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Red Tercer Milenio

JAVIER ORDUA FLORES

Geometra analtica

GEOMETRA ANALTICA

GEOMETRA ANALTICA

JAVIER ORDUA FLORES

RED TERCER MILENIO

AVISO LEGAL

Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO S.C.

Viveros de Ass 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de Mxico.

Prohibida la reproduccin parcial o total por cualquier medio, sin la autorizacin por escrito del titular de

los derechos.

Datos para catalogacin bibliogrfica

Javier Ordua Flores

Geometra analtica

ISBN 978-607-733-037-0

Primera edicin: 2012

DIRECTORIO

Jos Luis Garca Luna Martnez Director General Rafael Campos Hernndez Director Acadmico Corporativo Brbara Jean Mair Rowberry Directora Corporativa de Operaciones

Jess Andrs Carranza Castellanos Director Corporativo de Administracin Hctor Ral Gutirrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas Alejandro Prez Ruiz Director Corporativo de Expansin y Proyectos

2

NDICE

INTRODUCCIN 6

MAPA CONCEPTUAL DE LA ASIGNATURA 7

UNIDAD 1: SISTEMAS DE COORDENADAS

8

MAPA CONCEPTUAL 9

1.1 SISTEMAS DE COORDENADAS 10

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 12

1.2 COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS 17

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 18

1.3 FORMULAS DE TRANSFORMACIN ENTRE LOS SISTEMAS

DE COORDENADAS

23

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTOEVALUACIN

25

32

UNIDAD 2 ALGEBRA VECTORIAL 34

MAPA CONCEPTUAL 35

INTRODUCCIN 36

2.1. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES 37

2.2. DEFINICIN DE LAS OPERACIONES BSICAS DE UN VECTOR 38

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 42

2.3. DEFINICIN DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 45

2.4. DEFINICIN DE PRODUCTO VECTORIAL 46

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTOEVALUACIN

48 50

UNIDAD 3 EL PUNTO Y LA RECTA ENTRE DOS DIMENSIONES 52

MAPA CONCEPTUAL 53

INTRODUCCIN 54

3.1. VECTOR DE POSICIN, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 55

3.2. ECUACIN GENERAL DE LA RECTA, FORMA CARTESIANA,

FORMA VECTORIAL Y FORMA PARAMTRICA

57

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

59

3

AUTOEVALUACIN 61

UNIDAD 4 CURVAS 62

MAPA CONCEPTUAL 63

INTRODUCCIN 64

4.1. ECUACIONES VECTORIALES 65

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 65

4.2. CURVAS PARAMTRICAS 69

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

AUTOEVALUACIN

70

73

UNIDAD 5 EL PLANO 75

MAPA CONCEPTUAL 76

INTRODUCCIN 77

5.1. ECUACIN VECTORIAL Y PARAMETRICA DEL PLANO 78

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 81

5.2. RELACIONES ENTRE DOS PLANOS Y UNA RECTA 86

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 86

5.3. ESTABLECER LAS CONDICIONES DE PARALELISMO Y

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS

AUTOEVALUACIN

89

90

UNIDAD 6 SUPERFICIES 92

MAPA CONCEPTUAL 93

INTRODUCCIN 94

6.1 DEFINICIN DE SUPERFICIES Y SU REPRESENTACIN

CARTESIANA

95

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 96

6.2 DETERMINACIN DE LA ECUACIN DE UNA SUPERFICIE EN

FUNCIN DE LAS GENERATRICES

98

6.3 IDENTIFICACIN DE UNA SUPERFICIE A TRAVS DE SUS

ECUACIONES

99

4

9.2. ECUACIONES DE UNA PARBOLA E HIPRBOLA 126

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 128 AUTOEVALUACIN 134

BIBLIOGRAFA 135

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTOEVALUACIN

101 102

UNIDAD 7 ELIPSES 103

MAPA CONCEPTUAL 104

INTRODUCCIN 105

7.1 DEFINICIN DE UNA ELIPSE Y GENERALIDADES 106

7.2 ECUACIONES DE LA ELIPSE 107

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTOEVALUACIN

111

112

UNIDAD 8 CIRCUNFERENCIA 113

MAPA CONCEPTUAL 114

INTRODUCCIN 115

8.1. DEFINICIONES Y GENERALIDADES 116

8.2. ECUACIN DE UNA CIRCUNFERENCIA 117

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTOEVALUACIN

118

121

UNIDAD 9: PARBOLA E HIPRBOLA 122

MAPA CONCEPTUAL 123

INTRODUCCIN 124

9.1. DEFINICIONES Y GENERALIDADES DE LA PARBOLA E

HIPRBOLA

125

5

GLOSARIO 136

6

INTRODUCCIN

Muchos de los clculos y diseos realizados en la industria de la construccin,

fundamentan su teora en la geometra y la trigonometra; obedeciendo a la

forma de las figuras, a la simetra y, por supuesto, a la obtencin de superficies

y volmenes.

Este libro pretende brindar al estudiante de arquitectura fundamentos

slidos que le faciliten la mejor comprensin de la materia con base en los

objetivos y actividades del programa acadmico de estudio.

El estudio de funciones cartesianas, grficas, sistemas de coordenadas,

lgebra vectorial, rectas y curvas, son parte de la formacin integral del alumno;

el dominio de las llamadas ciencias bsicas constituye una plataforma rgida y

segura sobre la cual se erige el conocimiento de materias subsecuentes e

indispensables para la trayectoria estudiantil del futuro profesionista.

7

MAPA CONCEPTUAL

Polares Cilndricas Esfricas

Coordenadas Cartesianas

Sistemas de coordenadas

Plano GEOMETRA ANALTICA Algebra Vectorial

Escalares Vectores Curvas

Planas Superficies De revolucin

Circunferencia

Parbola

Elipse

Hiprbola

8

UNIDAD 1

SISTEMAS DE COORDENADAS

OBJETIVO

Analizar geomtricamente las coordenadas cartesianas, polares, cilndricas y

esfricas; as como las frmulas de transformacin equivalentes entre ellas.

TEMARIO

MAPA CONCEPTUAL

1.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1.2 COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1.3 FORMULAS DE TRANSFORMACIN ENTRE LOS SISTEMAS DE

COORDENADAS

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTOEVALUACIN

9

MAPA CONCEPTUAL

Sistemas de coordenadas

Coordenadas polares

Coordenadas cilndricas

Coordenadas esfricas

COORDENADAS

CARTESIANAS

10

1.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

Desde el punto de vista de la geometra analtica, un sistema de coordenadas

es uno de referencia, cuyos ejes permiten ubicar puntos o vectores en el plano

o el espacio. Para la mecnica, un sistema de coordenadas corresponde a un

marco de referencia inercial, en virtud del cual podrn establecerse las

principales condiciones de equilibrio esttico.

Plano (X, Y)

Ejes coordenados

Espacio (X, Y, Z)

Los sistemas coordenados requieren de magnitudes escalares (simples

nmeros) o bien, de magnitudes vectoriales (magnitudes que poseen direccin

y sentido), segn el problema matemtico que se analice.

Figura 1. Plano cartesiano Figura 2. Espacio

El eje X recibe el nombre de abscisa, el eje X corresponde a la ordenada, y el

eje Z muy frecuentemente recibe el nombre de cota.

X

Y

X

Y

Z

Cuadrante I

Cuadrante 2

Cuadrante IV Cuadrante III

11

Ubicacin de puntos en el plano y el espacio

Ubicacin de vectores en el plano y el espacio

Se dice que una figura es simtrica cuando corta sobre ella una lnea recta que

la divide en partes iguales (magnitudes iguales); el plano cartesiano permite

P (2, - 2)

X

Y

( - )

( - )

P ( 1 , 1 , 2 )

X

y

Z

Figura 3. Punto en el plano. Figura 4. Punto en el espacio.

X

y

V (- 1, - 1)

V (1, 1, 2 )

X

Y

Z

Figura 6. Vector en el plano. Figura 7. Vector en el espacio.

12

ubicar puntos y vectores en diferentes cuadrantes, que por su ubicacin

cumplen precisamente con la definicin de simetra. Tal como se muestra a

continuacin:

.

Solucin

Como se observa en el planteamiento del problema, existe una restriccin que

condiciona a dicha funcin; segn se observa X acepta valores desde - 3 hasta

+ 3 nicamente. Por lo que la grfica viaja de izquierda a derecha

respectivamente.

P (1, 1 / 2)

X

Y

P (- 1, 1)

P (1, - 1)

X

Y

Figura 8. Simetra en el plano. Figura 9. Simetra en el plano. ( primer y tercer cuadrante) (segundo y cuarto cuadrante)

P (- 1, - 1 / 2)

El plano permite ubicar funciones especficas que pueden analizarse en todo su

recorrido