Modelli e algoritmi per ilproblema di assegnamento di

frequenze

Carlo Mannino

Università di Roma “La Sapienza”

Siena, giugno 2002

Assegnamento di frequenze

Frequency Assignment Problem (FAP)

Problema: assegnare frequenze ditrasmissione a reti di trasmettitori

Schema della presentazione

• Descrizione del problema

• Formulazioni standard

• Formulazioni e algoritmi più recenti

Rilevanza

• TV e Radio Broadcasting

• Telefonia Cellulare (GSM e, parzialmente, UMTS)

• Collegamenti militari e civili di vario genere

Applicativa

Teorica

• Generalizza il problema di colorazione di grafi

• Generalizza il problema del max k-cut

• Generalizza il problema del TSP

Il problema• Trasmettitori

• Aree di servizio

• Aree di interferenza

Aree di servizio e d’interferenza non sovrapposte

Trasmettitori possono usare la stessa frequenza

Altrimenti

Frequenze diverse

L’interferenza e le frequenze

T2

T1

p

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

dB

kHz

T1 T2

),,,( 21 gfTTpInterferenza generata da T1 in T2 se f èassegnata a T1 e g a T2.

Multi-Frequency-Network (MFN)

1

2

111

2

3 3

4

4

•F={1,2,..,k} frequenze.

• Una frequenza per ogni area.

Obiettivo : Minimizzare k assicurando un servizio accettabile

Come si misura la qualità del segnale ?

1 2 k200 MHz

La banda viene suddivisa in intervalli uguali (le frequenze)

Valutazione della qualità del servizio• Le aree di servizio sono suddivise in testpoints

- I campi utili e interferenti da ogni trasmettitore vengono calcolati in ogni testpoint (field prediction)

- Controllando i campi ricevuti posso valutare il servizio

Predizione di campo

• Esistono modelli molto accurati di predizione

- Tengono conto della conformazione del terreno

- Fanno uso della teoria di Fresnel (Deygout, Epstein-Peterson)

- Coinvolgono l’interferenza troposferica (Racc. ITU-EBU, BBC)

Valutazione della qualità del segnale

- Calcola il rapporto Segnale/Rumore (S/N) in ogni testpoint (facendo uso dei modelli di predizione di campo)

Confronta il rapporto S/N ratio con le soglie (protection ratios) raccomdandate dagli organismi internazionati (ITU,EBU) e assegna a ogni testpoint un valore secondo la seguente scala

S/N > t4 Q4 - Q5 (Buono - Eccellente)t3 > S/N > t4 Q3 (Discreto)S/N < t3 Q2 - Q1 (Scarso, Pessimo)

Torniamo al problemaDati:

• Un insieme di trasmettitori con parametri elettromagnetici noti (Coordinate, diagramma d’antenna, Quota, etc.)

• Una descrizione accurata del terreno (Terrain data bank)

• Una certa porzione della banda di frequenze

TROVA:

L’assegnamento di frequenze ai trasmettitori che minimizza l’uso dello spettro e soddisfai requisiti di qualità.

• Una soglia di qualità (e.g. 80% dei testpoint a qualità > Q4)

Minimum Order FAP

Il modelloObiettivo:

• Trasformare i requisiti di qualità in vincoli trattabili per il Frequency Assignment Problem

• Rappresentazione classica: il grafo d’interferenza

• Un grafo G(V,E) i cui vertici rappresentano i trasmettitori mentregli archi “trasportano” l’informazione sui requisiti di qualità

Le due scelte principali

- Modelli di max k-cut generalizzato

- Modelli di colorazione generalizzata

Colorazione generalizzataIl costo cij associato a ciascun arco ij rappresenta la minima distanzafra la frequenza assegnata ad i e quella assegnata a j in modo daassicurare il soddisfacimento dei requisiti di qualità

La quantità cij può essere calcolata in modi diversi:

• Interferenza sito-sito

• Interferenza sito-testpoint

• Distanza inter-sito “honeycomb tiling”

fi fj

i j

| fi-fj | > cij

cij

} Field prediction

Calcolo della distanzakT

hT

Ipotesi:

In ogni testpoint il rapporto S/N è- Sh/ Nk (Th serve - Tk interferisce ) oppure- Sk/ Nh (Tk serve - Th interferisce ) e dipende dalla distanza in frequenza ∆f = fh - fk

kT and hT sono i soli trasmettitori attivi

L1hk (d)= # di testpoint con Sh/ Nk < t4 e Sk/ Nh < t4 se ∆f =d

(non serviti a qualità Q4 se ∆f =d)

L1hk(dhk ) < r% di testpoint chk è il più piccolo intero per cui

G = (V,E,c) grafo non orientato

Frequency Assignment (MO-FAP)

WANT: trova il più piccolo k tale che esiste un k-assignment

cij peso dell’arco (i,j)

FrequencyAssignment

EijcjfifkVf ij ∈∀≥−→ ,|)()(| },,,1{: Κ

OSS. Se cij = 1 per ogni ij ∈ E, FAP = Coloring

1

2

5

2a

c

b

1

4

1

26 span(f) = max f(v) - 1 v∈V

span(G) = minf span(f)

G = (V,E,c,d) grafo non orientato, con costi su archi e domande

Frequency Assignment con domanda

di domanda di frequenze del nodo i,

• In genere, la stessa antenna viene utilizzata pertrasmettere più programmi TV o servire più telefoni

WANT: trova F* di minimo span

• Frequency Assignment: famigliadi insiemi di frequenze Fi per ogninodo i ∈ V, con la proprietà che

g ∈ Fi e f ∈ Fj ⇒ |g-f| ≥ cij

icii

span(G,d) = span(F*)

Dato un assegnamento F

span(F) differenza fra la più piccola e la più grande frequenza assegnate

Aardal, Adjakplè, Al-Khaled, Battiti, Beall, Beckmann,Bertossi, Borndörfer, Bouju, Box, Boyce, Brunato,Caminada, Carbonaro, Carlsson, Castelino, Chang,Chardaire, Coghill, Costa, Crisan, Crompton, Cuppini,Del Re, Dimitropoulos, Dorne, Dowd, Duque-Anton,Eisenblätter, Fantacci, Fischetti, Funabiki, Galinier,Gamst, Grindal, Grötschel, Hao, Hellebrandt, Heller,Hurley, Jaimes-Romero, Johnston, Kapsalis, Ketchum,Kilakos, Killat, Kim, Knälmann, Kunz, Kolen, Koster,Janssen, Jansen, Jaumard, Lai, Laird, Leese, Li,Lochtie, Malesinska, Maniezzo, Martin, Mathar,Mattfeldt, McEliece, Minton, Montanari, Munoz-Rodriguez,Mühlenbein, Müller, Nasrabadi, Ngo, Palaniswami, Park,Perrier, Petford, Quellmalz, Rayward-Smith, Rodriguez-Tellez, Romanin-Jacur, Ronga, Roos, Rushforth, Rüber,Sandalidis, Sassano, Sivarajan, Smith, Stephens,Stavroulakis, Sung, Takefuji, Taylor, Tcha, Tekinay,Terlaky, Thiel, Toto, Tsang, Valenzuela, van de Heuvel,Van Hoesel, Vom Scheidt, Voudouris, Yum, Walser, Wang,Warners, Welsh, Wong, Zerovnik, Zhang, Zoellner

La letteratura è vastissima

∑f∈K xif = di per ogni i ∈ V

xif - xjg ≤ 1 per ogni ij ∈ E, g, f ∈ K, |g – f| < cij

Formulazione Classica

xif =1 se frequenza f è assegnata a nodo i

0 altrimenti OBS: |V| · k variabili

1. Inerferenza: due trasmettitori interferenti non possonoricevere frequenze vicine.

2. Domanda: ogni trasmettitore i riceve di frequenze.

VINCOLI

Variabile xif per ogni coppia nodo-frequenza

Funzione Obiettivo

• Per ogni problema viene modificato il valore di k

• Alternativa: trova k cui corrisponde una soluzione ammissibile eintroduci ulteriori variabili binarie

• In ogni caso, il numero di variabili binarie cresce al crescere dellospan di G

• L’obiettivo (minimizzazione delle frequenze) viene trasformato inun certo numero di problemi di ammissibilità

• Approccio standard: branch and cut.

Minimum Interference FAP

• Esistono molte versioni di FAP, con vincoli e funzioni obiettivo diversi.

• La principale variante: il numero di frequenze k è fissato

• In particolare, ad ogni arco del grafo d’interferenza associo uno opiù costi di violazione, che rappresentano il numero dei testpointviolati quando i due trasmettitori corrispondenti interferiscono.

p(r,s,g,f)

s

r

Problema: assegnare le frequenze {1,…,k} inmodo da minimizzare la somma dei costi diviolazione.

(FAP) Assegna a ogni nodo u di G una frequenza f(u) ∈{1,…,k}minimizzando il costo d’interferenza c(f)

c(f) = ∑u,v g(f(u), f(v))PROBLEMA: c(f) “complicata”

ove il costo d’interferenza a coppie g(f(u), f(v)) = g(|f(u)-f(v)|) dipende dalla distanza delle frequenze assegnate a u e v.

Problema di Clustering

Problema di clustering:

Dato un insieme di elementi V = {1,…,n}, associamo aogni k-partizione π di V un costo c(π).

Trova la partizione π che minimizza c(π).

V1

V2

V3

uπ(u) = V3

Clustering su grafi

Clustering su grafi Dato un grafo G = (V,E) e un costo ce per ogni e∈E

Max k-cut π = {V1,…, Vk}, c(π) = ∑q ∑ij cij , i∈Vq , j∈Vq

k-coloring Risolvi il problema di max k-cut. G è k-cromatico see solo se c(π) = 0.

V1

V2

V3

Se p(r,s,g,f) > 0 solo se g = f , allora MI-FAP siriduce al max k-cut problem.

Bound alternativi per MO-FAP

Th. [Raychauduri ’83]: il costo H(G) del camminohamiltoniano di costo minimo è un lower bound per span(G)

Span(G) = 41

2

5

A

C

B

1 2

4

c(P) = 3 < Span(G) = 4

Obiettivo: trovare formulazioni per MO-FAP chesvincolino il numero dell variabili dallo span del grafo

Consideriamo ora il camminohamiltoniano P = {A,C,B}

Perché?

Cammini hamiltoniani di costo minimoSia f l’assegnamento ottimo.

Ordina i nodi V = {1,..,n} in modo tale che f(1) ≤ f(2) ≤ … ≤ f(n).

Si ha, in generale f(i+1) - f(i) ≥ ci,i+1

)()(1

11,

1

111 GHcffffGspan

n

iiii

n

iin ≥≥−=−= ∑∑

−

=+

−

=+

e quindi

1 2 n-13 nc1,2 c2,3 cn-1,n )(

1

11, GHc

n

iii ≥∑

−

=+

f(2)-f(1) ≥ c1,2 f(3)-f(2) ≥ c2,3

Generalizzazione: d-walks

d-walk: cammino che passa per ogni nodo esattamente d volte

Span(G,d) = 4

AC BC1 1 2

Th. [Janssen, Kilakos 96]. Il costo di un d-walk dicosto minimo è un lower bound per span(G).

s

Aggiungo s percercare camminichiusi

2

1,3

5da = 1, db = 1, dc = 2

A

C

B

1 2

4

2

s

ds = 1

Σe∈δ(S) ye ≥ 1 per ogni S ⊂V

Formulazione del d-walk minimo

ye = # volte l’arco e è usato dal d-walk

1. Ogni nodo u appare du volte sul cammino

VINCOLIΣv≠ u yuv + 2yuu= 2du per ogni u

2. La soluzione è connessa:

Janssen e Kilakos 96

• La formulazione (JK) viene rilassata per calcolare bounds per FAP

Funzione Obiettivo min Σe∈E ce ye

• Domande unitarie: classica formulazione del TSP

• Il (multi) grafo indotto dalla soluzione è euleriano: ogni nodo hagrado pari. Quindi ammette un ciclo euleriano.

Costruire il d-walk

A

B

C

s ds= 1, dA= 2, dB= 3, dC= 2

ys,A + yA,B + yA,C + 2yA,A = 4ys,B + yA,B + yB,C + 2yB,B = 6ys,C + yA,C + yB,C + 2yC,C = 4ys,A + ys,B + ys,C = 2

�A,C = 3 �B,B = 2 �s,B = 1 �s,C = 1�A,B = 1

B

B B s

C

ACA

Formulazioni esatte

• Purtroppo in generale c’è un gap fra il valore ottimodella formulazione (JK) e la soluzione ottima di FAP

Th. [Avenali, Mannino, Sassano] Se c ∈ R|E| è una semimetrica(soddisfa cioè la disuguaglianza triangolare) allora laformulazione (JK) è esatta.

L’origine del gap

span(G) = 4A

C

B

1 2

41

2

5

H(G) = 3GAP = 4-3 = 1 OBS Grafo Semplice

sequenza di nodi cammino

Def. span(P) = costo della sottosequenza di costo massimo

• Oriento gli archi sul cammino da A a B• Oriento transitivamente gli altri archi

Def. span(P) = costo del cammino massimo da A a B

OBS: La sequenza P = {A, C, B} contiene una sottosequenza {a,b}di costo maggiore.

4

A C B1 2

Alternativamente

FAP versus Span

Th. [Avenali, Mannino, Sassano]. Il valore di un assegnamento difrequenze ottimo è pari allo span del d-walk di minimo span.

span(G,d) = minP span(P): P d-walk

FAP Trova il d-walk di minimo span

Obiettivo: costruire una formulazione di PLI per il problemadi trovare il d-walk di minimo span

Bad Walks

A B C2 2

5

D

2

3

1

Def. P è un bad walk se c(P) < span(P)

c({A,B,C,D}) = 5

c({A,C,D}) = 6

Co: se il d-walk di costo minimo P* non è bad, allora

c(P*)=span(P*)= span(G,d)

A B C3 5

3

D

3

4

2

Generare “good walks”OSS: Ogni d-walk è la concatenazione di archi.

OSS: Il costo di un d-walk è la somma dei costi degli archi

A B C2 2

5

D

2

3

2 E2

8

6

A B C

c({P}) = 8 span(P) = 11

w1

C D Ew2

OSS: se definisco 2 walk:

P = w1 ° w2

c(w1) = span(w1) = 5 c(w2) = span(w2) = 6

span(P) = c(w1) + c( w2)!

Concatenazioni bad• Costruisci un “serbatoio” di walk (anche con archi) W (base).

• A ogni w∈W associa un costo cw = span(w)

• Costruisci d-walk di minimo span concatenando elementi di W.

A B2 2

5

C

A B Cw1

c(w1) = span(w1) = 5

Proibisci la concatenzione (A,B) • (B,C)

Aggiungi w1 = (A,B) • (B,C)

Obiettivo: costruire concatenazioni di walks i cui costi (span)possono essere sommati per ottenere lo span della concatenazione

Def: w1•w2 • … • wq concatenazione bad se

span(w1•w2 • … • wq) > span(w1) + …+ span(wq)

Concatenazioni ammissibili

• Definisci la coppia (W,I):

W insieme di walk I ⊆ W×W coppie di walk incompatibili

Def. Concatenazione ammissibile (per (W,I))

w1, w2, …, wq∈ W:w1•w2 • … • wq

(wi,wi+1)∉I per i = 1,…, n-1

Def. (W,I) è completa se ogni walk di G è ammissibile

Def. (W,I) è good se ogni concatenazione ammissibile è non bad

Generare (W,I) completa e good

A B2 2

5

C

A B Cw1

1. Proibisci la concatenzione (A,B) • (B,C)

2. Aggiungi w1 = (A,B) • (B,C)

W = {(A,B),(B,C),(A,C), w1}

tutti gli archi

I = {((A,B),(B,C))}

c(w1) = span(w1) = 5c((A,B)) = span((A,B)) = 2c((B,C)) = 2 c((A,C)) = 5

(W,I) è completa! Es. Il walk {B,C,A,B,C} = (B,C) • (C,A) • w1

Inoltre span({B,C,A,B,C}) = c((B,C)) + c((C,A)) + c(w1) = 12

Che fare se i bad walks (minimali) contengono 3 o più archi?

Bad walks lunghi

A B Cw1

1. Aggiungi e proibisci

w1 = (A,B) • (B,C)

A B2 2

3

C D2

3

7

W = {(A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,D), w1} I = {((A,B),(B,C))}

2. Aggiungi e proibisci w2 = w1 • (C,D)

I = {((A,B),(B,C)),(w1,(C,D))}

c(w1) = span(w1) = 4

A B Cw2

D

W = {(A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,D), w1, w2}

c(w2) = span(w2) = 7

Equivalenza con FAP

Th. [Avenali, *, Sassano] Se (W,I) completa e good ⇒⇒Trovare d-walk ammissibile per (W,I) di costo minimo ⇔ FAP

Th. [Avenali, *, Sassano] Se per ogni (r,s) ∈ I, si ha r•s ∈ W⇒⇒ (W,I) completa

• Il metodo visto nella slide precedente assicura quindi la completezzadi (W,I)

• Se applicato ricorsivamente a ogni concatenzione bad ottengo (W,I)good.

Formulare il good d-walk

• Variabili yw = # volte il walk w ∈ W è usato dal d-walk

• Coefficienti aw(u) = # walk w passa per u

Data (W,I) completa e good possiamo costruire una formulazionedel problema di trovare un d-walk ammissibile di costo minimo.

Funzione Obiettivo min Σw∈W cw yw

• Ogni nodo u appare du volte sul cammino

Σw aw(u) yw = 2du per ogni u

Vincoli

Come assicurare che la soluzione sia

connessa

ammissibile per I

Un esempio

A B Cw1

A B2 2

6

C

I = {((A,B),(B,C))}W = {(A,B),(A,C), (B,C),w1 , (s,A), (s,B), (s,C)}

c(A,B) = 2 , c(B,C) = 2,c(A,C) = 6, c(w1) = 6

min 2yA,B + 2yA,B + 6yA,C + 2yB,C + 6yw1

dA = 2dB = 2dC = 1

s

ys,A + yA,B + yA,C + yw1 = 4ys,B + yA,B + yB,C + 2yw1 = 4ys,C + yA,C + yB,C + yw1 = 2ys,A + ys,B + ys,C = 2

�s,A = 2 �A,B = 2 �B,C = 2

A B C

s

Grafo delle transizioni

A B Cw1

A B2 2

6

C

I = {((A,B),(B,C))}

s

W = {(A,B),(A,C), (B,C),w1 , (s,A), (s,B), (s,C)}

Grafo T=(W,F)F = {(r,s): r,s∈W e r e s possono esser concatenati}

W è l’insieme dei walk

(r,s)∈Fr,s un estremo in comune

(r,s)∉I(A,B)

(A,C)(B,C)

w1

(s,A)

(s,B)

(s,C)

A che serve il grafo delle transizioni

Th. [Avenali, *, Sassano] Sia � tale che Σw aw(u) �w = 2du , per ogniu.Allora esiste un d-walk ammissibile per (W,I) costruitoconcatenando i walk di � se e solo se esiste un �-walk in T.

Un esempio

(A,B)

(A,C)(B,C)

w1

(s,A)

(s,B)

(s,C)

�s,A = 2 �A,B = 2 �B,C = 2

(A,B)(B,C)

(s,A)

2

2

2

Non esiste un � walk in T! s’ 1

La formulazione completa

Sia (W,I) completa e good. T = (W,A) grafo di transizione associato.

min Σw∈W cw yw

Σw aw(u) yw = 2du per ogni u

Σe∈δ(w) ze = 2 yw per ogni w ∈ W

yw = # volte il walk w ∈ W è usato dal d-walkze = # volte l’arco e ∈ A è usato dall’ y-walk

Σe∈δ(S) ze ≥ yw / M per ogni S ⊂W, con w∈W – S e s’∈S

L’algoritmo: generazione dinamica divariabili e vincoli

OSS. il numero di vincoli e variabili può essere moltoelevato.

• L’algoritmo costruisce una sequenza di coppie (Wk, Ik)complete con la proprietà che Wk ⊂ Wk+1 e Ik ⊂ Ik+1

OSS. Non occorre che (W,I) sia good.

• All’iterazione k risolve la formulazione associata a (Wk,Ik)

• Costruisco il d-walk P = {w1•w2 • … • wq} associato a �k

• Se P è non bad STOP. P è un d-walk di minimo span

• Altrimenti costruisci Wk+1 e Ik+1 e ricomincia.

Aggiornamento di (W,I)

P = {w1•w2 • … • wq} bad walk minimale generato.

• Poni Wk+1 = Wk ∪ {r1,r2, …, rq-1 }.

Sia r1 = w1•w2 , r2 = r1•w3, …, rq-1 = rq-2•wq

• Poni Ik+1 = Ik ∪ {(w1•w2), (r1•w3), …, (rq-2•wq) }.

N1 N2 N3 Nq-1 Nqw1 w2

r1

N4

w3

r2rq-1

Distanze e semimetriche

Distance Space (X,d)

Insieme X

Funzione distanza d: X × X→ R+

d(i,j) = d(j,i) ∀ i,j ∈ X

d(i,i) = 0 ∀ i ∈ X

Se: d semimetrica su X

(d metrica se d(i,j) = 0 → i = j)

d distanza definita su Vn → (simmetria) d ∈ R|En |

X = Vn = {1, …, n} En = {ij: i,j ∈ V, i ≠ j} ij insieme di coppienon ordinate

d(i,j) ≤ d(i,k) + d(j,k) ∀ i,j,k ∈ XI vincoli

definiscono un cono in R|En | detto cono semimetrico METn

d(i,j) ≤ d(i,k) + d(j,k) ∀ i,j,k ∈ X

Assegnamenti di frequenze e semimetriche

Istanza di FAP G = (V,E,c)1

42

32 3

2

1

0

1

1

53

2

241213

w =

1,21,31,42,32,43,4

f: V → N assegnamento ammissibile

Semimetricaw(i,j) = |f(i) – f(j)|

Dato un spazio con norma (E, ||.||):

d(x,y):= || x-y||, x,y ∈ E Minkoswski metricmetrica

Assegnamento di frequenze a V associo Semimetrica w su V, w ≥ c

Idea: trovo semimetrica w, con w ≥ c associo f: w(i,j) = |f(i) – f(j)|

Semimetriche e assegnamenti di frequenze

12

33

1

3

Purtroppo …

In questo caso non esiste f: V → N tale che w(i,j) = |f(i) – f(j)|

OSS: trovare semimetriche w su V, con w ≥ c è facile!

w(i,j) ≤ w(i,k) + w(j,k) ∀ i,j,k ∈V

w(i,j) ≥ cij ∀ i,j,∈V Vincoli lineari!

w = c

Def. Sia w semimetrica. Se esistono n numeri reali {f1, …, fn} tali chewij = |fi – fj| for i,j ∈ {1,…, n} allora w è detta embeddable nellospazio metrico (R, dl1) (l1 è la norma 1).

embeddable11l

Riassumendo

Trovare un assegnamento ammissibile equivale a trovare w ∈ R|E| tale che

2. w ≥ c

1. w è una semimetrica

Problema: quando w ∈ METn è l11 embeddable?

embeddable11l3. w is

Tagli!

δ(S) ∈ {0,1}|E| vettore d’incidenza del taglio (S:V-S)

} allfor 0|)({CUTn VSS SVS

S ⊆≥= ∑⊆

λδλ Cut cone

Si definisce Cut cone

1

42

3

S

Dato un grafo G = (V,E), sia S ⊂ V.

Chiamamo taglio (S:V-S) l’insieme degliarchi con un estremo in S e l’altro in V-S

Es. S = {1}

Es. (S:V-S) = {(1,2), (1,3), (1,4)}111000

1,21,31,42,32,43,4

δ(S) =

Semimetriche su V embeddabili nello spazio l11

Torniamo alla domanda: quando w ∈ METn è l11 embeddable?

1. w ∈ CUTn

w = λ1 δ(S1) + λ2 δ(S2) + … + λq δ(Sq)

S1, S2 , … , Sq ⊂ V, λ1 , λ2 , …, λq ≥ 0

2. S1, S2 , … , Sq nested family S1 ⊂ S2 ⊂ … ⊂ Sq

1352

f =1234

1

42

32 3

2

1

0

1

241213

w =

1,21,31,42,32,43,4

S1= {1}

S1

1

42

32 3

2

1

0

1

S2

⊆ S2= {1,4} ⊆ S3= {1,4,2}

1

42

32 3

2

1

0

1

S3

111000

1,21,31,42,32,43,4

δ(S1) =

231201

c =

1,21,31,42,32,43,4

110011

1,21,31,42,32,43,4

δ(S2) =

010101

1,21,31,42,32,43,4

δ(S3) =

111000

1·

110011

+ 1·

010101

+ 2 ·

241213

= = w

1

53

2

w(i,j) = |f(i) – f(j)|

Formulazione: variabili di decisione

C insieme di tutti i tagli di G

Ovvero: trova semimetrica w ≥ c, tale che w sia l11 embeddable.

l11 embeddable: trova una nested family di tagli tale che w possa

esprimersi come combinazione conica dei tagli della famiglia

yC =1 se C ∈ C appartiene alla nested family

0 altrimenti

λC ≥ 0 moltiplicatore per C ∈ C nella combinazione conica

z ≥ 0 valore della massima componente di w

FAP: trova f tale che sia minimo maxi,j ∈ V |f(i) – f(j)|

Vincoli I

Vincolo 1: per ogni arco, we ≥ ce

we =

C e = {C ∈ C : e ∈ C}

∑ λC ≥ ceC∈C e

e ∈ E

Vincolo 2: z è (più grande della) la più grande componente di w.

z ≥ ∑ λCC∈C e

for all e ∈ E

insieme di tutti i tagli che contengono l’arco e

Vincoli II

Vincolo 3: λC è 0 se C non è scelto.

λC - M·yC ≤ 0 per ogni C ∈ C

M può essere scelto come max ce , e ∈ C

Vincolo 4: y è il vettore d’incidenza di una nested family

Th [Deza, Laurent]: una famiglia di tagli B è nested se e solo se perogni X ⊆ B con | X | ≤ 3, X è nested.

yi + yj ≤ 1 per ogni non nested i, j ∈ C

yi + yj + yk ≤ 1 per ogni non-nested i, j, k ∈ C

La formulazione

yi + yj ≤ 1 per ogni non-nested i, j ∈ C

yi + yj + yk ≤ 2 per ogni non-nested i, j, k ∈ C

we = ∑ λC ≥ ceC∈C e

per ogni e ∈ E

z ≥ ∑ λCC∈C e

per ogni e ∈ E

λC - M·yC ≤ 0 per ogni C ∈ C

min z

Risolvere il rilassamento

costo ridotto:

• La formulazione può essere usata all’interno di un algoritmo dibranch-and-bound

• Column generation: • Risolvi all’ottimo il rilassamento con un sottoinsieme di variabili • Se tutte le variabili hanno costo ridotto positivo o nullo: STOP. • Aggiungi una colonne con costo ridotto negativo • Torna a 1.

• Tuttavia il numero di vincoli e di variabili è troppo grande perpoter essere risolto esplicitamente

• Approccio standard: generare variabili e vincoli quando servono.

Variabili dualiCome generare colonne per il nostro problema?

yi + yj ≤ 1 non-nested i, j ∈ C ’

yi + yj + yk ≤ 2 non-nested i, j, k ∈ C ’

-∑ λC ≤ -deC∈C e

e ∈ E

∑ λC - z ≤ 0C∈C e

e ∈ E

λC - M·yC ≤ 0 C ∈ C ’

OSS. Le colonne sono associate con tagli

C ’ insieme di tagli (colonne) contenuti nel nostro rilassamento

Variabili duali

πe

ϕe

Coefficienti nulli perλC e yC per C ∈ C -C ’

Column generation

OSS. Vogliamo trovare una colonna che minimizza il costo ridotto

Costo ridotto di λC ∑ ϕe -∑ πee ∈ C e ∈ C

1. Trovi il taglio di massimo peso in G, ove i pesi del taglio sonodati da πe - ϕe, for e ∈ E

2. Se il taglio ha peso positivo aggiungilo a C ’.

3. Aggiungi i vincoli associati alla nuova variabile.