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Le GalassieLezione 6

Le Galassie EsterneAA 2008/2009

Il Teorema del Viriale

2

d

dt(m!!v!) = !

!

" !=!

Gm!m"

|!x! ! !x" |3 (!x! ! !x") + !F!ext = !m!""(!x!)

!

!

d

dt(m!!v!) · !x! = !

!

!," !=!

Gm!m"

|!x! ! !x" |3 (!x! ! !x") · !x! +!

!

!F!ext · !x!

!

!

d

dt(m!!v!) · !x! = !

!

!," !=!

Gm!m"

|!x! ! !x"|3 (!x! ! !x") · !x! +!

!

!F !ext · !x!

Consideriamo un sistema di N particelle in interazione gravitazionale con masse mα (α=1,2,...,N) alle posizioni !x!

Per ogni stella α

Faccio il prodotto scalare membro a membro con e sommo su α:!x!

Analogamente per la stella β

Forza esterna, esempio interazione con materia oscura, gas

d

dt(m!!v!) · !x! =

12

d2

dt2(m!!x! · !x!)!m!!v! · !v!

!

!

d

dt(m!!v!) · !x! = !1

2

!

!," !=!

Gm!m"

|!x! ! !x" | +!

!

!F!ext · !x!



3

Sommando membro a membro e dividendo per 2:

Notando che

!

!

d

dt(m!!v!) · !x! =

12

d2I

dt2! 2Ksi ottiene

I =!

!

m!!x! · !x! Momento di inerzia del sistema

K =12

!

!

m!v2! Energia cinetica totale

12!

!dI

dt(!) ! dI

dt(0)

"= 2"K# + "W # +

#

!

""F!ext · "x!#



4

W =12

!

V!("x)#("x)d"x3 =

12

"

!

m!#("x!)Energia potenziale del sistema:

!("x!) = !!

" !=!

Gm"

|"x! ! "x" | W = !12

!

!," !=!

Gm!m"

|!x! ! !x" |da cui

12

d2I

dt2! 2K = W +

!

!

!F!ext · !x!Si ottiene infine

Mediando membro a membro sul tempo τ, per τ→∞ si ottiene (dI/dτ è finito)

2!K" + !W " +!

!

!!F!ext · !x!" = 0


Il Teorema del VirialeConsideriamo un sistema di particelle in interazione gravitazionale legato ed in equilibrio per cui si possono trascurare le forze esterne. Per esso vale il teorema del Viriale:

< W > + 2 < K >=0

< W > è l’energia gravitazionale media totale del sistema;

< K > è l’energia cinetica totale media.

< W > e < K > sono valori medi su tempi lunghi rispetto ai tempio scala del sistema. Indichiamoli per semplicità con W e K.

K>0 per definizione di energia cinetica (< K > = < Σi 1/2 mi vi2 >) da cui necessariamente risulta < W > < 0 (è un sistema legato ...).

Definendo l’energia totale del sistema E = W+K il teorema del viriale si può riscrivere come E = 1/2 W oppure E = -K

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Uno sferoide è caratterizzato da moti caotici per cui la curva di rotazione quando non è completamente piatta non dice molto sulla massa totale come per i dischi delle spirali.Consideriamo un sistema di N stelle, il teorema del viriale si può esprimere come:

consideriamo per semplicità un ammasso sferico di raggio R, con N stelle di massa m per cui M = m N

ma

con l’assunzione di un sistema isotropo in cui, per l’equipartizione, la dispersione di velocità osservata lungo la linea di vista σr è 1/√3 del totale.


La Massa degli Sferoidi

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!2

!N"

i=1

12miv

2i

#= W

!M

N

!N"

i=1

v2i

#= W

1N

!N"

i=1

v2i

#= !v2" = !v2

r" + !v2!" + !v2

"" # 3!v2r" = 3!2

r

Consideriamo una sfera di densità uniforme, di massa M e raggio R, allora

applicando il teorema del viriale:

questa è la cosiddetta massa viriale.In generale:

Si può usare per calcolare il rapporto M/L del sistema. La figura mostra che Mvir è un’ottima approssimazione rispetto a misure di M da modelli dinamici completi → galassie non sono troppo complicate!


La Massa degli Sferoidi

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Cappellari et al. 2006

best fitrel. 1:1

W = !12

! R

0!(r)"(r)4#r2dr = !3

5GM2

R

Mvirial =5R!2

r

G!3M!2

r = !35

GM2

R

Mvirial = fR!2

r

G

Kzz =12

!

!

m!vz2! Wzz = !1

2

!

!," !=!

Gm!m"

|!x! ! !x" |

3

(z! ! z")2


Teorema del viriale tensorialeE se il sistema avesse una distribuzione di velocità anisotropa o semplicemente una componente di rotazione ordinata, buttiamo via tutto?Ovviamente no. Consideriamo l’equazione di partenza (F=ma per stella α, senza forze esterne):

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d

dt(m!!v!) = !

!

" !=!

Gm!m"

|!x! ! !x" |3 (!x! ! !x") + !F!ext = !m!""(!x!)

!x! = x!!i + y!

!j + z!!k

!z! = z!!kRipetiamo la dimostrazione del teorema del viriale ma usando

invece di ovvero considerando una sola direzione spaziale. Si ottiene:

12

d2Izz

dt2= 2Kzz + Wzz Izz =

!

!

m!z2!con


Teorema del viriale tensoriale

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Teorema del Viriale Tensoriale: come il teorema del viriale ma per la sola componente z. Relazioni analoghe valgono per x e y.

Se una galassia è “schiacciata” in xy ed è assi-simmetrica rispetto a z allora

!Wzz" > !Wxx" = !Wyy" segno “>” perché W è negativa.

12!2

z <12!2

x =12!2

yAllora la galassia deve essere “anisotropa”:

Se ho una componente di rotazione ordinata V sul piano xy (la stessa in media lungo x e lungo y) allora posso scrivere:

12!2

z <12!2

x +12V 2 =

12!2

y +12V 2

In questo caso posso mantenere l’isotropia e lo “schiacciamento” è supportato dalla rotazione ordinata.

!2z = !2

x = !2y

2!Kzz" + !Wzz" = 0ovvero, facendo la media sul tempo τ→∞

Si mettono in relazione i vari parametri strutturali ottenibili per una galassia per cercare di capire le proprietà fisiche.Attenzione però a non abusare delle correlazioni!


Leggi Scala delle Galassie

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What we learn from scaling relations...

VenusYellowstone Park forest fire

Jeep Cherokee running in a garageburning cigar

observable universe

... is sometimes nothing!

Kennicutt, 1989

Kennicutt 1989


Leggi Scala nelle SpiraliLe curve di rotazione delle galassie a spirale sono piatte a grandi raggi (misure HI) quindi VC è una caratteristica della galassia (si può usare la larghezza della riga HI indicata con W o ΔVC).

Vc correlata con la luminosità della galassia

Relazione Tully-Fisher: L ~ VCα

Qual’è il significato fisico?

Massa della galassia: M = VC2 R / G

Rapporto M/L: M = L (M/L) = L ΥBrillanza superficiale μ: L = μ πR2

Si può quindi scrivere: L ∝ VC4 / ( μ Υ2 )μ Υ2 ~ cost. → stretto legame tra stelle (L) e materia oscura (M).

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Indicatore di Luminosità!


Le ellittiche più luminose sono più grandi ed hanno una surface brightness minore ovvero la loro “densità di luminosità” sul piano del cielo è minore rispetto alle galassie meno luminose.Le galassie dE e dSph hanno un comportamento completamente diverso dalle Ellittiche e dai Bulge delle spirali!

Leggi Scala nelle Ellittiche

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μB = αMB +β → Re ∝ LB(1-α)/2

log Re = γMB +δ → Re ∝ LB-2.5γ

µB = !2.5 log!

FB

!R2e

"+ ZPB MB = !2.5 log LB + MB!

Le due relazioni sono equivalenti!


Leggi Scala nelle Ellittiche

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Σ(R

e) [V

mag

arc

sec-2

]

log Re [kpc]

◆ Ellittiche ○ Bulges

◆ Ellittiche

“Kormendy relation”

log σe = αMB +β → σe ∝ LB-2.5α

LB ∝ σe4

“Faber-Jackson relation”

Queste relazioni hanno una dispersione più grande di quanto ci si aspetterebbe dagli errori di misura (χ2 >1).La dispersione intrinseca è la dispersione dei residui (σres) del fit dopo aver tolto gli errori Δ: σint2 = σres2-Δ2


Il Piano FondamentaleLa dispersione delle correlazioni L-σ, L-R, μ-σ è grande e comunque queste relazioni sono legate tra loro. Consideriamo i 3 parametri indipendenti, μ, σ, R (oppure L, σ, R): esiste una relazione “fondamentale”?

La relazione fondamentale è un piano nello spazio dei tre parametri:

log Re = α log σe +β log μe

detto “piano fondamentale”. E’ equivalente a

Re ∝ σe1.4 μe-0.85

Le altre relazioni sono proiezioni del piano fondamentale e hanno quindi dispersione maggiore!

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Il Piano FondamentaleRe ∝ σe1.4 μe-0.85 Qual’è il suo significato fisico?

Non è altro che una relazione tra rapporto M/L (caratteristico di una popolazione stellare, della sua storia di formazione ed evoluzione) e luminosità L della galassia.Teorema del Viriale: M = ξ σe2 Re / GDefinizione di μ: L = 2μe π Re2

Re ∝ σeα μe-β → σeα Re2β-1 ∝ Lβ → σe1.4 Re0.7 ∝ L0.85

→ (σe2 Re)0.7 ∝ L0.85 → M0.7 ∝ L0.85 → M/L ∝ L0.21

ovvero M/L dipende debolmente dalla Luminosità.Le galassie più massicce sono quelle con M/L più elevato quindi hanno popolazioni stellari più vecchie.La dipendenza di M/L da L derivata dal piano fondamentale che implica una variazione di popolazioni stellari e struttura delle galassie è nota come TILT del piano fondamentale.

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La funzione di luminosità delle galassie ϕ(L) è definita da dN = ϕ(L) dLdN è il numero di galassie per unità di volume con luminosità tra L e L+dL.ϕ(L) si misura di solito in h-3 Mpc-2; h-3 serve per togliere la dipendenza dalla costante di Hubble H0 = 100 h km/s/Mpc (h=0.72).La forma funzionale che meglio descrive la funzione di luminosità è la cosiddetta funzione di Schechter:

ϕ✶ normalizzazione, α pendenza a basse L e L✶ luminosità caratteristica (L>0.1 L✶ “bright” galaxy).

La densità totale di galassie è:

La densità di luminosità totale è:


Funzione di Luminosità delle galassie

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L ~ L-α

L ~ exp(-L/L✶)

log

Lϕ(L

) [ M

pc-3

]

log L [L☉]L✶

ϕ✶

!(L)dL

L!= !!

!L

L!

"!"

exp(!L/L!)dL

L!

nTot =!

!(L)dL = !!"(! + 1)

!L =!

L!(L)dL = L!!!"(" + 2)

keynote:/Users/marconi/FileSync/Documents/Science/Corsi%20Universita%CC%80/astronomia%20extragalattica%202008%3A2009/Lezione%205.key?id=BGSlide-74




















Funzione di Luminosità delle galassie

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ρ(L) ~L ϕ(L)

ϕ(L)

ϕ(L) globale è caratterizzata da: L✶ ≈9×109 h-2 L☉ corrispondente a M(BJ)=-19.7+5 log hh=0.7 →L✶ ≈2×1010 L☉ (circa come Milky Way);ϕ✶ ≈0.02 h3 Mpc-3; α = 0.46.ρL(BJ)≈2×108 h L☉ Mpc-3 e ρL(K)≈6×108 h L☉ Mpc-3


















