4/18/2020

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Electromagnetics:

Electromagnetic Field Theory

Dispersion Relation

Lecture Outline

•Dispersion relation• Index ellipsoids•Material properties explained by index ellipsoids

Slide 2

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Slide 3

Dispersion Relation

Derivation in LHI Media (1 of 2)

Slide 4

Start with the wave equation.

220 0E k n E

Plane wave solution

jk rE r Pe

Solve wave equation

Finish Derivation

220 0jk r jk rPe k n Pe

220 0jk r jk re k n e

220 0jk r jk rk e k n e

220 0k k n

Substitute plane wave solution into wave equation.

Divide both sides by 𝑃.

Calculate the Laplacian.

Divide both sides by 𝑒 · ⃗.

3

4

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Derivation in LHI Media (2 of 2)

Slide 5

Starting from the previous slide

220k k n Move  𝑘 𝑛 to the right‐hand side.

220 0k k n

2

22 2 2 20

0x y z

nk k k k k n

c

Recall that 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 and 𝑘 𝜔𝑛 𝑐⁄ , the dispersion relation is

The dispersion relation relates frequency  to wave number k.  For LHI media, it fixes the magnitude of the wave vector to be a constant for all wave directions.

Slide 6

Index Ellipsoids

5

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The Index Ellipsoid

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22 2 20x y zk k k k n

From the previous slide, the dispersion relation for a LHI material was:

This is an equation for a sphere of radius 𝑘 𝑛. 

2 2 2 2x y z r

Pick a point on the surface.

The vector from the origin to 

this point is the wave vector 𝑘.

𝑘

Index Ellipsoids Convey Refractive Index

Slide 8

0k k n

If frequency 𝑘 is known, the magnitude of the wave 

vector  𝑘 conveys refractive index 𝑛.

Based on this, the index ellipsoid can be interpreted as a map of the refractive index that a wave experiences as a function of direction of that wave.

𝑘

𝑛 𝑘

7

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Index Ellipsoid for Isotropic Materials

Slide 9

2 2 2 2 20x y zk k k k n

z

Index Ellipsoid for Uniaxial Materials

Slide 10

2 2 2 2 2 22 20 02 2 2

o e o

0x y z z y zk k k k k k

k kn n n

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

Ordinary WaveSphere

Extraordinary WaveEllipsoid

Negative Uniaxial Medium𝑛 𝑛

Positive Uniaxial Medium𝑛 𝑛

9

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Index Ellipsoid for Biaxial Materials

Slide 11

22 2

2 2 22 2 2 2 2 20 0 0

1yx z

x y z

kk k

k k n k k n k k n

Convention𝑛 𝑛 𝑛

Slide 12

Material Properties Explained by Index 

Ellipsoids

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Direction of Phase and Power

Slide 13

Isotropic Materials

k

x

y

k

Anisotropic Materials

x

y

Power propagates in the direction of ℘ which is normal to the surface of the index ellipsoid.

Phase propagates in the direction of 𝑘. 

Illustration of 𝑘 Not Same as ℘

Slide 14

Negative refraction

𝑘℘

𝑘℘

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Double Refraction in Anisotropic Materials

Slide 15

Isotropic Materials

y

1k

x

2k

Anisotropic materials have two index ellipsoids – one for each polarization.  Wave power refracts in directions at the same time, producing double refraction.

y

1k

x

ok

Anisotropic Materials

ek

Self‐Collimation in Photonic Crystals

Slide 16

“flat” underside

large angular 

span of 𝑘

direction of power flow

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