lezione vii: competizione oligopolistica

IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 1

Lezione VII: Competizione oligopolistica

• Oligopolio: poche imprese, non così piccole da implicare che le loro decisioni non abbia-no un significativo impatto sulle rivali.

• Ex:1) Coca Cola vs Pepsi Cola;2) Compaq vs Dell;3) Tim vs Vodafone.


Il modello di Bertrand (1883)

Punti di partenza:• La fissazione dei prezzi è una componente

cruciale del processo decisionale di un’im-presa.

• In oligopolio, la domanda che si rivolge ad un’impresa (e quindi i suoi profitti) dipende anche dai prezzi praticati dalle concorrenti.


Nella sua versione duopolistica, il modello di Bertrand assume:

1) due imprese (1 e 2), indicate da i e j (i, j = 1,2, i j);2) costi marginali/medi costanti e identici: Ci(qi) = cqi;3) prodotto omogeneo (e consumatori informati).

Segue da (3) che (con D(p) domanda di mercato):

0 se pi > pj

Di(pi, pj) = D(pi)/2 se pi = pj

D(pi) se pi < pj

domanda per il prodotto dell’impresa i.


La domanda per il prodotto dell’impresa i, Di(pi, pj) .

pi

qi

pj

D(p): curva di domanda di mercato

D(pj)/2 D(pj)

Di(pi, pj)·


Si supponga che le imprese debbano scegliere simultaneamente i loro prezzi. Chiaramente, la situazione descritta è quella di un gioco di strate-gia, in cui le decisioni di ciascuna impresa dipen-dono dalle congetture sul prezzo della rivale.

Le funzioni di payoff rilevanti sono date, ovviamente, dal valore dei profitti:

• i(pi, pj) = pi Di(pi, pj) – Ci(Di(pi, pj))• = (pi - c)Di(pi, pj)


Si ragioni in termini di risposta ottima dell’impresa i:

se pj > pm ——> pi* = pm,

se pm pj > c ——> pi* = pj - (cioè, “appena meno”, del rivale)

se c pj ——> pi* = c (ovvero, pi* > pj, sicco- me il profitto è comunque nullo).


Graficamente:

pi

pjc

c

pm

pm

45°

pi*(pj)

Risposta ottima o “curva di

reazione” di i


Un NE del gioco di Bertrand è null’altro che una coppia di prezzi (p1, p2) (detta Equilibrio di Bertrand) tale che nessuna impresa possa deviare convenientemente.• Ciò richiede che debba valere:

• p1 = p1*(p2) e p2 = p2*(p1),

• ovvero che le curve di reazione si interse-chino ad un NE.


Graficamente:

pi

pjc

c

pm

pm

45°

pi*(pj)

Curva di reazione di i

pj*(pi)

Curva di reazione di j

N

N = Equilibrio di Bertrand


Chiaramente, la coppia di prezzi (p1N = c,

p2N = c) è l’unico equilibrio di Bertrand!

• L’aspetto cruciale è l’incentivo a ribassare il prezzo della concorrente.

• Si supponga che pj = p > c:• se pi = pj = p ——> i = D(p)(p - c)/2• se pi = p - ——> i

= D(p - )(p - - c)• con i

2i se è sufficientemente piccolo.• nessuna coppia (p, p) può essere un NE (poiché

il gioco è simmetrico è naturale che lo sia anche il suo equilibrio).


Si noti il cosiddetto Paradosso di Bertrand:• Persino con due sole imprese (al posto di un monopo-

lio) il prezzo di equilibrio risulta (come in concorren-za perfetta) uguale al costo marginale, e dunque i pro-fitti sono nulli (e sarebbero negativi se vi fossero dei costi fissi)!

• Questo risultato è contraddetto dall’evidenza empiri-ca, che suggerisce:

1) normalmente i duopolisti fanno profitti elevati;2) l’aumento del numero dei competitori diminuis-ce gradualmente il prezzo di mercato.


Il paradosso di Bertrand: spiegazioni• Possibili “spiegazioni” fanno riferimento alla pos-

sibilità che non basti un piccolo ribasso per otte-nere tutta la domanda, o comunque che non sia conveniente ribassare il prezzo delle concorrenti.Ciò accade se:

• 1) i prodotti sono differenziati (non basta un pic-colo ribasso per ottenere lo spostamento di tutti i consumatori: cap. 12);

• 2) l’interazione è “dinamica” (abbiamo visto che nei “giochi ripetuti” occorre esaminare l’effetto collegato a possibili future ritorsioni a comporta-menti “opportunistici”: cap. 8).


Modello di Bertrand: estensioni

1) Prima di esaminare una terza “via di fuga” dal paradossale risultato di Bertrand, consideriamo cosa accadrebbe in una versione oligopolistica, con n > 2 imprese simmetriche, del precedente modello di duopolio.Non è difficile capire che in tale versione l’equili-brio di Nash prevede che almeno due imprese scelgano il prezzo uguale al costo marginale, men-tre tutte le altre sceglieranno un qualunque prezzo non inferiore. Si conferma dunque l’irrilevanza del numero di imprese (purché maggiore di 1).


Modello di Bertrand: estensioni continuazione

2) Si consideri il caso asimmetrico in cui:C1’(q1) = c1 > c2 = C2’(q2).

Si rammenti ora che il prezzo di monopolio di un’impresa dipende dal suo costo margi-nale (a parità di domanda). Perciò la prece-dente assunzione implica anche che, in generale:

p1m > p2

m.


p1

p2c2

c1

p2m

p1m

45°

p1*(p2)

N = Equilibrio di Bertrand asimmetrico

p2*(p1)

N

Graficamente:

c1

c2

p1m

p2m


Nell’equilibrio asimmetrico sopra descritto:

• NE: (p1N = c1, p2

N = c1 - )

• Ovvero, l’impresa 2, “più efficiente”, “spiazza” l’impresa 1, ribassando il costo marginale della concorrente e ottenendo il profitto:

• 2N = (c1 - – c2) D(c1 - ) (c1 – c2) D(c1)

• L’impresa 1, “meno efficiente”, pratica un prezzo marginalmente superiore alla concorrente, non vende pertanto nulla e ottiene un profitto nullo.


Duopolio di Bertrand asimmetrico: continuazione

• Si noti che l’equilibrio asimmetrico è sostanzial-mente equivalente alla coppia di prezzi:

• (p1= c1 + , p2= c1).

• Si noti inoltre che esso è valido se i costi marginali non sono “troppo” differenti (c1 p2

m).

• Se invece fosse c1 > p2m, allora l’equilibrio sareb-

be: (p1N= c1, p2

N= p2m), con 2

N = 2m e 1

N = 0.


Un altro modo di sfuggire al risultato di Bertrand è supporre che vi siano vincoli di

capacità (Edgeworth, 1897)

• Ex: supponiamo che l’impresa i abbia capacità produttiva ki (quindi qi ki), i = 1,2.

• Ne segue che persino se fosse pi > pj l’impresa i dovrebbe disporre di una “domanda residuale” positiva se D(pi) > kj (data appunto da D(pi) - kj).

• E’ facile vedere che, in tale contesto, il risultato di Bertrand non si applica se le capacità produttive, appunto, non sono “troppo grandi”.


Graficamente (P2(q) = P(q + k1) è la curva di do-manda residuale dell’impresa 2):

p*

p

P(q)

0q

P2(q)

k1+k2k1 k2

R2’(q)

p* = P2(k2) = P(k1 + k2)

R2’(k2)


Supponiamo per semplicità che i costi marginali siano nulli (cioè C1’(q1) = C2’(q2) = 0).

• (p1 = p*, p2 = p*) è un NE del gioco di Bertrand con i vincoli di capacità indicati graficamente.

• Per vederlo, consideriamo l’impresa 2 (per l’altra impresa il ragionamento sarebbe simile), supponendo p1 = p* :

• a) un prezzo p2 < p* non sarebbe conve-niente, poiché si venderebbe comunque la quantità k2 ad un prezzo inferiore.


Vincoli di capacità: continuazione

• b) un prezzo p2 > p* non sarebbe invece conve-niente perché l’impresa per la quantità q2 = k2 ha un ricavo marginale, R2’(k2), maggiore del costo marginale, C2’(k2) = 0, e dunque vorrebbe sem-mai vendere di più (anche ad un prezzo inferiore).

• Q.E.D.

• Più in generale, se ki < D(c) il risultato di Bertrand non vale.


Inoltre:• Si può mostrare che, se le imprese decidono prima

quanta capacità produttiva installare e poi quali prezzi praticare (in un gioco a due stadi), nell’unico SPNE di tale gioco emerge esattamente la situazio-ne sopra illustrata (Kreps & Sheinkman, 1983).

• Le imprese scelgono cioè strategicamente la capa-cità installata (nel lungo periodo) per rendere credi-bile che non abbasseranno (nel breve periodo) il prezzo sino al costo marginale, ottenendo così pro-fitti positivi .


Infine:• Si noti che il precedente risultato con vincoli

di capacità si applicherebbe anche al caso nel quale le quantità di prodotto da vendere (se non troppo elevate) venissero realizzate prima della determinazione dei prezzi.

• In tal caso, cioè, il prezzo di equlibrio (pi = p*) sarebbe quello in grado di far assorbire al mercato tutto l’output prodotto dalle im-prese (p* = P(q1 + q2)).


Il Duopolio di Cournot (1838)• Il modello di Cournot si basa esattamente su que-

st’ultima ipotesi. Ovvero, assumendo omogeneità del prodotto, immagina che le (due) imprese scel-gano simultaneamente le loro quantità (piuttosto che i loro prezzi), nell’ipotesi che il prezzo sarà quello che permette al mercato di assorbirle. Cioè:

• p = P(q1 + q2),• dove P(q) è la curva (inversa) di domanda del

mercato, e q = q1 + q2 la quantità prodotta com-plessivamente.


Duopolio di Cournot: continuazione

Nella forma normale del gioco di Cournot:• a) le imprese 1 e 2 (simmetriche nel caso

base) scelgono simultaneamente q1 e q2;• b) le funzioni di payoff per ciascuna

impresa sono date dal valore del loro profitto:

• i(qi, qj) = P(q1 + q2)qi – cqi

(assumendo costi unitari costanti).


Ancora una volta, per risolvere il gioco, si con-sideri la funzione di risposta ottima (o “curva di reazione”) dell’impresa i, qi*(qj):

Se l’impresa i si aspetta la produzione della quan-tità qj da parte del suo concorrente, il suo compor-tamento ottimale è quello di un monopolista che abbia come curva di domanda la domanda resi-duale data da:

Pi(qi) = P(qi + qj),e dunque “ricavo marginale” pari a:

Ri’(qi) = Pi’(qi)qi + Pi(qi) = P’(q)qi + P(q).


Ex: qi* è la risposta ottimale a qj.

p

P(q)

0q

Pi(qi)

qi* + qjqj qi*

Ri’(qi)

Ri’(qi) = P’(q)qi + P’(q)

q = qi + qj

Pi(qi*)

C’c


Si notino i due casi particolari:

• 1) se qj = 0 qi* = qm (poiché Pi(qi) = P(qi))

• 2) se qj = qe (dove P(qe) = c) qi* = 0 (poiché Pi(0) = c)

• Il risultato (2) dipende dall’assunzione di co-sti marginali costanti, ed è illustrato nel pros-simo grafico.


Ex: qi* = 0 è la risposta ottimale a qj = qe.

p

P(q)

q

Pi(qi)

qi* = 0Ri’(qi)

C’c

qj = qe


L’aumentare di qj diminuisce necessaria-mente la curva di domanda residuale di i.

• Ciò suggerisce che la funzione qi*(qj) sia decre-scente, compresa tra un valore massimo pari alla quantità di monopolio e un valore minimo nullo.

• Tale congettura risulta confermata nel caso, cui ora rivolgiamo la nostra attenzione, in cui anche la domanda risulti lineare.

• Tuttavia, se la domanda non fosse concava (e la funzione di costo non fosse convessa), tale risulta-to non sarebbe garantito.


Ex: il caso lineare (P(q) = a – bq, a > c)• i(qi, qj) = Ri(qi,qj) – C(qi) = P(qi + qj)qi – cqi

La FOC per la massimizzazione dei profitti di i confer-ma che una sua risposta ottima alla quantità qj della concorrente deve soddisfare la condizione che il suo “ricavo marginale”, Ri/qi = P’(q)qi + P(q), sia pari al suo costo marginale, c:

• i/qi = P’(q)qi + P(q) – c = 0.


Il caso lineare: continuazione• Sostituendo i parametri della domanda si

ottiene:• - bqi + a – bqi – bqj – c = 0

• • qi*(qj) = (a – c)/(2b) – qj/2

• (si noti che la SOC 2i/qi2 = P’’(q)qi +

2P’(q) = 2Ri/qi2 = - 2b < 0 è soddisfatta).


Il caso lineare: continuazione• Si noti che :

• dqi*/dqj = - ½,

• qi*(0) = (a – c)/(2b) = qm,

• qi*(qe) = 0(dove qe = (a – c)/b).


Il caso lineare graficamente:

qe

0qj

qi*(qj)

qm

qi

tg = 1/2

qi*(qj) è la curva di reazione di i.


Come nel caso del modello di Bertrand, l’equilibrio di Nash del gioco di Cournot può essere localizzato come intersezione delle curve di reazione.Ovvero, un “Equilibrio di Cournot” è costituito da una coppia di quantità (q1, q2) tali che:

q1 = q1*(q2) e q2 = q2*(q1)

(ovviamente, le curve di reazione saranno sim-metriche se lo sono le imprese, e simmetrico sa-rà l’equilibrio, che può pertanto essere identifi-cato anche attraverso la condizione qi

N = qi*(qiN), dove

l’apice N indica i valori di equilibrio).


Graficamente (caso lineare):

qe

0qj

qm

qi*(qj)

qm

qi

tg = 1/2

N è l’Equilibrio di Nash del gioco di Cournot.

qe

qj*(qi)45°

qjN

qiN

N


Il caso lineare - conclusione:

Risolvendo il sistema dato dalle due curve di reazione si ottiene in effetti facilmente che:

• q1N = (a – c)/(3b) = q2

N,• qN = q1

N + q2N, pN = P(qN) = (a + 2c)/3.

• Perciò:• qe > qN > qm e pm > pN > pe = c,

e anche • We > WN > Wm.


Graficamente: qe > qN > qm.

qe

0qj

qm

qi*

qm

qi

.

qe

qj*

N

qi + qj = qe

qi + qj = qm

tg = 1


I precedenti risultati suggeriscono che, dal pun-to di vista del benessere collettivo, il duopolio (à la Cournot) sia una forma di mercato in-termedia tra il monopolio e la concorrenza per-fetta.• Con imprese identiche (e costi unitari costanti) tale

conclusione vale in effetti in generale e non nel solo caso lineare.

• Nelle valutazioni di efficienza comparata occorre in-vece tenere conto delle differenze di costo, e della presenza di eventuali economie di scala, se le tecno-logie sono differenti e/o con costi unitari variabili.


Modello di Cournot: estensioni

• Il modello duopolistico sopra presentato si estende comunque facilmente al caso di imprese asimme-triche e costi marginali crescenti.

• Supponiamo che sia C1’ > C2’. Ciò implica che risulti:

• q1m < q2

m e q1e < q2

e

come mostriamo nel grafico seguente.


Imprese asimmetriche: C1’(q) > C2’(q)

P(q)

0q

q2e

R’(q)

C2’C1’

q1e

q2m

q1m


Modello di Cournot: estensioni• Manipolando la FOC che definisce la curva di

reazione si ottiene facilmente che:

• P’(q)qi + P(q) = Ci’(qi)ovvero

• Li (qi, qj) = (P(q) - Ci’(qi))/P(q) = -P’(q)qi/P(q) = si (qi, qj)/(q)

dove è l’elasticità della domanda, Li è l’indice di Lerner dell’impresa i e si = qi/q è la sua quota di mercato.


Modello di Cournot: estensioni• Perciò, nell’equilibrio di Cournot:

• LiN = si

N/N,

• dove LiN = Li (qi

N, qjN), si

N = si (qiN, qj

N) e N = (qN).

• Poiché il prezzo di equilibrio sul mercato è unico, ne segue che l’impresa col costo marginale più elevato avrà la minore quota di mercato.


Imprese asimmetriche – il caso lineare

• Si noti che, nel caso lineare, (q) = (a - bq)/(bq).• Perciò, se le imprese sono simmetriche, la

precedente condizione diventa:• (a – bqN – c)/(a – bqN) = si

N bqN/(a – bqN),ovvero (si

N = ½)• a – bqN - c = bqN/2,

e quindi• qN = 2(a – c)/(3b) = 2qe/3 ,

come già sapevamo.


Imprese asimmetriche – il caso lineare continuazione

• Si noti che la quantità del monopolista si ottiene dalla formula precedente ponendo si

N = 1. Intuitivamente, poiché se diminuisse il proprio prezzo ciascuna impresa sottrarrebbe anche clienti al competitore, tutto è come se l’elasticità della domanda fosse aumentata (da a /si).

• Se ora C1’ = c1 > c2 = C2’, la precedente condizione si sdoppia in:

• a – bqN – c1 = bq1N

e• a – bqN – c2 = bq2

N.


Imprese asimmetriche – il caso lineare continuazione

• Sommando le due precedenti espressioni si ottiene facil-mente:

• qN = (2a – c1 – c2)/3b = 2(a – (c1 + c2)/2)/3b,• pN = P(qN) = (a + c1 + c2)/3,

e perciò• qi

N = (a + cj – 2ci)/3b,• si

N = (a + cj – 2ci)/(2a – ci – cj),• Li

N = (a + cj – 2ci)/(a + ci + cj).

con siN > sj

N e LiN > Lj

N se e solo se ci < cj.


Imprese asimmetriche – il caso lineare conclusione 1

• I medesimi risultati si ottengono riderivando le curve di reazione e mettendole a sistema.

• In particolare, dalla FOC:• i/qi = P’(q)qi + P(q) – ci = 0,

• si ottiene immediatamente che:• qi*(qj) = (a – ci)/(2b) – qj/2.


Imprese asimmetriche (caso lineare): p2m > c1 > c2

q2e

0q1

q1m

q2*(q1)

q2m

q2

tg = 1/2

q2N

> q1N

q1e

q1*(q2)

45°

q1N

q2N N

q2m

< q1e


Imprese asimmetriche – il caso lineare conclusione 2

• Si noti graficamente che l’equilibrio fin qui descritto richiede che q2

m q1e, ovvero:

• p2m = (a + c2)/2 c1.

• Se invece fosse c1 > p2m, ovvero le differenze tra i costi

marginali fossero così grandi da “spiazzare” del tutto l’impresa “meno efficiente”, allora si otterrebbe:

• q1N = 0, q2

N = (a - c2)/2b = q2m

come indicato nel grafico seguente (si rammenti che, nel caso lineare, qi*(qj) = 0 se qj qi

e).


Imprese asimmetriche (caso lineare): c1 > p2m

q2e q1

q1m

q2*(q1)

q2N

= q2m

q2

tg = 1/2

q1e

q1*(q2)

45°

q1N

= 0

N

q2m

> q1e


Bertrand (B) vs Cournot (C)• Il modello di Bertrand è nato storicamente

come una critica a quello di Cournot, che metteva al centro dell’analisi le scelte di produzione piuttosto che quelle di prezzo.

• Le implicazioni dei due modelli sono in effetti molto diverse:

• B: pB = c qB = qe.


Manipolando la FOC che definisce le curve di reazione si ottiene invece:

• C: pC = c – P’(qC)qiC > c qC < qe

(mark up oligopolistico).• Qual è il modello “giusto”?• Dipende dal tipo di industria. Se le imprese

devono scegliere oltre ai prezzi anche la loro capacità produttiva (o l’effettivo livello di pro-duzione), allora quale modello risulti più ade-guato dipende dall’ordine temporale delle decisioni.


Usando un modello di gioco a due stadi:

1) se le scelte di capacità produttiva (o di output) sono più difficili (richiedono più tempo) da modificare di quelle di prezzo:

LP: k, q

Cournot

BP: p


2) se invece è più facile modificare l’output che i prezzi:

• (in effetti il modello di Bertand prevede che le imprese soddisfino tutta la domanda che si rivolge loro (in assenza di vincoli di capa-cità produttiva)).

LP: p

Bertrand

BP: k, q


Molte industri sembrano più vicine allo scena-rio previsto dal modello di Cournot.Ex: acciaio, automobili, computer, videogame (nel 1999 la Nintendo cambiò i suoi prezzi un’ora dopo che l’aveva fatto la Sony!).

Per altre, comunque, l’ipotesi che le quantità possano adeguarsi quasi istantaneamente non è fuori luogo. Ex: servizi bancari, assi-curativi, software (si rammenti che il risulta-to di Bertrand richiede anche uniformità di prodotto e interazione one shot).


Qualche applicazione dei modelli oligopolistici

• Il confronto tra i valori di equilibrio di un modello in corrispondenza di differenti valori delle variabi-li esogene è detto esercizio di statica comparata.

• Ex. 1: costo degli input e prezzo del prodotto. In un equilibrio (di lungo periodo) di concorrenza perfetta, se i costi di produzione aumentano nella stessa proporzione aumenta anche il prezzo del prodotto (indipendentemente dall’elasticità della domanda).


Cosa accade in oligopolio (ragionamento simile si potrebbe fare per il monopolio)?

Supponiamo:1. Duopolio à la Cournot2. Imprese identiche, “fondamentali” lineari3. Un aumento del costo marginale:

C’ = c c° = C’° > c


La curva di reazione si sposta verso il basso:

p

P(q)

0q

qm

qm

° qe

R’(q)

qe > q

e°, q

m > q

m°

C’c

C’°c°

qe°


L’equilibrio si sposta lungo la retta a 45°:

qe

0qj

qi*(qj)qm

qi

45°

qN

> qN

°

qi*°(qj)

qm

°

qe°

N

N°


Riprendendo le formule per il caso lineare a-simmetrico, si ottiene:

• pN = P(qN) = (a +2c)/3 = c,dove = (a/(3c) + 2/3) > 1.

• Perciò pN/c = 2/3, e dpN = 2/3dc.• Ovvero:

dpN/pN = (2/3)dc/pN = ((2/3)/)dc/c.

Perciò l’aumento del prezzo è proporzionalmente meno di 2/3 di quello del costo marginale!


L’intuizione del risultato precedente è semplice:

• In duopolio il prezzo è più elevato del costo, ma il mark up dipende dall’elasticità della domanda.

• Se l’aumento del prezzo causato dall’au-mento del costo fa aumentare l’elasticità (come nel caso lineare), allora quest’ultimo viene “passato” solo parzialmente al prezzo, che cresce meno che proporzionalmente.


Ex. 2: Fluttuazioni del tasso di cambio e quo-te di mercato.

• Supponiamo che un’impresa statunitense e un’im-presa europea competano à la Cournot sul mercato USA, con fondamentali lineari.

• Inoltre CU’ = cU = 10$ e CE’ = cE = 10€.• Inizialmente, il cambio sia 1$ = 1€. Supponiamo

che il cambio si rivaluti successivamente a favore del dollaro del 100%, ovvero 1$ = 2€ e quindi, tradotto in dollari, cE° = 5$.

• Cosa accadrà? La curva di reazione dell’impresa europea si allontanerà dall’origine, mentre quella dell’impresa statunitense non si muoverà.


Graficamente, l’equilibrio si sposta lungo la curva

di reazione dell’impresa statunitense:

qEe°0

qUqU

m

qE*°(qU)

qEm

°

qE

tg = ½

tg = 1

tg = 2

qUe

45°

N°

qN

°

qEm

qEe

qU*(qE)

N

qEN

° > qEN

= qUN

> qUN

° e qN

< qN

°


Si noti che la retta di “inclinazione unitaria” (di e-quazione qU + qE = qN°) che passa per N° e sopra il punto N dimostra che nel nuovo equilibrio la quan-tità complessivamente prodotta è aumentata (ovvero qN° > qN).• Lo stesso risultato si ottiene riconsiderando la

formula: • qN = 2(a – (c1 + c2)/2)/3b,

• dalla quale si deduce che l’ammontare comples-sivamente prodotto nell’equilibrio di Cournot a-simmetrico dipende dal valore medio dei costi marginali.


Calibrazione:

• Si parla di calibrazione quando i valori di equili-brio delle variabili vengono utilizzati per determi-nare i valori dei parametri dei fondamentali.

• Nel nostro esempio, se pN = 20$, allora deve esse-re:

• a = 3pN – 2c = 40$.• Perciò:

• sEN° = (40 + 10 – 10)/(80 – 10 – 5) = 40/65

• 61,54%


Si noti che:• Il dimezzamento del costo unitario dell’impresa

europea comporta l’aumento della sua quota di mercato solo di poco più del 20% (da 0, 5 a circa 0,62).

• In effetti, è il caso di notare che l’equilibrio di Cournot non distribuisce in maniera “efficiente” la produzione tra le imprese, diversamente da quanto accade in concorrenza perfetta (al fine di minimiz-zare il costo complessivo, tutta la produzione do-vrebbe essere realizzata dall’impresa europea).


Quale somma (fissa) dovrebbe essere di-sposta a pagare l’impresa 2 per accedere alla nuova tecnologia?

Ex. 2: Innovazione e profitti.Supponiamo che, in presenza di fonda-mentali lineari, le imprese duopolisti-che utilizzino tecnologie di diversa an-zianità.In particolare, assumiamo: c1 < c2.


La risposta è naturalmente data dalla differenza nei profitti dell’impresa 2 nelle due situazioni (con la nuo-va o con la vecchia tecnologia), ovvero: 2

N° - 2N.

Riprendendo le formule del caso asimmetrico (che naturalmente ci dicono che l’impresa più efficien-te, che produce di più con un margine di profitto unitario più elevato, farà maggiori profitti):

iN = (pN - ci)qi

N = [(a + cj – 2ci)/3][(a + cj – 2ci)/(3b)]

= (a + cj – 2ci)2/(9b).


Innovazione e profitti: continuazione

Tornando a calibrare il modello, supponiamo:

pN = 20, qN = 10, c1 =10 e c2 = 15.

Ne segue che:a = 3pN - c1 - c2 = 35,

b = (2a - c1 - c2)/(3qN) = (70 -25)/30 = 1,5.


Innovazione e profitti: continuazione

• Perciò:• 2

N = (a + c1 – 2c2)2/(9·1,5) = 152/13,5 16,7,

• 2N° = (a + c1 – 2c2°)2/(9·1,5) = 252/13,5

46,3,2

N° - 2N 29,6.


Innovazione e profitti: continuazione• Per evidenziare la rilevanza delle analisi di

statica comparata, si considerino le due se-guenti “approssimazioni” al risultato prece-dente.

• 1) q2N = (a + c1 – 2c2)/(3b) = 15/4,5 3,3• 2 = (c2 – c1)q2

N 16,5 < 29,6

(qui l’errore principale è che il passaggio al-la nuova tecnologia fa aumentare la produzio-ne e non solo il margine di profitto unitario).


Innovazione e profitti: continuazione• 2) q1

N = (a + c2 – 2c1)/(3b) = 30/4,5 6,7• 1

N = (pN – c1)q1N (20 - 10)6,7 = 67

• 2 = 1N - 2

N 50,3 > 29,6

(qui i problemi principali sono due: a) la quantità del-l’impresa 1 nell’equilibrio iniziale era dovuta al suo vantaggio rispetto al competitore, e dunque non può essere “replicata” (qi

N° = 25/45,5 5,6); b) con l’ado-zione della nuova tecnologia da parte dell’impresa 2 il mercato diviene più competitivo e il prezzo di mercato scende (pN° = 55/3 18,3)).


Innovazione e profitti: continuazione• Infine, notiamo che ovviamente i nostri risul-

tati dipendono dall’assunzione di competizio-ne à la Cournot.

• Supponiamo invece che le imprese competa-no à la Bertrand. Nell’equilibrio iniziale ri-sulterebbe, come sappiamo:

• p1N = c2 < p2

N = c2 + , con 2N = 0 e

• 1N = (c2 – c1)D(c2) = (15 - 10)(35 - 15)/1,5

66,7


Innovazione e profitti: conclusione

• Comunque, nel caso di competizione à la Bertrand l’impresa 2 non avrebbe alcun in-centivo ad acquistare la medesima tecnolo-gia dell’impresa 1, perché il suo profitto re-sterebbe nullo!

• Si tratta di un’altra faccia del paradosso di Bertrand.


Una giustificazione “dinamica” dell’equilibrio di Cournot:• Riconsideriamo il grafico rappresentante le curve di

reazione nel caso lineare, e supponiamo il seguente processo pseudo dinamico:

• al tempo 0 l’impresa 1 sceglie un qualche livello di produzione per la propria impresa;

• al tempo 1 l’impresa 2 sceglie il proprio livello otti-male di produzione dato quello scelto al tempo 0 dal suo competitore;

• al tempo 2 l’impresa 1 sceglie il proprio livello otti-male di produzione dato quello scelto al tempo 1 dal competitore;

• Etc.


La “stabilità” dell’equilibrio di Cournot (caso lineare)

0q1

q10

q2*(q1)

q2

q1*(q2)

q21

N

q12

q23

q14

q25


Si noti che:• L’aggiustamento dinamico descritto postula un

comportamento particolarmente naive da parte delle imprese, che prendono decisioni di produ-zione a periodi alternati continuando a supporre che il competitore mantenga costante la propria produzione a livello del periodo precedente …

• Si tratta a ben vedere di una pseudo dinamica che “giustifica” l’equilibrio ma non il processo attra-verso il quale esso è raggiunto. Si potrebbe natu-ralmente utilizzare anche per “giustificare” il con-cetto stesso di equilibrio di Nash (se il sottostante processo risultasse stabile).


Un’altra giustificazione dell’equilibrio nel duo-polio di Cournot (caso lineare, simmetrico).• La curva di reazione si può utilizzare per definire

il seguente processo di eliminazione iterativa di strategie dominate.

• Si noti che, essendo il gioco simmetrico, ogni eli-minazione valida per il giocatore i si applicherà a entrambi i giocatori.

• Passo 1: ogni scelta di produrre più della quantità di monopolio è dominata dall’opzione per que-st’ultima quantità.


Eliminazione di strategie dominate nel duopo-lio di Cournot (lineare, simmetrico).

• Passo 2: dunque ogni scelta di produrre meno di:

• qi*(qm) = (a – c)/(2b) – qm/2• = (a – c)/(4b) = qm/2

• sarà dominata da tale quantità.• L’argomento è illustrato nel grafico

successivo.


Eliminazione di strategie dominate nel duopo-lio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 2

qe

0qj

qi*(qj)

qi

qi*(qm

)

45°

qm

Intervallo “rimanente”: qi [qm

/2, qm

]

qm


Eliminazione di strategie dominate nel duopo-lio di Cournot - continuazione

• Passo 3: a questo punto dunque ogni scelta di produrre più di:

• qi*(qm/2) = (a – c)/(2b) – qm/4• = 3(a – c)/(8b) = 3qm/4

• sarà dominata da tale quantità.• L’argomento è nuovamente illustrato

nel grafico successivo.



qi*(qm

/2)

qe

0qj

qi*(qj)

qi

qm

/2

45°

qm

Intervallo “rimanente”: qi [qm

/2, 3qm

/4]

qm

qm

/2


Eliminazione di strategie dominate nel duopo-lio di Cournot - continuazione

• Passo 4: perciò ogni scelta di produrre meno di:

• qi*(3qm/4) = (a – c)/(2b) – 3qm/8• = 5(a – c)/(16b) = 5qm/8

• sarà dominata da tale quantità.• Si veda il grafico successivo.



qe

0qj

qi*(qj)

qi

qm

/2

45°

qm

Intervallo “rimanente”: qi [5qm

/8, 3qm

/4]

qm

qm

/2

3qm

/4

3qm

/4

qi*(3qm

/4)


Eliminazione di strategie dominate nel duopo-lio di Cournot - conclusione• E’ facile immaginare (e si può provare) che il pro-

cesso continuerà sino a ridurre l’insieme delle strategie non dominate all’unico valore qm cor-rispondente ad un punto fisso della curva di rea-zione:• qm = qi*(qm) = (a – c)/(2b) – qm/2,

• cioè • qm = (a – c)/(3b) = qi

N,• ovvero = 2/3.


Eliminazione di strategie dominate nel duopo-lio di Cournot - conclusione

• L’equilibrio del duopolio di Cournot è dun-que anche l’equilibrio in strategie dominanti dopo l’iterativa eliminazione delle strategie dominate del gioco di Cournot (nel caso li-neare).

• qiN corrisponde in effetti all’unica strategia

di produzione “non dominata”.

lezione vii: competizione oligopolistica

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