laboratorio tercero básico introducciÓn al … · ... 0,2m – 0,02n + 1,07m – 1,03n – m –...
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Laboratorio Tercero Básico
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)
1. Identifica los elementos que se piden: a) Los términos de 5r +s b) Los términos de 5xy2 +2y –7w c) Dos factores de 5z ______________________ d) La base en 3xy2 e) El coeficiente numérico en 2xy f) El coeficiente numérico en x/3 g) Las variables en 6xy h) Las variables en 6x 5 y 2 i) El grado de la variable m en 7m5n j) El grado de la variable n en 7m5n k) La constante de 7x2 –1 2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de
números y variables explique por qué las siguientes expresiones no son monomios
a) 5x +y b) 7xy3 c) x 2y
3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con
una letra a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6
c) 7x5y f) x+4 I) Identifique los polinomios:____________________
II) Identifique los monomios:____________________
III) Identifique los binomios:____________________
IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los
términos___________________________________________________
_
V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E
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4. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 x=-2 b) x2/3 –3x +5 x=3/2 c) –x2 +7 x =5 d) 4xy –8y2 x=3 y=0,5 5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 7. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B= b) A - C= c) B - A= 8. Calcular el perímetro de la siguiente figura:
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x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?
NM1: TERMINOS SEMEJANTES
I) Para cada uno de los siguientes términos algebraicos determina:
Coef. Numérico Factor literal Grado
2x2y
a
a4
3
-1,5x3
-0,7mn3
3
4
1abr
3x
-2x
3
3 52kh
0,2ab4
ab
5
5
3ab
a2b3c
-8b3c2d3
2
2xy
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II) Clasifica cada una de las siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la
integran:
1) 5x
2) a2 + b – c
3) 10x2y
4) 4
32 yx
5) 2 – x
6) 2x – 3y2
7) a2 + ab + b2
8) 4
3
3
2 yx
9) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
10) m2 – n2
11) a – b + c – 2d
12) 4
cba
13) 3
ba
14) 2a·3b
III) Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando a = 2; b = 5; c
= -3; d = -1 y f = 0.
1) 5a2 – 2bc – 3d
2) 7a2c – 8d3
3) 6a3f
4) 2a2 – b3 – c3 – d5
5) 3a2 – 2a3 + 5a5
6) d4 – d3 – d2 + d – 1
7) 3(a – b) + 2(c – d)
8) 2(c – a) – 3(d – b)2
9) 253
abc
10) 72
badc
11) fbca8
7
2
1
5
2
4
3
12) c
f
a
b
2
13) (b + c)a
14) )(3
1
d
c
b
a
b
df
IV) Valora las siguientes expresiones, siendo a = 2
1; b =
4
3 y c =
3
1
1) a + b – c
2) ab + c
3) a(b + c)
4) a:b + b:c
5) 2ac
6) –3a2b
7) 4ª + 6b – 7c
8) –12ª - 8b + 3c
9) c
ba
10) b
ca
11) cb
ba
12) (a + 1)(b – 1)
13) a2 + b2
14) ba2
1
3
2
15) ca3
1
5
3
16) abc
cba
17) 0,25a + 0,5b
V) Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
1) m + 2m
2) a + 2a + 9a
3) m2 – 2m2 – 7m2
4) 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2
5) 3ª - 2b – 5b + 9a
6) a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2
7) x2yz + 3xy2z – 2xy2z – 2x2yz
8) 2x – 6y – 2x – 3y – 5y
9) 15a + 13a - 12b – 11a -4b – b
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10) 432
aaa
11) 5
6
2
3
3
2
5
2222 baababba
12) 43
2
2
mmmm
13) qpqp2
37
4
32
14) a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4
15) 0,2m – 0,02n + 1,07m – 1,03n – m – n
16) 1,17a - 2,15a - 3,25a + 4,141a
17) 1 + x + xy – 2 + 2x – 3xy – 3 + 2xy – 3x
18) mnnmnmmnnm3
8
10
3
2
3
3
2
5
1 222
19) ttsssts4
1
3
5
3
1
3
2
4
3
3
11
20) ppmpm4
33,004,0
7
17,0
NM1: TERMINOS SEMEJANTES
VI) Para cada uno de los siguientes términos algebraicos determina:
Coef. Numérico Factor literal Grado
2x2y
a
a4
3
-1,5x3
-0,7mn3
3
4
1abr
3x
-2x
3
3 52kh
0,2ab4
ab
5
5
3ab
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a2b3c
-8b3c2d3
2
2xy
VII) Clasifica cada una de las siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la
integran:
15) 5x
16) a2 + b – c
17) 10x2y
18) 4
32 yx
19) 2 – x
20) 2x – 3y2
21) a2 + ab + b2
22) 4
3
3
2 yx
23) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
24) m2 – n2
25) a – b + c – 2d
26) 4
cba
27) 3
ba
28) 2a·3b
VIII) Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando a = 2; b = 5; c
= -3; d = -1 y f = 0.
15) 5a2 – 2bc – 3d
16) 7a2c – 8d3
17) 6a3f
18) 2a2 – b3 – c3 – d5
19) 3a2 – 2a3 + 5a5
20) d4 – d3 – d2 + d – 1
21) 3(a – b) + 2(c – d)
22) 2(c – a) – 3(d – b)2
23) 253
abc
24) 72
badc
25) fbca8
7
2
1
5
2
4
3
26) c
f
a
b
2
27) (b + c)a
28) )(3
1
d
c
b
a
b
df
IX) Valora las siguientes expresiones, siendo a = 2
1; b =
4
3 y c =
3
1
18) a + b – c
19) ab + c
20) a(b + c)
21) a:b + b:c
22) 2ac
23) –3a2b
24) 4ª + 6b – 7c
25) –12ª - 8b + 3c
26) c
ba
27) b
ca
28) cb
ba
29) (a + 1)(b – 1)
30) a2 + b2
31) ba2
1
3
2
32) ca3
1
5
3
33) abc
cba
34) 0,25a + 0,5b
X) Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
21) m + 2m
22) a + 2a + 9a
23) m2 – 2m2 – 7m2
24) 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2
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25) 3ª - 2b – 5b + 9a
26) a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2
27) x2yz + 3xy2z – 2xy2z – 2x2yz
28) 2x – 6y – 2x – 3y – 5y
29) 15a + 13a - 12b – 11a -4b – b
30) 432
aaa
31) 5
6
2
3
3
2
5
2222 baababba
32) 43
2
2
mmmm
33) qpqp2
37
4
32
34) a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4
35) 0,2m – 0,02n + 1,07m – 1,03n – m – n
36) 1,17a - 2,15a - 3,25a + 4,141a
37) 1 + x + xy – 2 + 2x – 3xy – 3 + 2xy – 3x
38) mnnmnmmnnm3
8
10
3
2
3
3
2
5
1 222
39) ttsssts4
1
3
5
3
1
3
2
4
3
3
11
40) ppmpm4
33,004,0
7
17,0
8
Elimina paréntesis y reduce términos semejantes:
1) (a + b) + (a – b)
2) (x + y) – (x – y)
3) 2a - (2a - 3b) – b
4) 4 – (2a + 3) + (4a + 5) – (7 – 3a)
5) 12 + (-5x + 1) – (-2x + 7) + (-3x) – (-6)
6) (-2x2 + 3y – 5) + (-8x2 – 4y + 7) – (-9x2 + 6y – 3)
7) 3x + 2y - x – (x – y)
8) 2m – 3n - -2m + n – (m – n)
9) –(a + b – c) – (-a – b – c) + (a – b + c)
10) -(x2 – y2) + 2x2 – 3y2 – (x2 – 2x2 – 3y2)
11) --(a – 2b) – (a + 2b) – (-a – 3b)
12) 3x + 2y - 2x - 3x – (2y – 3x) – 2x - y
13) 3y – 2z – 3x - x - y – (z – x) - 2x
14) 15 - (6a3 + 3) – (2a3 – 3b) + 9b
15) 16a + -7 – (4a2 – 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) – 6a
16) 25x - --(-x – 6) – (-3x – 5) - 10 + -(2x + 1) + (-2x – 3) - 4
17) 2 - --(5x – 2y + 3) - (4x + 3y) + (5x + y)
18) --(5a + 2) + (3a – 4) – (-a + 1) + (4a – 6)
19) 7a - -2a - -(-(a + 3b) – (-2a + 5b) - (-b + 3a)
20) ---(-7x – 2y) + --(2y + 7x)
XI) Resuelve:
1) Si P = x2 + 3x – 2 y Q = 2x2 – 5x + 7, obtener P + Q; P – Q; Q – P.
2) Si P = x3 – 5x2 – 1; Q = 2x2 – 7x + 3 y R = 3x3 – 2x + 2, obtener P + Q – R; P – (Q – R)
9
Traja los productos notables siguientes
1. 2431 x
2. 2432 57 xba =
3. 2323 baba
4. xyxy 8181
5. 1111 22 xxxx abba =
6. zyxzyx
7. 32 2ba
8. 86 33 xx
9. 66 3333 yxyx
10. 4575 11 xx aa
11.
2346 11
3
2abcba
12. 32 35x
13. 11 2 xxx
14. 2242 yyy
15. amnamn yxbayxba 3232 22
16. 98 11 aa xx
17.
271271
5
173
5
173 cbbacbba mxmx
18. 71 2222 baba
19. 225255 baabab
20. 2312 32 nmmn
21. 5323 yxyx aa
22.
2432
5
1
3
2yxba
10
FACTOR COMUN
225 baa
1) Me pregunto ¿qué letra tiene igual? a
2) ¿Cuál es el exponente mas pequeño de la a? 2
3) Entonces escojo el 2a
4) Coloco la 2a y abro un paréntesis
225 baa 2a (
5) Divido cada término entre 2a
2
22
2
5
a
ba
a
a
2a (
6) Coloco la respuesta dentro del paréntesis restando los exponentes asi:
“No se te olvide que para dividir se copia la base igual y se restan los
exponentes”
“No se te olvide cualquier base elevada a la cero es igual a 1.”
2
22
2
5
a
ba
a
a 222252 baaa = 2032 baaa = 232 baa
Ejemplo guiado:
2446 nmnm
1) Me pregunto ¿qué letras tiene igual? _________________ .
2) De las letras que escogí ¿Cuáles son los exponentes más pequeños? _____________.
3) Entonces escojo las letras con exponentes más pequeños y abro paréntesis.
2446 nmnm _________ (
4) Divido cada término entre las letras con menor exponente:
_________
2446 nmnm_________ (
5) Divido y coloco la respuesta dentro del paréntesis.
_________
2446 nmnm_________ ( _____________________)
Factorización de binomios
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se copia el signo
11
Características:
- Tienen dos términos ( es un binomio = bi significa 2)
- El signo que los separa siempre es menos
- Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6…
- Tiene raíz cuadrada exacta el primer término
- Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término
Forma de factorizar:
Primero abro paréntesis
Segundo saco raíz cuadrada al número si no la se, le saco los factores primos al
número asi:
Coloco la respuesta asi:
Tercero saco la raíz cuadrada de la letra asi:
a dos entre potencia la siempre divido 22
2 aa
y la respuesta es la raíz de la letra.
Coloco la respuesta asi
Cuarto copio el signo.
Coloco asi
Quinto saco la raíz cuadrada del segundo término
siguiendo los pasos segundo y tercero.
Coloco la respuesta asi
Sexto cierro paréntesis.
asi
Séptimo copio el primer paréntesis solamente que le cambio el signo a +.
Asi
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Características:
- Tienen dos términos ( es un binomio = bi significa 2)
- El signo que los separa pude ser + ó -
- Las potencias de letras están elevadas con números múltiplos de 3, 6, 9…
- Tiene raíz cúbica exacta el primer término
- Tiene raíz cúbica exacta el segundo término
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Multiplico los números
circulados 2
2
2 x 2 = 4 y esta es
la raíz cuadrada
16 4(
(
a4(
4( a
b 4( a b) 4( a
(
4(
a4(
4( a
b 4( a
b) 4( a
b) 4(b) 4( aa
b) 4(b) 4( aa
22 16 ba
1)
2)
3) 4)
5)
6) 3)
7)
Por cada pareja de 2
sale un dos
12
Forma de factorizar:
Primero abro paréntesis
(
Segundo saco raíz cúbica al número si no la se, le saco los factores primos al
número asi:
Coloco la respuesta asi:
Tercero saco la raíz cúbica de la letra asi:
a dos entre potencia la siempre divido 236
6 aa
Coloco asi
Cuarto copio el signo.
Coloco asi
Quinto saco la raíz cúbica del segundo término
siguiendo los pasos segundo y tercero.
Coloco asi
Sexto cierro paréntesis.
Coloco asi
EL SEGUNDO PARENTESIS SE FORMA ASI:
Séptimo abro un segundo paréntesis
Coloco asi
Octavo: elevo al cuadrado el primer término de mi respuesta del paréntesis.
Noveno: pongo el signo contrario que tengo en mi respuesta del
primer paréntesis
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
2
Multiplico los números
circulados
2 x 2 = 4 y
esta es la raíz
cúbica de 64
4 (
(
b 4( 2 a
4(
1)
2)
3)
4)
5)
Por cada trío de 2 sale
un dos
2
36 64 ba
2 4 ( a
4 ( 2 a
2 4 ( a
4 ( 2 a
b 4( 2 a
b) 4( 2 a 6)
b) 4( 2 a
( b) 4( 2 a
9) 42 (16a b) 4( a
8) 222 4a( b) 4( a
42 (16a b) 4( a
13
Décimo: multiplico el primer término por el segundo de mi respuesta del primer
paréntesis.
Onceavo: siempre pongo signo +
Doceavo: elevo al cuadrado el segundo término de mi respuesta del primer
paréntesis.
Treceavo: cierro paréntesis.
TRINOMIOS
TRINOMIO DE LA FORMA CBXX 2
Características:
- Tienen tres términos
- No tiene numero delante del 2X
Forma de factorizar:
Primero: ordeno el trinomio en forma descendente.
Segundo: abro dos paréntesis
10) baa 242 4(16a b) 4(
X
baa 242 4(16a b) 4(
4(16a b) 4( 242 baa
2242 b 4(16a b) 4( baa
) b 4(16a b) 4( 2242 baa
b 4(16a b) 4( 2242 baa
mm 5142
145
5142
2
mm
mm
1452 mm
14
Tercero: saco raíz cuadrada del primer término y lo coloco en cada uno de los
paréntesis
La raíz cuadrada de mmm 22
2
Cuarto: copio el primer signo del ejercicio en el primer paréntesis
Quinto: multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el
segundo paréntesis
Sexto:
Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los paréntesis y analizo los
signos:
Me pregunto ¿son signos iguales o diferentes?
En este caso son diferentes porque tengo + y - entonces leo la opción B que
viene a continuación.
A. si en los dos paréntesis tengo signos iguales necesito dos números que
multiplicados me den el tercer término y sumados me den el segundo término.
B. Si en los dos paréntesis tengo signos diferentes necesito dos número que
multiplicados me den el tercer término y restados me den el segundo término.
Necesito dos números que multiplicados me den 14 y restados me den 5
Si no se cuales son los números hago una tabla de factores primos que forman el
número y con ello encuentro todas las posibilidades para hallar el segundo término
menos la posibilidad del número multiplicado por 1.
14 2 ¿ qué números podrán ser?
7 7 14 x 1 = 14 pero 14 - 1 5
1 7 x 2 = 14 y 7 – 2 = 5 Esta es
la respuesta que cumple con la regla.
Entonces 7 y 2 son los números.
Séptimo:
m m
1452 mm
m m
1452
mm
- m m
1452
mm
Opero + . - = -
- m m
1452
mm
- m m
1452
mm
15
Para terminar siempre coloco el número mayor en el primer paréntesis y el menor
en el segundo.
Casos especiales:
a) 20122
baba
Cuando tenemos paréntesis como en éste caso se realiza asi:
Primero: saco raíz cuadrada del primer término 2ba
Segundo: abro dos corchetes y coloco mi respuesta de la raíz cuadrada del primer
término en cada uno y opero la ley de signos como el caso anterior.
Tercero: como tengo dos signos iguales encuentro dos números que multiplicados me
den 20 y sumados me den 12 ( el número que esta fuera del paréntesis del segundo
término) asi:
Si no se realizo la tabla de factores
primos de un número asi:
20 2
10 2
5 5
1
Posibilidades:
4 x 5 = 20
4 + 5 = 9 como no es igual a 12
entonces no son los números
10 x 2 = 20
10 + 2 = 12 como si me da
12 que era el número que
buscaba entonces estos son
los números 10 y 2. Para finalizar
coloco en los paréntesis siempre el
número mayor en el primer paréntesis
y luego el menor número en el segundo
paréntesis.
2 - m 7 m
1452
mm
ba
ba
baba
22
22012
- -
2012
22
2
baba
ba
baba
2 - 10 -
- -
2012
22
2
baba
baba
ba
baba
16
b)
Primero ordeno el polinomio
Segundo : observo que el signo que tiene 4y es menos (
4y ).
Tercero: factorizo el signo menos ( no se te olvide que un signo menos
delante de un paréntesis le cambia de signo a todo el trinomio al
ingresarlo):
Cuarto: ahora procedes como siempre: sacas raíz cuadrada del primer término lo colocas en
cada paréntesis y luego realizas la operación de signos.
Quinto: buscas dos números que multiplicados te den 30 y que restados
( porque tienes signos diferentes ) te den 1.
30 2
15 3
5 5
1
4230 yy
3024 yy
30
3024
24
yy
yy
-
30
30
22
24
24
yy
yy
yy
Posibilidades:
6 x 5 = 30
6 – 5 = 1 estos son los
números 6 y 5. No olvides
de colocar el número
mayor en el primer
paréntesis y el menor en el
segundo paréntesis.
5 6 -
30
30
22
24
24
yy
yy
yy
17
TRINOMIOS
TRINOMIO DE LA FORMA CBXAX 2
Características:
- Tienen tres términos
- Si tiene numero delante del 2X
Forma de factorizar:
Primero: ordeno el trinomio en forma descendente.
Segundo: abro dos paréntesis
Tercero copio el número del primer término en cada uno de los paréntesis.
Cuarto: saco raíz cuadrada de la letra del primer término y lo coloco en cada uno
de los paréntesis
La raíz cuadrada de xxx 22
2
Quinto: copio el primer signo del ejercicio en el primer paréntesis
Sexto: multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el
segundo paréntesis
Séptimo multiplico el número del primer término por el tercero y lo cambio por el
tercero término
6 x 2 = 12
xx 726 2
276
7262
2
xx
xx
276 2 xx
6 6
276 2 xx
6x x 6
276 2 xx
6x x 6
276 2
xx
Opero + . + = +
6x x 6
276 2
xx
18
Octavo:
Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los paréntesis y analizo los
signos:
Me pregunto ¿son signos iguales o diferentes?
En este caso son iguales porque tengo + y + entonces leo la opción A que
viene a continuación.
A. si en los dos paréntesis tengo signos iguales necesito dos números que
multiplicados me den el tercer término y sumados me den el segundo término.
B. Si en los dos paréntesis tengo signos diferentes necesito dos número que
multiplicados me den el tercer término y restados me den el segundo término.
Necesito dos números que multiplicados me den 12 y sumados me den 7
Si no sé cuales son los números hago una tabla de factores primos que forman el
número y con ello encuentro todas las posibilidades para hallar el segundo término
mas la posibilidad del número multiplicado por 1.
12 2 ¿ qué números podrán ser?
6 2 12 x 1 = 12 pero 12 + 1 7 no es
3 3 2 x 6 = 12 pero 2 + 6 7
1 4 x 3 = 12 y 4 + 3 = 7 Esta es
la respuesta que cumple con la regla.
Entonces 4 y 3 son los números.
Noveno:
Coloco el número mayor en el primer paréntesis y el menor en el segundo.
Décimo:
Debo dividir por el número del primer término (6 ) o por sus factores primos (3 y
2 ) un paréntesis o los dos para que cumpla con la siguiente regla:
al dividir cada número el residuo debe ser cero.
Si utilizáramos el 6 en el primer paréntesis tenería:
6x x 6
1276
2762
2
xx
xx
6x x 6
1276
2762
2
xx
xx
6x x 6
1276
2762
2
xx
xx
3 6x 4 x 6
1276
2762
2
xx
xx
19
6/6 = 1 residuo 0
4/6 = 0.666 queda decimal no se puede utilizar.
Si utilizamos el 6 en el segundo paréntesis tendría:
6/6 = 1 residuo 0
3/6 = 1.5 si tiene decimal
Observo cuidadosamente mis paréntesis y veo que el primer paréntesis son
números pares y el segundo son múltiplos de 3 por lo que si divido el primer
paréntesis entre 2 y el segundo entre 3 me da una a respuesta sin decimal y con
residuo cero.
Y esta es mi respuesta final.
TRINOMIOS
TRINOMIO CUADADO PERFECTO
Características:
- Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente)
- El primer término y el tercero tienen raíz cuadrada exacta.
- El segundo término es la multiplicación de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada
del tercer término multiplicada siempre por 2, si da como resultado el segundo término entonces es
un trinomio cuadrado perfecto.
Forma de factorizar:
Primero: ordeno el trinomio en forma descendente
Segundo: saco raíz cuadrada del primer término tanto a al número como la letra.
1 x 2 2 x 3
3
3 6x
2
4 x 6
1276
2762
2
xx
xx
24 414 yy
144
21424
24
yy
yy
2
24
24
24
2
2
144
414
y
y
yy
yy
20
Tercero: saco raíz cuadrada del segundo término tanto a al número como la letra.
Cuarto: realizo la prueba para ver si es un trinomio cuadrado perfecto. Multiplico
el primer término ( 22y ) de mi respuesta con el segundo ( 1 )y luego multiplico
siempre por 2 para ver si me da el segundo término ( 24y )
Quinto : opero los signos del ejercicio y lo coloco al centro
Quinto : lo encierro entre paréntesis y lo elevo al cuadrado.
1 2
1 2
144
414
2
24
24
24
y
y
yy
yy
22
24
42 1 2
1 4 4
yy
yy
Siempre se
multiplica por 2
Como son iguales si es
un trinomio cuadrado
perfecto
1 2
1 2
144
2
24
24
y
y
yy
22
24
24
1 2
1 2
144
y
y
yy
21
TRINOMIOS
TRINOMIO CUADADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Características:
- Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente)
- El primer término la debe estar elevado a una potencia múltiplo de 4 y el número debe tener raíz
cuadrada exacta .
- El tercer término el número debe tener raíz cuadrada exacta y si tiene letra debe estar elevada a un
múltiplo de 4.
- Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término pero al multiplicar el primer término con
el tercero y por dos no da el tercer término.
Forma de factorizar: 4224 984 bbaa
1) Observo cuidadosamente el ejercicio que me da y observo lo siguiente:
a) tiene tres términos
1 2 3 si
b) el número del primer término tiene raíz cuadrada exacta
si
c) la letra del primer término esta elevado a una potencia múltiplo de 4.
si
d) el número del tercer término tiene raíz cuadrada exacta
si
e) si tiene letra el tercer término esta elevado a una potencia múltiplo de
cuatro.
si
f) ahora multiplico la raíz del primer término por la del tercero si no me
da el segundo término como respuesta entonces si es un trinomio
cuadrado por adición y sustracción.
2) La respuesta que me dio 2212 ba sería el centro de un trinomio cuadrado perfecto, ahora debo
ver cuanto le hace falta al 228 ba para llegar a ser
2212 ba resto 222222 4812 bababa .
3) Esta respuesta la sumo y resto al trinomio que me dieron
4224 9b 8a 4 ba
2
9b 8a 4 4224 ba
4224 9b 8a 4 ba
3
9b 8a 4 4224 ba
4224 b 9 8a 4 ba
2222
4224
1223b a 2
9b 8a 4
ba
ba
22
4) Observo que los primeros tres términos de mi respuesta son un trinomio cuadrado perfecto y lo
opero y copio el 224 ba .
5) Observo que mi respuesta es una diferencia de cuadrados y la opero y con esto he terminado de
factorizar.
POLINOMIO
FACTOR COMUN POR AGRUPACION
Características:
- Tienen mas de tres términos
Forma de factorizar: byaybxax
Primero:
4a - 9b 12a 4
4a- 4a
9b 8a 4
22 4224
2222
4224
bba
bb
ba
4a - 3b 2a
4a - 9b 12a 4
4a- 4a
9b 8a 4
22222
22 4224
2222
4224
b
bba
bb
ba
abab
b
bba
bb
ba
23b 2a23b 2a
4a - 3b 2a
4a - 9b 12a 4
4a- 4a
9b 8a 4
2222
22222
22 4224
2222
4224
23
observa cuidadosamente y notaras que los dos primero términos tienen factor común x y los dos
últimos términos tienen factor común y ahora lo operamos:
Los paréntesis me deben de quedar iguales
si no es así entonces busco otras parejas o tríos.
Segundo:
Observamos que nos queda como factor común el paréntesis ba
factorizamos
Es el factor común para saber cual es el otro paréntesis tapa con tu
dedo los paréntesis ba lo que te queda es el otro paréntesis
Lo que te queda al tapar los paréntesis ba es
x + y esto lo colocas en el otro paréntesis y
terminaste.
FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN
Primero encuentro los que tienen FACTOR COMÚN
(los iguales)
Marco todos los que tienen 2 términos
BINOMIOS
baybax
byaybxax
ba
baybax
byaybxax
baybax
baybax
yxba
baybax
baybax
24
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Dentro de este listado busco:
1) las letras que estén elevadas a
una cifra par
2) que el signo sea menos
3) que tenga raíz cuadrada exacta
ambos términos
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Dentro de este listado busco:
1) las letras que estén elevadas a
múltiplos de tres.
2) que el signo puede ser menos o
mas.
3) que tenga raíz cúbica exacta
TRINOMIOS
Primero marco todos los que principien con 2x o x elevado a potencia par
25
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
a) Ordeno el trinomio
b) saco la raíz cuadrada del primer término
c) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo la siguiente flecha)
d) multiplico los resultados anteriores por 2 si me da el segundo término es un
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
SI NO SIGO LA FLECHA
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
a) Ordeno el trinomio
b) si la potencia esta elevada a un múltiplo de 4 ( si no continuo a la siguiente
flecha)
c) saco la raíz cuadrada del primer término
d) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo a la siguiente flecha)
e) multiplico los resultados anteriores por 2 si no me da el segundo término es un
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O
SUSTRACCIÓN.
ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxx 2
TRINOMIOS
26
SI NO SIGO LA FLECHA
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
f) Ordeno el trinomio
g) si la potencia esta elevada a un múltiplo de 4 ( si no continuo a la siguiente
flecha)
h) saco la raíz cuadrada del primer término
i) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo a la siguiente flecha)
j) multiplico los resultados anteriores por 2 si no me da el segundo término es un
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O
SUSTRACCIÓN.
ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax 2
Primero marco todos los que principien con número delante de2x o x elevado a potencia
par
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
e) Ordeno el trinomio
f) saco la raíz cuadrada del primer término
g) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo la siguiente flecha)
h) multiplico los resultados anteriores por 2 si me da el segundo término es un
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
27