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Convolución

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

Procesamiento Analógico de Señales

FIEC - UV

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice

11.1. Introducción

11.2. La función delta de Dirac

11.3. Definición de la convolución

11.3.1. propiedades de la convolución

11.3.2. Método Gráfico para la convolución

11.4. Tarea

2


Introducción

La operación mas importante dentro de los sistemas lineales en tiempo

continuo es la operación conocida como convolución. Esta operación

abarca múltiples áreas para realizar el proceso de mezclado de dos señales

dentro de un sistema LTI las cuales son:

- Procesamiento de Señales

- Procesamiento de Imágenes

- Óptica

- Control

- etc.

x(t) h(t) y(t)


Delta de Dirac 11.2. La función Delta de Dirac

La función delta de Dirac, (x), se define a través de la siguiente integral

Su enorme utilidad dentro de la teoría de sistemas lineales ha justificado su

aplicación.

Además, la controversia de este aspecto siempre han girado alrededor de

que la función delta de Dirac no define una función en el estricto sentido

de la palabra, sino más bien una relación funcional; y de hecho, la delta de

Dirac no posee ningún significado sino está dentro de integrales tales

como (11.1).

0fdxxxf

(11.1)

3


Delta de Dirac

afdxaxxf

La definición de (11.1) es válida para cualquier función f(x) que sea continua

en x = 0. Por lo tanto, haciendo el cambio de variable, y = x + a y suponiendo

que f(x) es continua en x = a, la propiedad de desplazamiento de la función

delta de Dirac, se establece como (Figura 1):

más aun, e observa que

agafdxaxxgxf

(11.2)

(11.3)


Delta de Dirac

x

y

(x – a) 1

x = a

Figura 11.1. Función delta de Dirac

Una de las representaciones mas comunes de la delta de Dirac es cuando se

da en términos de la derivada de la función escalón unitario u(x). Esta

relación establece que

dx

xdux (11.4)

4


Delta de Dirac

donde, u(x) está definida como

00

01 xxu (11.5)

dtixtx exp2

1

a

xax

Tres propiedades elementales de la delta de Dirac son:

Complejo:

(11.6)

(11.7)

Escalonado:


Delta de Dirac

n

i i

i

xg

xxxg

1 ''

'Funciones propias: (11.8)

Ejemplo 1. Demuestre que 14

1123

312 xxxx

Factorizando a g(x) se obtiene: (x + 1)(3x – 1) entonces las raíces son:

x1’ = 1/3 y x2’ = –1,

Se puede ver que n = 2. La derivada de la función es:

g’(x) = 6x +2

con g’(1/3) = 4 y g’(–1) = –4. Por lo tanto, la aplicación directa de la

propiedad de funciones propias nos da el resultado.

5


Convolución

2

2

N

Nn

tnttxtx

11.3. Definición de la Convolución

Supongamos que una señal de excitación de banda limitada x(t) se aplica a la

terminal de entrada de un sistema lineal. Como x(t) es de banda limitada, x(t)

puede ser aproximada a una función de muestreo, tal como

en donde, N es el total de puntos de muestreo, (t) denota la función delta de

Dirac y t es la distancia de muestreo, conocida como intervalo de mues-

treo de Nyquist.

El intervalo de muestreo de Nyquist puede obtenerse de la frecuencia de

muestreo, esto es,

(11.9)


Convolución

sft

1 (11.10)

ms ff 2

en donde, fs es la frecuencia de muestreo de Shannon. La frecuencia de

muestreo satisface la siguiente desigualdad

en donde, fm es la frecuencia mas alta que limita la excitación de entrada

x(t).

El concepto de convolución puede ser ilustrado en un diagrama a bloques

de la entrada y salida de un sistema lineal tal como en la Figura 11.2.

(11.11)

6


Convolución

Figura 11.2. Respuesta de un sistema lineal espacialmente invariante

y(t)

y(t) x(t)

h(t)

x(t)

(t) h(t)

t t

t

t

t

t


Convolución

dtxxnxtxtx

N

NN

t

2

2

0lim (11.12)

Así, observamos que la convolución de una función x(t) con una función

delta da la misma función.

Ya que el diagrama de bloques del sistema es lineal e invariante, la

excitación de salida es:

Con respecto a la (11.9), se puede observar que el intervalo de muestreo t

se aproxima a cero cuando el total de puntos de muestreo, N, se aproxima

a infinito. En este caso, la (11.9) converge a la bien conocida integral de

convolución, que es

7


Convolución

2

2

N

Nn

tnthtxty

Como se muestra en la Figura 11.2, en donde h(t) es la respuesta

espacial al impulso del sistema. De nueva cuenta, cuando t 0, N

∞, y la (11.13) convergerá hacia la siguiente integral de convolución

(11.13)

dthxtnthtxty

N

NN

t

2

2

0lim

La función de convolución de las funciones x(t) y h(t), denotada como

x(t)h(t).

(11.14)


Convolución 11.3.1. propiedades de la convolución

txththtx a) Conmutativa

dthxthtx

dyyhytx

Demostración:

Al realizar el cambio de variable, y = t – , se observa que, dy = –d y los

límites son, cuando , se tiene que, y – y cuando, – se

tiene que y .

dyyhytx

8


Convolución

Haciendo el cambio de variable y .

tgtxthtxtgthtx

txthdtxh

thtgtxthtgtx

b) Asociativa

c) Distributiva


Convolución

212121 ,,, tthttxtty

e) Convolución en 2D

tctgtf

d) Corrimiento:

si tctgtf

tctgtf

2121 tctgtf

9


Ejemplo 2. Demostrar que .

Se tiene que por definición, la convolución esta dada como

por lo tanto

Realizando el cambio de variable como: = – t1, por lo tanto se tiene que

= t1 + y el diferencial queda d = d. Los límites de la integral están

dados como sigue: si entonces y si – entonces –,

por lo tanto

Convolución

2121 tttytthttx

dtthxthtx

dtthtxtthttx 2121

dttthxty 21 21 ttty ■


Convolución Ejemplo 3. Demostrar que un sistema es invariante en el tiempo aplicando

el principio de la convolución.

dtxtx

Por definición se tiene que la señal de entrada de cualquier sistema puede

estar expresada como:

dtxty

tTth

dthx

■

txTty

dtTxtyPor lo tanto, si

se llega a

10


Ejemplo 4. Se tiene una señal x(t) = u(t) que entra en un sistema LTI que

posee una respuesta al impulso h(t) = exp(–t)u(t) donde > 0, determine

la señal de salida y(t). dado que

y por definición, la función escalón esta dado como

Convolución

dthxthtxty

00

01

t

ttu

t

dtty0

exp

t

dt0

expexp

Por lo tanto se llega a


Convolución

t

tty0

exp1

exp

0expexp1

exp tt

tutty

exp11

h(t) x(t) ? y(t) =

11


Convolución

Figura 11.3. Señal excitadora del sistema x(t)


Convolución

Figura 11.4. Respuesta impulsional del sistema h(t)

12


Convolución

Figura 11.5. Salida del sistema y(t)


Convolución

tutx tutth exp1

Ejemplo 5. Un sistema continuo esta definido por la suma y multiplicación

de tres respuesta, h1(t), h2(t) y h1(t) tal como se muestra en la figura, deter-

mine la salida del sistema.

tutth exp2

h1(t)

h2(t)

x(t) y(t)

thtxty Se tiene que

13


Convolución

ththth 21

thtxthtxty 31

y donde

por lo tanto, la salida del sistema estará definida como

t t

ddty0 0

expexp

ttty

00exp

1exp

1


Convolución

ttty

exp11

exp11

1exp

11exp

1 tt

14


Convolución

Figura 11.7. Señal excitadora del sistema x(t)


Convolución

Figura 11.8. Respuesta impulsional del sistema, h(t) = h1(t) + h2(t)

15


Convolución

Figura 11.9. Salida del sistema y(t)


Convolución 11.3.2. Método Gráfico para la convolución

*

2

2

t

f(t)

-2 2

3

t

g(t)

Paso 1. Remplazar la variable independiente t por en f(t) y g(t)

Paso 2. Invierta y traslade la función g(t) en el sistema de f(t)

Paso 3. recorra a g(t) hasta que inicie el traslape sobre f(t) como se

muestra en la siguiente imagen.

16


Convolución 3

2

f() 2

-2 + t 2 + t

g(t-)

I. Cuando t < –2: Las dos funciones no se

traslapan y el área dentro del producto es

cero.

II. Cuando –2 t < 0: La parte de g(t)

traslapa parte de f(t) y el área dentro del

producto de las funciones es:

3

2

f() 2

-2 + t 2 + t

g(t-)

Paso 4. La convolución se divide en 5 partes los cuales son:

3

2

f() 2

-2 + t 2 + t

g(t-)


Convolución

6

2

326

2

232

23)2(3

222

0

22

0

t

tt

d

tt

III. Cuando 0 t < 2: Aquí g(t) traslapa

completamente a f(t) y el área dentro del

producto es justamente:

3

2

f() 2

-2 + t 2 + t

g(t-)

6 22

3 23

2

0

22

0

d

IV. Cuando 2 t < 4: Parte de g(t) traslapa

a f(t) en forma similar al paso II.

V. Finalmente, cuando t 4, g(t) y f(t) no se

traslapan por lo que el área dentro del

producto es cero.

3

2

f() 2

-2 + t 2 + t

g(t-)

17


Convolución

t

y(t)

0 2 4 -2

6

El resultado de la convolución es:

4 Para0

42 Para24 122

320 Para6

02 Para62

32 Para0

)(*)()(2

2

t

ttt

t

tt

t

tgtfty


Convolución

c.o.c.0

211 ttg

c.o.c.0

211 ttf

c.o.c.0

502 ttg

c.o.c.0

211 ttf

b) Para dos señales cuadradas diferentes

b) Para dos señales cuadradas iguales

Ejemplo 5. Realice la convolución de:

18


Convolución

Figura 11.10. Señal f(t) del sistema


Convolución

Figura 11.11. Señal g(t) del sistema

19


Convolución

Figura 11.12. Señal de salida del sistema, y(t)


Convolución

20


Convolución

Figura 11.13. Señal f(t) del sistema


Convolución

Figura 11.14. Señal g(t) del sistema

21


Convolución

Figura 11.15. Señal de salida del sistema, y(t)


Tarea 1. Realice la investigación de los siguientes temas

a) Señales de Banda Limitada

b) El intervalo de muestreo de Nyquist

c) La frecuencia de muestreo de Shannon

d) El fenómeno de Gibbs

2. Problemas de convolusión

a) Si para un sistema electróptico la función de transferencia esta definida

como h(t) y la excitación de entrada está dada por x(t) determine la respuesta

de la salida del sistema.

)(2

1tutx

t

tutth exp1

22


Tareas

3 tututx

b) Ahora, si la respuesta h(t) cambia a

Determine la salida del sistema y(t).

c) Por último, si el sistema mostrado esta compuesta por dos respuestas h1(t)

y h2(t) en: a) cascada y b) paralelo, (Figura 11.16) encuentre la señal de salida

para cada caso.

d) Determine la convolución entre la señal excitadora x(t) y la respuesta del

sistema h(t) a través del método grafico.

2 tututh

tutth exp2


Tareas

h1(t) h2(t) x(t) y(t)

h1(t)

h2(t)

x(t) y(t) +

+

Sistema en paralelo y(t) = x(t) [h1(t) + h2(t)]

Sistema en cascada y(t) = x(t) h1(t) h2(t)

Figura 11.16

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