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Matematicas II — GITI (2016–2017)

Leccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Howard probando una app que identifica y resuelve ecuaciones diferenciales (Big Bang Theory, E12-T4 )

1. CALCULO DE PRIMITIVAS

Una parte importante de las asignaturas de matematicas del Bachillerato se dedica a la integracionde funciones de una variable real. En esta leccion empezamos dando un repaso muy breve delcalculo de primitivas ya que lo utilizaremos en la parte verdaderamente central de esta leccion: lasecuaciones diferenciales de primer orden y su resolucion.

Funcion primitiva. Dada una funcion f definida en un intervalo I con valores reales f : I → R,diremos que una funcion F : I → R es una primitiva de f si F es derivable y F ′(x) = f(x) paracada x ∈ I. En algunos textos, las primitivas se llaman antiderivadas.

Integral indefinida. Si una funcion tiene primitiva, entonces tiene muchas (infinitas, de hecho)porque si F es una primitiva de f y c es una constante, entonces F + c tambien es una primitivade f . Ademas, dos primitivas cualesquiera de f difieren en una constante. El conjunto de todaslas primitivas de f es la integral indefinida de f y se denota por

∫f(x) dx. Si F es una primitiva

dada, entonces∫f(x) dx = F (x) + c, donde c recibe el nombre de constante de integracion.

Las primitivas de las funciones elementales mas simples deben ser conocidas del Bachillerato, sonlas integrales o primitivas inmediatas. Para funciones mas complicadas se utilizan metodos quenos reducen el calculo de algunas primitivas a integrales inmediatas; los mas importantes son lapropiedad de linealidad de la integral, el metodo del cambio de variable, el metodo de integracionpor partes y la descomposicion en fracciones simples; todos ellos estudiados en Bachillerato.

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44 Matematicas II — GITI (2016–2017)

Propiedad de linealidad. Sean F,G funciones primitivas respectivas de f, g en un intervalo I ya, b ∈ R dos constantes, entonces aF + bG es una primitiva de af + bg.

Descomposicion en fracciones simples. Si p(x) y q(x) son polinomios, entonces el cociente

f(x) =p(x)

q(x)se llama funcion racional. Las funciones racionales mas importantes son las siguientes:

a

x− α

b

(x− β)2c

x2 + δ2kx

x2 + δ2.

Estas funciones se llaman fracciones simples y todas ellas tienen una primitiva inmediata:∫a

x− αdx = a log

(|x− α|

),

∫b

(x− β)2dx =

−b

x− β,∫

c

x2 + δ2dx = c

δarctg(x/δ),

∫kx

x2 + δ2dx = k

2 log(x2 + δ2).

El procedimiento para hallar una primitiva de una funcion racional cualquiera se basa en que lafuncion se puede descomponer como un polinomio mas una suma de fracciones simples, cuyasprimitivas, como acabamos de ver, son todas inmediatas.

Para ello, el primer paso es hacer la division p(x)/q(x) en potencias decrecientes de x (al contrarioque con los polinomios de Maclaurin) y escribir

f(x) = s(x) +r(x)

q(x)

donde el cociente s(x) es un polinomio y el resto r(x) es un polinomio de grado estrictamente menorque q(x); naturalmente, si el grado de p(x) ya es estrictamente menor que el de q(x) entonces nohay que dividir: el cociente es cero y p(x) es el resto.

Ahora calculamos las raıces del denominador q(x). Si el grado de q(x) es n entonces hay n raıcescontando su multiplicidad. En este curso solo trataremos casos en los que las raıces son realessimples, que aparecen como un factor (x− α) de q(x); reales dobles, que aparecen como un factor(x − β)2 de q(x); o complejas simples, que aparecen como un factor x2 + ℓx+m sin raıces realesde q(x) en cuyo caso, completando cuadrados, escribimos x2 + ℓx+m = (x− γ)2 + δ2 y el par deraıces complejas conjugadas es γ ± iδ.

Una vez calculadas las raıces, el cocienter(x)

q(x)se escribe como una suma de n fracciones simples

construida de la siguiente manera:

(1) Para cada raız real simple α hay una fraccion simplea

x− α.

(2) Para cada raız real doble β hay dos fracciones simplesb

x− β+

c

(x− β)2.

(3) Para cada par de raıces complejas conjugadas γ ± iδ hay dos fracciones simples

d

(x− γ)2 + δ2+

e(x− γ)

(x− γ)2 + δ2.

En este caso se recomienda hacer el cambio de variable t = (x − γ)/δ para hallar lasprimitivas inmediatas.

Hay que tener en cuenta que lo mas pesado a la hora de hacer la descomposicion es hallar loscoeficientes a, b, c, . . . que aparecen en estas fracciones simples.

3. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 45

Metodo de integracion por partes. Si u, v son funciones derivables en un intervalo I, entonces∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx. Esto se escribe a veces como

∫u dv = uv −

∫v du.

Metodo del cambio de variable. Sea x: t ∈ J → x = x(t) ∈ I una funcion derivable querepresenta un cambio de la variable independiente x de una funcion f(x) definida en un intervaloI por una nueva variable independiente t que se mueve en un intervalo J . Si F es una primitivade f en I, entonces la funcion G(t) = F (x(t)) es una primitiva de la funcion g(t) = f(x(t)) · x′(t)en J ; es decir

∫f(x(t)) · x′(t) dt = F (x(t)) + c.

En la practica, cuando hacemos el cambio de variables x = x(t) en la integral∫f(x) dx, lo que

obtenemos al hallar la primitiva de∫f(x(t)) ·x′(t) dt es una funcion G(t) que depende de la nueva

variable t. Pero lo que nos interesa es la primitiva F (x) como funcion de la variable original x.Para ello, deshacemos el cambio de variable, es decir, de la igualdad x = x(t) despejamos t comofuncion de x, digamos t = t(x) (lo que se conoce como la funcion inversa de x(t)), y la primitivaque buscamos se obtiene sustituyendo t por t(x) en G(t), o sea, F (x) = G(t(x)).

Veamos ahora algunos cambios importantes que no suelen estudiarse en el Bachillerato.

Algunos cambios para integrales trigonometricas. Las siguientes igualdades con funcionestrigonometricas permiten sustituir productos por sumas en las integrales, lo que puede ayudar asimplificarlas

sen(ax) sen(bx) = 12

[cos((a− b)x)− cos((a+ b)x)

],

cos(ax) cos(bx) = 12

[cos((a− b)x) + cos((a+ b)x)

],

sen(ax) cos(bx) = 12

[sen((a− b)x) + sen((a+ b)x)

],

y, muy especialmente, las formulas del angulo doble:

cos2(x) =1 + cos(2x)

2, sen2(x) =

1− cos(2x)

2.

En muchas aplicaciones suelen aparecer integrales del tipo∫senm(ax) cosn(ax) dx, donde m,n ≥ 0

son numeros enteros y a > 0. La forma de calcular este tipo de integrales depende de que losexponentes m,n sean pares o impares.

(1) Si n es impar, digamos n = 2p+1, entonces ponemos cosn(ax) =(cos2(ax)

)pcos(ax) y hacemos

el cambio de variable t = sen(ax), con lo que dt = a cos(ax) dx y obtenemos∫senm(ax) cosn(ax) dx =

∫senm(ax)

(cos2(ax)

)pcos(ax) dx =

∫tm

(1− t2

)p dta.

Vemos que la funcion resultante tm(1− t2

)pes un polinomio, cuya primitiva se calcula facilmente.

(2) Si m es impar, se trabaja de forma similar pero hacemos el cambio de variable t = cos(ax).

(3) Si m y n son pares, digamos m = 2p y n = 2q, entonces usamos las formulas del angulo doblecos2(ax) = 1

2

(1 + cos(2ax)

)y sen2(ax) = 1

2

(1− cos(2ax)

)y ponemos∫

senm(ax) cosn(ax) dx =

∫ (1− cos(2ax)

2

)p (1 + cos(2ax)

2

)q

dx

que se convierte en una suma de integrales como las anteriores pero donde los exponentes p, qson menores. Si alguno es impar, aplicamos los casos anteriores; si ambos son pares, reiteramos elprocedimiento hasta que alguno de los exponentes sea impar.

Estos cambios tambien pueden usarse cuando m o n es negativo, pero en este caso aparecenfunciones racionales, no polinomios.


Algunos cambios para integrales con raıces. Las funciones trigonometricas y las funcioneshiperbolicas pueden emplearse para calcular primitivas cuando aparecen raıces cuadradas como√

a2 − x2,√a2 + x2,

√x2 − a2 (a = 0).

(1) Para el caso con√a2 − x2, tomamos x = a sen(t), entonces dx = a cos(t) dt y al sustituir

nos queda√a2 − x2 =

√a2 − a2 sen2(t) = ±a cos(t) (el signo adecuado depende del intervalo

de integracion, hay que tener un poco de cuidado con esto), eliminamos la raız y obtenemos,generalmente, una integral trigonometrica como las descritas antes.

(2) Para el caso con√a2 + x2, tomamos x = a senh(t), entonces dx = a cosh(t) dt y, al sustituir en

√a2 + x2 =

√a2 + a2 senh2(t) = a cosh(t), eliminamos la raız. Otra opcion es x = a tan(t), con lo

que dx =a dt

cos2(t)y como

√a2 + x2 =

√a2 + a2 tan2(t) = a sec(t), tambien eliminamos la raız.

(3) Para el caso con√x2 − a2, tomamos x = a cosh(t) o bien x = a sec(t). En ambos casos, de

manera similar a como hemos hecho antes, se elimina la raız.

(4) Finalmente, si lo que aparece es√±x2 + bx+ c, entonces, completando cuadrados, podemos

escribir ±x2 + bx+ c = ±(x− α)2 ± β2 y remitirnos a alguno de los casos anteriores.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Calcula primitivas de las siguientes funciones:

(1) f(x) = 1 + 3x− 2x2 (2) f(x) = 6xe3x2

+ cos(2x) (3) f(x) = tan(x) + tan2(x)

(4) f(x) =x

1 + x2(5) f(x) =

4

2 + 3x(6) f(x) =

2

x2 + 4

Ejercicio 2. Calcula primitivas de las siguientes funciones racionales:

(1) f(x) =1

x(x+ 2)(2) f(x) =

3x3 − 2x+ 4

3x+ 2(3) f(x) =

x4 − x3 − x− 1

x3 − x2

(4) f(x) =x2 + 8x

x2 + 4(5) f(x) =

3

x2 − 5x+ 4(6) f(x) =

x

x3 − x2 + 2x− 2

(7) f(x) =4x2 + 3x− 9

x+ 2(8) f(x) =

x2

x2 − 6x+ 5(9) f(x) =

−x2

x2 + x− 2


(1) f(x) = (x− 2)ex (2) f(x) = log(x+ 1) (3) f(x) = x2 cos(x)

(4) f(x) = (1− x2)e−x (5) f(x) = e−x sen(x) (6) f(x) = log(1 + x2)

(7) f(x) = x2 log(x) (8) f(x) = log((x+ 3)(x+ 1)

)(9) f(x) = x sen(x)

Ejercicio 4. Calcula primitivas de las siguientes funciones haciendo, en cada caso, un cambio devariable adecuado:

(1) f(x) = x2−x2

(2) f(x) =√1 + 4x (3) f(x) =

√x− 3

(4) f(x) =1

8 + 2x2(5) f(x) =

3x

4− x2(6) f(x) = sen

(√x)


Ejercicio 5. Calcula primitivas de las siguientes funciones haciendo los cambios de variable quese indican:

(1) f(x) =1

sen(x)con el cambio de variable t = cos(x).

(2) f(x) =1

cos2(x) + cos(x) sen(x)con el cambio de variable t = tan(x).

(3) f(x) =5

1 +√e−x

con el cambio de variable t2 = e−x.

(4) f(x) =ex

(e2x − 1)(ex + 1)con el cambio de variable t = ex.

(5) f(x) =x

1 +√1− x

con el cambio de variable t =√1− x.

(6) f(x) =

√1 + 2x

xcon el cambio de variable t =

√1 + 2x

x.

(7) f(x) = log(1 + x) con el cambio de variable 1 + x = et.

(8) f(x) =√1 + x2 con el cambio de variable x = senh(t).


(1) f(x) = sen(2x) cos(x) (2) f(x) = sen(3x) sen(2x) (3) f(x) = cos2(x)

(4) f(x) = sen2(x) (5) f(x) = cos2(x) sen(x) (6) f(x) = cos2(2x) sen3(2x)

(7) f(x) = cos2(x) sen2(x) (8) f(x) = cos3(2x) (9) f(x) = sen4(x)


(1) f(x) =√1− x2 (2) f(x) =

√4 + x2 (3) f(x) =

√x2 − 9

(4) f(x) =√x2 − 2x− 8 (5) f(x) = (1 + x)

√x2 − 1 (6) f(x) =

√4 + 9(x− 2)2

(7) f(x) = x2√1− 4x2 (8) f(x) = x

√x2 + 2x+ 2 (9) f(x) = (x− 2)

√5 + 4x− x2

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

¿Que es una ecuacion diferencial? Resolver una ecuacion como x2 − 3x + 2 = 0, x = e−x,sen(x) = 0 o x2+1 = 0, consiste en encontrar todos los valores de la incognita x para los que se dala igualdad. En el primer caso, sabemos que hay dos soluciones y cuales son: x1 = 1 y x2 = 2. Enel segundo caso, podemos asegurar que solo hay una solucion x∗ = 0.567143 . . . , que no podemoscalcular exactamente pero sı con toda la precision que deseemos. En el tercer caso, hay infinitassoluciones dadas por x = nπ para n = 0,±1,±2, . . . y, finalmente, en el ultimo caso sabemos queno hay solucion real. Cuando existen, las soluciones son uno o varios valores numericos.

Nos planteamos ahora resolver ecuaciones en las que la incognita — lo que queremos hallar, lasolucion— no es un numero, sino una funcion. Por ejemplo, podemos plantearnos encontrar todas

las funciones y(t) para las que se verifica y′(t) = 1+(y(t)

)2. La expresion y′(t) = 1+

(y(t)

)2se llama

ecuacion diferencial porque en ella aparecen involucradas la funcion incognita y(t) y su derivaday′(t). Es facil ver que la funcion y(t) = tan(t) es una solucion de dicha ecuacion pero no sabemos,por ahora, si es la unica. Otro ejemplo serıa la ecuacion diferencial sen

(y′(t)

)= 1− t2+ ty(t) de la

cual ni siquiera podemos ofrecer una solucion. Un tercer ejemplo serıa y′′(t) + 4y(t) = 0, en la queaparece la derivada segunda, de la que se ve que y1(t) = cos(2t) e y2(t) = sen(2t) son solucionespero no sabemos si hay mas.


Algunas observaciones importantes. Volvamos a la ecuacion y′(t) = 1+(y(t)

)2. Si escribimos

y′(t)

1 +(y(t)

)2 = 1 y calculamos una primitiva de cada miembro,

∫y′(t)

1 +(y(t)

)2 dt =

∫dt, nos queda

arctan(y(t)) = t+ c y, por tanto, y(t) = tan(t+ c) siendo c la constante de integracion.

La aparicion de constantes es inevitable en la resolucion de las ecuaciones diferenciales ya quesiempre hay que calcular una o varias primitivas. En consecuencia, una ecuacion diferencial notiene, en general, una unica solucion, sino una familia de soluciones que dependen de uno o variosparametros, que son dichas constantes de integracion. Ası, y(t) = tan(t + c) es la familia desoluciones de la ecuacion y′ = 1+y2. Esta expresion se conoce como solucion general ya que todasestas funciones son soluciones de la ecuacion y, por otro lado, cualquier solucion de la ecuaciondebe ser de esa forma para un valor concreto de c.

Las familias de curvas y = tan(t+ c).

Habitualmente sera el conocimiento de la situacion inicial lo que nos permita fijar el valor de lasconstantes de integracion, es decir, el valor y0 que debe tomar la funcion y en un punto dado t0.Esto se conoce como condicion inicial ya que suele venir determinada por el punto de partida dela situacion fısica o geometrica que se estudia. La condicion inicial nos permite hallar el valor de laconstante c que corresponde a la solucion concreta que se busca. En el ejemplo anterior, si buscamosuna solucion y(t) para la cual se tiene y(0) = 1 entonces, debe cumplirse 1 = y(0) = tan(0 + c),luego podemos tomar c = π/4 y la solucion es y(t) = tan(t+ π/4).

La ecuacion y′ = 1 + y2 se dice que es de primer orden porque en ella solo aparece involucrada laderivada primera de la incognita. Dedicaremos dos secciones a ver metodos para resolver algunasecuaciones de primer orden que tienen una estructura especial. Una ecuacion como y′′ + 4y = 0se dice que es de segundo orden porque en ella aparece involucrada la derivada segunda de laincognita. Las ecuaciones de segundo orden se estudiaran en la asignatura de Ampliacion deMatematicas, en segundo curso. De todas formas, son muchas las ecuaciones diferenciales queaparecen en las aplicaciones para las que no se puede hallar una solucion mediante una formula. Lassoluciones de estas ecuaciones se determinan de forma aproximada mediante metodos de calculonumerico de los que veremos el mas elemental; los metodos mas avanzados se estudiaran en laasignatura de Metodos Matematicos, tambien de segundo curso.

Solucion de una ecuacion diferencial. Sean I ⊂ R un intervalo y f(t, y) una funcion de dosvariables definida para t ∈ I e y ∈ R. Una solucion de la ecuacion diferencial de primer ordeny′ = f(t, y) en I es una funcion y = y(t) derivable en I tal que y′(t) = f(t, y(t)) para todo t ∈ I.

Solucion general. Una familia yG(t; c) de soluciones de la ecuacion diferencial y′ = f(t, y) quedependen de un parametro real c se dice que es la solucion general de la ecuacion cuando incluyetodas las soluciones de la misma.


Problema de valor inicial. Dado un punto t0 ∈ I, una solucion del problema de valor inicialy′ = f(t, y) con condicion inicial y(t0) = y0 es una funcion y = y(t) derivable en I tal quey′(t) = f(t, y(t)) para todo t ∈ I y, ademas, y(t0) = y0.

Puede probarse que si la funcion f(t, y) que genera la ecuacion diferencial cumple ciertas condicionesbastante generales que no vamos a detallar aquı, entonces el problema de valor inicial siempre tienesolucion unica. Si se dispone de la solucion general yG(t; c) de la ecuacion, entonces podemos hallarla solucion del problema de valor inicial hallando el valor de c para el que se cumple yG(t0; c) = y0.

¿Como pueden resolverse las ecuaciones diferenciales? La pregunta natural ahora es siuna ecuacion diferencial tiene solucion y, en ese caso, como calcularlas todas. Como ya hemosdicho, puede probarse que, bajo condiciones bastante generales, el problema de valor inicial tienesolucion unica. Sin embargo, el calcular la solucion no es en absoluto facil; de hecho, salvo en casosmuy especıficos, la ecuacion y′ = f(t, y) suele ser imposible de resolver: no se puede hallar unaexpresion —una formula— de y(t). Afortunadamente, sı hay algunos tipos especiales de ecuaciones,muy importantes en la practica, para las que existe un metodo que proporciona una solucion. Acontinuacion estudiaremos los mas importantes: las ecuaciones de variables separadas y, en unaseccion aparte por su importancia, las ecuaciones lineales.

Ecuaciones de variables separadas. Se dice que una ecuacion diferencial de primer orden esseparable o de variables separadas si puede escribirse como y′ = f(t)g(y) donde f y g son funcionescontinuas. Estas ecuaciones se resuelven de forma similar a la ecuacion y′ = 1+y2 que hemos vistoantes: escribimos la ecuacion como y′/g(y) = f(t) y calculamos una primitiva de cada miembro∫

y′(t)

g(y(t))dt =

∫f(t) dt+ c

donde c es la constante de integracion. Para realizar la integral del primer miembro, aplicamos elteorema del cambio de variable para integrales indefinidas:∫

y′(t)

g(y(t))dt =

∫dy

g(y),

de manera que la solucion se obtiene calculando ambos miembros de la relacion∫dy

g(y)=

∫f(t) dt+ c,

donde la integral del primer miembro se hace con respecto a y mientras que la del segundo miembrose hace con respecto t. Tambien se llega facilmente a esta expresion con la notacion de Leibnizpara las derivadas: escribiendo y′ = dy/dt = f(t)g(y) como dy/g(y) = f(t) dt e integrando.


Ejercicio 1. Comprueba que las siguientes funciones son soluciones de las ecuaciones diferencialesque se dan.

(1) y = t2 + 5 lo es de y′ = 2t.

(2) y =√e2t + 5 lo es de yy′ = e2t.

(3) y = t+ sen(t) lo es de ty′ − y = t cos(t)− sen(t).


Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de variables separadas.

(1) y′ =t− 5

y2(2) y′ = (4 + y2)

√9− t2 (3) y′ =

y − 1

t+ 3

(4) y′ =6t5 − 2t+ 1

cos(y) + ey(5)

4y′

y2 − 4= sen2(t) + sen3(t) (6)

y′√1 + y2

= te−t

Ejercicio 3. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial.

(1) y′ =(t+ 1)(y + 1)

tycon y(1) = 0, (2) y′ = y tan(t) con y(0) = 1.

Ejercicio 4. Halla la curva y(t) que cumple la siguiente propiedad para cada punto P : La distanciaentre los puntos T y V que son, respectivamente, los puntos donde la recta tangente a la curva enP y la recta vertical que pasa por P cortan al eje OX, es constante.

3. ECUACIONES LINEALES

Ecuaciones lineales de primer orden. El tipo mas importante de ecuaciones diferenciales esel de las ecuaciones lineales, que consisten en igualar a una funcion dada una combinacion linealde la incognita y sus derivadas cuyos coeficientes son funciones de la variable independiente. Laecuacion lineal de primer orden se suele escribir como

y′ + f(t)y = g(t)

donde f y g son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R.

Estructura de la solucion general. La solucion general de la ecuacion diferencial lineal deprimer orden y′ + f(t)y = g(t) es yG = yH + yP, donde yH es la solucion general de la ecuacionhomogenea asociada y′ + f(t)y = 0 e yP es una solucion particular de la ecuacion completa.

Para ver esto observemos, en primer lugar, que una funcion de la forma yH + yP es una solucionde la ecuacion:

[yH + yP]′+ f(t) [yH + yP] = [y′H + f(t)yH] + [y′P + f(t)yP] = 0 + g(t) = g(t).

En segundo lugar, veamos que la diferencia entre una solucion cualquiera de la ecuacion completa,digamos y, e yP es una solucion de la ecuacion homogenea asociada:

[y − yP]′+ f(t) [y − yP] = [y′ + f(t)y]− [y′P + f(t)yP] = g(t)− g(t) = 0.

La cuestion, entonces, es ver como calcular la solucion general yH de la ecuacion homogeneaasociada y, por otro lado, como calcular una solucion particular yP.

Solucion general de la ecuacion homogenea. La ecuacion homogenea asociada y′+f(t)y = 0es de variables separadas. Separando las variables e integrando obtenemos su solucion generalyH(t; c) = ce−

∫f(t) dt, donde el parametro c ∈ R es un numero real cualquiera.


Solucion particular de la ecuacion completa. Hay ocasiones en las que es facil encontrar unasolucion particular de la ecuacion completa. Por ejemplo, en la ecuacion y′ + y = 2et es obvio queyP(t) = et es una solucion de la ecuacion completa.

En otras ocasiones, es posible buscar una solucion a partir de la estructura que, aparentemente,debe tener. Por ejemplo, en la ecuacion y′ − 2y = 4t2 − 2 parece logico buscar como solucionparticular un polinomio de segundo grado y = at2 + bt+ c. Derivando y sustituyendo, obtenemos

4t2 − 2 = (2at+ b)− 2(at2 + bt+ c) = −2at2 + (2a− 2b)t+ b− 2c.

Ahora, igualando los coeficientes de los polinomios a izquierda y derecha, queda a = 4/(−2) = −2,b = a = −2 y c = (−2− b)/(−2) = 0. Es decir, yP(t) = −2t2 − 2t.

Otro ejemplo: en la ecuacion y′ +2y = 5 cos(t), parece logico buscar como solucion particular unacombinacion de la forma y = a sen(t) + b cos(t). Derivando y sustituyendo, obtenemos

5 cos(t) =(a cos(t)− b sen(t)

)+ 2

(a sen(t) + b cos(t)

)= (a+ 2b) cos(t) + (2a− b) sen(t).

De nuevo, igualando los coeficientes de ambas funciones a izquierda y derecha, queda a+2b = 5 y2a− b = 0, de donde a = 1 y b = 2 y la solucion particular es yP(t) = sen(t) + 2 cos(t).

No obstante, estas circunstancias no siempre se dan, ası que vamos a describir un procedimientoque funciona en general.

Metodo de variacion de las constantes. Se puede calcular una solucion particular de laecuacion completa usando una tecnica llamada metodo de variacion de las constantes (o de losparametros). Esta tecnica se volvera a usar, el proximo curso, en la asignatura de Ampliacionde Matematicas para ecuaciones de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales.

La idea central es la siguiente: puesto que la solucion general de la ecuacion homogenea vienedada por yH(t; c) = ce−

∫f(t) dt, lo que se hace es buscar una solucion particular yP de la ecuacion

completa que sea casi de la misma forma: en el lugar de la constante c ponemos una funcionv(t) que debemos determinar. Es decir, buscamos una solucion particular que tenga la siguiente

estructura yP(t) = v(t)e−∫f(t) dt. Imponiendo que (yP)

′ + f(t)yP = g(t), nos queda

g(t) = v′(t)e−∫f(t) dt + v(t)

(−f(t)e−

∫f(t) dt

)+ f(t)v(t)e−

∫f(t) dt = v′(t)e−

∫f(t) dt.

Despejando v′ e integrando nos queda v(t) =

∫g(t)e

∫f(t) dt dt y, en consecuencia,

yP(t) = v(t)e−∫f(t) dt = e−

∫f(t) dt

∫g(t)e

∫f(t) dt dt.

es la solucion particular buscada.

Solucion general de la ecuacion lineal de primer orden. Escribiendo la solucion general dela ecuacion y′ + f(t)y = g(t) como yG = yH + yP, obtenemos, finalmente

yG(t; c) = yH(t; c) + yP(t) = ce−∫f(t) dt + e−

∫f(t) dt

∫g(t)e

∫f(t) dt dt,

que, sacando factor comun, queda:

yG(t; c) = e−∫f(t) dt

[c+

∫g(t)e

∫f(t) dt dt

].


Factor integrante de la ecuacion lineal de primer orden. La formula de la solucion generalde la ecuacion diferencial lineal de primer orden que acabamos de ver podemos escribirla

yG(t; c) =1

µ(t)

[c+

∫g(t)µ(t) dt

]donde c es una constante arbitraria y la funcion µ(t) = e

∫f(t) dt se llama factor integrante de la

ecuacion, porque otra forma de probar la formula anterior es la siguiente: Si multiplicamos todala ecuacion por µ(t) obtenemos µ(t)y′ + f(t)µ(t)y = µ(t)g(t). Ahora, el primer miembro de laecuacion es la derivada de µ(t)y, ası que, integrando, nos queda µ(t)y = c +

∫µ(t)g(t) dt y la

formula de la solucion general se deduce despejando y.


Ejercicio 1. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial.

(1) y′ + y = t+ 3 con y(1) = 0.(2) y′ − 2ty = t con y(0) = 0.(3) y′ + 2ty = t con y(1) = 2.(4) y′ + y = 2et con y(0) = 2.(5) y′ + y/t = 3t con y(1) = 2.(6) y′ + y = 2et con y(0) = 0.(7) y′ + y sen(t) = sen(t) con y(0) = 0.(8) y′ + y = 2 cos(x) con y(0) = 1.(9) t(t+ 1)2y′ + (t+ 1)y + 2 = 0 con y(1) = 0 para t > 0.(10) 2ty′ − 3y = 4t2 con y(1) = 1.(11) ty′ − 2y = t2 cos(t)− t sen(t) con y(π) = π.

(12) (t+ 1)y′ − y =t2

2+ t con y(0) = −1.

(13) y′ − tan(t)y = t con y(0) = 4.(14) ty′ − y = t2 + 3 con y(1) = 0.

Ejercicio 2. Se sabe que A = (3, 1) es el punto inicial de una curva plana parametrizada mediante(x(t), y(t)

)para t ∈ [1, 2]. Se sabe tambien que las componentes x(t) e y(t) verifican, respectivam-

ente, las ecuaciones diferenciales

2xx′ = t log(t) t3y′ + t(t− 1)y + 1 = 0.

Con estos datos, halla la ecuacion de la recta tangente a la curva en su punto final. Compruebaque las soluciones de las ecuaciones diferenciales que obtienes son correctas.

Ejercicio 3. Halla la solucion general de la ecuacion diferencial y′ + ty = t2 cosh(t) calculandouna solucion particular de la forma yP(t) = a senh(t) + bt cosh(t) donde a y b son dos constantesque debes determinar.

Ejercicio 4. Sea g la funcion g(t) = t2. De todas las funciones y(t) para las que se verifica(yg)′ = y′g′, determina la que cumple y(1) = 1.

Ejercicio 5. Dada la ecuacion sen(t)y′ + cos(t)y = t2 sen(t), se pide:

(1) Halla su solucion general.(2) Halla la solucion del problema de valor inicial con y(π(2) = 0.

(3) Halla lımx→0

yP(t)

t3, donde yP(t) es la solucion particular de la ecuacion para la que el eje OY

no es una asıntota vertical.


Ejercicio 6. Resuelve el problema de valor inicial y′ = (1 + k2y)(tk+1 + y1−k2

) con y(0) = 0 enlos casos k = −1, 0, 1.

Ejercicio 7. La figura adjunta muestra la grafica de una curva C dada por una ecuacion encoordenadas polares r = r(θ) para 0 ≤ θ ≤ π.

La curva C.

De esta curva sabemos que pasa por el origen y que r(θ) es la solucion de la ecuacion diferenciallineal θr′ − r = θ2 cos(θ) que cumple r′(0) = 0.

(1) Halla r(θ).(2) Determina, con una precision de tres cifras decimales, el angulo polar de los siguientes

puntos de C: A, el que esta mas a la derecha; B, el mas alto; y C, el que esta mas a laizquierda.

(3) En el origen parece haber un pico, es decir, que las tangentes por la izquierda y por laderecha parecen no coincidir. ¿Es verdad que hay un pico o la curva es tangente al eje OXen el origen cuando nos acercamos por ambos lados?

(4) ¿Que aproximacion del radio polar del punto que corresponde a un angulo polar de 0.5radianes se obtiene usando el polinomio de Maclaurin de grado 5 de r(θ)? Calcula una cotadel error de esta aproximacion usando la formula del resto dada por el teorema de Taylor.

Ejercicio 8. Considera la familia de curvas que cumplen la siguiente propiedad: La recta tangenteen un punto P cualquiera de la curva forma con el eje OY y la recta vertical que pasa por el puntoP un trapecio de area constante a > 0. Construye la ecuacion diferencial de dicha familia yresuelvela.

Ejercicio 9. La ecuacion de primer orden y′+p(t)y = q(t)yn, siendo p(t) y q(t) funciones continuasy n un numero entero, recibe el nombre de ecuacion de Bernoulli (interesa n = 0, 1 porque paran = 0 y n = 1 es simplemente una ecuacion lineal). Prueba que el cambio de variable dependiente

z(t) =(y(t)

)1−ntransforma la ecuacion de Bernoulli en una ecuacion lineal. Utiliza este hecho

para resolver el problema de valor inicial: 2y′ − 10y = −5ty3, con y(0) =√20.

Ejercicio 10. Usa el metodo del ejercicio anterior para resolver los siguientes problemas de valorinicial con ecuaciones de Bernoulli.

(1) y′ + ty = y2, con y(0) = −1(2) y′ = 2t−1y − t2y2, con y(1) = 1.(3) ty′ + y = y2 log(t), con y(1) = 1.(4) t2y′ + 2t3y = y2

(1 + 2t2

), con y(0) = 2.

(5) y′ + 2ty = ty3e−t2 , con y(0) = 1.


4. FAMILIAS DE CURVAS ORTOGONALES

Campo de direcciones. Desde un punto de vista geometrico, vemos que si y(t) es una solucionde la ecuacion y′ = f(t, y), entonces f(t, y) nos proporciona la pendiente de la curva y = y(t) encada punto. En otras palabras, v(t, y) =

(1, f(t, y)

)es un vector tangente a dicha curva.

Campo de direcciones y la grafica de una solucion.

Si trabajamos en un plano cartesiano con la variable t en el eje de abscisas y la variable y en el ejede ordenadas y representamos en cada punto (t, y) el vector v(t, y), obtenemos un campo vectorialque se conoce como el campo de direcciones de la ecuacion. Este campo vectorial nos permiteobtener, a veces, informacion de tipo cualitativo: como son aproximadamente las curvas solucionesde la ecuacion, si hay alguna tendencia a largo plazo, etc.

Desde un punto de vista dinamico, si la ecuacion y′ = f(t, y) modela el movimiento de unapartıcula en el plano, entonces v(t, y) indica la velocidad de la partıcula en cada instante y elcampo de direcciones se llama ahora campo de velocidades.

Ecuacion de una familia de curvas. Como hemos visto, si yG(t; c) es la solucion general de laecuacion diferencial y′ = f(t, y), entonces, para cada valor de c, la curva de ecuacion y = yG(t, c)es tangente en cada punto al vector v(t, y) =

(1, f(t, y)

)del campo de direcciones.

Recıprocamente, si y = y(t; c) es una familia de curvas planas que dependen de un parametro realc, entonces derivando y eliminando el parametro c entre las igualdades y = y(t; c) e y′ = d

dt

(y(t; c)

),

obtenemos una ecuacion diferencial que se llama ecuacion diferencial de la familia cuya soluciongeneral es la familia de partida. Por ejemplo, y = ct es la familia de todas las rectas que pasanpor el origen. Derivando nos queda y′ = c con lo que, eliminando el parametro c entre ambasigualdades, obtenemos la ecuacion diferencial de la familia y = ty′, o bien y′ = y/t.

Otro ejemplo: y = log(t) + c es la familia formada al desplazar verticalmente la curva logarıtmicay = log(t), si derivamos nos queda y′ = 1/t que es, directamente, la ecuacion diferencial de lafamilia, no hace falta eliminar el parametro c.

La familia de curvas logarıtmicas de ecuacion diferencial y′ = 1/t.


Familias de curvas ortogonales entre sı. Una situacion que aparece, por ejemplo, en elec-tromagnetismo, en meteorologıa o en mecanica de fluidos es la ortogonalidad entre dos familias decurvas; las llamadas lıneas de corriente y lıneas equipotenciales. Matematicamente el problema esel siguiente: tenemos una familia de curvas planas y = y(t; c) que dependen de un parametro realc y queremos hallar otra familia z = z(t; c) tal que una curva de la primera familia y una curva dela segunda siempre se corten formando un angulo recto. Esta familia z = z(t; c) se conoce comofamilia ortogonal a la familia y = y(t; c) o, en algunos libros, como trayectorias ortogonales a lasde la familia y = y(t; c). Un ejemplo muy simple es el de la familia de las rectas de pendiente iguala 1, cuya ecuacion es y = t+ c y la familia de pendiente igual a −1, cuya ecuacion es z = −t+ c.

Las circunferencias que pasan por dos puntos dados (rojo) y su familia ortogonal (azul).

¿Como se resuelve el problema de hallar la familia ortogonal a una dada? Sabemos que si dos curvasy = y(t) y z = z(t) se cortan en un punto de ordenada y(t) = z(t), entonces el angulo que forman sustangentes es recto cuando y′(t)z′(t) = −1. Ahora, si conocemos la ecuacion diferencial y′ = f(t, y)de la primera familia, entonces la ecuacion diferencial de la familia ortogonal es z′ = −1/f(t, z) yresolviendo esta ecuacion tendremos la familia ortogonal que buscamos. Por ejemplo, hemos vistoque y′ = y/t es la ecuacion diferencial de la familia de todas las rectas que pasan por el origen decoordenadas, ası que z′ = −1/(z/t) = −t/z es la ecuacion de su familia ortogonal. Escribiendoesta ecuacion como z′z = −t e integrando nos queda z2/2 = −t2/2 + c; es decir z2 + t2 = 2c, quees la familia de circunferencias que tienen su centro en el origen de coordenadas.


Ejercicio 1. Para las siguientes familias de curvas, determina la ecuacion diferencial que cumplen.

(1) Las rectas que pasan por el origen.(2) Las hiperbolas ty = c.(3) Las parabolas y = ct2.(4) Las elipses t2 + 2y2 = c.(5) Las elipses 4t2 + y2 = c.(6) Las rectas que pasan por el punto (1, 2).(7) Las parabolas y = c− t2.

Ejercicio 2. Halla las familias de curvas que son ortogonales a las familias dadas en el ejercicioanterior, para ello debes determinar, en cada caso, la ecuacion diferencial de la familia ortogonaly resolverla.


Ejercicio 3. Hallando las correspondientes ecuaciones diferenciales, comprueba que la familia delas circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y que, ademas, tienen su centro sobreel eje de abscisas, y la familia de las circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y que,ademas, tienen su centro sobre el eje de ordenadas, son ortogonales entre sı.

Ejercicio 4. Determina la ecuacion diferencial de las circunferencias que pasan por los puntos(−1, 0) y (1, 0) del eje de abscisas (la familia en rojo de la figura de la pagina anterior) y halla sufamilia ortogonal.

Ejercicio 5. Halla la familia ortogonal a la familia de curvas t2+cy2 = 1 (siendo c un parametro).

Ejercicio 6. Halla la familia ortogonal a la familia de curvas t2+cy2 = c (siendo c un parametro).

5. EL METODO DE EULER

Hay muchas ecuaciones diferenciales de primer orden que no pueden resolverse de manera exacta, entendiendo porello que podamos obtener una formula concreta y(t) de la solucion o, al menos, una ecuacion f(t, y) = 0 queligue las variables. Lo que se hace cuando no se puede resolver exactamente una ecuacion diferencial es hallar una

aproximacion numerica de su solucion, es decir, aproximar los valores y(t).

El problema de la resolucion numerica de las ecuaciones diferenciales es, probablemente, el mas importante del

calculo numerico aplicado a las distintas ramas de la ingenierıa. La razon de ello es que la mayorıa de los procesosfısicos o quımicos involucrados se modelan mediante una o varias ecuaciones diferenciales que, habitualmente, no sepueden resolver exactamente. De hecho, los primeros computadores fueron disenados con el proposito de resolver

este tipo de problemas.

En esta seccion estudiaremos el metodo de Euler, que es el mas simple y abre la puerta a metodos mas sofisticados

que estudiaras en la asignatura de Metodos Matematicos de segundo curso.

Planteamiento del problema y notacion. Sea y(t) la solucion del problema de valor inicial y′ = f(t, y) con

y(t0) = y0 para t en un intervalo I. Puesto que solo podemos aspirar a calcular un numero finito de aproximacionesde los valores de y(t), fijamos unos puntos t0, t1, t2, . . . , tn llamados nodos. Por comodidad, supondremos que losnodos estan igualmente espaciados de manera que si tomamos h = (tn−t0)/n, que se llama tamano de paso, entonces

tk = t0 + kh para k = 0, 1, 2 . . . , n. Nuestro objetivo, una vez fijados los nodos, es calcular valores aproximadoswk ≈ y(tk).

El metodo de Euler. La idea del metodo es usar el polinomio de Taylor de grado 1, o sea, la recta tangente. Elteorema de Taylor nos dice que existe ck ∈ (tk, tk+1) tal que

y(tk+1) = y(tk) + (tk+1 − tk)y′(tk) +

(tk+1 − tk)2

2y′′(ck).

Usando que y cumple la ecuacion diferencial y′ = f(t, y) y escribiendo h en vez de tk+1 − tk queda

y(tk+1) = y(tk) + hf(tk, y(tk)

)+

h2

2y′′(ck).

Si disponemos de una aproximacion wk ≈ y(tk) y h es pequeno, de manera que podemos despreciar el termino en

h2, la formula anterior nos proporciona una aproximacion de y(tk+1):

y(tk+1) ≈ wk+1 = wk + hf(tk, wk).

Puesto que y(t0) = y0 = w0 es el valor inicial dado, calculamos los valores wk de forma iterativa:

wk+1 = wk + hf(tk, wk), k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Veamos un ejemplo. Consideremos el problema de valor inicial y′ = −y + t + 1 con y(0) = 1 en el intervalo [0, 1]cuya solucion exacta es y(t) = t + e−t. Si aplicamos el metodo de Euler en el intervalo [0, 1] con tamano de paso


h = 0.1, obtenemos la siguiente tabla donde se muestran (con cuatro decimales) los nodos, los valores de la solucion,las aproximaciones y los errores.

tk y(tk) wk |wk − y(tk)|0.0 1.0000 1.0000 0.00000.1 1.0048 1.0000 0.0048

0.2 1.0187 1.0100 0.00870.3 1.0408 1.0290 0.01180.4 1.0703 1.0561 0.01420.5 1.1065 1.0905 0.0160

0.6 1.1488 1.1314 0.01740.7 1.1966 1.1783 0.01830.8 1.2493 1.2305 0.01890.9 1.3066 1.2874 0.0191

1.0 1.3679 1.3487 0.0192

Poligonal de Euler. En las figuras se muestra en rojo la solucion y = y(t). Los puntos azules (tk, wk) correspondena las aproximaciones obtenidas en los nodos. Como cabe esperar, los valores dados por el metodo de Euler no

coinciden con los valores exactos de la solucion y los errores van aumentando conforme anadimos puntos. La causafundamental de los errores es el propio error asociado al polinomio de Taylor.

La solucion de y′ = −y + t+ 1 con y(0) = 1 y las aproximaciones dadas por el metodo de Euler.

A la derecha se muestra una curva azul que se ha construido uniendo mediante lıneas rectas los puntos azules,esta curva recibe el nombre de poligonal de Euler y es una aproximacion de la curva solucion que permite obtener

aproximaciones de la solucion y(t) en puntos t distintos de los nodos. Por ejemplo, si queremos una aproximacionde y(0.74), calculamos la ecuacion de la recta que pasa por (0.7, 1.1783) y (0.8, 1.2305), que es y = 0.522t+0.8129,con lo que tomamos

y(0.74) ≈ 0.522 · 0.74 + 0.8129 = 1.1991

(el valor exacto es y(0.74) = 1.2171). Este procedimiento se conoce como interpolacion lineal y se estudiara conprofundidad en la asignatura Metodos Matemticos de segundo curso.


Ejercicio 1. Utiliza el metodo de Euler para aproximar la solucion de los siguientes problemas de valor inicial en

el intervalo y con el tamano de paso h que se indica. Puedes comprobar los resultados usando la pagina web que seincluye en la Bibliografıa.

(1) y′ = y con y(0) = 1, para 0 ≤ t ≤ 1, tomando h = 0.2.(2) y′ = y con y(0) = 1, para 0 ≤ t ≤ 1, tomando h = 0.1.(3) y′ = y con y(0) = 1, para −1 ≤ t ≤ 0, tomando h = −0.1.(4) y′ = −7(y − t) + 1 con y(0) = 3, para 0 ≤ t ≤ 4, tomando h = 0.5.

(5) y′ = 1 + t sen(ty) con y(0) = 0, para 0 ≤ t ≤ 2, tomando h = 0.1.(6) y′ =

(t− y(t)

)sen(t) con y(0) = 1, para 0 ≤ t ≤ 2π con h(π/4).


6. ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACION

El modelo de la desintegracion radiactiva. Sea y(t) la cantidad de sustancia radiactiva presente en un instantedado t. Los experimentos demuestran que la velocidad a la que disminuye y(t) es proporcional a y(t), es decir, ladesintegracion es mas rapida cuanto mas sustancia hay. Entonces la desintegracion viene gobernada por la ecuaciony′(t) = −ky(t), donde el signo menos indica que la cantidad y decrece con el tiempo y k > 0 es la constante de

proporcionalidad. Se trata de una ecuacion de variables separadas, ası que escribimos y′ = −ky como y′/y = −k ycalculamos una primitiva de cada miembro∫

y′(t)

y(t)dt = −k

∫dt luego log(|y(t)|) = −kt+ c y, por tanto, |y(t)| = e−kt+c

siendo c la constante de integracion. Usando que y(t) > 0 y tomando y0 = ec, obtenemos la solucion de la ecuaciondiferencial: y(t) = y0e−kt donde la constante y0 representa, tomando t = 0, la cantidad de sustancia presente en elinstante inicial.

¿Que representa la constante k? Como se ve, k es una medida de la velocidad de desintegracion de la sustancia.La medida usual de la velocidad de desintegracion es la vida media de la sustancia, que se define como el tiempo

tm necesario para que la cantidad presente en el instante inicial se reduzca a la mitad —cuanto mayor sea la vidamedia, menor es la velocidad de desintegracion. Si planteamos esto en la expresion de y(t), debe ocurrir

y0

2= y(tm) = y0e

−ktm ası que ktm = log(2) y, por tanto, k =log(2)

tm.

Es decir, la cantidad de materia en funcion de la vida media viene dada por y(t) = y02−t/tm . En particular, la vidamedia es intrınseca a la sustancia radiactiva; independientemente de la cantidad inicial, el tiempo necesario paraque dicha cantidad se reduzca a la mitad es siempre el mismo.

Las leyes de Newton del enfriamiento y del calentamiento. Si situamos un cuerpo que esta a una temp-eratura θ0 en un medio que se mantiene a temperatura constante θ1, entonces el cuerpo se enfrıa si θ0 > θ1 o secalienta si θ0 < θ1. Si θ(t) es la temperatura de un cuerpo en un instante t ≥ 0, entonces la ley de Newton estableceque la velocidad de variacion de la temperatura θ(t) es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el medio

y el cuerpo, es decir, θ′(t) = k(θ1 − θ(t)

)que es una ecuacion diferencial de variables separadas en la que k > 0 es

una constante que depende del cuerpo y del medio, no de la temperaturas θ0 y θ1. Para resolver el problema de

valor inicial escribimos

∫dθ

θ1 − θ=

∫k dt e integramos, obteniendo − log(|θ1 − θ|) = kt + c que, tras imponer la

condicion inicial, nos proporciona la solucion

θ(t) = θ1 − (θ1 − θ0)e−kt.

Observemos que el cuerpo se calienta si θ1 > θ0, que se enfrıa si θ1 < θ0 y que, en ambos casos, su temperaturatiende a largo plazo a igualarse con la del medio ambiente.

Mezclas. La mezcla de dos soluciones de distintas concentraciones tambien se modela mediante una ecuaciondiferencial de primer orden. Supongamos que un tanque mezclador, que tiene una capacidad de V litros, contiene

inicialmente agua pura. Al abrir los grifos de entrada y salida, en el tanque empieza a entrar, a razon de a litrospor minuto, salmuera con una concentracion constante de c gramos de sal por litro de agua. Al mismo tiempose va desalojando disolucion a la misma razon de a litros por minuto, de manera que el volumen V de salmuerapermanece constante. Si llamamos Q(t) a la cantidad de sal presente en el tanque t minutos despues de abiertos los

grifos, entonces la variacion de Q(t) es la diferencia entre la proporcion de sal que entra y la que sale:

Q′(t) =a litros

minuto·c gramos

litro−

a litros

minuto·Q(t) gramos

V litros= a

(c−Q(t)/V

),

que es, esencialmente, una ecuacion identica a la de la ley del calentamiento de Newton y se resuelve exactamenteigual; hazlo como ejercicio.

Si las velocidades de entrada y salida, digamos a y b, no son la misma, entonces el volumen de salmuera no permanececonstante, sino que vale V (t) = V0 + (a− b)t, siendo V0 el volumen inicial, y la ecuacion queda

Q′(t) = ac−bQ(t)

V0 + (a− b)t≡ Q′(t) +

b

V0 + (a− b)tQ(t) = ac,

que es una ecuacion lineal; halla su solucion general como ejercicio.


La dinamica de poblaciones. Si denotamos por P (t) el tamano de una poblacion, por ejemplo, de bacterias,que tiene ındices constantes de natalidad y mortalidad y no esta sujeta a restricciones en el crecimiento, entonces

el modelo mas simple de crecimiento de poblaciones viene dado por la ecuacion diferencial P ′(t) = kP (t) dondek > 0 es una constante positiva. La solucion se obtiene de la misma forma que en el modelo de la desintegracionradiactiva, pero ahora lo que se obtiene es un crecimiento exponencial P (t) = P0ekt, siendo P0 el tamano en elinstante inicial.

Si queremos tener en cuenta la existencia de restricciones en el crecimiento de la poblacion, atendiendo a factorescomo el habitat y el alimento disponibles, el modelo debe ser mas complejo. Un primer paso en esa direccion es

suponer que hay un tamano maximo Pmax de poblacion que no puede sobrepasarse. En ese caso el modelo se formulamediante la ecuacion diferencial

P ′(t) = kP (t)(Pmax − P (t)

),

que se denomina ecuacion logıstica. Para resolver este problema de valor inicial separamos las variables e integramos

∫dP

P (Pmax − P )=

∫k dt,

obteniendo(log(|P |) − log(|Pmax − P |

)/Pmax = kt + c que, tras imponer la condicion inicial, nos proporciona la

solucion

P (t) =PmaxP0

P0 + (Pmax − P0)e−Pmaxkt

que, como vemos, tiende a Pmax a largo plazo. La grafica de esta funcion se conoce como curva logıstica.

La curva logıstica.

Reacciones quımicas. Supongamos que dos sustancias quımicas A y B reaccionan en solucion para formar uncompuesto, de manera que x gramos de compuesto se obtienen a partir de ax gramos de la sustancia A y bx gramosde la sustancia B (a + b = 1, claro). Si disolvemos A0 gramos de la sustancia A y B0 gramos de la sustancia

B, sus moleculas empiezan a reaccionar para formar el compuesto y la velocidad a la que se forma el compuestodepende de las cantidades presentes en cada instante; a mayores cantidades, mas posibilidad de que las moleculasde A colisionen y reaccionen con las de B. Si denotamos por x(t) la cantidad de sustancia compuesta al cabo de tsegundos de comenzada la reaccion, entonces el modelo establece que x(t) verifica la ecuacion diferencial

x′(t) = k(A0 − ax(t)

)(B0 − bx(t)

),

que se llama ecuacion de la ley de accion de masas. Para resolver el problema de valor inicial correspondientesuponemos, por comodidad, que las cantidades iniciales A0 y B0 de los reactivos estan en la proporcion adecuada:A0/a = B0/b. De nuevo, separamos variables, integramos, despejamos, imponemos la condicion inicial y obtenemos

x(t) =(A0 +B0)B0A0kt

(A0 +B0) +B0A0kt,

que a largo plazo tiende a A0 +B0, como era de prever.


La curva de la ley de accion de masas.

La descarga de un condensador. Si tenemos un condensador con una capacidad de C faradios cargado inicial-mente con Q0 culombios y lo conectamos en serie con una resistencia de R ohmios, entonces se produce una corrienteelectrica que descarga el condensador. Puesto que la caıda de potencial en el condensador es q(t)/C, donde q(t)representa la carga electrica en el instante t, y la caıda de potencial en la resistencia es R i(t), donde i(t) es la

intensidad de corriente, debe ocurrir R i(t) + q(t)/C = 0. Teniendo en cuenta que, como funciones del tiempo, laintensidad de corriente es la derivada de la carga, i(t) = q′(t), esta igualdad queda

Rq′(t) + q(t)/C = 0 ≡ RCq′(t) + q(t) = 0 ≡ q′(t) =−q(t)

RC

que es una ecuacion de variables separadas analoga a la ecuacion de la desintegracion radiactiva cuya solucion es

q(t) = Q0e−t/RC .

Los circuitos CR y LR. Mas generalmente, si el condensador y la resistencia se conectan en serie con una

fuerza electromotriz de v(t) voltios y cerramos el circuito, se produce una corriente electrica. Entonces debe ocurrirR i(t) + q(t)/C = v(t) y, usando de nuevo i(t) = q′(t), la ecuacion anterior queda

Rq′(t) + q(t)/C = v(t),

que es una ecuacion diferencial lineal de primer orden. Si la escribimos como q′(t) +1

RCq(t) =

v(t)

R, entonces su

solucion general viene dada por

q(t) = e−t/RC

[c+

∫v(t)

Ret/RC dt

].

Por ejemplo, para una fuerza electromotriz constante v(t) = V voltios y si la carga inicial del condensador es deq(0) = Q0 culombios, nos queda

q(t) = V C + (Q0 − V C)e−t/RC .

La carga (azul), el regimen permanente (rojo) y el regimen transitorio (verde).

En esta expresion, la parte V C se conoce como regimen permanente del circuito, porque es el termino al que tiende a

largo plazo; el resto, (Q0−V C)e−t/RC se llama regimen transitorio porque sus efectos solo son visibles al comienzo(observemos que decrece exponencialmente).


Si lo que conectamos es una inductancia de L henrios con una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotrizde v(t) voltios y cerramos el circuito, tambien se produce una corriente electrica. Puesto que la caıda de potencial

en la inductancia es L i′(t), la ecuacion que gobierna este circuito es

L i′(t) +R i(t) = v(t),

que tambien es una ecuacion diferencial analoga a la anterior y puede resolverse de forma similar, obteniendose

i(t) = e−Rt/L

[c+

∫v(t)

LeRt/L dt

]que, para voltaje constante v(t) = V voltios y con i(0) = 0 amperios, nos

queda q(t) = V(1− e−Rt/L

)/R que, de nuevo, presenta un regimen transitorio y un regimen permanente.

Circuito LR.

Caıda de cuerpos por la accion de la gravedad. Si despreciamos la resistencia del aire, la ley de la gravedadde Newton establece que la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m que cae verticalmente es −mg. Igualando lafuerza a ma(t) donde a(t) representa la aceleracion del movimiento de caıda, obtenemos a(t) = −g. Puesto que la

aceleracion es la derivada segunda de la funcion que nos da el espacio recorrido en la caıda a(t) = s′′(t), nos quedala ecuacion diferencial s′′(t) = −g. Aunque se trata de una ecuacion de segundo orden, es muy facil de resolver;basta integrar dos veces:

s′(t) =

∫s′′(t) dt =

∫(−g) dt = −gt+ c1

s(t) =

∫s′ dt =

∫(−gt+ c1) dt = −

1

2gt2 + c1t+ c2

donde c1 y c2 son constantes de integracion que representan, tomando t = 0, la velocidad y altura iniciales, digamosv0 y h0, de forma que la solucion es la conocida formula s(t) = h0 + v0t− 1

2gt2

Si se quiere incluir la resistencia del aire en el modelo de caıda libre, se suele postular que dicha resistencia esproporcional al cuadrado de la velocidad. Con v(t) = s′(t) la ecuacion diferencial resultante

ma(t) = mv′(t) = −mg + kv2(t)

es de variable separadas. Resuelvela como ejercicio.

Movimiento armonico simple. En la asignatura de Fısica I se ha estudiado el movimiento armonico simplecomo un caso particular de movimiento rectilıneo, caracterizado por la ecuacion x′′(t) = −ω2x(t), siendo ω unaconstante. Es facil ver que cos(ωt), sen(ωt) o cos(ωt + α), siendo α un angulo cualquiera, son soluciones de laecuacion. En la asignatura Ampliacion de Matematicas de segundo curso se vera que la solucion general puede

darse como c cos(ωt+ α) para c y α constantes cualesquiera.


Ejercicio 1. Encuentra la vida media del isotopo plutonio 239 sabiendo que despues de 15 anos se desintegra el

0.043% de la cantidad inicial.

Ejercicio 2. Fue una noche muy frıa, el termometro apenas se movio de los 5◦. Cuando la inspectora de policıa lodescubrio a las 4:20 de la manana, la temperatura del cadaver era de 25◦, pero cuando llego la forense a las 4:50,su temperatura habıa bajado a 20◦. ¿A que hora se cometio el crimen?


Ejercicio 3. Una loncha de jamon cocido que estaba en el congelador a −8◦ se pone en la nevera, que esta a unatemperatura constante de 3◦. Si al cabo de 10 minutos la temperatura de la loncha es de −3◦, ¿cuanto tardara en

estar a 2◦?

Ejercicio 4. La Reina y el Primer Ministro toman te. La primera le echa un poco de leche frıa y espera diezminutos, el segundo espera diez minutos y le echa la misma cantidad de leche frıa. ¿Quien se lo toma mas caliente?

Ejercicio 5. Dos sustancias A y B reaccionan para formar un compuesto C de manera que se emplean 4 gramosde A por cada gramo de B. Si las cantidades iniciales eran 32 gramos de A y 50 de B y al cabo de 10 minutos sehan formado 30 gramos de C, ¿que cantidad de compuesto C habra al cabo de 15 minutos?, ¿cuanto tardara en

formarse el 95% del total posible de compuesto?

Ejercicio 6. Un tanque de 10 m3 de capacidad contiene inicialmente 2 m3 de agua pura. En el instante t = 0comienza a bombearse una disolucion de sales, con una concentracion de 1 kg/m3, al interior del tanque y a una

velocidad de 5 m3/min. La mezcla, que se considera homogenea, se extrae a razon de 4 kg/m3.

(1) Halla el volumen de disolucion V (t) contenido en el tanque y determina en que instante se llena.(2) Escribe la ecuacion diferencial de Q(t), la cantidad, medida en kg, de sales disueltas en el tanque (es

parecida a la ecuacion de las mezclas que hemos visto, pero tienes que tener en cuenta que el volumen V (t)no es constante).

(3) En el momento en que el tanque se llena, ¿cuantos kg de sales hay disueltas en el tanque?

Ejercicio 7. Una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohmios se conectan en serie con una fuerzaelectromotriz constante de 100 voltios. Si la corriente es nula cuando t=0, halla la corriente en cualquier instante

posterior. Repite el ejercicio cuando la fuerza electromotriz vale v(t) = 100 sen(60t) voltios.

Ejercicio 8. Se conectan en serie una resistencia de 2000 ohmios y un condensador de 5 · 10−6 faradios con unafuerza electromotriz de 100 voltios. ¿Cual es la corriente para t = 0.1 segundos si i(0) = 0.01 amperios?

Ejercicio 9. Se conectan en serie una resistencia de 2000 ohmios, un condensador con una capacidad de 5 · 10−3

faradios y un generador de corriente que proporciona una fuerza electromotriz de e(t) = 10 sen(100πt) voltios. Si enel instante inicial el condensador esta descargado ¿cual sera la carga en el condensador al cabo de 10 segundos?

Ejercicio 10. Resuelve la ecuacion diferencial mv′(t) = −mg + kv2(t) de la caıda libre con resistencia del aire y

prueba que la velocidad a largo plazo es aproximadamente√

mg/k.

ALGUNAS NOTAS HISTORICAS.

Las ecuaciones diferenciales son una de las principales herramientas de las matematicas porque se usan habitualmentepara construir modelos matematicos de problemas de la ciencia y la ingenierıa; suele decirse que las ecuacionesdiferenciales son “la piedra angular de las matematicas aplicadas”. En la ultima seccion hemos recogido algunos

ejemplos sencillos de situaciones que se modelan mediante una ecuacion diferencial.

La historia de las ecuaciones diferenciales comienza a finales del siglo xvii con los trabajos de Isaac Newton y

Gottfried Leibniz. Con el desarrollo posterior de la mecanica, la fısica y el electromagnetismo, las ecuaciones dife-renciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripcion matematica de los fenomenos naturales.El Ejercicio 4 de la Seccion 2, llamado problema de la subtangente, fue planteado por Florimond de Beaune, un

alumno de Rene Descartes, y resuelto por Gottfried Leibniz en 1675, siendo una de las primeras veces en las queaparecen las ecuaciones diferenciales en la literatura.

Hasta el siglo xix la cuestion primordial era encontrar soluciones explıcitas para las ecuaciones diferenciales quesurgıan en el estudio de problemas en la mecanica y la fısica. Los trabajos de Leonhard Euler, los Bernoulli (variosmiembros de esta familia suiza fueron matematicos a lo largo de los siglos xvii y xviii), Jean d’Alembert, JosephLouis Lagrange y Pierre Simon de Laplace configuran este perıodo. Se trataba de encontrar metodos de resolucion

que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante formulas que involucraranlos datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie. Para los casos mas simples la resolucion se alcanzaba porintegracion y de ahı que se denominara integracion de ecuaciones diferenciales al procedimiento general de busquedade soluciones. Es en este perıodo cuando se inicia el estudio de las ecuaciones lineales y el metodo de variacion de

las constantes, que se debe a Euler y Lagrange. Asimismo, en el perıodo que comentamos aparecen los primerosintentos de obtener aproximaciones numericas de las soluciones cuando estas no pueden calcularse analıticamente.


El metodo de Euler fue creado por Leonhard Euler en 1768. Aunque apenas se utiliza en la practica debido a quees poco exacto, es el germen de metodos posteriores mas efectivos. Ademas, su sencillez permite estudiar algunos

aspectos de interes sobre las causas de los errores inherentes a este tipo de metodos. El metodo tiene tambienimportancia teorica ya que es la base del primer teorema de existencia y unicidad de soluciones a los problemas devalor inicial dado por Augustin Cauchy en 1840.

Sera a lo largo del siglo xix cuando las ecuaciones diferenciales sean objeto de una teorıa matematica con pretensionesde rigor y generalidad (en paralelo con lo sucedido, por la misma epoca, en otras ramas de las matematicas). Sonmatematicos de ese siglo los que plantean y abordan los problemas basicos que conformaran la teorıa de las ecuaciones

diferenciales hasta nuestros dıas: existencia y unicidad de soluciones, estudio de propiedades locales y globales delas soluciones, justificacion de los metodos de integracion, metodos numericos para obtener soluciones aproximadas,etc. Hoy en dıa, el estudio de las ecuaciones diferenciales, en sus vertientes teorica, numerica y modeladora, sigue

siendo uno de los campos de investigacion mas activos de las matematicas.

En las paginas web del Departamento y de ensenanza virtual puedes encontrar el documento Breve historia de las

ecuaciones diferenciales, del profesor Julio Benıtez (U. Politecnica de Valencia), que describe este perıodo con masdetalle.

Bibliografıa

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 1, Secciones 3.10, 4.4, 6.4 y 7.1 a 7.4.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 1, Secciones 4.1, 5.6, 5.7, 7.1 a 7.6 y 15.2.

G.B. Thomas, Jr., Calculo de una variable, Capıtulos 8 y 9.

Paginas web de interes:

http://integrals.wolfram.com/ (calculo de primitivas)

http://www.wolframalpha.com (calculo de primitivas y resolucion de ecuaciones diferenciales)

Pagina web de interes para la resolucion numerica de ecuaciones diferenciales:

http://keisan.casio.com/exec/system/1392171850

lecci on 3. ecuaciones diferenciales de primer orden · 2016-10-31 · 3. ecuaciones diferenciales...

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