lezione 8 1 -...

Lezione 8 1

Transitori nelle reti a due costanti di tempo

Lezione 8 2

Poli complessi 1/3

• Nel caso di presenza di poli complessi s1 e s2

–

–

–

–

–

*2 1 ( )s s coniugato=

*2 1K K coniugato=

( ) ( )

1 2 11 2 1

2 co

( ) 2

sin

Re

s , 0

s t s t s t

te M t N t X t

x t K e K e X K e Xσ ω ω−

∞

∞ ∞ = + + = + = − + ≥ =

1s jσ ω= − +

1K M jN= +

Lezione 8 3

• Transitorio nel caso di poli complessiconiugati: cisoide

Poli Complessi 2/3

( ) ( )( ) 2 cos sin , 0ttx t e M t N t tσ ω ω−= − ≥

Lezione 8 4

• Forma d’onda della cisoide:– Esempio

M=3,N=4,

• Gli inviluppi sono definiti da:

Poli Complessi 2/3

1, 3σ ω= =

2 22 10t tM N e eσ− −± + = ±

t

Lezione 8 5

• Parametri alternativi di una cisoide

• Espressione dei poli:

Poli Complessi 3/3

2 22 0o o

o

s ssmorzamentopulsazione

ξ ω ωξω

+ + =

1,2

21o

o

s jσ ω

σ ξ ω

ω ξ ω

= − ±

=

= −

Lezione 8 6

Esempio 1/9

• Calcolare iL(t)1 2

1 2

( ) (0 ), 0

( ) , 0L L

s t s tL L

i t i ti t K e K e I t

−

∞

= <

= + + ≥

Lezione 8 7

Esempio 2/9

• Poli di rete

2

1 23 3, (2 ) ||1 2

sZ Z ss s

= + = =+

! "

Lezione 8 8

Esempio 3/9

• Risulta:

• Poli di rete:

2

1 23 3, (2 ) ||1 2

sZ Z ss s

= + = =+

! "

2*

1 2 12

2(6 3) 10 ( 1 71),1 2 12s sZ Z s j s s

s+ +

+ = = ⇒ = − + =+

! "

Lezione 8 9

Esempio 4/9

3 2 13 3LI A∞ = =+

• Valore finale dell’uscita:– l’induttore è un corto circuito– il condensatore un circuito aperto

Lezione 8 10

Esempio 5/9

• Condizioni iniziali dello stato:– in t=0- la rete è a regime (stazionario)

• l’induttore è un corto circuito, il condensatore un circuito aperto

(0 ) 0,(0 ) 0

C

L

vi

−

−

==

Lezione 8 11

Esempio 6/9

• Valori iniziali dello stato e della variabileconiugata:– la rete non è degenere:

(0 ) (0 ) 0(0 ) (0 ) 0

L L

C C

i iv v

+ −

+ −

= == =

(0 ) 0Lv + =

Lezione 8 12

Esempio 7/9

• Valore iniziale della derivata dello stato:

' 1(0 ) (0 ) 0L Li vL+ += =

Lezione 8 13

Esempio 8/9

• Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:

1 2 1 2'

1 1 2 2

(0 ) 1 0

(0 ) 0L L

L

i K K I K Ki s K s K

+ ∞

+

= + + = + + =

= + =

• Soluzione dell’equazioni:

*1 2 1

1 1 ,2 2 71

K j K K= − + =

Lezione 8 14

Esempio 9/9

t

112 1 71 1 71( ) 2 cos( ) sin( ) 1, 0

2 12 122 71t

Li t e t t t−

= − − + ≥

• Transitorio richiesto:

)(tiL

Lezione 8 15

Calcolare l’uscita ir(t)

Equazione d’uscita:

/12

( )1 1( ) 1 ( ) 12 3 6

712 sin121

71

LR C

t

di ti t v t Ldt

e t−

= + = + =⋅

= +

Lezione 8 16

Transitorio esponenziale

• Nel caso di poli reali se K1+K2 è diverso da0, il transitorio ha forme simili a quelle che sihanno nel caso di una costante di tempo– esempio: s1=-1, s2=-2, K1=4, K2=-0.5

ttt eety 25.04)( −− −=

t

Lezione 8 17

Transitorio impulsivo

• Nel caso di poli reali se invece K1+K2 =0, iltransitorio ha una forma di tipo impulsivo– esempio: s1=-1, s2=-2, K1=4, K2=-4

ttt eety 244)( −− −=

t

Lezione 8 18

Transitorio cisoidale

• Nel caso di poli complessi coniugati, iltransitorio ha una forma cisoidale– esempio: s1=-1+j 3, s2=-1-j 3 , K1=3+j 4, K2=3-j 4

t

tstst eKeKty 21

21)( +=

Lezione 8 19

Transitori nelle reti a due costanti di tempo

Lezione 8 20

Descrizione del fenomeno 1/2

• Fenomeno:

Lezione 8 21

Descrizione del fenomeno 2/2

• Modello circuitale:

• Valori tipici parametri: (0 ) 20 , 300 ,0.1 , 50

Cv kV RL H C pFµ

− = = Ω= =

( ) ?i t =

∞++= IeKeKti tsts 2121)(

Lezione 8 22

Analisi circuitale 1/6

• Poli di rete

1 ,Z Z R sLs C

= = +! "

Lezione 8 23


• Risulta:

• Poli di rete:

1 ,Z Z R sLs C

= = +! "

22

1,2

1 2

1 102 2

2.932 / , 68.218 /

s LC sRC R RZ Z ssC L L LC

s G rad s s M rad s

+ + + = = ⇒ = − ± −

= − = −

! "

Lezione 8 24


• Prima della scarica

• Valore finale della – corrente di scarica:

(0 ) 20(0 ) (0 ) 0C

L

v kVi i

−

− −

== =

( ) 0i I∞∞ = =

Lezione 8 25


• Valori iniziali dello stato:– La rete non è degenere:

(0 ) (0 ) 0(0 ) (0 ) 20

L L

C C

i iv v kV

+ −

+ −

= == =

• Valore iniziale della variabile coniugata:

(0 ) (0 ) 20L Cv v kV+ += =

Lezione 8 26


• Valore iniziale della derivata della corrente di scarica :

' 91(0 ) (0 ) 200 10Li vL+ += = ×

Lezione 8 27


• Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:

1 2 1 2' 9

1 1 2 2

(0 ) 0

(0 ) 200 10L L

L

i K K I K Ki s K s K

+ ∞

+

= + + = + =

= + = ×

• Soluzione dell’equazioni:

1 2 169.61 ,K A K K= − = −

Lezione 8 28

Impulso di scarica

)(ti

t

68.218 2932( ) 69.61( ) ,t ti t e e A t in sµ− −= −

• Corrente di scarica elettrostatica:

Lezione 8 29

Reti nel dominio del tempo

Lezione 8 30

Equazioni differenziali di una rete

Lezione 8 31

Modelli per Simulatori

• In pratica le reti dinamiche presentanoordine di complessità elevato e soprattuttoalcune volte non possono esseretrascurate le non linearità

• Necessità di simulatori numerici– i sistemi di equazioni differenziali

costituisconoil modello matematico alla base dei simulatori

numerici di rete

Lezione 8 32

Equazioni differenziali di una rete

Lezione 8 33

Generalità 1/2

• Metodo dei nodi:

– Caso piu’ semplice: tutti i lati sonocomandabili in tensione

– Incognite: • Tensioni ai nodi indipendenti

– Equazioni:• Equazioni ai nodi indipendenti

Lezione 8 34

Generalità 2/2

– Esempi di lati non comandabili in tensione:

• generatori (indipendenti o dipendenti) di tensione

• Induttori

– scritta con comando in tensione la relazione costitutivadegli induttori porta a equazioni integrodifferenzialianziche differenziali

Lezione 8 35

Metodo nodi modificato 1/2

• Metodo dei nodi modificato:

– Sono presenti lati non comandabili in tensione• lato modificato è il lato non comandabile in

tensione che viene sostituito con generatore di corrente incognito

Lezione 8 36

Metodo nodi modificato 2/2

– Incognite:• Tensioni ai nodi e Correnti sui lati modificati

– Equazioni:• Equazioni ai nodi indipendenti• Relazioni costitutive dei lati modificati

Lezione 8 37

• Quattro nodi indipendenti (1,2,3,4)• Tre lati da modificare:

– generatore indipendente e– induttore L– generatore di tensione pilotato

Esempio

2ˆ me R i=

2ˆ me R i=

Lezione 8 38

• Sette incognite:– quattro tensioni ai nodi:– tre correnti dei lati modificati:

• i1 sul generatore indipendente e• iL sull’induttore L• i4 sul generatore di tensione pilotato

Incognite

e

1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v v v v

Lezione 8 39

Le quattro equazioni ai nodi 1/2

2ˆ me R i=

• Le equazioni ai nodi 1 e 2 :

1 21

1

2 31 2 2 21

1 2 3

ˆ ˆNodo 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆNodo 2

v viR

v vv v v dvCR R dt R

−=

−−= + +

Lezione 8 40

Le quattro equazioni ai nodi 2/2

2ˆ me R i=

• Le equazioni ai nodi 3 e 4 :2 3 3 4

23

3 42 4

ˆ ˆ ˆ ˆNodo 3

ˆ ˆNodo 4 L

v v dv dvCR dt dt

dv dvC i idt dt

− = −

− + =

Lezione 8 41

Equazioni dei lati

1 1

L

24 2

2

4

4

ˆˆˆ

lato modi

ˆ

ˆ

ficato con i :

lato modificato con i :

lato modificato con i :

m m

L

v evv e R i RR

div Ldt

=

= = =

=

2ˆ me R i=

• Le tre equazioni dei lati modificati:

Lezione 8 42

4 2

1

2

2

4

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

m

L

m

v evv ReR

divt

i

d

R

L

=

= =

=

=

Sistema• Sistema misto di sette equazioni differenziali

e algebriche:

1 21

1

2 31 2 2 21

1 2 3

2 3 3 42

3

3 42 4

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆL

v viR

v vv v v dvCR R dt R

v v dv dvCR dt dt

dv dvC i idt dt

−=

−−= + +

− = −

− + =

Quattro equazioni ai nodi Tre equazioni ai latimodificati

Lezione 8 43

Incognite

• Incognite del sistema:

– quattro tensioni ai nodi:

– tre correnti dei lati modificati:

1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v v v v

1 4, ,Li i i

Lezione 8 44

Altro esempio

lezione 8 1 -...

Documents