcticas que requieran modelacin, solucin e interpretacin de resultados, tomadas de tu contexto inmediato, escolar o social.

7Los temas que incluye Matemticas IV, son:

Unidad I. Relaciones y funciones.

Unidad II. Funciones polinomiales.

Unidad III. Funciones racionales.

Unidad IV. Funciones exponencial y logartmica.

Objetivo de la asignatura:

Resolvers problemas que conlleven el concepto matemtico de funcin, a partir de su clasificacin y operaciones que conduzcan a un anlisis particularizado de cada una y al manejo de las nociones de variacin e interrelacin de dos magnitudes, mediante el desarrollo de tcnicas y mtodos algebraicos y geomtricos; generando un ambiente escolar de tolerancia y respeto que favorezca el desarrollo de habilidades de exploracin, modelacin y obtencin de resultados, utilizando el pensamiento crtico y reflexivo.

91UNIDAD

Qu voy a aprender?

RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivo de la unidad: Resolvers problemas sobre re-laciones y funciones, tericos o prcticos, mediante el manejo de la relacin funcional entre dos variables, la realizacin de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transfor-maciones de grficas, en un ambiente escolar que favo-rezca la reflexin y razonamiento abstracto, lgico, ana-lgico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperacin, iniciativa y colaboracin hacia el entorno en el cual te desenvuelves.

Sean bienvenidos!

Ests comenzando el curso de Matemticas IV, lo cual indica que tu esfuerzo a lo largo de tres semestres est dando fruto y ests iniciando la segunda parte de tu Bachillerato, enhorabuena!

La asignatura de Matemticas IV, cuyo estudio ests emprendiendo, trata, por decirlo de manera muy resumida, del estudio de una nocin fundamental en matemticas: la funcin. De hecho las matemticas modernas son herramientas tan poderosas porque se basan en el uso de las diversas funciones que existen. Su conocimiento y dominio hace que cualquier persona logre representar simblicamente muchos fenmenos y situaciones, para construir modelos que sirven para dar soluciones adecuadas, a veces inslitas, a problemas que se presentan cotidianamente.

Es por ello que esta unidad la primera del curso te proporciona las bases esenciales para ir profundizando poco a poco en los temas de las otras tres unidades. Siendo especficos, comenzars por estudiar la nocin de relacin y de funcin para distin-guirlas entre s. De las funciones entenders a qu se le llama dominio, codominio y rango, revisando, adems, algunas aplicaciones prcticas.

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Fuentes de consulta

Enciclopedia Encarta:

Si tu Centro de Servicios cuenta con este software, te recomendamos revisar estos artculos que tienen relacin con los temas tratados en esta Unidad. Funcin (matemticas) Nmero racional Asntota

Bibliografa bsica:

1. Barnett, Raymond. Preclculo: funciones y grficas. Mxico, McGraw Hill In-teramericana, 2000.2. Larson, Ronald, y otros. lgebra. Mxico, Publicaciones Cultural, 1996. 3. Leithold, Louis. Matemticas previas al Clculo. Mxico, Oup-Harla, 1994.4. Ortz Campos, Francisco J. Matemticas IV. Bachillerato General. Mxico, Pu-blicaciones Cultural, 2005.5. Ruiz Basto, Joaqun. Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico, Publicaciones Cultural, 2005.6. Stewart, James, y otros. Preclculo. Mxico, International Thomson Editores, 2000.7. Sullivan, M. Preclculo. Mxico, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1997.

11

Pginas Web:

Actualmente podemos encontrar en la red una gran cantidad de informacin y existen sitios altamente recomendables como los que enlistamos a conti-nuacin para que los visites:

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html http://www.geocities.com/funcion_ve/ http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html#func

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Cmo aprendo?

1.1. RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivo temtico: Resolvers problemas que impliquen la nocin de relacin y funcin en forma terica y prctica, mediante el anlisis de la asociacin entre dos variables a travs de tablas, parejas, diagramas, grficas y ecuaciones, que permitan obtener su dominio y rango.

Puedes observar a tu alrededor y darte cuenta de forma inmediata que no vives en un mundo fijo, sino en un mundo cambiante, donde existe un sinfn de magnitudes que varan, como: el tiempo, la posicin del sol, el precio de las cosas, la posicin en la que te encuentras y la de los objetos que observas a tu alrededor. La observacin de esos cambios y la dependencia que existe entre ellos son los que interesan al estudio de las matemticas, ya que esto nos permite tomar decisiones.

Por ejemplo, sabemos que el tiempo que tardes en llegar a la escuela depende de la velocidad a la que camines, que el ngulo de inclinacin del sol depende de la hora del da, que la produccin agrcola depende del clima, que las ganancias en una tien-da dependen de la cantidad de artculos que logran vender y as, podemos elegir a qu velocidad debemos caminar para llegar a tiempo, la cantidad de artculos que pode-mos comprar con el dinero que tenemos, en qu poca del ao sembrar determinado tipo de planta, etc. Recordemos que tenemos siempre dos magnitudes, pero slo una depende de la otra.

La diferencia entre decir que unas magnitudes estn en relacin con otras, o bien, que unas estn en funcin de otras, en el lenguaje comn parece no tener relevancia, pues relacin se utiliza como sinnimo de funcin. Sin embargo la diferencia en matemticas es notable, pues, aunque ambos conceptos tienen similitudes, no son completamente iguales. Para comprender su empleo y relevancia, analicemos a con-tinuacin cada uno de ellos.

NOCIN DE RELACIN

En el mbito matemtico, qu debe entenderse por relacin? Estudiemos la defini-cin siguiente:

Una relacin es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto (llamado dominio) con los elementos de un segundo conjunto (denominado contradominio o codominio), de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o ms elementos del contradominio.Ortiz Campos, Francisco J. Matemticas IV. Funciones, Mxico, Publicaciones Cultural, 2007.

Segn esta definicin, en una relacin necesitamos dos conjuntos de datos, Uno lla-mado dominio (primer conjunto) y otro contradominio (segundo conjunto), y que sus elementos estn asociados. Asimismo, notamos que no se establece ningn tipo de restriccin respecto a cmo relacionarse un conjunto con otro.

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Existen numerosos ejemplos de relaciones que utilizamos con frecuencia, a continua-cin te citamos algunos. Para ilustrarlos de una manera ms clara, los representare-mos por diagramas sagitales (nombrados as porque se utilizan flechas, que en latn se dice sagita), en donde se pueden apreciar ambos conjuntos, denominados dominio y contradominio, cuyos elementos asociados se unen por medio de flechas.

Coahuila SaltilloNuevo Len MonterreyTamaulipas Cd. VictoriaVeracruz JalapaGuanajuato GuanajuatoQuertaro QuertaroHidalgo PachucaJalisco GuadalajaraZacatecas Zacatecas

Ejemplo 2.Las materias que cursas con el nmero de horas a la se-mana.

Matemticas IV Fsica II Biologa I 3Est. Soc. de Mxico 4Literatura II 5Lengua Adic. al EspaolCap. para el trab. A Cap. para el trab. B

Ejemplo 1.La relacin entre los nombres de los esta-dos colindantes con San Lus Potos y sus capitales.

Estados Capitales

Asignaturas No. de horas

Ejemplo 3.El nombre de algunos alumnos y el deporte que practican.

,

Nombre Deporte

Jos BeisbolOmar FutbolUlises BasquetbolIsrael Voleibol

Aqu, un elemento del dominio est relaciona-do con varios elementos del contradominio es relacin?

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Ejemplo 4.Un automvil recorre 210 km de la Cd. San Luis Potos a la Cd. de Quertaro. La velocidad a la cual se mueve es de 70 km/h . Asociemos los kilmetros que recorre con el tiempo que transcurre.

Nuevamente nos encontramos con una relacin uno a uno, en donde ambos conjun-tos son numricos.

Tiempo (h) Distancia (km)

1 702 1403 210

Todos estos ejemplos son relaciones, no podemos descartar ninguno pues, como ha-bamos mencionado, no existe ninguna restriccin en la forma que deben relacionar-se.

Actividades:

1. Existen numerosas definiciones, te sugerimos investigar algunas otras para que pue-das construir tu propio concepto de relacin. Escrbelas en tu cuaderno y analzalas junto con tus compaeros y asesor.

2. Cita tres ejemplo de relaciones, exprsalos con un diagrama sagital.

NOCIN DE FUNCIN

Una funcin, como veremos, es un tipo especial de relacin. Estudiemos ahora esta definicin:

La funcin es una relacin en que a cada elemento del dominio corresponde uno y slo un elemento del contradominio.

Ortiz Campos, Francisco J. Matemticas IV. Funciones. Mxico, Publicaciones Cultural, 2007.

Aqu s existe una condicin respecto a cmo asociarse, que establece claramente que todos los elementos del dominio deben estar asociados estrictamente con uno del contradominio. Veamos otra definicin.

Una funcin f de un conjunto A respecto a un conjunto B es una regla de correspon-dencia que asigna, a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio de la funcin f, y el conjunto B es el contradominio.

Larson, Roland E. y Robert P. Hostetler. lgebra. Mxico, Publicaciones Cultural, 1996.

De acuerdo a lo anterior, de las relaciones anteriores cules son funciones? Disctelo con tus compaeros.

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3. Determina, si los siguientes diagramas sagitales son funciones o slo relaciones. Anota debajo de cada uno la palabra RELACIN o la palabra FUNCIN, segn co-rresponda:

En el estudio de las relaciones y las funciones utilizaremos algunos conceptos nuevos cuyo significado debe quedarnos suficientemente claro para apropiarnos de ellos y utilizarlos correctamente.

4. Aunque ya hemos mencionado algunos de ellos es necesario que conozcas de manera explcita su significado. Investiga en los medios a tu alcance y completa el siguiente cuadro.

TRMINO

Dominio

Codominio o contradominio

Argumento

Imagen

Rango

DEFINICIN

Para aclarar el empleo de estos trminos, veamos el siguiente diagrama donde se ob-servan los elementos, los conjuntos y los subconjuntos.

1 a2 b3 c4 d

A(x) B(y)

a2 b c4 d

A(x) B(y)

a2 b c4 d

A(x) B(y)

1 2 3 4

A(x) B(y)

abc

1 2 3 4

A(x) B(y)

abc

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Sigue revisando la imagen y trata de comprender las siguientes afirmaciones que se refieren a ella:

a) El dominio est definido por D={2,4} b) El contradominio por C={a,b,c,d}c) El rango est determinado por I={a,b}d) a es la imagen del argumento 2, b es la imagen del argumento 4.

Considerando estos conceptos, podemos definir a una funcin como una relacin tal, en la que a cada argumento le corresponde nicamente una imagen. Si esto no ocurre entonces la relacin no es funcin.

Analiza el siguiente cuadro en donde se expresan las diferencias y similitudes entre una relacin y una funcin:

RELACIN

Cada elemento del dominio puede estar asociado a 0, 1, 2 o ms elementos del con-tradominio.

Cada elemento del contradominio puede no estar asociado a ningn elemento del domi-nio.

Cada elemento del contradominio puede estar asociado a uno o mas elementos del dominio.

FUNCIN

Cada elemento del dominio debe estar aso-ciado a uno y slo un elemento del contra-dominio.

Cada elemento del contradominio puede no estar asociado a ningn elemento del dominio.

Cada elemento del contradominio puede estar asociado a uno o ms elementos del dominio.

CONTRADOMINIO(conjunto)

DOMINIO(conjunto)

RANGO(subconjunto)

Imgenes(elementos)

Argumentos(elementos)

A(x) B(y)

2

4

a

b

c

d

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5. Anota tus conclusiones sobre la informacin del cuadro anterior:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

NOTACIN DE FUNCIN

Se utiliza la notacin f: AB, para referirnos a una funcin entre el conjunto A del dominio y el B del contradominio. Se lee la funcin f de A a B.

Por ejemplo, la F: PE es la relacin en la que a cada persona se le asocia con su edad, es funcin porque cada persona no puede tener dos edades al mismo tiempo.

6. Analiza las siguientes frases: Todas las relaciones son funciones. Todas las funciones son relaciones.Ambas afirmaciones son verdaderas? Argumenta tu respuesta.

7. Realiza un diagrama que relacione los siguientes conjuntos y determina si son funciones o no.

a) El nombre de tus maestros y las asignaturas que imparte en tu escuela.b) Los das de la semana y el nmero de horas que dura cada una.c) Las materias que cursaste el semestre pasado y la calificacin obtenida.

REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIN Y UNA RELACIN

Hasta ahora hemos representado las funciones y relaciones por medio de diagramas sagitales (mtodo de flecha), sin embargo existen otras formas: por medio de tablas, como conjunto de pares ordenados, grfica y ecuacin.

Retomemos un ejemplo antes mencionado, en donde relacionamos el tiempo y la distancia recorrida por un automvil de la Cd. de San Lus Potos a la Cd. de Quer-taro, para mostrar estas representaciones.

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Tiempo (h) Distancia (km)

1 702 1403 210

Tiempo(h)123

Distancia(km)70

140210

Representacin sagital Tabla Grfica 200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0-1 0 1 2 3

Pares ordenados: F: {(1,70), (2,140), (3,210)}

Ecuacin:y=70x

Recuerda que convencionalmente se utiliza la letra x para designar los valores del dominio y y para los del contradominio. En el plano cartesiano los valores de x se ubican en el eje horizontal y los de y en el vertical. Es importante que analices estas representaciones y reconozcas que muestran la misma variacin entre los valores de dos conjuntos.

Pero, todas las funciones y relaciones se pueden representar de estas cinco formas?Analicemos ahora la funcin entre Estados de la Repblica Mexicana que colindan con San Luis Potos y sus capitales. Representacin sagital Tabla

Coahuila SaltilloNuevo Len MonterreyTamaulipas Cd. VictoriaVeracruz JalapaGuanajuato GuanajuatoQuertaro QuertaroHidalgo PachucaJalisco GuadalajaraZacatecas Zacatecas

Estados Capitales Coahuila SaltilloNuevo Len MonterreyTamaulipas Cd. VictoriaVeracruz JalapaGuanajuato GuanajuatoQuertaro QuertaroHidalgo PachucaJalisco GuadalajaraZacatecas Zacatecas

Las representaciones en pares ordenados, grfica y ecuacin son exclusivas para con-juntos numricos, por lo tanto, esta funcin slo tiene las dos representaciones ante-riores.

Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones y funciones, a pesar de ser dos conjuntos numricos los que se relacionan, tienen ecuacin: por ejemplo, si cada hora, durante un da completo registras la temperatura ambiente, elaboras

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una tabla y construyes una grfica, observars que no existe ninguna ecuacin que se ajuste a todos los puntos que obtienes. Este hecho no es aislado, en realidad la mayo-ra de los fenmenos que ocurren en la naturaleza varan de forma irregular, y para su estudio slo se hacen aproximaciones de ecuaciones que se ajusten lo ms posible, para analizar su comportamiento, hacer predicciones y tomar decisiones al respecto.

Hemos visto que en una funcin, para cada argumento existe uno y slo un valor para la imagen, es importante reconocer esta caracterstica en las diferentes representacio-nes de una relacin para establecer si es funcin o no.

Si la relacin est representada por un diagrama sagital, cada argumento debe tener una flecha, si al menos un argumento carece de sta o bien tiene dos o ms, entonces la relacin no es funcin.

2 4 16 38 510

A(x) B(y) -1 a-2 b-3 c-4 d-5 e

A(x) B(y) 1 3 35 5

A(x) B(y)

23 45 66 87 10

A(x) B(y)

S son funciones porque a cada argumento corresponde una imagen.

No son funciones porque en el primer caso a un argumento no le corresponde ninguna imagen y en el segundo, a un argumento corres-ponden dos imgenes.

Algo muy similar ocurre en la tabla, slo que en esta no hay flechas, cada elemento est relacionado directamente con el que est en la columna contigua. Analiza los siguientes tabuladores:

2 1 4 1 6 3 8 310 5

3 23 45 66 87 10

-1 a-2 b-3 c-4 d-5 e

x y x y x y 1 33 Indet.5 5

x y

Tabulador 1 Tabulador 2 Tabulador 3 Tabulador 4

Siendo las mismas relaciones apreciamos nuevamente que slo los dos primeros ta-buladores representan funciones. El tabulador 3, muestra un argumento con imagen indeterminada, por ello no es funcin, a menos que este elemento pueda ser elimina-do del dominio. Por qu no es funcin el tabulador 4?

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8. Puedes diferenciar en la representacin de pares ordenados si una relacin es fun-cin o no? A continuacin te mostramos algunos ejemplos, disctelos con tus compa-eros y asesor. Sugerimos cambiar a una representacin sagital para que observes la asociaciones entre los elementos.

A= {(2,1), (4,1), (6,3), (8,3), (10,5)} B= {(3,2), (3,4), (5,6), (6,8), (7,10)}

Veamos ahora la representacin de relaciones por medio de ecuaciones. Para encon-trar la correspondencia entre argumento e imagen, se deciden los valores del argu-mento x y se calculan los de la imagen y, pues x es la variable independiente y el valor de y es la variable dependiente. Para hacerlo, hay que recordar que es conveniente despejar y, en caso de que no lo est.

Ejemplos:

y = x2+2

y= (-3)2+2 = 9+2 =11 (-3, 11)

y= (-2)2+2 = 4+2 =4 (-2, 4)

y= (-1)2+2 = 1+2 =3 (-1, 3)

y= (0)2+2 = 0+2 =2 (0, 2)

y= (1)2+2 = 1+2 =3 (1, 3)

y= (2)2+2 = 4+2 =4 (2, 4)

y= (3)2+2 = 9+2 =11 (3, 11)

y2 = x+2

+y=- x+2+ + y=- -2+2=- 0 = 0

y=- -1+2 =- 1=- 1 ++ +

y=- 0+2 =- 2+ +

y=- 1+2 =- 3+ +

y=- 2+2= - 4= - 2+ +

y= - 3+2= - 5+ +

y= - 4+2= - 6+ +

y= - 5+2= - 7+ +

En el caso de la primera ecuacin observamos que para cada valor de x se obtiene un nico de y, por lo tanto es funcin. Sin embargo en la segunda, para cada valor de x se obtiene dos de y, ya que para la raz cuadrada de un nmero positivo, existen dos soluciones, por ello no es funcin.

Para graficar, en el eje horizontal se designa el dominio y en el vertical el contrado-minio.

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10

8

6

4

2

0-2 0 2 4 6-4

2

0

-2

0 2 4 6-2

9. Para que comprendas mejor cmo diferenciar la grfica de una funcin, de otra que no lo es, investiga la Prueba de la lnea vertical para funciones.

Una vez que se ha determinando que una ecuacin es una funcin, podemos cambiar su notacin para que esto se haga evidente. Veamos la siguiente definicin:

Sea x un argumento de la funcin f, y y su imagen, lo anterior se denotar de la si-guiente manera: y=f(x), lase y es la imagen de x

Garca Licona, Miguel A. y Manuel Rodrguez Lpez. Matemticas 4. Mxico, ST Editorial, 2005.

Para f(x)= x2+2, evaluar una funcin en x=a, se expresa mediante la notacin f(a), y se calcula sustituyendo a en la expresin: f(a)= a2+2.

Ejemplo: f(-2)= (-2)2+2 f(-2)= 4+2 f(-2)= 6

De tal manera que las coordenadas de un punto pueden ser expresadas como (x, f(x)), si x=a, entonces (a, f(a)), en este caso, si x=-2, entonces (-2, f(-2)) es un par ordenado que satisface la ecuacin. Cada representacin de una funcin nos permite ir a otra, si esta existe, pues son for-mas distintas de expresar lo mismo. Sin embargo, cada una de ellas nos permite ciertas ventajas sobre las otras, pero tambin desventajas.

y = x2 + 2 y2 = x+2

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REPRESENTACINDE UNA FUNCIN

Representacin sagital

Tabla

Pares ordenados

Ecuacin

Grfica

VENTAJAS DESVENTAJAS

DOMINIO, CONTRADOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN

El hombre creo las matemticas con la finalidad de entender cmo funciona el mundo en trminos numricos. A partir de ahora nos enfocaremos al estudio de funciones numricas, expresadas mediante tablas, ecuaciones y grficas, y las concordancias que existen entre las tres representaciones.

Una ecuacin es una expresin matemtica que puede expresarse en un plano carte-siano como una curva formada por todos los puntos que la satisfacen, cuya cantidad puede ser infinita. Sin embargo, cuando sta representa situaciones de la vida real, es importante definir el dominio en la que es vlida, de acuerdo al contexto.

11. Lee atentamente los siguientes problemas:

A. Jos tiene $25, si en la lonchera nicamente venden tortas de $5, expresa median-te tabla, grfica y ecuacin, la funcin entre el nmero de tortas que compra y lo que paga por ellas.

B. Una cubeta vaca de una capacidad de 25 litros, se pone a llenar con una llave cuyo gasto es de 5 litros/minuto, expresa mediante tabla, grfica y ecuacin, la fun-cin entre el tiempo que transcurre y la cantidad de agua almacenada.

Ambos problemas parecen iguales, la diferencia est en el dominio, diferencia que apreciars notablemente en la grfica.

10. Analiza lo anterior en equipo con tus compaeros y escriban sus conclusiones en el siguiente cuadro.

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0 0 1 52 103 154 205 25

x

N de tortas y

Costo total $

0 0 1 52 103 154 205 25

xTiempo (min)

yCantidad de agua

(litros)

5

0

10

20

15

25

5 10-5

y

5

0

10

20

15

25

5 10-5

y

Problema A Problema B

Sabemos que cada punto en el plano est representando un par ordenado de corres-pondencia entre dos magnitudes; en el primer caso, existen 6 puntos en el plano ya que slo se puede decidir entre comprar 0, 1, 2, 3, 4 5 tortas, pero no valores intermedios. En el segundo caso las magnitudes varan y toman valores no enteros, ubicamos por ejemplo ( , ), es decir, que en 1.5 min el contenedor tiene exacta-mente 7.5 litros de agua.

Para establecer esta diferencia existen notaciones distintas para el dominio, la nota-cin que corresponde al primer caso es de conjunto, de tal manera que el dominio y contradominio quedan especificados como D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {0, 5, 10, 15, 20, 25} donde slo son parte de la funcin los elementos mencionados, en el segundo caso, se expresa como D = [0,5] y C = [0, 25] e incluye no slo el 0 y el 5, sino tambin sus valores intermedios, al igual que en el contradominio.

32

152

24

2 4 6 8 10

2000

4000

6000

00

Existen tambin los casos en los que los extremos no se incluyen. Analiza el siguiente ejemplo:

El padre de Omar le ha prometido que si obtiene en Matemticas una calificacin mayor a 6 le dar $5000 para sus vacaciones. Cual de las siguientes grficas repre-senta la variacin entre la calificacin que obtiene Omar y el dinero que le otorgan?

D = (6,10]C = {5000}

D = [6,10]C = {5000} D = [0,10]

C = {5000}

12. De acuerdo a las grficas anteriores, analiza en grupo las diferencias entre las si-guientes formas de expresar el dominio y regstralas.

Representacin

D={x1, x2,, xn-1, xn}

D=[a,b] Si a

25

La notacin de dominio y contradominio que hemos mostrado hasta ahora es una notacin de intervalo, veamos la siguiente definicin:

Un intervalo es el conjunto de todos los nmeros comprendidos en una porcin con-tinua del eje real.

Salazar Vzquez, Pedro y otros. Matemticas IV. Mxico, Nueva Imagen, 2002.

Adems de sta, existe la notacin de desigualdad, que a continuacin te mostra-mos:

Desigualdad

D={x|-3

26

Intervalo Desigualdad

Intervalo Desigualdad

y=5x3 - x2 - 3 12

DOMINIO IMPLCITO

Aunque en la utilizacin de funciones, para la representacin de problemas, es nece-sario definir el dominio segn el contexto, cada funcin tiene un dominio implcito, formado por todos aquellos valores de x para los cuales se puede evaluar la funcin. Recordemos que no siempre se puede evaluar, pues existen operaciones con nmeros reales que estn indefinidas:a) La divisin entre cero.b) Las races de ndice par de nmeros negativos.

Analicemos las siguientes funciones:

Est definida en todos los reales, puesto que todos ellos se pueden sustituir como valor de x, y siempre encontraremos un valor definido de y, su dominio se expresa D=(-,) o bien, D={x|x R}

Slo existe un valor en el que no est definida, y es cuando el denominador toma el valor de cero, es decir x-3=0, resolviendo x=3, de modo tal que su dominio son todos los reales excepto el 3.

Expresamos esto como D= (-,3)(3,) o bien D={x|x 3}

--10 -8 -6 -4 -2 0

02 4 6 8 -10

--10 -8 -6 -4 -2 0

02 4 6 8 -10

1

2

3

00

-2

-1

-3

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6 -1-2

-1

1

1 2

00

x2 + 4x + 4y= x - 3

27

Notamos aqu que slo cuando x2-9>0, la funcin est definida, resolviendo la des-igualdad, x2>9, tenemos que esto slo se satisface con valores menores o iguales a -3 o bien, mayores o iguales a 3. Expresamos el dominio como D=(-,-3][3,)) o bien D={x|-3 x 3}

--10 -8 -6 -4 -2 0

02 4 6 8 -10

y= 9 - x2

Cmo queda expresado el dominio de esta funcin?

--10 -8 -6 -4 -2 0

02 4 6 8 -10

14. Encuentra el dominio implcito de las siguientes funciones, exprsalo grficamen-te, como intervalo y como desigualdad.

f(x)=x2 - 6x

f(x)=3 x

f(x)=

f(x)= 16 - x2

x+42

f(x)= x+3

f(x)= x2+5x+42x+1

1.2. CLASIFICACIN Y TRANSFORMACIN DE FUNCIONESObjetivo temtico: Resolvers problemas tericos y prcticos utilizando las distintas clases defunciones y sus propiedades, as como las operaciones algebraicas y geomtricas que permiten combinarlas.

1.2.1. Tipos de funciones

El uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia para cualquier rea de conocimiento. En efecto, para poder hacer un uso adecuado, debes poseer conocimientos que te permitan su correcto manejo algebraico y reco-nocer, a partir de la ecuacin, las caractersticas de su representacin grfica y su interpretacin.

En virtud de lo anterior, en este tema nos dedicaremos a analizar algunas de las ca-ractersticas ms importantes de las funciones que permiten su clasificacin. En la pgina siguiente se presenta de manera muy general un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, revsalo con atencin:

y= x2 - 9

28

A continuacin citaremos las caractersticas de cada clasificacin. Aunque ms ade-lante tendrs la oportunidad de estudiarlas con detalle, te sugerimos que construyas las graficas de algunas funciones para que te familiarices con ellas. Para referirnos a los valores de y (variable dependiente) utilizaremos de aqu en adelante la palabra funcin y para los valores de x (variable dependiente) utilizaremos la palabra varia-ble.

POR LAS OPERACIONES PARA OBTENER SUS VALORES

Funciones Algebraicas

Como su nombre lo indica, son aquellas que para obtener su valor se utilizan ope-raciones algebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de races) de polinomios, se dividen en polinomiales, racionales e irracionales.

Funciones

Sus grficas

Por su trazo

Discontinuas

Continua

Irracionales

Racionales

Polinomiales

Algebricas

Las operaciones para obtener sus

valores

La asociacin entre su dominio y contadominio

Uno a uno

Sobre

Biunvocas

Transententes

Trigonomtricas

Exponenciales

Logartmicas

Decrecientes

Crecientes

Por sus variaciones de

la funcin

Se clasificansegn

29

A) FUNCIN POLINOMIAL

Es aquella de la forma: f(x) = a0xn + a1x

n-1 + + an-1x + anx0

Siendo a0, a1,, an constantes y n N, su dominio son todos los reales.

Ejemplos: f(x) = 8x+2, g(x) = x2-2x-5 h(x) = 3x3-3

En esta clasificacin encontramos:

a) La funcin constante: f(x) = k Donde k es una constante, su grfica es una recta horizontal, cuya ordenada de origen es k.

b) La funcin identidad: f(x) = x El argumento y la imagen son iguales, su grfica es una recta cuya ordenada de origen es cero y su inclinacin respecto al eje de las abscisas es de 45.

c) Funcin lineal: f(x) = mx + b Su grfica es una recta, los parmetros m y b, se relacionan con la pendiente y la ordenada de origen.

d) Funcin cuadrtica: f(x) = ax2 + bx + c

En donde a 0. Su grfica corresponde a una parbola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas.

e) Funcin cbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

En donde a 0. Su grfica corresponde a una senoidal.

Actividades:

1. Identifica el nombre de las siguientes funciones polinomiales. Grafcalas, para ello te proponemos un dominio especfico en cada caso.

30

a) f(x) = 3 D = [-3,3]

b) f(x)= xD = [-3,3]

x f(x)

x f(x)

x f(x)

x f(x)

x f(x)

1

23

4

00-1-2-3-4

11 2 3 4

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

12

34

00-2-4 82 64 10 12 14-6

-2

-4

6

2

4

00

-2

-2

2 4 6

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

c)f(x) = x - 3 12

e) f(x) = x3 - 3x + 1

D = [-3,3]

d) f(x) = x2 -3x + 4 D = [0,6]

12

D = [-6,12]

31

B. FUNCIN RACIONAL

Est formada por el cociente de dos polinomios, es de la forma

f(x)= En donde: Q(x) 0

Es conveniente hacer notar algunos aspectos importantes, por ejemplo, la funcin:

f(x)=

Puede ser expresada, realizando la divisin, como:

f(x)= x2+ x+

f(x)=x2+2x+1

Convirtindose en funcin polinomial, de manera tal que hemos de descartar como funciones racionales, aquellos casos en donde Q(x)=k, donde k es una constante.Existen otras funciones que pueden ser reducidas, por ejemplo:

f(x)=

Puede expresarse, mediante su factorizacin y simplificacin como:

f(x)=

f(x)=x - 2

Teniendo sta una lnea recta como representacin grfica, sin embargo, las expre-siones:

f(x)= y f(x)=x - 2

no son iguales, pues en la primera, encontramos que cuando x= -2, existe una in-determinacin para la funcin (divisin entre cero), mientras que en la segunda, su dominio son todos los reales, incluso x=-2. Observa sus grficas en la pgina siguien-te:

Q(x)P(x)

22x2+4x+2

22

24

22

x+2x2 - 4

x+2(x-2)(x+2)

x+2x2 - 4

32

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

-6

-8

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

-6

-8

f(x)=x - 2f(x)= x+2x2 - 4

Q(x)P(x)

x+2x

Q(x)P(x)

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

-6

-8

6

-6 6

El hueco de la primera grfica indica que para x=-2 no existe valor de y.

Entonces, aunque la expresin sea divisible f(x)= , se sigue considerando racional.

Para graficar funciones racionales es necesario que reconozcas en qu valores de x, la funcin es indeterminada.

Tomemos como ejemplo la funcin: f(x)= Para identificar en cules puntos se tiene la indeterminacin, igualamos el denomina-dor a cero y despejamos x: x + 2=0 x = - 2Para graficar, elegimos algunos valores de x, por ejemplo: -6,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 efectuando los clculos correspondientes al sustituir en la expresin de la funcin:

x f(x)-6

-5

-4 2-3 3-2 Ind.-1 -1 0 0 1

2

3

4

23

35

31

21

53

32

33

La lnea punteada indica que en x=-2 la funcin no est definida. Pero cmo se unen los puntos? Es recomendable sustituir algunos valores de x cercanos a -2 para saber qu variaciones existen en este intervalo, te sugerimos los siguientes valores de x para localizar los puntos que te ayuden a determinan la forma de la grfica. Si an as tienes dudas, puedes agregar todos los puntos que sean necesarios.

x-3.5-3.7-3.9-2.1-2.3-2.5

f(x)

2. Grafica la siguiente funcin: f(x)=

C. FUNCIONES IRRACIONALES

Se identifican por poseer races de expresiones que involucran a la variable, por ejem-plo:

f(x)= x - 4 f(x)=3 2x2 f(x)= 3x + 3 - 2x+1

Descartamos de esta clasificacin aquellas funciones en las cuales se puede extraer x de la raz, por ejemplo

f(x)= 3 x3 , se puede expresar, anulando el exponente con la raz como f(x)=x f(x)=4x2+ 3x2+1, se puede expresar, obteniendo la raz como f(x)=4x2+x 3+1, en donde la raz slo afecta a la constante y no a la variable.

6

2

4

00

-2

-2

2 4 6

3. Grafica la funcin: f(x)= x

x2+2x+1x2 - 4

34

Funciones Trascendentes

Son aquellas que no son algebraicas, incluye a las funciones trigonomtricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante), trigonomtricas inversas, expo-nenciales (en las cuales la variable est en el exponente) y logartmicas. A continua-cin te mostramos algunos ejemplos:

1

2

00-1-2 1 2

-1

-2

1

2

00-1-2 1 2

-1

-2

Probablemente estas funciones exponenciales y logartmicas no te sean familiares, pues no has tenido contacto con ellas, por eso te mostramos las grficas slo a manera de ilustracin. Ms adelante las estudiars a fondo y comprenders las nociones que cada una de ellas implica.

Recuerda que las funciones trigonomtricas surgen de la comparacin por cociente de las magnitudes de un tringulo rectngulo.

f(x)= f(x)=log x 31

x

31

sen x= cb

cos x= ca

tan x= ab

csc x= bc

sec x= ac

cot x= ba

cb

ax

35

De tal manera que si hacemos variar el valor del ngulo , las magnitudes de los lados del tringulo cambian, por lo tanto, el valor de cada razn trigonomtrica tam-bin. Extendiendo esta interpretacin, tenemos la representacin del ngulo en posi-cin normal, en donde el valor del ngulo puede tomar cualquier valor real.

sen= ry

cos =rx

tan= xy

csc= yr

sec =xr

cot =yx

4. Grafica las siguientes funciones en el intervalo de [-2, 2]. Analiza su dominio y contradominio.

f(x)=senx

f(x)=cosx

f(x)=tanx

f(x)=cscx

f(x)=cesx

f(x)=cotx

(x,y)

r

0

36

POR SUS GRFICAS

Funciones continuas y discontinuasObserva las siguientes grficas:

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

2

4

-2

00

-2 2 4 6-4-6

-4

-6

-8

Se dice de manera intuitiva que cuando la grfica de una funcin puede dibujarse sin despegar el lpiz del papel, entonces es una funcin continua, de lo contrario es discontinua.

5. De las grficas anteriores cules son continuas y cules discontinuas? A partir de la bibliografa que poseas, busca los bosquejos de al menos tres funciones continuas y tres discontinuas, toma nota en tu cuaderno.

Funciones crecientes y decrecientes

En la siguiente grfica puedes observar que existen variaciones en los valores de la variable y la funcin, de hecho esa es la importancia de las grficas, hacer evidentes los cambios que existen. Intuitivamente para determinar si una grfica es creciente o decreciente, re-corre la grfica con la punta de tu lpiz de izquierda a derecha y mantente atento a los valores que toma y; por ejemplo, en la grfica se observa que los valores de y crecen primero, despus decrecen y por ltimo vuelven a crecer. Existen dos puntos que marcan en dnde deja de crecer y comienza a decrecer, (1,5) y otro en el cual deja de decrecer para crecer de nuevo, (3,1). La notacin para expresar esto, est dado bajo intervalos de x, de tal manera que para esta grfica decimos que:

CRECE: (-,1), DECRECE: (1, 3) y CRECE: (3, )

De los puntos (1,5) y (3,1), slo utilizamos el 1 y el 3, correspondientes a los valores de x. Para definir estas variaciones grficas te recomendamos que primero ubiques estos puntos, llamados puntos crticos, para despus establecer los intervalos tomando como referencia los valores de la variable.

6

2

4

00

2 4

37

6. Investiga, a partir de la bibliografa que poseas y completa el siguiente cuadro

FUNCIN

CRECIENTE

DECRECIENTE

CONSTANTE

DEFINICIN

POR LA ASOCIACIN ENTRE SU DOMINIO Y CONTRADOMINIO

Analicemos la siguiente situacin: En la casa de una familia de cinco elementos se encuentran 6 platos en la alacena, una computadora en la sala y un vaso con cinco ce-pillos dentales en el bao. Es lgico pensar que cada elemento de la familia (conjunto A) usa, al momento de una comida, solamente un plato, que toda la familia utiliza la misma computadora y que cada miembro posee slo un cepillo del vaso y que ste es usado slo por l. Los siguientes diagramas sagitales ilustran los casos mencionados:

Persona 1 Plato 1Persona 2 Plato 2Persona 3 Plato 3Persona 4 Plato 4Persona 5 Plato 5 Plato 6

Persona 1 Cepillo 1Persona 2 Cepillo 2Persona 3 Cepillo 3Persona 4 Cepillo 4Persona 5 Cepillo 5

Persona 1 Persona 2 Persona 3 PCPersona 4 Persona 5

A B A B

A B

fh

g

Las tres relaciones presentadas son funciones, sin embargo los elementos de los con-juntos tienen diferentes formas de asociarse. En la primera cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el contradominio, esta funcin es inyectiva (uno a uno); en la segunda, cada elemento del contradominio corresponde a por lo menos un valor del dominio, esta funcin es suprayectiva (sobre); y en la ltima cumple con ambas condiciones, esta funcin en biyectiva (biunvoca).

La grfica de una funcin puede ser slo creciente, slo decreciente, ambas o cons-tante.

38

7. Te sugerimos que investigues las definiciones precisas de cada una de estas clasifi-caciones y las anotes en el siguiente cuadro:

FUNCIN

INYECTIVA (uno a uno)

SUPRAYECTIVA (sobre)

BIYECTIVA (biunvoca)

DEFINICIN

8. Lee con atencin el siguiente ejemplo en donde se explican de manera prctica los conceptos anteriores:

La relacin: N: PF, que a cada persona p le asocia su fecha de nacimiento f, es una funcin porque ninguna persona pudo haber nacido en dos fechas distintas. Esta fun-cin es sobre porque cualquier fecha del calendario est asociada con alguna perso-na. No es uno a uno porque muchas personas poseen la misma fecha de nacimiento. No es biunvoca debido a que no es ambas: uno a uno y sobre

Ruiz Basto, Joaqun, Matemticas IV. Preclculo: Funciones y Aplicaciones. Mxico, Publicaciones cultural, 2006

9. A partir de las siguientes funciones determina si son: uno a uno, sobre o biunvo-cas.

1 2 3 34

1 52 63 74 8

51 62 73 8

1 2 3

31 2 3 4

12 3

1 52 63 74 8

10. Cita al menos tres ejemplos de funciones que correspondan a cada una de las clasificaciones anteriores.

39

1.2.2. Funciones Inversas

Retomemos nuevamente las tres funciones an-teriores (familia, platos, CPU, cepillos), si cam-biamos en cada una de ellas el dominio por el contradominio y el sentido de las flechas, obtendremos nuevas relaciones entre los con-juntos. Pero estas nuevas relaciones, son fun-ciones?

Actividades:

1. Dibuja los diagramas sagitales en tu cuaderno, intercambiando el conjunto A y el B.

Como hemos aprendido, la condicin imprescindible para poder llamar funcin a una regla matemtica que relaciona dos conjuntos A y B, es que cada elemento del conjunto de salida A (dominio) tenga un elemento de correspondencia y slo uno en el conjunto de relacin B (contradominio).

En sentido estricto, solamente podemos llamar funcin a la tercera relacin, y la lla-mamos funcin inversa de g, denotada por g-1, las dems son relaciones inversas pero no funciones; en general solamente las funciones biyectivas tienen funcin inversa.

En resumen, una funcin inversa se obtiene de intercambiar el dominio y rango de una funcin, sin embargo, la inversa no siempre es funcin.

Para obtener la inversa en un conjunto de pares ordenados, tambin se intercambian los valores de las variables x y y. A: {(x, y)} y A-1={(y, x)}

Grficamente sabemos que una funcin tiene inversa si cualquier lnea horizontal trazada sobre la grfica la intersecta slo una vez, pues esto garantiza que la funcin es biyectiva.

Tiene inversa No tiene inversa

1-2

-2 -1 2 3 4 5-3

2

4

6 7

-4

-6

-8

6

8

1-2

-2 -1 2 3 4 5-3

2

4

6 7

-4

-6

-8

6

8

40

Una funcin lineal es una funcin biyectiva, por lo tanto tiene funcin inversa. Ana-licemos el siguiente caso:

Despejando x tendremos:

Si otorgamos algunos valores a x, podemos calcular los correspondientes valores para f(x).

f(x)=2x - 2

f(x)=2x - 2

f(x)+2=2x

f(x)+22

=x

21 f(x)+1=x

x

-3-2-10123

-8-6-4-2024

-3-2-10123

f(x)=2x - 221 f(x)+1=x

Observa que calculando x con los valores obtenidos, los nuevos valores coinciden con los asignados en un principio.

La funcin inversa de f(x)=2x - 2 es

Para hacer esto explcito cambiamos f(x) por y:

Ahora intercambiamos las variables (recordemos que para obtener la inversa de una funcin cambiamos el dominio y rango):

Cambiando a notacin de funcin: La grfica de las funciones obtenidas es:

21 f(x)+1=x

21 y+1=x

21 x+1=y

21 x+1=f-1(x)

1-2

-2 -1 2 3 4 5-3

2

4

6 7

-4

-6

-8

6

8 f(x)=2x - 2

I(x)=x

f2=x = 0.5*f(x)+1

41

Observa que f y f -1 son simtricas con respecto a la funcin identidad I(x). O sea f(f -1) = I(x) (comprubalo algebraicamente).

Las funciones inversas de funciones trigonomtricas son especialmente tiles. Si ob-tenemos las razones correspondientes a cada funcin a partir de las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo, podemos calcular la medida de sus ngulos a partir de dichas funciones inversas, las cuales se nombran anteponiendo el prefijo arco o ngulo al nombre de la funcin:

f(x) =seno xf(x) =coseno xf(x) =tangente x

f -1(x) =arco seno x f -1(x) =arco coseno xf -1(x) =arco tangente x

De manera idntica para cotangente, secante y cosecante.

Es importante que recuerdes lo anterior, porque en la mayora de las calculadoras se expresa el arco seno como sen-1, lo cual es incorrecto. Esta abreviatura correspondera a la funcin trigonomtrica cosecante.

El dominio de la funcin seno est compuesto por todos los nmeros reales (x R), pero su funcin inversa, arco seno, tiene un dominio limitado de -1 a 1.

f(x)=seno (x)

f(x)=arco seno (x)

-0.5-60 -30-90

0.5

1.0

-1.0

0.0

-120-150-180-210-240-270-300-330-360-390 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390

-30-0.2 0.2 0.4-0.4

30

60

0.6

-60

-90

-120

90

120

0.8 1-0.6-0.8-1

42

2. Traza las funciones inversas para los siguientes diagramas:

3. Determina la funcin inversa de cada una de las siguientes funciones:

f(x)=2x - 6

h(x)= +1

m(x)=x2 + 2x 4. Haz una tabulacin y grafica la funcin f(x)= -2x2. Determina si tiene funcin in-versa.

5. Determina si las siguientes grficas tienen inversa. En caso de que la tengan, graf-cala.

23x

6. Grafica las funciones coseno y tangente, as como su respectiva inversa.

EstaoPlata

HierroHidrogeno

FosforoHelio

Metales

No Metales

A B

GuitarraClarinete

ViolnTubaBajo

Instrumentos de cuerda

Instrumentos de percusin

Instrumentos de aliento

A B

2

00-4 4 6

-4

8 10

2

4

6

8

10

-2

-2

-2 2-1 1 3

-1

-2

-3

1

2

3

00

43

1.2.3. Funciones Especiales

FUNCIN CONSTANTE

Es una funcin que permanece constante a pesar de los valores de la variable, se define por f(x)=k, en donde k es una constante real. Su grfica est determinada por una recta horizontal cuya orde-nada al origen es precisamente k.

00

k

FUNCIN IDNTICA

La funcin idntica, asigna a cada va-lor del argumento, el mismo valor de la imagen; su ecuacin est dada por f(x)=x y su grfica es una recta que pasa por el origen con un ngulo de inclinacin respecto al eje x de 45.

2

4

00-2-4 2 4

-2

-4

-6

6

-6 6

FUNCIN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un nmero se representa por medio de dos lneas verticales, por ejemplo |a|, se lee, el valor absoluto de a, y se define por:

a- a si a

44

Actividades:

1. Grafica las siguientes funciones: f(x) = |x| ; g(x) = 2

2. En equipos establece su dominio y su rango.

FUNCIONES COMPUESTAS

En un mismo plano cartesiano podemos graficar varias funciones, por ejemplo:

f(x)= x + 3

f(x)= - x + 6

f(x)=x2 - 4x

f(x)=x2 - 2x+2

21

Cada una por s misma es funcin, pero agrupadas, es decir, considerndolas todas a la vez, no lo son, pues para cada valor de la variable, corresponden 4 valores dife-rentes. Por ejemplo a x=-2, corresponde y=2, y=4, y=8, y y=10. Sin embargo, a partir de ellas podemos construir lo que se llama una funcin compuesta formada por varias expresiones algebraicas. Para esto, es necesario dividir el eje x en intervalos consecutivos, por ejemplo:

6

y

2-2

2

4

-4 4

8

10

6 8 10 12 14-6-8-10-12-14

-2

-4

f(x)= - x + 6 f(x)=x2 - 2x+2

f(x)=x2 - 4x

f(x)= x + 321

6

y

2-2

2

4

-4 4

8

10

6 8 10 12 14-6-8-10-12-14

-2

-4

Los intervalos que muestra la ilustracin quedaron definidos por (.-4), (-4,-1), (-1,3) y (3, ). Observa que los nmeros -4, -1 y 3 no se estn considerando en ningn in-tervalo y ello es necesario, por eso, definiremos los intervalos como: (.-4], (-4,-1), [-1,3] y (3,).

45

En cada uno haremos vlida slo una funcin, por ejemplo:

3. Dada la funcin anterior calcula su dominio y rango

4. Una pila con una capacidad de 150 L se llena con una llave cuyo gasto es de 5 L por minuto. Pasados 12 minutos, se abre otra llave de flujo igual. Grafica la relacin existente entre el tiempo que pasa y la cantidad de agua que contiene la pila, encuen-tra su ecuacin, establece su dominio y contradominio.

En (.-4] hacemos vlida

En (-4,-1) hacemos vlida

En [-1,3] hacemos vlida

En (3,) hacemos vlida

f(x)= x + 3

f(x)=x2 - 2x+2

f(x)=-x2 - 4x

f(x)=-x+6

21

En cada intervalo borramos las grficas no validas y dejamos slo el trazo de una, esto garantiza que a cada valor de x, slo corresponder uno de y.

Es importante analizar qu pasa con los lmites de los intervalos, es decir, con x=-4, x=-1 y x=3. Podemos observar que en x=-4 es vlida la funcin y para evaluar sustituimos f(-4) = (-4)+3=1 y el punto queda definido como (-4,1). Sabemos que a cada valor de la variable debe corresponderle slo uno de la fun-cin, en (-4,0), representamos un espacio vaco con un hueco como se muestra en la ilustracin de la derecha:

La expresin algebraica de esta funcin se representa por:

x + 3, si x - 4

- x2 - 4x, si - -43

21

f(x)=

6

y

2-2

2

4

-4 4

8

10

6 8 10 12-6-8-10-12-2

-4

f(x)= - x - 6

f(x)=x2 - 2x+2

f(x)=- x2 - 4x

f(x)= x + 321

6

y

2-2

2

4

-4 4

8

10

6 8 10 12-6-8-10-12-2

-4

f(x)= - x - 6

f(x)=x2 - 2x+2

f(x)=- x2 - 4x

f(x)= x + 321

46

FUNCIN ESCALN

Es una funcin compuesta por funciones constantes, ana-liza el siguiente ejemplo:

En el sistema EMSaD, las calificaciones finales aprobato-rias se obtienen de la siguiente manera: si el alumno ob-tuvo una calificacin igual o mayor a 6 y menor que 6.5, su calificacin se redondea a 6, si obtuvo una calificacin igual o mayor a 6.5 y menor que 7.5, su calificacin se redondea a 7, y as sucesivamente. Grafica la relacin existente entre la calificacin real y la que se reporta en su boleta de calificaciones.

1.2.4. Transformacin de grficas de funciones

Una funcin expresada en su forma grfica, pue-de ser transformada modificando su posicin en el plano cartesiano, haciendo translaciones o reflexiones respecto a algn eje. Estos cambios generan modificaciones tambin en la ecuacin y tabulador. Para analizar esto, tomemos como base la siguiente funcin: f(x)=x2-2x+3

6

2

4

00

2 4 6 8 10

8

10

y

0

12

15

2

10

-2

y

4 6-4-60

2

4

6

8

14

x-2-101234

y1163236

11

47

TRANSLACIONES VERTICALES

Si trasladamos cada uno de los puntos de la grfica 2 unidades hacia arriba, obser-vamos que el valor de la abscisa en cada uno no se modifica, por ejemplo: el punto (2,3) queda ubicado en (2,5).

Analiza el tabulador y observa la grfica:

x y-2 11+2-1 6+20 3+21 2+22 3+23 6+24 11+2

0

12

15

2

10

-2

y

4 6-4-60

2

4

6

8

14y=x2 - 2x+5

y=x2 - 2x+3

Ahora bien, para encontrar la ecuacin de la nueva grfica, tambin es necesario ha-cer la misma operacin (sumarle dos unidades) f(x)=x2-2x+3 h(x)=x2-2x+3+2 h(x)=x2-2x+5

Actividades:

1. Describe cmo puedes lograr una translacin hacia abajo.

2. Construye un tabulador de la funcin f(x)=-3x+1 y grafica. Despus traslada la gr-fica hacia abajo 3 unidades, construye un nue-vo tabulador. Y obtn la ecuacin de la nueva curva.

3. Calcula la ecuacin de las curvas representa-das en la grfica de la derecha y que han sido trasladadas a partir de la original que se ubica enmedio de las otras dos.

0

12

2

10

-2

y

4 6-4-60

2

4

6

8

14

-2

-4

En resumen: Si se supone que c es un nmero real positivo. Los desplazamientos verticales de la grfica y=f(x) se expresan como sigue:-Desplazamiento vertical de c unidades hacia arriba h(x) = f(x)+c-Desplazamiento vertical de c unidades hacia abajo h(x) = f(x) - c

Larson, Roland E., y Robert P. Hostetler. lgebra. Mxico, Publicaciones Cultural, 1996.

48

TRANSLACIONES HORIZONTALES

Tomemos nuevamente la funcin f(x)=x2-2x+3 y traslademos su grfica 2 unidades a la izquierda. Completa el tabulador y traza la nueva grfica:

0

12

15

2

10

-2

y

4 6-4-60

2

4

6

8

14x y

Para obtener la ecuacin de la nueva grfica consideremos la siguiente regla:

-Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la izquierda h(x) = f(x+c)-Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la derecha h(x) = f(x - c)

Larson, Roland E., y Robert P. Hostetler. lgebra. Mxico, Publicaciones Cultural, 1996.

Para calcular la ecuacin de la nueva grfica tomamos c = 2 y h(x) = f(x+c)f(x)=x2-2x+3h(x)= (x+2)2-2(x+2)+3h(x)= x2 + 4x + 4 - 2x 4 + 3h(x)= x2 + 2x + 3

4. Realiza una transformacin de esta misma funcin, 3 unidades a la derecha hacia la derecha. Obtn la ecuacin correspondiente.

En resumen: para realizar translaciones verticales basta con sumar un nmero (trans-lacin hacia arriba) o restarlo (translacin hacia abajo) a la funcin. Para realizar una translacin horizontal, hay que sumar (translacin hacia la izquierda) o restar un n-mero (translacin hacia la derecha) a la variable.

49

Un eje de reflexin es una lnea que funciona como un espejo, observa la figura, la lnea recta es el eje de re-flexin de la figura. A cada punto del lado izquierdo, corresponde uno del lado derecho, por ejemplo: al punto A corresponde el punto A, ambos pun-tos tienen la misma distancia al eje de reflexin.

Es posible realizar este tipo de transformacin a la grfica de una funcin, reflexionando respecto a un eje, por ejemplo el eje x. Vea-mos el caso de la siguiente funcin f(x)=x2 - 6x+10. Para cada punto de la grfica de la funcin, hagamos corresponder otro que est a la misma distancia del eje x. Recuerda que la distancia entre un punto y una recta es la me-dida del segmento perpendicular a la recta, as, la distancia del punto (3,1) de la grfica al eje x es igual a 1, si medimos esta distancia en sentido opuesto, llegamos al punto (3,-1). Si continuamos con el proceso de obtener la reflexin de todos los puntos de la grfica obtenemos la grfica que aparece abajo a la izquierda.

0

12

2

10

-2

y

4 6-4-60

2

4

6

8

14

5

0

10

15

5 10-5

y

0

-5

-10

-15

5. Construye ahora un tabulador para cada grfica y compara las diferencias y similitu-des.Para f(x)=x2-6x+10.

-101234567

x y

-101234567

x y

Para la reflexin

REFLEXIN CON RESPECTO A LOS EJES

50

Puedes observar el cambio de signo de los valores de la funcin, entonces, para obte-ner la ecuacin de esta nueva grfica, tambin cambiamos de signo la funcin: f(x)=x2 - 6x+10 h(x)=-(x2 - 6x+10) h(x)=-x2+6x -10

En resumen:

Si h(x) es la reflexin respecto al eje x de y=f(x), entonces: h(x)=-f(x) 6. Cambiemos ahora el eje de reflexin. Dada la siguiente funcin f(x)= x3-6x2+9x+1, construye un tabulador, grafica, traza su reflexin sobre el eje y construyendo, un ta-bulador para la funcin reflexionada:

x f(x)

0

6

1

5

-1

y

2 3-2-30

1

2

3

4

-4-5 4 5-1

x f(x)

Observars que el cambio de signo se da ahora en los valores de la variable. Para en-contrar la ecuacin de la nueva grfica consideremos que:

Si h(x) es la reflexin respecto al eje y de y=f(x), entonces: h(x)=f(-x)

Encontremos la ecuacin de la reflexin: f(x)= x3-6x2+9x+1 h(x)= (-x)3-6(-x)2+9(-x)+1 h(x)= -x3-6x2-9x+1

Reflexin respecto a la funcin identidad:

7. Grafica la funcin g(x)=x3 - 6x2+9x+4 y reflexinala utilizando como eje a la fun-cin identidad, construye un tabulador para la nueva grfica.

51

x f(x)

0

6

2

5

-2

y

4 6-4-60

2

4

6

8

8 10-2

x f(x)

-4

-6

12

Como puedes observar, los argumentos y las imgenes se intercambian, por ello es fcil obtener la ecuacin de la nueva grfica, pues sta corresponde a la relacin in-versa.

8. Grafica las siguientes funciones y realiza las transformaciones que se indican: f(x) = 2x +4 g(x) = x2-4x+4

a) Translacin de 4 unidades hacia arriba.b) Translacin de 4 unidades hacia abajo.c) Translacin de 3 unidades a la derecha.d) Translacin de 3 unidades a la izquierda.e) Reflexin respecto al eje x.f) Reflexin respecto al eje y.g) Reflexin respecto a la funcin identidad.

52

I. Realiza lo que se te pide:

1. Define relacin y cita tres ejemplos.2. Define funcin y cita tres ejemplos.3. Explica el significado del smbolo f(x)4. Qu es una variable independiente o argu-mento?5. Qu es una variable dependiente o fun-cin?6. A que se le denomina intervalo de una va-riable?7. Explica qu es el dominio y el rango de una funcin.

II. Aplica el concepto de funcin para determi-nar cules de las siguientes relaciones pueden serlo. Escribe un fundamento para tu respuesta.

1. La relacin que asocia a un atleta olmpico de pista con las disciplinas en las que compite.2. La relacin entre los elementos qumicos y su nmero atmico.3. La relacin entre los elementos qumicos y su masa atmica.4. La relacin que asocia a los nios de una pri-maria y el grado que cursan.5. La relacin que asocia a los miembros de una familia con la cama que est destinada al des-canso de cada uno.

III. Elabora un diagrama sagital para cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados y auxliate de ellos para determinar cules re-presentan una funcin.

1. {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}2. {(5/2, 1), (2/5, 2), (5/2, 2)}3. {(a, b), (b, c), (c, d)}4. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}

Qu he aprendido?

IV. Determina el dominio de las funciones, represntalo en una recta y por medio de no-tacin de intervalos; adicionalmente, traza la grfica correspondiente.

f(x)= 4x - 2

f(x)=

f(x)=

g(x)= x+3

h(x)=4 8 - 5x

V. Clasifica las siguientes funciones, como: po-linomiales, racionales, irracionales o trascen-dentes.

I(z)= (2z+3)2

g( )=sen ( 2+2 +3)

h(x)=(x+1)(x - 1)-1

f(x)=3x2 - 2x+x1/2

y=log x3

x2 - 41

(x2+x - 6)x4

VI. Para la funcin: f(x) = x3 - 7x2 - 6x + 42 encontrar f(1), f(0), 3f(-1), f(z+2)

VII. Para la funcin f(x) = demostrar:

1. Que f(2) - f(b)=f( )

2. Que f(x+h) - f(x)= -

x1

x2+xh h

b - 22b

53

f(x)=

VIII. Grafica las siguientes funciones, determi-na si tienen o no inversa y, en caso de tenerla grafcala tambin.

f(x)=(x - 3)x2

f(x)= x3 +3x2+3x

f(x)=3 x

IX. Para la siguiente funcin compuesta traza la grfica correspondiente:

-2 si x < -2

-x2+2 si -2 x 2

54

Quiero saber ms

Es importante que comprendas en un sentido amplio, la conexin que existe entre la expresin analtica (ecuacin) de una funcin o relacin y su grafica, por ello en la materia de Matemticas III y en esta unidad, se ha trabajado en el anlisis de la correspondencia que existe entre los elemen-tos de una representacin y otra.

La grfica de una funcin es el conjunto de puntos que la satisfacen. As, la ecuacin 0 = 2x - y - 3 tiene como soluciones (-2,-7), (0,-3), (5,7) y un conjunto infinito de puntos ms. Cuando hablamos de que satisfacen la ecuacin nos referimos a que cada uno de los valores (x,y) al ser sustitui-dos conservan la igualdad, por ejemplo:

0 = 2(-2) - (-7) 3 0 = -4 +7 -3 0 = 0

La grfica de la ecuacin es una lnea formada por todas las soluciones que existen en un rango determinado. Hasta el momento has trazado las grficas de diversas funciones, mediante una tabulacin, despejando al-guna de las variables y obteniendo el valor de la otra por mtodos arit-mticos y ubicando los puntos en el plano y, aunque es indispensable que conozcas estos procedimientos para trazar la curva de una funcin, en ocasiones puede convertirse en una labor tediosa. Pero tambin has analizado las ecuaciones ordinarias de algunas cnicas que hacen visibles los elementos necesarios para trazar la grfica, sin necesidad de tabular.

Para hacer exploraciones sobre la relacin que existe entre los dos tipos de representaciones, existen algunos programas computacionales diseados para graficar ecuaciones automticamente. La ventaja en su uso radica, en que optimiza tiempos, es posible variar los parmetros de las ecua-ciones y observar las modificaciones que sufre su representacin grfica, para que logres reconocer la implicacin que tiene cada uno de ellos y la manera en que ambas representaciones estn relacionadas.

En la pgina de Internet: http://www8.pair.com/ksoft/

Existe una herramienta llamada Graphmatica en donde puedes hacer exploraciones como las que hemos mencionado, que existen varias ver-siones, busca la que est en espaol. El lenguaje que utiliza el programa es distinto al de la notacin convencionalmente utilizada en el papel y parecido al que utilizas en tu calculadora cientfica.

As, para escribir la funcin f(x) = 2x3-x2+x 4, se escribe y = 2x^3-x^2+x 4, f(x) = sen x como y = sin x, entre otras, a este respecto, la versin en ingls tiene informacin sobre los operadores que se utilizan.

55

A continuacin citamos algunas pginas de Internet en donde puedes encontrar algunos programas interesantes:

http://descargas.abcdatos.com/programa/descargarL346.html

http://gdf2004.tripod.com/

Te invitamos a que experimentes y utilices este recurso como un apoyo en el manejo de funciones, comenta con tu asesor cualquier duda que tengas.

56

2UNIDAD

Qu voy a aprender?

Objetivo de la unidad: Resolvers problemas que involucren funciones polinomiales, utilizan-do sus propiedades algebraicas y geomtricas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexin sobre el uso de estas funciones, as como el desa-rrollo y prctica de los valores.


A lo largo de tu vida estudiantil has trabajado con nmeros, los cuales has podi-do sumar, restar, multiplicar, dividir e incluso, sacar radicales y potencias; pero al cursar secundaria y ahora que cursas tu educacin media superior te diste cuenta que podas realizar operaciones con letras y nmeros a la vez, a lo cual le llamamos lgebra. Especficamente en la unidad dos de Matemticas I estudiaste los polinomios en una sola variable, aprendiste a realizar operaciones con ellos e incluso, los usaste para resolver algunos problemas prcticos. Posteriormente en Matemticas III estudiaste algunos temas de Geometra Analtica la cual se basa en un sistema de ejes coordenados. Mencionamos lo anterior, porque en sta unidad estudiaremos las funciones polinomiales, que se basan en polinomios y que analizaremos desde la pers-pectiva de la geometra analtica, haciendo uso del concepto de funcin que ya abordaste en la unidad anterior. Para lograr el objetivo de la presente unidad, los contenidos se han organizado de la siguiente manera:

Iniciars reconociendo el concepto, notacin, caractersticas, grado, coeficiente principal, dominio y rango de una funcin polinomial; a partir de ello enfocare-mos el estudio de funciones polinomiales particulares, como son:

La funcin constante, que es una funcin polinomial de grado CERO; La funcin lineal, que es una funcin polinomial de grado UNO y cuya grfica es una rec-ta; la funcin cuadrtica, que es de grado DOS y cuya grfica es una parbola vertical; y finalmente las de grado TRES y CUATRO, en este ltimo apartado de la unidad adems de analizar el comportamiento y grfica de dichas funciones, resolveremos funciones polinomiales mediante el uso del teorema de las n ra-ces, el teorema de las races racionales, el teorema fundamental del lgebra y la regla se los signos de Descartes.

57

Fuentes de consulta

En este Cuadernillo encontrars varias actividades de aprendizaje que debers rea-lizar. Para que las desarrolles con xito te recomendamos la consulta de los tex-tos que se mencionan a continuacin; en ellos podrs encontrar la informacin que complementar tus actividades y adems podrs profundizar en los temas que ms te gusten y te llamen la atencin, asegurndote que de esta manera aumentarn tus conocimientos. No est por dems decirte, que en caso de que no cuentes con esta bibliografa puedes usar la que tengas a la mano en tu centro de servicios o te pueda facilitar tu asesor para realizar las actividades.

Bibliografa bsica: Garca Licona y Rodrguez Lpez. Matemticas 4 Bachillerato. Mxico, ST Editorial, 2005.

Larson/Hostetler. lgebra. Mxico, Publicaciones Cultural, 2003.

Ruiz Basto, Joaqun. Preclculo: funciones polinomiales. Matemticas IV para Ba- chillerato General. Mxico, Publicaciones Cultural, 2005.

Enciclopedia Encarta:

Si cuenta tu Centro de servicios con esta opcin de consulta, te recomendamos revisar los artculos siguientes, que te servirn para realizar tus actividades de aprendizaje y para ampliar los conoci-mientos sobre el tema. Polinomio Teora de ecuaciones Grfica

Sitios Web:

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadee-cuaciones.htm http://www.geocities.com/zamarripaplus/mate2_1.html

http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412.htm http://matesup.utalca.cl/modelos/3clase/2_3FuncionesAjuste.pdf http://www.umce.cl/~cpmatzen/GuiaTaller6_Anexo6.doc

58

Sabemos que tal vez tengas dificultades en algunos de estos temas, pero para ello contars con la ayuda de tu asesor quien sin duda te apoyar en todas las actividades que realices.

Recuerda que para que logres tus objetivos de aprendizaje, debes mostrar disponibi-lidad para estudiar antes que nada.


FUNCIN CONSTANTE(de grado Cero)

FUNCIN LINEAL(de grado Uno)

FUNCIN CUADRTICA(de grado Dos)

FUNCIONES DE GRADO TRES Y CUATRO

GrficaDominio

RangoRaces

Ecuaciones polinomiales

de las cuales se estudiarn

En las cuales se analizarn

Donde resolveremos

59

Cmo aprendo?

Objetivo temtico: Resolvers problemas tericos y/o prcticos, que sean posibles de expresarse mediante una funcin polinomial de grado a lo ms de cuatro, utilizando sus propiedades geomtricas y algebraicas, aplicando correctamente los conceptos, exponentes, no-taciones y caractersticas.

2.1 LA FUNCIN POLINOMIAL

Recuerda evitar decir no puedo, pues desde ah te ests cerrando a aprender, t eres tu propia llave del conocimiento, abre tu mente a aprender y, sobre todo, muestra disposicin para hacerlo lo mejor posible; lo dems vendr slo.

Actividades:

Para desarrollar esta actividad, puedes apoyarte en lo visto en la unidad pasada y/o algunos conceptos conocidos de lgebra y geometra analtica, ya que es una activi-dad de apertura y te servir para rescatar algunos conocimientos que posees sobre el tema.

1. Contesta correctamente las preguntas con ayuda de los conceptos que se encuen-tran en el rectngulo de la siguiente pgina.

a) Es la suma de los exponentes de las letras que intervienen en un trmino algebrai-co

b) El grado del trmino 3x7yz4 es:

c) P(x) = a0xn + a1x

n -1 + a2x n -2 ++ an -1x + an es la expresin ms general de un:

d) En matemtica superior se considera como un monomio de grado menos infinito.

e) Es una regla de correspondencia o asociacin entre los elementos de dos conjuntos no vacos.

f) Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corres-ponde un solo elemento del contradominio.

g) Si f(x)=x - 4 , a que es igual f(x - 3)?

h) Cmo es la pendiente de una recta vertical?

i) Dos rectas son paralelas si sus pendientes son:

j) Si la ecuacin de una recta es 5x+4y+2=0 , la ecuacin de una recta perpendi-cular a sta es:

k) Cul es el grado del polinomio: 24x5+10x4+18x2?

l) Es la comparacin numrica de la elevacin entre el recorrido.

60

2.1.1. Concepto de Funcin Polinomial

A. Csar, el hermano de Lupita, trabaja en una em-presa donde le pagan 4 dls la hora con una jornada de 30 hrs a la semana; adems si trabaja horas extra stas se las pagan a 7dls (El mximo de horas extras que puede trabajar son 15).Cual sera el sueldo se-manal de Csar de acuerdo con las horas extra?

Como puedes ver, el sueldo semanal va au-mentado constantemente. Podemos deducir de acuerdo con lo que se vio en geometra analti-ca que se trata de una funcin lineal, donde su grfica es una recta y su ecuacin la podemos determinar con la forma punto-punto:

y -y1= (x - x1)

Y obtenemos que y=7x+120 , es decir:

Sueldo Semanal = 7(horas extra) + 120

B. Se desea cercar el terreno de forma rectangular donde se est construyendo un parque ecolgico que se encuentra en I. Allende, municipio de Gpe. Victoria, de tal manera que su rea sea la mxima posible. Se dispone de 540 metros de cerca. Deter-minar la expresin algebraica de la funcin que des-cribe el problema.

Si el permetro es de 540 y el terreno es de forma rectangular, entonces tenemos que:

2x +2y = 540

Horas extra Sueldo semanal 0 120 1 127 2 134 3 141 4 148 5 155 15 225

y2 - y1x2 - x1

y

y

x x

polinomio

relacin

f (x - 3)=x - 7

Pendiente

f (x - 3)=x - 7

grado

iguales

10x + 8y + 20 = 0

funcin

12

5

infinita

cero

8x - 10y+2 = 0

61

Por lo tanto y=270 - x; si para obtener el rea se multiplica el largo por el ancho, tendremos: A= xy

Para trabajar con una sola variable sustituimos en esta ecuacin la ecuacin anterior y nos queda:

A = x (270 - x)

A = 270 x - x2

En esta ecuacin tenemos el rea del terreno expresada en funcin de uno de los la-dos, de ah que, podemos hacer lo siguiente:

A = f(x)

f(x)=270 x - x2

En las dos situaciones anteriores obtuvimos una funcin, las cuales son polinomiales de primer y segundo grado respectivamente.

Una funcin polinomial tiene la forma f(x)=anxn+an-1x

n-1+an-2xn-2 +...+a0 donde n es

un entero positivo y los nmeros a0, a1, a2, a3,, an son constantes y son coeficientes del polinomio. El domino de cualquier funcin polinomial es el conjunto de los n-meros reales (R); si el primer coeficiente an0 entonces el polinomio ser de grado n.

Funcin polinomial tal que f(x) : RR

Cabe aclarar que el dominio y dominio de definicin no son lo mismo, ya que el primer trmino se refiere a todos los valores en general que puede tomar una funcin; mientras que el dominio de definicin es limitado, ya que ste depende de la funcin especifica; por ejemplo, en la situacin del ejemplo A, el dominio de definicin es {0 a 15} y, por lo tanto, el rango tambin es limitado. En otras palabras, si graficamos esas coordenadas obtendremos un segmento de recta como grfica que inicia en x=0 y termina en x=15 (Te sugerimos comprobar esto trazando la grfica en tu cuaderno de notas).

2. En una funcin polinomial, n (exponente de la literal) se considera como nmero positivo, ya que si n fuera fraccionario x estara dentro de un radical; y si n es negati-vo, entonces estara en el denominador y formara parte de las funciones racionales. Observa las siguientes funciones y discute la informacin con tus compaeros y tu asesor.

62

FUNCIN CARACTERSTICAS

Es una funcin polinomial de grado 4, su coeficiente princi-pal es 5 y el trmino constante es -3.

Es una funcin racional.

Es una funcin polinomial de grado 7, su coeficiente princi-pal es 41 y el trmino constante es - .

Es una funcin polinomial de grado 5, su coeficiente princi-pal es 7/2 y el trmino constante es -1/2.

Es una funcin radical donde el exponente de la variable x es 2/3, por lo que no forma parte de las funciones polino-miales.

f(x)=5 x4 - 6x - 3

x + 3x + 8h(x)=

7x5 - 9x2+3x - 12

g(x)=

34h(x)= 41x

7- x3 -

f(x)=43 x2 - 11

2.1.2. La Funcin Constante

Es una funcin polinomial de grado CERO, es decir, es de la forma f(x)=a0, donde a0, es una constante. En la siguiente grafica sagital podemos verla de forma ms simple:

*Tomando en cuenta que el envase es de la misma capacidad.

FantaSpriteCoca colaManzana. LiftFresca

$6.50

La funcin constante f(x)=a tiene como dominio todos los Reales y como Contrado-minio (Rango) un nico valor a.

f(x) : Ra a

63

2.1.3. Funcin Lineal

Es una funcin polinomial de grado UNO y tiene la forma f(x)=a1x+a0, donde a10; la principal caracte-rstica es que su grfica es una recta y, adems, cuando se presenta una tabla de una funcin lineal, sta tiene la caracterstica de que cuando la variable va crecien-do de uno en uno, la funcin aumenta o disminuye

de manera constante. Dicho en otras palabras, su razn de cambio es constante. Esta razn de cambio es a lo que le llamamos pendiente. De forma general la expresin analtica de la funcin lineal ser f(x)=mx+b, donde m es la pendiente o la constante de crecimiento o decrecimiento, y b es la ordenada al origen o valor de la funcin cuando la variable vale cero.

Funcin lineal f(x)=mx+b:RR donde m0

3. En equipos de trabajo investiguen en la bibliografa recomendada o en la que ten-gan disponible en su Centro de servicios y/o si les es posible en Internet ms sobre la funcin lineal y completen las siguientes preguntas. A partir de lo anterior discute la informacin con los dems equipos y con tu asesor.

Como mencionamos anteriormente, la expresin analtica de una funcin lineal esf(x)=mx+b, sta tiene dos parmetros (m y b), dependiendo de sus valores, la grfica tiene un cierto comportamiento.

a) Cundo una funcin lineal es creciente y cundo es decreciente?

b) Si en una recta el valor de m>0, qu valor adquiere el ngulo de inclinacin de dicha recta?

c) Si en una recta el valor de m

64

f) La recta horizontal es una funcin lineal?, por qu?

4. El modelo de una funcin lineal tiene innumerables aplicaciones en economa, fsica, biologa, mercadotecnia, etc. Por ejemplo el valor contable de ciertos pro-ductos que se van depreciando ao con ao, el costo total de un artculo, el inters simple, entre otros. A continuacin veremos ciertas situaciones que nos llevan a modelar una funcin lineal, te invitamos que las analices con tu asesor y resuelvas las que estn marcadas como B y C

A. Mi ta Anita, que vive en Durango, tiene una cocina econmica y quiere saber el costo total por la produccin de cierto nmero de tamales; sabiendo que el cos-to fijo por la produccin diaria es de $220 a lo cual debe agregar $2.00 por cada tamal adicional.

a) Cul sera la expresin analtica que representar esta situacin?

b) Cuntos tamales tendr que elaborar para que el costo neto de cada tamal sea de $3.00?

X#tamales (t)

0123

t

YCosto total

C(t)220222224226

2t+220

a) Como podemos darnos cuenta el costo ini-cial de un pedido sera de 220 pesos, con esto tendramos el valor de b (interseccin con el eje y) y el valor de m que es la cons-tante de crecimiento que en este caso es 2; por lo tanto, si la expresin analtica de una funcin lineal es de y= mx + b tendremos que: y=2x + 220, es decir:

costo total=(# tamales) + 220 C(t)=2t+220

b) Para que el costo total neto de cada tamal sea de $3 tendramos: esto quiere decir que: resolviendo esta ecuacin tenemos que:2t+220

t=3

C(t)t =3

Por lo tanto mi ta tiene que elaborar 220 tamales para que el costo neto de cada tamal le salga a $3.00

2t+220=3t220=3t - 2t

220=t

5. 6. 7. 8.

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B. En una fbrica de dulces de leche, un cierto tipo de dulce tiene como fun-ciones de costo y venta: C(x)=4x+360 y V(t) = 10x , respectivamente. Justifica las respuestas:a) En un mismo plano cartesiano, traza las dos grficas.b) Cul es el costo inicial de produccin?c) Cuntos artculos se deben producir como mnimo para que no haya prdi-das (ganancia=Venta- costo)?d) Cul es el costo por producir 120 elementos?e) Cunto se obtiene por vender 120 elementos?f) Para obtener una ganancia de 60,000 unidades de dinero, Cuntos elemen-tos se deben vender?

C. Una funcin lineal est expresada mediante la tabla incompleta:-2 -1 0 5 0 -4 -16

a) Completa la tabla.b) La funcin es creciente o decreciente?c) Cul es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento?d) Cul es el valor de la interseccin con el eje de las ordenadas?e) Determina la expresin analtica de dicha situacin.f) Traza la grfica.

2.1.4. Funcin Cuadrtica

La funcin cuadrtica, es una funcin polinomial de grado DOS, y tiene la forma f(x)=a2x

2+a1x+a0 , don-de a20. La principal caracterstica es que su grfica es una parbola vertical; donde el dominio y el rango son los reales; la ecuacin de una funcin cuadrtica se acostumbra expresarse como:

f(x)=ax2+bx+c : RR donde a0

Para graficar una funcin cuadrtica basta con tabular la funcin, dndole valores arbitrarios a x y as obtener los de f(x). Todas las parbolas son simtricas con respecto a una lnea recta llamada eje de simetra o eje focal; el punto donde se cruza el eje focal y la curva (parbola) es llamado foco, como ya se haba visto en la unidad cua-tro de Matemticas III (recordemos que los elementos que definen por completo una parbola son 6: vrtice, foco, eje focal, directriz, lado recto y parmetro).

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Parbola vertical hacia abajo (cncava negativa), donde el co-eficiente principal a0, el eje de simetra es la lnea punteada y el punto

libro mate iv

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