libro de fisica pre universitaria_

5/10/2018 Libro de Fisica Pre Universitaria_www.siglo21x.blogspot_u - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-de-fisica-pre-universitariawwwsiglo21xblogspotu 1/55

IN DICE

0 La Fisica Pag.4

0 Analisis Dimensional Pag.9

0 Analtsis Vectorial Pag. 18

0 Cinematica Pag.27

0 Estatica Pag. 57

0 Dinarnica Pag.67

0 Trabajo, Potencia y Energia Pag.77

0 Hidrostatica Pag.89

0 Dilataci6n Pag.95

0 Proyecto de Investigaci6n Pag. 103

Recuerdo haber visto un libro de

catecismo de la decode de los noventa

que realizaba una enseficnzc confusa y

poco acertada: median un breve texto

y una ilustrcclcn s, explicaba como

el hombre habit na superficie plana,

bordes del fin del

que uno de ellos

oceano ctldntico-. situada

rifico y hoy dia negado

y sobre la que se apoyaban las

que sostenian sobre nuestr as

la bovedo estrellada del cielo.

LA F:ISIC A EN L A A NT IG OED AD

antepasados de hace unos t res mi l anos .

La primera actividad del hombre

englobable dentro de la flslcc fue mirar

al cielo. Las grandes civilizaciones de la

antigUedad (chinos, babilonios, egipcios)

estudiaron los astros Ilegando incluso a

predecir eclipses per o sin ex ito a la hora

de expli car los movimientos planetar ios .

En esre punto de inflexion del

conocimiento humano, antes de hacerse -

y responder- ciertas preguntas sobre la

naturaleza, el cielo era un misterioso

techo plano en el que unaS luces lejanas

brillaban por alguna causa md s mistica

que cs+ronomico. Unos cuatr ocientos

anos antes del nacimiento de Cristo los

griegos ya empezaban a desarrollar

teorias, oiin inexactas perc no del todo

equivocadas, sobre la composicion del

universe. Leucipo concebia el atomismo

rnds tarde desarrollado por Dem6crito,

que afirmaba que todo estaba formado

por microsccpiccs particulas Ilamadas

dtomos, y que contradecia a la Teoria delos elementos, del siglo anter ior.

Durante el periodo helenis tico,

Alejandria se convirtic en el micleo

cientifico de occidente. Desde Sicilia,

Arqu'medes, entre otros inventos como

el tornillo infinite 0 la polea, descubr ia

las leyes de la palanca y de la

hidrostdticc. principio el de esta ultima

que Ilevaria su nombre y que enunciaba

que "todo cuerpo sumergido en un fluido

experimenta un empuje vertical hacia

arriba igual al peso del fluido

desclojcdo". rczon por la cual se puede

explicar que flote un barco 0 vuele un

globo cerostdtico. En la astronom'a

tcmbien se realizaron grandes

descubrimientos: Aristarco de Samo

desarrollo un metcdo para medir las

distancias relativas entre la tierra y el

sol y la tierra y la luna, inutil final mente

por falta de medics aunque bien

encaminado, y tcmbien. sequn se cree a

troves de los escritos de Arquimedes,

fue el primero en afirmar que la tierra

gira alrededor del sol; Erast6tenes midio

la circunferencia de la tierra y elcbor-o

un cctdloqo de estrellas; Hiparlo de

Nicea descubrid la sucesicn de

equinoccios; y Tolomeo, ya en el s. II

d.C., elobor c su sistema para explicar el

movimiento de los planetas, en el que la



. . Criogenia . Estudia el . . Fisica cudnticc. Estudia elcomportamiento de la materia a

comportamiento detemperaturas extremadamente bajas.extremadamente pequeffos y

loscucntizccion de la energia.. . Electr omagnetismo . Estudia

campos elecr ri co y magnet ico, y las •argas electriccs que los generan.

Tierra permaneda en el centro de las

orb itos c ircu lares del res to de ast ros .

lQUE ES LA FISICA?

Es una ciencia encargada de estudiar los

f encmenos fisicos que ocurren en la

naturaleza, cucntificcndolc mediante

leyes fisicos determinadas, donde el

hombre es precisamente la fuenteinagotable de las diversas pr opiedades

que pose la mater ia.

Los principales campos de la f isica son:

.. Acustica. Estudia las propiedades del

sonido.

.. Fisica atomica. Estudia la estr uctura

y las propiedades del dtomo.

.. Fisica de particulas. Se dedica a la

investigacion de las particulas

elementales.

.. Dinamica de fluidos. Examina el

comportamiento de los liquidos y

gases en movimiento.

.. Geofisica. Aplicccion de la fisica al

estudio de la Tierra. Incluye los

campos de la hidrologia, la

meteorologfa, la oceanograffa, la

sismologia y la vulcanologia.

.. Fisica matematica. Estudia las

matemciticas en relocion con los

fenomenos naturales.

.. Mecanica. Estudia el movimiento de

los objetos mater iales sometidos a la

cccion de fuerzas.

.. Fisica molecular. Estudia las

propiedades y estructura de las

molecules.

.. Fisica nuclear. Analiza las

propiedades y estructura del mic leoc tomico, las reacciones nueleares y su

nplicccion.

.. Optica. Estudia la propcqccion y el

compor tamiento de la luz.

. . Fisica del plasma. Estudia el

comportamiento de los gases

altamente ionizados (con carga

electricc).

.. Mecanica

principios

y describir el

sistemas co

particulas.

Aplica

~ara predecir

ortamiento de

os de multiples

.. Termodinamica. Estudia el calor y la

convers ion de la energfa de una forma

a otra.

HISTORIA DE LA FISICA

FISICA CLAsICA

Hacia 1880 la ffs ica presentaba

un panorama de calma: la mayorfa de los

f encmenos podicn expli carse mediante la

mecdrucc de Newton, la teorfa

electr-cmcqnetico de Maxwell, la

termcdinomic« y la mecdnico estadfstica

de Boltzmann. Pareda que solo quedaban

por resolver unos poco~roblemas, como

la determinacion d~~\propiedades del

eter ~ la eXPlic~~de !~s espectros de

emision y ab rc~ de solrdos y gases.

If'Si bargo, estes enomenos

semil las de una revolucion

ido se vio acelerado por una

nsombrosos descubrimientos

en la ultima decade del siglo

: en 1895, Wilhelm Conrad Roentgen

descubrid los rayos X; ese mismo ano,

Joseph John Thomson descubrid el

electron; en 1896, Antoine Henri

Becquerel descubr -io la radiact ividad;

entre 1887 y 1899, Heinrich Hertz,

Wilhelm Hallwachs y Philipp Lenard

descubrieron diversos f encmenos

relacionados con el efecto fotoelectrico.

Los datos experimentales de la

fisicc, unidos a los inquietantes

resultados del experimento de

Michelson-Morley y al descubrimiento de

los rayos cctcdicos. formados porchorros de electrones, desafiaban a

todas las teorfas disponibles.

descubr imientos y cambiaron el modo de

comprender la ffs ica.

FISICA NUCLEAR

En 1931 el fisico estadounidense

Harold Clay ton Urey descubric el isotope

del hidrogeno denominado deuterio y 1 0

empleo para obtener agua pesada. EI

ruicleode deuterio 0 deuteron (formado

por un proton y un neutron) constituye un

excelente proyectil para inducir

reacciones nucleares. Los fisicos

f ranceses I rene y Freder ic Jolio t-Curie

produjeron el pr imer ruicleo radiactivo

artificial en 1933-1934, con 1 0 que

comenzo la prcduccion de rccio isc topos

para su empleo en arqueologfa, b io logfa,

medicina, qufmica y otras ciencias.

Fermi y numeroSoS

colaboradores emprendieron una serie de

experimentos para producir elementosmas pesados que el uranio bombardeando

esre con neutrones. Tuvieron exito, y en

la actualidad se han creado

artificialmente al menos una docena de

estes elementos t rcnsurdnicos. A medida

que continuaba su trabajo se produjo un

descubrimiento ciin mas importante.

Irene Joliot-Curie, los fisicos

alemanes Otto Hahn y Fr itz Strassmann,

la fisico austriaca Lise Meitner y el

ffsico britdnico Otto Robert Frisch

comprobaron que algunos rnicleos de

uranio se dividfan en dos partes,

fenorneno denominado f ision nuelear. La

fision liberaba una cantidad enorme de

energia debida a la perdido de meso,

edemas de algunos neutrones. Estos

resul tados sugerfan la posibil idad de una

recccicn en cadena automantenida, algo

que lograron Fermi y su grupo en 1942,

FISICA MODERNA

Dos importantes avances

producidos durante el primer tercio del

siglo XX -Io teoria cudnrico y la teorfa de

la relatividad- explicaron estos

hallazgos, lIevaron a nuevos



cuando hicieron funcionar el primer

reactor nuclear. Los avances tecnolcqicos

fueron rripidos: la primera bomba

ctcmicc se fcbrico en 1945 como

resultado de un ingente programa de

investiqccion dirigido por el fisico

estadounidense J. Robert Oppenheimer,

y el primer reactor nuclear destinado a

la produccion de electricidad entre en

func ionamiento en Gran Bretana en 1956,

con una potencia de 78 megavatios.

La investiqocion de la fuente de

energia de las estrellas llevo a nuevos

avances. EI fisico estadounidense de

origen aleman Hans Bethe demosrro que

las estrellas obtienen su energia de una

serie de reacc iones nuc leares que t ienen

lugar a temperaturas de millones de

grados. En estas reacciones, cuatro

micleos de hidrogeno se convier ten en un

niicleo de helio, a la vez que liberan dospositrones y cantidades inmensas de

energia. Este proceso de fusion nuclear

se cdoptti con algunas modificaciones en

gran medida a partir de ideas

desarrolladas por el fisico

estadounidense de origen hungaro

Edward Teller como base de la bomba de

fusion, 0 bomba de hidrogeno. Esta arma,

que se detcno por primera vez en 1952,

era mucho mris potente que la bombc de

fision 0 ctcmicc, En la bomba de

hidrcqeno. una pequef ic bomba de f ision

apor ta las altas temperaturas necesar ias

para desencadenar la fusion, tambien

Ilamada recccion termonuclear.

Gran parte de las

investigaciones actuales Se dedican a la

prcduccion de un dispositivo de fusion

controlada, no explosive, que ser ia menos

radiactivo que un reactor de fision y

proporcionar ia una fuente casi i limi tada

de energia. En diciembre de 1993 se

logro un avance significativo en esa

direccicn cuando los invest igadores de la

Universidad de Princeton, en Estados

Unidos, USaron el Reactor Exper imental

de Fusion Tokamak para producir una

recccron de fusion controlada que

propor cionc dur ante un breve tiempo una

potenc ia de 5,6 megavatios. S in embargo

el reactor consumic mds energia de la

que produjo.

F IS IC A DEL E ST ADO SOL IDO

En los solidos. los dtor nos estdn

densamente empaquetados, 1 0 que Ileva a

la existencia de fuerzas de inter cccion

muy intensas y numeroSoS efectos

relacionados con este tipo de fuerzas

que no se observan en los gases, donde

las molecules ccnicn en gran medida deforma independiente. Los efectos de

intercccion son responsables de

propiedades meccnrccs, t

elect r- iccs. magnet icas y opti

solidos. un campo que result

tratar desde el punto

aunque Se han

progresos.

Una ca importante

s sclidcs es su

estructura cri na, en la que los

dtomos est rin d is tr ibuidos en posiciones

regulares que se repiten de forma

geometrica. La dist r- ibucton espedfica de

los ritomos puede deberse a una variada

gama de fuerzas. Por ejemplo, algunos

sclidos como el c1oruro de sodio 0 sal

comiin se mantienen unidos por enlaces

ionicos debidos a la crrcccicn electricc

entre los iones que componen el mater ial.

En otros, como el diamante, los

dtomos comparten electrones, 1 0 que da

lugar a los Ilamados enlaces covalentes.

Las sustancias inertes, como el

neon, no presentan ninguno de esos

enlaces. Su existencia es el resultado de

las Ilamadas fuerzas de van der Waals,

as i Ilamadas en honor al fisico holondes

Johannes Diderik van der Waals. Estas

fuerzas aparecen entre molecules 0

dtornos neutros co sultado de la

polorizccicn elect' os metales, por

en unidos por 1 0 que

qgaselectrcnico. formado

libr es de la capa ctcmico

.omocr-ticos por todos los

metal y que definen la

de sus propiedades.

Los niveles de energ ia def inidos

discretos permitidos a los electrones

de dtornos individuales se ensanchanhasta conver tirse en bandas de energia

cuando los dtcmos se agrupan

densamente en un solido. La anchura y

sepcrccron de esas bandas definen

muchas de las propiedades del materia l.

Por ejemplo, las Ilamadas bandas

prohibidas, en las que no pueden existir

electrones, restringen el movimiento de

estos y hacen que el material sea un buen

aislante termico y elec+r-ico. Cuando las

bandas de energia se solapan, como

ocurre en los metales, los electrones

pueden mover se con facilidad, 1 0 que

hace que el material sea un buen

conductor de la electricidad y el calor . Si

la banda prohibida es estr echa, algunos

de los electrones mds rcpidos pueden

sal tar a la banda de energia superior: es

1 0 que ocurr e en un semiconductor como

el silicio. En ese coso. el espacio entre

las bandas de energia puede verse muy

afectado por cantidades miruisculas de

impurezas, como crsenico. Cuando la

impureza provoca el descenso de una

banda de energia alta, se dice que es un

donante de electrones, y el

semiconductor resultante se llama de

tipo n. Cuando la impureza provoca el

ascenso de una banda de energia baja,

como ocurre con el galio, se dice que es

un aceptor de electrones. Los vados 0

'huecos' de la estructura electrcnicc

ccttion como si fuer an car gas positivas

moviles, y se dice que el semiconductor

es de tipo p. Numerosos dispositivos

electronicos modernos, en particular el

transistor, desarrollado por los fisicos

estadounidenses John Bardeen, Walter

Houser Brattain y William Bradford

Shockley, estrin basados en estas

propiedades de los semiconductores.Las propiedades magneticas de

los solidos se deben a que los elect rones

actuan como mirnisculos dipolos

magnet icos. Casi todas las propiedades

de los solidos dependen de la

temperatura.

La resistencia electrico suele

decrecer al disminuir la temperatura, y

en algunos materiales denominados

superconductores desaparece por

completo en las proximidades del cero

absoluto. Es te y muchos otros fencmenos

observados en los solidos dependen de la

cucntizccion de la energia, y la mejor

forma de describirlos es a troves de

'particulas' efectivas con nombres como

fondn, polaron 0 magnon.



1.- DEFINICION

Es la parte de la fisica que estudia la

relccion entre las diversas magnitudes ylas operaciones mctemdticcs que se

producen entre elias.

2.-MAGNITUD FISICA

Se denomina as i a to do aquello que

podamos MEDIR, cuantificar y por 1 0

tanto podemos expresar mediante un

ruimerc y unaunidad respectiva.

Ejem:

• 2 metros, 4 kilogramos, 3 newton.

Clasificacion de las Magnitudes

Segun su origen:

(*) Magnitudes Fundamentales

(*) Magnitudes Derivadas

Segun su nafuraleza:

(* ) Magnitudes Escalares

(*) Magnitudes Vectoriales

a) MAGNITUDES FUNDAMENT ALES

L1amados tcmbien magnitudes base y

reconocidas por el Sistema Internacional

de Unidades (5.1) sirven para formar

todas las magnitudesreconocen siete

fundamentales a saber:

b) MAGNITUDES DERIVADAS Formula dimensional

Son aquellasque se forman al asociar dos

o mas magnitudes fundamentales

mediante unamultiplicacion 0 division.

Designamos con este nombre a aquellas

relac iones de igualdad, mediante las

cuales una magnitud derivada queda

expresada en base a las magnitudes

fundamentales de unmodo general.

Ast. si "x" es unamagnitud derivada:

Ejem:

RAPIDEZ = LONGITUD (L) -.!:.=L r-TIEMPO (T) T

CAUDAL (Q)

0 1 = (lonqirud)" 0 1 ] =L3

V = longitud

tiempo ] =L'r

--; velocidada=tiempo

F = museccelerccicn [F ] =MLr2

=fuerza distancia - L2r2

E= W [E] =ML2r2

Pot=trabajo[Pot] =ML2r3

tiempo

Q=volumen [Q] =L3rltiempo

D=masa

[D] =ML-3volumen

--;

g = ccelerccion [g ] =Lr2

Peso= (masa).g--;

[P ] =MLr2

MAGNITUD UNIDAD

Longitud Metro (m)

Masa Kilogramo (kg)

Tiempo Segundo (s)

Temperatura Kelvin (K) 8

Terrnodindmicc

Intensidad de Ampere (A) I

Corriente Electr+cc

Intensidad Luminosa Candela (Cd) J

Cantidad de Sustancia Mol (Mol) N



p = fuerzaarea

T= Fuerza . distcncic I

Q=Energla

T = tiempo [T] =T

f=_l_tiempo

Velocidad angular (~ )

Intensidad de CargaElectrica ( E )

--;

w = frecuencia angular

wa=---

tiempo

(f ) =fuerza . t iempo

q= I . t iempo

_ , FE =-

q

cial Electrico (V )

Resistencia Electrica (R)

V- trabajo

carga

R=Potencial

I

Ec.DimensionalARACTERISTICAS

Todo ntimero. angulo 0 funcion

tr igonometr ica que se encuentra como

coeficiente, tiene como ecuccion

dimensional igual a la unidad.

Ejemplo:

1) 20kg

2) Sen30°

3 ) n /5

--7 [20kg] = 1

--7 [Sen300]=1

--7 [n/5] = 1

que se encuentra como componente

conserva su valor.

Ejemplo: Ec. Dimensionald\\ II

ex.

1 ) 2 0Senx --7 [20]senx = [l]senx = 1

2) p3 --7 [P]3= (ML-1r)3=M3L-3r

Donde: "P" es presion.

• Las ecuaciones dimensionales cumplen

con todas las r del algebra

1.- Determina la formula dimensional

X= A. B

A: Masa B: Area

g~

--7 [A- B]*[A]- [B]

B --7 [A + B] * [A] + [B]

DE HOMOGENEIDAD

Entoda ecuacicn dimensional para queseencuentre correctamente escrita, todos

sus miembros deben tener las mismas

dimensiones.

Ejemplo: "GENERAL"

sr.

IA + B = C- D --7 [A] = [ B] = [ C] = [ D] I

Aplicccicn:

I d ~ V . t . ; ' I _ , Eo . D imen s io n cl Ho rn oqenec

It2l[d] = [v.t] = l-l-J

Si: x = A. B

[x]=[A. B]

[x]=[M.L2]

L= LT -1 . T = LT -2 T2

L=L=L


de "Y".

Y = C . D

C : fuerza D : longitud

g~

Y = C. DC= fuerza --7 [C] = [F]

[C] = M. LT-2

[D]=[L]

Lueqo: [Y]=[C.D]

[ Y ] = MLT - 2 . L


d\\ II

ex.

x = A2. B

A: velocidad B: densidad

g~[x] = [A2 . B]... (1)



Reemplazandoen (1)

[x] = L2T-2.ML-3

:. I [x ] = ML-1r21


de "x".

A . BX=-C-

A: area B: impulse C: caudalg~

[x] = l A ~ B J*[A]=L2

* [B] = [ F . t] = MLI I*[C]=caudal (Q)Jvolumenl = L3T-I

liernpoReemp/azando en (1)

L2.MLrl[x] = L3r

5.- Calcula la formula dimensional de

"W".

w = l J . . . . : . . } ! _R

U: volumen V: velocidad R:energia

g~

[w] = [u .V ]= [U ].[V] ...... (1)

R [R]

• [U]=L3

• [ V] =L T-1

• [R]=[Energia] 0 [Trabajo] = ML212

Reemplazandoen (1)

[w] = L3.Lr = I M - 1L2T I.. ML2T-2

6.- Calcula la formula dimensional de

"x".

A.B. Dx=----

p

A: altura B: fuerza

P: presion D: densidad

g~

[ x ] = [A.B.D] =[A] .[B]. [D] .. .. (1)P [P]

• [A] = L

• [B]MLT-2

• [D] = ML-3

• [P] = ML-IT-2

Reemplaz.en (1)

7.- Si la siguiente ecuccion

dimensionalmente correcta.

las dimensiones de "B".

5B2+7Log4x E -14x3 _

BO.P

Por teo ria I

ruimero c ante es igual a la

unidad. Luego E; x; A son

constantes tomando las expresiones

dimensionales.

[5B2]_ [7M] [B2] _[M]------7----

[P] [51L] [P] [L]

Reemplazando su valor dimensional

P = Presion: ML-1T -2

M = Masa:M

L = Long.:L

~ =P.M=ML-I

r2.M M2L -2T-2

L L

Luego:

8.- ta correctamente

dimensiones de A.

_ (Sen300-A)2

P. n

F =fuerza; P=presion

g~

[Sen30a]2 [A] 2

[F] = -'--:c:---:---"

[ P . J Z '] [ P .J Z ']

_ [A]2 .[F] - [p] .....1),

Sabemosque [n] =1

[F] =MLT-2

[P] = ML -IT-2

Luego:

M2L

O

T -4=[A]2

[A] = (M2T -4)112

:.Ir-[A-] =-M-T--'-21

9.- Si la ecuccion es homoqenec halla

las dimensiones de "x".

X- A.Q.t---

v

Donde:

A =area

Q =caudal

t = temperatura

V = velocidad

g~

[x] = [A].[Q].[t] ....(1)[v]

• [t] = e

• [V] = LI I

.[A]=L2

• [Q] =L3rlReemplazandoen (1)

10.- Si la Ec. esta correctamente

escrita halla las dimensiones de "v".V / = V a2 + 2a .y

Donde:

Vf = velocidad final

a = ccelerccionVo = velocidad inicial

g~[ V f f = [ V o f = [2ay] -72] = 1~

( I )

• [V] = L

I I }en (I)• [a] = Lr2

(LT -1)2= LT -2.[y]

L2T -2= LT -2[y]



ecuocicn homoqeneu estd

correctamente escrita halla las

dimensiones de k.

(180n+n.t) Sen30"k = - '- -- - -_ _ _ : : _ ~

A

Donde:

n = # de moles

t = temperatura

A = amper.g~

[180n]sen30" [n.tlSen30"[k]= -A =T

( )1/2

[k] = [n].[t] (I)

[A]

• [n] = N

•[t] = 8

• [A] = I

} en (I)

[k] = (N.9)1I2

I

12.- Halla [x] si :

x= nV- __ A__

120 - Senn

Donde: V = velocidad

g~

La E c . e s h or no qe ne c.

Luego: n; A; Senn y 120 son

constantes.

Nos ouedcrri:

[x] = [v]

.. 1 [xl = L r 1 1 5.-

1.- Calcula [K]

k=

a~ al tura

b ~ area

a) L4

d) L

2.- Hallar [K]

K =2nP2n

p ~ adimensional

a)L b)L2

d) 1 e) L-I

3.- Halla [A]/[B] laecuocicn es

correcta:

A = v2+ BC

C~ fuerza

4.-

peso de u

(m-e masa)

a) M

d) L2

b) MLT

e) LT2

Cuando un cuerpo es lanzado sobre

una superficie horizontal rugosa

experimenta una fuerza opuesta a

su movimiento l Iamada rozamiento.

del

Calcula la ecuccion dimensional de

rozamiento.

a) F

d) M2

b) MLT2

e) M

es

10.- Hallar [a.b.c] si :

a h+ bV= -+- es dimensionalmentet c

correcta.

6.- Halla: [A] si :

B = AC' C = 95v2

, 2

v ~ volumen

B ~ area

7.- siguiente expresion

nsionol . hal la [K]

v ~ volumen

t ~ tiempo

h ~ altura

a) LT

d) TI

11.- Halla [k] si :

a = k v ekt es dimensional mente

correcto.

a ~ ccelerccion

e ~ adimensional

v ~ velocidad

a) T2 b) T3d) T e) T4

12.- Halla [x] si :

F = x k e2kQ

;

F ~ fuerza

a~ area

e ~ adimensional

a)LT2 b)MLT2

d) ML3T2 e) LTI

13.- Calcula [y]

W = .Q .( A 2 - 2)

Y

D ~ densidad

W ~ trabajo

b)LT

e) LT3

A ~ fuerzaC ~ maSa

B ~ tiempo

a) ML -IT

d) MLT

b) MLT-2

e) LTI

8.- Halla: [k]

k=xy-z

x ~ 4 Newtons

y ~ 15 litros

a) ML 4T2 b) MLT2

d) MLT e) L3

9.- De problema anter ior hallar [z] :

a) ML4T2 b) 1 c) L3

d)T2 e)MLT2



14.- Calcula : [z]

Z = PK+ _x_p-y

Y ---7 masa

k ---7 ccelerccicn

a) M

d ) 1

b) ML12

e)LT

15.- Halla [N] :

N = Ke2(bc - a

2)

a ---7 didmetro

e ---7 adimensional

k ---7 presion

a) LI 2

d) L

b)LT

e) ML12

16.- Del problema anterior si :

(C---7 altura)

Hal la [b]

a) L

d) L2

17.- En un movimiento circu lar un cuerpo

exper imenta una fuerza resul tante

lIamada fuerza centripeta (fcp) que

depende de la masa (m) de la

velocidad (v) y del radio de giro (R).

Halla las formulas de la fcp.

a) MYR

d) MY

R

b) My2

R

e) My2

c) MR

18.- Cuando un cuerpo adquiere

movimiento (velocidad) se dice que

posee energia cineticc (Ek) que

depende de la masa (M) y la

velocidad (Y). Halla la formula de la

E K •

vector es para

magnitudes

VECTOR

Es un ente mcterndtico que grQficamente

Se representa por un segmento de recta

orientado.

a) MY b) My2 My3

c)-2 2 2

d) My2

e) -2 2 • La fisica

CLAYES

1)a 2)d 3)a 4)c 5)b

6)a 7)a 8)a 9)a 10)a

ll)c 12)b 13)c 14)b 15)e

16)a 17)b 18)b

• En general un vector se representa

de la siguiente forma.

A = Modulo del vector A

8 = Di recc ion del vec tor A

METODOS PARA CALCULAR LA

RESULTANTE

a) METODO DEL PARALELOGRAMO

Se utiliza para calcular la resultante de

dos vectores concurrentes y coplanares

que t ienen un mismo punto de or igen.

GrQficamente se construye un

paralelogramo trazando paralelas a los

vectores. EI vector resultante se traza

uniendo el origen de los vectores con la

intercepcicn de las paralelas.

----------------- ,r,

,,/ Vector resuitante:

" " " ' ' ' - - - ~ , ' R = A + B

Modulo de R:

Casos Particulares:

a) Si a=OO(AiiB)-7 R = A + B = Rmaxima

b) Si a=1800

(Ai -tB)-7 R = A - B = Rminima

c) Si a = 900

(A~ B) -7 R = -JA2+B2

b) METODO DEL TRIANGULO

Se utiliza para calcular la resultante de

dos vec tores concurrentes y coplanares

que est rin uno a cont inucc ion del otro.

GrQf icamente se const ruye un triangulo,

trazando el vector resultante desde el

origen del primer vector hasta el

extremo del segmento vector.

Vector resultante:

R= B+A=A+B

Modulo de RR2=A2+B2_2ABCos ~

Donde ~ = 1800

- a. Cos~= -Cosa

Nota: En el triangulo vectorial tcmbien

se cumple la ley de Senos.



c) METODO DEL POLIGONO

Se util ize para calcular la resultante de

un conjunto de vectores concurrentes y

coplanares.

Es un metodo grafico que util iza escalas

apropiadas y consiste en trazar los

vectores uno a continuccion del otro

manteniendo sus caracteristicas. EI

vector resultante (R) se traza uniendo

el origen del primer vector con el

extremo del ultimo vector.

Ejem. Sean A , Bye vectores

Construimos el poligono vectorial

COMPONENTES RECTANGULARES DE

UN VECTOR

Son aquellos vectores que resultan de

proyectar un vector sobre dos (0 tres)

ejes perpendiculares entre sl.

A , , } Componentes rectan-

ly gulare s del vector A

- - - - - - - - - - - Se cumple que:

I Ax = ACosa

Ay= ASena

x

d) METODO DE LAS COMPONENTES

RECTANGULARES

Permite calcular el modulo y la direccicn

de la resultante de un conjunto de

vectores Pesos a seguir.

1° Se halla las componentes

rectangulares.

2° Se calcula la resultante en cada uno

de los ejes coordenadas (Rx, RY)3° Se calcula el modulo de la resultante

aplicando Pitdqoros y su

aplicando la funcion tangente.,..---,.......",11;,

I R = JRx2 +R/ Tg8 = B . " .

VECTOR UNIT ARIO.

cuyo modulo es la uni

misicn indicar la dir

undeterminado v

_ A - _u-=- A=AuxA A

VECTORESUNIT ARIOS

RECTANGULARES:

i=(1,O), -f=(-1,O), j =(0,1) y -j=(O,-1)

A=(AxAy)=A)~~j

1.- La resultante maxima de dos

vectores es 18 y la suma minima de

los mismos es 6. Calcula el modulo

de la resultante cuando forman los

vectores 90°.

g~

Por el

R teorema de

Pitagoras:

R2 = A2 +B 2

B

R2=(12)2+(6f-7 R = ')144+36

. . . I R = 6 v ' 5 1

2.- Calcula la resul tante del sistema de

vectores mostrados.

g~

Eje "xu: rt = 8 +5 + 2 - 4 -7 = 4

R x = 4

Eje "yu: R y = 7+3 + 2 - 5 - 4 = 3

R y = 3

Por el teorema

de Pitagoras:

R2 = R/ + R/

3.- Calcula R : si :

- - - - 7 - - - - 7 ----7--7

R =3A-2B-C

A = 5; B = 4; C = 3

g~Reemplazando los modulos con sus

respectivos signos.--7

R = 3(5) - 2(4) - (3)--7

R = 15 - 8 - 3 = 15 - 11

.: 1R = 41

4.- Si la suma maxima de dos vectores

es 28 y el cociente de sus mcdulos

es 4/3. Calcula el modulo del mayor.

g~

Sean los vectores A y B--7 --7

Smax = A + B = 28 .... (1)

A 4k

B 3k

A = 4k feemPlazando en (1)

B = 3k

4k + 3k = 28

k = 4r. I r -E-Im-ay-o-r-e-s4-k-=-1--'61



20u

5.- Calcula la resultante en el siguiente 7.- Halla la resultante en :

sistema.

+---

3u

g~Eje "x" : --7 (+) ; r (-)-e

Rx = 3 - 3 = 0

Eje "y" : i(+) ; ,1 .. (- )

-e

Ry = 4 + 3 + 2 - 5 = 4

.: 1 R = 4u (i)I

6.- En la figura calcula el valor de la

resultante :

a

g~Ordenando el sistema

a

Por el metodo del paralelogramo

R = ~a2+a2+2(a)(a)Cos60°

2a2+2a2 J : _ = } 3 ; 1·2

R =

4

I. .

g~Descomponiendo el vector de

modulo 20u.

20Sen 37°

4..

r _ ; : : ~ 2 0- ~ -

20Cos3r

->

R x = 20Cos37° - 4

= 20 x 4/5 - 4 = 12 (--7)

->

R y = 20Sen37°

= 20 x 3/5 = 12 (i)

R 6 Z I

I

I

8.- Halla el a la resultante

se encuentra sobre el eje"x",

30

15.j3 ex

15 -J 2

I

45° :I

I

Descomponiendo el vector de

modulo 30 y 15J2 .

:30 Seno:

15v'3

15.)2sen45°:

Cos45° = 30Sena

1x J2 = 30Sena

1530 = Sena --7 Sena = 1/2

9.- Se tienen dos vectores coplanares y

concurrentes cuyos modulos son 3 N

y 5 N respectivamente. Determinar

el angulo que ellos deben formar

entre Sl para que SU vector suma

tenga por modulo 7 N.

g~

- - - - - - - - - - - - - - - . ,,,,,,,

5

,,

49 = 34 + 30Cose

15 = 30Cose

1cose =

2

A = 15

10.- La resultante minima de dos

vectores es cera y u resultante

maxima igual a 3011. iCual debe ser

el modulo de su resultante cuando

los citados vectores formen un

angulo entre si de 106°?

g~

R2= 152+152+2(15)(15)(-Sen16°)

R2 = 2(15)2 - 2(15)2x2..25

R 2 = 2x(15)2 _ 2. 15.15.75.5

R = -1450 -126 =-1324

Sean los vectores A y B

Rmin = 0 = A - B

Rmax = 30 = A + B B = 15



1.- Calcular el par ordenado que

representa al vector A de modo

que la resultante del conjunto de

vectores sea nulay

a)( -24, -2)

b) (-1, -24)

c) (-24, -1)

d) (-12; -1)

e) (-6;-1) --------,i~--"-----~ x

10

(+16, -5)

2.- Dado el conjunto de vectores,

hallar: R =2a + b - 3c sabiendo que:

101=3; Ibl=7 Ie 1=+4.

a) 10

b) 2 C

c) -1

d)-2b

e) 3

3.- Calcular F1, s i la fuerza resul tante

del conjunto de fuerzas es cero. Si

f z =(4;3); ~ =(-3;4); F .; =(-8;-6),

donde:

a)(7; -1) b)(-l, -7)

c)~7; -1) d)~7; 1) e) N.A.

4.- Hallar el modulo de M. si dicho

vector Se define

ademds :

F i =(24;18), Fz =(+14+25), F3=(6,8),

F4=(+12;5)

csi:

5.- Dado los vectores A =(4;2) y

B =(2,6) Determinar el vector IABI

a)2 b)-2 c)-2-J5

d) 2 -J5 e) N.A.

6.- Determinar el modulo de la

diferencia de los vectores

mostrados:

a) 2u

b) 3u

c) 4u

d) 3.5u

e) 6u

4u

37°

5u

7.- Calcular la resultante del conjunto

de vectores Si AB =4m y BC=lOm;

cdemds: ABCD eS un rectdnquloa) 5m B

b) 10m

c) 15m

d) 8m

e) 20mA . D

8.- En el sistema de vect~, el vector»:Sdulo de 15 y

de 53 calcular

--------------~ x

(2;-5)

~y

10

a) ( -15;- 9) b) (9;12)

d) (3; 4) e) (5;3)

c) (15;9) 13.- Calcular e l modulo de la resultante;

se sabe que dicha resultante se

encuentra a 1 0 largo del eje X.

9.- Dos fuerzas coplanares dan una

resultante maxima de 22u y una

resultante minima de 8u. Calcular el

modulo del vector suma Sl forman

unangulo de 53°

a) lOu b)15u c)20u

d) 25u e) 30u

de vectores

b) 8

e) F.D.

c) 16

11.- Sea A =(2;3); B =(4;-3) Y C =(-6,+6)

Heller: IA+2B+CI.

a)5 b)3 c)7

d) .J7 e) 9

12.- Calcular e l modulo de la resul tante,- -

si AB =3m y BC =7m; ABCD eS un

recttinqulo

Ademds: AM =~MD 2

a) 1u

b)3u B, ,c

c) 5u

d) 4u

e) 2u

A , ", .. ·············.JD

M

F~

4Y:, 53°--- --- ---- ---- --- , - -- ---- ---- --- ~ x

F v ' 3

a) 8.J3 -10 b) 8.J3 +16 c) 16.J3-8

d) 16.J3 -16 e) N.A.

14.- Se tiene dos vectores coplanares de

modules 4u y 2u. Que angulo deben

formar entre si para que el modulo

de su vector suma sea ffiu.a) 45° b) 30° c) 53°

d) 60° e) 37°

15.- Se tiene dos vectores de modulo 5u

y 8u calcule la resultante cuando

ambos vectores formen un angulo

de 120°.

a) 3u

d) 9u

b) 5u

e) 8u

c) 7u

16.- La minima resultante de dos

vectores es 3u. Cuando forman 60°

entre Sl su resultante es - J 9 3 .

Calcular el valor de los vectores

a)12y9 b)8y5 c)7y4

d) 6 y 3 e) N.A.

17.- Hallar e l valor del vector resul tante

de los t res vectores mostrados



8u

60°

·~(x)

8u a) 3 b)-v13+3 c) v I3 +3

a) 8u b) 4u c)4.J2 ud) 3 v I3 e)-v13+5

d) 8.J2 u e) 6u

18.- Si: A = B =C =6 .

Calcular: 115A-15B-15CI

a) 100 b)90

d) 90 v I3 e) 12

c) 180

19.- Si de uno de los vertices de un

cuadrado de lado "a" Se trazan

vectores a los otros vertices. Hallar

el modulo de la resul tante

a)a.J2 b)2Q c)av13

d) 2a v I3 e) 2a.J2

20.- Si ABCD eS un paralelogramo y "Mil

es punto medio de AB. Hallar "x" en

funcion de los vectores 0 y b .

o-ba)--

3

b) 0 + 2b

5

- 0 - 2b

c) 6

d) 0 - 3b

7

)20 - b A

e --4

B~ ~c

D

21.- 21).- En la figura P+Q =( - v I3 ;3), Sl

Ipi =m y IQI =n. Calcu lar: m-n

22.- Dos vectores se encuentran

aplicados a un mismo punto. Si uno

de ellos mide 15 u y el otro 7u

Calcular el modulo del vector sumo,

si el angulo formado por ellos mide

53°.

a) 20

d) 25

b) 15

e)N.A.

c) 10

23.- Se tienen dos vectores coplanares y

concurrentes cuyos modulos son 3 NY 5 N respect ivamente. Determinar

el angulo que ellos deb en fo

entre Sl para que su

tenga por modulo 7 N.

a) 60° b) 30°

d) 53° e) 74°

vectores an entre si 53°.

Calcular la medida de cada vector.

a)15y7 b)16y12 c)16y9

d) 12 Y 7 e) 12 y 9

25.- Determinar el angulo que deben

formar dos vectores A y B, para que

el modulo de su resultante suma Sea

igual al de su resul tante diferencia.

26.- Hallar I R I, si R=A+B

I A 1 = 2v13u Y I B 1 = 4u

c)M

a) 1u

d) 4u

300

, r \ 1 \ j .

b}~ c) 3u

G )~

29.- La minima resultante de des

vectores es 4v13y cuando forman

60° entre si su resultante es: .J93

ccudl Sera el modulo de la

resultante cuando los vectores

formen 90° entre si?

a) ..ff8 b) J8 6

d) 8 e)10

30.- La resultante de des vectores es

2~7 + 2 v13u . Calcular e l angulo que

forman entre si , siendo sus modules

igual a: . J 3 u y 5u.

a) 30° b) 3r c) 45°

d) 53° e) 82°sistema de fuerzas

ar F1, si Fz=80 v I3 Ny F3=F

F

F3CLAVES

l)c 2)a 3)a 4)d 5)d

6)b 7)e 8)c9)c

lO)d

l1)a 12)c 13)b 14)d 15)c

2100 16)c 17)d 18)b 19)e 20)a

21)c 22)a 23)a 24)a 25)c

26)b 27)a 28)b 29)a 30)b

a) 240N

d) 360N

b) 120N

e) F.D

c) 180N

28.- EI modulo de la diferencia de dos

vectores A y B es i gual a l modulo

del menor de ellos. <.Hallar el angulo

que hacen los do s vectores, si:

1 :4 + 8 1 _- 1 _ - 1 - J5A-B



1. Definicion: Estudia el movimiento

mecdnicc sin considerar la ccuso de

su movimiento,

2. EI movimiento: Es la cualidad

principal de la materia, porque la

materia esrd en constante cambio.

Existen diversas formas de

movimiento de la materia, desde los

mas simples hasta los mas comple jos,

tales como: movimiento mecdnico,

movimiento termico,

electr-cnicc. etc.

movimiento

3. Movimiento Mecanico: Es el cambio

de posicion que experimenta uncuerpo con respecto de otro cuerpo

denominado "cuerpo de referencia".

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

y

observodor

Reloj

X A = Vector posicion inicial

X e = Vector posicion final

Del grQfico:

X A + d = X B c : : ) d = X e - X A

x

Donde: L lx V =Cambio de posicion del

movil.

1. -Movil. - Es el cuerpo que describe el

movimiento mecdnico.

2. -Trayector ia . - Es el lugar geometrico

que describe el movil al desplazarse

respecto al s istema de referencia.

3. -Desplazamiento (d). - Es el vector

que nos indica el cambio de posicion

efect ivo que experimenta el mov il ,

4. -Distancia (d). - Es el modulo del

vector desplazamiento.

5. -Recorrido. - Es la medida

longi tud de

puntos.

1. movimiento en el

ibe una trayectoria

recti linea experimenta iguales

recorridos en iguales interval os de

tiempo.

En todo M.R.U. la rapidez se mant iene

constante en modulo y direccicn.

A - 2m - B - 2m - C -- 4m ----r>

* Tramo AB:

* Tramo AC:

3. Medida vectorial del

Mide la

posic ion que

* Ec. Vectorial * Ec. Escalar

Donde:

Unidades (5.1)

v : Modulo de la velocidad

d : Distancia

t : I ntervalo de tiemp

(m/s)

(m)

(s)

OBSERVACION:

* Si la direccien del movimiento es la

misma se cumple: d = Recorrido

V = c4ota'

tn ttotal

Donde:

Vm : rapidez media 0 rapidez sobre su

trayectoria.

d m km cm

t s h s

V m/s km/h cm/s

5. Eguivalencias

1km = 1000m lh = 60 min1m = 100cm lrnin = 60 segundos

1 km = 105 ern lh = 3600 segundos

6. Conversion de Rapidez

)km m

a De: ah s

km ~8 - X - = 5 m/sh 18

km ~6 - X - = 10 m/sh 18

* Convierte 90km/h a m/s,

V = 90 x (l~Jm/s

V = 90x5 = 25m/s18

m kmb) De: -a-

s h

m ~80 - X - = 72 km/ss 5

m ~80 - x - = 108 kml sh 5

* Convierte 50m/s a km/h

V = 50 x e:JKm/h

V = 50x18 = 180 Km/h5



RESUMEN

• d =V.td

• V = -t

• t = ~v

A dem ds :

Vdtotal id di di

mp=TTl; rep: ez me la prome 10.. ota

dVm= ; Vm = rapidez media.

T.Total

1.- Dos moviles van al encuentro desde

dos puntos distantes igual a BOOm

con rapideces constantes de

mcdulos: 30m/s y 40m/s. Halla el

tiempo que demoran para estar

separados 100 m por primera vez.

g~30m!s t t 40m!s

~.~ .. ~O~' .' , ' .' r » : . ". ' ' .' : .' :. ' ' .' ' .' : ·' -t lQOm+' ' .' : ." '. ' ' .' : .' : .' ' .' ' ' '' '. '' .' ' .'

800m

De la figura:

el + e2 = 700'--,-' '--V--'

30t + 40t = 700

.:·It = 1051

2.- Un movil debe recorrer 400km en

12 horas con M.R.U a la mitad del

camino sufre un desperfecto que 1 0

detiene 1hora.

iCon que rapidez debe continuar su

marcha, para lIegar 1 hora antes de

1 0 establecido?

Tralrno AB

V = e

t

400k------I

V = 200

4h

.: 1 V = 50k: 1

3.- Un bote navega en aguas tranquilas

durante 4s. Con rapidez constante

de 5m/s en direccion norte.

Seguidamente se dirigen en

direccion este con una rapidez

constante de 3m/s durante 5s.

Determina el recorrido y la

distancia durante el tiempo que fue

observado el bote.

g~

a) Calculoe = eAS+ esc'-r' ' -----r-' . .___.._. ,

e=5x4+3x5

e = 35m

b) Calculo de la distancia (d)

d = eAC 7 d = ~202 + 152

:~r-d-=-2-5m---'1

4.- Una persona ubicada entre 2

montofics emite un sonido al cabo de

2s escucha el primer eco y luego de

ls, escucha el segundo eco.

Determina la sepcrccion entre las

montanas.(Vsonido=340m/sen el aire)

g~

5.- Dos moviles parten separados

inicialmente 900m con rapidez

45constante de 12m/s y Bm/s en

direcciones contrarias uno al

= 15

3572 =1,55

d = 340 (1 + 1,5)

.: 1d = 850ml

encuentro del otro

simultdneornente. Calcula el tiempo

que transcurre hasta estar

separados 300m por segunda vez.

g~

r--------900m-----

De la figura :

d1 + d2 = 1200'-y- '-y-

12 . t + 8 . t = 1200

20t = 1200

.:·It = 6051

6.- Dos autos separados por una

distancia de 500m parten con

rapideces constantes de 30m/s y

40m/s en direcciones

perpendiculares y dirigiendose a un

mismo punto. Luego de cuanto

tiempo se cruzordn.

g~

t

De la figura:t 40m/s

d1 = 30t

d2 = 40t

Luego: por el teorema de

Pitagoras

(40t)2 + (30t)2 = (500)2

Resolviendo

7.-

..·It = 1051

Un movil recorre tramos iguales con

rapideces constantes tal como se

muestra en la figura. Determina la

rapidez media del movil durante

todo su recorrido



A B D

r - d - - - + - d - - - - + - d - - l5abemos que:

dV m = -

t

Vm = 3 d = -----;-_3--;-d_----;-

tAB+tBC+tCD ~+_d_+_d_v: V 2n V 3n

3V3n

:. V m = 1 + v n+ v 2n

8.- Dos puntos "A" y "B" distan entre si

100Km, de "A" sale un mcvil que

tcrdcrd dos horas en lIegar a "B",

de "B" sale otro rnovil hacia "A", a

donde lIegara en 2,5 horas. Halla a

que dis tancia de "A" se cruzan.

g~5egun el enunciado:

D

- I

te = 100 = 10 h50 + 40 9

d = 50 x 10 = 500 km9 9

: . 1 d = 55.6 kml

VA =50km/h; VB=40km/h

d = ??

g.- Dos moviles "M" y "N" parten

simul tdnenmente desde una c iudad

"A" hacia una ciudad "B", en esemismo instante sale otro movil "P"

desde la c iudad "B". Se sabe que la

distancia AB es 91Km y las

rapideces constantes de los mcv iles

son 6Km/h, 5Km/h y 9Km/h

respectivamente. Calcu la el t iempo

en que "N" equidista de "M" y "P".

g~

De la figura :

i)

ii) dN-

5t - x + 9t = 91

13t = 91

: . 1 t=7h I

10.- Si un tren pasa por un puente de

580m completamente en 35s con

rapidez constante. y frente a una

persona en 6s.

Calcula la longi tud del tren.

.)

I v~v= = r - = n A ~[············D

~~lliWFL~.J= 580m ~

Para el punto "A" :

I d = v.t I580 + L = v.35 (1)

ii)

De la f igura:

d2 - d1 = d ... (l) -7

10 x120 - 5x120 = d

1200 - 600 = d

d

g~l punto "S"

d = V.t

L = V x 6 (2)

Reempl. (2) en (1) :

580 + 6V = 35V

580 = 29 V -7 V = 20m/s.

: . 1 L = 120ml

11.- Dos amigos parten desde un mismo

punto y en la misma direccion con

rapideces iguales a 5m/s y 36m/h.

Luego de 2 minutos que distancia los

sepcrcrri.

g~Haciendo do s pistas paralelas para

observar mejor 1 0 que ocurr-ird,

5m/s 120s

~~I

I

: . 1 d =600ml

12.- Una persona Se di rige hacia un muro

con rapidez constante de 5m/s si

lanza un grito cuando pasa por el

punto "A". Calcula la distancia del

punto "A" al muro si escucha el eco

luego de 4s. (Vsonido = 340m/s)

5m/smur~

Segun el enunciado el joven s igue su

marcha hacia el muro con la misma

rapidez hasta que escucha el eco.

Entonces nos piden "d"

Para el sonido:

t + t = 4sonido (ida) sonido(vuelta)

Luego:

dM + (dAe + deB) = 2d

"'~5x4

10

+ 340 x 4 = 2d

+ 680 = d

:.Id = 690ml



1.- En la figura calcula el tiempo que

tarda el movi l en Ilegar al otro

extremo si experimenta unM.R.U.

faja

2m /s

60m

a) lOs

d) 30s

b)15s

e) 12s

c) 20s

2.- Un nino ubicado en la orilla de un

lago escucha una explosion a una

distancia "d" de la orilla sobre el

lago si el tiempo del sonido en el

aire es 7s mas que el tiempo del

sonido en el agua. Calcula a que

distancia ocurr-io la explosion.

Considera: (Vsonido(aire) = 340m/s)

(Vsonido (agua) = 2720m/s)

a) 2640m b) 1700m c) 850m

d) 2720m e) 3225m

3.- Calcula la distancia entre los puntos

"P" y "Q" si un movil que viaja a

2m/s tarda 8 minutes mas que

viajando a rczcn de lOm/s.

a) 1l00m b) 1200m c) 1330md) 1400m e) 1500m

4.- Una pelota de goma es lanzada hacia

una pared vertical con rapidez

constante de 20m/s, si la pared se

encuentra a 400m y la pelota

rebota horizontalmente perdiendo

el 2570 desu rapidez inicial.

lanzamiento.

a) lOs b) 20s

d) 40s e) 50s

c) 30s

5.- Un buque se traslada hacia el Este

con una rapidez de 20Km/h. En un

instante determinado, un segundo

buque quese dirige al norte con una

rapidez de 15Km/h, se halla a

125km al sur del primero.

Determina la menor distancia de

sepcrccion entre los buques.

Considera MRU para ambos buques.

a)80Km b)90km c)100km

d) 120km e) 125km

6.- Dos moviles van en la misma

direccicn, EI movil de adelante viaja

con una rapidez (d/4)m/s y el movil

de ctrris con (d/2)m/s;

inicialmente estaban

dKm. GQue tiempo emplecrd

distanciarse nuevamente dK

a) 8000s b) 7000s

d)5000s e)4000s

7.-

Determina

orilla y So a superficie del agua

explore una bombc, si la diferenciade tiempos entre el sonido

transmitido por el aire y el agua es

de 80 segundos.

a)30Km b) 31Km c)32Km

d) 33Km e) 34Km

8.- Dos moviles "X" e "y se mueven con

movimientos uniforme,

observdndose en cualquier memento

que la distancia entre ellos es el

triple de ladistancia del rnovil "Y" al

punto de partida. Halla la relccion

de rapideces entre "X" e "Y"

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9.- Un carro que se dirige a la rapidez

de 20m/s toca la bocina en un

o oyendo el

despues de 5

segundos. £ '- rmina la distancia

del car~ obstaculo en el instante

que oco la bocina, si la rapidez

t el sonido es 340m/s.

Om b) 1600m c) 1700m

900m e) 1900m

12.- En la figura el muchacho se

desplaza a 5m/s y los moviles "A" y

"B" a 20m/s y lOm/s

respectivamente. GAl cabo de que

tiempo el muchacho escucha el

choque entre Ay B?

(V sonido =340m/s)

Dos moviles parten

simultdneornente de un misrno punto

en sentido opuesto con rapideces

constantes de 9m/s y 6m/s. Si

despues de recorrer 80m y 160m

respectivamente ambos retornan.

GA que distancia del punto de

partida se vuelven a encontrar?

a) 124m b) 125m c) 128m

d) 127m e) 126m

11.- Dos nadadores parten

simultdnecmente de uno de los

extremos y en la misma direccion deuna piscina de 90m de longitud con

rapideces constantes de 3m/s y

2m/s. Considerando que no pierden

tiempo en voltear. GDespues de que

tiempo se cruzan por segunda vez?

a) 52s b) 53s c) 72s

d) 55s e) 56s

A B

a) 13s

d)16s

b)14s

e)17s

c) 15s

13.- Dos particulas A y B se encuentran

separados 200m, si parten una hacia

la otra con rapideces constantes de

20m/s y 50m/s. Gque distancia

separa a las particulas cuando B

pasa por el punto de partida A?

a) 50m b) 60m c) 70m

d) 80m e) 90m

14.- Dos moviles A y B parten

simultdnecmente de unmismo punto.

EI movil A se desplaza a 2m/s en

direccion este, mientras que B se

desplaza a 1m/s en direccicn norte

30° este.

Determina la distancia que los

separa luego de lOs.

a)8vGm b)9J4m c)10vGm

d) llvG m e) 12 vGm

15.- Dos trenes de 50 y 100m de

longitud se encuentran uno frente al

otro, siendo la distancia entre sus

partes delanteras de 1350m. Si

parten simuitdnecmente uno hacia el

otro con rapideces constantes de

50m/s y 25m/s. Determina despues



de que tiempo logran cruzcrse

completamente.

a)17s b)lBs c)19s

d) 20s e) 21s

16.- Dos trenes con rapideces opuestas

VI y V2 demoran 6s en cruzarSe

completamente, pero solo 5s si las

rapideces son VI y 3V2/2. iCuanto

demcrcrd uno en sobrepasar al otro

si ambos viajan en el mismo senti do

con las rapideces VI Y V2?

a) lOs b) 20s c) 30s

d) 40s e) 50s

17.- Una carreta es lIevada por un

caballo que mantiene en to do

momento una rapidez constante. En

cierto instante se rompen las

riendas Y la carreta queda libre

deteniendose al cabo de lOs,

instante en el cual se encuentra a

BO m del caballo. Hallar la rapidez

del caballo.

a) 14m/s b) 15m/s

d) 17m/s e) 1Bm/s

c) 16m/s

18.- En el siguiente grQfico las

plataformas miden 30m. Si se

mueven con rapideces constantes

de 20 Y 40m/s respectivamente,

Determina que distancia recorre el

hombre cuando las plataformaschoquen si parte con rapidez

constante de 5m/s desde el punto 0

Y en el misrno instante en que las

plataformas inician su movimiento.

~m/s

a) 1,5m

d) 4,5m

c) 3,5m) 2,5m

e) 5,5m

19.- Un movil recorre tramos de lrn, 2m,

3m,... nm; Determina su rapidez

promedio, sabiendo que cada tramo

1 0 recorr-id en igual tiempo "t"

cdemds t-n=1.

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3

d) 0,4 e) 0,5

20.- Un soldado prende la mecha de un

explosivo y corre olejdndose de el a

rapidez constante de Bm/s durante

17s hasta orr la explosion. Si la

rapidez del sonido es 340m/s.

iCuanto tcrdo en consumirse la

mecha?

a) 12,6s b) 13,6s c) 14,6s

d) 15,6s e) 16,6s

CLAVES

1) e 2) d 3) b

6) a 7) e B ) d

l1)c 12)d 13)d

16)c 17)c 1B)b

1. DEFINICION

Es aquel movimiento que realiza un

movil al deslazarse sobre una

trayectoria recti linea con rapidez

variable y ccelerccicn constante.

1.1. MOVIMIENTO ~ELERADO

Vl~'" V2-----+ i. 1~. -----+- sr: -

I == = = ~

: Rapidez inicial.

V2 : Rapidez final.

a : Acelerncion.

t : Tiempo.

1.2. MOVIMIENTO DESACELERADO

Luego VI> V2

EI movil se detiene.

La ocelerccion esrri en contra del

movimiento.

2. ACELERACION (a)

Es el causante del aumento 0

disminucicn de la rapidez.

3. ECUACIONES DEL M.R.UV.

a) ( Vf = Vi± at

b) ( v , 2 = Vi2 ± 2ad)

Importante:

~

.~Mov. a(+)- acelerado

~.~Mov. a(-)

=W desac.

1.- Un mcvil parte con una rapidez

inicial de 2m/s y desarrolla un M. R.

U. V. Con una ccelerccicn de 4m/s2 .

Calcula el tiempo que tarda en

recorrer los primeros 40m.

g~

2mls t.~! ' : : '> : : ; S : ;: ! :: : i; " i: " : :< " . .40~'~ : : ~ : : < , : :• : : > : . : ( . ~ f

e = V.t + .!.at2

2

40 = 2.t + 1 (4) t22

2t2 + 2t - 40 = 0

t2

+ t - 20 = 0

t -4

t > < : 5: . 1 t=4s 1



2.- Una particula parte del repose y

experimenta una ccelerccion

constante igual a 4 m/s". iQue

distancia recorrerd en el sexto

segundo de su movimiento?

g~

~~'

'iX:),' \ ' , ., . ! ,. » ' ,. ' (' , ' . - ; ', ' :' , ': ' : : " · " l · " ' ~ ; ' , : : · . c ' x . c ' ; c' c' " , ";'1

e6toseq

1d = Vot + - at2

2

De la f igura:

d = _!_4)(6)2 - _!_4)(5)22 2

e6toseg= 2x11

:. '- 1-6-to-s-eg-=-2-2-m-'1

3.- Un movil aumenta su rapidez en B

m/s durante 2s, recorriendo 20 m.

Halla su velocidad in ic ia l y final es

m/s.

g~Recuerda que

a = DV = Vf- II; = Bm /s = 4m/s2

t t2s

i) d= (II;~Vtjt

2x20Vi + Vf = --=20 (1)

2

ii) V f = V ; + at

Vf-V;=8 (2)

De (1) y (2) sumando:

V f = 14m/s

En (1)

:. IVi = 6m/sl

4.- En los pr imeros des segundos de

movimiento un movil recorre Bm en

una pista horizontal, y un los

siguientes 2 segundos recorre 16 m.

Hal la la ccelerccion del movil.

g~

(1)

24 = VA + _!_a 162 .

Efectuando: Ec(2)-2xEc(1)

8 = 8~2

:.1 a = 2m/s21

(2)

5.- Un auto pasa por un punto "AU con

cierta rapidez luego de 4s pasa por

ot ro punto B con una rapidez igual a

tres veces su rapidez inicicl. Si la

d is tanc ia ent re A y B es 112m.

Calcula su ccelerccicn.

g~t= 4~

Nos piden el tiempo de encuentro

en el M.R.U.V.

De la f igura:

d1 + d2 = 64m (1)

~ V = 14m/s

Luego:

Vf - II;

t

3V-V Va =

4 2

:.Ia = 7m/s21

6.- Si dos autos parten desde el reposo

con direcciones contrarias uno al

encuentro del otro con ocelerocion

constantes de 3m/s2 y 5m/s2.

Calcula luego de cuanto tiempo se

5abemos que:a. t

2

d = V.t +2

cruzcrdn.

\ " . ' ." , - , . .• . " . • . -, - : ' ; : . ': - . ' .. . " '~ , . ,' ; . " , :_ , \ . -r , " 0' " ."- -" ., • - . ,' ., - ' - ' ' ' ' ., ~" .• >' r - f " I -' - ", , ," : ,, ~ , ~ - - " - ", , ,, " -: • . 64m '",.:,:",',:,,":,:,'.:~I

En (1):

a" t2 a2 •t

2

V;.t +_-+ V;.t + = 642 2

a1 • t2+ a2 • t

2= 64

2

3t2 + 5t2 = 2(64)

t = 16

: . I t = 4 s 1

7.- Dos mcviles A y B parten del

reposo simultc ineamente de un punto

P, y se desplazan en un mismo

sent ido con aceleraciones de 6m/s2

y 4m/s2. Halla el tiempo que debe

pasar para que equidisten de un

punto Q distante a 1000m del punto

de partida.

1 2

¢1000 + xl = -alt el=

2

1 2e2= 1000 - xz = -azt

2



Luego:

1000 + x = ~(6) t2

1000 - x = _! _ (4) t2

2

2000 = 5tZ

r,It = 20s1

8.- Dos partfculas se encuentranseparadas 400m; si se acercan una

hacia la otra a partir del repose y

acelerando a rczcn de 1,5ms2 y

2,5m/s2. iQue tiempo debe

transcurrir para que esten

separados una distancia igual a la

inicial?

(II)

De la figura (II)

e2 = 800m

1 Z-az t = 8002

g.- Un muchacho caminando a 1,3m/s

recorre cierta distancia y luego se

detiene un cierto tiempo para

descansar. Reinicia luego su

recorrido acelerando a 4m/s2

durante 7s. Halla el tiempo que

estuvo detenido si en total ha

recorrido 150m al cabo de 80s de

haber partido inicialmente.

g~

_ !_ x ~ tZ + _ !_ x ~ tZ = 8002 2 2 2

~t2 = 8004

.: 1 = 20s1

1.----- 150m ------1~

De la figura:

t + tD + 7 = 80

t + tD = 73s (1)

+ dBc = 150m

~MRUV

d = l,3t +

t = 40s

Reemplaz

10.- Un rnovil pasa por dos puntos A y B

de la carretera acelerando a 4m/s2

demcrdndose 12s si su rapidez al

pasar por B es el triple de su

rapidez al pasar por A. Halla la

distancia AB

12.;

V~3V~ d='"III" """-,,;~" ~ ~.

4/'f:::: ; · : : : : : · ~ · · · \ · ; o < { < · ; ; " , · / · · · , · · ' ; : ' \ : " " \ ' / B : ( . .

dAB=??

Por teorla, scbemos:

E£]4= 3v- v

12

Tramo Be: (M.R.U)

Id = V.TI ~ 210 = V.tz

210Luego : t2 = -=5s

42

t 7dAB= ( ~ J t

r, leAB = 576ml

partiendo del reposo

acelera a rczcn de 3m/s2, si como

maximo puede experimentar unarapidez de 42m/s. Calcula el minimo

tiempo que tcrdcrd en recorrer

504m.

Vo=O~~2~.~ s~O ~Q- , i . ' . . ' ;; . · : . · i ~ : ; · · /:).;.15·:< · : · ; ·: · : : ·; ; ) ; ·: ; : · ; ;· ; · ; :: ( · : ·C ' , .

'504tn

.:·Ittota, = tl + t2 = 1951

12.- Si un auto inicia su recorrido con

rapidez inicial de 20m/s y pisa los

frenos el conductor deteniendose al

cabo de 5 segundos. Calcula el

recorrido total.

g~

Reemplazando:

d = (20 + 0) 52 x

IB!m

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Un auto parte del reposo y acelera

a 2m/s2 durante 2s luego se apaga

el motor y el auto desacelera

debido a la friccicn. a rczon de

4cm/s2

durante lOs. Entonces se

aplican los frenos y el auto se

detiene en 4s mds, Calcula la

distancia total recorrida del

outcmcvil.

a) 39,2m

d) 39,2m

b) 49,2m

e) 49,3m

c) 19,2m

Tramo AB : (M.R.U.V)

IVf = Vo + a .1 t ~ 42 = 0 + 3.tl

tl = 145

d - (\{+ \'t). tAB- 2

(0 + 42)dAB= X 14~dAB = 294m

2



2.- Un movil se mueve sobre una recta

con movimiento rectilineo

uniformemente variado, en el

primer segundo recorr'io 70m y en

Ie tercer o 100m. "Cuanto recorr io

en los des primeros segundos de su

movimiento?

a) 155m

d) 115m

b) 255m

e) 135m

c) 125m

3.- Una motociclista se encuentra a

36m de un auto. Si ambos parten

simultdnecmenre en igual sentido,

donde la motociclista 1 0 hace con

una rapidez constante de 16m/s y el

auto con una ccelercc ion constante

de Bm/s". Hal la la minima distancia

que pudo acercarse la moto al auto.

a) 16m b) 17m c) 18m

d) 19m e) 20m

4.- Un movil rrucrc su movimiento

retardado con una rapidez inicial de

60m/s. Si la diferencia de

distancias que recor r- ic en el pr imer

segundo y el ultimo segundo de su

movimiento es de 48m. "Que tiempo

se tcrdc en detenerse?

a)ls b)5s c)3s

d) 2s e) 4s

5.- Un mcvil recorre la distancia AB a

una rapidez constante de 20m/s en10 s. Si inicia el retorno con la

misma rapidez desacelerando

uniformemente y IIegan do con

rapidez nula al punto "A". Calcula su

rapidez promedio para todo el

recorrido.

a) 28km/h b) 38 km/h c) 48 km/h

d) 58 km/h e) 68 km/h

6.- Un auto se pone en marcha con una

ccelerncicn constante de 3m/s2

hasta alcanzar la rapidez de Bm/s,

corre a esta r apidez durante cierto

t iempo y luego empieza a detenerse

con una ccelerccion negativa

constante de 6m/ S2, hasta que se

detiene. Halla su rapidez promedio

si recor+io en total 40m.

a) 5,6m/s b) 5,7 m/s c) 5,8 m/s

d) 5,9 m/s e) 5,5 m/s

7.- Un movil que parte del reposo

recorre 30m durante los dos

primeros segundos. "Cuanto

recorrera en los dos segundos

siguientes?

a) 70m b) 80m c) 90m

d) 60m e) 50m

8.- Un movil parte del reposo,

acelerando a rczon de 5m/s2y luego

frena con una desaceleraci

constante de 2m/s2, el

estuvo en movimiento

segundos. "Cual es

maxima que alcanza?

a) 40m/s b) 30m/s

d) lOm/s e) 50m

9.- encuentro

uno otro, partiendo

simultdneorr iente del reposo de dosciudades "A" y "B" con las

aceleraciones constantes de 3m/s2

y 7m/s2.

Si la distancia AB es de 80m. "En

que tiempo se encorrtrurd>

a)ls b)2s c)3s

d)4s e)5s

10.- Un auto parte del repose con una

ocelerccicn de 760m/s2. En el

instante de la partida, se suelta un

globo del coche que asciende

vertical mente a rczcn de 5m/s.

"Que distancia separa el globo del

auto cuando esre olccnzc una

rapidez de 24m/s?

a) 50 b)51 c)52

d)53 e) 54

y 6° segundo de

su movi 0 uniformemente

aceleral\>} lI"ecorre 20m mas que

I,}b Y 4° segundo. Determina

s

c) 33m/s2

Dos rncviles que estrin detenidos y

separados por una distancia de

500m parten al mismo tiempo con

ccelerccicn constante de 2m/s2 y

3m/s2 desplazrindose en el mismo

senti do. "Que tiempo emplea el

segundo en adelantar 300m al

primero?

a) lOs

d) 40s

b) 20s

e) 50s

c) 30s

13.- De un mismo punto parten del

repose dos autos A y B, siguiendo

trayector ias rec til ineas que formanentre si un angulo de 90°. Si sus

aceleraciones son de 2m/s2 y

2,8m/s2 respectivamente, halla la

distancia que los separa al cabo de

15s.

a) 287m b) 387m c) 277m

d) 377m e) 487m

14.- Un curomdvil viaja tras un ciclista, a

la rapidez de 36km/h. Cuando el

ciclista se encuentra a 300m por

delante, el cutomovil acelera a

rczcn de 1,2 m/s". Determina en

cuanto t iempo 1 0 clccnzcrd si el

ciclista viaja a r apidez constante de

7m/s.

a) 20s

d) 40s

b) 30s

e) 50s

c) lOs

15.- Un cutomovil parte del reposo y

acelera uniformemente a rczon de

0,5m/s2

durante un minuto, al

termino del cual deja de acelerar

por espacio de un minuto mas.

Finalmente frena deteniendose en

10 segundos. Determina la distancia

total recorrida.

a) 1850m b) 1950m c) 2950m

d) 2750m e) 2850m

16.- Un cutomdvil parte del repose y con

cceler ccicn constante de 0,3m/s2,

conserva este movimiento acelerado

durante 2 minutes, al termino de los

cuales deja de acelerar,

manteniendo constante su rapidez

alcanzada. "Que distancia reccrr-erd

en los 5 primeros minutes del

movimiento?

a)8240m b)8640md)8440m e)8340m

c) 8540m

17.- Un auto inicia su movimiento en "A"

acelerando a rczon constante de

4m/s2 hasta lIegar a "B" en 3s

cuando pasa por B se accionan los

frenos y el auto se detiene 2s



despues, determina la ccelercc ion

constante durante el frenado.

a) 3m/s2 b) 4m/s2 c) 5m/s2

d) 6m/s2 e) 7m/s2

2° Tiempo de vuelo ( tv ). - Se denomina as i

al tiempo en el cual un mdvi l

permanece en movimiento.

De la figura:,--- ---,

[ tv: ts + tB I

Observccien:etenerse? Considera pista

recti l inea.

a) 50m b) 60m c) 80m

d) 110m e) 100m Mov. desacelerado

signo (-)

CLAVES

1) c 2) a 3) e 4) b 5) c

6) b 7) c 8) a 9) d 10) c

11) e 12) c 13) b 14) a 15) e

16)b 17)d 18) c 19) a 20)d

18.- Un cohete que in icia su movimiento

asciende vertical mente con una

ccelerccion constante de 5m/s2

mientras que el combustible se

quema, si el combust ib le se acaba

luego de 200s, determina la altura

maxima que alcanza el cohete

(g=10m/s2)

a)50km b) 75km c)100km

d) 150km e) 175km

ii) V~ 19° A un mismo nivel de r eferencia (seqiin

el grQf ico) para la rapidez se c umpl e: Mov. acelerado signo

(+ )

• VA(i)=VcCl-)

• VB = 0

1.- Se lanza un objeto, hacia abajo

desde una altura de 550m,

demorando lOs en Ilegar al piso.

Calcula la rapidez de lanzamiento.

(g:10m/s2)

1. DEFINICION

Es aquel movimiento que transcur re por

cccion de la ccelerccicn de la gravedad.

En este movimiento no se considera la

resistencia del aire.

19.- Un vehiculo in icia su movimiento con

una ccelerccicn constante de

modulo lm/s" en el instante que la

luz del semdf oro cambia a verde, en

ese instante un ciclista se mueve a

rapidez constante de 7m/s perc

estd a 20m detrds del vehiculo,

determina el menor tiempo que

debe transcurrir para que dichos

mcviles esten juntos.

e dice que olccnzo su altura

g~

I I I I I I

T v

4° 9 : Acelerncion de la gravedad:

2. INTERPRETACION DE M.V.C.L

B V f=O- - - - - -- - -- 7 · . . .

J \ t = l O sValor promedio

* Para efectos prric+icos:

g: 10m/s2

550m

T Hmax 3. ECUACIONES DEL M.V.C.L

Las ecuaciones del M. V.C.L son las

mismas ecuaciones visto en el M.R.U.V.

con los unicos cambios de "d" por "H" y

7m/ s+-- Fig(l)

550 = Vo x 10 + t (10) ( lOf20cm

de "a" por "g,.c".c...._-----,

[V f = V i ± g. t 1) 4sd) lOs

b) 6se) 12s

c) 8s 50 = Vo x 10 ~ Vo = 50/10

( V / : V i2 ± 2gH 1

[ H : Vi. t+ ~]

: . 1 V o = V = 5m/sle la figura (1) se cumple :

20.- Un movil pasa por un punto con una

rapidez constante de 20m/s, luego

de 3s empieza a desacelerar a

rczon constante de 4m/ S2 '-que

recorr ido reclizc el mcvil desde que

pasa por e l punto mencionado hasta

2.- Un cuerpo es lanzado vert ica l mente

hacia arr iba, a lcanzando una altura

maxima de 45m. Calcula el tiempo

de vuelo. g:10m/s2.

tiempo de

subida

(ts)

t iempo de

bajada

(tB)



B

45m

~g

i) Tramo AB:

Analizando el tramo BA en la

calda

H = VoBX t + t gt2

45 = t (10) t ~ t = 952

~ tbaj ada =35

En (1) tvuelo= 2 x 3

r,1tvuelo= 651

3.- Una pelota es lanzada vert ica l mente

hacia arriba con una rapidez de

20m/s. Calcula despues de que

tiempo estcrd bajando con una

rapidez de 6m/s. (g=10m/s2)

g~

B»".. , V = OI \

: I I I I I I----(' c ~g

: 6m/sI

I

2 o m ~ S I

o = 20 - 10tAB ~ tAB = 25 .... (1)

ii) Tramo BC :

Vfc = VoB +g tBc

6= 10 X tBc ~ tBc = 0,65

..·IMe piden tAB + tBC = 2,651

4.- Un cuerpo es dejado caer en el

vado sin rapidez inicial. Si en el

ultimo segundo recorre 25 m, se

puede conclui r que fue abandonado

desde una al tura igual a:

g~v-n

I I > [.~;lt,1,.,De la f igura:

(1)

(2)

Luego: Re5

25 = t (10) (2t+l)

t = 25

Reemplazando en (1)

H = HI0) (2+1)2

.: 1 H = 45ml

Si una piedra es lanzada hacia

arriba desde cierta altura con

rapidez igual a 20m/s y el tiempo de

vuelo es 9s. Calcula la altura de

lanzamiento.

g~B

~ - - _ V B = O~" . . . .,I \

I I

I I

I I

20m/s

c

20 m/s

Hallando el tAB:

V f = V o - gt

gt = V a

10 . t = 20 ~ tAB = 2

Por teorla

tAB = tBc = 45

Luego: tCD = 55

Tramo CD:

gt2

+ -2

H = 20 x 5 + 10 . (5)2

2

H = V o x t

H = 100 +125

.: 1H = 225ml

1.- Un objeto cae desde un globo cereo

que baja vertical mente con una

rapidez de 15m/s. Determina la altura

recorrida por el objeto luego de 10

segundos.

a) 650m

d) 620m

b) 640m

e) 610m

c) 630m

2.- Se lanza una piedra vertical mente

hacia arriba desde el fondo de un

pozo de 40m de profundidad con una

rapidez inicial de 30m/s. i .Que tiempo

debe transcurrir para que la piedra

pose por el borde del pozo?

(g=1Om/s2)

a) 1s

d) 4s

b) 25

e) 5s

c) 35

3.- Determina la altura de un edificio,

sabiendo que un hombre, desde el

borde de la azotea lanza una piedra

ver ticalmente hacia arriba a 1Om/s,

esta lIegaa t ierra luego de 8s.

a) 220m b) 230m c) 240m

d) 250m e) 260m

4.- Una piedra es lanzada ver tical mente

hacia arriba desde la azotea de un

edificio con una rapidez de 30m/s.

Otra piedra Se suelta 4s despues de

lanzar la primera. i.Que tiempo se

movere la segunda piedra hasta que laprimera logra pasarla?

a) 15 b) 25 c) 35

d) 45 e) 55

5.- Hallar la altur a que alcanza un cuerpo

que eS lanzado hacia arriba si un

segundo despues del lanzamiento

tiene una rapidez de 40m/s.

(g=1Om/s2)



a) 123m

d) 125m

b) 124m

e) 127m

c) 126m

6.- Un cuerpo cae libremente y se conoce

que recorre entre el memento que

toea el piso y el ontepemiltimo

segundo de caida libre 300m. Halla el

tiempo total de caida libre del

cuerpo.Iq=m/s'')

a) 12s b) 13s c) 14sd) 15s e) 16s

7.- Desde que altura "H" se debe dejar

caer un cuerpo, para que tarde lOs en

recorrer los 13/49H que Iefalta para

Ilegar al piso. (enmetros)

a) 24600m b) 24500m c) 24700m

d) 24800m e) 26800m

8.- Determina la altura maxima de un

objeto que al alcanzar la quinta parte

de dicha altura posee una rapidez de

20m/s. (g=10m/s2)

a) 23m b) 24m c) 25m

d) 26m e) 22m

9.- LQue altura maximaalcanza uncuerpo

lanzado desde tierra, si en el ultimo

segundo de ascenso recorre la mitad

de la altura maxima? (en pies).

a)32 b)42 c) 34

d) 31 e) 41

10.- 2 cuerpos A y Bse encuentran en una

linea vertical separados por unadistancia de 100 metros, el cuerpo A

(esta arriba) se deja caer y

simultdneomente el cuerpo B (esta

abajo) se lanza hacia arriba con una

rapidez inicial de 50m/h. LEn que

tiempo se enconrrcrdn dichos

cuerpos? (g=lOm/s2)

a)2s b)3s c)4s

d) 5s e) N.A

11.- Desde el pemiltimo piso de unedificio

Se deja caer una piedra al mismo

tiempo que del ultimo piso Se lanza

hacia abajo otra piedra con una

rapidez inicial de 4m/s, la distancia

entre cada piso es de 7m. Calculaal

cabo de que tiempo esrcrdn separados

las piedras 3m. Dar el tiempo minirno

(g=10m/s2)

a) 4sd) ls

b) 3se)N.A

c) 2s

12.- Del problema anterior Calcula en que

tiempo estorrin separados por segunda

vez la distancia de 3m las 2 ulrimos

piedras (tmaximo)

a) 1,5s b) 2,5s c) 3,5s

d) 4,5s e) N.A

13.- Una piedra se lanza verticalmente

hacia arriba desde el techo de un

edifico con una rapidez inicial de

30m/s, otra piedra Se deja caer 4s

despues queSeha lanzado lap .

Halla el tiempo en despues

soltar lasegunda se

a lamismaaltura.

g=10m/s2

a) 2s

d) 8s

2 cuerpos co isma rapidez inicial

de 100m/s. pues de cuanto tiempo

se enccnrrcrdn a la misma altura siuna se lanza 4s despues de haber

lanzado la primera. g=m/s2.

a) 15s b) 14s c) 13s

d) 12s e) N.A

15.- Dos piedras Se lanzan verticalmente

hacia arriba y en el mismo instante ,

desde A y B con rapideces de 15 y

22,5m/s respectivamente, para que

instante "t" despues del lanzamiento

ester-en al mismo nivel las2 piedras.

A

a) ls

d) 4s

b) 2s

e) N.A.

c) 3s

16.- Un globo l)rdiendo y cuando

de 48 pies/s y se

altura de 128pies, Se

abajo un lastre con una

16 pies/so LEn cudnto

el lastre lIegara al suelo?

pies/s'')

b)6s c)2s

e) 4s

Se lanza verticalmente hacia arriba 2

piedras conintervalo de Is. la primera

tiene una rapidez de 64 pies/s y la

otra 112pies/soLA quealtura sobre el

nivel del suelo Seencontrnrdn ambas?

(g=32 pies/s")

a) 61,44pies b) 48pies c) 64 pies

d) 46 pies e) N.A

18.- Se lanzan dos esferas

simultdnecmenre tal como se

muestra. Si la esfera lanzada desde A

alcanza como maximo una altura "h"

respectivamente del piso determina ladistancia vertical que separa la

esferc, cuando la esfera lanzada

desdeB,empiezaa descender.

"tr. , " , '. ' , ,' . ', ' s . : «

a) h

d) 4h

c) 3h) 2h

e) 5h

19.- En el instante mostrado desde el

globo cerostdtico que asciende se

lanza un objeto hacia abajo con una

rapidez de 8m/s respecto del globo.

Si el objeto demora en pasar de A

hacia B 2s, determina V(V>8m/s;

g=lOm/s2)

v iD- -~=25m

80m

a) 20m/s

d) 28m/s

B

b)24 m/sc) 26 m/s

e) 30 m/s

20.- Se muestra dos esferas que

experimentan MVCl a partir del

instante mostrado. Determina cudnto

tiempo transcurre hasta que su

sepcrocion de las esferas Sea 25m.

20m/s l ' ~ - - - r - - - ~,. 1 1

1 1 1

1 1 1

1 • 1

9 1 t l O ; o m J1

I~ r 20m/s1I . ~I I I

15m

a) ls b) 2s c) 3sd) 4s e) 5s

CLAVES

1) a 2) b 3) d 4) e 5) d

6) e 7) b 8) c 9) a 10) a

11)d 12) b 13) b 14) d 15) d

16)e 17)a 18) d 19) d 20) b



I. DEFINICION

Es aquel movimiento que describe una

partfcula siendo su trayectoria una

parabola. Este movimiento esta

compuesto por dos movimientos simples

siendo estes el MRU (en la horizontal) y

MVCL (en la vertical)

10~ -+- 10m -+ - 10m ---j

5m

10 ill. .. .. . 1 $ . .

"

15m'" 1 0 ill

. d ! . ! \ . . . . . s,=- ::

- C . u20 ill \;

s: \ :

25m

M.R.U.

30 ill~ s

• Vi = Velocidad insrcntdnec

• Vi = Rapidez insrcntdnec

II. CONSIDERACIONES

1) EI movimiento pcrcbrilico de coldo

libre esta constituido por los

movimientos en la hor izontal (MRU) y

en la vertical (MVCL) deserr-ol ldndose

estas en forma independiente. Por 1 0tanto cada movimiento cumpie con sus

propias ecuaciones.

2) Para encontrar la rapidez que posee

una partfcula en un lugar de su

trayectoria aplicaremos la suma

vectorial de las rapideces a la que

esta afec tando en ese lugar .

1.- La altura de un acantilado es 20m,

si desde el se lanza horizontal mente

un proyectil con 10m/s. lCon que

rapidez este proyectil lIegara al

mar? (g = 10 m/s")

g~lOm /s

20m

Trabajando en la vertical V y ,V ;

i) H = Vot + t gt2

20 = t (1 0)t2 ~ t = 2s

ii) Vf B = Vo + gt

Vy = 10 x 2 = 20m/s

Luego

Vi = ,/102 + 202 m/s

2.- Un proyectil e

inclinccion d

horizontal Determina su

altura Considerar la

ccelerccicn gravedad en 9,8

m /s2y despreciar la influencia del

aire.

Luego en la hor izontal:

lOm /s~~-~-D-----__

12 = V x tv ..... (1)

En la vert ica l (M.V.C.L)

v, = v, - 9 ~

12V=gx--

Vx2

V2 = 6g .

Luego:

2g Hmax

- 2g Hmax r----...,.: 1 Hmax = 3ml

n avron vuela horizontal mente a

'l"azon de 540km/h, y a una altura de

2000m, si sueltan una bomba que

justamente impacta en una base

enemiga. lA que distancia

horizontal de la base enemiga fue

sol tada la bomba? (g= lOm/s 2).

g~

~~~~~:"2 km = 2000m

4.- La rapidez de un proyectil en el

punto mas alto de su trayectoria es

10 m/s. Si cdernds su alcance

horizontal es de 100m. lCual fue el

valor de la rapidez con la cual se

lanzo el proyectil? (g = 10 m/s")

aproximadamente.

g~

. " r : : : . : < ~ " : : . ; > : r:~/_,; . '·'" e ,. ,.

d

En la vertical:

H = Vot + t gt2

2km = .! . (10)t22

2000m = 5t2

t = 20s

...Id = 150 x 20 = 3000ml

• En la horizontal:

100 = 10 x tv

~ tv = lOs

Luego: ts = tb = 5s

• En la vertical: (En la subida)

Vf = Vy - gts ~ Vy = 50m/s

~ V = ~102 + f,j 2 = 10.Jf+25

r, V =10)26 '"51m/sl

5.- En la figura halla "d" :

V=10m /s

,,\

\

\

\

,,,,,

80m

d



g~i) En ese instante

~~IOm/s

+ VY o = m/s

En la vertical VYo=0

H = 80m

I H = Vot + ~ I

80 = 5t2-7 t = 4s

En la horizontal

d=Vxt

r,Id = 10 x 4 = 40ml

6.- Enla figura, calcula "V" ;

V

125m

100m

g~En la vertical Vo=O: H=125m

IH=Vot+~1

125 = 5t2-7 t

2= 25 -7 t = 5s

En la horizontal (M.R.U)

I d = V. tl

100 = V x 5

. : I v = 20m/sl

,,-,,,\

\

\

\

\

\

7.- Se lanzan cuatro cuerpos

rapideces horizontales de V ; 2 V ; 3V

y 4V ubicados a una misma altura

"H". <'Cualde ellos Ilegara primero a

la superficie horizontal? (g=lOm/s2)

g~Por teorra el tiempo de carda l ibre

vertical es el mismo para cada

mavil por 1 0 tanto los cuatro

maviles lIegaron al mismo tiempo a

tierra pero a diferentes espacios

por la rapidez horizontal

diferentes de cada mavil.

En la vertical: (M. V. C. L)

H = Vot + t gt2

H=~t2-7t=2

8.-

rapideces nzamiento de la

particula desea que caiga en

los puntos "A" y "B"?

g~Por teorra los tiempos de caldc

libre son iguales por ser lanzados

desde la misma altura.

En la horizontal : (d = v . t)

dA= 3a = VI x tl}

tl = t2

dB= 4a = V2 x t2

Luego

ecuaciones:

s ambas

Un hombre pretende cruzar un rio

de 40m de ancho, donde la rapidez

del hombre es de 6m/s. Si la

rapidez del hombre en aguas

tranquilas es de 3m/s. Determina el

tiempo que tarda en cruzarlo si se

lanza perpendicular a la corriente.

g~

" · I ~ = ~ Ioto de un bombardero que

ela horizontal mente con una

rapidez de 200m/s a una altura de

80m divisa un tanque enemigo que

se ~ueve en sentido contrario a e l.

< 'A que distancia horizontal debe

soltar una bombc para hacer blanco

en el tanque que se mueve

rapidez constante de 15m/s?

g~

a una

=3m /s ; V rio

=

A

De la figura tAB= t AC

EI hombre lIega por "C'

Luego:

11.- Sabiendo que V = 20m/s.

Calcula "L". (g=lOm/s2).

~m/s

~--- -

i) Calculemos "t" en la vertical;

H = Vot + t gt2

80= t (10)t2 -7 t=4s

Luego en la horizontal: (M.R.U)

d=Vxt

-7 d = dbomba+ dtanque

= 200 x t + 15 x t

.: d = 215xt =1860m I

g~V = 20m/s: Hmax = 80

En la vertical (t ccida)

Q_~O~/s

: ~ - -I Vo=OI

80m:I

I

I



H = Vo t +

80 = 0 + 5t2-7 t = 4s -7 tv = 8s

Luego (horizontal):

d = V x tv ; tv = tiempo de vuelo.

L = 20 x 8

r, L =1160ml

12.- Halla e l t iempo que emplea la pelotaen su recorrido de A hasta B.

15m /s--

EI tiempo t en la vertical y la

hor izontal son iguales.

En la vertical:

I H = v ; t +gt

2

2

1.- Un proyectil es l anzado como se

muestra. Determina su rapidez en el

punto mas alto de su trayectoria,

a:3r; g:1Om/s2.

a) 30 m/s

b) 40 m/s

c) 50 m/sd) 60 m/s

e) 70 m/s

2.- EI movil que resbala por el plano

inclinado sale por el punto "A" con

una rapidez de 1Om/s. AI cabo de

B que tiempo impcctord con el piso?

A

g~ ,

a) 4s-,,

15m /s En la horizontal ,+--

,b) 3s

-,

(M.R.U) \

c) 3,5s

Id = V.t Id) 4,5s

e) 2s3x = 15.t

x = 5t .... (1) 3.- Una esfera

(2)

Reemplazando (1) en (2)

4(5t) = 5t2

.. It = 4s1

hor izontal mente con

el diagrama muestra.

Calcula:

A. EI t iempo de .

B. La distcnci

C. La rcpi que impacta el

movil.

a) 4s; 100m; 80m b) 4s; 120m; 50m

c) 3s; 120m; 50m d) 3s; 180m; 40m

e) 3s; 120m; 30m

80m

1

4.- Un canan dispara un proyectil con un

angulo de elevccion de 53° como en

el diagrama. Luego de que tiempo

impcctcrd y a que altura impcctcrd?

/

/

/

/

c) 3s; 75m

5.- oyectil se dispara con una

z de 3012 m/s y un angulo de

evccion de 45°. C:Cual sera la

maxima altura que clccnzcrd>

(g:10,m/s2)

I

:Hmax

A

R

a) 30m b) 35m c) 40m

d)45m e) 50m

6.- En el problema anter ior. C:Cuales el

tiempo que el movil permanece en el

aire hasta impactar en el piso?

Calcula cdemds el alcance "R" .

a) 6s; 120m b) 5s; 180m c) 4s; 120md) 6s; 180m e) 5s; 100m

7.- Un avian vuela horizontal mente con

una rapidez de 150m/s a un altura

de 78,4m sobre un barco que Se

mueve a 20m/s, en la misma

direccion pero en sentido opuesto.

C:Aque distancia del barco el avian

debe sol tar una bomba para que

impacte en el barco? (g:9,8m/s2)

a) 680m b) 730m c) 846m

d) 932m e) 1043m

H

8.- En la figura se indican los valores

de algunas de las variables

cinemriticos del movimiento de un

proyectil en 3 posiciones

diferentes. EI proyectil fue

disparado en O. Determina los

modulos de sus velocidades en 0 y

P, respectivamente. (g:1Om/s2).

V = 1 2m / s

o ~ - - - - - - ~ - - - - - - - - ~) 15m/s; 20m/s

c) 12m/s; 15m/s

e) 20m/s; 18m/s

b) 20m/s; 15m/s

d) 15m/s; 12m/s

g.- Se lanza un cuerpo hor izontal mente

con una rapidez de 40m/s. C:Cuanto

tiempo tarda en impactar con

tier ra? (g: 10ml S2).

45m

\

\

,,,\

a) 4s

d) 4,5s

b) 3s

e) 2s

c) 3,5s

10.- Un indio desea clavar

perpendicularmente a la pared una

f lecha. C:Aque distanc ia hor izontal

se debe ubicar el indio para que



logre su objetivo. V=30m/s; a=3r.

(g=1Om/ S2).

a

a) 23,2m

d) 18,2m

b) 13,2m

e) 43,2m

c) 53 ,2m

11.- En el movimiento parab61 i co no se

cumple:

I. En la altura maxima la

rapidez es cero.

II. La rapidez en todo instante

es la suma vectorial de las

rapideces de sus

movimientos componentes.

III. EI tiempo de vuelo, depende

del angulo de lanzamiento.

a) 5610 I b) 5610II c) 5610III

d) 5610 I YII e) Todos

12.- Un proyectil se dispara con una

rapidez de 30 J2 m/s, Si impacta en

la ventana del edificio con 50m/s.

Calcula "x", si g=1Om/s2.

a) 110m

d) 300m

b) 159m

e) 400m

c) 210m

b) 3s

e) lOs

c) 4s

14.- Desde un globo cerostdtico que

asciende vertical mente con una

rapidez de 6m/s, se lanza una

piedra horizontal (respecto del

globo) con una rapidez Vx=5m/s. Si

la piedra impacta en la superficie a

15m, de la vertical del globo,

determina desde que altura se

la piedra. (g=10m/s2).

a) 15m b) 20m

d) 25m e) 30m

y

15.- Se lanza una pequefto a con una""tr"

rapidez V o = 1 0 ,I como en el

diagrama se a. Si la piedra

se introduc un tubo de modo

que el m ento coincide con el

eje del tuba. Calcula los val ores dex; y. g=1Om/s2.

a) 2s

d) 5s

_ - - - - - _

a) 8,4m; 3m

b) 1,2m; 2,6m

c) 8m; 6m

d) 8m; 2,6m

e) 6m; 8m

16.- Se lanza una esfera desde la base

de un plano inclinado, como se

muestra en la figura, can una

rapidez inicial de 5m/s. Halla el

alcance horizont~go que retorna

a la base del ' . (g= 10m/s2).

19.- Calcula el tiempo de vuelo si en "P "

V = 50m/s; e = 3r.

a) 8s

d) lOs

320m

b) 6s

e) 12s

c) 4s

20.- Que valor tiene "h" en metros, si

V B=40m/s . (g=10m/s2)

, ,, ,, ,, ,

'" 450

,

@u-L----I ' \A , \, \

h : ~ _

~60°

b) 50m c) 60m

e) 80m

a) 40m

d) 70m

1) b 2) a

6) d 7) a

11) a 12) c

16) d 17) d

13.- Los dos proyectiles se disparan

simultdnecmente. Calcular el t iempo

de encuentro.

- V j- V 2 = 4m/s

- e = 10m

CLAVES

3) b 4) c

8) b 9) b

13)a 14)c

18) c 19) a

5) d

10) e

15) b

20)a

b) 2m

e) 5m

c) 3m

17.- A partir del siguiente esquema.

GQue medida t iene "L" en metros?

,,,,,\

a) 240md) 180m

b) 220me) 160m

L

c) 200m

18.- Si ; V = 50m/s, ca lcula "a"



Donde:

f 9 : Modulo de la fuerza de gravedad (N).

m : masa del cuerpo (kg).

9 : valor de la ccelerccion de la

gravedad.

OBSERVACION

3.1.Fuerza de Rozamiento Estcitico (fs)

Es la fuerza que se opone al intento de

deslizar un cuerpo sobre una superficie

debido a las mutuas asperezas entre

ambos cuerpos.n este capitulo estudiaremos las

condiciones que deben cumplir las

fuerzas que al ser aplicadas sobre un

cuerpo 1 0 mantengan en estado de

equilibrio.

I. EQUILIBRIO MECANICO

mg= W

Fe;]~~~

Mide la cccion

del hombre sobre

el bloque.

La fuerza con que un cuerpo actua sobre

su apoyo 0 la suspension por ccuso de la

ctrcccion gravitatoria se llama Peso (W).

ft\;

2. Fuerza Elastica" ):

Es aquella fuerzdl*~ e manifiesta en el

interior de~:¥e~ortes cuando esros

experimen deformaciones

longitu

F m

Mide la cccion

del bloque sobre

el hombre.s aquel estado fisico en el cual un

cuerpo mantiene su velocidad constante.

Existen dos ccsos:Tercera ley de Newton

Se Ie conoce tcmbien como el principio

de cccicn y recccicn.piso

1. Equilibrio Estatico.

Donde:I hombre ejerce

una fuerza de

F cccion y la pared Ie----I....~---

responde con una

fuerza de recccion

de igual valor.

Ocurre cuando el cuerpo se encuentra en

reposo relativo. N: Recccion Normal.

FV=o

1 ~ = O I , ~ ~ ~

Reaccion del Piso = ~(fJ2 + N2

fs max: Valor de la fuerza de rozamiento

estdtico maximo (Newton).

Ils: Coeficiente de rozamiento estritico

N: Valor de la recccicn normal de la

superficie de apoyo sobre el cuerpo

2. Equilibrio Cinetico.

Ocurre cuando el cuerpo se mueve con

movimiento rectilineo uniforme.

V = cte

x

Fe = K X3.2. Fuerza de Rozamiento Cinetico ( ~ )

ctrcccien

a losDonde:

Se presenta durante el deslizamiento de

los cuerpos sobre las superficies

risperns.

Fe= Fuerza elastica del resorte (Newton)

K = Constante de elasticidad 0 rigidez

del resorte (N/cm 0 N/m).

X = Deformccicn longitudinal del resorte

(cm 0 m)

iQue mide la fuerza?

La fuerza mide en forma vectorial el

grado de intensidad de una mtercccicn.

W=mg

FDonde:

fg = mgg'= 10m/s2

m

3. Fuerza de Rozamiento( fr )

Es aquella fuerza que Se opone al

deslizamiento 0 posible deslizamiento de

los cuerpos. Existen dos tipos:



N : Recccion Normal

[ , J ( ~ k ) 2 +N2Reaccion del Piso= \j II

Donde:

h: Valor de la fuerza de rozamiento

cineticc.

f . . L k : Coeficiente de rozamiento cinetico

N : Valor de la recccion normal.

OBSERVACION;

Experimentalmente se cumple: f .. L s > f .. L k

III. PRIMERA CONDICION DE

EQUILIBRIO (10CEl

Establece que si sobre un cuerpo la

fuerza resultante es nula, se garantiza

que este cuerpo se encuentra en

equilibrio de trcslccion es decir en

reposo 0 con M .R.U.

W

F

De 1 0 anterior se infiere:

I. F (--7)= I. F(~)

I. F (t) = I. F U )

-FIV. MOMENTO DE UNA FUERZA Mo

Es una magnitud vectorial que mide el

efecto de giro 0 rotocion de un cuerpo

por efecto de una fuerza.

1.- Si el sistema se encuentra en

equilibrio calcula el valor de la

tension si: m=35kg. (g=10m/s2)

~

~

Por equilibrio

T I.F( i) = I.F ( J . . )T = 350N

Img =350N

I I- + : . T = 350~Donde:

-FR

Mo : Momento de la fuerza

respecto al punto O.

F: Fuerza que origina el giro 0 ro

D: Distancia trazada desde

mementos 0 hasta la line

la fuerza.

2.- Si el bloque se mueve con velocidad

constante, si m=1Okg, calcula el

coeficiente de rozamiento cinetico.

(g=1Om/s2)

DE g~D.C.L. (Bloque)

Establece que Sl el memento resultante

respecto a un punto es cero. EI cuerpo

se encuentra en equilibrio de rctccion.

Fg = m , 9 = 10 0N

-FeI.. M = 0

o

I. M (Antihorario) =I.-M (Horario)

LM~ = LM0Sabemos que fr = ilK X N (l)

= 1: F J ..N = f9 = > N = lOON

• 1:F(--7) = 1:F( ~ )

50N = fr

Luego: 50N = Ilk X N

50N = Il k X l0r-:0;___---,

: · l l l k= 0,51

3.- Calcula el momento resultante

respecto al punto "0"

IO N

, ; ! ! ~ ~ ~ - - - - - - - - t = = = = = I 1

30N

2m

~6 m

f 3m

50N

g~

30N"\( - ) lON "\

~2 m ---,I,.~_---'" t 6 : . : . . : . . . . _m - - - - - - , I t t (

, : ! r - - j_____l_-j------1o 5m ) ( + )

50N

Reemplazando:

LM~= 50x5 - 30x2 - lOx8

LM ~ = 250 - 60 - 80

: . I LM~ = +110 N . m l

4.- Un bloque de 30 kg estd suspendido

mediante las cuerdas A, BY C.Si el

sistema se encuentra en equilibrio,

calcula la tension que se produce en

cada cuerda.



g~D.C.L del nodo "0"

T ' ; " ' " e ll b n : :Tc

Por equilibrio

Tc=300N

Por el metoda del triangulo.

TA=3k 5k = 300

k = 60

Tc Luego:

TA = 3x60 = 180N

TB = 4x60 = 240N

3 r

4k

.. Tc=300N

TA=180N

TB=240N

5.- Calcula la compresion de la barra AB

de peso despreciable si la carga W

pesa 60 N.

D.C.L (barra) por la 20

Ley de

Newton.

;::' T

" 3n

Tomando

4nmomentos

respecto al

punto "0"

60N

o 5n

M ! , ~ = Mg0NCTx3n = 60x5n

:.IT = 100NI

6.- Determina la resultante de las

fuerzas mostradas en la figura y su

posicion respecto de la crticulocicn

ubicada enel punto "Au. La barra es

imponderable. 40N

A 6m

12N

g~

Tomando momentos con

al punto "A" .

7.- Determina el valor de la fuerza F

sabiendo que el bloque de lOON

M ~ = M~o+M :o_ M ~ 2_M !

M~= 30x6 + 40xl0 - 12x2 - 8x8

M ~o = 180 + 400 - 24 - 64

: . 1 M~o = 492N.ml

resbala con rapidez constante en la

direccien indicada (Ilc = 0,4).

50

_vIlc

(

Nuilibrio Cinetico:

:LFi = :LFJ . .(eje "v")

""'N+30 = 100 7N = 70N ... (1)

* :LF7 = :LF~ (eje "x")

40N = F + fr : ' '' I' -r -==-Il-kx-=-N"I

40=F+IlkXN

4-7 F = 40 - - x 70

10

:.IF = 12NI

160N F

g~

D.C.L. (bloque)

Por estar en Mov. Inminente se

cumple el Eq. Estatico.

* :LFi = :LFJ. .

N = lOON ... (1)

* :LF7 = :LF~

160 = F + fr ; Ifr = Ils x N I

160 = F + O,7xl00

:. 1 F = 90NI

g.- Se tiene un bloque en un plano

inclinado cuando el plano forma 3rcon la horizontal, el bloque se

encuentra a punto de deslizar. Halla

el coeficiente de rozamiento

estdtico entre las superficies.

g~D.C.L. (bloque en la barra)

Por equilibrio se

cumple:mg

Del triangulo:

Tg370 = fr = ,us.NN N

7Tg3r = u,

3-=Ils4



1.- En la figura, la esfera homoqenec

de 70N estd en equilibrio,

determina la tension en la cuerda y

la recccicn del plano sobre la

esfera.

lise

J60°

a)70N; 50N

c)70N; 70N

e) N.A .

b)70N; 60N

d)50N; 70N

2.- Si las barras ingravidas estrin en

equilibrio determina las

comprensionesque soportan dichas

barras si m= 12kg.

a) 96N; 72N

c)50N; 72N

e) N.A.

b)72N; 9N

d)60N; 96N

3.- Si el bloque de 600N se abandona

lentamente hasta quedar en la

posicion mostrada ccuril es la

longitud inicial decadaresorte?

K 1=300N/cm, K 2 =200N/cm

24cm

a) 16cm;21cm

c) 19cm;20cm

e) N.A.

b) 16cm;16cm

d) 20cm;10cm

4.- Enel sistemaenequilibrio mostrado

determina la tension en la cuerda

AB, si en "BC"y "DE" son de 1BNy

llN respectivamente.m=1,2kg.

(g=1Om/s2)

a)10N

d)25N

5.-

la

A

a) BON

d)35N

b)70N

e) N.A.

c) 60N

Lafigura muestra unbloquedepeso

W=llN en posicion de equilibrio.

Halla la tension de la cuerda "T"

sabiendo que la polea central tiene

un peso P = IN. Debe observarse

que la cuerda forma un angulo de

1200

enla parte central.

W

b)4N

e) N.A .

c) 5N

Si la recccion en"A" dela pared lisa

sobre la barra es de 5N y la barra

uniforme y homoqenen ABpesa12N,

se encuentra en equilibrio. Halla la

magnitud de la fuerza horizontal

"F" .

F

B

a) 13N

d)16N

b) 14N

e)17N

c) 15N

8.- EI sistema mostrado se encuentra

enequilibrio. Calculala tension de la

cuerda horizontal si las esferas

tiene los siguientes pesos: WA =

120N=WB.Nohayrozamiento.

9.- Enel sistema mostrado. Determina

la tension en la cuerdaAB, sabiendo

que la tension en la cuerda

horizontal CDes 20N, odem ds : Q=

2P=10N.

t~~~ A

t~,. :I". .ii,.:!". . . .O~-. ..O J ' ' ' 'alii..~" it.~- i i i

O J ' ' ' 'alii

..~" it.~- i i iO J ' ' ' '" i i i

10.- Las esferas mostradas son iguales

en peso y radio. Determina la

lectura del dincmometro si existe

mediantela fuerza F=240N.

a)40N

d) 24N

a)60N

d) 240N

e) N.A.

b) 30N

e) N.A.

c) 25N

b) 120N

e)250N

c) 125N



11.- Un bloquede pesoPesta colocado

sobre una viga horizontal de 3m

apoyadaenA y B. Si la recccion en

A es el doble de la recccion en B y

despreciando el peso de la viga.

Halla "x".

x

[]

a)0,5m

d)2,Om

B " - - L _b) 1,Om

e)2,5m

c) 1,5m

12.- Determina el maximovalor del peso

de "P" para que la barra se

mantenga en forma horizontal. (La

barra es uniforme y peso 60N).

a)30N

d)60N

12 m 22 m

b)40N

e)80N

c)25N

13.- Una barra homoqeneo de 40N se

mantiene en equilibrio como se

indica. Si el bloque "Q" pesa 50N,

halla la tensionenel cable.

4m 8m

a)25N

d)35N

b)20N

e) I5N

c) 30N

14.- Si el sistema mostrado esta en

equilibrio. Halla el peso del cuerpo

A. WB = 36N.

a) 24N

d) I8N

c) 30N

15.- Un alambre rigido homoqeneo de

25cm de longitud es doblado como

se indica. Determina "x" si la barra

se mantieneenequilibrio. x

5 em

a)I2,5cm b) lOcm

d) 11cm e) I2cm

16.- Halla la maxima

puedeavanzar el

que gire la b

lOONY 16c

a) 16

d) 13

15

e) 12

14

a) lOON b) 75N c) 50N

d) 25N e)N.A.

CLAVES

a)Igual aW 1) c 2) a 3) a 4) d

b)Mayor queW 5) a 6) a 7) a 8) a

c)Menor queW 9) c 10) e 11)b 12)c

d)No se puededeterminar 13) c 14)b 15)e 16)c

e)N.A. 17)a 18)a 19)c 20)d

17.- Una barra homoqenende peso "W"

esrri sostenida por unabisagray una

cuerda en la forma mostrada, la

fuerza ejercida sobre la barra por

la bisagra en el punto "P" tiene un

componentevertical. .....

1. Igual "W"

II. Igual a "W/2"

III. Que depende del valor del

angulo"a".

19.- Halla "W" , si el sistema esta en

equilibrio siendoel pesode la barra

homoqenec 200N.

a

a)Solo III b)Solo II

d) I Y II e) Ninguna

c) SoloI

a) 50N

d) 80N

b) lOON

e)120N

c)75N

18.- Si la barra homoqenen mostrada

pesa "W", la tension en la cuerda

que la sujeta tendrd un modulo

20.- La figura muestra una barra OA

uniforme y homoqenec de 5N de

peso y I5dm de longitud en

equilibrio. Si el pesodel bloque"Q"

es de 10N. Halla la tension de la

cuerda horizontal Be, sabiendo que

OB = 10dm ,



I. CONCEPTO

Dindrnicc es la parte de la mecdnicn que

estudia la relccion que hay entre el

movimiento de los cuer pos y la ccuso que

1 0 produce.

En este caso estudiaremos la dindmico

rectiifnea.

II. DINAMICA RECTILINEA

1. Un bloque es lanzado sobre una

superficie horizontal.

Fig (1)

2. EI bloque en movimiento, eSdetenido

Fig (2)

3. EI bloque es empujado por una fuerza

F.

Fig (3)

2m/s

4. OBSERVACIONES

a) EI bloque se lanza en el punto (A), y

a pesar que ya no es empujado

cont inua des li zdndose sin cambiar

su velocidad. Esto se explica

haciendo un diagrama de fuerza en

la Fig (1), donde notamos que la F R

es nula. Por 1 0 cual el bloque que se

encuentra en equil ibrio cinetico de

rrcslocicn.

b) En la Fig (2) notamos que para

detener al bloque este debe ser

empujado contrario a su

movimiento.

c) En la Fig (3), se puede observar que

una FR y la causante del < " , : ! ! i l !W I 1 I ~ ' I t : : .

velocidad.

5. CONCLUSI6N:

or ig ina la ccelerncid

Esta conclusion

la segunda Ley

III. SEGUNDA LEY DE NEWTON

Se Ie conoce tambien como la "ktfundamenta l" de la dindmico y establece

que la ccelerccicn que experimenta un

cuerpo es directamente pr oporcional a la

fuerza resultante e inversamente

proporcional a su masa.

Donde:

,en "kg".

-->

--> F R

a=-m

a: Es la ccelerccion que exper imenta el

cuerpo, se mide en "m/s'".

1° Se grafica todas las fuerzas aplicadas

al cuerpo en estudio (D.CL) .

2° Se analiza las fuerzas en las

direcciones vertical y hor izontal.

3° Se aplica la 2da Ley de Newton.

-->

F R : Es la fuerza resultante sobre el

cuerpo, se mide en newton "N" .

m:

V o = O

Ecuccion

Vectorial

Como la ccelerncion (~) y la fuerza

resultante presenta la misma direcc ien.

la ecuocion vectorial podemos plantearlo

en forma escalar .

Donde:

a : Acelerocion del cuerpo en (m/s"),

V

Donde:

_, _,

(a) D.P .. ( F R )

(~) I.P.. (m)

a = F Rm

FR : Fuerza r esultante sobr e el cuerpo en

Newton.

m : La meso del cuerpo en "ki logramos"

(kg).

* EQUIV ALENCIA:

1N = 1 K g 1~S2

NOTA:

Cabe sefiolcr que para movimientos a

pequefics velocidades ( V« C), la masa de

un cuerpo

embargo

realizadas

(V" "C) , se

permanece constante. Sin

en las investigaciones

con particulas muy rdpidcs

tiene que la masa de los

cuerpos no permanece constante, sino

depende de la velocidad y se ver ifica que

la masa final "m" es:

mm = g O-

2

Donde:

mo: Es la masa constante que posee

el cuerpo cuando v-O,

v : Es la velocidad del cuerpo .

c : Es la velocidad de la luz (3.10

8

m/s).

lComo resolver un problema de

dinamica?



c.A que es igual la fuerza resultante?

I FR = L:F = m . a IFR =LFenfavor dela - LFen contra dela

aceleraci6n aceleraci6n

IV. MASA

La masa es una propiedad inherente a la

materia y nos expresa la medida de

inercia que posee un cuerpo.

Asimismo la masa es una magnitud fisica

escalar que nos indica tambien la

cantidad demateria que posee uncuerpo.

4.1 CARACTERISTICAS DE LA MASA

a) La masa es constante en el ambito

de la Mecanica Clasica (V« C).

b) La meso es aditiva por que la meso

total de un sistema es igual a la

suma de las masas componentes.

Unidad en SI: Kilogramo "kg".

V. INERCIA

La inercia es una propiedad inherente a

la materia que se manifiesta como la

tendencia natural de los cuerpos a

conserver su estado inicial, Sea de repose

relativo 0 movimiento recti lineo

uniforme.

VI. DINAMICA CIRCUNFERENCIAL

• Aplicacion al M.C.U

"'.,.---- . . . ." ," ," ,

/ '\

/ Centro de Giro \

I 0),. 1

~.~.~.~.~.~~c .. -. ~ it. / . 1 . 1 . ' V

T

.... ~.

/ ' , % Y . . . .- - - - -

Para que un cuerpo gire con movimientocircunferencial debe existir sobre el una

fuerza resultante mayor que cero,

dirigida hacia el centro de la

circunferencia denominada "fuerza

cent rip eta" r 1 0 cual origina una

"ccelerccicn centripeta" en su misma

direccicn.

En esta parte de la Dindrnicc

estudiaremos las condiciones que deben

cumplir las fuerzas para que un cuerpo

describa una trayectoria circunferencial.

EI estudio se fundamenta en la 2da Ley

de Newton.

Como recordaremos, en el movimiento

circunferencial el movil posee dos

velocidades (tangencial y angular). Si el

movimiento es circunferencial uniforme

la velocidad tangencial se mantiene

constante en su modulo pero cambia de

direccion permanentemente.

La rapidez con que cambia la direccion de

la velocidad tangencial se mide con la

ccelerccion centripeta.

..(1)

Donde:

ae : Acelerncicn centripeta, en "m/s2"

Vt: Rapidez tangencial, medida en

"m/s" 0 rapidez lineal.

IN : Velocidad angular, en (rad/s

R: Radio de giro, medido en

(m) c . ;\ \ < q p " J I

1. - c.CUAL ICION DE

TODO

CIRCUNFERE

2. - c.COMO HALLAR

CENTRIPET A?

De la Segunda ley de Newton:

..........(2)

1.- Un bloque de masa m=2kg es

arrastrado sobre una superficie lisa

con una fuerza F=10N. Calcula la

ccelerccicn que experimenta dicho

bloque.

F e = m . Oc

Reemplazando (1) en (2)

Donde:

m

s la fuerza centripeta 0 fuerza

resultante en direccicn radial

dirigida hacia el centro de

rotccicn, se Ie mide en newton

g~

Por la Ley de Newton

FR = m x a

a

F=mxa

10N = 2kg X a

"Nil.

3.- FUERZA CENTRIPETA (FC)

Es aquella fuerza resultante en la

direccicn radial que origina todo

movimiento circunferencial. Posee la

misma direccion que la ccelerccion

centripeta.

Fe = L:FRADIALES = m.c,

Fc =L:F RADIALES

QUE VAN HACIA

EL CENTRO

L:F RADIALES

QUESALEN

DELCENTRO

2.- Un bloque es jalado por la fuerza

F=25N sobre una superficie dspero

con f . . L = 1/3; si m=3kg. Calcula la

ccelerccicn que experimenturd el

F

.e.,

g~D.C.L Bloque

30N 15N

N



* Eje "y" equilibrio

I:Fi = I:FJ. .

N+15 = 30N

-7 N = 15N

* Eje "x": 2° Ley Newton

1 F R = m x a l

20 - fr = 3 x a

20 - !l . N = 3 x a

20 - 5 = 3.a

r-I a-=-5-m-/s--'2

3.- Calcula la ccelerccicn del bloque de

3kg si las superficies son lisas.

g~Por la 2° ley de Newton

1 F R = m.a 1

15 = 3.a

4.- Calcula la ccelerccion

experimentcrd el bloque si

considera superficie liscs.

que

F=25N,

F

g~

Descomponiendo la fuerza F.20N----~~-r, 25N

/

/

9

/

/

/

/,/

Solo hay movimientos en la

horizontal por 1 0 tanto la fuerza

de 15N genera acelerccien.

Por la 2° Ley de Newton.

IF R = m x a l15 = 5 x a

7.- En la figura la pelotita pasa por el

punto mas bajo con una velocidad de

4m/s si la longitud de la cuerda es

2m, halla el valor de la tension en la

cuerda. m=4kg (g=lOm/s2)

1 a = 3m/s2

1

5.- Calcula la masa del bloque con

a=2m/s2. F=60N (g=10m/s2)

g~

Por la 2° Ley de Newton en la

vertical.

60N r 2 60 - m.g=m.ar--t-_____ a=2m/ s

_ - -

6.-

'Eje Radial

Por la 2° Ley de Newton

Fcp = m x acp

V 2T-mg=mx

R

T = mV2

+ mgR

Reemplazando datos;

T = 4 X (4)2 + 4 x 10

2Por la 2° Ley de Newton

1 F R = m . a 1

8.- Una persona de 50Kg se encuentra

dentro de un ascensor y sobre una

balanza. EI cscensor acelera hacia

F = 8 x 3

F = 24N

la

La lectura de la balanza es

numericamente igual a la normal

(N).

Por la 2° Ley de Newton

Fr = m.a

N-500=50x2

IN = 600NI

g.- La figura muestra 3 cuerpos en

contacto por lacccion de una fuerza

"F". La fuerza de contracto sobre el

bloque 2 y 3 es:

__:_F~~I 2M

g~

i) Calculo de la ccelerccien delsistema.



Por la 2 ° Ley de Newton:

Fr = msist.a

F = (M + 2M + M).a

Luego:

a =F4M .... (1)

Haciendo una sepcrccien de los

bloques (2) y (3)

Por la 2° Ley.

I Fr= m.a I

F-R=(M+2M). _ i _ _4M

F-R =3F4

R = F4

Por la 2° Ley.

IFr = m.al

FR=M.-

4M

IR =

~ I10.- Un bloque es lanzado sobre un plano

inclinado rugoso (llk=0.25). Si

alcanza una maxima altura de 0,6m

respecto a la horizontal. Determina

la rapidez del lanzamiento. (g =

lOm/s2)

0,6m

N

mgSen3r

V f= Orn /s

3r_ ~ . . , . . _ - : Y .

En el Tramo "AB":

Calcula de "a"

Por la 2° Ley de Nw.

IF r = m . a l-mgSen37° - fr = m.a

3 1 C 3 °-mg. " 5 -"4 .mg os 7

Como: 9 = 10m/s2

-6-2=a

7a = -8m/s2

en contra ovimiento.

Finalmente or M.R.U.V.

o = v 2 - 2.8.1

16 = v2

I v = 4m/sl

esta

1.- Un estudiante coloca un ladrillo

sobre un rcblon y gradualmente

levanta un extremo, cuando la

inclinccion con la horizonte es de

30°, el ladri llo esrd por deslizar y

cuando 1 0 hace recorre 4m en 4s.

Halla el coeficiente de rozamiento

esrtitico entre e rillo y el tcblon

aproximada~f1 .

a) 0,5 ~,5B c) 0,9

d) 1,0~lIe) 0,75

2.- masasde los bloques "A" y "B"

respectivamente lKg. y 3Kg.

termina el minimo valor de "F"

horizontal para que el bloque"A" no

resbale sobre "B". Los coeficientes

de rozamiento entre los bloques

valen 0,4 y 0,2 (g=lOm/s2).

_i_J B '0 liso

W77)}Z7;rZI~Z

a) 60N b) BON c) lOON

d) 120N e) N.A

A

En la vertical del plano: Equil ibrio

7 N = mgCos37° ... (1)

3.- Calcula el maximo valor "F"

horizontal para que el cuerpo "A" de

2Kg. que se halla apoyado sobre "B"

de 3 Kg. no reSbale. Los

coeficientes de rozamiento entre

los bloques valen 0,4 y 0,2

(g=10m/s2).

liso

r-a) BON

d) 20

b) 60

e) N.A

c) 40

Lafigura muestra unbloque de peso

5N. E I coeficiente de rozamiento

cinetico entre el bloque y la

superficie es 0,1. Determina la

ccelerccicn del bloque enm/s2

Fl jF2

u 3 _ ~ . ~ [ 1

r""\j<:n </'< j''': ;j< "\":\'<'1> ~ vJ\ ], j)"J ;j<j/}<-j/ )~

a) 5,4

d) 1,2

b) 3,6

e) N.A

c) 2,4

5.- Un bloque de 5Kg de masase coloca

sobre un plano inclinado 3r con la

horizontal. Si resbala a troves del

plano con una ccelerccion de 2m/s2.

iCual es el coeficiente de

rozamiento cinetico>

a) 0,2

d) 0,5

b) 0,3

e) N.A

c) 0,4

6.- Halla el coseno del anguloque forma

la cuerda con la vertical, si la

pequefic esfera de masa "m" gira

convelocidad angular '~w"constante.

ex

L

~w

b) g/ w 2L c) g/ w 2 L2

e) 3g/ w 2L

7.- Determina el modulo de la fuerza

que ejerce el piso sobre la esfera



de 6kg al pasar por el punto "A".

(Desprecie las asperezas y

considere queen "A", la ccelerccion

centripeta es de 3m/s2) (a=60°)

t q

a) 36N

d) 12N

b)48N

e)60N

c) 18N

8.- Sobre una superficie horizontal

rispern, se lanza un bloque de 1kg

conunarapidez de lOm/s . Si I l s=0 ,8

y Ilk=O5 (g= lOm/s2) . Calcula el

tiempo necesario para que se

detenga.

a)ls b)2s c)3s

d) 0,2s e) 4s

9.- Si la maSade 5kg es jalada por la

fuerza "F" de 50N. <'Con que

ccelerccion avanza la masa si Il

=0,5? Considera(g= lOm/s2)

" ~ 1¥: ' ; : · : : ~ , . : ~ ; : · t : ~ / : : \ " . , O . ? : O · , ; · ) , : ' . ~ \ t · ' · . ; : } ~ ; : ; : \ · } " . " : \ " _ ' \ " _ , ' ; , , ; , ) , ~ ; : \ ; . : \ : _ , " ' / : \ . : } / : : " ' t . : ' :

a) 2 m /s2 b) 3 m /s 2

d) 5 m /s2

e) 6 m /s2

c) 4 m /s 2

10.- Si el bloque "m" avanza a rapidez

constante y es accionado por la

fuerza "F" de50N. Calculala fuerza

derozamiento.

a)10N

b)25N

c)50N

d)30N

e) N.A.

11.- Calcula la rapidez angular que

desarrolla la masadel pendulo fisico

mostrado en la figura. L=12,5m y

8=3r .

L

Ow

o

a)1rad/s

c) 6 rad/s

e) 5 rad/s

b)4/3 rad/s

d) 2/ 3 rad/s

12.- Calcula la rapidez angular minima

que Ie impide resbalar al bloque

sobre la superficie cil lndrica de

radio 0,4 m y coeficiente de

rozamiento estdtico 0,25.

a)5 rad/s

b)7 rad/s

c) 10rad/s

d) 11 rad/s

e)12rad/s

o',

se muestr

fuerza de rozamiento cinetico por

parte de la superficie dspero. (En

N)

a) 13

b) 14

c) 17

d)18

e) 20

14.- Determina la fuerza de contacto

entre los bloques mostrados; las

superficies sonlisas.

; j ~ ~ ~ ; : : : ; ' ; I ; ; ~ : g , t : ] ~e)46N

15.- 1Determina la ccelerccicn del

la tension en la

cuerda que a los bloques;

respectivareJ en (m/s" y N) las

superfi 'e5isonlisas.

a) 2m /s2

d) 7m /s z

c) Bm/s"

18.- La esfera de 4kg pasa por la

posicion mas baja con una rapidez

de 5m/s . Determina el modulode la

recccion normal en dicha posicion.

(g= lOm/s2) (R=lm).

a) 120N R

b) lOON 5m/s

c) 150N

d)80N

e) 140N

19.- <.Quevalor tiene la fuerza "F" si la

masa de 20kg sube a rczon de

1m /s2? No hay rozamiento.

(g= lOm/sZ) a-/

a) 120N

d)60N

b) lOON

e)90N

c)80N

b) 2 Y 38

e) N.A.

c) 3 Y 35

ccelerccion que

el sistema mostrado.

20.- Calcula la

experimenta

enmlsz .

a) 3

b) 5

c) 7

d) 4

e) 87 K g

16.- Unjoven suelta una esfera de 4kg

de la posicion mostrada. Si la

resistencia que ofrece el aire al

movimiento de la esfera es

constante y de 20N. GLuego de

cudntos segundos de ser soltada

lIegaal piso?(g= lOm/s2)

a) 3s Tb) 5s

c) 2s

d) 4s

e) ls

17.- Sobre un bloque se aplica dos

fuerzas coplanareshorizontales F J

y r. de valores 10)3" N. Cadaunoyque forman unangulo de 60° entre

sf. Si el coeficiente de rozamiento

cinetico es 0,6 y el bloque pesa

20N. Halla la cceleracion del bloque.

CLAVES

1) b 2) c 3) d 4) d

5) d 6) b 7) b 8) b

9) e 10) c 11 ) a 12)c

13)d 14)e 15)b 16)d

17)b 18)e 19)a 20) c



Por propia experienc ia scbernos que

necesitamos fuerza para alterar la

rapidez de un objeto, para veneer el

rozamiento, para comprimi r un resorte,

para moverse en contra de la gravedad;

en cada caso debe realizarse trabajo. EI

trabajo es siempre veneer una

resistencia.

Por 1 0 que podemos decir que:

Trabajo es la facultad que tienen las

fuerzas para generar movimientovenciendo siempre una resistencia, Sea

esta una fuerza 0 bien la propia inerc ia

de los cuerpos.

Solo habra trabajo sobre un cuerpo si

este se desplaza a 1 0 largo de la linea de

cccion de la fuerza aplicada.

dlluwa. Le . l';K'pliP.al'~

Fuerza

~

+--DISTANCIA --.

IT RA BA .r O R EA LI%ADO

es perpendicular

desplazamiento d, el trabajo es nulo.

a= 900 I F

._-- d ---__.,-------,

TRABAJO NULOFUER%A CONSTANTEI

F

r rRABA. rO N no l

w=O

Es decir si "F" no cambia su modulo,direccion y sentido.

d

w = F (C os a)d

CASOS:

d---·

1. Si "F"

d y ccnio a favor del

trabajo "w " es

a=O

FR = FUERZA RESULTANTE

CASOS:

a) Si WNETO es positivo, el movimiento

es acelerado.

b) Si WNETO es cero, el movimiento es

uniforme, 0 el cuerpo se encuentra en

reposo.

c) Si WNETO es negativo, el movimiento

es retardado 0 desacelerado.

W= Fd

2. Si "F" es paralela al desp lazamientod y ccnio contra el movimiento, el

trabajo "w " es negativo.a = 180

0

= ' - - - -1 - - -- '1 ~ F

~ d •

r - - -W-=-_-F-- ' I TRABAJO RESISTIVO

1.- Hallar el trabajo efectuado por "F"

F~20~~

a) 160 J

d) 140

I~8m----j

c) 80) 120

e) 100

2.- Halle el trabajo de la fuerza "F"

F = 60N a= 3r

a) 160J

d) 140

b) 120

e) 100

c) 80

3.- En la f igura mostrada. iQue trabaj o

realiza Beto para subir el paquete

de 8 kg hasta una altura de 5m con

velocidad constante?

(g = 10 m/s")

a) 130 J

b) 240

c) 400

d) 280

e) 540

4.- Calcular el trabajo de la fuerza "F"

el cuerpo se desplaza 3m en la

misma direccion de la fuerza F".

~ R _ 5N I F _ 20N •

a) 10J

d) 60

b) 120

e) 70

c) 80



5.- Calcular el trabajo de la fuerza "F",

el cuerpo se desplaza 5m en la

direccicn de la fuerza "R"

R= lON

a) 60 J

d) 40

b) -120

e)-50

c) 50

6.- Calcular el trabajo total 0 trabajo

neto, el cuerpo Se desplaza una

distancia de 4m

lON 30N

a) 80 J

d) 48

b)40

e) 90

c) 60

7.- Si el bloque eS Ilevado a velocidad

constante. Hallar el trabajo que

reali za el rozamiento al desplazarlo

10m.

e = 37°

a) 120 J

d) 140

b)-160

e)-50

c) 150

8.- Si el bloque es arrastrado con la

ccelerccion que se muestra, una

distancia de 5m, hallar el trabajo

que realiza "F" sabiendo que el

rozamiento vale 2N.

a = 6 m/s"

- I 3kg

a) 125 J

d) 170

b)-140

e)-150

c)lOO

g.- Si el bloque eS arrastrado con la

ccelerncicn que se muestra, hallar

el trabajo que realiza "F" sabiendo

que el rozamiento vale 14N

a = 2 m /s2 -.

~ I 3kg I F .--------12m -------

a) -225 J b) -240

d) 240 e)-250

c) 190

10.- Halle el trabajo realizado por "F" si

el bloque de 2kg es lIevado con

ccelerccion 5 m/s", sobre el plano

IJ = 1/2

F • \

rugoso. .-- -,

~I 2kg

----- 4m ----

b) -40

e) 80

a) -25 J

d) 40

c) 90

11.- Halle el trabajo realizado por

Miguelito si el bloque de 5 kg

Ilevado del punto "A" al punto "

con ccelerccion de 2 m/s' '

plano rugoso.

IJ = 1/4

8m

b) -140

e) 90

a) 100 J

d) 140

c) 120

12.- EI bloque de 5kg realiza un

movimiento acelerado cuyo valor es

2 m/s", Calcular el trabajo realizado

por la fuerza de friccicn que ccnic

sobre el b loque, desde "A" hasta "B"

(g = 10 m/s")

F = lONA

8m

-. -----I~~~-

a) 390 J c) -401

d) 140

dlqui Henes2

fll'IJhl'lfllLl de.

dl 'Xlll i{) . •••

I UNMSM I1.- EI grafico muestra la variac ion de la

fuerza que se debe aplicar para

producir un estiramiento en un

resorte. EI trabajo realizado para

estirar el r esorte a 16cm, en joules,

es:

F(x)

~gl~ 'ml4 8 16

b)-80

e)-90

a) 11 4 J

d) -140

c) 150

BL- ..........

a) 11 4 J

d) -140 .! t13.- Calcula~~abajO desarrollado por

"F" un recorrido de 4m; el

de 5kg se mueve con

ion constante de 6 m/s"

UNI I2.- Un cuerpo con 2kg de masa estri

inicialmente en reposo en un plano

horizontal y s in fr+ccicn. Si se apl ica

una fuerza horizontal de lON por un

tiempo de 10 segundos. iCual es el

trabajo en joules realizado por esta

fuerza?

a) 500 b) 2500 c) 500

d) 4500 e) 5000

" t : \F

_ . . . . ; . . ~ _ = . . . . . ; : O_ " " f - _ - _ - _ - _ · · _

a) 120 J

d) 150

b) 130

e) 140

c) 160

14.- Un bloque de lOkg es elevado

partiendo del reposo con

ccelerccion de 2 m/s2 durante 2s.

Determine el trabajo del peso para

dicho t iempo. (g=10 m/s")

a) -250 J b) 300 c) -390

d) -400 e) 380

15.- Un bloque de 18kg es sometido a la

nccion de dos fuerzas, donde

F1=100N y F2=80N. Determine el

trabajo que desarrolla F2 para un

recorrido "d" sabiendo que Fl

realiza un trabajo de +800J, en tal

recorrido.



Cuando se contrata un trabajo, sin

importar el tiempo que tarden en

hacerlo, se compra solo trabajo. Por

ejemplo, si contratamos a una persona

para que pinte nuestra caSasin indicarle

el tiempo, ella 1 0 podrd realizar en 1 dlc,

en un mes 0 en un ano, con tal de que 1 0

pinte todo. Pero si se compra el trabajo

de un die y se quieren hacer las cosas 1 0

mas rdpido posible, 1 0 que pretendemos

eS conseguir unacantidad de trabajo por

here.

Este el lenguaje prdctico de la industria.

La potencia eS justamente esc. la

rapidez de hacer un trabajo.

! POTENCIA M£D IA I

La potencia media es aquella que nos

indica la rapidez con que en promedio se

efectuo untrabajo determinado.

I PO TE l\nA = TR ABA JO R EA LIZAD O I

T IENPO EMPLEADOEN HACERLO

En el sistema internacional (S.l.) la

unidad de potencia es el watt (W), que se

define como un joule de trabajo en cada

segundo: 1W= 1JIs.

!POTENCIA INSTANTAN£AI

Es el t ipo de potencia que nos informa de

la rapidez con que se realiza un trabajo

en un intervalo de tiempo muy corto. Si

la potencia eS meccmcc. su

instcntdneo se determina aSI:

EI trabajo util 0 salida de potencia de

una mdquino nunca es igual a la de

entrada. Estas diferencias Se deben en

parte a la fr-iccicn, al enfriamiento, al

desgaste, conrcminccidn, ....etc.

La eficiencia nos expresa la rczon entre

1 0 util y 1 0 suministrado a una mriquino:

n= (Pot) util

(Pot) suministrada

C]lL_Bj

n=eficiencia

T RA BA JO R E AL IZ AD OP UTIL ( P o , ) = ----------=--=-

T IEMPO

! £QU IVAUNC IA S VT lu sl

lKW.h = (1000W)(3600s) = 3,6.106 J

1HP = 746W (HP = 1horse power)

1.- Si el bloque es Ilevado gracias a la

fuerza F = 50N durante 5s. Hallar

la potencia desarrollada por "F".

F

d - 4m

a) 40watts b) 20

d) 10 e) 50

c) 30

2.- Si: F = 50N Y Ileva al bloque una

distancia de 10m, hallar la potencia

desarrollada por "F". Considere el

tiempo de 2s.

F

a) 100watts b) 200 c) 300

d) 150 e) 50

3.- Un vendedor ambulante aplica una

fuerza de lOON para empujar un

carrito, una distancia de 60m.

Hal lar la potencia desarrol lada al

cabo de lminuto que duro el

recorrido.



a) 50watts b) 40

d)80 e)60

c) 100 8.- EI bloque es lanzado sobre la

superf ic ie rugosa avanzando 12m en

4s. Si el rozamiento que Ie afecta

fue de 20N, hallar la potencia

desarrollada por dicho rozamiento.

D

potencia y realiza un trabajo

160J en 5s.

C:Cual es la eficiencia de esta

maquina?

a) 4/5

d) 5/8

IEIllEAGiAJI.- C:Cuales la potencia de un motor que

eleva 100litros de agua por minuto a

una altura de 6m?

(g = 9,8m/s2)

a) 58watts b) 20 c) 30

d) 98 e) 78

Energia, capacidad de un sistema fisico

para realizar trabajo. La materia posee

energia como resultado de su movimiento

o de su posicion en relccion con las

fuerzas que ncttion sobre ella. La

rcdiccion electrcmcqnetico posee energia

que depende de su frecuencia y, por

tanto, de su longitud de onda. Esta

energia se comunica a la materia cuando

absorbe rcdiccion y se recibe de la

materia cuando emite rcdiccicn. La

energia asociada al movimiento se conoce

como energia cineticc. mientras que la

relacionada con la posicion es la energia

potencial. Por ejemplo, un pendulo que

osci la t iene una energ ia potencia l max ima

en los extremos de su recorrido; entodas las posiciones intermedias tiene

energia cinericc y potencial en

proporciones diversas. La energia se

mani fiesta en var ias formes, entre elias

la energia mecdnicc, Que es la que

estudiaremos a continuccion.

b)2/3

e) 8/9

c)3/4

d= 12m--

c) -6013.- En el problema anter ior, C:Cual es la

potencia que pierde la maquina?

a) 12watts c) 16

d)19

a) 48watts b) -45

d) 40 e) 385.- Una grua es capaz de levantar una

masa de 100kg a una altura de 15m

en 5s. C:Que potencia expresada en

watts suministra la maquina?

(g = 9,8m/s2) UNMSM

a) 5400 b) 2080 c) 3000

d) 1980 e) 2940

g.- EI bloque mostrado avanza a la

velocidad de 2m/s gracias a la

fuerza F = 200N.

Hallar la potenc ia de F .

v = 2m/s_ _ _ .

14.- La absorve una

2000watts, y estd

ando el bloque de lOON a la

Clad de 5m/s. Entonces su

o·.- Una persona de 60kg sube 20m por

las escaleras de un edificio en 4min.

C:Que potencia en watts desarrollo?

(g = lOm/s2)

a) 42 b) 150 c) 30

d) 50 e) 180

a) 390watts b) 450 c) 380

d) 400 e) 360

10.- EI bloque mostrado avanza

velocidad constante V = 5m/

medio de F = 30N.

potencia que

rozamiento?

v = 5m/s_ _ _ .

a) 1/7

d) 1/4

b) 1/5

e) 1/18

c) 1/6

7.- Encuentra la potencia (en Kw) de

una grua sabiendo que eleva 60

sacos de harina de 100kg cada uno

hasta una plataforma ubicada a 3m

de altura en 1 minute (g = 10m/s2)

15.- Halle la potencia desarrollada por

"F " para que el bloque de lOkg suba

por por el plano inclinado a

velocidad 5 m/s constante. (g =

lOm/s2 ) 500kgc) 300 1/4

11.- Un motor consume una potencia de

1,2kW y es capaz de elevar cargas

de 108 N de peso a 10m/s. C:Cual

es la efic iencia del motor?

a) 90'Yo b) 50 c) 30

d)50 e)80

____ ___:I.....___::::,,.~ Es la capacidad que tiene un cuerpo para

efectuar trabajo gracias al movimiento

c) 400 de tr-cslccicn que experimenta) 200watts b) 300

d) 500 e) 100) 9

d) 5

b) 3

e) 7

c) 4



m

Donde:

EK : Energia Cinetica (Joules)

m : masa (kilogramos)

V : velocidad (m/s)

I 4tENERGiA POTENCIALI

IGRAVITATORIA (£p)1

Es la energia almacenada en un cuerpo

debido a su ubicccicn, teniendo el

potencial de ser utilizado para realizar

un trabajo.

Esta energia estd relacionada a la

irrternccion gravitacional entre los

cuerpos . La energia potencial depende de

la masa del cuerpo, de su altura

(posicion) respecto de un sistema de

referencia.

E p = mgh

NiveL de

referencia (NR)

Donde:

EP: Energia Potencial Gravitatoria

(Joule)

m: maSa (kilogramos)

V: velocidad (m/s)

NOTA:

: es positivo, si el

ubica encima del

referencia (NR).Si "EP" : es igual acero, si el cuerpo Se

encuentra en la linea de

referencia (h=O).

Si "EP" : es negativo si el cuerpo se

encuentra por debajo del nivel

de refe renc ia (NR)

o m

cuerpo se

nivel de

+h

m

IENER GiA POTENCIAL ELASTICAI

l(£p£)1

Es la energia almacenada por los cuerpos

eldsticos al estirarse 0 comprimirse.

Esta energia estd asociada a las

interacciones de las partes del cuerpo

eldstico. cuando

deformado.

Se encuentra

m

ITEORE~A DEL TRABA.rO Y

IENERGiA ~ECANICA I

I F"~ m l

,]G~~~

I I

En un cuerpo 0 en un si stema, e l trabaj o

que reali za las fuerzas no conservat ivas

Sera igual al cambio 0 voriccion de su

energia mecanica.

real izado por la result ante de

fuerzas que actuan sobre un

es igual a la vcriccicn de la

energia cineticc del cuerpo"

V I a

- - - - .

d

EI t raba jo real izado sobre e l cuerpo, solo

depende de su masa "m" y de sus

velocidades Vi y Vf

Por 1 0 tanto no importa conocer la fuerza

FR ni la trayector ia.

EI teorema del trabaj o-energia es va lido

tanto para fuerzas constantes como

para fuerzas variables que ccnien sobre

el cuerpo.

*Una fuerza no conservativa es aquella

fuerza que al ser aplicada a un cuerpo

realiza trabajo que depende de la

trayector ia que describe. (La friccicn)

*Una fuerza es conservativa, si el

trabajo que realiza al actuar sobre un

cuerpo no depende de la t rayectoria , so lo

depende de la pos icion inicial y la pos icion

final. Por ejemplo, el peso, fuerzas

eldsticcs (resortes)



1.- Calcule la energfa cinetico del

cutomovil de masa 600kg.

v = 20m/s

a) 120KJ

d) 155

b) 140

e) 118

c) 120

2.- Encontrar la energfa cineticc de un

vehfculo de 20kg cuando alcance

una velocidad de 72km/h.

a)7KJ b)4 c)9

d)5 e)18

3.- Calcular la energfa potencial

gravitatoria con respecto al piso de

una piedra de 4kg ubicada a una

altura de 3m.(g =lOm/s2)

a)79J b) 140 c) 120

d) 155 e) 118

4.- Calcule la energfa mecdnica del

cvicn de juguete de 4kg respecto

del suelo.

lOm/s

2m

a) 179J

d) 280

b) 240

e) 218

c) 320

Calcule la EM en (A ) y (B) para el

bloque de 2kg.

A)

4

1

m v~/s

1- - ..I I

I I

I-------------------- ----a) 50 Y 30J b) 40;20

d) 16;16 e) 80,16

(B)

c) 60;60

6.- Evchie la energia mecdnicc del

bloque de 4kg cuando pasa por la

posicion mostrada.

~

4m/s

a) 112J

d) 115

b) 120

e) 108

7.- EI bloque de masa 4k

(A). iCon qu e velocl

pasar por (B)?

A

5m

_ L . : : - - - . . . - - . . . . . . . . . . . .a) 12m/s

d) 15

b) 10

e) 8

c) 22

8.- EI bloque mostrado se lanza desde

(A) con velocidad de 30m/s. C:Hasta

que altura maxima lograra subi r?

a) 32m

d) 35

b)50

e) 48

c) 45

9.- Si Betito de 20kg es impulsado en

"A" con velocidad~icial de 50m/s,

hallar la veloci~ Tinal con la que

pcscrr i por ~. ' :

5l1J1l;l/s

~~

1 4 0 m 4 0 m r ~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -----

a) 3M m/s b) 5M c) 45

d) 30.J5 e) 50.J3

10.- Un movil de 3kg parte con una

velocidad de 2m/s y acelera a rczon

de 2m/s2. Calcular la variacion de su

energfa cinetico al cabo de 5 s.

a) 420J b) 240 c) 220

d) 270 e) 210

11.- Se lanza una pelota de 0,5kg

vertical mente hacia arr iba, con una

velocidad de 20m/s. Calcular su

energfa potencial gravitatoria

cuando alcance su maxima altura

(g = 10m/s2)

a) 100J b) 140

d) 170 e) 110

c) 120

a) 100J

d) 70

c) 20

12.- Encontrar la vcr-iocion energia

potencial gravitatoria que

experimenta el cuerpo de 0,5kg al ir

de la posicion "A" hasta "B"

(g=10m/s2). B

10m:I

I

I

I

b) 40

e) 80

13.- Determinar la energfa mecr inico de

un cvion de 2.103kg que vuela a

rczon de 40m/s a una altura de

200m. (g = lOm/s2).

a) 1600KJ b) 4000 c) 5600

d) 7020 e) 1800

~'~~'"

200m:

14.- Con un bloque de 0,5kg de masa se

comprime un resorte de constante

elastica "K", en O,lOm al soltar el

bloque se mueve sobre la superf ic ie

horizontal sin rozamientos, segun

el grclf ico, col is ionando finalmente

en el punto "P", si se considera que

g= lOm/s2 , el valor de "K" en N/m

es :

-,,,1m

,,,

1m,

a) 250 b) 100 c) 240

d) 300 e) 180



En alguna occsicn, habra la oportunidad

de ver a enormes barcos, t ransportando

una gran carga, 0 deslizar a veloceslanchas sobre la superficie del agua.

Alguna vez se pregunto:

i.Como es posible que ocurra ello, si los

barcos estdn fabricados de acer o y otros

materiales de mayor densidad que el

agua?, cpor que no se hunden dichos

cuerpos?

Estos y otros fencrnencs pueden Ser

explicados si tenemos conocimientos

sobre hiorostdticc.

'-Que estudia la hidrostatica?

Estudia a los f lu idos en reposo.

'-Que es un fluido?

Es una sustancia que puede escurrir

facilmente y que puede cambiar de forma

debido a la cccion de pequefics fuerzas.

Por 1 0 tanto I lamamos f lu ido a los liqu idos

y los gases.

Analicemos, la intercccion entre el

ladrillo de 24N y la base que 1 0 sostiene.

Se observa:

En el caso I la fuerza normal se divide

entre 6 unidades de area, por 1 0 tanto la

fuerza sobre cada uno de ellos eS 4N.En

el coso II la fuerza por cada unidad de

area es BN. Por 1 0 tanto, podemos

afirmar que: cuando mayor es la

superficie de contacto, la fuerza normal

por cada unidad de area es menor.

A la distribucion uniforme de la fuerza

normal por cada unidad de area en una

determinada superficie Se denomina

PRESI6N.

FN: Fuerza Normal (N)

A: Area (m")

liquido contenid

base que 1 0 sos

cccicn entre el

n tub ito ideal y la

La fuerza de gravedad que actua sobre

el liquido en reposo se compensa con la

fuerza normal, luego dicha fuerza en la

pequefic area (~A) origina una presion

denominada. Presion Hldrcstdticc (PH):

Pero en el tub ito en equi libr io .

En (a):

PHidrostcitica = PLgh

ol.: densidad del l iquido

h: profundidad

'-Los ilquidos ejercen presion solo en el

fondo?

iNo! Los fluidos ejercen presion sobre

todas las par edes en contacto con dicho

fluido y su valor, en el coso de los

liqu idos depende de la profundidad, pero

en los gases es el mismo en todos los

puntos.

o Observccien:

1. Si hacemos tres agujeros a

diferente nivel de la parte lateral

de un recipiente, comprobamos

que la presion hidr-osrdticc

depende de la naturaleza del

liquido y de la profundidad como

se observa en la f igura anter ior.

La presion hidrosttitica se

incrementa con la profundidad

P3 > P2 > P I

2. Consideramos ados puntos dentr o

de un liquido de densidad pL.

PB = PL g h

P A = PL g~



Todos los puntos pertenecientes a un

mismo Ifquido en reposo, que se

encuentren al mismo nivel soportan

igualpresionhidrostOtica.

Aplicaci6n: VASOS COMUNIANTES:

La presion hidrostdt icc no depende de la

forma del recipiente.

Debido al hecho de que la presion en un

fluido solo depende de la profundidad,

cualquier aumento de la presion en la

superficie se debe transmitir a cualquier

punto en el fluido. Esto 1 0 observo por

primera vez el cienti fico frances Blaise

Pascal (1623-1662) y se conoce como la

Ley de Pascal.

TRANSMISION DE LA PRESION POR

LOS LIQUIDOS Y GASES (LEY DE

PASCAL)

A diferencia de los sclidos, capas

ais ladas y peqcefics particulas de los

liquidos y gases pueden desplazarselibremente una respecto de las otras por

todas las direcciones. La movilidad libre

de las part iculas de gasy de l iquido es la

causa de que la presion, que sobre ellos

ejerce, Sea transmitida no solo en el

senti do en que ccttic la fuerza, como

sucede en los sclidos, sino que en todas

las direcciones.

"Un gas 0 Ifquido transmite sin

alteracidny en todas las direccionesla

presionejercidasobre el".

Aplicaci6n: PRENSAHIDRAULICA

4 0t t A2

F 2

Una fuerza FI al actuar sobre el piston

de area Al comunica al liquido

presion; esta presion se trans

troves del liquido hasta unpisto

Az (Az > AI)' Comola

es la misma.

Los frenos hidrciulicos en los

automoviles,rampas,gatos hidrciulicos,

entre otros utilizan este principio.

1.- Determine la presion que ejerce el

solido al apoyarlo sobre la cara (1) y

la cara (2) (m=20kg; g=lOm/s 2).

~terrnine la presion que ejerce el

oque de WON que se muestra,

apoyadoenel planoinclinado.

a) 4KPa

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

3.- Determine lapresion enel fondo delrecipiente y lafuerza que ejerce el

fluido a la parte superior del

corcho. (Acorcho=Ocm2 ).

aqua

a) 20KPa;19,5N

b) 20KPa;19,95N

c) 25KPa;19,80N

d) 35KPa;19,75N

e) 45KPa;21,35N

4.- Determine las presiones en el punto

"A" y "B", para el tanque que se

muestra.

A aceitePaceite 0,8 g/cm3

B aqua

a) 12KPa b) 12 c) 20

2KPa 20 12

d) 32 e) 8

12 35

5.- Determine la presion en los puntos

"A" y "B" si Pc = 25kPa

(g=lOm/s 2 ).

A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~~

0,5mC...........•............. -~

..........................

......................... 0,7m

bqua B

a) 25KPa; 35KPa

b) 20KPa; 30KPa

c) 20KPa; 32KPad) 15KPa; 27KPa

e) 10KPa; 25KPa

6.- EI borometro de un cvicn indica una

presion ntmosferico de 75KPa.

Determine a que altura se

encuentra el cvion si al nivel del mar

PATM=100KPa.Paire= 1,25Kg/m 3) .



a) 200m

b) 2000

c) 20000

d) 4000

e) 8000

7.- Determine la columna de agua por

encima del punto "A", si el fluido (2)

eSmercurio. (PHg=136g/cm 3)

I--

A (2) r- .. - - !""""-

(1) AGUA

a) 68cm

b) 680

c) 13,6

d) 136

e) 50

8.- En l a prensa hidrduli cc , los pistones

son de masa despreciable y sus

areas estdn en relccion de 1 a 10.

Calcular la maSa del bloque que

puede sostener la fuerza F=lON

apl icada en el piston pequefio,

a) 1kg

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

5cm

9.- Para el sistema mostrado, determine

la fuerza adicional que se debe

aplicar en (1) para mantener al

bloque de 200kg, estcltico.

(g=lOm/s2)

O / T O R1-- .....2)

Al=5cm2

A2=500cm2

~D~ ~ - - - - - - - - - - - - - - ~1)

a) 2N

b) 5

c) 10

d) 20

e) 50

10.- Los bloques "A" y "B " que Se

muestran son de 20kg y 80kg

respectivamente y cdemr is Az=5Al.

Determine la tension en la cu

(g=lOm/ s 2 ).

(1

A2=

a) 25N

b) 30

c) 35

d) 45

e) N.A.

11.- Calcular en cuanto se incrementas la

presion en el punto "B". (F = 100 N)

area =0,6mz

A B

a ua

a) 100 Pa

b) 200c) 300

d) 400

e) 500

fuerza que debe

se en el embole "B" para que

istema se encuentre en

uil ibrio (del problema anter ior) .

a) 100 N

b) 200

c) 300d) 400

e) 500

13.- En la figura se muestra una prensa

hidrxiu lico en equi libr io. Se sabe que

A1=30cmz; Az=120 cm

z. C:En que

relccion debe encontrarse las

fuerzas Fl /\ Fz para mantener el

equilibrio?

F1 F2

aceite

a) 1/4

b) 1/3

c) 1/2

d) 1/5

e) 1/6

14.- Del problema anterior calcular la

fuerza necesaria aplicar al embole

"A" para mantener el equil ibrio.

a) 100 N

b) 200

c) 250d) 300

e) 350

15.- Del grc lf ico calcu lar e l peso del auto

F = 600N si A1=20cmz, Az=300cm

z

el sistema estd en equilibrio

F

a) 10 K N

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50



Cuando nos hablan de verano 0 invierno, inmediatamente 1 0 asociamos a nuest ro

conoc imiento de 1 0 caliente y de los frio. Estas palabras se yen muchas veces

ccompcficdcs de calor y temperatura, dos coscs distintas, pero que se encuentranmuy vinculadas entre sl. Muchos fencmenos termicos se deben al calor , y todos ellos

serxin explicados a par tir de este capitulo. Sin embargo iniciar emos nuestro estudio

con el anal isis de la temperatura,

. .. .. SENSACIONES TERMICAS

Mediante nuestro sentido del tacto y otras circunstancias fisiologicas

experimentamos ciertas senscciones por las que cfirmcmos que un cuerpo estd frio 0

caliente. Lamentablemente, por su cor-deter cualitativo y subjetivo, no podemos

distinguir si una sensccion es doble 0 triple de otr a sensccion similar que hayamos

experimentando antes. La experiencia del filoscfo ingles John

Locke ( 1632 - 1704), que se muestra la figur a, plantea la pregunta: GEl agua que saledel cano estd fria 0 caliente? Esto nos demuestra que nuestras experiencias

sensorioles no son buena base para la fisica; sin embargo, debemos reconocer q

mismo estimulo r ermico que produce en nosotros las sensaciones de fr io 0

produce en otros cuerpos modificaciones observables, como por ej

dilotucion.

,. DILAT ACION SUPERFICIAL

Cuando las molecules de un cuerpo se agitan en promedio con gran r apidez, decimos

que su temperatura es alta, y si la agitacion es lenta diremos que su temperatura es

baja. As! pues la temperatura es una magnitud tensorial que nos india el grado de

agitacion molecular que en promedio tiene un cuerpo. Obviamente no tiene senti do

hablar de la temperatura del vacio.

• Calor: En la figura, el calor es la energia que se transmite del fosforo

hacia el hielo.

,. DILATACION LINEAL

Si calentamos una var il la 0 alambre como el de la figur a, comprobaremos que sufre

una dilctccicn (.6.L), cuyo valor depend era de la longitud inicial (LJ y del cambio de

temperatura ( .6.T) por el coef ic iente de dilc rcc ion l ineal (a).

L . . . . - _ / : :" _ L _ = _ L _ i "_<X_" _ / : : , . _ L _ _ _ _ . I c : : : : : : ;? . . . . ._ L f _ = _ L _ i _ { l _ + _ < x _ / : : " _ T _ ) _ _ _ _ .

. .6.Li-----j

Tf f2?/.(@///%//WW)t

.6.L = Lf - Li

.6.T = Tf - TiUnidad (a) = °C-1 , °F-1 , K-1

ex = coef iciente de dil ctcc ion lineal



/ 1 0 0 DILAT ACI6N SUPERFICIAL

LiA = Af -Ai

~ ""2a

~ = Coeficiente de dilctccidn

superficial

Cuando calentamos una lamina 0 placa como la mostr ada en la figura, comprobamos

que su superf ic ie exper imenta una dil ctccion (L' lA) , cuyo valor v iene dado per :

L'lA = Ai . ~ . L 'lT -7 Af = Ai (1 + ~ L'lT )

,.. DILAT ACI6N VOLUMETRICA

Es indudable que al calentar 0 enfriar un cuerpo, todas sus dimensiones : largo, ancho

y altura, exper imentan cambios. Por e llo se afirma que en todo fenomeno de dilc tcc ien

real mente se produce una vcr icc icn en el vo lumen. (L' lV), cuyo valor estnr ri dado por .

L'lV = Vi . Y . L'lT -7 Vf = Vi (1 + Y L'lT )

A PL IC AC IO NE 5 D E L A D IL AT A CI6N

L'lV = Vf - Vi

y" " 3a

y = Coef ic iente de dil

volumetrico

a) Listones btmetdllces . - Una buena cantidad de dispositivos que funcionan

automciticamente 10 hacen uti lizando un l isten extendido 0 enrollado, compuesto

por dos metales de diferente coef ic iente "a", de manera que al sufrir un cambio

en su temperatura se doble, se enrolla mas 0 se desenrolla. Esto se explica por

la diferente dilctncion que cada componente experimenta. En la figura (a) el

listen a la temperatura "TI" presenta una orientocion vertical, dado que cada

componente del l isten posee la misma longi tud.

b) D ilatacion de Agujero s . - En el experimento de Gravesande la esfera podrd

pasar por el aro si esto rcmbien se ha calentado. Esto significa que los agujer os

en los solidos se dilatan como si estuvier an Ilenos del mater ial que los rodea (b).

Lo mismo Ie sucede al inter ior de las vasi jas cuando las calentamos (c) .

c) En las con struccion es .- Cuando se construye una via de fer rocarr il, se deja un

espacio entre riel y riel por los cambios de temperatura ambiental. Por esta

mismc rczcn se adicionan rodillos en los ex tremos de los puentes .

LA D EN 5IDA D D EP EN DE DE LA TEM PE RA TU RA

Es evidente que si calentamos un cuerpo su volumen aumenta, pero como su masa es

prdcticcmenre la mismc, concluimos que su densidad disminuye, dado que esta es

inversamente proporcional con el volumen. Esto explicaria que los vientos se

producen por ccuso de que el aire frio que es de mayor densidad, baja a ocupar su

lugar. En general , la densidad "D," de un cuerpo a la temperatura "T," viene dada

por:



COEFICIENTES a DE SOLIDOS COEFICIENTES 'Y DE tiQUIDOS

SUSTANC IA IO·s(OC 1) SUSTANC IA IO·4(OC 1)

Aluminio 2,3 Aceite 6

Bronce 1,8 Alcohol 7,5

Zinc 2,9 Agua (10- 1,5

Cobre 1,7 20°C) 10

Acero 1,2 Gasolina 5

Laton 1,9 Glicerina 10Oro 1,4 Kerosene 1,8

Plata 0,9 Mercurio 10

Plomo 2,9 Petrrileo

Vidrio 0,9

Pyrex 0,3

INTERESANTE

Cuando un lago se congela, baja la capa de hielo se encuentra el agua Ifquida a O°C, y

mas abajo el agua estd mas caliente (4°C). Esto se explica por el comportamiento

oncmclc del agua.

1.- La figura muestra una plaeo que se

encuentra a 5°C. Si esta plaeo es

calentada hasta la temperatura

final de 105°C. Hallar el area final

respectiva que tendrri. Consideren:

~ = 16 . 10.4.

20

NA

2.- La figura muestra una placa que se

encuentra a 10°C. Si esta placa es


final de 80°C, hallar el area final

respectiva que +endrd. Considere

~= 3.10-4.

s fa) 1010u

2

b) 1020

c) 1021

d) 1024

e) 1031

250

3.- La figura muestra una plaeo que se

encuentra a 6°C. Si esta plaeo es


final de 206°C. Hallar el area final

respect iva que tendrri.

Considere: ~ = 5.10-4.

a) 2nm2

b) 4,5

c) 4,8

d) 4,4n

e) NA

4.- A laplaca de metal se Ieha aplicado

un orificio como muestra la figura.

Hallar cudl Sera el area final de

dicho orificio si calentamos a la

placa enW°C_ Considere: ~ = 2.10.4.

a) 8016u2

b) 8000

c) 8010

d) 8008

e) NA

5.- A la placa de metal mostrada se Ie

ha aplicado un orificio como muestra

la figura. Hallar curil sera el area

final de dicho orificio si calentamos

a la plaeo en 100°C. Considere: ~ =10.3



a) 181tu2

b) 17,11t

c) 17,61t

d) 17,81t

e) 17,91t

6.- Una barra que mide 100m y esta a

4°C. <'Cuanto medird si la

calentamos hasta la temperatura de

140°C? Considere: a = 8.10-5

a) 107,2m

b) 100,8

c) 100,2

d) 161,2

e) N.A.

7.- Una barra que mide 50m a la

temperatura de 2°C. <'A que

temperatura final habra de Ser

calentada para que se dilate 5m?

a) 15°C

b) 52

c) 60

d) 100

e) N.A.

8.- Una barra que mide 10m a la

temperatura de 4°C, co que

temperatura final habra de ser

calentada para que se dilate 12m?

Considere: a = 5.10-4

a) 240°C

b) 304

c) 404

d) 200

e) N.A.

g.- En curintos grados Celsius ( 0C ) se

tend ria que calentar a la placa

mostrada para que en el orificio que

se Ieha practicado como muestra la

figura encaje perfectamente el

rectdnqulo de la derecha. Considere

que para laplaca el ~ =4,2.10-2.

a) 10°C

b) 5

c) 15

d) 20

e) N.A.

11

22

10.- Una barra de 400m y aL = 10-3es

calentada y elevada su temperatura

en 20°C. GEn cudnto aumenta su

longitud?

a)4m

b) 6

c) 8

d) 10

e) N.A.

11.- Un regia met'

longitud y

calentada

50°C. Hallar la vcriccion en su

longitud. (aAL =2.10-3).

a) 5m

b) 10

c)15

d) 20

e) N.A.

12.- Se construye un puente como

muestra la figura, si : a = 2.10-4.

GQue espacio "x" hay que dejar en

el extremo derecho para que no

haya problemas con la dilrrtccicn?

Se sabe que entre verano e invierno

la temperatura varia en 50°C?

La = 5m

14.- La placa triangular mostrada se

encuentra a 5°C. GHasta que

temperatura habria que calentarla

para hacer que su area final Sea

105m2. Considere ~ = 5.1O-

3?

N.A.

13.- Si alA) > alB). GQue sucede si

calentamos la termocupla

mostrada? (las dos barras estrin

soldadas?

c) sigue igual

e) N.A.

d) F.D.

a) 20°C

b) 25

c) 30

d) 35

e) N.A.

15.- La placa mostrada es cuadrada y su

diagonal mide 4.J2 em . si elevamos

su temperatura en 40°C. GEncudnto

aumenta suarea si a = 5.1O-3?

a) 2 cm2

b) 5

c) 7,04

d) 9,6

e) N.A.



PROnc.TO~D~INV~TIGAC.ION III. -METODOLOGIA.

Con las siguientes pautas no pretendo crear modelos que se adapten al trabajo de

elcborccion de los proyectos de investigccion que van a ser en un futuro las

monografias de grado. Es nuestro objetivo ilustrar y dar paso a paso el proceso de

eloborncion de un proyecto, que se elabore teniendo en cuenta que el todo es la

esencia del proceso de investiqocion y no aislar conceptos ni partes del mismo a

elaboraciones secundarias dando prioridad a otros. EI cuerpo del proyecto debe ser

secuencial y gozar del proceso de los vasos comunicantes que determinara el exi to del

proyecto.

Es una pauta de seguimiento y de construccicn que se debe tener en cuenta para que

el proyecto goce de un exiro y de una reciizccicn a ciencia cierta. Que to d o 1 0

expuesto en estas lineas sea el verdadero reflejo de un trabajo de investiqccion y no

las imple t rcnscr -ipcion de informacion de un texto a estas paginas.

Espero aportar aunque sea una minima parte a la reclizccicn de sus proyectos de

investiqccion.

ESQ UEM A P AR A LA ELAB OR ACIO N D E U N P RO YECTO DE INV ESTIGA CIO N

1.- EL PROBLEMA.

A. Titulo descriptive del proyecto.

B. Formulcc icn del problema.

C. Objeti vos de la invest lqccicn.

D. Justificccicn.

E . Limitaciones

II.-MARCO DE REFERENCIA.

A. Fundamentos teoricos.

B. Antecedentes del problema.

C. Elcborcc ion de Hipotesis.

D. Tdenfificccion de las variables.

A. Disefio de tecnicas de recolecc ion de informacion.

B. Poblcc ion y muest ra.

C. Tecnicns de anal i sis.

D. Indice analitico tentativo del pr oyecto.

E. Guia de trabajo de campo.

A .

B .

C .

Lo primero que nos interesa es conocer , saber, 1 0 que sera invest igado: Por que, para

que, cual es el valor 0 la importancia del hecho 0 f enomeno a investigar. Si la

investigccion a realizar tiene criterios de prioridad, novedad, oportunidad,

conformismo 0 comportamiento.

A. Titulo descriptive del pr oyecto.

EI titulo de la investiqocion a realizar, debe Ser claro, preciso y completo. Esta

destinado a indicar donde, que, como y cudndo. en forma clara y sucinta indica el lugar

a que se refieren los datos, el f enomeno que se presenta, las variables que se

interrelac ionan, y la fecha a que se ref iere la informacion.

B. Formulcc icn del problema.

GQue entendemos por formular un problema? Partamos del siguiente criterio:

formular un problema eS caracter izar lo , def in ir lo, enmarcar lo tecriccmente. sugerir

propuestas de solucion para Ser demostradas, establecer unaS fuentes de

informacion y unos rnetodos para recoger y procesar dicha informacion. La

ccrccter-izccicn 0 definicion del problema nos conduce otor gar le un titulo, en el cual

de la manera mas c lara y denotativa indiquemos los elementos que Ieson esenciales.



La formulccicn del problema, es la esrrucrcrccion de toda la investiqccion, de tal

forma que uno de sus componentes resulte parte de un todo y que ese todo forme un

cuerpo que tenga logica de investiqccion. Se debe por 1 0 tanto, sintetizar la cuestion

proyectada para investigar, general mente a troves de uninterrogante.

En primer lugar, debera revisarse si el problema es susceptible de resolverse

mediante una investiqccicn. Puede inquirirse sobre la significacion del problema, es

decir, si su solucion representa una cportccicn importante al campo de estudios y si

puede abrir nuevos caminos. Se aconseja odemds preguntarse: iEs un problema nuevo

o ya existen trabajos sobre ei? Eneste coso, clos soluciones son pertinentes? i Esta

adecuadamente planteado el problema? iCuales hipdtesis se pretend en confirmar?

cl.os terminos estdn suficientemente definidos? i Vale la pena emplear tiempo y

esfuerzo ensu solucicn. aunqueesta Sea provisional?

C. Objetivos de la investiqccion.

Presupone el logro esperado para las respuestas expresadas en la hipdtesis, Es el

proposito de la investiqccion. Respondeala pregunta: iPARA QUE?, iQUE SE BUSCA

CON LA INVESTIGACION? Un objetivo debe redactarse con verbos en infinitivo

que se puedan evaluar, verificar, refutar en un momento dado. Existen seis

categorias: Memoria, cornprension, cplicccion, analisis, sintesis y evcluncicn. Es

pertinente redactar uno de cada categoria pero siempre relacionado con 1 0 que Se

busca demostrar en la lnvestiqccion.

A . . - Justificccion-

Una vez que se ha seleccionado el tema de investiqccion,

planteamiento del problema y establecidos los objetivos, se

motivaciones que Ilevan al investigador a desarrollar el proyecto.

responder a la pregunta de: iPOR QUE SE INVESTIGA?

B..- Limitaciones-

Es pertinente dar al problema una formulacion logica, adecuada, precisar sus limites,

su alcance, para ello es necesario tener encuenta los siguientes factores:

• Viabilidad: 1 0 importante es que el investigador debe verificar la posibilidad de

conseguir fuentes de datos para el desarrollo de su estudio, ya Sean del grado

primario 0 secundario.

• Lugar 0 espacio donde se llevcrri a cabo la investigacion.

• Tiempo, si el aSignado me da la cobertura del estudio 0 debo disponer de uno en

coso de imprevistos.

• Fincnciccion. si voy a implementar algo que cantidad de dinero dispongo para ello

o si solo sera unestudio de factibilidad.

II. - MARCO DE R EF ER ENCI A

Es importante seficlcr en el proyecto la estrecha relccicn entre teoria, el proceso de

investiqccion y la realidad, el entorno. La investiqccion puede iniciar unateoria nueva,reformar una existen simplemente definir con mas claridad, conceptos 0 variables

ya existentes.

A .

mismo que el marco de referencia, donde se condensara todo 1 0

a la literatura que se tiene sobre el tema a investigar. Debe ser una

ueda detallada y concreta donde el tema y la temdticc del objeto a

investigar tenga un soporte teorico, que se pueda debatir, ampliar,

conceptualizar y concluir-, Ninguna investiqocicn debe privarse de un

fundamento 0 marco tedrico 0 de referencia.

Es necesario que el grupo de trabajo conozca y maneje todos los niveles

teoricos de su trabajo, para evitar repetir hipotesis 0 planteamientos ya

trabajados. La resefic de este aparte del proyecto se debe dejar bien cloro

para indicar que teoricofs) es el que vaa servir de pauta en su investiqccicn.

Estos fundamentos tecricos van a permitir presentar una serie de conceptos,

que constituyen un cuerpo unitario y no simplemente unconjunto arbitrario de

definiciones, por medio del cual se sistematizan, closlficon y relacionan entre si

los fencmenos particulares estudiados.

B. Antecedentes del tema.

En este aspecto entrara en juego la capacidad investigadora del grupo de

trabajo, aqui se ccndensorri todo 1 0 relacionado a 1 0 que se ha escrito e

investigado sobre el objeto de investigacion. Hay que diferenciar entre

tedricos consultados y antecedentes del problema, ya que a veces confundimos

los des aspectos. EI primero - los tecriccs- son los planteamientos escritos

sobre el tema que va tratar en su objeto de investiqccidn, y los antecedentes

del problema, son las investigaciones que se han hecho sobre el objeto de



investigacion y te pueden servir para ampliar 0 continuar su objeto de

invest iqcc idn, en algunos casos serv ir ri para negar su objeto de inves tiqcc ion

cuando esto suceda se entra e elaborar postulados que mas tarde entraran a

formar el campo de las investigaciones negativas, sector oun sin explotar a

fondo, porque en la mayorfa de los trabajos de investigacion nos limitamos a

ampliar sobre conceptos t rabajados 0 a plantear nuevoS postulados pero

siempre con alta carga de complemento sobre 1 0 i nvest igado. Es hora de que se

inicie un proceso de negacion a muchas investigaciones que estrin en los

anaqueles de las bibliotecas de las diferentes univer sidades del pais sin haber

aportado nada a la construccicn del conocimiento en cualquiera de susmodalidades.

Es oportuno recor dar que la citccion de los antecedentes se pueden elaborar

con base en fechas y/ o cronogramas de otros proyectos realizados, pero es

indispensable citar la fuente de consulta.

C. Elcborccion de hipdtesis.

Es una proposicion de ccrdcrer afirmativo enunciada para responder

tentativamente a un problema. Se plantea con el fin de explicar hechos 0

fenornenos que caracterizan 0 identif ican al objeto de conocimiento.

• Hipctesis de primer grado: describe hechos 0 situaciones del objeto

conocimiento, los cuales aunque son conocidos por el saber po .ul

pueden ser sometidos a cornprobccion.

• Hipctesis de segundo grado: establecen una relccion causa -

entonces V). Esta cfirmccidn se demuestra y verifica por s

con un modelo teo r ico.

• Hipctesis de tercer grado: se afirma la prese

existentes entre variables complejas. Sugiere

fenomenos de mayor extension.

relaciones

• Hipctesis nula: aquella por la cual indicamos que la informacion a obtener

en cont raria a la hipotesis de t rabajo.

D. Tderr tificccion de las var iables.

Toda hipdres is const ituye, un juic io , 0 sea una afirmacion 0 una negac ion de

algo. Sin embargo, es un juicio de cor-deter especial. Es real mente un juicio

cientif ico, recnico 0 ideoloqico, en cuanto a su origen 0 esenc ia. Siendo aSI ,

toda hipdresis Ileva implicitn un valor , un significado, una solucion espedfica al

problema. Esta es la variab le, 0 Sea el valor que Ie demos a la hipctesis. La

variable viene a ser el contenido de solucicn que Ie demos al problema de

investiqccion.

o Variable independiente: EI valor de verdad que se Ie da a una hipdresis en

relccicn con la causa, se denomina var iable independiente.

Variable dependiente: Denominamos de esta manera a las hipdtesis cuando su

valor de ver dad hace referencia no ya a la causa, sino al efecto.

Variable interviniente: Sera aquella cuyo contenido se refiere a un factor

que ya no es usa, tampoco efecto, pero si modifica las condiciones del

problema in Igado.

"){i€I~

MET~a0GIA

o

o

III.-

isefio y tecnicos de recoleccion de informacion.

Aqui debe condensar toda la informacion relacionada con el como va a

realizar su trabajo objeto de estudio, que pordmetros van a utilizar si se

cpoycrri en datos estcdlsticos, que evaluara de toda la informacion

RECUERDE QUE TODA INFORMACION no siempre Ie sirve para su

trabajo. Debe seleccionar que sirve de una entrevista, de un articulo de

rev is ta, de un comentar io ya sea radial , textual 0 de otra Indole.

Se debe citar la fuente al igual que las personas que van a proporcionar los

datos, recuerde mencionar los cqul y en forma especial y detallada en los

RECURSOS ya Sean humanos 0 institucionales.

B.- Poblocion y muestra.

Poblccion 0 universo es cualquiera conjunto de unidades 0 elementos como

personas, f incas, municipios, empresas, etc. , claramente definidos para el

que se calculan las estimaciones 0 se busca la informacion. Deben estar

definidas las unidades, su contenido y extension.

Cuando es imposible obtener datos de to do el universo es conveniente

ext raer una muest ra, subconjunto del universe. que Sea representati va. En

el proyecto se debe especificar el tcmcffo y tipo de muestreo a utilizer:



estrat if icado, s imple al azar, de conglomerado, proporcional , polietdpico.

sistematico, etc.

C.- Tecnicos de anal isis.

Para poder definir las tecnicas de cndlisis, se debe elaborar, con base en

las hipotesis generales y de trabajo, un plan 0 proyecto tentativo de las

diferentes correlaciones, especificando:

Revista y prueba exper imenta l de las etapas anteriores.

Recoleccion de datos, ya Sea primarios 0 secundarios.

Eicborccion del informe del trabajo de campo.

Estimccion del personal necesar io y costos.

Sistema de ccdif icccicn y tcbulcclcn.ISTRATIVOS.

Serrin las tecn.ccs estadisticas para evaluar la cali d ad de los datos.

Comprobar las hipctesis u obtener conclusiones.

D.- Indice analit ico tentat ivo del proyec to.

Es aconsejable elaborar un indice analitico tentativo que de una vision

general de las partes 0 capitulos que va a contener e l t rabajo a reali zar.

E.- Guia de trabajo de campo.

En algunos proyectos de investiqoclon es necesar io presenter u

trabajo de campo, para su elcborccicn se pueden seguir

pesos:

Estudio previo 0 sondeo.

Diseno de la muestra.

Preporccion de los mater ia les de recolecc icn de datos .

Equipo de trabajo necesario: grabadoras, cdmorns fotogrcificas,

f ilmadoras, etc.

Seieccion y entrenamiento de personal.

En esta s ~ n se debe ubicar los aspectos administrativos del proyecto, esta

etap?~M una mayor importancia para aquellos proyectos que se presentan

pa tener fincnciccicn. total 0 parcial.

Relacionar las personas que pcr-t ic iporrin: usesores. equipo de recoleccion

de datos, etc., especificando la cclificccion profesional y su funcion en la

investiqccion.

B.- Presupuesto.

Se debe presentar un cuadro con los costos del proyecto indicando las

diferentes fuentes, si existen, y discr iminando la cuantia de cada sector e

la investiqccicn,

Presentar un cronograma financiero que cubra todo el desarrollo del

proyecto.

C.- Cronograma.

Es un plan de trabajo 0 un plan de actividades, que muestra la durccion del

proceso inves tigat ivo. EI t ipo de Cronograma recomendado para presentar

el plan de actividades que orienten un trabajo de investiqccion es el de

GANTT. Las actividades aqui indicadas no son definitivas. La



CRONOGRAMA

ACTIVIDADES

1.- ASESORIA METODOLOGICA

2. - PROPUESTA

3. - OBSERVACIONES

4. - DISENO DELPROYECTO

5. - OBSERVACIONES

6. - PROYECTO

7. - OBSERVACIONES

8. - ENCUESTA

9. - CLASIFICACION DEMATERIAL

10. - TRATAMIENTO INFORMACI6N

11.- ANALISIS E INTERPRET ACI6N

12. - REDACCI6N

SEMANAS

espec ifi ccc ion de las act ividades depende de l tipo de estudio que se desea

realizar.

1 2 3 4 5 6 78 9 10 1112 13 14.

TIEMPO V. - BIBLIOGRAFIA

En la bibliografia se registran las obras que tratan del tema, implicita 0

eXplicitame~~ilo es recomendable citar obras de cultura general, como

encicloP,,;{"ldiCCionarios, etc.

VbibliogrOfica 0 ref erenc ia bibliogrOfica puede subd ivid irse en dos

Fuentes bibliogrOficas consultadas.

Fuentes bibliogrOficas para consultar.

Recuerde que este es un esquema de l proyecto de investigcc ion. es la guia de

1 0 que va a investigar, en ningun caso es la INVESTIGACION como ta l.

BIBLIOGRAFIA

CARVAJAL, Lizardo. Metodologia de la Investiqccien Cientifica. Curso

general y Aplicado. 12°- Ed. Cali: F .A.I .D., 1998. 139 p.

COBO Beja rano , Hec tor. Glosa rio de Metodologia. 8Q• Ed. Cali: Impretec,

1998.50 p.

INSTITUTO COLOMBIANO DE NORMAS TECNICAS Y CERTIFICACI6N

Compendio de Normas Tecniccs Colombianas sobre Documentac ion, Tesi s y

otros trabaj os de grado . San taf€ . de Bogota : ICONTEC, 1996

libro de fisica pre universitaria_

Documents

la fisicafisica clasicahacia

lque es la fisica

tierra y elsol y

y que contradecia

latermcdinomic y

lasismologia y

palanca y

solrdos y