LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

DIFERENSIASI NUMERIS

DISUSUN OLEH :

NAMA : ADE YULIATI SURATIN

NIM : 10521013

KELAS : A

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

2012

1

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum, wr.wb.

Syukur Alhamdulillah saya ucapkan kepada Allah SWT karena atas berkah, rahmat

dan hidayah-Nya saya dapat menyelesaikan laporan Praktikum Komputasi Proses ini tepat

pada waktunya. Shalawat serta salam saya sampaikan kepada Nabi Besar Muhammad SAW,

kepada keluarganya, sahabatnya, serta umatnya yang setia sampai akhir zaman.

Adapun isi dari laporan ini merupakan hasil dari praktikum komputasi proses yang

telah dilakukan sebelumnya. Di dalamnya terdapat berbagai macam penyelesaian kasus

dengan menggunakan metode numeris yang diperoleh dari latihan-latihan dan tugas-tugas.

Ucapan terima kasih saya untuk keluarga atas do’a dan dukungannya, kepada asisten

praktikum atas bimbingannya, dan kepada teman-teman seperjuangan atas bantuan dan

kerjasamanya sehingga laporan ini dapat tersusun.

Saya menyadari bahwa laporan Praktikum Komputasi Proses ini masih memiliki

kekurangan. Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca selalu saya nantikan

sebagai perbaikan dalam penulisan laporan berikutnya.

Wassalamu’alaikum, wr.wb

Yogyakarta, Oktober 2012

Penulis

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

BAB I PENDAHULUAN 1

A. Tujuan 1

B. Dasar Teori 1

BAB II PERSOALAN DAN PENYELESAIAN 4

A. Latihan 4

B. Tugas 5

BAB III PENUTUP 4

A. Kesimpulan 7

B. Saran 7

DAFTAR PUSTAKA 7

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Tujuan

Dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial sederhana dengan menggunakan

penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Persamaan differensial merupakan model matematis yang paling sering

muncul dalam bidang keteknikan maupun saintifik. Persamaan differensial

merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya.

Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan yang mengandung suatu

besaran dan differensialnya, dan dituliskan dengan :

f (x , dxdt , d2 xdt 2

,. . ., dn xdtn

, t)=0

Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang

mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai

yang sangat kompleks. Salah satu persamaan differensial yang banyak digunakan

dalam penerapannya adalah Persamaan Differensial Linier, yang dituliskan dengan :

andn xdtn

+an−1dn−1 xdtn−1

+. . .+a dxdt

+a0 x=f (t )

Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan

menggunakan cara analitik seperti pemakaian Transformasi Laplace, tetapi pada

bentuk yang kompleks persamaan differensial linier ini menjadi sulit diselesaikan.

Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial

dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik

sulit digunakan. Salah satu penyelesaiannya dengan metode beda hingga (finite

difference).

Misalnya diketahui suatu fungsi: y = f(x)

Dan ingin dicari harga dy/dx pada x = x0

4

Berdasarkan definisi matematika :

dydx

=limΔx→0

f ( x+Δx )− f ( x )Δx

Penyelesaiannya dapat menggunakan 3 cara yaitu :

1. Forward Difference (Beda Maju)

2. Backward Difference (Beda Mundur)

3. Central Difference (Beda pusat)

Cara Forward

Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x didefinisikan:

atau

Δy i= yi+1− y i

Δy ( x )= y ( x+h )− y ( x )

Beda maju kedua pada i atau x didefinisikan :

Δ2 y i= yi+2−2 yi+1+ y i

Atau Δ2 y ( x )= y ( x+2h)−2 y ( x+h )+ y ( x )

Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan :

dy idx

=1h( yi+1− y i) atau

dydx

|x=x0=f ( x0+Δx)−f ( x0)

Δx

harga Δx→0 , didekati dengan bilangan kecil ε , sehingga didapatkan :

dydx

|x=x0≈¿f ( x0+ε )−f ( x0)

ε ¿

Cara Backward

Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x didefinisikan :

Δy i= y i− y i−1

Atau

Δy ( x )= y ( x )− y (x−h)

5

Beda mundur kedua pada i atau x didefinisikan :

Δ2 y i= yi−2 y i−1+ y i+2

Atau

Δ2 y ( x )= y ( x )−2 y ( x−h)+ y ( x−2h )

Sehingga Penyelesaiannya bisa dituliskan :

dy idx

=1h( yi− y i−1)

atau

dydx

|x=x0=f ( x0+Δx )−f ( x0)

Δx

harga

Δx→0 , didekati dengan bilangan kecil ε , sehingga didapatkan :

dydx

|x=x0≈¿f ( x0 )− f ( x0−ε )

ε ¿

Cara Central

Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan :

Δy i= y i+1/2− yi−1/2

Atau

Δy ( x )= y ( x+1/2h )− y ( x−1 /2h )

Turunan beda terpusat selanjutnya adalah :

dyidx

= 12h

( y i+1− yi−1) ;

d2 y idx 2

= 12h

( y i+1−2 y i+ y i−1 )

d3 y idx3

= 12h3 ( y i+2−2 yi+1+2 y i−1− y i−2 )

Penyelesaiannya dapat dituliskan

6

dy idx

= 12h

( y i+1− yi−1) atau

dydx

|x=x0=f ( x0+Δx )−f ( x0−Δx )

2 Δx

harga

Δx→0 , didekati dengan bilangan kecil ε , sehingga didapatkan :

dydx

|x=x0≈¿f ( x0+ε )−f ( x0−ε )

2. ε ¿

BAB II

PERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A. Latihan

Carilah harga dy/dx dari persamaan :

1. y=x2−2 x+4

Diketahui :

X0 = 8

ε = 0.005

jawab :

Xo Xo+ε Xo-ε f(Xo)

f(Xo+ε

) f(Xo-ε)

8 8,005 7,995 52 52,070 51,930

FORWARD

14,00

5

BACKWAR

D

13,99

5

CENTRAL 14,00

7

0

2. y=4 x1. 5+3√ x−2Diketahui :

X0 = 8

ε = 0.005

jawab :

Xo Xo+ε Xo-ε f(Xo)

f(Xo+ε

) f(Xo-ε)

8 8,005 7,995 96,995 97,082 96,907

FORWARD

17,50

3

BACKWAR

D

17,49

8

CENTRAL

17,50

1

3. y=4 log x+3 x1 /2−3

Diketahui :

X0 = 7

ε = 0.0005

jawab :

Xo Xo+ε Xo-ε f(Xo)f(Xo+ε) f(Xo-ε)

7 7,0005 6,9995 8,3176 8,3181 8,3172

FORWARD0,8151

0BACKWARD

0,81513

CENTRAL 0,8151

8

1

4.y=1

3x3+ 1

4x2+1

Diketahui :

X0 = 9

ε = 0.001

jawab :

Xo Xo+ε Xo-ε f(Xo)f(Xo+ε) f(Xo-ε)

9 9,001 8,999264,25

0264,33

6264,16

5

FORWARD85,50

9BACKWARD

85,491

CENTRAL85,50

0

B. Tugas

1. −6 y+6 x1.7=7 x34−3−3 y

Diketahui :

X0 = 11

ε = 0.009

penyelesaian :

−6 y+6 x1.7=7 x34 −3−3 y

−6 y+3 y=7 x34 −6 x1 .7−3

−3 y=7 x34 −6 x1 .7−3

y=2 x1. 7−73x

34 +1

9

Xo Xo+ε Xo-ε f(Xo)f(Xo+ε) f(Xo-ε)

11 11,009 10,991104,77

5104,93

0104,62

0

FORWARD17,26

0BACKWARD

17,250

CENTRAL17,25

5

BAB III

PENUTUP

10

A. KESIMPULAN

Dari perhitungan penentuan diferensiasi diatas, dapat disimpulkan bahwa cara

central adalah yang terbaik karena cara central ini yang lebih mendekati cara analitik

yang merupakan cara yang paling akurat dalam menyelesaikan soal-soal persamaan

diferensial.

B. SARAN

Saran yang dapat diberikan dalam hal ini adalah dibutuhkan ketelitian dalam

menyelesaikan soal-soal persamaan diferensial ini menggunakan ketiga cara diatas,

seperti hal pengejaan dan penulisan formula atau rumus dalam microsoft excel.

Sebaiknya dalam menyelesaikan soa-soal persamaan diferensial ini menggunakan

cara penyelesaian numerik terutama cara central.

DAFTAR PUSTAKA

www.google.com

modul praktikum komputasi proses

11