2/19/2018

1

Lecture 8 Slide 1

EE 5337

Computational Electromagnetics

Lecture #8

Diffraction Gratings and the Plane Wave Spectrum These notes may contain copyrighted material obtained under fair use rules.  Distribution of these materials is strictly prohibited  

InstructorDr. Raymond Rumpf(915) 747‐6958rcrumpf@utep.edu

Outline

Lecture 8 Slide 2

• Fourier Series

• Diffraction from gratings

• The plane wave spectrum

• Plane wave spectrum for crossed gratings

• Power flow from gratings

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2

Lecture 8 Slide 3

Fourier Series

Jean Baptiste Joseph Fourier

Born:

Died:

March 21, 1768in Yonne, France.

May 16, 1830in Paris, France.

Lecture 8 Slide 4

1D Complex Fourier Series

If a function f(x) is periodic with period x, it can be expanded into a complex Fourier series.

2

22

2

1

x

x

x

x

pxj

pp

pxj

px

f x a e

a f x e dx

Typically, we retain only a finite number of terms in the expansion.

2

x

pxP j

pp P

f x a e

x

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3

Lecture 8 Slide 5

2D Complex Fourier Series

For 2D periodic functions, the complex Fourier series generalizes to

2 2 2 2

, ,

1, ,x y x y

px qy px qyj j

p q p qp q A

f x y a e a f x y e dAA

y

x

Lecture 8 Slide 6

3D Complex Fourier Series

For 3D periodic functions, the complex Fourier series generalizes to

2 2 2 2 2 2

, , , ,

1, , , ,x y z x y z

px qy ry px qy ryj j

p q r p q rp q r V

f x y z a e a f x y z e dVV

xy

z

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4

Lecture 8 Slide 7

Diffraction from Gratings

Lecture 8 Slide 8

Fields are Perturbed by Objects

A portion of the wave front is delayed after travelling through the dielectric object.

inck

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5

Lecture 8 Slide 9

Fields in Periodic Structures

Waves in periodic structures take on the same periodicity as their host.

x

inck

Lecture 8 Slide 10

Diffraction From Gratings

The field is no longer a pure plane wave.  The grating “chops” the wave front and sends the power into multiple discrete directions called diffraction orders.

inck

1,trnk

2,trnk

3,trnk

4,trnk 5,trnk

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6

Lecture 8 Slide 11

Grating Lobes

If we were to plot the power exiting a periodic structure as a function of angle, we would get the following.  The power peaks are called grating lobes or sometimes side lobes.  The power minimums are called nulls.

Grating Lobe Level

Main Beam (Zero‐order mode)

Lecture 8 Slide 12

Diffraction ConfigurationsPlanar Diffraction from a Ruled Grating Conical Diffraction from a Ruled Grating

Conical Diffraction from a Crossed Grating with Planar Incidence

Conical Diffraction from a Crossed Grating

• Diffraction is confined within a plane

• Numerically much simpler than other cases

• E and H modes are independent

• Diffraction is no longer confined to a plane

• Almost same analytical complexity as crossed grating case

• E and H modes are coupled

• Diffraction occurs in all directions

• Almost same numerical complexity as next case

• E and H modes are coupled

• Diffraction occurs in all directions

• Most complicated case numerically

• E and H modes are coupled

• Essentially the same as previous case

transmittedtransmitted

reflected

transmitted

reflected

transmitted

incidentreflected

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7

Lecture 8 Slide 13

Grating Equation for Planar Diffraction

The angles of the diffracted modes are related to the wavelength and grating period through the grating equation.

The grating equation only predicts the directions of the modes, not how muchpower is in them.

Reflection Region

0trn inc incsin sinm

x

n n m

0ref inc incsin sinm

x

n n m

Transmission Region

ref incn n

trnn

x

Lecture 8 Slide 14

Effect of Grating Periodicity

0

avgx n

0 0

avg incxn n

0

incx n

0

incx n

SubwavelengthGrating

“Subwavelength”Grating

Low Order Grating High Order Grating

navg navg navg navg

ninc ninc ninc ninc

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8

Lecture 8 Slide 15

Animation of Grating Diffraction (1 of 2)

Lecture 8 Slide 16

Animation of Grating Diffraction (2 of 2)

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9

Lecture 8 Slide 17

The Plane Wave Spectrum

Lecture 8 Slide 18

Periodic Functions Can Be Expanded into a Fourier Series

2

2

x

x

mxj

m

mxj

A x S m e

S m A x e dx

The envelop A(x) is periodic along x with period x so it can be expanded into a Fourier series.

Waves in periodic structures obey Bloch’s equation

, j rE x y A x e

x A x

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Rearrange the Fourier Series (1 of 2)

A periodic field can be expanded into a Fourier series.

x

, j rE x y A x e

2

2

2

x

x

yx x

mxj

j r

m

mxj

j r

m

mxj

j yj x

m

S m e e

S m e e

S m e e e

Lecture 8 Slide 19

Here the plane wave term ejxx is brought inside of the summation.

Rearrange the Fourier Series (2 of 2)

x can be combined with the last complex exponential.

x

2

, yx x

mxj

j yj x

m

E x y S m e e e

2

xy x

mj x

j y

m

S m e e

Lecture 8 Slide 20

Now let                                and y,m yk ,

2x m x

x

mk

, jk m r

m

E x y S m e

2

ˆ ˆx x y yx

mk m a a

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Lecture 8 Slide 21

The Plane Wave Spectrum

, jk m r

m

E x y S m e

We rearranged terms and now we see that a periodic field can also be thought of as an infinite sum of plane waves at different angles.  This is the “plane wave spectrum” of a periodic field.

FieldPlane Wave Spectrum

Lecture 8 Slide 22

Longitudinal Wave Vector Components of the Plane Wave Spectrum

The wave incident on a grating can be written as

,inc ,inc ,inc 0 inc inc

inc 0,inc 0 inc inc

sin,

cosx yj k x k y x

y

k k nE x y E e

k k n

Phase matching into the grating leads to

,inc

2x x

x

k m k m

, 2, 1,0,1, 2,m

Each wave must satisfy the dispersion relation.

22 20 grat

2 20 grat

x y

y x

k m k m k n

k m k n k m

We have two possible solutions here.1. Purely real ky

2. Purely imaginary ky.

Note: kx is always real.

inc

x

y

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Lecture 8 Slide 23

Visualizing Phase Matching into the Grating

The wave vector expansion for the first 11 modes can be visualized as…

inck

0xk 1xk 2xk 3xk 4xk 5xk 1xk 2xk 3xk 4xk 5xk

2n

1n

ky is real.  A wave propagates into material 2.

ky is imaginary.  The field in material 2 is evanescent.

ky is imaginary.  The field in material 2 is evanescent.

Each of these is phase matched into material 2.  The longitudinal component of the wave vector is calculated using the dispersion relation in material 2.

Note:  The “evanescent” fields in material 2 are not completely evanescent.  They have a purely real kx so power flows in the transverse direction.

x

y

Conclusions About the Plane Wave Spectrum

• Fields in periodic media take on the same periodicity as the media they are in.

• Periodic fields can be expanded into a Fourier series.

• Each term of the Fourier series represents a spatial harmonic (plane wave).

• Since there are in infinite number of terms in the Fourier series, there are an infinite number of spatial harmonics.  

• Only a few of the spatial harmonics are actually propagating waves.  Only these can carry power away from a device.  Tunneling is an exception.

Lecture 8 Slide 24

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Lecture 8 Slide 25

Plane Wave Spectrumfrom Crossed Gratings

Lecture 8 Slide 26

Grating Terminology

1D gratingRuled grating

Requires a 2D simulation

2D gratingCrossed grating

Requires a 3D simulation

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Lecture 9 Slide 27

Diffraction from Crossed Gratings

Doubly‐periodic gratings, also called crossed gratings, can diffract waves into many directions.

They are described by two grating vectors, Kx and Ky.

Two boundary conditions are necessary here.

,inc

,inc

..., 2, 1,0,1, 2,...

..., 2, 1,0,1,2,...

x x x

y y y

k m k mK m

k n k nK n

inck

xK

yK

2ˆ

2ˆ

xx

yy

K x

K y

Lecture 8 Slide 28

Transverse Wave Vector Expansion (1 of 2)

Crossed gratings diffraction in two dimensions, x and y.

To quantify diffraction for crossed gratings, we must calculate an expansion for both kx and ky.

% TRANSVERSE WAVE VECTOR EXPANSIONM = [-floor(Nx/2):floor(Nx/2)]';N = [-floor(Ny/2):floor(Ny/2)]';kx = kxinc - 2*pi*M/Lx;ky = kyinc - 2*pi*N/Ly;[ky,kx] = meshgrid(ky,kx);

,inc

,inc

2 , , 2, 1,0,1, 2,

2 , , 2, 1,0,1, 2,

ˆ ˆ,

x xx

y yy

t x y

mk m k m

nk n k n

k m n k m x k n y

We will use this code for 2D PWEM, 3D RCWA, 3D FDTD, 3D FDFD, 3D MoL, and more.

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Lecture 8 Slide 29

Transverse Wave Vector Expansion (2 of 2)

The vector expansions can be visualized this way…

xk m yk n

ˆ ˆ,t x yk m n k m x k n y

Lecture 8 Slide 30

Longitudinal Wave Vector Expansion (1 of 2)

The longitudinal components of the wave vectors are computed as

2 2 2,ref 0 ref

2 2 2,trn 0 trn

,

,

z x y

z x y

k m n k n k m k m

k m n k n k m k m

The center few modes will have real kz’s.  These correspond to propagating waves.  The others will have imaginary kz’s and correspond to evanescent waves that do not transport power.

,ref ,zk m n ,tk m n

% Compute Longitudinal Wave Vector Componentsk0 = 2*pi/lam;kzinc = k0*nref;kzref = -sqrt((k0*nref)^2 - kx.^2 - ky.^2);kztrn = sqrt((k0*ntrn)^2 - kx.^2 - ky.^2);

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Lecture 8 Slide 31

Longitudinal Wave Vector Expansion (2 of 2)

The overall wave vector expansion can be visualized this way…

,ref ,zk m n ,tk m n

,ref ,zk m n ,trn ,zk m n

Lecture 8 Slide 32

Power Flow from Gratings

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Lecture 8 Slide 33

Electromagnetic Power Flow

The instantaneous direction and intensity of power flow at any point is given by the Poynting vector.

, , ,r t E r t H r t

The RMS power flow is then

*1, Re , ,

2r E r H r

This is typically just written in the frequency‐domain as

*1Re

2E H

Lecture 8 Slide 34

Wave Expressions

To obtain an expression for the RMS Poynting vector, we first write expression for the electric and magnetic fields.

00, ,jk r jk rk E

E r E e H r e

Substituting these into the definition of RMS Poynting vector gives

*

**

** *

0 00 0 *

2* * *0 0 0* *

2

0 2Im

1 1Re Re

2 2

1 1Re Re

2 2

Re2

jk r jk r jk r jk r

j k k rjk r jk r

k r

k E k EE e e E e e

e e eE k E E k

E ke

2 2* *

0 02Im 2Im

* *0 0 r 0 0 r

Re Re2 2

k r k rE Ek ke e

k k

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Lecture 8 Slide 35

Power Flow Away From Grating

To calculate the power flow away from the grating, we are only interested in the z‐component of the Poynting vector. 

2

0 2Im

0 0 r

Re2

k rE ke

k

z

z

x

x

Note: power travelling in the xdirection does not transport power into or away from a device that is infinitely periodic along x.  This simplifying statement is not true for devices of finite extent.

2

0 2Im

0 0 r

Re2

zk z zz

E kz e

k

Lecture 8 Slide 36

RMS Power of the Diffracted Modes

Recall that the field scattered from a periodic structure can be decomposed into a Fourier series. 

The term Sm is the amplitude and polarization of the mth diffracted mode.  Therefore, power flow away from the grating due to the mth

diffraction order is

, x zjk m x jk m z

m

E x z S m e e

2 20

2x

x

z x

mk m

k m k n k m

22

0 2Im2Im

0 0 r 0 0 r

Re , Re2 2

zz k m zk z zzz z

S mE k mkz e z m e

k k

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Lecture 8 Slide 37

Z Directed Power

From the previous equation, the power flow of the incident, reflected, and transmitted waves into the grating are written as

inc

2inc

2Imincinc

0 0 r,inc

Re2

zk z zz

S kz e

k

refm

ref,z m

ref,x m

trnm

trn,z m

trn,x m

inc

incz

incx

ref

2ref

2Imrefref

0 0 r,ref

, Re2

zk m z zz

S m k mz m e

k

trn

2trn

2Imtrntrn

0 0 r,trn

, Re2

zk m z zz

S m k mz m e

k

Lecture 8 Slide 38

Definition of Diffraction Efficiency

Diffraction efficiency is defined as the power in a specific diffraction order divided by the applied incident power. 

inc

DE z

z

mm

Despite the title “efficiency,” we don’t always want this quantity to be large.  We often want to adjust how much power gets diffracted into each mode.  So it is neither good nor bad to have high or low diffraction efficiency.  It depends on how the grating is being used.

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Lecture 8 Slide 39

Putting it All Together

So far, we have derived expressions for the incident power and power in the diffraction orders.  At the edge of the grating, these are

inc

DE z

z

mm

We also defined the diffraction efficiency of the mth diffraction order as

We can now derive expressions for the diffraction efficiencies of the diffraction orders by combining these expressions.

trn inc

2trntrn

2Imtrn r,trn

DE 2inc incr,incinc

Re

Rez zk m k z zz

z z

S m k mmT m e

kS

Note that: r,inc r,ref

inc ref

2refref

2Imref r,inc

DE 2inc incr,incinc

Re

Rez zk k m z zz

z z

S m k mmR m e

kS

inc

2inc

2Imincinc

0 0 r,inc

Re2

zk z zz

S kz e

k

ref

2ref

2Imrefref

0 0 r,ref

, Re2

zk m z zz

S m k mz m e

k

trn

2trn

2Imtrntrn

0 0 r,trn

, Re2

zk m z zz

S m k mz m e

k

Lecture 8 Slide 40

Diffraction Efficiency for Magnetic Fields

We just calculated the diffraction efficiency equations from electric field quantities.

inc ref

trn inc

th

2refref

2Imref r,inc

DE 2inc incr,incinc

2trn

2Imtrn

DE 2inc

inc

Electric field amplitude of the diffraction order

Re

Re

Re

z z

z z

k k m z zz

z z

k m k z zz

z

S m m

S m k mmR m e

kS

S m kmT m e

S

trn

r,trn

incr,incRe z

m

k

Sometimes we solve Maxwell’s equations for the magnetic fields.  In this case, the diffraction efficiency equations are

inc ref

trn inc

th

2refref

2Imref r,inc

DE 2inc incr,incinc

2trn

2Imtrn

DE 2inc

inc

Magnetic field amplitude of the diffraction order

Re

Re

Re

z z

z z

k k m z zz

z z

k m k z zz

z

U m m

U m k mmR m e

kU

U m kmT m e

U

trn

r,trn

incr,incRe z

m

k

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Lecture 8 Slide 41

Reflectance, Transmittance, and Absorptance

The reflectance R is the sum of the diffraction efficiencies of the reflected modes.

The transmittance T is the sum of the diffraction efficiencies of the transmitted modes.

DEm

R R m

DEm

T T m

The absorptance A is the fraction of power absorbed by the device.

1A R T 0 materials have loss

0 materials have no loss

0 materials have gain

A

A

A

Lecture 8 Slide 42

Simplification for TMM

For TMM, the layers are homogeneous so there is no diffraction.  Therefore, only the m = 0 diffraction order exists.

inc ref

trn inc

th

2 refrefr,inc2Im 0ref

DE 2inc incr,incinc

2trn

2Im 0trn

DE 2inc

inc

0 Electric field amplitude of the 0 diffraction order

ˆRe 0000

ˆRe

0 Re00

z z

z z

zk k zz

z z

k k zz

z

S

kSR e

kS

ST e

S

trn

r,trn

incr,inc

0

Re

z

z

k

k

,ref ,incz zk k trn inc

2

ref

DE 2

inc

2trn

2Imtrn r,trn

DE 2 incr,incinc

Re

Rez zk k z z

z

ER R

E

E kT T e

kE

Since there is only one diffraction order,

inc inc

ref ref

trn trn

DE DE

DE DE

0

0

0

0

E S

E S

E S

R R

T T

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Lecture 8 Slide 43

Diffraction Efficiency Equations in Lossy LHI Materials Right Against Device (i.e. z = 0)

2ref

ref r,inc

DE 2 incr,incinc

2trn

trn r,trn

DE 2 incr,incinc

Re

Re

Re

Re

z

z

z

z

S m k mR m

kS

S m k mT m

kS

Equations for Multiple Diffraction Orders

TMM / Single Diffraction Order2

ref

DE 2

inc

2trn

trn r,trn

DE 2 incr,incinc

Re

Re

z

z

ER R

E

E kT T

kE

2ref

ref r,inc

DE 2 incr,incinc

2trn

trn r,trn

DE 2 incr,incinc

Re

Re

Re

Re

z

z

z

z

U m k mR m

kU

U m k mT m

kU

2

ref

DE 2

inc

2trn

trn r,trn

DE 2 incr,incinc

Re

Re

z

z

HR R

H

H kT T

kH

DE DE m m

R R m T T m

Lecture 8 Slide 44

Diffraction Efficiency Equations in Lossless LHI Materials Right Against Device (i.e. z = 0)

2ref

ref

DE 2 inc

inc

2trn

trnr,incDE 2 inc

r,trn inc

Re

Re

Re

Re

z

z

z

z

S m k mR m

kS

S m k mT m

kS

Equations for Multiple Diffraction Orders

TMM / Single Diffraction Order2

ref

DE 2

inc

2trn

trnr,incDE 2 inc

r,trn inc

Re

Re

z

z

ER R

E

E kT T

kE

2ref

ref

DE 2 inc

inc

2trn

trnr,incDE 2 inc

r,trn inc

Re

Re

Re

Re

z

z

z

z

U m k mR m

kU

U m k mT m

kU

2

ref

DE 2

inc

2trn

trnr,incDE 2 inc

r,trn inc

Re

Re

z

z

HR R

H

H kT T

kH

DE DE m m

R R m T T m