diagrammi di bode - polito.itpersonal.delen.polito.it/vito.daniele/lezionielt-ii/... · 2007. 11....
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Lezione 16 1
Diagrammi di Bode
Lezione 16 2
Funzione di trasferimento daconsiderare
• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento:
• Punti critici:
4
1 2 3
punti critici di zero:punti critici di polo:
0, 5001, 100, 200
ωω ω ω
== = =
( 500)( )( 1)( 100)( 200)
s sH ss s s
+=
+ + +
Lezione 16 3
• Punti critici:
• Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione
Punti critici( 500)( )
( 1)( 100)( 200)s sH s
s s s+
=+ + +
4
1 2 3
punti critici di zero:punti critici di polo:
0, 5001, 100, 200
ωω ω ω
== = =
Lezione 16 4
Maschera a sinistra del puntocritico 1
• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
00
( 500) (500)( ) ( )( 1)( 100)( 200) (1)(100)(200) 40 as
s
s s s sH s H ss s s≈
≈
+= = = =
+ + +
Lezione 16 5
Maschera a destra del puntocritico 1
• A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +20dB/dec– A destra di 1, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto essa è nulla
– Risulta:
Lezione 16 6
Maschera a destra del puntocritico 100
• A sinistra del secondo punto critico non nullo 100 la pendenza della maschera è 0 dB/dec
– A destra di 100, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
Lezione 16 7
Maschera a destra del puntocritico 200
• A sinistra del terzo punto critico 200 la pendenza della maschera è -20 dB/dec
– A destra di 200, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta – 40 dB/dec
Lezione 16 8
Maschera a destra del puntocritico 500
• A sinistra del punto critico 500 la pendenza della maschera è -40 dB/dec– A destra di 500, per la presenza di un punto critico di
zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
Lezione 16 9
Quotatura della maschera 1/5
• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimataper valori di s piccoli:
0( ) ( )
40m s
sH s H s≈
= =
Lezione 16 10
Quotatura della maschera 2/5
• Nel punto critico 1 il valore in dB sulla maschera vale:
1( 1) (1/ 40) 6 6 20 3240m dBjH j dB= ⇒ = − − − = −
Lezione 16 11
Quotatura sulla maschera 3/5• Dal punto critico 1 al punto critico 100 la
maschera ha la quota di -32 DB
Lezione 16 12
Quotatura sulla maschera 4/5• Nel punto critico 200 tenendo conto della
pendenza di -20 dB/dec si ha una diminuzione di : 1 200 100 10 10
1
20( ) 20(log 200 log 100) 6| ( 200) | 32 38m
u u dBH j dB∆ = − − = − − = −
= − −∆ = −
Lezione 16 13
Quotatura sulla maschera 5/5
• Nel punto critico 500 tenendo conto della pendenza di -40 dB/dec si ha ulteriore diminuzione di : 2 10
2
50040 log 2( 14 6) 16200
| ( 500) | 38 54m
dB
H j dB
∆ = − = − + = −
= − − ∆ = −
Lezione 16 14
Spettro di ampiezza
• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura
Lezione 16 15
Stima errore massimo maschera1/4
• Il punto critico 1 è relativo ad un polo.L’errore si stima in -3dB:
( ) ( ) 3 32 3 35
( -35.valore 08 dB) esatto
mH j H j dB dB≈ − = − − = −
Lezione 16 16
Stima errore massimo maschera2/4
( 100) ( 100) 3 32 3 3 valore 5 ( -35.85 esatto dB)mH j H j dB dB≈ − = − − = −
• Il punto critico 100 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:
Lezione 16 17
Stima errore massimo maschera3/4
• Il punto critico 200 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:
( 200) ( 200) 3 38 3 4
valore
1
( -41.40 esatto dB)
mH j H j dB dB≈ − = − − = −
Lezione 16 18
Stima errore massimo maschera4/4
( 500) ( 500) 3 54 3 5 valore 1 ( -51.79 esatto dB)mH j H j dB dB≈ + = − + = −
• Il punto critico 500 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in +3dB:
Lezione 16 19
Decibel di zeri o poli realimultipli
• Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli reali multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli reali semplici previa moltiplicazione per m
• L’errore massimo si ha nei punti critici e vale + 3 m dB o – 3 m dB a seconda se si tratta di zero o polo
Lezione 16 20
Punti critici• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di
ampiezza) della funzione di trasferimento:
• Punti critici:
• Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione
4 101 2
punti critici di zero:punti critici di pol
0 ( )10 , 2 10o:doppio
ω ω= = ×
2
4 10( ) 20( 10 )( 2 10 )
sH ss s
= −+ + ×
Lezione 16 21
Maschera a sinistra del puntocritico 104
• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 104) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
2 2 2
4 10 4 10 1300
( ) ( ) 20 20( 10 )( 2 10 ) 10 2 10 10a s
s
s s sH s H ss s x x x≈
≈
= = − = − = −+ +
Lezione 16 22
Maschera a destra del puntocritico 104
• A sinistra del primo punto critico non nullo 104
la pendenza della maschera è +40dB/dec– A destra di 104, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto è +20 dB/dec
Lezione 16 23
Maschera a destra del puntocritico 2x1010
• A sinistra del secondo punto critico 2x1010 la pendenza della maschera è 20 dB/dec– A destra di 2x1010, per la presenza di un punto critico
di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta orizzontale
Lezione 16 24
Quotatura della maschera 1/3
• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 104 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli:
2
130( ) ( )
10m s
sH s H s≈
= = −
Lezione 16 25
Quotatura della maschera 2/3
• Nel punto critico 104 il valore in dB sulla maschera vale: 4 2
4 513
( 10 )( 10 ) 10 10010mjH j dB−= − = ⇒ −
Lezione 16 26
Quotatura della maschera 3/3• Dal punto critico 104 al punto critico 2x1010 la
maschera è una retta con pendenza di 20dB/dec
• Nel punto critico 2x1010 tenendo conto della pendenza di 20 dB/dec si ha:
10 4
10
10 42 10 10
2 1020( ) 20log 6 120 12610x
xu u dB∆ = − = = + =
Lezione 16 27
Spettro di ampiezza• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di
ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura
Lezione 16 28
Stima errore massimo maschera1/2
• Il punto critico 104 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB:
4 4( 10 ) ( 10 ) 3 100 3 103
( -103.01 dB)valore esatto
mdB dBH j H j dB dB≈ − = − − = −
Lezione 16 29
Stima errore massimomaschera 2/2
• Il punto critico 2x1010 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:
10 10( 2 10 ) ( 2 10 ) 3 26 3 23 (valo 23.01 dB)re esattomdB dBH j H j dB dB× ≈ × − = − =
dB100−≈
dB26≈
Lezione 16 30
Diagrammi di Bode
Lezione 16 31
Decibel di coppia di zericomplessi coniugati
• Una coppia di zeri complessi coniugati implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio:
2 220 1
o o
o
smorzamentopulsazi
s
one
s ξ ω ωξ ξω
+ +< ≤
• Una coppia di zeri complessi coniugatiintroduce un punto critico definito dalla pulsazione oω
Lezione 16 32
Maschera coppia zeri complessiconiugati
dBoo
ss 122
++
ω
ξω
2 2
2 1o o o
s s sξω ω ω
+ + ≈
• Per valori di s piccoli:
• Per valori di s grandi:
2
2 1 1o o
s sξω ω
+ + ≈
Lezione 16 33
Spettro ampiezza coppia zericomplessi coniugati
• Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ
Lezione 16 34
Errore massimo• L’errore massimo si ha nel punto critico e
vale:oω
12 dBξ
−
Lezione 16 35
Esempio• Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo
rispetto la maschera può assumere valori elevati• se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
1 1 | 5 | 142 2 0.1 dB
dBdB
dBξ
− = − = − ≈ −×
Lezione 16 36
Decibel di coppia di policomplessi coniugati
• Una coppia di poli complessi coniugati implica la presenza al denominatore della funzione di trasferimento del trinomio:
2 220 1
o o
o
smorzamentopulsazi
s
one
s ξ ω ωξ ξω
+ +< ≤
• Una coppia di poli complessi couniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione oω
Lezione 16 37
Maschera coppia poli complessiconiugati
2
2 1 1o o
s sξω ω
+ + ≈
2 2
2 1o o o
s s sξω ω ω
+ + ≈
• Per valori di s piccoli:
• Per valori di s grandi:
dBoo
ss 122
++
−
ωξ
ω
Lezione 16 38
Spettro ampiezza coppia policomplessi coniugati
• Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ
Lezione 16 39
Errore massimo• L’errore massimo si ha nel punto critico e vale:oω
12 dBξ
Lezione 16 40
Esempio• Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo rispetto
la maschera può assumere valori elevati– se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
1 1 | 5 | 142 2 0.1 dB
dBdB
dBξ
= = ≈×
Lezione 16 41
Decibel di zeri o poli c.c multipli
• Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli complessi coniugati multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli semplici previa moltiplicazione per m
• L’errore massimo si ha nei punti critici ed a seconda se si tratta di zero o polo vale:
12 dB
mξ
∓
Lezione 16 42
Diagrammi di Bode
Lezione 16 43
Spettro di ampiezza di risuonatoreparallelo 1/2
• Si voglia tracciare lo spettro di ampiezza del risuonatore parallelo C,L,R con funzione di trasferimento:
2 22
1( ) 1 1 1 1 ( 2 )( ) o o
s sH sC s ssC C s s
sL R RC LCξω ω
= = =+ ++ + + +
1 12 2oRC Q
ξω
= =1o LC
ω =– dove:
Lezione 16 44
Spettro di ampiezza di risuonatoreparallelo 2/2
• Per semplicià sarà tracciata la funzione di trasferimento normalizzata definita da:
2
( / )( )( )2 ( / ) 2 ( / ) 1
o
o o
sH sh sR s s
ωξ ω ξ ω
= =+ +
Lezione 16 45
Punti critici
• Punti critici:
punto critico di zero:punto critico di poli c.c.:
0 ( )( )o
semplicesempliceω
2
( / )( )( / ) 2 ( / ) 1
o
o o
sh ss s
ωω ξ ω
=+ +
• Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al
crescere della pulsazione
Lezione 16 46
Maschera a sinistra del puntocritico
• La maschera a sinistra del punto critico si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
oω
20
( / )( ) ( ) /( / ) 2 ( / ) 1
oa o
o o s
sh s h s ss s
ω ωω ξ ω
≈
= = =+ +
Lezione 16 47
Maschera a destra del puntocritico
• A sinistra del punto critico la pendenza della maschera è +20dB/dec– A destra di , per la presenza di un punto critico di
coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e pertanto diventa di -20 dB/dec
oω
oω
Lezione 16 48
Quotatura della maschera 1/2
( ) ( ) /m a oh s h s s ω= =
• Per pulsazioni a sinistra del punto critico la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli:
Lezione 16 49
Quotatura della maschera 2/2
• Nel punto critico il valore in dB sulla maschera vale 0 dB
( ) 1 0om o
o
jh j dBωωω
= = ⇒
Lezione 16 50
Spettro di ampiezza• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di
ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero (per diversi valori dello smorzamento)
Lezione 16 51
• Il punto critico è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati (semplici). L’errore si stima in
Stima errore massimomaschera
12 dB
dB
Qξ
=
– se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
valore esatt5 14
(o ) 13.98o
Q dBh j dBω
= ≈=
oω