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Sistemas en Tiempo Discreto

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

Procesamiento Digital de SeñalesDepartamento de Maestría

DICIS - UG

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice

3.1. Introducción

3.2. Áreas de aplicación de los sistemas discretos

3.3. Clasificación de los Sistemas Discretos

3.4. Representación de sistemas discretos mediante diagramas a bloques.

3.5. Tareas

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Introducción3.1. Introducción

Un sistema en tiempo discreto es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal como se muestra en la Figura 1. en el cual, una señal de entrada x(n) es transfor-mada en una señal de salida y(n) a través de la transformación T[.]. Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algún número de formas diferentes.

x(n) y(n) = T[x(n)]T[.]

Figura 1. Sistema Discreto en tiempo como una transformación T[.] que mapea una señal de entrada x(n) en una señal de salida y(n)


Áreas de Aplicación3.2. Áreas de Aplicación

Algunos ejemplos de sistemas discretos son:

RadarSonarEquipos biomédicos tales como

-Tomógrafos-Econógrafos-Resonancia Magnética-Electrocardiógrafos-etc

ComputadoresEquipos industrialesEquipos militaresEtc.

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Áreas de AplicaciónProcesamiento de Voz


Áreas de Aplicación

Procesamiento de Video

4


Áreas de AplicaciónTrafico WEB



Resolución en Azimuth (Espacio)

Resolución en Rango (Tiempo)

Estrecho de Gibraltar

El Radar de Apertura Sintética (SAR)

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Áreas de AplicaciónEl Radar de Apertura Sintética Inverso (ISAR)


Áreas de AplicaciónEl Radar de Penetración

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Arreglos de sensores

Sistemas Biomédicos (Ultrasonido)



Tomografías Resonancia Magnética

Sistemas Biomédicos

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Áreas de AplicaciónDetección de Derrames de Petróleo en el Mar



Verificación de Cultivos

8



Radio Astronomía



Límites

Verificación de zonas Inundadas por Ríos

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Erupción del Popocatepetl

Huracan Ivan en las costas de Yucatán

Análisis de los Fenómenos Naturales



FIMEE

Hospital de Pemex

Salamanca, Gto.

Prepa Salamanca

Aplicación en la Cartografía

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Áreas de AplicaciónInvestigación y Prevención Criminal



Radares de penetración para la detección temprana de personas atrapadas por el fuego en edificios.

Protección Civil: Combate al Fuego

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AutomóvilesIndustrias

Detección de Contaminantes – CO y CO2


Clasificación de los Sistemas3.3. Clasificación de los Sistemas Discretos

Tanto en el análisis como en el diseño de sistemas es conveniente realizar una clasificación de los mismos según las propiedades generales que lo satisfacen. De hecho, las técnicas matemáticas que se desarrollan para analizar y diseñar sistemas en tiempo continuo dependen fuertemente de las características generales de los sistemas que se consideren. Por esta razón, es necesario desarrollar una serie de propiedades y categorías que puedan usarse para describir las características generales de los sistemas en tiempo discreto.

Se debe destacar que, para que un sistema disponga de una propiedad determinada, está debe cumplirse para cada señal posible en la entrada del sistema. Si una propiedad se satisface para algunas señales de entrada pero no para otras, el sistema no posee tal propiedad. En ese caso, un contra-ejemplo es suficiente para demostrar que un sistema no posee talpropiedad.

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Clasificación de los SistemasSin embargo, para demostrar que el sistema tiene alguna propiedad, se debe probar que esta propiedad se cumple para cualquier señal de entrada posible.

3.3.1. Sistemas Estáticos y Sistemas Dinámicos

Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas y/o futuras en la entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Si la salida del sistema en el instante n está determinada completamente por las muestras de entrada en el intervalo de n – N a n, entonces, se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Por otro lado, si N = 0, se dice que el sistema es estático.


Clasificación de los SistemasSi N se encuentra en el intervalo de [0,∞), entonces se dice que el sistema tiene memoria finita, y finalmente, si N = ∞, entonces se dice que el sistema tiene memoria infinita.

Ejemplo 1. Determine si los siguientes sistemas Discretos son estáticos (sin memoria) ó dinámicos (con memoria)

a) y(n) = ax(n)b) y(n) = nx(n) + bx3(n)

c) y(n) = x(n + 1) + 3x(n – 1)

d) ( )∑=

−=n

k

knxny0

)(

Estáticos o sin memoria

Dinámicos o con memoria

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Clasificación de los Sistemas3.3.2. Sistemas invariantes e variantes en el tiempo

Un sistema se dice invariante en el tiempo si sus características de entrada y salida no cambian con el tiempo. Para entender esto, supóngase que se tiene el sistema T[.] en reposo y que, cuando es excitada con una señal x(n), produce una señal de salida y(n). Entonces, se puede escribir

( ) [ ])(nxTny = (1)

Supóngase ahora que esa misma entrada es retardada k unidades de tiempo para dar lugar a x(n – k), y de nuevo se aplica al mismo sistema. Si las características del sistema no cambian con el tiempo, la salida del sistema del sistema en reposo será y(n – k), es decir, la salida será la misma que la correspondiente a la entrada x(n), excepto que este estará retardada las mismas k unidades de tiempo que se retardó la entrada.


Clasificación de los SistemasEsto conduce a definir un sistema invariante en el tiempo o invariante ante desplazamientos de la siguiente forma:

Teorema: un sistema en reposo T[.] es invariante en el tiempo o invariante a desplazamientos si y solo si

( )nynxT→)( ( ) ( )11 −→− nynx

T

para toda señal de entradas x(n) y todo desplazamiento temporal k.

Para determinar si un sistema dado es invariante en el tiempo, necesitamos realizar el test especificado en la definición precedente. Básicamente, excitamos al sistema con una secuencia de entrada arbitraria x(n) que produce una salida y(n). En seguida, se retarda la señal de entrada la cantidad k y se recalcula la salida. En general, se puede escribir la salida como

(2)

( ) )]([, knxTkny −=

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Clasificación de los SistemasSi la salida cumple con y(n,k) = y(n – 1), para todos los valores de k, el sistema es invariante en el tiempo. En cambio, si la salida no cumple para un valor de k, el sistema es variante en el tiempo

Ejemplo 2. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son variante o invariantes en el tiempo

( ) ( ) ( )1−−= nxnxny

( ) ( ) ( )1−−−−=− knxknxknySol.

a)

∴ Es un sistema Invariante en el tiempo

y como: ( ) ( ) ( )1, −−= nxnxkny ( ) ( )knykny ,=−


Clasificación de los Sistemas( ) ( )nnxny =b)

( ) ( ) ( )knxknkny −−=− ( ) ( ) ( )knkxknnxkny −−−=−

( ) ( )nnxkny =,como: ( ) ( )knykny ,≠−

∴ Es un sistema Variante en el tiempo.

⇒

c) ( ) ( )nxny −=

( ) ( )knxkny −−=−

( ) ( )nxkny −=,como: ( ) ( )knykny ,≠−

∴ Es un sistema Variante en el tiempo.

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Clasificación de los Sistemas3.3.3. Sistemas Lineales y No-Lineales

Los sistemas, en general, pueden subdividirse en lineales y no lineales. Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. De forma sencilla se puede decir que el principio de superposición exige que la respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las señales de entrada. En otras palabras, un sistema T[.] es lineal si para dos entradas x1(n) y x2(n) y dos constantes a y b se cumple la siguiente propiedad

[ ] )]([)]([)()( 2121 nxbTnxaTnbxnaxT +=+ (3)

Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x1(n) y x2(n), y cuales-quiera constantes arbitrarias a y b.


Clasificación de los SistemasEl principio de superposición dado en la relación (3) se puede expresar en dos partes. Para la primera parte, se supone que b = 0, entonces se reduce a

( )[ ] ( )[ ]nxaTnaxT 11 =Esta relación muestra la propiedad de multiplicación ó escalonado de un sistema lineal. Esto es, si la respuesta del sistema a x1(n) es y(n), entonces la respuesta del sistema ax1(n) es simplemente ay(n). Por tanto, cualquier escalonado de la entrada produce un escalonado igual de la salida correspon-diente. Para la segunda parte, se supone que a = b = 1, entonces de tiene

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxTnxTnxnxT 2121 +=+

Esta relación muestra la propiedad aditiva de un sistema lineal. La propie-dad aditiva y multiplicativa definen el principio de la superposición tal y como se aplica a los sistemas lineales.

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Clasificación de los SistemasSi un sistema produce una salida distinta a cero cuando la entrada es cero el sistema no está en reposo o es no lineal.

Ejemplo 3. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son lineales o no-lineales.

( ) ( )nnxny =a)

( ) ( )[ ]nnxTny = ( ) ( )[ ]nxnTny =⇒

∴ Es un Sistema Lineal en el tiempo.

( ) ( )2nxny =b)

( ) ( )[ ]2nxTny = ( ) ( )[ ]2nxTny =⇒



Clasificación de los Sistemas( ) ( )nxny 2=c) ( ) ( )[ ]nxTny 2=⇒

∴ Es un Sistema No-Lineal en el tiempo.

( ) ( )( )nxny exp=d) ( ) ( )( )[ ]nxTny exp=⇒

∴ Es un Sistema No-Lineal en el tiempo.

( ) ( ) bnaxny +=e)

( ) ( )[ ]bnaxTny += ( ) ( )[ ] bnxaTny +=⇒


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Clasificación de los Sistemas3.3.4. Sistemas Causales y No Causales

Teorema: Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante n (es decir y(n)) depende solo de las entradas presentes y pasadas (es decir, de x(n), x(n – 1 ), x(n – 2), ...). En términos matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecuación de la forma

( ) ( ) ( ) ( )[ ],...2,1, −−= nxnxnxFny

donde, F[.] es una función arbitraria. Si un sistema no satisface esta definición se dice que no es causal. En un sistema no causal, depende no solo de las entradas pasadas y presentes sino también de las futuras.Es evidente que un sistema en tiempo real no se dispone de las entradas futuras de la señal y, por lo tanto, un sistema no causal no puede ser implementado físicamente.

(4)


Clasificación de los SistemasPor otra parte, si la señal se graba de manera que el procesado no se realiza en tiempo real, es posible implementar sistemas no causales, ya que todos los valores de la señal se encuentran disponibles en el momento del procesado. Este es, a menudo, el caso de señales geofísicas e imágenes.

Ejemplo 4. De los siguientes sistemas, determine si son causales o no. Explique ampliamente.

( ) ( ) ( )1−−= nxnxnya)

( ) ( ) ( )43 ++= nxnxny

Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y pasadas en el tiempo.

Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el tiempo.

b)

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Clasificación de los Sistemas

( ) ∑−∞=

=n

k

kxny )(

c) ( ) ( )nxny −=

d)

( ) ( )2nxny =e)

Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras pasadas en el tiempo.

Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y pasadas en el tiempo.

Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el tiempo.


Clasificación de los Sistemas3.3.5. Sistemas Estables e Inestables

La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerada en cualquier aplicación práctica de un sistema. Los sistemas inestables presentan un comportamiento errático y extremo que es causa del desbordamiento del sistema en aplicaciones prácticas. Aquí se define matemáticamente lo que se quiere decir con un sistema estable y, sus consecuencias de esta definición en sistemas invariantes con el tiempo.

Teorema: Un sistema arbitrario en reposo se dice que es limitada en la entrada y salida (BIBO, bounded input–bounded output), si y solo si toda la entrada acotada produce una salida acotada.

Matemáticamente, el acotamiento de las secuencias de entrada y de salida, x(n) e y(n), se traducen en la existencias de un par de números finitos, digamos Mx y My, tales que

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Clasificación de los Sistemas( ) ∞<≤ xMnx ( ) ∞<≤ yMny (5)y

Si para alguna entrada acotada x(n) la salida no es acotada (es infinita), el sistema se clasifica como inestable.

Ejemplo 5. Se considera un sistema no-lineal descrito mediante la siguiente relación de entrada-salida: y(n) = y2(n – 1) + x(n), con la entrada del sistema la señal acotada definida como x(n) = Cδ(n), donde C es una constante y además y(–1) = 0. Entonces la secuencia de salida es,

y(0) = C, y(1) = C2, y(2) = C4, ... , y(n) = C2n

Claramente, la salida no está acotada si 1 < |C| < ∞. Por lo tanto, el sistema es inestable dado que la entrada acotada a producido una salida no acotada.


Representación de Sistemas3.4. Representación de sistemas discretos mediante diagramas de bloques

Es de importancia introducir los conceptos de la representación de los sistemas en tiempo discreto mediante diagramas a bloques debido a que puede de alguna forma simplificar la tarea de implementación de dichos sistemas en esquemas computacionales. Con este fin se definirán algunos bloques básicos que pueden ser interconectados para formar sistemas complejos.

Nodo Derivador de Señal. La Figura 12. muestra como una señal x(n) puede ser derivada en dos líneas diferentes a través del nodo Derivador

x(n)

x(n)x(n) Figura 12. Nodo

Derivador de señal

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Representación de SistemasSumador. La Figura 13. muestra un sistema que realiza la suma de dos señales x1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en suma) denotada por y(n). Obsérvese que no es necesario almacenar ninguna de las secuencias para realizar la suma. En otras palabras, es una operación sin memoria.

+x1(n)

x2(n)

y(n) = x1(n) + x2(n)

Figura 13. Sumador de Señal

Escalado. Esta operación se muestra en la Figura 14; consiste simplemente en aplicar un factor de escala a la entrada x(n). Obsérvese que se trata también de una operación sin memoria.


Representación de Sistemasx(n)

ay(n) = ax(n)

Multiplicador. La Figura 1.15. muestra la multiplicación de dos señales, x1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en producto), que se denota en lafigura por y(n). Como en los casos previos, la operación de multiplicación de señales es una operación sin memoria.

×x1(n)

x2(n)

y(n) = x1(n)x2(n)

Figura 1.14. Multiplicador por una Constante

Figura 1.15. Multiplicador de señal

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Representación de SistemasRetardador de Señal. El retardador de señal es un sistema especial que retraza una posición la señal que pasa por él. La Figura 1.16. muestra este sistema. Si la señal de entrada es x(n), la salida es x(n – 1). De hecho, la muestra x(n – 1) se almacena en memoria en el instante n – 1 y se extrae de la memoria en el instante n para formar y(n) = x(n – 1), por tanto, el bloque básico si tiene memoria. El uso del símbolo z–1 para denotar el retardador de una muestra de la señal se entenderá al estudiar la transformada z.

z–1x(n) y(n) = x(n – 1)

Adelantador de Señal. Al contrario que el retardador de señal, el adelantador de señal adelanta una muestra a la entrada x(n) en tiempo para producir x(n + 1).

Figura 1.16. Retardador de Señal


Representación de SistemasLa Figura 1.17. muestra esta operación, el operador z se usa para denotar el avance de una muestra en el tiempo. Debe observarse que dichoavance es imposible en tiempo real, dado que, de hecho, implica conocer el futuro de la señal. Por otra parte, si almacenamos la señal en un ordenador, se dispone de todas las muestras en cualquier momento. En aplicaciones de estas características, que no se desarrolla en tiempo real, es factible adelantar la señal x(n) en el tiempo.

zx(n) y(n) = x(n + 1)

Aquí se presentan la implementación en bloques de algunos sistemas en tiempo discreto que son ampliamente utilizados en el procesamiento, las cuales son:

Figura 1.17. Adelantador de señal

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Representación de Sistemas


Representación de SistemasEjemplo 6. Utilizando los bloques básicos obtenga el diagrama a bloques del sistema discreto dada la siguiente relación de entrada y salida

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Tarea3.5. Tarea

1. Determine las propiedades de los siguientes sistemas discretos

( ) ( )∑+

−∞=

=1

2

n

k

kxnh

( ) ( )[ ]nxnh cos1 = ( ) ( )nxnh 27 =

( ) ( ) ( )nunxnh =8

( ) ( ) ( )16 ++= nnxnxnh

( ) ( )nxnh =5

( ) ( )24 +−= nxnh

( ) ( ) ( )nnxnh 03 cos ω=2. Realice la implementación de los siguientes sistemas discretos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22123132 −+−−+−+−= nxnxnxnynyny

( ) ( ) ( ) ( )nxnxnxny −++−= 22

( ) ( ) ( ) ( )11 −+−−= nynxnxny

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