República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

I.U.P. Santiago Mariño – Porlamar

Realizado por:

Br. Dalbeth Lunar.

C.I: 24.766.508

Ing. Electrónica

PORLAMAR, MAYO DEL 2015

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

En Geometría Analítica, al igual que Física. Es muy importante tener un

sistema de coordenadas, o una referencia, adecuado con el objeto de

simplificación al máximo las ecuaciones. Esto se realiza mediante unas

transformaciones ejes coordenados, cuyo proceso se considera reducido a

dos movimientos.

Traslación

Rotación

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión

o figura se cambia por otra siguiendo una ley dada. Analíticamente la ley se

expresa mediante una o más ecuaciones llamadas "ecuaciones de

transformación". Es importante elegir un sistema de coordenadas, o

referencia, adecuado con el objetivo que el proceso de resolución sea lo más

rápido posible. Ello se realiza mediante la transformación de ejes

coordenados cuyo proceso está en dos movimientos, rotación y traslación.

Tenemos la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria. (x-h)² +

(y-k)² = r² El centro 0´ de coordenadas (h, k) Se la coloca en el origen (0, 0) y

nos quedaría de la forma canónica x² + y² = r²

En vez de llevar a la circunferencia a su centro también podemos

mover los ejes de manera que el origen 0 coincida con el centro 0´ (h, k). Las

coordenadas del punto P serian (x´, y´) La ecuación de la circunferencia esta

dada en la forma canónica x´² + y´² = r²

Traslación de ejes de coordenadas

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen, O’ es el punto

(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto antes y después de la

traslación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de

transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

x = x’ + h

y = y’+ k

Ecuaciones de traslación

El conocimiento de las formulas de translación nos ayudan a simplificar

muchos problemas de la geometría analítica. Usaremos la Figura que

observamos para ver cómo se pueden trasladar las ecuaciones de las curvas

de un sistema cartesiano x o y, hasta ocupar una posición x’ ó y’ de ejes

paralelos a los primeros

Designamos el nuevo origen por o’(h, k), referidos al sistema x, y, por el

punto o’ trazamos rectas paralelas al eje x y al eje y, las que tomaremos

como los nuevos ejes x’ y y’. Todo punto P(x, y) referidos al nuevo sistema

de ejes, según la figura: MP= x, NP=y Que son las coordenadas originales

del punto P(X, Y)Así mismo, tenemos: M’P = x’, N’P = y Que son las nuevas

coordenadas del punto P’(x’, y’).De la figura también se deduce que: MP =

M’P + MM’ = x’ + hNP = N’P + N’B = Y’ + K

Sustituyendo tenemos: X= x’ + h (1) Y= y’ + k (2) O también: X’ = x – h

(3) Y’ = y – k (4) Que son las ecuaciones de translación, mediante las cuales

se puede hacer una traslación paralela de los ejes de coordenadas. Su

conocimiento nos ayuda a simplificar muchos problemas de la geometría

analítica, y se emplearan en la deducción de algunas formulas en los temas

correspondientes a la parábola, elipse e hipérbole.

Rotación de ejes de coordenadas.

Si los ejes coordenados giran un ángulo q en torno de su origen como

centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y

después de la rotación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de

transformación del sistema original al nuevo sistema están dadas por:

x = x’cos(q) – y’sen(q); y = x’sen(q) + y’cos(q)

Transformar la ecuación 2x²+√3 xy + y² = 4 girando los ejes

coordenados un ángulo de 30°. Obtenemos las siguientes ecuaciones x = x’

cos 30° - y sen 30° = √3/2 x’ – ½ y’ y = y’ sen 30° + y’ cos 30° = ½ x’ + √3/2 y’

Sustituimos los valores en la ecuación original y obtenemos la ecuación

transformada 5x’² + y’² = 8 Ejemplo:

Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas

Se puede usar ambos métodos para transformar las ecuaciones de

una manera mas fácil y lógica. Por el primer método obtenemos las

ecuaciones x = x’+ h y = y’+ k Por el segundo obtenemos x’=x’’ cos ѳ - y’’ sen

ѳ y’=y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ Si sustituimos los valores de x’ y y’ obtenemos las

ecuaciones buscadas x = x’’ cos ѳ – y’’ sen ѳ + h y = y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ + k