Les fonctions réelles

Résolution d’équations algébriques.(Retour 4e secondaire)

La résolution d’une équation quadratique ou du deuxième degré demeure un atoutimportant lors de l’étude des fonctions réelles. Il existe 3 méthode de résolutiond’équations quadratiques. Vous devez en maîtriser une et la plus simple est sansaucun doute l’utilisation de formule quadratique.

Formule quadratique.

Erreur !

Ex : Résous les équations suivantes en utilisant la formule quadratique.

1) x2 – 3x + 4 = 0 2) x2 – 8x + 16 = 0

Rappel

b2 – 4ac est appelé le discriminant de la formule et le symbole utilisé est _. Unebrève analyse de la formule nous permet d’observer que trois situations différentespeuvent se présenter.

1. b2 – 4ac > 0 ⇒ _________________________________________________

2. b2 – 4ac = 0 ⇒ _________________________________________________

3. b2 – 4ac < 0 ⇒ _________________________________________________Fonctions polynomiales

Définition et graphique cartésien d’une fonction polynomiale.

Defn (fonction): À tout élément x on associe une et une seule valeur de y. Dans ungraphique, si je trace une droite verticale je ne dois pas couper le graphique à plus d’unpoint.

Cette relation est une fonction. Cette relation n’est pas une fonction.

Propriétés des fonctions (dom, codom, signe, variation, extremum, etc.)

Le domaine et codomaine d’une fonction.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs que prend la variable indépendante(x) et le codomaine (image) est l’ensemble des valeurs que prend la variabledépendante(y).

La croissance d’une fonction.

Une fonction est dite croissante sur un intervalle donné [a, b] si :

pour tout les x1, x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

Une fonction est dite décroissante sur un intervalle donné [a, b] si :

pour tout les x1, x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)

**On fait toujours la lecture d’un graphique de gauche à droite. Ainsi si on al’impression de gravir une pente, la fonction est croissante et si on a l’impression dedescendre une pente, la fonction est décroissante.Les zéros et la valeur initiale et extremums.

Les zéros, ou abscisse à l’origine, d’une fonction sont les valeurs du domaine qui annulela fonction. C’est le croisement de la fonction et de l’axe des x.

La valeur initiale, ou ordonnée à l’origine, d’une fonction est la valeur du codomaineassocié à l’abscisse 0. C’est le croisement de la fonction avec l’axe des x. Dans unefonction, il existe une seule valeur initiale.

Les extremums (maximum et minimum) correspondent à la valeur maximale et à lavaleur minimale du codomaine, si elles existent. S’il existe plusieurs maximum ouminimum pour une certaine fonction donnée, il y aura un maximum ou minimum absolue(le maximum, le minimum) et des maximums (minimums) relatifs.

Les signes d’une fonction

Une fonction est dite positive sur un intervalle donnée [a, b] , ⇔ pour tout x ∈ [a, b], on a f(x) ≥ 0 (la fonction est situé au dessus de l’axe des x)

Une fonction est dite négative sur un intervalle donnée [a, b], ⇔ pour tout x ∈ [a, b], on a f(x) ≤ 0 (la fonction est situé au dessous de l’axe des x)

Il est à noter que lorsqu’on est dans le contexte d’un problème il faut tenir compte ducontexte pour ajuster les différentes propriétés.

Ex : Une voiture accélère de 0 à 100 km/h suivant une courbe parabolique centrée à l’origine ( f(x) = x2 ) où x représente le temps en secondes et y la vitesse de la voiture. Quel est le domaine et l’image dans le contexte décris?

Dom f = et Codom f =Rôles des paramètres

L’étude des paramètres est une partie très importante dans l’étude des fonctions. Ellenous permet de représenter rapidement une fonction connaissant ses valeurs importantes.

Le paramètre aLe premier paramètre entraîne un changement d’échelle vertical en multipliant lesordonnées des couples de la fonction de base par a.

Le paramètre bLe deuxième paramètre entraîne un changement d’échelle horizontal en divisant lesabscisses des couples de la fonction de base par b.

** De plus, si les paramètres a et b sont négatifs, ils entraînent une réflexion par rapport à l’axe des x (a) et par rapport à l’axe des y (b).

Le paramètre hLe troisième paramètre entraîne une translation horizontale de h unités. Vers la gauchesi la valeur de h est négative et vers la droite si la valeur de h est positive.

Le paramètre kLe quatrième paramètre entraîne une translation verticale de k unités. Vers le haut si lavaleur du paramètre k est positive et vers le bas si la valeur de k est négative.

On peut donc déterminer les couples d’une fonction transformée de la façon suivante :

Erreur !

Exercices

1. Détermine la valeur des paramètres a, b, h, et k dans la règle donnée.

a) f(x) = -3 sin(x – 6) – 9b) f(x) = 4 log(3x + 6)c) f(x) = 5 | 2x – 5 | + 7

2. Si les couples suivants sont ceux d’une fonction de base, détermine les couples dela fonction transformée sachant que : a = 2, b = 4, h = 3 et k = 5

(2, 0) ; (-2, 6) ; Erreur ! ; Erreur ! 3. Sachant que le graphique ci-dessous est le graphique d’une fonction de base, construis le graphique de la fonction transformé en introduisant dans la règle les paramètres suivants : a = 1, b = -2, h = 2 et k = 1.

Les composés de fonctions et les opérations sur les fonctions.

Les composés de fonctions et les opérations sur les fonctions sont deux chosesdifférentes.

Composés d’une fonction

On appelle composée de f et g la fonction g ο f (se lit g rond f) qui à x fait correspondreg(f(x)) :

(g ο f)(x) = g (f(x))

Ex : soit les deux fonctions suivantes : f(x) = 5x – 9 et g(x) = x2 + 4x – 3

1) Détermine la composé g ο f .2) Détermine la composé f ο g .

Exercices

1. Soit les fonctions suivantes, détermine les composés demandés. f(x) = 3x – 4 g(x) = 2x2 – 3x h(x) = 4

a) f ο g b) g ο h c) g ο f d) g ο f

2. Détermine avec les mêmes fonction les images demandées.

a) ( f ο g )(2) b) g(f(0)) c) h(f(3)) d) (g ο h)(-1)

Les opérations sur les fonctions

Mis à part la composition de fonctions, on peut définir les opérations addition,soustraction, multiplication et division de fonctions.

Le domaine des fonctions somme, différence, produit et quotient est l’intersection desdomaines des fonctions sur lesquelles on opère. Cependant, la fonction quotient exclutde cette intersection la ou les valeurs du domaine qui annulent le dénominateur de cettefonction.

Ex : Soit les fonction suivantes : f(x) = x2 + 2 et g(x) = 2x – 4

1- Au départ les fonctions f et g n’ont aucune restrictions sur le domaine qui est lesréels.

2- Le domaine des fonctions f + g , f- g et f • g correspond aux réels.3- Par contre le domaine de la fonction Erreur ! a comme règle Erreur ! a

comme restriction 2x – 4 ≠ 0, ce qui implique que x ≠ 2. Il faudra donc exclure dudomaine la valeur 2. Le domaine est donc les réels sauf 2.

Exercices

1. Soit les fonctions suivantes : f(x) = 3x – 6 , g(x) = x2 + 4x et h(x) = 3. Donne la règle de la fonction qui correspond à :

a) f + g b) f – g c) Erreur ! d) Erreur ! e) f • g

2. Pour chacune des fonctions précédentes détermine le domaine.

3. Soit la fonction suivante : f(x) = 4x2 + 4x –3a) Définis deux fonctions g et h telles que f = g + hb) Définis deux fonctions i et j telles que f = i • jc) Définis deux fonctions k et l telles que f = k ο l

Fonction polynomiale de degré 0. (fonction constante)

Une fonction polynomiale de degré 0 est définie par : f(x) = k où k _ R. Son graphiquecartésien est une droite parallèle à l’axe des x. (pente nulle)

Inéquations

Les inéquations se présentent de la façon suivante.

y > k y ≥ k

y < k y ≤ k

Fonction polynomiale de degré 1. (fonction linéaire)

Variation directe

Une fonction linéaire de variation directe est définie par y = ax . Son graphiquecartésien est une droite oblique passant par l’origine. Le paramètre a est le taux devariation.

a > 0 a < 0

Variation partielle

Une fonction linéaire de variation partielle est définie par y = ax + b. Songraphique cartésien est une droite oblique ne passant pas par l’origine. Le paramètre aest le taux de variation et le paramètre b l’ordonnée à l’origine.

a > 0 a < 0

Résolution d’inéquations du premier degré.

On se rappelle que pour résoudre des équations à une variable, il suffit d’isoler la variableaprès avoir appliqué les règles de transformations des équations.

Ex : Résous les équations suivantes :

1) 2x – 6 = 4 2) Erreur ! x + Erreur ! = 4On utilise les mêmes règles de transformations pour résoudre des inéquations.Cependant, il y a deux exceptions.

Règles de l’addition et de la soustraction.

L’addition et la soustraction d’une même quantité aux deux membres d’une inéquationconserve le sens de cette inéquation.

Ex : Résous x – 6 > 4 x > 10 ( le signe de l’inéquation conserve le sens.)

Règles de la multiplication et de la division.

La multiplication ou la division des deux membres de l’inéquation par un nombrestrictement positif conserve le sens de cette inéquation.

Ex : Résous Erreur ! x ≤ 7 2x ≤ 21

x ≤ Erreur ! ( le signe de l’inéquation conserve le sens.)

Par contre, la multiplication ou la division des deux membres de l’inéquation par unnombre strictement négatif inverse le sens de cette inéquation

Ex : Résous -3x –5 ≥ 10 -3x ≥ 15 ( le signe de l’inéquation conserve le sens.) x ≤ -5 ( le signe de l’inéquation est inversé.)

Exercices : Résous en appliquant les règles de transformation des inéquations.

1) 2 ≤ 2(x + 3) - 8 2) -(6x + 2) > 16 – 3x 3) –2,5x(8 + x) < -x + 3(1,5x –4)

Graphiquement …

Il suffit d’être capable de dessiner une droite dans le plan cartésien et de déterminer larégion à hachurer.

- Si le signe de l’inéquation est < ou > on dessinera un droite pointillée et sile signe de l’inéquation est ≤ ou ≥ , une droite pleine.

- Si le signe de l’inéquation est < ou ≤ on hachurera la section sous la droiteet si le signe est > ou ≥ on hachurera la section au dessus de la droite.

* On peut valider notre graphique est testant un couple dans l’inéquation. Si on obtient un égalité vrai, le graphique est valide.

Ex : Donne l’ensemble solution des inéquations suivantes à l’aide d’un graphique.

-2 x > -y + 2

-2 y – 2 ≥ 6x

Fonction polynomiale de degré 2. ( fonction quadratique)

Une fonction quadratique est définie par y = ax2 + bx + c. Le graphique cartésienest une parabole. Voici un tableau résumé de quelques propriétés des fonctionspolynomiales de degré deux.

Fonction quadratique de laforme f(x) = ax2 + bx + c

( a ≠ 0)

Fonction quadratique de laforme f(x) = a(x – h)2 + k

( a ≠ 0)

Extremum de la fonction fErreur ! k

Coordonnées du sommet dela parabole

Erreur ! (h, k)

Équation de l’axe desymétrie

x = Erreur ! x = h

Ordonnée à l’origine c Valeur de la variabledépendante lorsque lavariable indépendante estégale à zéro.

Zéros de la fonction f Erreur ! h ± Erreur !

Les intervalles de croissanceet de décroissance, la signedes images, le domaine et

l’image d’une fonctionquadratique

Parabole ouverte vers le haut( a > 0 )

Parabole ouverte vers le bas( a < 0)

Domaine R RImage [k, + ∞ - ∞, k]- ∞, h] La fonction est décroissante La fonction est croissante[h, + ∞ La fonction est croissante La fonction est décroissante- ∞, x1] La fonction est positive La fonction est négative[x1, x2] La fonction est négative La fonction est positive[x2, + ∞ La fonction est positive La fonction est négative

Exercice : Soit la fonction définie de la façon suivante : 2(x + 3) = Erreur !

1) Détermine les coordonnées du sommet.

2) Détermine les coordonnées du point de rencontre de la courbe avec l’axe des y s’ily a lieu.

3) Trouve le minimum ou le maximum de f.

4) Trouve les zéros de la fonction s’il y a lieu.

5) Trace le graphe de f.

6) Trouve le domaine et l’image.

7) Quelles sont les intervalles de croissances et de décroissances de f.

Résolution d’inéquations du degré 2 (parabole).

Étapes à suivre…

1) Rendre l’un des membres de l’équation nulle.2) Déterminer les zéros, s’ils existent, à l’aide de la formule quadratique.3) Étudier le signe de l’expression quadratique selon le signe de a.

a  > 0 a < 0 

4) Déduire et vérifier l’ensemble solution. On utilise les crochets fermés

[] si on a les signes ≥ ou ≤ et les crochets ouverts ][ si on a les signes >ou <.

Ex : Résous algébriquement l’inéquation suivante. x2 + 24 > 11x

1) x2 + 24 > 11xx2 – 11 x + 24 > 0 (Rendre l’un des membres de l’équation nulle)

2) x1,2 = Erreur ! = Erreur ! = Erreur !

x1 = Erreur ! = 3 et x2 = Erreur ! = 8 (Déterminer les zéros à l’aide de laformule

quadratique.)

3) a  > 0 ⇒

4) Donc x2 – 11 x + 24 > 0 sur -∞ , 3[ U ]8, + ∞.

Exercices. Résous algébriquement les inéquations suivantes et représente l’ensemble solution graphiquement.

1) 27x ≥ 3x2 + 24

2) 2x2 < 2x + 12

Les autres fonctions réelles

La fonction valeur absolue

Rappelons d’abord que la valeur absolue d’un nombre réel x, notée |x| , donne lagrandeur d’un nombre en négligeant le signe. Ainsi |5| = 5 et |-5| = 5 . Une valeurabsolue est toujours positive ou nulle.

La fonction valeur absolue est définie par f(x) = a | b(x – h) | + k où (h, k) est lesommet de la fonction.

Influence des paramètres a et b.

Si paramètre a est négatif, on obtient une symétrie par rapport à l’axe des x . Leparamètre a modifie aussi l’ouverture :

- Si a > 1, l’ouverture diminue.- Si 0 < a < 1, l’ouverture augmente.- La même observation s’applique lorsque a est négatif.

Si le paramètre b seulement est négatif, on obtient une symétrie par rapport l’axe des y.Le paramètre b modifie aussi l’ouverture de la courbe :

- Si |b| > 1, alors l’ouverture diminue.- Si |b| < 1, alors l’ouverture augmente.

Zéros et résolution d’équations (valeur absolue)

Rechercher les zéros d’une fonction valeur absolue transformée consiste à rechercher lesvaleurs pour lesquelles f(x) = 0 ou a| x – h | + k = 0, c’est à dire résoudre une équationavec valeur absolue.

Résolution d’équations

La méthode de résolution algébrique est basée sur la définition de la valeur absolue.

Étapes à suivre… Ex : Détermine les zéros de la fonction f(x) = 2| x – 3 | -10

1) On isole la valeur absolue afin d’obtenir une équation équivalente plus simple. 2| x – 3 | - 10 = 0 2| x – 3 | = 10 | x – 3 | = 52) On applique la définition de la valeur absolue d’une expression algébrique après avoir repéré la valeur critique. Ici la valeur critique est 3.

a) Pour x – 3 < 0 , i.e. x < 3 b) Pour x – 3 ≥ 0, i.e. x ≥ 3

| x – 3 | = 5 | x – 3 | = 5 -(x – 3) = 5 x – 3 = 5

-x + 3 = 5 x = 8

-x = 2

x = -2

3) On donne la réponse. Les zéros de la fonction f sont : -2 et 8.

Attention, si j’obtiens un valeur absolue du côté gauche de l’équation et du côtédroit un valeur négative ( Ex : | x – 5 | = -7 ), la fonction ne possède pas de zéros.

Exercices. Détermine les zéros des fonction suivantes :

1) f(x) = -2| x – 12| - 20 2) g(x) = 2| x – 4| - 8 3) h(x) = 2| x – 2| + 2x

Propriétés de la fonction valeur absolue :

a > 0 (ouverte vers le haut) a < 0 (ouverte vers le bas)

Domaine : R Domaine : RImage : [k, + ∞ Image : - ∞, k]Zéros : x1 et x2 Zéros : x1 et x2

Maximum : Aucun Maximum : kMinimum : k Minimum : AucunLa fonction est croissante : [h, + ∞ La fonction est croissante : - ∞, h]La fonction est décroissante : - ∞, h] La fonction est décroissante : [h, + ∞La fonction est positive : - ∞, x1] et [x2 , + ∞ La fonction est positive : [x1, x2]La fonction est négative : [x1, x2] La fonction est négative: - ∞, x1] et [x2 ,+ ∞

Ex : Soit la fonction définie de la façon suivante : f(x) = -2 | x – 2| + 5

1) Détermine les coordonnées du sommet.

2) Détermine les coordonnées du point de rencontre de la courbe avec l’axe des y s’ily a lieu.

3) Trouve le minimum ou le maximum de f.

4) Trouve les zéros de la fonction s’il y a lieu.

5) Trace le graphe de f.

6) Trouve le domaine et l’image.

7) Quelles sont les intervalles de croissances et de décroissances de f.

Les fonctions réelles (suite)

La fonction valeur absolue (suite..)

Passage de la règle 4 paramètres à la règle 3 paramètres.

La règle d’une fonction valeur absolue transformée s’exprime sous la forme suivante :f(x) = a|b(x – h)| + k. Elle peut cependant être exprimée à l’aide de trois paramètresseulement, grâce à une propriété des valeurs absolues. Cette propriété est la suivante :

f(x) = a|b(x – h)| + k ⇔ f(x) = a | b | • | x – h | + k

Ex : Exprime sous la forme canonique à l’aide trois paramètres la fonction suivante.

f(x) = Erreur ! | 4 – 6x | + 3 f(x) = Erreur ! | -6x + 4| + 3

f(x) = Erreur ! | -6 | • | x – Erreur ! | + 3f(x) = 3 | x – Erreur ! | + 3 où a = 3, h = Erreur ! et k = 3

Recherche de la règle à 3 paramètres d’une valeur absolue.

1. À partir du sommet et d’un point.

Pour déterminer la règle d’une fonction valeur absolue, il suffit de rechercher lesvaleurs de ses paramètres.

Étapes à suivvre…

1- Remplacer dans la fonction à trois paramètres les paramètres connus et isoler le paramètre a .2- Réécrire la fonction en remplaçant les paramètres a, h et k.

Ex : Détermine la règle de la fonction valeur absolue passant par le point (5, 8) et qui ason sommet en (3, 5).

1- f(x) = a | x – h | + k 2- f(x) = Erreur ! | x – 3 | + 5

8 = a | 5 - 3 | + 5 8 = 2a + 5

3 = 2a a = Erreur !Exercices. Détermine la règle des fonctions valeur absolue passant par les point suivants :

1- S(-4, 4) et P(-2, 1) 2- S(-4, 0) et P(-1,5, -5)

2. À partir de trois points.

Il faut déterminer la valeur des paramètres a, h et k.

Étapes à suivre…

1- Déterminer la valeur du paramètre a. Cette valeur correspond aux pentes des deux branches de la valeur absolue. (a et –a)

a < 0 a > 0

On détermine la pente d’une droite de la façon suivante : a = Erreur !

** Attention : Il faut choisir deux points qui sont situés sur la même droite.

2- Avec ces deux pentes, on détermine les équations de ces deux droites en remplaçant un point connu de la droite dans chacune des équations.3- On résout le système d’équations obtenus afin de déterminer le sommet de la fonction valeur absolue.

4- On remplace le sommet et la valeur du paramètre a dans la fonction à trois paramètres.

Ex : Détermine la règle de la fonction valeur absolue suivante :

1- Prenons les points (3, 3) et (2,0)

a = Erreur ! = Erreur ! = Erreur ! = 3

2- A- L’équation de la droite décroissante se détermine de la façon suivante :

y = ax + b où a = -3 et passant par le point (0,0)

0 = -3(0) + b ⇔ b = 0 l’équation est : y = -3x

B- L’équation de la droite décroissante se détermine de la façon suivante :

y = ax + b où a = 3 et passant par le point (2,0)

0 = 3(2) + b ⇔ b = -6 l’équation est : y = 3x -6

3- Il faut résoudre le système d’équations suivant afin de déterminer le sommet.

y = -3x Par comparaison… -3x = 3x –6y = 3x – 6 -6x = -6

x = 1

En remplaçant dans une des deux équations de départ on obtient l’ordonnée dusommet.

y = -3xy = -3(1) = -3 Le sommet (h, k) est : (1, -3)

4- f(x) = 3 | x – 1| -3

Exercices : Trouve la règle de la fonction valeur absolue suivante :

Résolutions d’inéquations(valeur absolue)

L’ensemble solution d’une inéquation avec valeur absolue peut-être :

1- vide. (aucune solution)2- un singleton. (une seule solution)3- un intervalle ou une région d’intervalles.

Étapes à suivre… Détermine l’ensemble solution de l’inéquation 2| x – 4 | + 3 < 7

1- Isoler la valeur absolue. 2| x – 4 | + 3 < 7 2| x – 4 | < 4 | x – 4 | < 2

2- Déterminer la région (intérieure ou extérieure) selon la forme de l’inéquation.< ou ≤ (région intérieure) et > ou ≥ (région extérieure)

Ici, c’est la région intérieure. La valeur critique est 4.

3- Éliminer la valeur absolue en appliquant la définition de la valeur absolue etrésoudre les deux inéquations obtenues.

a- Pour x – 4 < 0 ou x < 4 b- Pour x – 4 ≥ 0 ou x ≥ 4

-(x – 4) < 2 x – 4 < 2 -x + 4 < 2 x < 6 -x < -2 x > 2

On a donc 2 > x > 4 et 4 ≤ x < 6

4- On déduit l’ensemble solution : ]2, 4 [ U [4, 6 [ = ] 2, 6 [

Exercices : Résous dans R les inéquations suivantes :

1- | x – 7 | - 4 < 2 2- Erreur ! | x + 3 | -6 > 2

La fonction racine carré

La fonction racine carré est définie de la façon suivante : f(x) = a b(x – h) + koù (h, k) est le sommet et b = 1 ou b = -1.

Influences des paramètres

Le paramètre a provoque un changement d’échelle verticale de facteur a. Si a estnégatif : symétrie par rapport à l’axe des x. Le paramètre b provoque un changementd’échelle horizontale de facteur 1/b. Si b est négatif : symétrie par rapport à l’axe des y.

Graphe cartésien selon la positivité et la négativité des paramètres a et b.

Propriétés de la fonction racine carré.

Règle f(x) = a (x – h) + k ou f(x) = a –(x – h) + k avec a ≠ 0Graphique Demi-parabole de sommet (h, k)Dom f [h, + ∞ si b =1 ou - ∞, h] si b = -1Ima f [k, + ∞ si a > 0 ou - ∞, k] si a < 0Zéro Il existe seulement un zéro si a et k sont de signe contraireExtremum k (maximum ou minimum)Variation Toujours croissante si a et b sont de même signe, ou toujours décroissante

si a et b sont de signe contraireSigne Toujours le même signe si elle n’a pas de zéro.

Résolutions d’équations et zéros(fonction racine carré)

Pour résoudre une équation irrationnelle il suffit de suivre les étapes suivantes :

Étapes à suivre…

1- Isoler le terme contenant le radical dans l’un des membres de l’équation.(Si j’obtiens un racine carrée égale à un nombre négatif ⇒ aucune solution)

2- Poser toutes les restrictions ( je ne peux extraire la racine d’un nombrenégatif) f(x) = x , x ≥ 0

3- Élever chaque membre de l’équation au carré afin d’éliminer le radical.4- Résoudre l’équation obtenue.5- Vérifier si les valeurs obtenues respectent les restrictions.

Ex : Détermine le zéro de la fonction suivante : f(x) = 2 x + 3 -4

1- 2 x + 3 -4 = 0

x + 3 = 22- Restrictions : x + 3 ≥ 0 alors x ≥ -33- x + 3 = 2 ( x + 3 )2 = 22

4- x + 3 = 4 x = 7

6- La solution est x = 7 , car elle respecte la restriction x ≥ -3.

Exercices : Résous algébriquement …

1- 8 – x - 2 = 4 2- 2 x + 4 –1 = x

Signes et inéquations ( x ≥ 0 ou x ≤ 0)

Pour déterminer le signes d’une fonction racine carrée, il suffit d’esquisser un graphiqueà partir des coordonnées du sommet et du zéro, s’il existe et de lire les intervalles dudomaine situés de part et d’autre du zéro.

Ex : Détermine les coordonnées du sommet, le zéro s’il y a lieu, le domaine, l’image, lesintervalles de croissance et trace le graphique de la fonction suivante : f(x) = -2 2x - 3 +5

Sommet :

Domaine :

Image :

Intervalles de croissances :

Zéro :

Recherche de la règle

Il est facile de retrouver la règle d’une fonction valeur absolue si on connaît lescoordonnées du sommet (h, k) et celles d’un autre point.

Étapes à suivre…

1- On substitue les valeurs de h et de k dans la règle y = a b(x – h) + k avec b = 1 si la demi-parabole est à droite de son sommet ou avec b = -1 si elle est à gauche.2- On remplace x et f(x) par les coordonnées de l’autre point connu et on calcule la valeur du paramètre a.

Exercices : Détermine la règle des fonctions racine carrée passant par les points suivants :

1- S(-2, -3) et P(7, 4) 2- S(8, -5) et P( -1,7)

La fonction rationnelle

On appelle fonction rationnelle, toute fonction résultant du quotient de deuxpolynômes. La fonction rationnelle transformée se définit de la façon suivante :

f(x) = Erreur ! + k où (h, k) est le croisement des deux asymptotes.

Propriétés de la fonction rationnelles transformées.

Règle f(x) = Erreur ! + k ou f(x) = Erreur !Graphique Deux branches d’hyperbole asymptotiques à deux droites, l'une

verticale et l’autre horizontale, dont les équations sont :

- Asymptote verticale : x = h- Asymptote horizontale : y = k

Domaine R \ {h}Codomaine R \ {k}Zéro Seulement si l’asymptote horizontale n’est pas l’axe des x ou k ≠ 0.Extremum Aucun extremum.Variation Décroissante ou croissante sur ses deux intervalles.Signe Négative pour la partie du domaine située sous l’axe des x et positive

pour le reste.

Passage d’une forme à l’autre

Erreur !

1. f(x) = Erreur ! + k ⇒ f(x) = Erreur !

Étapes à suivre… Transforme f(x) = Erreur ! + 4 sous la forme f(x) = Erreur !

1-Effectuer l’addition des deux expressions en les portant au même dénominateur.

f(x) = Erreur ! + 4f(x) = Erreur !

2-Opérer sur l’équation afin d’obtenir la forme voulue.f(x) = Erreur !f(x) = Erreur !

2. f(x) = Erreur ! ⇒ f(x) = Erreur ! + k

Étapes à suivre… Transforme f(x) = Erreur ! sous la forme f(x) = Erreur ! + k

Il suffit d’appliquer l’algorithme de la division… Le résultat de la division sera le paramètre k et le reste le paramètre a.

f(x) = Erreur ! 4x - 10 x - 3 -(4x – 12) 4 valeur du paramètre k

2 reste (paramètre a)

Alors... f(x) = Erreur ! + 4

Exercices :1- Transforme f(x) = Erreur ! sous la forme canonique et retransforme la par la suite sous sa forme générale.

2- Transforme f(x) = Erreur ! - 5 sous la forme générale et retransforme la par la suite sous sa forme canonique.

Zéros et équations

Que la fonction soit sous sa forme générale ou canonique, pour résoudre une fonctionrationnelle, il suffit d’isoler la variable x.

Ex : Résous les fonction rationnelles suivantes :

1- Erreur ! + 4 = 8 2- Erreur ! = 2

Signes et inéquations

On fera l’étude des signes et des inéquations à partir du zéro et du graphique.

Ex : Détermine pour quelles valeurs de x les fonctions suivantes sont supérieures à 4.

1- Erreur ! > 4 2- Erreur ! + 3 > 4

Ex : Pour les deux fonctions suivantes détermine : le domaine, l’image, l’équation del’asymptote verticale, l’équation de l’asymptote horizontale, les points de rencontre avecles axes et trace le graphique cartésien.

f(x) = Erreur ! f(x) = 2 + Erreur !