LALGEBRA E LE SUE APPLICAZIONITRA CLASSICO E MODERNO

COLLANA INTERDISCIPLINARE

Direttore

Alfio RUniversit degli Studi di Catania

Comitato scientifico

Marco FUniversit degli Studi Roma Tre

Mercede MUniversit degli Studi di Salerno

Rosanna UUniversit degli Studi di Messina

LALGEBRA E LE SUE APPLICAZIONITRA CLASSICO E MODERNO

COLLANA INTERDISCIPLINARE

LAlgebra non altro che Geometria scritta, la Geometria non altro cheAlgebra figurata.

MarieSophie G

Una collana di Algebra, in una sezione relativa alla macroarea Matematica e Informatica, ha come obiettivo primario la divulgazioneculturale e didattica dei temi dellAlgebra classica e moderna. Come noto lo strumento algebrico andato via via affermandosi nel temposoprattutto per le sue molteplici applicazioni. Cos, mentre classica-mente lAlgebra era nota per i suoi contributi nella Teoria dei numerie nello studio delle equazioni, con lavvento dellopera di CartesiolAlgebra diventato lo strumento principale per interpretare gli og-getti geometrici, mentre con il lavoro di Eulero e Fermat ha trovatoinaspettate applicazioni in campi pi moderni della ricerca quali laCrittografia e la Teoria dei codici.Questa collana vuole dare impulso e sostegno a tutte quelle pub-blicazioni che intendano diffondere in modo scientifico e puntualetematiche che coinvolgano in modo diretto o indiretto aspetti teoricio applicativi dellAlgebra, ricordando, come usava dire Alfred NorthWhitehead, che lAlgebra lo strumento intellettuale che stato creato perrendere chiari gli aspetti quantitativi del mondo.

Sergio De Nuccio

Paolo Ruffini

Matematico e medico

Prefazione diSilvio Maracchia

Aracne editrice

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I edizione: giugno

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7

Indice

13 Introduzione 25 Capitolo I Paolo Ruffini: notizie biografiche 33 Capitolo II La teoria delle equazioni prima di Ruffini

2.1. Generalit sulle equazioni algebriche, 3 2.2. La risolubilit algebrica dellequazioni fino al quarto grado, 3 2.3. I contributi di F. Vite, R. Descartes, W. von Tschirnhaus, 2.4. I contributi di L. Euler e di E. Bezout, 5 2.5. I contributi di E. Waring, A. T. Vandermonde, J.-L. Lagrange, 64

85 Capitolo III

Permutazioni, gruppi e sottogruppi 3.1. Le permutazioni, 85 3.2. I gruppi, 96 3.3. I sottogruppi, 10 3.4. I gruppi risolubili, 10 111 Capitolo IV

Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni cap. XIII 129 Capitolo V

Chiarimenti e nuove Memorie

5.1. La divulgazione in Italia del libro di Ruffini, 129 5.2. Memoria del 1801: Della soluzione delle equazioni algebriche determinate particolari di grado superiore al quarto, 13 5.3. la lettera di P. Abbati e la Memoria di Ruffini del 1802, 13 5.4. I dubbi di G. Malfatti, 143 5.5. La risposta di Ruffini, 14 5.6. Altri lavori di Ruffini, 15

39

51 4

48

57 6

3

8 Indice

157 Capitolo VI Lopuscolo di Ruffini del 1813 173 Appendice

A.1. H. Burkhardt: il contributo di Ruffini alla teoria delle equazioni, 173 A.2. P.-L. Wantzel: De limpossibilit de rsoudre toutes les quations algbriques avec des radicaux, 177 A.3. Le idee di Ruffini e di Abel nella Memoria di Wantzel, 186

193 Bibliografia

9

155 Capitolo VI Lopuscolo di Ruffini del 1813 171 Appendice

A.1. H. Burkhardt: il contributo di Ruffini alla teoria delle equazioni, 171 A.2. P.-L. Wantzel: De limpossibilit de rsoudre toutes les quations algbriques avec des radicaux, 175 A.3. Le idee di Ruffini e di Abel nella Memoria di Wantzel, 184.

191 Bibliografia

Prefazione

In Occidente la matematica, tranne una stasi subita durante lalto medio evo ad opera di motivi storici ben noti, si pu dire che, almeno dal Rinascimento in poi, abbia sempre progredito. Significativa fu lopera di Leonardo Pisano che diede inizio a quel periodo di ritorno della matematica classica e medio-orientale seguito ben presto da un recupero delle opere di matematica, greca in particolare, che permise non solo la consapevolezza dei risultati gi raggiunti ma anche uno sviluppo che tuttora in atto. In questo continuo sviluppo vi furono in ogni tempo alcuni momenti pi significativi che lo hanno illuminato maggiormente. Si pensi ad esempio alla scoperta di grandezze tra loro incommensurabili che impose lesistenza dellinfinito matematico, si pensi al desiderio di dimostrare il famoso V postulato di Euclide con la difficolt insita in ogni dimostrazione di impossibilit; si pensi alla ricerca di risoluzione delle equazioni di terzo grado che sembrava giungere anchessa ad una dimostrazione di impossibilit anche quando si era messo a punto un simbolismo assolutamente necessario per un approccio generale; si trattava inoltre di estendere linsieme dei numeri anche alle quantit silvestri come le chiamer Cardano, e cio ai numeri complessi. Superato lo scoglio delle equazioni di terzo grado si super successivamente quello del quarto grado che, una volta risolte, distacc definitivamente lalgebra dalla geometria nonostante qualche ripensamento. Dopo questi grandi risultati, completato il necessario simbolismo massimamente con Cartesio, ci si rivolse alla soluzione delle equazioni di quinto grado, ma questo ostacolo, sebbene considerato prima o poi superabile, risult assai pi difficile del previsto. Gli sforzi di grandi matematici, la tecnica delle sostituzioni altrove A cura di Silvio Maracchia, Sapienza Universit di Roma.

10 Prefazione

determinante per la risoluzione di equazioni di casi particolari sembrava portare al successo. In verit, e fu questo un punto significativo nello sviluppo della matematica e non solo di quella delle equazioni, si giunse non senza fatica alla determinazione dellimpossibilit di poter risolvere con formule radico-razionali le equazioni di grado maggiore di quattro. Autori di questo inaspettato risultato furono, nellordine cronologico della scoperta, Paolo Ruffini(1765-1822), Henrik Abel (1802-1829) ed Evariste Galois (1811-1832). Questi grandi matematici, in particolare gli ultimi due, dato che Ruffini rimase per lungo tempo sconosciuto e misconosciuto, riuscirono a raggiungere il risultato al culmine di uno sviluppo matematico notevole. Ebbene, nel presentare la pubblicazione di Sergio De Nuccio dedicata a Paolo Ruffini, osserviamo che egli chiude con questo ultimo studio lintero percorso legato alle equazioni di quinto grado, percorso che lo ha impegnato per molti anni. I suoi studi hanno percorso a ritroso lesame di questa importante conquista della matematica: De Nuccio ha infatti esaminato per primo il grande risultato di Galois con notevoli pubblicazioni di oltre duemila pagine e ha dato alle stampe un volume sulla dimostrazione di Abel non limitandosi alla dimostrazione finale del matematico norvegese ma arricchendola, anche in questo caso, con il percorso seguito per il conseguimento del risultato. Nel presente lavoro su Paolo Ruffini, quasi obbligato per la completezza dellintero argomento ed anche per la rivalutazione di un matematico spesso sottovalutato persino in Italia, ma che si pone come primo nella dimostrazione dellimpossibilit della risoluzione detta delle equazioni di quinto grado, De Nuccio, con spirito di ricerca scientifica, non nasconde alcune imperfezioni nella dimostrazione di Ruffini. Queste lacune, per altro di non grande rilievo, sono spiegabili per chi affronta per primo un difficile argomento con metodi innovativi che porteranno a quella che oggi viene indicata come algebra astratta. Oggi infatti,la dimostrazione che per molto tempo era stata assegnata ad Abel, indicata giustamente come teorema di Ruffini-Abel e siamo sicuri che il presente libro contribuir a fissare sempre pi questa denominazione. Successivamente Galois affronter largomento delle equazioni nella sua forma pi generale ma per

Prefazione 11

determinante per la risoluzione di equazioni di casi particolari sembrava portare al successo. In verit, e fu questo un punto significativo nello sviluppo della matematica e non solo di quella delle equazioni, si giunse non senza fatica alla determinazione dellimpossibilit di poter risolvere con formule radico-razionali le equazioni di grado maggiore di quattro. Autori di questo inaspettato risultato furono, nellordine cronologico della scoperta, Paolo Ruffini(1765-1822), Henrik Abel (1802-1829) ed Evariste Galois (1811-1832). Questi grandi matematici, in particolare gli ultimi due, dato che Ruffini rimase per lungo tempo sconosciuto e misconosciuto, riuscirono a raggiungere il risultato al culmine di uno sviluppo matematico notevole. Ebbene, nel presentare la pubblicazione di Sergio De Nuccio dedicata a Paolo Ruffini, osserviamo che egli chiude con questo ultimo studio lintero percorso legato alle equazioni di quinto grado, percorso che lo ha impegnato per molti anni. I suoi studi hanno percorso a ritroso lesame di questa importante conquista della matematica: De Nuccio ha infatti esaminato per primo il grande risultato di Galois con notevoli pubblicazioni di oltre duemila pagine e ha dato alle stampe un volume sulla dimostrazione di Abel non limitandosi alla dimostrazione finale del matematico norvegese ma arricchendola, anche in questo caso, con il percorso seguito per il conseguimento del risultato. Nel presente lavoro su Paolo Ruffini, quasi obbligato per la completezza dellintero argomento ed anche per la rivalutazione di un matematico spesso sottovalutato persino in Italia, ma che si pone come primo nella dimostrazione dellimpossibilit della risoluzione detta delle equazioni di quinto grado, De Nuccio, con spirito di ricerca scientifica, non nasconde alcune imperfezioni nella dimostrazione di Ruffini. Queste lacune, per altro di non grande rilievo, sono spiegabili per chi affronta per primo un difficile argomento con metodi innovativi che porteranno a quella che oggi viene indicata come algebra astratta. Oggi infatti,la dimostrazione che per molto tempo era stata assegnata ad Abel, indicata giustamente come teorema di Ruffini-Abel e siamo sicuri che il presente libro contribuir a fissare sempre pi questa denominazione. Successivamente Galois affronter largomento delle equazioni nella sua forma pi generale ma per

quanto riguarda le equazioni di quinto grado il pi era ormai compiuto. Nella esposizione della dimostrazione di Ruffini, De Nuccio segue il metodo collaudato nelle precedenti pubblicazioni: una presentazione storica del protagonista impegnato anche nella sua qualit di medico (cap. I) ma anche indicazioni biografiche di tutti i personaggi che vengono via via coinvolti; una premessa matematica necessaria per la comprensione dellargomento principale che nel caso specifico data dai metodi di risoluzione delle equazioni dei primi quattro gradi (cap. II); cenni su quegli argomenti di algebra astratta usati per la dimostrazione e che costituiscono uno dei meriti di Ruffini (cap. III); la dimostrazione di Ruffini nelle sue varie presentazioni e semplificazioni in seguito alle varie osservazioni e perplessit dei suoi amici matematici italiani (capp. IV-V) e infine la presentazione dellultima stesura della dimostrazione di Ruffini da lui indicata troppo modestamente Opuscolo. E tutto questo sempre con luso diretto delle fonti riprodotte anche fotograficamente. Il volume di De Nuccio si chiude con una Appendice nella quale vengono mostrate alcune sistemazioni della dimostrazione di Ruffini-Abel da parte di Wantzel che poi quella che sostanzialmente si studia oggi nei vari testi che trattano dellargomento. Un libro che chiude un importante argomento matematico trattato ormai compiutamente da Sergio De Nuccio e che, come accade per risultati di grande importanza, apr a notevoli sviluppi. Ma questo, come si suol dire, unaltra storia. Un libro utile agli insegnanti di matematica di ogni livello ma anche a tutti coloro che vedono nella matematica, attraverso un significativo esempio che ha impegnato secoli di studi e di approssimazioni, unaffascinante conquista dello spirito razionale delluomo connessa alla bellezza delle sue strutture e dei suoi algoritmi.

13

Introduzione

Dedicatosi egli fin da fanciullo alla soda e vera piet e allo studio pi intenso, fra gli esercizi di Religione ed i libri divideva il Ruffini tutto il suo tempo, e anche da

giovinetto pochi divertimenti e sollievi a se stesso accor-d, ed allorch gli altri suoi coetanei si ricreavano, egli se la passava coi libri. Esercit le virt ma con lo spi-rito del Cristiano; e la carit verso il prossimo fu in lui singolare, cos che insigni erano le limosine che sparge-va, se voglia specialmente considerarsi che limitati erano i suoi mezzi, ma la Provvidenza verific in lui il detto del Vangelo. Con ugual premura medicava i ricchi ed i poveri, i quali molto volentieri il desideravano, perch ol-

tre la cura amorevole apprestava loro sovente e medicina e denari []. [] La prudenza la pi occulata regol sempre le azioni di lui, e portato, suo malgrado in mezzo agli affari, seppe con onore e con buon esito delle ope-razioni a lui affidate regolarsi. Esimia fu la sua umilt, e sentiva tanto bassa-mente di se stesso, che anche allor quando dovuto avrebbe e potuto farsi co-noscere per quel che egli era, am meglio il non prodursi e si nascose agli oc-chi del Pubblico, Talento profondo ma non il pi pronto ebbe il Professor Ruffini, perlocch meditar doveva qualche poco, onde apprendere ed afferrar bene le idee e sviluppar le loro relazioni; ma quando la sua mente comprese le aveva, la forza di memoria di cui era dotato e la chiarezza con cui scolpite le aveva, ritener facevagli a fondo quanto studiava e alluopo facilmente sov-venivasi di ci che occorrevagli. Sommo ordine dava ai suoi pensieri ed era acuta la sua metafisica, per cui in tutta l'ampiezza loro analizzava le questio-ni, le considerava in ogni aspetto e ne ritraeva cos per la via pi spedita la soluzione. Seguendo sempre le tracce dei primi Geometri quali furono Eulero e LaGrange, cerc ognora nelle sue opere di generalizzar i metodi e di esten-derli, procurando ad un tempo le pi vantaggiose applicazioni alla pratica.1

1 (A. Lombardi, Storia della Letteratura Italiana del secolo XVIII,1827, Tomo I, Li-bro II, cap. II, pagg. 413-414).

Fig.1. Paolo Ruffini

14 Introduzione

Questi sono i tratti salienti della personalit di Paolo Ruffini, matema-tico e medico, vissuto tra la seconda met del Settecento e la prima dellOttocento. Lopera algebrica di Ruffini contiene molti risultati fortemente innovativi che sono stati riconosciuti tali solo molti anni dopo la morte dellautore. Sebbene avesse vasti interessi matematici, Ruffini si dedic principalmente alla teoria delle equazioni e in unopera in due volumi, pubblicata a Bologna nel 1799 con il titolo Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la so-luzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, fu il primo a dare la dimostrazione, anche se in qualche parte oscura e lacunosa, del famoso teorema che oggi viene chiamato teo-rema di Ruffini-Abel, secondo il quale:

L'equazione generale di quinto grado non risolvibile tramite radicali. Ruffini ottenne questo risultato servendosi della teoria delle permu-tazioni, che a quei tempi era appena nata con i lavori quasi contempo-ranei (1770) di E. Waring2, A. T. Vandermonde3 e di J.-L. Lagrange4.

2 E. Waring, matematico inglese, nacque a Old Heath nel 1736 e mor a Pontesbury nel 1798. A soli 23 anni gli fu conferita la prestigiosa cattedra Lucasiana di matema-tica a Cambridge, e a 27 anni venne eletto membro della Royal Society. I suoi prin-cipali risultati riguardano la risoluzione delle equazioni algebriche, in cui anticip parzialmente lapproccio di Galois, e la teoria dei numeri, in cui formul una famosa congettura che porta il suo nome, la quale fu dimostrata da Hilbert nel 1909, ed ancor oggi oggetto di studio: ogni numero intero positivo si pu scrivere come som-ma di un numero fissato di potenze n-esime, numero che dipende solo da n. Scrisse unopera, Miscellanea analytica, che venne pubblicata nel 1762. La seconda edizio-ne di questa opera venne stampata nel 1770 con il titolo Meditationes algebricae. 3 A. T. Vandermonde, matematico francese, nacque a Parigi nel 1735 e ivi mor nel 1796. Collabor con E. Bzout e A. Lavoisier. Si dedic alla matematica a partire dal 1770 e, lanno successivo, fu ammesso allAcadmie des Sciences di Parigi. Il suo scritto Mmoire sur la rsolution des quations (1771), che present allAccademia delle Scienze nel dicembre del 1770, ma che venne pubblicato soltan-to nel 1771, riguarda le funzioni simmetriche e la risoluzione dei polinomi cicloto-mici. Un altro suo lavoro dal titolo Mmoire sur l'limination (1772) tratta i fonda-menti della teoria dei determinanti.Il suo nome associato a un particolare determi-nante (determinante di Vandermonde). 4 J.-L. Lagrange nacque a Torino nel 1736 e mor a Parigi nel 1813. Svolse inizial-mente la sua attivit nella citt natale, insegnando Analisi, a soli 19 anni, alla Regia Accademia di artiglieria e genio. Nel 1757 fond con alcuni colleghi una societ

Introduzione 15

Questi sono i tratti salienti della personalit di Paolo Ruffini, matema-tico e medico, vissuto tra la seconda met del Settecento e la prima dellOttocento. Lopera algebrica di Ruffini contiene molti risultati fortemente innovativi che sono stati riconosciuti tali solo molti anni dopo la morte dellautore. Sebbene avesse vasti interessi matematici, Ruffini si dedic principalmente alla teoria delle equazioni e in unopera in due volumi, pubblicata a Bologna nel 1799 con il titolo Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la so-luzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, fu il primo a dare la dimostrazione, anche se in qualche parte oscura e lacunosa, del famoso teorema che oggi viene chiamato teo-rema di Ruffini-Abel, secondo il quale:

L'equazione generale di quinto grado non risolvibile tramite radicali. Ruffini ottenne questo risultato servendosi della teoria delle permu-tazioni, che a quei tempi era appena nata con i lavori quasi contempo-ranei (1770) di E. Waring2, A. T. Vandermonde3 e di J.-L. Lagrange4.

2 E. Waring, matematico inglese, nacque a Old Heath nel 1736 e mor a Pontesbury nel 1798. A soli 23 anni gli fu conferita la prestigiosa cattedra Lucasiana di matema-tica a Cambridge, e a 27 anni venne eletto membro della Royal Society. I suoi prin-cipali risultati riguardano la risoluzione delle equazioni algebriche, in cui anticip parzialmente lapproccio di Galois, e la teoria dei numeri, in cui formul una famosa congettura che porta il suo nome, la quale fu dimostrata da Hilbert nel 1909, ed ancor oggi oggetto di studio: ogni numero intero positivo si pu scrivere come som-ma di un numero fissato di potenze n-esime, numero che dipende solo da n. Scrisse unopera, Miscellanea analytica, che venne pubblicata nel 1762. La seconda edizio-ne di questa opera venne stampata nel 1770 con il titolo Meditationes algebricae. 3 A. T. Vandermonde, matematico francese, nacque a Parigi nel 1735 e ivi mor nel 1796. Collabor con E. Bzout e A. Lavoisier. Si dedic alla matematica a partire dal 1770 e, lanno successivo, fu ammesso allAcadmie des Sciences di Parigi. Il suo scritto Mmoire sur la rsolution des quations (1771), che present allAccademia delle Scienze nel dicembre del 1770, ma che venne pubblicato soltan-to nel 1771, riguarda le funzioni simmetriche e la risoluzione dei polinomi cicloto-mici. Un altro suo lavoro dal titolo Mmoire sur l'limination (1772) tratta i fonda-menti della teoria dei determinanti.Il suo nome associato a un particolare determi-nante (determinante di Vandermonde). 4 J.-L. Lagrange nacque a Torino nel 1736 e mor a Parigi nel 1813. Svolse inizial-mente la sua attivit nella citt natale, insegnando Analisi, a soli 19 anni, alla Regia Accademia di artiglieria e genio. Nel 1757 fond con alcuni colleghi una societ

Il matematico italiano riusc a dare a questa teoria contributi fonda-mentali, uno dei quali il teorema per il quale nessuna funzione di cinque quantit pu avere tre o quattro valori diversi quando i suoi argomenti vengono permutati. Questo risultato venne successivamente generalizzato da A.-L. Cauchy5, il quale in un lavoro sulle funzioni simmetriche intitolato Mmoire Sur le nombre des valeuers qu'une scientifica, che in seguito divenne lAccademia delle Scienze di Torino. Su proposta di J. Le Ronde dAlembert e di Eulero, nel 1766, fu chiamato da Federico II di Prus-sia a insegnare allAccademia delle Scienze di Berlino, proprio per sostituire Eulero. Il suo libro Thorie des fonctions analytiques divenne un classico; in esso Lagrange introdusse la definizione di funzione derivata e il relativo simbolismo y = f (x), tut-tora in uso. Il lavoro fondamentale di Lagrange sulle equazioni la Memoria intito-lata Rflexions sur la rsolution algbrique des quations, pubblicata in due parti, fra il 1770 e il 1771, su Nouveaux Mmoires de lAcadmie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin e a Berlino rimase fino al 1787. In seguito accett linvito del re Luigi XVI si trasfer a Parigi, dove divenne membro dellAcadmie des Sciences. Insegn Analisi allcole Normale e allcole Polytechnique. 5 A.-L. Cauchy, matematico francese, nacque a Parigi nel 1789 e mor a Sceaux nel 1857. Fondatore della moderna Analisi matematica, a lui si devono le prime moder-ne definizioni di limite, di continuit (come limite), di infinitesimo e di infinito, di integrale. Svilupp i criteri di convergenza per le serie che portano il suo nome. Membro dellAccademia delle Scienze di Parigi e professore di Analisi allcole Po-lythecnique, dopo la Rivoluzione del Luglio1830 Cauchy fu costretto a lasciare tutti gli incarichi e ad abbandonare la Francia perch, da convinto realista, si era rifiutato di prestare giuramento al nuovo sovrano Luigi Filippo dOrleans. Soggiorn in Italia e, su invito del re di Sardegna Carlo Alberto di Savoia, insegn Fisica matematica allUniversit di Torino. Nel 1833 si rec a Praga per fare da precettore al nipote di Carlo X di Borbone. Fece quindi ritorno in Francia nel 1838, chiamato per riprende-re il posto allAccademia, ma per dieci anni rinunci allinsegnamento, sempre per-ch si rifiutava di prestare giuramento al re Luigi Filippo. Tra le opere principali va ricordato il Cours danalyse algbrique et infinitsimale (1821-23).

Fig. 2 Edward

Waring

Fig. 3. Joseph-Louis

Lagrange

Fig. 4. Augustin-Louis

Cauchy

16 Introduzione

fonction peut acqurir, lorsqu'on y permute de toutes manires possi-bles les quantits qu'elle renferme6, dimostr che:

Il numero dei diversi valori delle funzioni non simmetriche di n quantit non pu essere inferiore al pi grande numero primo p contenuto in n senza esse-re pari a 2.

Tale proposizione oggi viene chiamata Teorema di Cauchy-Ruffini. Secondo alcuni storici della matematica7, nei lavori di Ruffini sulla ri-soluzione algebrica dellequazioni si pu trovare lorigine del concetto generale di gruppo e quello particolare di gruppo di unequazione. Ruffini scopr anche i concetti fondamentali di gruppo transitivo e di gruppo primitivo e le relazioni di dipendenza fra la irriducibilit di unequazione e la transitivit del gruppo ad essa associato, nonch quella fra la risolubilit mediante equazioni di grado inferiore e la imprimitivit del suo gruppo, tracciando cos le strade che in seguito furono percorse da N. H. Abel8 e da . Galois9. 6 Pubblicato nel 1815 sul Journal d'cole Polytechnique, XVII cahier, tome X, 1815. 7 H. Burkhardt, Die Anfnge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini, Zeitschrift fur Matematik und Physik, 1892 (tradotto in italiano da E. Pascal: Paolo Ruffini e i primordi della teoria dei gruppi,Annali di Matematica pura e applicata, 1894, 22, pp. 175-212). E. Bortolotti, Opere matematiche di P. Ruffini, tomo I, Palermo, 1915. 8 N. H. Abel, matematico norvegese, nacque a Find nel 1802 e mor a Froland nel 1829. Ebbe una vita breve e sfortunata e, in pi, fu perseguitato dalla miseria e da uno stato di salute cagionevole. Aveva appena diciotto anni quando mor il padre, per cui fu costretto ad assumersi tutta la responsabilit e il peso della sua numerosa famiglia. Affront il problema della risoluzione algebriche delle equazioni di grado superiore al quarto e nel 1824 scrisse e pubblic a sue spese una Memoria in cui di-mostr che tale risoluzione impossibile. Questa Memoria dal titolo: Dimostrazio-ne dellimpossibilit della risoluzione algebrica dellequazione generale di grado superiore al quarto, venne pubblicata nuovamente nel 1826, insieme ad altri suoi lavori sulla stesso tema, nel volume I del Giornale di Crelle (Journal fr die reine und angewandte Mathematik). Nel 1826 present allAcadmie des Sciences di Pari-gi unimportante Memoria su Una propriet generale di una classe molto estesa di funzioni trascendenti, che per fu ignorata da membri dellAcadmie nominati per esaminarla e stendere un rapporto sulla sua importanza. Solo nel 1829, quando la no-tizia della morte di Abel fece il giro di tutta lEuropa, i membri della Commissione si ricordarono di questa Memoria, ma ormai era troppo tardi. In vita Abel non ebbe mai da parte della comunit scientifica europea il bench minimo riconoscimento del

Introduzione 17

fonction peut acqurir, lorsqu'on y permute de toutes manires possi-bles les quantits qu'elle renferme6, dimostr che:

Il numero dei diversi valori delle funzioni non simmetriche di n quantit non pu essere inferiore al pi grande numero primo p contenuto in n senza esse-re pari a 2.

Tale proposizione oggi viene chiamata Teorema di Cauchy-Ruffini. Secondo alcuni storici della matematica7, nei lavori di Ruffini sulla ri-soluzione algebrica dellequazioni si pu trovare lorigine del concetto generale di gruppo e quello particolare di gruppo di unequazione. Ruffini scopr anche i concetti fondamentali di gruppo transitivo e di gruppo primitivo e le relazioni di dipendenza fra la irriducibilit di unequazione e la transitivit del gruppo ad essa associato, nonch quella fra la risolubilit mediante equazioni di grado inferiore e la imprimitivit del suo gruppo, tracciando cos le strade che in seguito furono percorse da N. H. Abel8 e da . Galois9. 6 Pubblicato nel 1815 sul Journal d'cole Polytechnique, XVII cahier, tome X, 1815. 7 H. Burkhardt, Die Anfnge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini, Zeitschrift fur Matematik und Physik, 1892 (tradotto in italiano da E. Pascal: Paolo Ruffini e i primordi della teoria dei gruppi,Annali di Matematica pura e applicata, 1894, 22, pp. 175-212). E. Bortolotti, Opere matematiche di P. Ruffini, tomo I, Palermo, 1915. 8 N. H. Abel, matematico norvegese, nacque a Find nel 1802 e mor a Froland nel 1829. Ebbe una vita breve e sfortunata e, in pi, fu perseguitato dalla miseria e da uno stato di salute cagionevole. Aveva appena diciotto anni quando mor il padre, per cui fu costretto ad assumersi tutta la responsabilit e il peso della sua numerosa famiglia. Affront il problema della risoluzione algebriche delle equazioni di grado superiore al quarto e nel 1824 scrisse e pubblic a sue spese una Memoria in cui di-mostr che tale risoluzione impossibile. Questa Memoria dal titolo: Dimostrazio-ne dellimpossibilit della risoluzione algebrica dellequazione generale di grado superiore al quarto, venne pubblicata nuovamente nel 1826, insieme ad altri suoi lavori sulla stesso tema, nel volume I del Giornale di Crelle (Journal fr die reine und angewandte Mathematik). Nel 1826 present allAcadmie des Sciences di Pari-gi unimportante Memoria su Una propriet generale di una classe molto estesa di funzioni trascendenti, che per fu ignorata da membri dellAcadmie nominati per esaminarla e stendere un rapporto sulla sua importanza. Solo nel 1829, quando la no-tizia della morte di Abel fece il giro di tutta lEuropa, i membri della Commissione si ricordarono di questa Memoria, ma ormai era troppo tardi. In vita Abel non ebbe mai da parte della comunit scientifica europea il bench minimo riconoscimento del

Questi risultati furono accolti con indifferenza ed ebbero una scarsa diffusione nellambiente matematico di quel periodo. In Italia pochi matematici si interessarono ai risultati di Ruffini; uno di questi fu, P. Paoli che nel suo Supplemento agli elementi di Algebra, pubblicato a Pisa nel 1804, dichiar pubblicamente che Ruffini aveva effettiva-mente dimostrato limpossibilit di risolvere tramite radicali lequazione generale di grado superiore al quarto. Nel 1808, J. B. Delambre10, allora segretario dellAcadmie des Sciences di Parigi, sottopose al giudizio di Lagrange, A. Legendre11 e suo genio e della sua opera matematica. Solo dopo la morte gli furono tributati onori e gloria. Nel 1830 lAcadmie des Sciences di Parigi assegn ad Abel e Jacobi il primo premio del Concours de Grand Prix de Mathmatique. Ironia della sorte, due giorni dopo la sua morte giunse ad Abel una lettera nella quale gli si comunicava di essere stato nominato professore di matematica allUniversit di Berlino. 9 . Galois, matematico francese, nacque a Bourg-la-Reine nel 1811 e mor a Parigi nel 1832. La sua vita fu tormentata da drammi personali, come il suicidio del padre, il duplice insuccesso all'esame di ammissione all'cole Polytechnique, lesperienza della prigione per motivi politici e anche un amore infelice. La sua fu una vita molto breve ma intensa, finita tragicamente con una morte violenta in seguito alle gravi fe-rite riportate in un duello, i cui motivi non sono stati mai chiariti. Lopera principale di Galois un lavoro intitolato Mmoire sur les conditions de rsolubilit des qua-tions par radicaux, scritto pi volte e mai pubblicato quando lautore era in vita, contenente un criterio generale per la risolubilit per radicali di unarbitraria equa-zione algebrica. Gli invii del maggio 1829 a A. Cauchy e del febbraio 1830 a J. Fou-rier non ebbero seguito, una terza versione del 1831 venne respinta a seguito del giudizio negativo espresso da S. Lacroix e S. Poisson. La Memoria venne pubblicata per la prima volta nel 1846 da J. Liouville nel suo Journal de Mathmatiques, in-sieme ai principali lavori di Galois, i cui manoscritti gli erano stati affidati da A. Chevalier, amico fraterno del giovane matematico. 10 J.-B. J. Delambre, astronomo e matematico francese, nacque a Amiens nel 1749 e mor Parigi nel 1822. 11 A. Legendre, matematico francese, nacque a Parigi nel1752 e ivi mor nel 1833. Membro dellAcadmie des Sciences di Parigi, si dedic alla ricerca in diversi cam-

Fig. 5. Niels Hen-

rik Abel

Fig. 6. variste

Galois

18 Introduzione

S. Lacroix12 una Memoria di Ruffini, scritta in italiano, contenente la dimostrazione del teorema di questultimo. Dopo molto tempo e diverse sollecitazioni, Delambre scrisse a Ruf-fini:

Con mio sommo dispiacere ho sentito dire che il Sig. Lagrange ha risposto che, a cagione del carattere e della maniera di esprimersi, Egli non ha capito niente, e che non vuole pi intraprendere la lettura di questa Memoria.

Nel 1811 Delambre scrisse a Ruffini:

Gli indugi di questo grande matematico, la ripugnanza che egli mostra a pro-nunciarsi su una questione cos difficile, mi hanno indotto a pensare che egli non far mai il suo rapporto.

Nello stesso anno il segretario dellAccademia restitu la Memoria a Ruffini, accompagnandola con una lettera in cui esprimeva tutta la sua comprensione per linsoddisfazione che certamente questultimo avrebbe provato e cercava di giustificare latteggiamento di Lagrange con la scusa che il lavoro era lungo, adducendo anche pi: teoria dei numeri, funzioni ellittiche, geometrie non-euclidee, trigonometria ed equazioni differenziali. Nel 1790, lAcadmie des Sciences lo nomin membro del Comitato di Pesi e Misure. Autore di un fortunatissimo testo di geometria (lments de Gomtrie) che ebbe molte edizioni. 12 S. Lacroix, matematico francese, nacque a Parigi nel 1763 e ivi mor nel 1843. Fu professore di geometria descrittiva allcole Normale e di analisi allcole Poly-thecnique. Scrisse nel 1799 un notevole trattato in tre volumi intitolato Trait du calcul differentiel et du calcul intgral.

Fig. 7. J.B. Delam-

bre

Fig. 8. A.-M. Legen-

dre

Fig. 9. S. Lacroix

Introduzione 19

S. Lacroix12 una Memoria di Ruffini, scritta in italiano, contenente la dimostrazione del teorema di questultimo. Dopo molto tempo e diverse sollecitazioni, Delambre scrisse a Ruf-fini:

Con mio sommo dispiacere ho sentito dire che il Sig. Lagrange ha risposto che, a cagione del carattere e della maniera di esprimersi, Egli non ha capito niente, e che non vuole pi intraprendere la lettura di questa Memoria.

Nel 1811 Delambre scrisse a Ruffini:

Gli indugi di questo grande matematico, la ripugnanza che egli mostra a pro-nunciarsi su una questione cos difficile, mi hanno indotto a pensare che egli non far mai il suo rapporto.

Nello stesso anno il segretario dellAccademia restitu la Memoria a Ruffini, accompagnandola con una lettera in cui esprimeva tutta la sua comprensione per linsoddisfazione che certamente questultimo avrebbe provato e cercava di giustificare latteggiamento di Lagrange con la scusa che il lavoro era lungo, adducendo anche pi: teoria dei numeri, funzioni ellittiche, geometrie non-euclidee, trigonometria ed equazioni differenziali. Nel 1790, lAcadmie des Sciences lo nomin membro del Comitato di Pesi e Misure. Autore di un fortunatissimo testo di geometria (lments de Gomtrie) che ebbe molte edizioni. 12 S. Lacroix, matematico francese, nacque a Parigi nel 1763 e ivi mor nel 1843. Fu professore di geometria descrittiva allcole Normale e di analisi allcole Poly-thecnique. Scrisse nel 1799 un notevole trattato in tre volumi intitolato Trait du calcul differentiel et du calcul intgral.

Fig. 7. J.B. Delam-

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Fig. 8. A.-M. Legen-

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Fig. 9. S. Lacroix

la ripugnanza che la maggior parte dei matematici prova nelloccuparsi per lungo tempo dei lavori di altri.

Cauchy stato lunico matematico francese a capire e ad apprezzare i risultati ottenuti dal matematico italiano. Infatti, in una sua lettera a Ruffini del 1821, Cauchy riconobbe i progressi compiuti da questi nel campo della risolubilit dellequazioni algebriche con queste parole:

Devo ammettere che sono impaziente di giustificarmi nei vostri riguardi su di un punto che pu essere facilmente chiarito. La vostra Memoria sulla risolu-zione generale dellequazioni un lavoro che mi sempre sembrato degno di attirare l'attenzione dei matematici. A mio parere, dimostra completamente la non risolubilit algebrica dellequazioni generali di grado superiore al quarto. La ragione per cui non ne ho parlato nel mio corso di analisi, perch, essendo questo corso destinato agli studenti dell'cole Polytechnique Royale, io non potevo deviare troppo dai temi indicati nel piano di studi della Scuola.

Abel a ventidue anni dimostr in modo completo e rigoroso, indi-pendentemente da Ruffini, il teorema sulla non risolubilit tramite ra-dicali dellequazione generale di quinto grado. Durante il suo soggior-no a Parigi, nel 1826, Abel venne certamente a conoscenza dei risulta-ti ottenuti da Ruffini; infatti nella parte iniziale della sua ultima Me-moria intitolata Sulla risoluzione algebrica delle equazioni, pubblicata sul Giornale di Crelle dopo la sua morte, scriveva:

Il primo, e se non mi sbaglio, il solo che prima di me abbia cercato di dimo-strare limpossibilit della risoluzione algebrica delle equazioni generali il matematico Ruffini, ma la sua dimostrazione talmente complicata che molto difficile giudicare lesattezza del suo ragionamento. Il suo ragionamen-to non mi sembra sempre soddisfacente.

Anche Galois sapeva del risultato stabilito da Ruffini; infatti, in una sua nota13 si legge:

Si tratta oggi di una verit comune, che le equazioni generali di grado supe-riore a quattro non possono essere risolti tramite radicali, cio che le loro ra-dici non possono esprimersi mediante funzioni dei coefficienti che non con-

13 Cfr. R. Bourgne J.-P. Azra, crit et Memoires Mathematiques dvariste Galois, Note sur la thorie des equations, premire partie, p. 33.

20 Introduzione

tengono altre irrazionalit oltre i radicali. Questa verit diventata comune, sebbene la maggior parte dei matematici ignorino le dimostrazioni di Ruffini e di Abel, ecc., dimostrazioni che si basano sul fatto che una tale soluzione gi impossibile per lequazione di quinto grado.

Ruffini ancora oggi poco noto. Gli alunni delle scuole secondarie associano il nome di Ruffini a un teorema (teorema di Ruffini) sulla divisibilit di un polinomio per un binomio di primo grado della forma x p e a una regola (Regola di Ruffini) per la determinazione del quoziente e del resto della divisione di un polinomio per un binomio di primo grado della forma x p. La Regola di Ruffini si articola nel modo seguente: Si voglia dividere il polinomio:

= ! + !!! + !!! + !!! ++ ! + + per il binomio di 1 grado . Indichiamo con R il resto della divi-sione e con

= !!!! + !!!!! + !!!!!! ++ !!! + ! il polinomio quoziente. Dalla definizione di quoziente e resto di una divisione, si ha:

= + Eseguendo la moltiplicazione e raccogliendo i termini simili, si ot-tiene:

= !! + !! ! !!! + !!! !! !!! ++ (!!!) (!!!) ! + !!! !!! (!) +