lehrplanplus gymnasium mathematik · gesellschaft für didaktik der mathematik€61 (1995),...

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FachprofileGymnasium: Mathematik1 Selbstverständnis des Faches Mathematik und sein Beitrag zur Bildung

Die Mathematik hat sich über Jahrtausende als gemeinsame Kulturleistung der Menschheit entwickelt. Ursprünglich aus Fragen des Alltags entstanden, erarbeitet sie auch aus sich selbst heraus abstrakte Begriffe, Strukturen und Theorien. Dadurch bietet sie Ideen und Strategien zur Lösung verschiedenster Fragestellungen an und liefert fundamentale Beiträge zur Gestaltung und zur Beschreibung unserer Welt. Mathematische Kompetenzen schaffen wesentliche Voraussetzungen für die Erkenntnisgewinnung in unterschiedlichsten Disziplinen: Mathematik ist nicht nur ein charakteristischer Teil der Sprache der Naturwissenschaften und der Technik; mathematische Methoden dienen auch, z. B. in Wirtschaft und Politik sowie in den Sozialwissenschaften, der Objektivierung und der Strukturierung komplexer Sachverhalte. So gewonnene Aussagen bilden oft eine maßgebliche Basis für Bewertungen und Entscheidungen.

Orientierung in diesen vielen Bereichen des Lebens zu geben, ist ein wesentlicher Beitrag des Mathematikunterrichts am Gymnasium sowohl zur Allgemeinbildung als auch zur Alltagskompetenz der Schülerinnen und Schüler. Daher ist er nicht zuletzt daraufhin angelegt, „die folgenden drei Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen:

1. Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,

2. mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,

3. in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben.“

Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, in: Mitteilungen derGesellschaft für Didaktik der Mathematik 61 (1995), S. 37–46, hier S. 37.

Zentrale Aufgabe des Mathematikunterrichts am Gymnasium ist es, dass die Schülerinnen und Schüler sich im Rahmen des Aufbaus mathematischer Kompetenzen konkrete mathematische Kenntnisse und Arbeitsweisen aneignen und dabei auch diese Grunderfahrungen machen können, wodurch sie auch allgemeinere Einsichten in Prozesse des Denkens und der Entscheidungsfindung gewinnen, die für eine aktive und verantwortungsbewusste Mitgestaltung der Gesellschaft von Bedeutung sind. Dabei wird den jungen Menschen auch deutlich, dass Mathematik ein hilfreiches Werkzeug zur Analyse und zur Erkenntnisgewinnung sein kann, das letztlich auf

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menschlicher Kreativität beruht, und dass sie z. B. wegen ihrer ästhetischen Komponente auch einen Wert an sich darstellt.

Kennzeichen mathematischer Arbeitsweise sind präziser Sprachgebrauch, Entwicklung klarer Begriffe, folgerichtige Gedankenführung und Argumentation, systematisches Vorgehen sowie das Erfassen von Zusammenhängen. Durch Übung in diesen Arbeitsweisen setzen sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit dem eigenen Denken auseinander und erweitern ihr Abstraktionsvermögen. Sie beschäftigen sich mit verschiedenen Formen mathematischer Betrachtungs- und Vorgehensweisen, wodurch sie ihre geistige Beweglichkeit und ihre Offenheit für unterschiedliche Fragestellungen und Sichtweisen weiterentwickeln. Beim Entdecken von Gesetzmäßigkeiten sowie beim Vergleichen und Reflektieren von Lösungswegen verfeinern sie ihr Repertoire an Denk- und Handlungsstrategien. Indem sie Ergebnisse und eingesetzte Strategien überprüfen und bewerten, entwickeln sie auch ihre Urteilsfähigkeit weiter und bauen bei der exakten, systematischen Analyse einer Fragestellung, wie sie bei den meisten mathematischen Problemen nötig ist, ihre Fähigkeit aus, einen Sachverhalt fundiert und unvoreingenommen einzuschätzen.Daneben wird durch die Beschäftigung mit mathematischen Fragestellungen die grundsätzliche Bereitschaft der Schülerinnen und Schüler zu geistiger Betätigung ausgebildet und ihre Konzentrationsfähigkeit gefördert. Beim Lösen mathematischer Probleme sind Ausdauer, Durchhaltevermögen und Zielstrebigkeit erforderlich – Eigenschaften, die nicht nur im täglichen Leben, sondern auch für die erfolgreiche Beschäftigung mit Wissenschaft benötigt werden. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler auch, sorgfältig und genau zu arbeiten, beispielsweise beim Zeichnen und Konstruieren oder beim Arbeiten mit Termen, und entwickeln Kreativität und Fantasie, etwa beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen.

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2 Kompetenzorientierung im Fach Mathematik

2.1 Kompetenzstrukturmodell

Das dem Lehrplan zugrunde liegende Kompetenzstrukturmodell orientiert sich an den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Primarstufe, für den Mittleren Schulabschluss und für die Allgemeine Hochschulreife (2003, 2004 und 2012) der Kultusministerkonferenz. Es unterscheidet zentrale Aspekte mathematischen Arbeitens, die als prozessbezogene allgemeine mathematische Kompetenzenbeschrieben werden (äußerer Ring), und konkrete mathematische Inhalte, die nach Gegenstandsbereichen geordnet sind (innere Felder).

Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in aktiver Auseinandersetzung mit den mathematischen Inhalten – also nicht isoliert davon – erworben und angewandt. Entsprechend lassen sich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen vielfältig inhaltsbezogen konkretisieren, wobei in der Regel an jedem Fachinhalt alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen entwickelt werden können.

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2.2 Prozessbezogene Kompetenzen

Argumentieren

Diese Kompetenz ist sowohl für das Entwickeln als auch für das Verstehen, Erläutern und Bewerten mathematischer Aussagen erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler müssen dazu mit verschiedenen Begründungsmustern (z. B. Widerlegen mit Gegenbeispiel, indirekter Beweis, Kausalkette) vertraut werden.

Probleme lösen

Diese Kompetenz wird immer dann benötigt, wenn bei einer Aufgabe die Lösungsstruktur nicht offensichtlich ist oder mehrere aufeinander aufbauende Lösungsschritte notwendig sind, die Bearbeitung der Aufgabe also ein strategisches Vorgehen erfordert. Die Schülerinnen und Schüler müssen folglich über Strategien zum Entwickeln von Lösungsideen sowie zum Ausführen geeigneter Lösungswege verfügen (z. B. Verwenden einer Skizze, Figur, Tabelle; Einzeichnen von Hilfslinien; systematisches Probieren; Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten; Zerlegen oder Ergänzen; Nutzen von Symmetrien oder Analogien).

Modellieren

Diese Kompetenz ist erforderlich, um einen realitätsbezogenen Sachverhalt zu verstehen, diesen zu strukturieren und schließlich die zugehörige Aufgabenstellung zu lösen. Insbesondere müssen dazu die Möglichkeiten der Mathematik hinsichtlich der Beschreibung der Realität erkannt und beurteilt werden. Eine Modellierung besteht in der Regel aus folgenden Teilschritten: Verstehen des Sachverhalts – Strukturieren und Vereinfachen des Sachverhalts – Übertragen des Sachverhalts in ein mathematisches Modell – Lösen der Aufgabe im mathematischen Modell – Interpretation und Reflexion des Ergebnisses im Sachzusammenhang (ggf. auch Diskussion von Grenzen des Modells).

Darstellungen verwenden

Diese Kompetenz wird benötigt, um Darstellungen zu erstellen oder zu verändern, zwischen verschiedenen Darstellungsformen zu wechseln und mit vorgegebenen Darstellungen durchdacht umzugehen (insbesondere vorgegebenen Darstellungen Informationen zu entnehmen, diese zu interpretieren oder zu bewerten). Unter Darstellungen werden unter anderem Skizzen, Zeichnungen, Abbildungen, Fotos,

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Tabellen, Diagramme und Graphen, aber auch Formeln und sprachliche Darstellungen verstanden.

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Diese Kompetenz umfasst folgende mathematische Fähigkeiten und Fertigkeiten: Anwenden von Definitionen, Regeln, Algorithmen und Formeln; formales Arbeiten mit Zahlen, Größen, Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen und Vektoren; Ausführen von Lösungs- und Kontrollverfahren; Anwenden geometrischer Grundkonstruktionen; Verwenden von Hilfsmitteln einschließlich geeigneter Software. Diese Kompetenz beinhaltet auch mathematisches Fakten- und Regelwissen, einschließlich des Wissens über die Unterscheidung von mathematischen Konventionen (z. B. Punkt vor Strich), Axiomen und begründbaren Aussagen.

Kommunizieren

Diese Kompetenz ist für die Bearbeitung nahezu jeder Aufgabe erforderlich. Sie besitzt sowohl eine passive als auch eine aktive Komponente. Einerseits müssen schriftliche Texte oder mündliche Aussagen mit mathematischen Inhalten verstanden, andererseits Überlegungen oder Ergebnisse schriftlich oder mündlich unter Verwendung der Fachsprache in angemessener Form dargestellt und präsentiert werden können.

2.3 Gegenstandsbereiche

Zahlen und Operationen

Dieser Gegenstandsbereich thematisiert zum einen die Darstellung von Zahlen sowie Zahlbereichserweiterungen (bis zur Verallgemeinerung des Zahlbegriffs durch Tupel), zum anderen Rechengesetze sowie Verfahren, denen Algorithmen zugrunde liegen (z. B. das Lösen eines Gleichungssystems).

Größen und Messen

Ausgehend von der Längen-, der Flächen- und der Volumenmessung steht in diesem Gegenstandsbereich das Grundprinzip des Messens im Vordergrund, das sukzessive

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auch auf Größen wie beispielsweise Änderungsraten und stochastische Kenngrößen angewandt wird, die nur im weiteren Sinne als Ergebnisse von Messprozessen aufgefasst werden können.

Raum und Form

Dieser Gegenstandsbereich befasst sich mit dem Erkennen und Beschreiben geometrischer Strukturen in Ebene und Raum.

Funktionaler Zusammenhang

Dieser Gegenstandsbereich zielt darauf ab, funktionale Vorstellungen und Denkweisen aufzubauen. Dabei erstreckt sich das Spektrum von der Einführung von Variablen bis hin zu Methoden der Analysis und dem Konzept der Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Daten und Zufall

Dieser Gegenstandsbereich vernetzt Begriffe und Methoden zur Beschreibung und Modellierung zufallsabhängigen Geschehens mit solchen zur Aufbereitung und Interpretation von statistischen Daten und umfasst dabei auch Aspekte der beurteilenden Statistik.

2.4 Förderung von Kompetenzen im Unterricht

Von entscheidender Bedeutung für die Entwicklung mathematischer Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten ist es, die Schülerinnen und Schüler zu vertieftem Nachdenken und intensiver Auseinandersetzung mit den Lerninhalten anzuregen. Diese kognitive Aktivierung ist Voraussetzung für den Erwerb mathematischer Kompetenzen. Wesentlich hierfür sind die eingesetzten Fragen und Aufgaben sowie deren Einbettung in den Unterricht. Gute Aufgaben bieten ein breites Spektrum im Hinblick auf die Art der Fragestellung, den Kontext und das Anforderungsniveau, sie wecken Interesse und regen die Schülerinnen und Schüler zur Reflexion sowie zur selbständigen Beschäftigung mit Mathematik an.

Kognitive Aktivierung lässt sich sowohl z. B. in fragend-entwickelnden Unterrichtsphasen als auch in anderen Arbeits- oder Sozialformen erreichen und ist generell weitgehend methodenunabhängig. Die Variation der Unterrichtsmethoden bietet jedoch einen

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günstigen Rahmen für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen und hat positive Effekte auf die Motivation der Lernenden.

Kennzeichen eines guten Mathematikunterrichts ist eine Unterrichtsatmosphäre, die es begünstigt, dass sich die Schülerinnen und Schüler von mathematischen Fragestellungen angesprochen fühlen. Die Berücksichtigung von Vorerfahrungen sowie ein altersgemäßes Anknüpfen an die Lebenswelt der Kinder und Jugendlichen sind dafür unerlässlich. Erfolgreicher Mathematikunterricht setzt Prinzipien wie kumulatives, vernetzendes und entdeckendes Lernen, systematisches Wiederholen sowie Lernen aus Fehlern um. Die verschiedenen Unterrichtsinhalte müssen von den Schülerinnen und Schülern über die Jahre hinweg bewusst aufeinander bezogen und miteinander verknüpft werden können. Dadurch wird ihnen ihr persönlicher Lernzuwachs deutlich, wodurch auch ihre Motivation wächst.

Guter Mathematikunterricht muss dabei auch die Entwicklung grundlegender manueller mathematischer Fertigkeiten sowie die Festigung grundlegender Kenntnisse im Blick haben und stellt deshalb regelmäßig geeignete Aufgaben bereit, die von den Schülerinnen und Schülern ohne elektronische Hilfsmittel (z. B. Taschenrechner, Software) bzw. ohne Merkhilfe oder Formelsammlung zu bearbeiten sind.

3 Aufbau des Fachlehrplans im Fach Mathematik

Der Fachlehrplan Mathematik gliedert sich in jeder Jahrgangsstufe in thematische Einheiten, die sog. Lernbereiche, die nach der jeweiligen inhaltlichen Schwerpunktsetzung benannt sind. Innerhalb dieser Lernbereiche befinden sich die ausformulierten Kompetenzerwartungen, in denen die Inhalte, anhand derer die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen erwerben, integriert ausgewiesen sind. So wird eine stärkere Orientierung an den Kompetenzerwartungen sowie die Verknüpfung von prozessbezogenen Kompetenzen und Inhalten unterstützt. Bei den einzelnen Formulierungen stehen jeweils bestimmte prozessbezogene Kompetenzen im Vordergrund. Da jedoch die allgemeinen mathematischen Kompetenzen immer im Verbund erworben werden, soll in jedem Lernbereich der Aufbau aller prozessbezogenen Kompetenzen gefördert werden.

Die fachlichen Inhalte lassen sich in der Regel jeweils einem Gegenstandsbereich zuordnen, wobei die fünf Gegenstandsbereiche den Fachlehrplan spiralförmig durchziehen und auch eng miteinander verknüpft sind. Ziel dieses Ansatzes ist kumulatives Lernen. Damit sollen sowohl das Verständnis für grundlegende mathematische Begriffe und Konzepte als auch das themenübergreifende, vernetzende Denken nachhaltig gefördert werden.

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In den einzelnen Jahrgangsstufen setzen sich die Schülerinnen und Schüler im Wesentlichen mit den folgenden Fachinhalten auseinander:

• Jahrgangsstufe 5natürliche und ganze Zahlen, Zählprinzip und Baumdiagramm, geometrische Grundbegriffe, Größen, Flächeninhalt, Schlussrechnung

• Jahrgangsstufe 6rationale Zahlen, Prozentrechnung, Häufigkeiten, Daten und Diagramme, Flächeninhalt und Volumen

• Jahrgangsstufe 7Terme mit Variablen, lineare Gleichungen, Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Figurengeometrie

• Jahrgangsstufe 8lineare und elementare gebrochen-rationale Funktionen, lineare Gleichungssysteme, Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse, Kreis, Strahlensatz und Ähnlichkeit

• Jahrgangsstufe 9reelle Zahlen, quadratische Gleichungen und Funktionen, Potenzfunktionen, Satz des Pythagoras, geometrische Aspekte der Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens), Raumgeometrie (Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel), zusammengesetzte Zufallsexperimente

• Jahrgangsstufe 10exponentielles Wachstum, Logarithmus, bedingte Wahrscheinlichkeit, funktionale Aspekte der Trigonometrie, Ausbau der Funktionenlehre (insbesondere ganzrationale und gebrochen-rationale Funktionen, Grenzwerte)

• Jahrgangsstufen 11 und 12Differential- und Integralrechnung, spezielle Funktionstypen, Koordinaten- und Vektorgeometrie im Raum, Binomial- und Normalverteilung, beurteilende Statistik

4 Zusammenarbeit mit anderen Fächern

Die Mathematik steht aufgrund ihrer Universalität in enger Beziehung zu einer Vielzahl anderer Disziplinen. Sie ist unverzichtbar für Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft, spielt aber auch beispielsweise in der Psychologie, Soziologie, Pädagogik oder in der Medizin eine wichtige Rolle. Dementsprechend gibt es auch in der Schule vielfältige Verknüpfungen der Mathematik mit anderen Fächern; insbesondere mit der Physik liegt bei einer Fülle von Themen eine enge Kooperation nahe. Mit dem Fach Informatik hat die Mathematik u. a. die Konzepte Algorithmus, Funktion und Graph sowie die Methoden des Abstrahierens und des Modellierens gemeinsam. Aber auch mit der Biologie und der Chemie bieten sich gemeinsame Unterrichtsvorhaben an. Bei der Zusammenarbeit mit den

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gesellschaftswissenschaftlichen Fächern stehen Diagramme und Graphiken sowie statistische Methoden im Vordergrund; das Fach Wirtschaft und Recht greift zudem etwa auf Elemente der Funktionenlehre zurück. Neben konkreten thematischen Verbindungen können Einblicke in die Geschichte der Mathematik und in die Biografien von Mathematikerinnen und Mathematikern Anknüpfungspunkte zu anderen Disziplinen aufzeigen.

5 Beitrag des Faches Mathematik zu den übergreifenden Bildungs- und Erziehungszielen

Medienbildung/Digitale Bildung

Darstellungen von Informationen und Zusammenhängen, z. B. in Diagrammen, Statistiken und Graphiken, spielen im Mathematikunterricht eine zentrale Rolle. Die Schülerinnen und Schüler lernen von der Unterstufe an, solche medialen Darstellungen (z. B. in der Zeitung) kritisch zu reflektieren und zu bewerten. Gleiches gilt für den Einsatz technischer Hilfsmittel wie Taschenrechner oder einschlägiger Software (z. B. dynamische Geometriesoftware, Funktionenplotter, Tabellenkalkulation, Computeralgebrasystem). Hier steht neben dem Erlernen einer sachgerechten Nutzung von Informations- und Kommunikationstechnologie und dem Erleben außergewöhnlicher Einblicke insbesondere die Frage im Vordergrund, wann der Einsatz sinnvoll ist und welche Grenzen zu beachten sind.

Sprachliche Bildung

Mathematik wird aufgrund ihrer hochentwickelten, international einheitlich verwendeten Symbolik oft als eigene Sprache bezeichnet. In der Schule üben sich die Schülerinnen und Schüler jedoch nicht nur in der Verwendung dieser Symbolik, sondern verbessern insbesondere beim Beschreiben und verbalen Begründen mathematischer Zusammenhänge auch ihre allgemeine Sprachkompetenz. Das Gespür für die Struktur der deutschen Sprache wird insbesondere beim sprachlichen Analysieren von Aussagen (z. B. Unterscheiden von Voraussetzung und Behauptung, Satz und Kehrsatz) weiterentwickelt; das exakte und logische Formulieren von Argumentationsketten fördert u. a. eine prägnante Ausdrucksweise. Durch einen sprachsensiblen Unterricht werden die Voraussetzungen dafür geschaffen, dass alle Schülerinnen und Schüler (insbesondere auch diejenigen mit Deutsch als Zweitsprache) dem Unterricht angemessen folgen, fachliche Kompetenzen erwerben und sich unter Benutzung der Fachsprache über fachliche Inhalte austauschen und verständigen können.

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Kulturelle Bildung

Hochentwickelte Kulturen haben sich seit jeher durch ein hohes Ansehen und einen entsprechenden Stellenwert der Mathematik ausgezeichnet. Im Mathematikunterricht gewinnen die Schülerinnen und Schüler einen Einblick in kulturelle Leistungen, die Grundlage für wesentliche Fortschritte, z. B. in der Astronomie, der Technik und der Architektur, waren. Die Beiträge bedeutender Mathematikerinnen und Mathematiker bereichern den Unterricht nicht nur in der Geometrie (z. B. Pythagoras, Thales), sondern in allen mathematischen Teildisziplinen (z. B. Leibniz, Newton in der Infinitesimalrechnung) und zeigen das gemeinsame Streben der Menschen nach Erkenntnisgewinn auf.

Alltagskompetenz und Lebensökonomie, Bildung für Nachhaltige Entwicklung (Umweltbildung, Globales Lernen) und Ökonomische Verbraucherbildung

Im Rahmen des Mathematikunterrichts erwerben die Schülerinnen und Schüler eine Vielzahl mathematischer Kenntnisse und Strategien zur verständigen Teilhabe an wichtigen gesellschaftlichen Fragestellungen sowie zur Bewältigung von Alltagssituationen. So sind z. B. Wachstumsvorgänge, die Arbeit mit Diagrammen und Statistiken, die Prozent- und Zinsrechnung sowie die Grundlagen der Funktionenlehre zentrale Themen im Mathematikunterricht, mit denen sich die Schülerinnen und Schüler vertieft auseinandersetzen. Dies befähigt sie, typische Fragestellungen aus Ökonomie und Ökologie (z. B. im Zusammenhang mit dem Klimaschutz), aus Finanzwelt und Versicherungswesen sowie aus der Politik (z. B. im Zusammenhang mit Wahlen und Umfragen) zu beantworten, als verantwortungsvolle Bürgerinnen und Bürger Informationen aus diesen Bereichen kritisch zu hinterfragen und dabei sowohl ihre Einstellungen zu überdenken als auch ihr Handeln zu optimieren.

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Grundlegende Kompetenzen (Jahrgangsstufenprofile)Gymnasium: Grundlegende Kompetenzen zum Ende der Jahrgangsstufe 5Mathematik

• Die Schülerinnen und Schüler verfügen über eine tragfähige Grundvorstellung vonganzen Zahlen und rechnen mit ganzen Zahlen sicher in den Grundrechenarten;dabei wenden sie Rechenregeln an (insbesondere Punkt-vor-Strich), nutzenRechenvorteile und schätzen die Richtigkeit ihrer Ergebnisse durchÜberschlagsrechnungen ab.

• Sie erkennen die Struktur einfacher Terme und beschreiben diese mithilfe vonFachbegriffen.

• In Sachzusammenhängen bestimmen sie die Anzahl von Möglichkeiten mithilfevon Baumdiagrammen und Zählprinzip, z. B. die Anzahl der Möglichkeiten für dieZusammenstellung eines Menüs aus mehreren gegebenen Gängen.

• Sie messen und zeichnen Winkel bis zu einer Größe von 360° und stellengeometrische Objekte (u. a. Strecken, Geraden und Kreise) im kartesischenKoordinatensystem dar.

• Die möglichen Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Kreisen beschreibensie mithilfe von Fachbegriffen. Sie unterscheiden besondere Vierecke, wie z. B.Raute und Parallelogramm, hinsichtlich deren Eigenschaften.

• Sie nutzen das Prinzip des Messens situationsgerecht, gehen mit den im Alltagverwendeten Größen Geld, Länge, Masse und Zeit reflektiert und rechnerischsicher um und lösen hierzu Sachaufgaben (auch zum Maßstab); dabei greifen sieauch auf die Schlussrechnung, insbesondere den Dreisatz, zurück.

• Sie gehen verständig mit Flächeneinheiten um, nutzen flexibel die Formeln fürUmfang bzw. Flächeninhalt von Rechtecken und bestimmen dabei auchFlächeninhalte, die durch gezieltes Zerlegen oder Ergänzen der jeweilsbetrachteten Figur auf die Inhalte von Rechtecken zurückgeführt werden können.

• Sie argumentieren mithilfe von Gegenbeispielen.• Sie nutzen bei der Lösung von Problemstellungen geeignete Strategien

(insbesondere systematisches Probieren, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten,Verwendung von Skizzen, Zerlegen und Ergänzen) und reflektieren diesealtersangemessen.

• Bei Sachaufgaben stellen die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungswege klarund übersichtlich dar und erklären ihre Gedankengänge, sie überschlagenErgebnisse, reflektieren diese im Sachzusammenhang kritisch und runden siesinnvoll; unterschiedliche Lösungswege beurteilen sie vergleichend.

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Mathematik

• Die Schülerinnen und Schüler interpretieren auch in AlltagszusammenhängenBruchteile und Anteile richtig, veranschaulichen diese und rechnen damit.

• Sie interpretieren Brüche mithilfe verschiedener Grundvorstellungen, wandelnrationale Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen um und nutzen dies jeweilssituationsangemessen.

• Sie rechnen auf der Grundlage tragfähiger inhaltlicher Vorstellungen zu deneinzelnen Rechenoperationen sicher mit rationalen Zahlen in den Grundrechenarten.Dabei wenden sie Rechenregeln reflektiert an und nutzen Rechenvorteile. DieRichtigkeit ihrer Ergebnisse schätzen sie durch Überschlagsrechnungen ab.

• Sie lösen einfache Prozentaufgaben und prüfen Prozentangaben in einfachen Texten(z. B. Zeitungsartikeln) auf Korrektheit.

• Sie analysieren Daten mithilfe von Diagrammen (insbesondere Kreisdiagrammenund Säulendiagrammen) sowie grundlegenden Begriffen der beschreibendenStatistik und erkennen den manipulativen Charakter mancher Darstellungen. Siewerten Daten aus, bestimmen relative Häufigkeiten auch im Zusammenhang mitZufallsexperimenten und argumentieren mit ihnen.

• Sie berechnen Flächeninhalte von Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen undsetzen die Flächeninhaltsformeln auch bei der Ermittlung der Oberflächeninhalte vonKörpern sowie beim Argumentieren ein.

• Sie nutzen auch im Zusammenhang mit der Volumenmessung das Prinzip desMessens verständig, haben eine räumliche Vorstellung von den gebräuchlichenMaßeinheiten, gehen mit diesen situationsangemessen um und bestimmen dasVolumen von Quadern sowie von einfachen zusammengesetzten Körpern.

• Sie bearbeiten Fragestellungen in Sachzusammenhängen durch Auswahl undAnwendung geeigneter Strategien, erläutern ihre Überlegungen unter korrekterVerwendung von Fachbegriffen und prüfen Ergebnisse auf Plausibilität.

Gymnasium: Grundlegende Kompetenzen zum Ende der Jahrgangsstufe 7Mathematik

• Die Schülerinnen und Schüler beschreiben sowohl realitätsnahe als auchinnermathematische Zusammenhänge mithilfe von Termen mit Variablen sowiemithilfe von Gleichungen.

• Sie analysieren die Struktur von Termen mit Variablen, formen diese zielgerichtet umund lösen lineare Gleichungen systematisch durch Äquivalenzumformungen.

• Sie lösen komplexere Aufgabenstellungen zur Prozentrechnung.• Sie führen zur Lösung auch realitätsnaher Problemstellungen unter Nutzung der

Eigenschaften geometrischer Objekte (z. B. Symmetrien) grundlegendeKonstruktionen (Konstruktionen im Zusammenhang mit achsen- undpunktsymmetrischen Figuren; Mittelsenkrechte, Lot, Winkelhalbierende, Tangente)im Bewusstsein der kulturhistorischen Bedeutung des Konstruierens durch undbegründen ihre Konstruktionsschritte.

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• Sie beschreiben Zusammenhänge an geometrischen Figuren (Symmetrie, Winkelund Kongruenz betreffend) mithilfe von Fachbegriffen und setzen dieseZusammenhänge (z. B. Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales) bei derProblemlösung (rechnerisch oder durch Konstruktion) ein.

• Sie charakterisieren spezielle geometrische Figuren (insbesonderegleichschenklige, gleichseitige und rechtwinklige Dreiecke sowie symmetrischeVierecke) anhand deren spezifischer Eigenschaften und argumentieren mitdiesen.

• Sie nutzen eine dynamische Geometriesoftware als interaktives Werkzeug, ummathematische Zusammenhänge zu untersuchen und Vermutungen zuentwickeln.

• Sie unterscheiden klar zwischen Voraussetzung und Behauptung einesmathematischen Satzes (z. B. Satz des Thales) und sind damit auch in der Lage,dessen Kehrsatz zu formulieren; dabei ist ihnen bewusst, dass aus einer wahrenImplikation im Allgemeinen nicht darauf geschlossen werden kann, dass auchderen Umkehrung wahr ist.

• Sie berechnen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten, derenElementarereignisse alle als gleich wahrscheinlich angenommen werden können.


• Die Schülerinnen und Schüler verfügen über wesentliche Grundvorstellungen vonFunktionen (eindeutige Zuordnung, systematische Veränderung, Sicht alsGanzes), bestimmen Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen undwenden diese Kenntnisse auch in Sachzusammenhängen an.

• Sie gehen routiniert mit linearen Funktionen und deren Graphen um, erkennendirekt proportionale Zuordnungen als Spezialfall linearer Funktionen und nutzendies u. a. im Kontext naturwissenschaftlicher Fragestellungen.

• Sie lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten graphisch undrechnerisch.

• Sie veranschaulichen verknüpfte Ereignisse mithilfe von Venn-Diagrammen undVierfeldertafeln, stellen sie in Mengenschreibweise dar und bestimmen ihreWahrscheinlichkeiten.

• Aus dem Term oder dem Graphen einer elementaren gebrochen-rationalenFunktion bestimmen sie deren wesentliche Eigenschaften und stellen dieFunktion ggf. graphisch dar. Indirekt proportionale Zuordnungen erkennen sie alsSpezialfall gebrochen-rationaler Funktionen und nutzen dies u. a. im Kontextnaturwissenschaftlicher Fragestellungen.

• Sie erfassen die Struktur von Bruchtermen, führen bei Bruchtermen dieGrundrechenarten aus, bestimmen die Lösungen einfacher Bruchgleichungenund lösen einfache Formeln (insbesondere aus den Naturwissenschaften) auf;ihre Lösungswege erläutern sie insbesondere unter Einbeziehung vonAnalogiebetrachtungen.

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• Sie nutzen die Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Kreises, dieStrahlensätze sowie die Ähnlichkeit von Dreiecken auch beim Problemlösen undArgumentieren im Zusammenhang mit inner- und außermathematischenFragestellungen und dokumentieren ihre Lösungswege strukturiert.


• Die Schülerinnen und Schüler begründen die Notwendigkeit vonZahlenbereichserweiterungen, rechnen mit Wurzel- sowie Potenztermenangemessener Komplexität und beschreiben Potenzfunktionen mit natürlichenExponenten.

• Sie gehen bei der Lösung innermathematischer wie auch realitätsnaherProblemstellungen routiniert mit quadratischen Funktionen um, wenden dabeigeeignete Strategien an und erläutern diese; sie bestimmen und verwendensituationsgerecht unterschiedliche Eigenschaften und Darstellungen der Funktionenund argumentieren mit ihnen. Quadratische Gleichungen lösen sie auch inSachzusammenhängen sicher.

• Sie beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und berechnenWahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln.

• Sie unterscheiden den Satz des Pythagoras klar von seiner Umkehrung und wendenbeide Sätze insbesondere in realitätsnahen Kontexten flexibel an.

• Sie nutzen auch bei der Lösung anwendungsbezogener Problemstellungen Sinus,Kosinus und Tangens für Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken.

• Sie bestimmen die Volumina sowie in besonderen Fällen auch dieOberflächeninhalte von Prismen, Kreiszylindern, Pyramiden, Kreiskegeln und Kugelnsowie von Körpern, die aus diesen Körpern zusammengesetzt sind. Sie machen dieStrukturen von dabei benötigten Formeln plausibel und nutzen diese Formeln auch inkomplexeren Sachzusammenhängen.


• Die Schülerinnen und Schüler zeichnen unter Verwendung des Bogenmaßes dieGraphen der Sinus- und der Kosinusfunktion und nutzen diese Winkelfunktionenauch in Sachzusammenhängen.

• Sie beschreiben exponentielles Wachstum mithilfe einer Funktion und lösen auchrealitätsnahe Problemstellungen im Kontext von Wachstums- und Abklingvorgängen.Dabei lösen sie auch einfache Exponentialgleichungen, ermitteln Logarithmen undreflektieren ihre Lösungswege und strategien.

• Sie skizzieren und begründen den Verlauf des Graphen einer ganzrationalenFunktion, ggf. unter Berücksichtigung seiner Symmetrieeigenschaften bzgl. des

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Koordinatensystems, und bestimmen seine Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

• Sie bestimmen unter Verwendung von Baumdiagrammen und Vierfeldertafelnbedingte Wahrscheinlichkeiten und überprüfen die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse.

• Sie ermitteln für einfache gebrochen-rationale Funktionen die Grenzwerte an denRändern ihres Definitionsbereichs und zeichnen ihre Graphen einschließlich deren Asymptoten.

• Sie skizzieren die Graphen typischer Vertreter aller bekannten Funktionstypen,analysieren und beschreiben charakteristische Eigenschaften von Funktionen und beschreiben den Einfluss von Parametern auf den Verlauf der Graphen.

Gymnasium: Grundlegende Kompetenzen zum Ende der Jahrgangsstufen 11/12Jahrgangsstufe 11

• Die Schülerinnen und Schüler deuten – auch in unterschiedlich strukturiertenSachkontexten – Differenzen- und Differentialquotienten sowie lokale Ableitungenund Ableitungsfunktionen sowohl geometrisch als auch funktional.

• Sie differenzieren graphisch und leiten alle bisher bekannten Funktioneneinschließlich der natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion sowieVerknüpfungen und Verkettungen dieser Funktionen rechnerisch ab.

• Sie unterscheiden zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen fürExtrem- und Wendepunkte eines Graphen und begründen dies jeweils.

• Sie analysieren durch flexible und reflektierte Nutzung insbesondere derMethoden der Differentialrechnung Funktionen aller bekannten Funktionstypensowie Verkettungen bzw. Verknüpfungen dieser Funktionen hinsichtlich ihrerEigenschaften sowie der Eigenschaften des jeweiligen Graphen.

• Sie verstehen das Konzept der Zufallsgrößen und modellieren Sachsituationenmithilfe binomialverteilter Zufallsgrößen, um damit Wahrscheinlichkeiten zubestimmen.

• Sie stellen mit den Mitteln der analytischen Geometrie, insbesondere dem Skalar- und dem Vektorprodukt, unter flexibler Einbeziehung grundlegender Konzepteund Strategien aus der Mittelstufe Betrachtungen und Berechnungen angeometrischen Figuren und Körpern an und reflektieren Vor- und Nachteileunterschiedlicher Lösungswege.

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Jahrgangsstufe 12

• Die Schülerinnen und Schüler interpretieren das bestimmte Integral alsFlächenbilanz und im Sachzusammenhang als rekonstruierten Bestand aus einerÄnderungsrate.

• Sie bestimmen mithilfe der Integralrechnung Inhalte von Flächen, die durchFunktionsgraphen begrenzt sind, und Volumina von Rotationskörpern.

• Sie wenden flexibel und reflektiert die Methoden der Differential- undIntegralrechnung im Rahmen der Lösung inner- und außermathematischerProblemstellungen an und argumentieren mit ihnen.

• Sie stellen Überlegungen und Berechnungen zum einseitigen Signifikanztest an undinterpretieren die Aussagekraft von Ergebnissen richtig.

• Sie verwenden die Normalverteilung zur Beschreibung unterschiedlicherSachsituationen und berechnen im Sachkontext auftretende Wahrscheinlichkeiten.

• Sie untersuchen, interpretieren und nutzen – in Sachzusammenhängen auf derGrundlage einer geeigneten Modellierung – die gegenseitige Lage von Punkten,Geraden und Ebenen; sie führen ggf. Berechnungen durch (z. B. zur Ermittlung einerEbenengleichung, einer Linearkombination von Vektoren oder der relativen Lagezweier Geraden) und wählen dabei situationsgerecht vorteilhafte Darstellungsformengeometrischer Objekte sowie dazu passende Lösungsstrategien.

Gymnasium: Grundlegende Kompetenzen zum Ende der Jahrgangsstufen 11/12

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 5M5 1 Natürliche und ganze Zahlen – Addition und Subtraktion

M5 1.1 Natürliche Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen (ca. 12 Std.)

Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

• erläutern, warum die Menge der natürlichen Zahlen kein größtes Element besitzt,und benennen auch Zahlen über eine Million sicher.

• verstehen das Zehnersystem als Stellenwertsystem und beschreiben (z. B. auchin Abgrenzung zum römischen Zahlensystem), was ein Stellenwertsystemausmacht.

• lesen natürliche Zahlen am Zahlenstrahl ab und stellen sie unter Wahl einergeeigneten Skalierung am Zahlenstrahl dar.

• runden natürliche Zahlen und wenden dies in Sachzusammenhängen sinnvoll an.• verstehen die Notwendigkeit, die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der

ganzen Zahlen zu erweitern, und beschreiben Sachsituationen, in denen negativeganze Zahlen von Bedeutung sind.

• ordnen ganze Zahlen der Größe nach, stellen sie an einer Zahlengeraden dar undveranschaulichen dort ihre Beträge.

• überprüfen Aussagen (z. B.: Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.) auf ihre Richtigkeit hin und verwenden Gegenbeispiele, umAussagen zu widerlegen.

M5 1.2 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen (ca. 18 Std.)



• wenden die bereits in der Grundschule erlernten schriftlichen Rechenverfahrender Addition und der Subtraktion natürlicher Zahlen auch auf natürliche Zahlengrößer als eine Million automatisiert an. Ihre Ergebnisse überprüfen sie durchAbschätzen der Größenordnung kritisch.

• bestimmen die Werte von Summen und Differenzen ganzer Zahlen undveranschaulichen ihre Strategien (z. B. mithilfe von Guthaben und Schulden); bei

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angemessen gewählten Zahlen berechnen sie die Werte von Summen und Differenzen auch im Kopf. Sie unterscheiden dabei klar zwischen Vor- und Rechenzeichen.

• lösen Gleichungen der Form a + x = b, x − a = b und a − x = b, wie in derGrundschule angebahnt, durch systematisches Probieren oder durch Bildung der jeweiligen Umkehraufgabe.

• erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben; sie verwenden dabei auch, dass jede Differenz als Summe aufgefasst werden kann.

• erkennen die Struktur von Termen, die durch Addition und Subtraktion ganzerZahlen sowie durch Klammersetzung entstehen, gliedern solche Terme unter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe und ermitteln deren Wert in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung.

M5 2 Geometrische Figuren und Lagebeziehungen (ca. 14 Std.)



• stellen Punkte, Strecken, Geraden und Kreise sorgfältig im kartesischenKoordinatensystem dar. Sie nutzen die Koordinatendarstellung von Punkten sowiedie abkürzenden Schreibweisen für Strecken, Geraden und Kreise als Hilfsmittel zurleichteren Kommunikation über geometrische Objekte.

• beschreiben die möglichen Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade, zwischenGeraden, zwischen Kreis und Gerade sowie zwischen Kreisen; dabei verwenden siedie Begriffe Abstand, parallel, senkrecht, Lot und Tangente fachsprachlich korrekt.

• kennzeichnen die Lage von Punkten, die bestimmten Bedingungen genügen(insbesondere: Abstand von anderen Punkten oder von Geraden), undargumentieren damit auch in Sachzusammenhängen; sie greifen dabei auch auf ihrVerständnis der grundlegenden Eigenschaft der Kreislinie zurück.

• messen und zeichnen mit dem Geodreieck Winkel bis zu einer Größe von 360° undbeschreiben diese mit Fachbegriffen.

• erkennen und erzeugen (z. B. durch Zeichnen, Einsatz einer dynamischenGeometriesoftware) die Vierecke Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute,Drachenviereck und Trapez und sind sich bewusst, dass diese Grundfiguren auch inihrem Umfeld zu finden sind. Sie beschreiben die charakteristischen Eigenschaftendieser Vierecke (insbesondere bezüglich deren Seiten) und verwenden diese beiArgumentationen, auch im Zusammenhang mit kopfgeometrischen Betrachtungen.

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M5 3 Natürliche und ganze Zahlen – Multiplikation und Division

M5 3.1 Multiplikation und Division ganzer Zahlen (ca. 20 Std.)



• multiplizieren und dividieren natürliche Zahlen automatisiert schriftlich, auch wennFaktoren mehr als zwei Stellen haben bzw. Divisoren größer als zehn sind. IhreErgebnisse überprüfen sie durch Abschätzen der Größenordnung kritisch.

• faktorisieren natürliche Zahlen und ermitteln deren Primfaktorzerlegung, wobei siesich der Eindeutigkeit dieser Zerlegung bewusst sind; beim Faktorisieren wendensie auch Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 10 zielgerichtet an. Sienutzen diese Kenntnisse auch für Argumentationen, z. B. im Rahmen derBeantwortung alltagsnaher Fragestellungen.

• erkennen, ob in einem realitätsnahen Kontext das Zählprinzip angewendetwerden kann, und nutzen dieses sowie Baumdiagramme zur systematischenBestimmung von Anzahlen.

• machen die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division ganzer Zahlenaltersgemäß plausibel und berechnen die Werte von Produkten und Quotientenganzer Zahlen, bei angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.

• erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben.

• berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und ganzzahligenBasen, verwenden Zehnerpotenzen, um große natürliche Zahlensituationsangemessen darzustellen, und nutzen Potenzen auch inSachzusammenhängen (z. B. zur Beschreibung von Phänomenen, denen einwiederholtes Verdoppeln zugrunde liegt); sie verfügen über ein automatisiertesWissen der Quadratzahlen bis 400.

• lösen Gleichungen der Form a ⋅ x = b, x : a = b und a : x = b, wie in derGrundschule angebahnt, durch systematisches Probieren oder durch Bildung derjeweiligen Umkehraufgabe.

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20 25.05.2016

M5 3.2 Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen (ca. 14 Std.)



• erfassen Termstrukturen, die durch die Verbindung der Grundrechenarten beiganzen Zahlen und durch Klammersetzung entstehen, und gliedern auf dieserGrundlage Terme unter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe.

• ermitteln in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung die Werte von Termen, diedurch die Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen und durchKlammersetzung entstehen; dabei wenden sie auch Regeln für die Reihenfolge derRechenschritte (insbesondere Punkt-vor-Strich) an.

• erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ-,Assoziativ- und Distributivgesetz ergeben. Insbesondere stellen sie auf derGrundlage eines gewachsenen Abstraktionsvermögens anhand einfacher Beispieledar, dass es sich bei einigen aus der Grundschule bekannten Kopfrechenstrategienum Anwendungen des Distributivgesetzes handelt.

• setzen bei der Lösung von Problemstellungen zu ganzen Zahlen insbesondere dieStrategien Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten bewusst ein und reflektieren diesealtersangemessen.

• lösen anwendungsbezogene Aufgaben unter Verwendung von ganzen Zahlen. Dabeidokumentieren sie den von ihnen gewählten Lösungsweg nachvollziehbar, erläuternihre Gedankengänge und überprüfen ihre Ergebnisse kritisch imSachzusammenhang und durch eine Überschlagsrechnung.

M5 4 Größen und ihre Einheiten

M5 4.1 Geld, Länge, Masse und Zeit (ca. 18 Std.)



• verstehen das Prinzip des Messens und rechnen Größenangaben bei Geld (€, ct),Länge (km, m, dm, cm, mm), Masse (t, kg, g, mg) und Zeit (h, min, s) jeweils inandere Einheiten um; dabei verwenden sie bei den Größen Geld, Länge und Masse –unter Rückgriff auf Einheitentafeln – auch Angaben in Kommaschreibweise.

• rechnen sicher mit Größen (addieren, subtrahieren, vervielfachen, dividieren); diezugehörigen Regeln, die sich aus der Zusammensetzung einer Größe aus Maßzahlund Maßeinheit ergeben, erklären sie an Beispielen. Beim Addieren und

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25.05.2016 21

Subtrahieren gehen sie bei den Größen Geld, Länge und Masse auch mit Größenangaben in Kommaschreibweise um.

• schätzen in Sachsituationen Größen unter Verwendung von Bezugsgrößen ausihrer Erfahrungswelt (z. B. Körpergröße eines Menschen) ab und nutzen dies bei Sachaufgaben auch zur Kontrolle von Ergebnissen.

• setzen die in der Grundschule noch intuitiv verwendete Schlussrechnung bewusstzur Lösung von Sachaufgaben ein und stellen die einzelnen Rechenschritte – auch in Form eines Dreisatzes – strukturiert dar.

• lösen insbesondere zum Maßstab realitätsnahe Sachaufgaben und verwendendabei geeignete Einheiten.

M5 4.2 Flächeninhalt (ca. 16 Std.)



• nutzen in Erweiterung der in der Grundschule erworbenen Kenntnisse das Prinzipdes Messens auch dazu, die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts einesRechtecks plausibel zu machen.

• haben eine Vorstellung von der Größe der Einheitsquadrate, die zur Definition derFlächeneinheiten verwendet werden. Sie rechnen Flächeninhalte in verschiedeneEinheiten (km², ha, a, m², dm², cm², mm²) um und begründen ihr Vorgehen z. B.anhand des Auslegens mit Einheitsquadraten; beim Umrechnen verwenden sie –unter Rückgriff auf Einheitentafeln – auch Angaben in Kommaschreibweise.

• unterscheiden sicher zwischen den Begriffen Umfang und Flächeninhalt undnutzen die Formeln für Umfang bzw. Flächeninhalt von Quadraten undRechtecken auch bei der Lösung realitätsnaher Problemstellungen; dabeiverwenden sie gezielt auch veranschaulichende Skizzen und bestimmen ggf.Flächeninhalte näherungsweise durch Modellierung.

• führen Flächeninhaltsbestimmungen durch gezieltes Zerlegen und Ergänzen vonFlächen unter Verwendung der Flächeninhaltsformel für Rechtecke durch; beiAufgaben, die verschiedene Lösungswege zulassen, erläutern und beurteilen sievergleichend diese Lösungswege.

• bestimmen – auch unter Verwendung von Netzen und Schrägbildern –Oberflächeninhalte von Quadern und einfachen zusammengesetzten Körpern.Sie lösen geeignete ebene und räumliche Problemstellungen im Kopf.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 6M6 1 Rationale Zahlen

M6 1.1 Bruchteile und Bruchzahlen (ca. 13 Std.)



• deuten Aussagen, in denen Anteile vorkommen, richtig und veranschaulichenAnteile auf unterschiedliche Weise, insbesondere mit Flächendiagrammen (Kreis- und Rechteckdiagramme). Sie bestimmen Anteile, Bruchteile sowie das jeweilszugehörige Ganze.

• begründen anhand von Beispielen, dass Erweitern und Kürzen den Wert einesBruchs nicht verändern. Sie wählen beim Größenvergleich von Brüchengeeignete Strategien und stellen den Hauptnenner auch mithilfe derPrimfaktorzerlegung her.

• wissen, dass Prozentangaben eine im Alltag häufig verwendete alternativeSchreibweise für Brüche sind, und bearbeiten damit einfache alltagsbezogeneFragestellungen.

• interpretieren Brüche als Darstellungen von Zahlen. Sie beschreiben dieZusammenhänge zwischen den natürlichen, den ganzen und den rationalenZahlen und erläutern wesentliche Unterschiede zwischen den entsprechendenZahlenmengen (z. B. Eindeutigkeit der Darstellung, Existenz von Vorgänger undNachfolger). Sie stellen positive und negative Bruchzahlen auf der Zahlengeradendar und ordnen diese begründet der Größe nach.

M6 1.2 Dezimalbrüche (ca. 10 Std.)



• verstehen, wie mithilfe von Zehnteln, Hundertsteln etc. die Stellenwerttafelerweitert wird, und interpretieren die bislang nur bei Größen verwendeteKommaschreibweise neu. Sie runden Dezimalbrüche in Analogie zu den ganzenZahlen.

• interpretieren Brüche je nach Situation mithilfe verschiedener Grundvorstellungen(Teil eines Ganzen, Teil mehrerer Ganzer, Zahl, Quotient) und verstehen, dass

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man Brüche entweder als endliche oder periodische Dezimalbrüche schreiben kann; sie entscheiden anhand der Primfaktorzerlegung des Nenners des vollständig gekürzten Bruchs, ob sich dieser als endlicher Dezimalbruch darstellen lässt.

• wandeln Brüche in Dezimalbrüche um und stellen umgekehrt endlicheDezimalbrüche sowie rein periodische Dezimalbrüche der Periodenlänge eins als Brüche dar; bei angemessen gewählten Zahlen führen sie den Darstellungswechsel auch im Kopf durch. Sie setzen diese Fertigkeiten insbesondere beim Größenvergleich von rationalen Zahlen ein.

M6 1.3 Addition und Subtraktion rationaler Zahlen (ca. 15 Std.)



• machen die Rechenregeln zur Addition und Subtraktion von Brüchen anhand vonBeispielen plausibel.

• addieren und subtrahieren Brüche, gemischte Zahlen und Dezimalbrüche, beiangemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.

• erkennen Rechenvorteile, die sich durch Anwendung von Kommutativ- undAssoziativgesetz bzw. dadurch ergeben, dass man die hinsichtlich desRechenaufwands jeweils günstigste Darstellungsform rationaler Zahlen für dieBerechnung auswählt.

• ermitteln auf der Grundlage eines soliden Verständnisses von Termstrukturen dieWerte von Termen, die durch Addition und Subtraktion rationaler Zahlen sowie durchKlammersetzung entstehen, in fortlaufender und klar strukturierter Rechnung.

• überprüfen bei Rechnungen in inner- und außermathematischen Zusammenhängendurch eine Überschlagsrechnung, ob ihr Ergebnis die richtige Größenordnung hat.

M6 1.4 Multiplikation und Division rationaler Zahlen (ca. 14 Std.)



• berechnen auf der Grundlage tragfähiger inhaltlicher Vorstellungen zu denOperationen (z. B. Anteilsbildung, Verteilen, Aufteilen) die Werte von Produkten undQuotienten rationaler Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen (insbesondereBruch, gemischte Zahl, Dezimalbruch), bei angemessen gewählten Zahlen auch imKopf.

• berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und rationalenBasen; sie deuten Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten alsSchreibweise für Brüche mit Zähler 1, wenden dies in Rechnungen an und

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interpretieren Darstellungen von Alltagsgrößen, die Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten enthalten.

• erkennen Rechenvorteile, die sich durch Anwendung von Kommutativ- undAssoziativgesetz bzw. dadurch ergeben, dass man die hinsichtlich des Rechenaufwands jeweils günstigste Darstellungsform rationaler Zahlen für die Berechnung auswählt.

M6 1.5 Verbindung der Grundrechenarten bei rationalen Zahlen (ca. 15 Std.)



• erkennen die Struktur von Termen, die durch die Verbindung derGrundrechenarten und durch Klammersetzung entstehen, beschreiben dieseunter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe und berechnen den Wertsolcher Terme in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung.

• berechnen auf der Grundlage eines gewachsenen Verständnisses von Zahlenund Termstrukturen die Werte überschaubarer Terme mit einfachen rationalenZahlen im Kopf.

• nutzen gezielt Rechenvorteile, die sich z. B. durch Anwendung von Kommutativ-,Assoziativ- und Distributivgesetz ergeben.

• lösen Problemstellungen in Sachzusammenhängen, bei denen unterschiedlicheRechenarten oder auch Anteile von Anteilen vorkommen. Dabei verwenden sieauch geeignete Skizzen und sind sich deren Bedeutung für das Problemlösenbewusst. Sie überprüfen mithilfe einer Überschlagsrechnung, ob das erhalteneErgebnis die richtige Größenordnung hat.

M6 2 Flächeninhalt und Volumen

M6 2.1 Flächeninhalt (ca. 11 Std.)



• erklären anhand von Beispielen, wie man, ausgehend von der Formel zurBerechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks, unter Verwendung des Prinzipsdes Zerlegens und Ergänzens von Flächen die Formeln zur Berechnung derFlächeninhalte von Parallelogrammen, Dreiecken bzw. Trapezen herleiten kann.

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• wenden die Formeln zur Berechnung der Flächeninhalte von Parallelogrammen,Dreiecken bzw. Trapezen flexibel an; dabei identifizieren sie die für die Berechnungrelevanten Strecken situationsgerecht.

• setzen die Formeln zur Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken bzw.Parallelogrammen für Argumentationen beim Vergleich der Flächeninhalte vonFiguren ein und verwenden dazu geeignete Lösungsstrategien (z. B. Einzeichnenvon Hilfslinien).

• berechnen mithilfe der bislang bekannten Flächeninhaltsformeln planvollOberflächeninhalte einfacher Körper und stellen ihre Lösungswege strukturiert dar.Den dabei erforderlichen Wechsel zwischen zwei- und dreidimensionalerBetrachtungsweise vollziehen sie unter Rückgriff auf geeignete Skizzen, in einfachenFällen auch im Kopf.

M6 2.2 Volumen (ca. 12 Std.)



• nutzen in Erweiterung der in der Grundschule erworbenen Kenntnisse zu Hohlmaßendas Prinzip des Messens auch dazu, die Formel zur Bestimmung des Volumenseines Quaders plausibel zu machen.

• haben eine räumliche Vorstellung von der Größe der Einheitswürfel, die zur Definitionder Volumeneinheiten verwendet werden; sie rechnen verschiedeneVolumeneinheiten, auch Liter und Milliliter, ineinander um und begründen ihrVorgehen, z. B. anhand des Auslegens mit Einheitswürfeln.

• wenden die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Quaders flexibel an.• ermitteln für Körper aus ihrer Erfahrungswelt einen sinnvollen Näherungswert für das

Volumen und erläutern ihr Vorgehen.• führen in unterschiedlichen Kontexten Volumenbestimmungen durch gezieltes

Zerlegen und Ergänzen von Körpern unter Verwendung der Formel zur Bestimmungdes Volumens eines Quaders durch und lösen geometrische Problemstellungenangemessener Komplexität auch im Kopf.

M6 3 Prozentrechnung und Diagramme (ca. 13 Std.)



• lösen einfache Prozentaufgaben aus dem Alltag (u. a. zu Rabatt und Zins) mithilfegeeigneter Verfahren (insbesondere Grundgleichung der Prozentrechnung,Schlussrechnung).

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• wenden die Prozentrechnung auch im Zusammenhang mit Diagrammen(insbesondere Kreisdiagramm, Säulendiagramm) an; sie erstellen undinterpretieren Diagramme geeignet.

• formulieren bezüglich der Darstellung von Sachverhalten in Diagrammen (z. B. zuAspekten der Globalisierung und nachhaltigen Entwicklung) sinnvolle Fragensowie begründete Aussagen; sie erkennen manipulative Aspekte solcherDarstellungen und diskutieren diese altersangemessen.

• entnehmen einfachen Texten (z. B. Zeitungsartikeln), die Prozentangabenenthalten, die wesentlichen mathematischen Informationen und prüfen diese aufKorrektheit; dabei gehen sie flexibel mit in den Medien häufig verwendetenalternativen Darstellungen von Prozentangaben um (z. B. „jeder Siebte“, „drei vonfünf“).

M6 4 Daten und Zufallsexperimente (ca. 9 Std.)



• stellen Daten mithilfe von aussagekräftigen Tabellen und Graphiken unterVerwendung von relativen und absoluten Häufigkeiten strukturiert dar unddiskutieren Vor- und Nachteile unterschiedlicher Darstellungen; im Rahmen derInterpretation der Daten setzen sie auch Fachbegriffe der beschreibendenStatistik (arithmetisches Mittel, Median, Spannweite und Quartil) ein.

• grenzen Zufallsexperimente von deterministischen Vorgängen ab und verwendenStrichlisten, Tabellen und Diagramme, um die Ergebnisse auch selbstdurchgeführter Zufallsexperimente zu analysieren.

• bestimmen relative Häufigkeiten und verwenden auch beim Argumentierenflexibel deren unterschiedliche Darstellungen (Bruch, Dezimalzahl undProzentsatz sowie weitere in den Medien verwendete, vgl. Lernbereich 3). Sieerläutern die Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen anhandkonkreter Beispiele und nutzen entsprechend relative Häufigkeiten als sinnvolleSchätzwerte zur Vorhersage von Gewinnchancen bei Zufallsexperimenten.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 7M7 1 Terme mit Variablen

M7 1.1 Aufstellen und Interpretieren von Termen (ca. 10 Std.)



• verstehen Variablen als wichtiges Hilfsmittel, um mathematischeZusammenhänge kurz und prägnant zu formulieren. Sie strukturieren undabstrahieren unterschiedlich (z. B. sprachlich, numerisch, bildhaft) dargestellteinner- und außermathematische Zusammenhänge mithilfe von Termen mit eineroder mehreren Variablen und interpretieren vorgegebene Terme in derartigenZusammenhängen unter Verwendung unterschiedlicher Darstellungen.

• berechnen Werte von Termen, die auch Potenzen mit ganzzahligen Exponentenenthalten; dabei greifen sie auf die aus den vorhergehenden Jahrgangsstufenbekannten Rechenregeln für rationale Zahlen zurück und nutzen Wertetabellenzur Strukturierung und Veranschaulichung.

• analysieren die Struktur von Termen, die Variablen enthalten, und beschreibendiese Struktur mithilfe von Fachbegriffen.

M7 1.2 Umformen von Termen (ca. 24 Std.)



• fassen Produkte von Potenzen mit natürlichen Exponenten (bei gleicher Basisoder bei gleichem Exponenten) und Potenzen von Potenzen mit jeweilsnatürlichem Exponenten zu einer Potenz zusammen.

• erfassen die Struktur von Termen angemessener Komplexität und formen diese infortlaufender, klar strukturierter Rechnung zielgerichtet um (Zusammenfassenvon Summen und von Produkten, Ausmultiplizieren, Multiplizieren von Summen),um insbesondere Terme zu vereinfachen und die Äquivalenz von Termen zubegründen.

• nutzen das Distributivgesetz in einfachen Fällen auch zum Faktorisieren vonSummen und sind sich bewusst, dass durch Ausklammern eines gemeinsamenFaktors aus einer Summe ein Produkt entsteht.

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• begründen die Gültigkeit der binomischen Formeln und wenden diese Formeln beiTermumformungen an, bei denen sich das Multiplizieren von Summen damitabkürzen lässt.

• argumentieren auch in Sachzusammenhängen mithilfe von Termen, z. B. bezüglichder Änderung des Flächeninhalts eines Rechtecks bei Verdopplung derSeitenlängen.

M7 2 Geometrische Figuren: Symmetrie und Winkel

M7 2.1 Achsen- und punktsymmetrische Figuren (ca. 12 Std.)



• konstruieren achsen- und punktsymmetrische Figuren mit Zirkel und Lineal imBewusstsein der mathematischen und kulturhistorischen Bedeutung dieses Prinzipsdes Konstruierens und verwenden die Eigenschaften zueinander symmetrischerPunkte, um die grundlegenden Konstruktionen von Symmetrieachse,Symmetriezentrum und Spiegelpunkt zu begründen.

• konstruieren Mittelsenkrechte, Lote und Winkelhalbierende und nutzen diegemeinsame Eigenschaft aller Punkte einer Mittelsenkrechten bzw. einerWinkelhalbierenden bzw. eines Kreises, um auch realitätsnahe Problemstellungen zulösen, bei denen Abstände von Geraden und Punkten eine Rolle spielen.

• ordnen auf der Grundlage eines gewachsenen inhaltlichen Begriffsverständnissesvon geometrischen Objekten und Beziehungen die Menge aller symmetrischenVierecke anhand ihrer Symmetrieeigenschaften; sie verwenden dieseSymmetrieeigenschaften sowie weitere Eigenschaften von Vierecken, uminsbesondere zu begründen, welche Arten von Vierecken Spezialfälle anderer sind,und erkennen Symmetrie als wesentliches Gestaltungsprinzip in Natur, Kunst undDesign.

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M7 2.2 Winkelbetrachtungen an Figuren (ca. 9 Std.)



• beschreiben Winkelzusammenhänge an Geradenkreuzungen undDoppelkreuzungen unter Verwendung der Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel,Stufenwinkel und Wechselwinkel.

• beweisen, ausgehend davon, dass Wechselwinkel an parallelen Geraden gleichgroß sind, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt (oder umgekehrt)und stellen die dafür notwendige mehrschrittige Argumentation klar dar. Dabei istihnen der Unterschied zwischen einem Fundamentalsatz und einem abgeleitetenSatz bewusst.

• erklären, wie von der Innenwinkelsumme im Dreieck auf die Innenwinkelsummeim Vieleck geschlossen werden kann.

• bestimmen bei Figuren mit mehrfachen Geradenkreuzungen aus gegebenenWinkeln andere in der Figur auftretende Winkel, überprüfen anhand vonWinkelmaßen die Parallelität von Geraden und begründen ihre Lösungsschritte.

M7 3 Lineare Gleichungen und Vertiefung der Prozentrechnung (ca. 17 Std.)



• stellen zu inner- und außermathematischen Fragestellungen – z. B. unter Nutzungdes Invarianzprinzips – passende Gleichungen auf und beschreiben die dazuerforderlichen Gedankengänge.

• lösen lineare Gleichungen durch gezielte Äquivalenzumformungen, erläutern,warum bei den einzelnen Umformungen die Lösungsmenge erhalten bleibt, undstellen ihre Lösungsschritte auch formal korrekt dar.

• überprüfen die Lösungen von Gleichungen und reflektieren Lösungen – ggf. imzugrunde liegenden Sachzusammenhang – kritisch.

• lösen in Erweiterung ihrer in der Jahrgangsstufe 6 erworbenen Kenntnisse – auchauf der Grundlage eines gefestigten Verständnisses von linearen Gleichungen –komplexere Aufgabenstellungen zur Prozentrechnung.

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M7 4 Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)



• beschreiben Zufallsexperimente unter Verwendung von Fachbegriffen wie Ergebnis,Ergebnismenge, Ereignis und Gegenereignis.

• grenzen anhand von Beispielen Laplace-Experimente von Zufallsexperimenten ab,die sich nicht mithilfe der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit allerElementarereignisse tragfähig modellieren lassen.

• berechnen Laplace-Wahrscheinlichkeiten und nutzen dabei auch das Zählprinzipund Baumdiagramme.

M7 5 Kongruenz, besondere Dreiecke und Dreieckskonstruktionen (ca. 28 Std.)



• erläutern anschaulich den Begriff der Kongruenz.• erkennen unter Nutzung der Kongruenzsätze, ob sich ein Dreieck aus angegebenen

Seitenlängen und Winkelgrößen eindeutig konstruieren lässt, und führen ggf. dieKonstruktion durch.

• verwenden die Eigenschaften von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken,um diese zu konstruieren, und beschreiben ihren jeweiligen Gedankengang.

• unterscheiden klar zwischen Voraussetzung und Behauptung eines mathematischenSatzes und formulieren damit dessen Kehrsatz. Anhand von inner- undaußermathematischen Beispielen erläutern sie, dass aus einer wahren Implikation imAllgemeinen nicht darauf geschlossen werden kann, dass auch deren Umkehrungwahr ist.

• nutzen eine dynamische Geometriesoftware als interaktives Werkzeug, ummathematische Zusammenhänge zu veranschaulichen bzw. experimentell zuuntersuchen und zu erschließen und Vermutungen zu entwickeln (u. a. Umkreiseines Dreiecks, Satz des Thales).

• verwenden ihre Kenntnisse über Winkelzusammenhänge, um den Satz des Thalessowie seine Umkehrung zu beweisen, und wenden den Satz sowie seine Umkehrungim Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken an.

• begründen ihr Vorgehen bei der Konstruktion der Tangente an einen Kreis durcheinen Punkt außerhalb des Kreises.

• konstruieren Dreiecke aus verschiedenen Bestimmungsstücken (darunterinsbesondere Höhen); sie nutzen zur Ideenfindung Planfiguren, dokumentieren ihreLösungsschritte übersichtlich und nachvollziehbar, vollziehen Lösungswege nachund erläutern diese.

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• lösen anwendungsbezogene Aufgaben mithilfe von Konstruktionen, insbesonderevon Dreieckskonstruktionen.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 8M8 1 Funktion und Term (ca. 6 Std.)



• erfassen und beschreiben funktionale Zusammenhänge (z. B. Stromtarife,Temperaturverläufe) mit Tabellen, Diagrammen und Termen, auch unterVerwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms.

• verstehen eine Funktion als eindeutige Zuordnung und grenzen die zugehörigenFachbegriffe (z. B. Funktionsterm, Graph, Definitionsmenge, Wertemenge)voneinander ab. Sie erkennen Funktionen als solche und unterscheiden diesebegründet von nicht eindeutigen Zuordnungen.

• bestimmen Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsenund die Lage von Punkten bezüglich des Funktionsgraphen graphisch und, fallsmöglich, rechnerisch. In einfachen Fällen beschreiben sie, in welcher Weise sichder Funktionswert verändert, wenn sich der Wert des Funktionsargumentsverändert.

M8 2 Lineare Funktionen (ca. 16 Std.)



• interpretieren Funktionsgleichungen der Form y = m ⋅ x + t als Gleichungen vonGeraden. Sie erklären die Bedeutung der Parameter m und t und verwendendiese zum Zeichnen von Graphen linearer Funktionen, auch unter Verwendungeiner dynamischen Mathematiksoftware; sie ermitteln umgekehrt ausGeradendarstellungen die Werte dieser Parameter.

• stellen rechnerisch Geradengleichungen auf, bestimmen die Nullstellen linearerFunktionen und ermitteln die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden.

• nutzen lineare Funktionen und deren Graphen in Sachzusammenhängen;insbesondere stellen sie passende Funktionen auf und interpretieren den Verlaufvon Graphen sachgerecht.

• lösen lineare Ungleichungen graphisch und rechnerisch und stellen das Ergebnisin Intervallschreibweise dar.

• verstehen, dass der Spezialfall einer linearen Funktion mit einerFunktionsgleichung der Form y = a ⋅ x als Zuordnung zweier Größen aufgefasstwerden kann, die direkt proportional zueinander sind. Diesen Zusammenhang

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zwischen den beiden Größen erläutern sie an der zugehörigen Ursprungsgeraden und erkennen zueinander direkt proportionale Größen als solche, u. a. im Kontext naturwissenschaftlicher Fragestellungen.

M8 3 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)



• beschreiben treffend Sachzusammenhänge mithilfe eines Systems linearerGleichungen und erläutern ihre Vorgehensweise.

• lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten graphisch und z. B. mithilfedes Einsetzverfahrens rechnerisch; sie begründen, dass bei den einzelnenUmformungen die Lösungsmenge des Gleichungssystems erhalten bleibt, undinterpretieren ggf. ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.

• formulieren und veranschaulichen Aussagen zur Lösbarkeit und zur Lösungsvielfaltlinearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.

M8 4 Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse (ca. 8 Std.)



• stellen zwei miteinander verknüpfte Ereignisse mithilfe von Schnitt- oderVereinigungsmengen dar und nutzen Venn-Diagramme sowie Vierfeldertafeln zurVeranschaulichung. Dabei übersetzen sie auch verbale Beschreibungen vonEreignissen in formale.

• interpretieren, ausgehend von Vierfeldertafeln mit absoluten Häufigkeiten, diezugehörigen relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen einesentsprechenden Zufallsexperiments, begründen auf dieser Grundlage die RegelP(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) und bestimmen Wahrscheinlichkeiten im Kontextzweier miteinander verknüpfter Ereignisse.

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M8 5 Elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 13 Std.)



• geben für gebrochen-rationale Funktionen der Form die Definitionslücke und die maximale Definitionsmenge an, bestimmen die Schnittpunkte desGraphen mit den Koordinatenachsen und beschreiben den Einfluss einerÄnderung der Werte der Parameter b und c auf den Verlauf des Graphen. ZurVeranschaulichung nutzen sie auch eine dynamische Mathematiksoftware.

• zeichnen den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion der Formeinschließlich seiner Asymptoten und ermitteln umgekehrt anhand des Grapheneiner solchen Funktion die zugehörigen Werte der Parameter.

• verstehen, dass der Spezialfall einer gebrochen-rationalen Funktion mit einerFunktionsgleichung der Form als Zuordnung zweier Größen aufgefasstwerden kann, die indirekt proportional zueinander sind. Diesen Zusammenhangzwischen den beiden Größen erläutern sie am zugehörigen Graphen underkennen zueinander indirekt proportionale Größen als solche, u. a. im Kontextnaturwissenschaftlicher Fragestellungen.

M8 6 Bruchterme und Bruchgleichungen (ca. 13 Std.)



• erfassen die Struktur von Bruchtermen angemessener Komplexität und erweiternund kürzen diese, auch unter Anwendung des Distributivgesetzes. Sie erläuterndie Verfahren unter Einbeziehung von Analogiebetrachtungen hinsichtlich ihrer inden Jahrgangsstufen 6 und 7 erworbenen Kenntnisse.

• bringen Bruchterme angemessener Komplexität auf einen gemeinsamen Nenner,um diese zu addieren und zu subtrahieren.

• multiplizieren und dividieren Bruchterme angemessener Komplexität undvereinfachen den entstehenden Term, falls dies möglich ist.

• machen die Rechengesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten plausibelund wenden diese in einfachen Fällen an.

• lösen auf der Grundlage eines zunehmend abstrahierenden Verständnisses vonTermstrukturen Bruchgleichungen angemessener Komplexität rechnerisch undinterpretieren in einfachen Fällen Bruchgleichungen als Schnittprobleme vonFunktionsgraphen.

• lösen Formeln – insbesondere aus den Naturwissenschaften – nach einerVariablen auf.

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M8 7 Kreis, Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 18 Std.)



• erläutern den Begriff der Ähnlichkeit anschaulich und überprüfen, ob zwei Figuren,insbesondere Dreiecke, zueinander ähnlich sind.

• wenden die Strahlensätze bei innermathematischen Problemstellungen sowie inSachsituationen flexibel an und lösen sich dabei ergebende einfacheBruchgleichungen im Bewusstsein der engen Verknüpfung von Geometrie undAlgebra.

• machen an Beispielen die Gesetzmäßigkeiten plausibel, die die Veränderung desFlächeninhalts einer Figur bzw. die Veränderung des Volumens eines Körpersbeschreiben, wenn die Figur bzw. der Körper maßstäblich vergrößert oder verkleinertwird, und wenden diese Gesetzmäßigkeiten in einfachen Fällen an.

• machen die Struktur der Formeln für Umfang bzw. Flächeninhalt eines Kreisesplausibel, interpretieren die Flächeninhaltsformel als nicht lineare Zuordnung,wenden die Formeln bei innermathematischen Fragestellungen (auch zu einfachenKreisteilen) sowie in Sachsituationen an und dokumentieren ihre Lösungswegestrukturiert.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 9M9 1 Quadratwurzeln (ca. 15 Std.)



• erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen und bestimmenbei angemessen gewählten Zahlen den Wert einer Quadratwurzel auch im Kopf.Sie vereinfachen einfache vollständig radizierbare Terme, falls nötig unterVerwendung von Beträgen.

• verstehen das Grundprinzip eines indirekten Beweises, vollziehen damit denBeweis für die Irrationalität von nach und erläutern diesen. Sie begründen dieNotwendigkeit, die Menge der rationalen Zahlen zu erweitern, nennenQuadratwurzeln und andere irrationale Zahlen (u. a. π) als Beispiele reeller nicht-rationaler Zahlen und sind sich der kulturhistorischen Bedeutung dieserZahlbereichserweiterung bewusst.

• fassen in dem Bewusstsein, dass die bekannten Rechengesetze auch in dererweiterten Zahlenmenge gelten, in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung beiTermen angemessener Komplexität Produkte, Quotienten, Summen undDifferenzen von Quadratwurzeln zusammen und vereinfachen dabei auchPotenzen von Wurzeltermen.

• formen Wurzelterme ohne Variablen so um, dass Nenner rational sind undradizieren teilweise, wodurch sie auch entsprechende Ausgaben einesTaschenrechners nachvollziehen und erläutern. Wurzelterme mit Variablenvereinfachen sie durch teilweises Radizieren und stellen das Ergebnis, falls nötig,mithilfe von Beträgen dar.

M9 2 Quadratische Funktionen

M9 2.1 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen (ca. 17 Std.)



• beschreiben für quadratische Funktionen mit Termen der Form a ⋅ (x + d)2 + e,wie sich Änderungen der Werte der Parameter a, d und e auf die zugehörige

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Parabel auswirken. Sie bestimmen für Beispiele derart angegebener Funktionen jeweils die Anzahl der Nullstellen und die Lösungen der zugehörigen Gleichung. Zur Veranschaulichung nutzen sie auch eine dynamische Mathematiksoftware.

• ermitteln durch flexible Nutzung der binomischen Formeln die Koordinaten desScheitels einer Parabel aus dem zugehörigen Funktionsterm, auch wenn dieser in der Form ax2 + bx + c vorliegt, und zeichnen den zugehörigen Graphen.

• geben anhand des zugehörigen Graphen wesentliche Eigenschaften einerquadratischen Funktion an (Wertemenge, Nullstellen, Intervalle mit positiven bzw. negativen Funktionswerten, Monotonieverhalten, größter Funktionswert, kleinster Funktionswert, Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse).

• erkennen bei der rechnerischen Lösung von quadratischen Gleichungen, wann derEinsatz der Lösungsformel erforderlich ist und wann eine andere Methode (z. B. Ausklammern der Unbekannten) vorteilhaft ist. Sie lösen damit quadratische Gleichungen reflektiert und schätzen die Richtigkeit ihrer Lösungen durch eine geeignete Skizze ab. Anhand konkreter Beispiele formulieren und veranschaulichen sie auch Aussagen zur Lösbarkeit und zur Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen.

• sind sich bewusst, dass jede der drei Darstellungsformen des Terms einerquadratischen Funktion, die allgemeine Form ax2 + bx + c, die Scheitelpunktsform a ⋅ (x − xS)2 + yS und die Nullstellenform a ⋅ (x − x1) ⋅ (x − x2), besondere Vorteilebesitzt, und nutzen diese Formen situationsgerecht, u. a. auch beim Argumentieren.

M9 2.2 Quadratische Funktionen in Anwendungen (ca. 17 Std.)



• stellen lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten auf und lösen diesesystematisch und reflektiert; so berechnen sie insbesondere die Koeffizienten desTerms einer quadratischen Funktion, z. B. aus den Koordinaten dreierParabelpunkte.

• lösen Bruchgleichungen, die sich unmittelbar auf quadratische Gleichungenzurückführen lassen, und berechnen so auch die Koordinaten der Schnittpunkte vonGeraden mit Hyperbeln.

• beschreiben und lösen innermathematische sowie realitätsnahe Problemstellungenmithilfe quadratischer Funktionen (u. a. Modellierung von Extremwertproblemen); sieerläutern ihre dabei verwendeten Strategien, reflektieren diese und dokumentierenihre Lösungswege nachvollziehbar und formal korrekt.

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M9 3 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und Erweiterung des Potenzbegriffs (ca. 9 Std.)



• beschreiben für Funktionen mit Termen der Form a ⋅ xn in Abhängigkeit von a undn den Verlauf des zugehörigen Graphen sowie seine Symmetrie.

• verstehen die Definition der allgemeinen Wurzel und sind in der Lage, damitGleichungen zu lösen, die sich auf die Form xn = c zurückführen lassen. DieAnzahl der Lösungen machen sie durch eine geeignete Skizze plausibel.

• verstehen Potenzen mit rationalen Exponenten als Schreibweise für Wurzeln undwandeln damit Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander um.

• fassen auf der Grundlage eines vertieften Verständnisses von Termstrukturenunter Anwendung der Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten infortlaufender, klar strukturierter Rechnung Produkte und Quotienten zusammen,die Potenzen und Wurzeln enthalten.

M9 4 Zusammengesetzte Zufallsexperimente (ca. 8 Std.)



• strukturieren zusammengesetzte Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen, auchunter Zurückführung auf Urnenexperimente.

• machen anhand von Beispielen die Pfadregeln plausibel und berechnen mithilfedieser Regeln Wahrscheinlichkeiten.

M9 5 Rechtwinklige Dreiecke

M9 5.1 Satz des Pythagoras (ca. 10 Std.)



• beweisen den Satz des Pythagoras und unterscheiden diesen von seinerUmkehrung, indem sie für beide Sätze jeweils Voraussetzung und Behauptung

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39 25.05.2016

benennen. Im Rahmen der Beweisführung argumentieren sie auf der Grundlage eines gefestigten Verständnisses der Struktur mathematischer Sätze folgerichtig.

• führen an rechtwinkligen Dreiecken unter flexibler Anwendung des Satzes desPythagoras Berechnungen durch.

• lösen im Bewusstsein seiner Bedeutung in kulturgeschichtlicher wie auchanwendungspraktischer Hinsicht vielfältige Aufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung.

M9 5.2 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck (ca. 9 Std.)



• begründen mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken, dass bei einem rechtwinkligenDreieck jedes Verhältnis zweier Seitenlängen bereits die Größen aller Innenwinkelfestlegt und umgekehrt die Vorgabe der Innenwinkel alle Seitenverhältnisse.

• identifizieren die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinusbzw. Tangens der Größe des jeweils zugehörigen spitzen Innenwinkels und führendurch flexible Verwendung dieser Beziehungen Berechnungen an rechtwinkligenDreiecken durch.

• deuten bei rechtwinkligen Dreiecken, deren Hypotenuse die Länge 1 hat, Sinus undKosinus der Größen der Innenwinkel als Kathetenlängen. Sie begründen dieZusammenhänge (sin α)2 + (cos α)2 = 1, , cos α = sin (90° − α) undsin α = cos (90° − α).

• lösen – ggf. unter Verwendung von Problemlösestrategien (z. B. Einzeichnen vonHilfslinien) – nun auch rechnerisch Anwendungsaufgaben (z. B. aus der Physik oderaus dem Vermessungswesen), die bisher nur konstruktiv lösbar waren, und sind sichihres entsprechenden Kompetenzzuwachses bewusst.

M9 6 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel (ca. 27 Std.)



• skizzieren die aus dem Alltag bekannten Körper Prisma, Zylinder, Pyramide undKegel in Schrägbildern, zeichnen zugehörige Netze und beschreiben die Körper undihre Grund- und Mantelflächen mit Fachbegriffen.

• erläutern, inwiefern man gerade Kreiszylinder, gerade Kreiskegel und Kugeln alsRotationskörper interpretieren kann.

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• begründen die Formeln zur Bestimmung des Oberflächeninhalts eines geradenKreiszylinders bzw. eines geraden Kreiskegels; sie verwenden dazu geeigneteSkizzen.

• begründen, dass die Volumina gerader Prismen unabhängig von der Form ihrerGrundfläche gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe sind und wissen,dass z. B. mithilfe des Prinzips von Cavalieri plausibel gemacht werden kann,dass dies auch für schiefe Prismen gilt. Sie machen die Struktur der Formel zurBestimmung des Volumens einer Pyramide plausibel.

• machen die Formeln zur Bestimmung des Volumens eines Kreiszylinders bzw.eines Kreiskegels plausibel, indem sie diese Körper als Grenzfälle von Prismenbzw. Pyramiden betrachten.

• machen die Struktur der Formeln zur Bestimmung des Volumens bzw. desOberflächeninhalts einer Kugel plausibel.

• nutzen auch in Sachzusammenhängen zur Bestimmung von Volumina,Oberflächeninhalten, Längen und Winkelgrößen flexibel die bisher bekanntenVolumen- und Oberflächeninhaltsformeln sowie geometrische Kenntnisse ausanderen Lernbereichen (insbesondere trigonometrische Zusammenhänge,Strahlensatz und Satz des Pythagoras). Ihre Lösungswege entwickeln sie dabeiauf der Grundlage eines gewachsenen räumlichen Vorstellungsvermögensanhand von Überlegungen an geeigneten Skizzen, in einfachen Fällen auch imKopf.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 10M10 1 Sinus- und Kosinusfunktion (ca. 17 Std.)



• verstehen das Bogenmaß als alternative Möglichkeit, Winkelgrößen zubeschreiben, und wechseln sicher zwischen Bogen- und Gradmaß.

• veranschaulichen Sinus- und Kosinuswerte von Winkelmaßen zwischen 0 und 2πam Einheitskreis und ermitteln insbesondere das zugehörige Vorzeichen sicher.Sie bestimmen die Maße von Winkeln, die einen vorgegebenen Sinus- oderKosinuswert besitzen.

• ermitteln Werte von Sinus und Kosinus für Winkelmaße größer als 2π sowie fürnegative Winkelmaße, indem sie diese mithilfe des Einheitskreises auf Werte fürWinkelmaße zwischen 0 und 2π zurückführen.

• leiten mithilfe des Einheitskreises den Verlauf der Graphen der Sinus- und derKosinusfunktion ab und begründen insbesondere deren Periodizität sowie denZusammenhang zwischen den beiden Funktionen.

• beschreiben für Funktionen mit Termen der Form a ⋅ sin(b ⋅ (x + c)) + d, wie sichÄnderungen der Parameter a, b, c und d auf den Funktionsgraphen auswirken.Zur Veranschaulichung nutzen sie auch eine dynamische Mathematiksoftware.

• zeichnen für einen gegebenen Funktionsterm der Form a ⋅ sin(b ⋅ (x + c)) + dunter Verwendung geeigneter Merkmale (insbesondere Amplitude und Periode)den zugehörigen Funktionsgraphen und ermitteln umgekehrt aus dem Graphenden zugehörigen Funktionsterm.

• nutzen Sinus- und Kosinusfunktionen sowie deren Graphen inSachzusammenhängen, u. a. beim Modellieren und beim Problemlösen.

M10 2 Exponentialfunktion und Logarithmus – Exponentielles Wachstum (ca. 15 Std.)



• beschreiben und veranschaulichen die Charakteristika von exponentiellerZunahme und exponentieller Abnahme. Sie grenzen exponentielles Wachstumbegründet von linearem Wachstum ab.

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• beschreiben für Funktionen mit Termen der Form b ⋅ ax in Abhängigkeit von a und bden Verlauf des zugehörigen Graphen und dessen typische Merkmale (Wertemenge,Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, asymptotisches Verhalten,Monotonieverhalten) und argumentieren damit.

• verstehen die Definition des Logarithmus und ermitteln Logarithmen in einfachenFällen mithilfe der Definition, andernfalls mit dem Taschenrechner.

• lösen einfache Exponentialgleichungen und wenden dabei auch die Regellogb(uz) = z ⋅ logb(u) an.

• lösen realitätsnahe Aufgabenstellungen im Zusammenhang mit Wachstums- undAbklingvorgängen graphisch und rechnerisch, reflektieren ihre Lösungswege undstrategien und bewerten ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang, z. B. hinsichtlich

von Chancen und Risiken des technologischen Fortschritts.

M10 3 Ganzrationale Funktionen (ca. 8 Std.)



• verstehen ganzrationale Funktionen als Summe von Potenzfunktionen mitganzzahligen nicht-negativen Exponenten und begründen anhand desFunktionsterms (in allgemeiner oder faktorisierter Form) das Verhalten einerganzrationalen Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs, bestimmen inFällen angemessener Komplexität Nullstellen und deren Vielfachheit und erstellendamit eine Skizze des Graphen.

• ziehen aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion, soweit möglich,Rückschlüsse auf den Grad der Funktion oder auch auf den zugehörigenFunktionsterm.

• überprüfen rechnerisch sowie durch Analyse der Struktur des Funktionsterms, ob derGraph einer ganzrationalen Funktion Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw.Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs aufweist.

M10 4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit (ca. 10 Std.)



• unterscheiden bedingte von nicht bedingten Wahrscheinlichkeiten. Sie bestimmenbedingte Wahrscheinlichkeiten auch unter Verwendung von Baumdiagrammen undVierfeldertafeln.

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• verstehen, dass in Sachzusammenhängen (z. B. in der medizinischen Diagnostik)klar zwischen PB(A) und PA(B) unterschieden werden muss, und sind in derLage, mithilfe von Vierfeldertafeln oder Baumdiagrammen – auch solchen, indenen sie Wahrscheinlichkeiten mithilfe von absoluten Häufigkeiten in denFeldern bzw. Knoten illustrieren – von der einen auf die andere bedingteWahrscheinlichkeit zu schließen.

• erläutern die Bedeutung der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse ankonkreten Beispielen. Sie erkennen die stochastische Unabhängigkeit bzw.Abhängigkeit von Ereignissen an Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln undprüfen auch rechnerisch, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

M10 5 Gebrochen-rationale Funktionen – Grenzwerte und Asymptoten (ca. 20 Std.)



• ermitteln Nullstellen und Polstellen einfacher gebrochen-rationaler Funktionen(d. h. von Funktionen, bei denen sowohl Zähler- als auch Nennerpolynomhöchstens den Grad 2 aufweisen und deren Funktionsterm in vollständiggekürzter Form vorliegt).

• erläutern die anschauliche Bedeutung des Grenzwerts einer Funktion für x → +∞,für x → −∞ und für x → x0. Sie ermitteln anhand des Funktionsterms – auchmithilfe zielgerichteter elementarer Termumformungen – Grenzwerte einfachergebrochen-rationaler Funktionen an den Rändern des jeweiligenDefinitionsbereichs und verwenden dabei die Grenzwertschreibweise.

• ermitteln die Gleichungen von senkrechten und waagrechten Asymptoten derGraphen einfacher gebrochen-rationaler Funktionen und geben ggf. dieGleichung der schrägen Asymptote eines solchen Graphen an, wenn dieseunmittelbar aus dem zugehörigen Funktionsterm ersichtlich ist.

• analysieren einfache gebrochen-rationalen Funktionen hinsichtlich ihrerwesentlichen Eigenschaften (z. B. Nullstellen, Verhalten in der Umgebung einerPolstelle, Verhalten für x → +∞), schließen damit auf den Verlauf des jeweiligenGraphen und zeichnen diesen.

• ermitteln die Koordinaten von Schnittpunkten der Graphen zweier einfachergebrochen-rationaler Funktionen bzw. des Graphen einer einfachen gebrochen-rationalen Funktion mit dem Graphen einer linearen Funktion rechnerisch, sofernsich das Lösen der dabei auftretenden Bruchgleichung auf das Lösen einerlinearen oder quadratischen Gleichung zurückführen lässt.

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M10 6 Spezielle Eigenschaften von Funktionen (ca. 14 Std.)



• unterscheiden Konvergenz und Divergenz anhand der bekannten Funktionstypen.Sie kennen für alle bekannten Funktionstypen charakteristische Vertreter undbringen durch geeignete Skizzen der zugehörigen Graphen wesentlicheEigenschaften der jeweiligen Funktion deutlich zum Ausdruck.

• überprüfen rechnerisch, ob die Graphen von Funktionen Achsensymmetrie bezüglichder y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs aufweisen.

• verstehen die formale Definition der Monotonie und wenden diese in einfachen Fällenzur Beschreibung des Verlaufs von Graphen unterschiedlicher Funktionstypen an.

• erläutern, wie die Änderungen der Werte bestimmter Parameter in einemFunktionsterm den zugehörigen Graphen beeinflussen (Verschiebung in x- oder y-Richtung, Streckung in x- oder y-Richtung, Spiegelung an einer Koordinatenachse),und nutzen dies bei Argumentationen.

• unterscheiden auf der Grundlage einer anschaulichen Vorstellung von Stetigkeitanhand von Beispielen für abschnittsweise definierte Funktionen Graphen stetigerFunktionen von Graphen nicht stetiger Funktionen.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 11M11 1 Grundlagen der Differentialrechnung

M11 1.1 Lokales Differenzieren (ca. 9 Std.)



• berechnen Werte von Differenzenquotienten und deuten diese geometrisch alsSekantensteigungen. Außerdem interpretieren sie den Differenzenquotienten alsmittlere Änderungsrate und nutzen diese Interpretation auch im Sachkontext(z. B. durchschnittliche Steigung eines Wegs, Durchschnittsgeschwindigkeit).

• deuten den Wert eines Differentialquotienten geometrisch als Tangentensteigung,interpretieren ihn als lokale Änderungsrate und nutzen diese Interpretation auchim Sachkontext (z. B. lokale Steigung eines Wegs, Momentangeschwindigkeit)und argumentieren damit.

• berechnen für elementare rationale Funktionen Werte von Differentialquotienten.• erläutern an Graphen von Funktionen die Bedeutung des Begriffs der lokalen

Differenzierbarkeit; dabei skizzieren sie insbesondere Graphen von Funktionen(u. a. der Betragsfunktion), die nicht differenzierbar sind.

M11 1.2 Globales Differenzieren (ca. 6 Std.)



• erläutern die Definition der Ableitungsfunktion, schließen aus dem Graphen einerFunktion auf den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion und erklären ihreVorgehensweise.

• leiten ganzrationale Funktionen ab und nutzen dabei auch die Faktor- und dieSummenregel.

• nutzen die Ableitungsfunktion, um die Gleichung einer Tangente in einemGraphenpunkt aufzustellen.

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M11 1.3 Grundlagen für die Untersuchung von Funktionen – Ganzrationale Funktionen (ca. 14 Std.)



• verstehen, wie man aus der ersten Ableitung einer Funktion Rückschlüsse auf derenMonotonieverhalten sowie auf deren Extremstellen ziehen kann, und wenden diesauf ganzrationale Funktionen an.

• interpretieren das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen alsMonotonieverhalten der ersten Ableitung einer Funktion; sie erläutern, dass an einerWendestelle die Steigung des Funktionsgraphen bzw. die lokale Änderungsrate derFunktion extremal ist und interpretieren dies im Sachkontext (z. B. Zeitpunkt größtenWachstums). Sie untersuchen das Krümmungsverhalten ganzrationaler Funktionenmithilfe der zweiten Ableitung und ermitteln rechnerisch Wendestellen dieserFunktionen.

• unterscheiden bei Extremstellen bzw. Wendestellen zwischen notwendigen undhinreichenden Bedingungen. Sie begründen beispielsweise, dass die Bedingungf '(x0) = 0 notwendig, aber nicht hinreichend für die Existenz einer Extremstelle einerdifferenzierbaren Funktion f an der Stelle x0 ist.

• analysieren ganzrationale Funktionen, auch mit Parametern, hinsichtlich ihrerEigenschaften durch flexible und reflektierte Nutzung der Methoden derDifferentialrechnung, auch unter Verwendung einer dynamischenMathematiksoftware.

• schließen aus dem Graphen einer Funktion auf den Graphen einer zugehörigenStammfunktion sowie bei ganzrationalen Funktionen auch aus dem Funktionstermauf die Terme zugehöriger Stammfunktionen und begründen ihre jeweiligeVorgehensweise.

M11 2 Zufallsgrößen und Binomialverteilung (ca. 20 Std.)



• verstehen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht als Grenzwert derrelativen Häufigkeit im Sinne der im Zusammenhang mit Funktionen erworbenenBegriffsvorstellung aufgefasst werden kann, sondern als „Stabilisierung“ derrelativen Häufigkeit, kennen die axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit undsind sich des damit verbundenen langwierigen mathematikhistorischen Prozessesbewusst.

• erläutern die Begriffe Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung und bestimmenErwartungswerte und Standardabweichungen. Sie veranschaulichen die

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsgrößen, z. B. durch Säulendiagramme oder Histogramme mit Rechtecksbreite 1.

• führen Sachsituationen durch Analogiebildung auf die Urnenmodelle „Ziehen mitZurücklegen“ bzw. „Ziehen ohne Zurücklegen“ zurück, um die Anzahl möglicher Ergebnisse auch unter Zuhilfenahme von Binomialkoeffizienten zu bestimmen. In einfachen Fällen berechnen sie damit verbundene Wahrscheinlichkeiten.

• modellieren Sachzusammenhänge mit Bernoulli-Ketten und verwenden dieBinomialverteilung bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

• berechnen mithilfe der Parameter der Binomialverteilung den Erwartungswert unddie Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen, wenden die Sigma-Regeln an und erläutern – auch unter Nutzung einer dynamischen Mathematiksoftware – den Einfluss der Parameter auf die graphische Darstellung der Binomialverteilung.

M11 3 Untersuchung von Funktionen – Ableitungsregeln

M11 3.1 Sinus- und Kosinusfunktion – Produkt- und Kettenregel (ca. 10 Std.)



• machen die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion und die der Kosinusfunktionanhand graphischer Überlegungen, ggf. unter Nutzung einer dynamischenMathematiksoftware, plausibel.

• leiten Sinus- und Kosinusfunktion sowie einfache Verknüpfungen undVerkettungen dieser Funktionen mit ganzrationalen Funktionen ab; hierfür nutzensie auf der Grundlage eines gefestigten Verständnisses von Termstrukturen dieProdukt- und die Kettenregel.

• untersuchen Sinus- und Kosinusfunktionen sowie einfache Verknüpfungensolcher Funktionen insbesondere mit linearen Funktionen (z. B. x ↦ x + sin x) nunauch mit den Methoden der Differentialrechnung.

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M11 3.2 Gebrochen-rationale Funktionen – Quotientenregel (ca. 7 Std.)



• leiten einfache gebrochen-rationale Funktionen (d. h. Funktionen, bei denen sowohlZähler- als auch Nennerpolynom höchstens den Grad 2 aufweisen und derenFunktionsterm in vollständig gekürzter Form vorliegt) ab; hierfür nutzen sieinsbesondere die Quotientenregel.

• wenden bei der Untersuchung einfacher gebrochen-rationaler Funktionen nun auchdie Methoden der Differentialrechnung reflektiert an.

M11 4 Untersuchung von Funktionen – Umkehrfunktion

M11 4.1 Wurzelfunktion (ca. 10 Std.)



• schließen mithilfe der strengen Monotonie auf die Umkehrbarkeit einer Funktion underläutern insbesondere bei Quadrat- und Wurzelfunktion, wie die Graphen vonFunktion und zugehöriger Umkehrfunktion auseinander hervorgehen. In einfachenFällen bestimmen sie rechnerisch den Term der Umkehrfunktion.

• leiten Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten sowie Verknüpfungen undVerkettungen dieser Potenzfunktionen mit Funktionen bisher bekannterFunktionstypen ab; hierfür nutzen sie flexibel die Produkt-, die Quotienten- und dieKettenregel.

• untersuchen einfache Verknüpfungen und Verkettungen der Wurzelfunktion mitFunktionen bisher bekannter Funktionstypen auch mit den Methoden derDifferentialrechnung.

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M11 4.2 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion (ca. 14 Std.)



• verstehen die natürliche Exponentialfunktion als Funktion, bei der Funktionstermund Term der Ableitungsfunktion übereinstimmen, und leiten damit auchVerknüpfungen und Verkettungen der Exponentialfunktion mit Funktionen bisherbekannter Funktionstypen ab.

• untersuchen gezielt auch mit den Methoden der DifferentialrechnungVerkettungen sowie Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mitFunktionen bisher bekannter Funktionstypen. Durch einen Vergleich desWachstums von Exponential- und Potenzfunktion machen sie insbesondere die

Grenzwerte und plausibel.• verstehen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen

Exponentialfunktion und leiten unter Nutzung dieses Zusammenhangs denFunktionsterm für die Ableitungsfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion her.

• untersuchen in einfachen Fällen Verkettungen sowie Verknüpfungen dernatürlichen Logarithmusfunktion mit Funktionen bisher bekannter Funktionstypenauch mit den Methoden der Differentialrechnung und nutzen dabei auch dieRechenregeln für Logarithmen reflektiert. Durch einen Vergleich des Wachstumsvon Logarithmus- und Potenzfunktion machen sie insbesondere die Grenzwerte

und plausibel.

M11 5 Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum (ca. 22 Std.)



• stellen im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem Punkte, Figurensowie Körper dar. Sie beschreiben u. a. den Zusammenhang der Koordinaten vonPunkten, die bzgl. der Koordinatenebenen, der Koordinatenachsen bzw. desKoordinatenursprungs symmetrisch liegen.

• addieren und subtrahieren Vektoren im Anschauungsraum und multiplizierendiese mit einem Skalar. Unter Verwendung der Koordinatenschreibweise vonVektoren sowie von Rechengesetzen für Vektoren führen sie die genanntenOperationen auch rechnerisch durch.

• nutzen das Skalarprodukt von Vektoren für Längen- undWinkelgrößenbestimmungen sowie für Argumentationen, stellen Gleichungen vonKugeln in Koordinatenform auf und interpretieren diese.

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• bestimmen das Vektorprodukt zweier Vektoren, um damit vorteilhaft orthogonaleVektoren anzugeben sowie Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken undin Verbindung mit dem Skalarprodukt Volumina geeigneter Körper zu berechnen.

• stellen auch anspruchsvolle räumliche Betrachtungen an und nutzen beiBerechnungen an geometrischen Körpern und Figuren – auch inSachzusammenhängen – flexibel sowohl die grundlegenden Konzepte undStrategien aus der Mittelstufe als auch die Vektorrechnung und reflektieren Vor- undNachteile der unterschiedlichen Lösungswege.

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FachlehrpläneGymnasium: Mathematik 12M12 1 Flächeninhalt und bestimmtes Integral (ca. 24 Std.)



• verstehen, dass das bestimmte Integral eine Flächenbilanz beschreibt, undnutzen dies für Argumentationen. Sie interpretieren das bestimmte Integral alsGesamtänderung einer Größe, wenn die Integrandenfunktion die lokaleÄnderungsrate dieser Größe beschreibt (z. B. geänderte Füllmenge nach Zu- undAbfluss).

• definieren den Begriff Integralfunktion und beschreiben seine Bedeutung; siebegründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mithilfeanschaulicher Überlegungen und erläutern, dass Differenzieren und IntegrierenUmkehroperationen sind.

• ermitteln mithilfe von Stammfunktionen die Werte von bestimmten Integralensowie integralfreie Darstellungen von Integralfunktionen und grenzen die BegriffeIntegralfunktion und Stammfunktion voneinander ab.

• berechnen Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind,mithilfe der Integralrechnung und erläutern ihr Vorgehen.

• schließen vom Graphen einer Funktion auf den Verlauf des Graphen einerzugehörigen Integralfunktion und vom Graphen einer Integralfunktion auf denGraphen der zugehörigen Integrandenfunktion.

• bestimmen mithilfe der Integralrechnung das Volumen eines Körpers, der durchRotation um die Abszissenachse entsteht.

• ermitteln unbestimmte Integrale unter Anwendung der Faktor- und Summenregelfür Integrale. Darüber hinaus erkennen sie die Struktur von Funktionstermen, die

die Form oder f '(x) ⋅ ef(x) haben, und integrieren entsprechende Funktionensowie Funktionen mit Termen der Form f(ax + b), wenn eine Stammfunktion von fbekannt ist.

M12 2 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung (ca. 20 Std.)



• analysieren Funktionen, auch mit Parametern, hinsichtlich ihrer Eigenschaftendurch flexible und reflektierte Nutzung der Methoden der Differential- und

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Integralrechnung, auch unter Verwendung einer dynamischen Mathematiksoftware. Ergebnisse interpretieren sie insbesondere in Sachzusammenhängen, Lösungswege dokumentieren sie nachvollziehbar und formal korrekt.

• wenden die Methoden der Differential- und Integralrechnung im Rahmen der Lösunginner- und außermathematischer Problemstellungen an und argumentieren mit ihnen. Insbesondere lösen sie Extremwertprobleme und bestimmen aus gegebenen Bedingungen die Werte von Parametern eines Funktionsterms.

M12 3 Einseitiger Signifikanztest (bei als binomialverteilt angenommenen Merkmalen) (ca. 8 Std.)



• beschreiben anhand eines Beispiels das grundsätzliche Vorgehen bei einemeinseitigen Signifikanztest und grenzen dabei auch die Statistik von derWahrscheinlichkeitsrechnung ab. Sie erläutern, inwiefern die Zielsetzung des Testsdie Wahl der Nullhypothese beeinflusst.

• berechnen für einseitige Signifikanztests unter Annahme der Gültigkeit derNullhypothese die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese verworfen wird, sowie unterAnnahme der Gültigkeit einer konkreten alternativen Hypothese dieWahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird.

• bestimmen bei gegebenem Signifikanzniveau den Ablehnungsbereich eineseinseitigen Signifikanztests.

• interpretieren Ergebnisse einseitiger Signifikanztests im Sachzusammenhang richtigund widerlegen Fehlinterpretationen; sie erläutern insbesondere, dass derSignifikanztest keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit derNullhypothese zulässt.

M12 4 Normalverteilung (ca. 10 Std.)



• begründen die Bedeutung der Normalverteilung damit, dass die Erhebung vonMerkmalen aus unterschiedlichsten Bereichen (z. B. Intelligenzquotient, zufälligeAbweichungen vom Sollwert bei Werkstücken) sehr häufig zu glockenförmigenHistogrammen führt.

• erläutern die Eigenschaften der Gauß’schen Funktion sowie die Bedeutung derParameter μ und σ in deren Funktionsgleichung für den Verlauf des Graphen, z. B.mithilfe einer dynamischen Mathematiksoftware. Liegt eine Datenerhebung eines

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(annähernd) normalverteilten Merkmals vor, stellen sie den Zusammenhang zwischen dem Parameter μ der Gauß’schen Funktion und dem Mittelwert dererhobenen Daten her.

• bestimmen mithilfe der Integralfunktion der Gauß’schen Funktion dieWahrscheinlichkeit, dass die Werte der Zufallsgröße in einem bestimmten Intervall liegen. Sie beschreiben den Verlauf und die charakteristischen Eigenschaften des Graphen der Integralfunktion der Gauß’schen Funktion.

• schätzen mithilfe der Sigma-Regeln Wahrscheinlichkeiten ab.

M12 5 Geraden und Ebenen im Raum (ca. 22 Std.)



• stellen die Gleichungen von Geraden und Ebenen in Parameterform auf unddeuten die lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit von Vektorenanschaulich. Sie stellen, falls möglich, einen Vektor als Linearkombinationanderer Vektoren dar.

• stellen die Gleichungen von Ebenen in Normalenform auf und ziehen inbesonderen Fällen aus der Ebenengleichung Rückschlüsse auf die Lage derEbene im Koordinatensystem.

• ermitteln systematisch und begründet die gegenseitige Lage von Geraden, vonEbenen sowie von Geraden und Ebenen zueinander und berechnen ggf.Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sowie die Größe von Schnittwinkeln.

• erläutern, welche Vor- und Nachteile die unterschiedlichen Darstellungsformenvon Ebenengleichungen, z. B. im Zusammenhang mit Lagebetrachtungen undAbstandsberechnungen, haben, und bestimmen den Abstand zweier Punkte,eines Punkts von einer Geraden oder einer Ebene, zweier Geraden oder zweierEbenen sowie einer Geraden von einer Ebene, ggf. auch unter Verwendung derHesse’schen Normalenform.

• wenden bei Berechnungen an geometrischen Objekten – inSachzusammenhängen auf der Grundlage einer geeigneten Modellierung –Methoden aus der analytischen Geometrie sowie grundlegende Konzepte undStrategien aus der Mittelstufe flexibel und situationsgerecht an und diskutierenunterschiedliche Lösungswege vergleichend.

lehrplanplus gymnasium mathematik · gesellschaft für didaktik der mathematik€61 (1995),...

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