Lezione 3

1

Lezione 3

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

In numerosi casi le informazioni contenute nelle distribuzioni di frequenza

vengono rappresentate mediante grafici, che hanno lo scopo di mettere in

evidenza le caratteristiche fondamentali dell’assetto distributivo di una variabile

e possono essere utilizzati sia nella fase preliminare di analisi dei dati, sia nella

fase finale di presentazione dei risultati ottenuti.

Questo perché i grafici sono facilmente comprensibili e non richiedono

conoscenze particolari: di conseguenza sono frequentemente utilizzati dai vari

mezzi di comunicazione.

Le forme che possono assumere i grafici sono molto diverse fra loro e variano a

seconda della natura della variabile considerata, nel senso che alcune

rappresentazioni grafiche sono idonee per certi tipi di variabile ma non per altri.

Il grafico a torta è usato specialmente per variabili qualitative. Qui di seguito ne è

riportato un esempio

Distribuzione degli occupati irregolari per settore (dati Istat, 2016)

Lezione 3

2

In questo caso le diverse “fette” della torta hanno un’ampiezza che dipende dalla

frequenza associata alle modalità. Questo tipo di rappresentazione è usata in

numerose circostanze ed è di facile facile costruzione con i più comuni software,

ma a mano libera è un po’ laboriosa.

Per questo motivo si esamineranno in dettaglio grafici diversi, descritti qui di

seguito, distinti a seconda del tipo di variabile.

Lezione 3

3

1) VARIABILI QUALITATIVE SCONNESSE

Per queste variabili si può usare un grafico a colonne (o grafico a barre)

Per la costruzione di un grafico a colonne (o a barre) si utilizza un sistema di assi

cartesiani: sulle ascisse si riportano, equispaziandole, le k modalità della variabile

e da quei punti si innalzano dei rettangoli (oppure parallelepipedi, cilindri, …) di

altezza proporzionale alla frequenza (assoluta o relativa) corrispondente.

Esempio

La seguente distribuzione riporta la distribuzione della materia meno gradita da

300 studenti di un liceo classico

Materia Frequenza assoluta Educazione fisica 10

Geografia 65 Storia 45

Inglese 78 Italiano 22

Matematica 80 300

Una possibile rappresentazione grafica di questa distribuzione è riportata nel

grafico seguente

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ed.fisica Geografia Storia Inglese Italiano Matematica

freq

uen

za a

sso

luta

materia

Lezione 3

4

Come si vede, i confronti fra le diverse materie sono possibili, ma sarebbero resi

più semplici se si ordinassero le materie a seconda del valore assunto dalla

frequenza corrispondente (in senso crescente o decrescente).

Questa è in effetti la convenzione che viene utilizzata quando la variabile risulta

sconnessa.

Per l’esempio appena considerato una rappresentazione grafica corretta è quindi

la seguente

La regola adottata nel rappresentare graficamente una variabile sconnessa

mediante un grafico a barre consiste nell’ordinare i rettangoli in base al valore

delle frequenze

Va notato che questo tipo di grafico assume una stessa forma se sull’asse delle

ordinate si riportano le frequenze assolute oppure le frequenze relative, per cui

la rappresentazione può essere fatta indifferentemente con un tipo di frequenza

o con l’altro (si ha solo un cambio di scala sull’asse delle ordinate).

Una rappresentazione grafica alternativa si ottiene scambiando le ascisse con le

ordinate. Si ottiene in questo modo una rappresentazione che prende il nome di

grafico a nastri.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ed.fisica Italiano Storia Geografia Inglese Matematica

freq

uen

za a

sso

luta

materia

Lezione 3

5

Considerata, per esempio, la seguente distribuzione del numero totale dei casi di

coronavirus per regione in Italia, aggiornata alle ore 17:00 del 9 marzo 2020,

Regione Frequenza assoluta Abruzzo 30 Basilicata 5 Calabria 11 Campania 120 Emilia Romagna 1386 Friuli V.G. 93 Lazio 102 Liguria 109 Lombardia 5469 Marche 323 Molise 14 Piemonte 350 Puglia 50 Sardegna 19 Sicilia 54 Toscana 208 Trentino A.A. 42 Umbria 28 Valle d'Aosta 15 Veneto 744 9172

il corrispondente grafico a nastri assume la forma seguente

Lezione 3

6

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 3500,00 4000,00 4500,00 5000,00 5500,00 6000,00

Lombardia

Emilia Romagna

Veneto

Piemonte

Marche

Toscana

Campania

Liguria

Lazio

Friuli V.G.

Sicilia

Puglia

Trentino A.A.

Abruzzo

Umbria

Sardegna

Valle d'Aosta

Molise

Calabria

Basilicata

casi totali

R

e

g

i

o

n

e

Lezione 3

7

2) VARIABILI QUALITATIVE ORDINABILI

I precedenti grafici sono utilizzati anche quando la variabile è qualitativa

ordinabile e le regole che si devono seguire sono le medesime, con un’unica

differenza: le modalità di una variabile ordinabile vanno elencate (in ascissa o in

ordinata) in base al loro ordine naturale.

La regola adottata nel rappresentare graficamente una variabile qualitativa

ordinabile mediante un grafico a barre o un grafico a nastri consiste nell’elencare

gli elementi seguendo l’ordine naturale delle modalità assunte dalla variabile

Esempio

La seguente distribuzione riporta i dati di un’indagine effettuata da Almalaurea

sui laureati in economia e commercio in Italia aggiornata all’aprile 2019.

La distribuzione delle risposte alla domanda circa l’adeguatezza del carico di

studio alla durata del corso è riportata nella tabella seguente

Valutazione Frequenza relativa Decisamente no 0.011 Più no che sì 0.101 Più sì che no 0.573 Decisamente sì 0.315

1.000

In questo caso una rappresentazione grafica a barre adeguata è la successiva, in

cui l’ordinamento delle modalità rispetta il loro ordine naturale.

Lezione 3

8

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Decisamente no Più no che sì Più sì che no Decisamente sì

freq

uen

za r

elat

iva

valutazione

Lezione 3

9

3) VARIABILI QUANTITATIVE DISCRETE

La rappresentazione grafica di una distribuzione relativa a una variabile

quantitativa discreta segue le medesime regole descritte per un grafico a barre,

ma vengono utilizzati segmenti al posto di rettangoli, cilindri o prallelepipedi.

Una rappresentazione grafica adeguata per una distribuzione relativa a una

variabile discreta è il cosiddetto diagramma ad aste nel quale le intensità della

variabile sono riportate sull’asse delle ascisse nella posizione determinata dalla

scala di misura adottata e da ciascuno di questi punti si innalza un segmento di

altezza proporzionale alla frequenza (relativa o assoluta) corrispondente.

Esempio

La seguente distribuzione indica il numero di esami superati dagli iscritti al primo

anno di un certo corso di laurea nel momento dell’iscrizione all’anno successivo

Esami superati

Frequenza relativa

0 0.20 1 0.09 2 0.13 3 0.22 4 0.22 5 0.11 6 0.03 1.00

Il diagramma ad aste assume la forma riportata nella figura successiva

Lezione 3

10

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7

freq

uen

za r

elat

iva

esami superati

Lezione 3

11

4)VARIABILI QUANTITATIVE CONTINUE

Se la distribuzione è relativa a una variabile continua, nella prima colonna della

tabella compaiono le classi di valori e non le singole determinazioni. In questi casi

la distribuzione della variabile all'interno delle singole classi non è nota e per

poterla rappresentare graficamente occorre formulare delle ipotesi.

Non essendo nota la reale distribuzione all’interno di ciascuna classe si adotta

l’ipotesi di distribuzione uniforme che consiste nel ripartire la frequenza

complessiva della classe in maniera proporzionale alla sua ampiezza.

Seguendo questa regola, considerata una determinata classe:

- a due sottointervalli di pari ampiezza si attribuisce la stessa frazione della

frequenza della classe

- a un sottointervallo di un'ampiezza doppia si attribuisce una frazione di

frequenza doppia e così via…

Esempio

Se la frequenza relativa associata a un intervallo (0, 2] è 0.3, la frazione di

frequenza associata agli intervalli (0, 1] e (1, 2] è 0.15, mentre all’intervallo

(0, 0.5] è associata una frequenza pari a 0.075.

Considerato un sottointervallo di una certa classe, la frazione di frequenza

associata a questo sottointervallo si calcola dividendo la frequenza relativa

associata alla classe per l’ampiezza della classe, ottenendo la cosiddetta densità di

frequenza, e moltiplicando questa densità per l’ampiezza del sottointervallo.

Lezione 3

12

In simboli, considerando la j-esima classe (cj-1, cj] a cui è associata la frequenza

relativa fj la densità di frequenza è pari a

ℎ𝑗 =𝑓𝑗

𝑐𝑗 − 𝑐𝑗−1=

𝑓𝑗

∆𝑗

dove j = cj - cj-1 corrisponde all’ampiezza della classe.

La densità di frequenza così ottenuta misura l’addensamento delle frequenze

nella classe e, per come è stata calcolata, risulta costante all'interno della classe.

Considerando ora un sottointervallo (a, b] contenuto nella classe (cj-1, cj] la

frazione di frequenza ad esso associato è dato dal prodotto fra la densità e

l’ampiezza del sottointervallo, ossia da

ℎ𝑗 × (𝑏 − 𝑎)

Esempio

Considerata la seguente distribuzione

X Frequenza

2 − 3 4

3 − 5 6

5 − 10 6

16

si calcoli la densità di frequenza per ciascuna classe di valori e si determini la

frazione di frequenza associata all’intervallo (3.05, 3.15).

Lezione 3

13

Innanzitutto è necessario calcolare le frequenze relative, poi le ampiezze delle

classi e infine i rapporti fra ciascuna frequenza relativa e l’ampiezza

corrispondente, così come mostrato nella tabella successiva.

X Frequenza relativa Ampiezza Densità

2 − 3 0.250 1 0.2500

3 − 5 0.375 2 0.1875

5 − 10 0.375 5 0.0750

1.000

La frazione di frequenza associata all’intervallo (3.05, 3.15) si ottiene dal prodotto

0.1875×(3.15-3.05)=0.01875.

Si vede facilmente che la frequenza associata a un singolo valore (cioè a un

intervallo di ampiezza nulla) è necessariamente uguale a zero.

Di conseguenza la frazione di frequenza per (a, b), a, b, (a, b o a, b) è sempre la

stessa.

L’importanza della densità di frequenza deriva dal fatto che al crescere

dell'ampiezza di un intervallo anche la frequenza corrispondente tenderà a

crescere. Per questo motivo non si possono utilizzare le frequenze (assolute o

relative) per confrontare le informazioni fornite da intervalli di diversa ampiezza.

La densità di frequenza, non dipendendo dall’ampiezza degli intervalli, misura

l’addensamento delle osservazioni.

Lezione 3

14

La rappresentazione grafica corretta per una distribuzione in classi relativa a una

variabile continua è il cosiddetto istogramma, costituito da un insieme di

rettangoli affiancati aventi per base le diverse classi e per altezza la densità di

frequenza corrispondente.

Nel caso della distribuzione considerata nell’esempio precedente l’istogramma

assume la forma successiva

Si deve notare che l’area di ciascun rettangolo (ottenuta come prodotto della base

per l’altezza) corrisponde alla frequenza relativa associata alla classe.

Dalla formula della densità di frequenza risulta infatti che la frequenza

complessiva associata al j-esimo intervallo è data dal prodotto fra la densità della

classe e la sua ampiezza

𝑓𝑗 = ℎ𝑗 × ∆𝑗

Per la j-esima classe (cj-1, cj], quindi, il rettangolo corrispondente avrà una base

pari a j , un’altezza pari a hj mentre la sua area è fj.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

den

sità

X

Lezione 3

15

INDICI DI POSIZIONE

In statistica si utilizzano svariati indici per evidenziare le caratteristiche

principali della variabile rilevata sull’insieme delle unità statistiche esaminate. Le

cosiddette medie (o indici di posizione) descrivono sinteticamente l’insieme delle

osservazioni mediante una sola modalità o un unico valore numerico, a seconda

che la variabile considerata sia qualitativa o quantitativa.

Si distinguono in

- Medie di posizione, che possono essere determinate per variabili qualsiasi

- Medie analitiche, che possono essere determinate solo per variabili quantitative,

in quanto richiedono l’esecuzione di operazioni algebriche

Una qualsiasi media effettua la sintesi di tutte le informazioni contenute nei dati

originali attraverso una sola determinazione, per cui la media di una variabile

qualitativa coincide con una delle k modalità osservate, mentre la media di una

variabile quantitativa risulta sempre interna al suo intervallo di variazione.

In questa lezione si esamineranno alcune delle più comuni medie di posizione,

mentre nella successiva si studierà una particolare media analitica e le sue

proprietà

Lezione 3

16

MODA (o valore modale)

La media di posizione più semplice è la cosidetta moda che può essere

determinata per una variabile qualsiasi

In una distribuzione relativa a una variabile qualitativa (sconnessa o ordinabile)

o in una distribuzione relativa a una variabile quantitativa discreta la moda

corrisponde alla determinazione che presenta la frequenza (assoluta o relativa)

più elevata.

Se esistono più determinazioni a cui è associata la stessa frequenza massima, tutte

queste determinazioni sono altrettante mode (si può parlare in questo caso di

distribuzioni bimodali, trimodali e così via).

La moda si individua facilmente anche sulla rappresentazione grafica associata

alla distribuzione dato che corrisponde alla determinazione a cui è associato il

rettangolo o il segmento con l’altezza maggiore (per grafici a colonna o diagrammi

ad asta) oppure al rettangolo con la base maggiore (per grafici a nastro).

In una distribuzione relativa a una variabile quantitativa continua la classe

modale corrisponde all’intervallo che presenta la densità di frequenza più elevata.

Lezione 3

17

La moda si determina in maniera molto semplice e ha il pregio di non risentire

della eventuale presenza di valori anomali (cioè della presenza di osservazioni

estremamente diverse da tutte le altre), ma ha un uso piuttosto limitato a causa

di alcuni difetti:

- non è molto utile se le determinazioni assunte dalla variabile sono numerose,

specie se la massima frequenza non è molto più elevata delle altre.

- Per una distribuzione in classi, la classe modale dipende dalla scelta degli

intervalli.

ESERCIZI

1) Data la seguente serie di voti

21 24 30 24 26 25 24 28

il voto modale è 24

2) Considerata la seguente distribuzione espressa mediante le frequenze

cumulate, determinare la moda

X Frequenza relativa cumulata -2 0.250 -1 0.425 0 0.550 1 0.750 2 0.900 3 1.000

Occorre innanzitutto calcolare le frequenze relative

X Frequenza relativa -2 0.250 -1 0.175 0 0.125 1 0.200 2 0.150 3 0.100 1.000

La moda è -2

Lezione 3

18

3) Considerata la seguente distribuzione, determinare la classe modale

X Frequenza relativa 0 – 1 0.10 1 – 5 0.30 5 – 10 0.40 10 – 20 0.20

1.00

Occorre innanzitutto calcolare le densità

X Ampiezza densità 0 – 1 1 0.100 1 – 5 4 0.075 5 – 10 5 0.080 10 – 20 10 0.020

La classe modale è la prima

Lezione 3

19

QUANTILI

Altri indici di posizione che vengono frequentemente calcolati se la variabile è

almeno ordinabile sono i cosiddetti quantili.

Per semplicità in questa lezione si considerano solo i casi relativi a una variabile

quantitativa discreta o alla sequenza di una variabile continua, ma i quantili

possono essere determinati anche per variabili qualitative ordinabili e per

distribuzioni in classi, mentre non possono essere determinati per variabili

qualitative sconnesse (o non ordinabili)

Date n osservazioni relative a una variabile quantitativa discreta X, il quantile di

ordine p (con 0 < p < 1), indicato con xp, è quel valore della variabile per cui la

proporzione di osservazioni inferiori o uguali a xp è almeno pari a p.

Se per un gruppo di studenti il quantile di ordine 0.25 è pari a 40 CFU, un quarto

degli studenti ha un numero di crediti inferiore o uguale a 40; se in una

distribuzione di stature x0,8 vale 178 centimetri, significa che l’80% delle unità ha

una statura inferiore o uguale a 178 centimetri.

Fra tutti i possibili quantili che possono essere considerati, alcuni sono di uso più

comune. In particolare si usano spesso

- i tre quartili (x0.25, x0.5, x0.75)

- i nove decili (x0.1, x0.2, …, x0.9)

- i novantanove centili (x0.01, x0.02, …, x0.99)

Lezione 3

20

Il quantile più utilizzato in assoluto è la mediana x0.5 che corrisponde al secondo

quartile, al quinto decile e al cinquantesimo centile. La mediana è quella

determinazione della variabile per cui la metà delle osservazioni presenta un

valore inferiore o uguale a x0.5

L’uso della mediana è molto comune. Per esempio, nel report dell’Istat

“CONDIZIONI DI VITA, REDDITO E CARICO FISCALE DELLE FAMIGLIE” del 6

dicembre 2018 si legge “Metà delle famiglie residenti in Italia percepisce un

reddito netto non superiore a 25.091 euro l’anno (circa 2.090 euro al mese;

+2,3% rispetto al 2015). Il reddito mediano cresce in tutte le ripartizioni: da

+0,6% del Nord-ovest a +3,9% del Nord-est.”

I quantili possono essere determinati sia su una sequenza di osservazioni, sia su

una distribuzione di frequenza

Lezione 3

21

1) SEQUENZA DI n OSSERVAZIONI

Data una sequenza di n osservazioni, il quantile xp di ordine p è l’osservazione che

nella sequenza ordinata occupa il posto corrispondente alla parte intera

superiore del prodotto np, indicato con ⌈𝑛𝑝⌉

Per “parte intera superiore” si intende che se il prodotto np dà origine a un

numero intero si considera quel risultato, se invece dà origine a un numero che

non è intero si prende l’intero immediatamente superiore.

ESEMPI

1) Considerata la seguente sequenza di voti ottenuti da uno studente 24 18 27 22 30

si determini il quantile di ordine p = 0.5 della variabile. In questo caso n=5 per cui

⌈𝑛𝑝⌉ = ⌈5 × 0.5⌉ = ⌈2.5⌉ = 3 Il quantile di ordine 0.5 occupa quindi il terzo posto nella sequenza ordinata

18 22 24 27 30 e il quantile cercato risulta x0.5 = x(3 )= 24.

2) Considerata la seguente sequenza di voti ottenuti da uno studente 18 22 24 25 27 30

si determini il quantile di ordine p = 0.5 della variabile. In questo caso n=6 per cui

⌈𝑛𝑝⌉ = ⌈6 × 0.5⌉ = ⌈3⌉ = 3 La sequenza ordinata è

18 22 24 25 27 30 e il quantile cercato risulta x0.5 = x(3 )= 24.

La necessità di considerare l’ordinamento delle determinazioni esclude la

possibilità di determinare i quantili per variabili non ordinabili.

Lezione 3

22

ESERCIZI

1) Considerata la seguente sequenza di osservazioni relative a una variabile

continua, si determini il valore dei tre quartili

2.0 1.8 1.9 2.8 2.9 3.0 3.1 4.8 5.5 3.1

La sequenza ordinata risulta 1.8 1.9 2.0 2.8 2.9 3.0 3.1 3.1 4.8 5.5

Il primo quartile occupa il posto ⌈𝑛𝑝⌉ = ⌈10 × 0.25⌉ = ⌈2.5⌉ = 3 per cui x0.25 = x(3) = 2.0 Il secondo quartile occupa il posto ⌈𝑛𝑝⌉ = ⌈10 × 0.5⌉ = ⌈5⌉ = 5 per cui x0.5 = x(5) = 2.9 Il terzo quartile occupa il posto ⌈𝑛𝑝⌉ = ⌈10 × 0.75⌉ = ⌈7.5⌉ = 8 per cui x0.75 = x(8) = 3.1

2) Considerata la sequenza ordinata dei voti in statistica ottenuti da 12 studenti:

20 20 22 22 22 24 24 25 27 27 28 28

determinare i quantili di ordine 0.2, 0.5 e 0.8.

Il secondo decile occupa il posto ⌈12 × 0.2⌉ = 3,

Il secondo quartile occupa il posto ⌈12 × 0.5⌉ = 6

L’ottavo decile occupa il posto ⌈12 × 0.8⌉ = 10

Risulta quindi x0.25 = 22,

x0.5 = 24,

x0.75 = 27.

Si osservi che uno stesso valore della variabile può corrispondere a più quantili di

ordine diverso.

Lezione 3

23

2) DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

Il procedimento di calcolo dei quantili per una distribuzione di frequenza è lo

stesso utilizzato al caso precedente, anche se può sembrare diverso.

Data la distribuzione riportata nella tabella successiva

X Frequenza assoluta -2 3 -1 5 0 2 10

la determinazione dei tre quartili potrebbe essere effettuata costruendo la

sequenza ordinata corrispondente

-2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 0

ed utilizzando quest’ultima, ma esiste un metodo più semplice di procedere

(specie quando n è molto elevato). Il metodo utilizzato si basa sulle frequenze

assolute cumulate.

Dato che, per definizione, xp occupa il posto ⌈𝑛𝑝⌉, in una distribuzione di

frequenza relativa a una variabile quantitativa discreta X il quantile di ordine p

corrisponde alla determinazione cj a cui è associata la prima frequenza assoluta

cumulata Nj maggiore o uguale a ⌈𝑛𝑝⌉

Per la distribuzione precedente si ha

X Frequenza assoluta cumulata -2 3 -1 8 0 10

Dato che il primo quartile occupa il posto ⌈10 × 0.25⌉ = 3, x0.25 = -2, in quanto la

frequenza assoluta cumulata associata a tale valore è esattamente uguale a 3.

Lezione 3

24

La mediana, invece, occupa il posto ⌈10 × 0.5⌉ = 5 per cui x0.5 = -1, dato che il

valore della frequenza assoluta cumulata associata a tale valore è pari a 8.

La determinazione -1 è infatti quel valore della variabile in corrispondenza del

quale la frequenza assoluta cumulata assume per la prima volta un valore

maggiore di 5 (in corrispondenza dell’intensità precedente era uguale a 3).

Il terzo quartile, infine, occupa il posto ⌈10 × 0.75⌉ = 8 per cui x0.75 = -1.

Si controlla facilmente che i medesimi risultati si sarebbero potuti ottenere sulla

sequenza ordinata.

Esercizio

Data la seguente distribuzione dei risultati sufficienti ottenuti in una prova

intermedia espressa in quindicesimi, si determinino i quantili di ordine 0.25, 0.3

e 0.5.

X Frequenza assoluta 8 17 9 25

10 40 11 35 12 27 13 18 14 10 15 8

180

Le frequenze assolute cumulate risultano le seguenti

Lezione 3

25

X Frequenza assoluta cumulata 8 17 9 42

10 82 11 117 12 144 13 162 14 172 15 180

Il posto occupato dal primo quartile è ⌈180 × 0.25⌉ = 45, per cui x0.25 = 10.

Il posto occupato dal terzo decile è ⌈180 × 0.3⌉ = 54, per cui x0.3 = 10.

Il posto occupato dalla mediana è ⌈180 × 0.5⌉ = 90, per cui x0.5 = 11.