VIER Beograd

Audio i video tehnologije Osnovi audiotehnike

Veba 5. Elektrini filtri

Elektrini filtri predstavljaju mree ija je namena da iz frekvencijski sloenog ulaznog signala izdvoje i propuste signal datih karakteristika. Filtri se mogu podeliti na vie naina. Pre svega, razlikujemo analogne i digitalne filtre. Analogni filtri se koriste za obradu kontinualnih signala, dok se digitalni filtri koriste za obradu vremenski diskretizovanih signala. Analogni filtri se dalje mogu podeliti na filtre sa koncentrisanim i filtre sa raspodeljenim parametrima.

Predmet naeg daljeg razmatranja bie analogni filtri sa koncentrisanim parametrima predvieni za opseg audio frekvencije. Ovi filtri se izrauju u dve varijante kao pasivne ili kao aktivne mree.

Pasivni filtri se sastoje iz kalemova i kondezatora (LC filtri). Aktivni filtri u svome sastavu imaju kombinaciju pasivnih (otpornici i kondenzatori) i aktivnih elemenata (tranzistori, operacioni pojaivai, itd.).

Za najnie audio frekvencije pasivni filtri su praktino neupotrebljivi zbog izuzetno velikih vrednosti i dimenzija LC elemenata. Aktivni filtri su mnogo praktiniji, jer se mogu realizovati sa viim vrednostima otpornika pri emu su vrednosti kondenzatora male. Na srednjim i viim audio frekvencijama mogue je uspeno koristiti i pasivne i aktivne filtre.

Aktivni filtri su manjih dimenzija nego odgovarajui pasivni. Veliini filtra, najveim delom doprinose kalemovi kojih nema kod aktivnih mrea.

Prvi aktivni filtri realizovani su sa elektronskim cevima. Imali su visoku cenu kotanja i veliku potronju. Pojavom tranzistora nestaje problem velike potronje ali su aktivni filtri i dalje bili veoma skupi. Prvi operacioni pojaivai takoe su imali visoku cenu pa se ilo za tim da se u filtrima minimizira broj aktivnih komponenti. Danas su operacioni pojaivai jeftina kola i nije problem upotrebiti ih vie u jednom filtru. Time se poboljava stabilnost filtra i prua mogunost njegovog lakeg podeavanja.

Aktivni filtri se izrauju od standardnih elemenata dok se kod pasivnih kalemovi moraju motati i kompletirati, to dodatno uveava cenu. LC filtri su skuplji, uglavnom zbog visoke cene kalemova. Za kvalitetne kalemove esto su potrebne kvalitetna (i skupa) magnetna jezgra, odgovarajua koliina bakarne ice, i kadkad, specijalne tehnike motanja.

Podeavanje pasivnih filtera je lake nego aktivnih. Induktivnosti kalemova se mogu uvek tano podesiti na potrebnu vrednost da bi se dobila odgovarajua uestanost rezonanse. Podeavanje aktivnih filtara esto nije lako. RC sekcije u aktivnim filtrima mogu imati i po nekoliko elemenata koje treba podeavati da bi se dobile eljene karakteristike filtara.

5.1. Osnovne karakteristike elektrinih filtara Elektrini filtar se u optem sluaju moe prikazati etvoropolom, kako je dato na slici 1,

gde je elektromotorna sila izvora (generatora) a impedansa optereanja filtra. Prenosna funkcija filtra u kompleksnom domenu

ge PZ( )sF , definisana kao odnos izlaznog napona i

elektromotorne sile izvora moe se napisati na sledei nain: iU

ge

( ) ( )( ) ( ) ( )sgi esF

sesUsF == , (1)

gde je (za js = ) amplituda ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]22 ImRe jFjFjFM +== , (2)

a ( ) ( )[ ]( )[ ]

jFjFarctg

ReIm= (3)

faza, odnosno fazna karakteristika filtra.Grupno kanjenje filtra je takoe jedan od njegovih vanih parametara i esto se koristi umesto fazne karakteristike. Grupno kanjenje je definisano izrazom:

( ) ( )

dd

g = , (4) gde je kruna frekvencija.

Slika 1. Elektrini filtar kao etvoropol

Slika 2. Amplitudska karakteristika filtra sa definisanim karakteristinim frekvencijskim opsezima

Slika 3. Elektrini filtri koji se najee koriste u audiotehnici; a) propusnik niskih frekvencija, b) propusnik visokih frekvencija i c) propusnik opsega frekvencija

Opseg frekvencija u kojem elektrini filtar proputa ulazni signal (bez znaajnog slabljenja) naziva se propusnim opsegom filtra, dok se opseg frekvencija u kojem je ulazni signal pri prolasku kroz filtar jako oslabljen (teorijski jednak nuli) naziva nepropusnim opsegom, slika 2.

Granina frekvencija filtra f3 (misli se na graninu frekvenciju propusnog opsega) je frekvencija na kojoj amplitudska karakteristika filtra opadne za 3 dB u odnosu na njenu vrednost u propusnom opsegu. Granica nepropusnog opsega fn definie se za odreeno minimalno slabljenje

filtra Amin, kako je prikazano na slici 2. Podruje na frekvencijskoj osi izmeu f3 i fn naziva se prelazna oblast filtra.

U praksi postoji pet osnovnih tipova frekvencijski selektivnih elektrinih filtara. To su: propusnik niskih frekvencija, propusnik visokih frekvencija, propusnik opsega frekvencija, nepropusnik opsega frekvencija i propusnik frekvencija (svih) sa faznom ili vremenskom korekcijom. Kombinacijom ovih osnovnih tipova mogue je realizovati i druge sloenije filtre.

5.2. Aproksimacija idealnog filtra propusnika niskih frekvencija Kod prouavanja elektrinih filtara obino se polazi od idealnog normalizovanog filtra

propusnika niskih frekvencja, ija je amplitudska karakteristika u propusnom opsegu jednaka jedinici a van ovog opsega nuli, slika 4. Fazna karakteristika ovoga filtra je linearna u propusnom opsegu sa nagibom jednakim jedinici. Izvan propusnog opsega fazna karakteristika nema znaaja poto je amplituda prenosne funkcije filtra jednaka nuli. Grupno kanjenje ovakvog filtra je u propusnom opsegu takoe jednako jedinici.

Prenosna funkcija idealnog normalizovanog filtra sa slike 4 moe se predstaviti sledeim izrazom:

( )10

10>==

jejF

(5)

U praksi nije mogue realizovati filtar sa karakteristikama prikazanim na slici 4. Zato se aproksimira amplitudska ili fazna karakteristika idealnog filtra sa filtrom ija je realizacija mogua i ije su karakteristike najpriblinije idealnim. Kada se doe do eljene aproksimacije filtra propusnika niskih frekvencija tada se odgovarajuim transformacijama frekvencije ovaj osnovni, takozvani prototip filtar pretvara u druge tipove filtara, kao to su propusnici visokih frekvencija, propusnici opsega frekvencija itd.

Dakle, problem aproksimacije se svodi na odreivanje prenosne funkcije koja treba da zadovolji odreene unapred postavljene zahteve. Tako imamo Batervortove, ebievljeve, inverzne ebievljeve, eliptike, Beselove, itd. filtre. Svaka od navedenih familija filtara na odreeni nain aproksimira amplitudsku ili faznu karakteristiku idealnog filtra sa slike 4.

Prenosna funkcija aproksimirajueg filtra, u optem sluaju, racionalna je funkcija kompleksne uestanosti s, sa realnim koeficijentima, data izrazom:

=

=

== n

k

kk

m

i

ii

sa

sb

sPsQsF

0

0

)()()( (6)

gde su: ak, bi realni koeficijenti, m, n konstante (m n). Red filtra odreen je vrednou konstante n.

Funkcija moe se prikazati i u sledeem obliku: ( )sF

=

=

== n

kk

m

ii

ps

zs

sPsQsF

1

1

)(

)(

)()()( (7)

gde su zi (i = 1, ..., m) i pk (k = 1, ..., n) nule polinoma ( )sQ i ( )sP , respektivno.

a)

b)

c)

Slika 4. Idealni normalizovani niskopropusni filtar:

a) amplitudska karakteristika, b) fazna karakteristika,

c) grupno kanjenje

Nule polinoma u brojiocu izraza (7) nazivaju se nulama prenosne funkcije (ili nulama prenosa), dok se nule polinoma nazivaju polovima prenosne funkcije. Ukoliko nisu realne, nule i polovi prenosne funkcije moraju bti konjugovano kompleksni parovi, to je uslov da polinomi i imaju realne koeficijente.

)(sQ

)(sP

)(sF)(sP )(sQ

Nule i polovi funkcije prenosa mogu se predstaviti u kompleksnoj ravni, kako je prikazano na slici 5.

Slika 5. Nule i polovi prenosne funkcije F(s) u kompleksnoj ravni js +=

Da bi prenosna funkcija filtra ispunjavala kriterijume stabilnosti, nule polinoma moraju biti u levoj polovini ravni kompleksne promenljive s. Za polinom se tada kae da je striktno Hurvicov (Hurwitz) polinom.

)(sP)(sP

Nule polinoma mogu se nalaziti bilo gde u ravni kompleksne uestanosti. Ako su pak i nule polinoma u levoj polovini ravni kompleksne uestanosti tada se radi o filtrima minimalne faze. Kod kola minimalne faze iz poznate amplitudske karakteristike moe se jednoznano odrediti fazna karakteristika i obratno. Napomenimo ovde i to, da kola minimalne faze unose najmanje mogue kanjenje signala, pa bi se mogla zvati i kolima minimalnog kanjenja.

)(sQ)(sQ

5.3. Batervortovi filtri Batervortovi filtri aproksimiraju amplitudsku karakteristiku idealnog filtra propusnika niskih

frekvencija. Aproksimacija amplitudske karakteristike izvodi se funkcijom oblika

)(1

11)(

2 Bkk fF =+= (8)

gde je - Batervortova funkcija k-tog reda (k = 1, 2, 3, ...), kBkf21)( += - kruna uestanost.

Slika 6. Amplitudske karakteristike Batervortovog filtra, propusnika niskih

frekvencija, razliitog reda k.

Slika 7. Karakteristike grupmog lanjenja Batervortovog filtra, propusnika niskih

frekvencija, razliitog reda k.

Ovakva amplitudska karakteristika naziva se maksimalno ravnom karakteristikom, jer je njenih prvih (2n 1) izvoda jednako nuli u koordinatnom poetku, pa stvarna i idealna karakteristika imaju dodir najvieg reda u taki = 0. Aproksimacija idealne amplitudske karakteristike funkcijom (8) je sve bolja to je k vee, slika 6.

Na normalizovanoj graninoj uestanosti = 1 vrednost funkcije (8) je za 3 dB manja od njene vrednosti za = 0. Nagib amplitudske karakteristike u nepropusnom opsegu asimptotski se pribliava vrednosti 6k dB/oktavi.

Ovde treba istai i injenicu da sa poveanjem reda k funkcije (8) rastu i izoblienja u karakteristici grupnog kanjenja Butterworth-ovog filtra, slika 7, to ima za posledicu pogoranje karakteristika filtra u vremenskom domenu.

Filtar ija je amplitudska karakteristika aproksimirana izrazom (8) ima prenosnu funkciju oblika:

)(1)(

nsPsF = (9)

gde je: normalizovana kompleksna uestanost (ns 3/ssn = ), - Butterworth-ov polinom stepena k dat u tabeli 1.

)( nsP

Tabela 1. Batervortovi polinomi stepena k (k = 1,2, ..., 5) 1)(1 += nn ssP

12)( 22 ++= nnn sssP 122)( 233 +++= nnnn ssssP

16131,24142,36131,2)( 2344 ++++= nnnnn sssssP 12361,32361,52361,52361,3)( 23455 +++++= nnnnnn ssssssP

5.4. Filtri velike selektivnosti

Slika 8. Amplitudske karakteristike razliitih tipova filtara istog reda: a) Batervotov filtar, b) ebievljev filtar, c) inverzni ebievljev filtar i d) eliptiki filtar.

U odreenim praktinim primenama zahteva se selektivnost filtra vea nego to se moe postii Batervortovim filtrima datog reda. ebievljevi filtri ispunjavaju ovaj uslov, ali je kod njih prisutno talasanje amplitudske karaktersitike u propusnom opsegu, slika 8b, ili u nepropusnom opsegu, slika 8c. U literaturi se ovi prvi obino nazivaju ebievljevi filtri ili ebievljevi filtri tipa 1, a ovi drugi inverzni ebievljevi filtri ili ebievljevi filtri tipa 2. Meutim, svi ebievljevi filtri imaju fazna izoblienja, ili to je isto, velika odstupanja grupnog kanjenja od idealne konstantne vrednosti u propusnom opsegu. To ima za posledicu velike premaaje u odzivu kada se radi o brzo promenljivim signalima to ih ini potpuno nepogodnim i za audio signale.

Eliptiki ili Kauerovi (Cauer) filtri imaju jo bolju selektivnost ali je njihova amplitudska karakteritika neravna i u propusnom i u nepropusnom opsegu, slika 8d. Njihova grupna kanjenja takoe znaajno odstupaju od konstantne vrednosti, to ih takoe ini nepogodnim za primenu u auditehnici.

5.5. Beselovi filtri Beselovi filtri aproksimiraju linearnu faznu karakteristiku, slika 4b, odnosno karakteristiku

konstantnog grupnog kanjenja, slika 4c, to je isto.

Polazei od prenosne funkcije idealnog normalizovanog filtra propusnika niskih uestanosti moemo pisati:

)()(1)(

sChsShesF s +== (10)

Razvijanjem hiperbolinih funkcija u imeniocu izraza (10) u redove, dolazimo do istog opteg izraza datog jednainom (9) samo to sada polinom ima druge vrednosti koeficijenata. Tako, dobijamo da prenosne funkcije beselovih filtara imaju oblik prikazan u tabeli 2.

)( nsP

Tabela 2. Prenosne funkcije Beselovih filtera svedene na oblik . ).(/1)( nn sPsF =

11)(1 += nn s

sF

173,11)( 22 ++= nnn ss

sF

146,243,21)( 233 +++= nnnn sss

sF

12,339,412,31)( 2344 ++++= nnnnn ssss

sF

194,389,678,681,31)( 23455 +++++= nnnnnn sssss

sF

Karakteristike grupnog kanjenja Beselovih filtara, slika 9, aproksimiraju idealnu

karakteristiku grupnog kanjenja u smislu maksimalnog zaravnjanja. I ovde je, kao i kod aproksimacije idealne amplitudske karakteristike Batervrtovim filtrima, 2n-1 prvih izvoda krive grupnog kanjenja jednako nuli u koordinatnom poetku. Zbog toga se Beselovi filtri nazivaju i filtrima sa maksimalno ravnom karakteristikom grupnog kanjenja.

Maksimalno kanjenje 0 koje se moe postii sa filtrom datog reda ogranieno je frekvencijskim opsegom u kojem elimo ostvariti konstantno kanjenje. Odnosno, za filtar datog reda proizvod iz frekvencijskog opsega konstantnog kanjenja i vrednosti ovog kanjenja 0 je konstantan. Stoga, kod izbora veeg kanjenja moramo raunati sa uim frekvencijskim opsegom i obratno, manjem vremenskom kanjenju odgovara iri frekvencijski opseg.

Kao gornja granina frekvencija opsega konstantnog kanjenja obino se uzima frekvencija 90 , na kojoj kanjenje filtra opadne na 90%, svoje vrednosti na najniim frekvencijama 0 . U

tabeli 4 date su vrednosti kanjenja 0 ( 0 = za )0= , frekvencije 90 kao i njihovog proizvoda 900 za normalizovane Beselove filtre.

Tabela 4. Maksimalno kanjenja 0 , granina frekvencije 90 i proizvodi 900 za Beselove normalizovane filtre

Red filtra 0 90 900 1

2

3

4

5

1

1,36

1,75

2,13

2,42

0,3328

1,0857

1,9391

2,8350

3,7550

5.6. Optimalni filtri za primenu u audiotehnici Radi lakeg poreenja, na slikama 9, 10 i 11, date su uporedne karaktersitke Beselovih,

Batervortovih i ebievljevih filtara etvrtog reda. Sa slike 9 se vidi da najmanju selektivnost ima Beselov filtar a najveu ebievljev, dok Batervortov filtar ima najravniju amplitudsku karaktersitku. Meutim, kako se vidi sa slike 10 najbolje tranzijentne karaktersitike ima Beselov filtar. Njegov odziv na brze ulazne promene (jedinini i impulsni signal) je najtaniji, sa veoma kratkim vremenom smirivanja.

Slika 9. Amplitudska karaktersitika u funkciji normalizovane frekvencije za razliite tipove filtara propusnika niskih frekvencija, etvrtog reda

Poreenje karaktersitka grupnog kanjenja, koje su prikazane na slici 11, navodi do istog zvkljuka - da Beselovi filtri imaju najbolje tranzijentne karaktersitke.

Iz svega to je do sada reeno o karaktersitikama razliitih familija filtara moe se zakljuiti da selektivnost filtara raste idui od Beselovih, preko Batervortovih do ebievljevih i eliptikih. Meutim, ovim istim redom se pogoravaju njihove tranzijentne karakteristike. Stoga kao kompromis, za primenu u auditehnici skoro iskljuivo se sreu Batervortovi i Beselovi filtri.

Slika 10. Odziv na jedininu i impulsnu pobudu razliitih tipova filtara propusnika niskih frekvencija, etvrtog reda

Slika 11. Grupno kanjenje u funkciji normalizovane frekvencije za razliite tipove filtara propusnika niskih

frekvencija, reda 2-10: a) Beselovi filtri,

b) batervortovi filtri, c) ebievljevi filtri sa talasanjem amplitudske karaktersitke u propusnom opsegu od 0,5 dB.

Slika 12. Odzivi niskopropusnih filtara petog reda na impulsnu pobudu: a) Beselov filtar, b) Batervortov filtar, c) ebieljev filtar 0,5 dB.

5.7. Transformacija frekvencije Transformacijom frekvencije karakteristike jedne vrste filtara mogu se pretvoriti u

karakteristike druge vrste. Polazi se od normalizovanih filtara niskih frekvencija, odnosno prototipova. Normalizovanu prenosnu funkciju takvog filtra oznaiemo sa:

( ) ( )sPsF nL1= , (11)

gde je Pn(s) = 1 + a1s + a2s2 + ... + an-1sn-1 + sn Hurvicov polinom stepena n. U prenosnim funkcijama ovih filtara kompleksna frekvencija se zamenjuje novom

promenljivom, ili izrazom, da bi se dobile prenosne funkcije drugih vrsta filtara.

5.8. Filtar propusnik visokih frekvencija

Slika 13. Amplitudske karakteritike filtara propusnika niskih i visokih frekvencija dobijene transformacijom frekvencije

Prenosna funkcija normalizovanog filtra propusnika visokih frekvencija ( )sFH dobija se iz prenosne funkcije normalizovanog niskopropusnog filtra ( )sFL primenom transformacije:

ss1 . (12)

Polazei od jednaine (11), uz pomenutu transformaciju, dobijamo da je prenosna funkcija propusnika visokih frekvencija data izrazom:

( ) ( ) ( )sPs

sPsF

n

n

nH == 1

1 . (13)

Amplitudska karakteristika funkcije ( )sFH simetrina je u odnosu na pravu 1= sa amplitudskom karakteristikom funkcije ( )sFL . Granica propusnog opsega za oba ova filtra je 1= . 5.9. Filtar propusnik opsega frekvencija

Prenosna funkcija filtra propusnika opsega frekvencija ( )sFM dobija se iz prenosne funkcije normalizovanog niskopropusnog filtra ( )sFL primenom transformacije:

sBss

20

2 + , (14)

gde je: 12 =B irina propusnog opsega filtra propusnika opsega frekvencija, 210 = - srednja (geometrijska) frekvencija propusnog opsega.

Penosna funkcija dobijenog filtra ima sledei oblik:

( ) ( )[ ]sBsPsF nM 2021+= . (15)

irina propusnog opsega ovog filtra jednaka je irini propusnog opsega transformisanog niskopropusnog filtra, slika 14.

Slika 14. Transformacija niskopropusnog filtra u filtar propusnik opsega frekvencija

5.10. Normalizovane koordinate polova Filtri propusnici niskih uestanosti o kojima je bilo prethodno govora nemaju konanih nula

prenosa. Njihove prenosne funkcije se stoga, kako je ve reeno, mogu svesti na oblik dat jednainom (11).

Funkcija se takoe moe rastaviti (vidi jednainu (7)) na proizvod lanova prvog i drugog reda oblika:

)(sPL

0

11+= sps (16)

( )( ) [ ][ ])()( 11 * pppp jsjspsps += (17) lan prvog reda ima realan pol 0=s , dok lan drugog reda ima par konjugovano

kompleksnih poslova ije su koordinate pp j . Ovo su normalizovane koordinate polova jer se odnose na normalizovanu prenosnu funkciju filtra propusnika niskih uestanosti kod koje je

13 =dB . Za karakteristine tipove filtara propusnika niskih uestanosti normalizovane koordinate polova date su u tabeli 4.

Tabela 4. Normalizovane koordinate polova prenosnih funkcija Batervortovih i Beselovih filtara Tip filtra Red p0 , p

Batervortov

1 2 3 4

1 0,7071 1,0000 0,5000 0,9239 0,3827

- 0,7071

- 0,8660 0,3827 0,9239

Beselov

2 3 4

1,1030 1,3270 1,0509 1,3596 0,9877

0,6368 -

1,0025 1,4071 1,2476

ebievljev 4 (3 dB) 0,0852 0,2056 0,9465 0,3920

5.11. Realizacija aktivnih filtara Aktivni filtri vieg reda se realizuju kaskadnom spregom filtara prvog i drugog reda, slika

15. Stoga emo u daljem delu teksta prikazati neke najprostije i esto primenjivane naine praktine realizacije filtara prvog i drugog reda. Pri tome se neemo zadravati na detaljnoj analizi pojedinih postupaka realizacije ve emo dati gotova reenja, kakva se sreu u praksi, navodei njihove osnovne karakteristike.

Slika 15. Princip realizacije filtara vieg red: a) filtar parnog reda, b) filtar neparnog reda

Meusobni uticaj susednih sekcija pri kaskadnoj realizaciji zanemarljiv je, s obzirom na malu izlaznu impedansu svake sekcije.

Filtarske sekcije prvog i drugog reda teorijski se, u kaskadi, mogu sprezati bilo kojim redom. Meutim, ispravno je, idui od ulaza prema izlazu, prvo postaviti filtarsku sekciju prvog reda, zatim sekcije drugog reda sa manjim Q faktorima, i na kraju, sekcije drugog reda sa veim faktorima. Ovim se obezbeuje maksimalna dinamika filtra.

Q

Kada je prenosna funkcija filtra neparnog reda, u kaskadnoj sprezi mora postojati jedna sekcija prvog reda, slika 15b. Ona moe biti realizovana u obliku pasivnog ili aktivnog RC kola.

)(sF

5.11.1 Filtri prvog reda Aktivni niskopropusni filtar prvog reda prikazan je na slici 16. On se sastoji od pasivne RC

mree i operacionog pojaavaa koji radi kao emiter-folover. Operacioni pojaiva izoluje filtarsku mreu od uticaja optereenja na izlazu filtra. Vrednost otpornika u povratnoj sprezi nije kritina. Moe varirati od nule (kratk spoj) do optimalne vrednosti jednake otpornosti otpornika na neinvertujuem ulazu. Kondenzator C je definisan sa

0

1=C . (18)

gde je 0 normalizovana vrednost realnog pola.

Slika 16 . Filtar prvog reda

Ako je potrebno pojaanje razliito od jedinice onda se mogu koristiti kola sa slike 17.

A

U sluajevima kada se sekcija prvog reda moe postaviti na kraju filtra onda se moe uzeti samo RC mrea sa slike 16, bez operacionog pojaavaa.

Ako otpornik i kondenzator u filtarskoj sekciji zamene mesta i vrednosti dobiemo, kako je ve reeno u glavi o transformaciji frekvencije, odgovarajue filtre propusnike visokih frekvencija.

Slika 17. Niskopropusni filtri prvog reda sa pojaanjem A razliitim od jedinice: a) neinvertujue kolo, b) invertujue kolo

6.11.2 Filtri drugog reda Filtri drugog reda, koji se svode na realizaciju bikvadratne sekcije sadre najmanje jedan, a

esto dva, pa i vie operaciona pojaava. Razloge za poveanje sloenosti kola bikvadratne sekcije treba traiti u smanjenju osetljivosti filtra, u poveanju pogodnosti podeavanja, u mogunosti primene pasivnih elemenata sa irim tolerancijama, ili pak u tenji da se dobije univerzalna filtarska sekcija kojom se mogu realizovati razliite funkcije drugog reda.

Jedna od najprostijih realizacija bikvadratne sekcije izvodi se Selen-Ki (Sellen-Key) mreom. Ova mrea se obino sree u dve verzije, sa jedininim pojaanjem slika 18a ili sa jednakim vrednostima komponenata, slika 18b.

Normalizovane vrednosti kondenzatora u mrei sa slike 18a su

22211

pp

pn

pn CC

+== , (19)

dok je njihov odnos , to moe biti nepraktino kada je Q suvie veliko. 221 4/ QCC nn =

Slika 18. Niskopropusne sekcije drugog reda sa Selen-Ki mreama: a) sa jedininim pojaanjem, b) sa jednakim vrednostima komponenata

Otpornik R u grani povratne sprege moe imati sve vrednosti od nule do optimalne, jednake otpornosti koja se vidi sa neinvertujueg ulaza do mase.

U kolu sa slike 18b potrebno je tano podesiti pojaanje pojaavaa, jer je time odreen i Q faktor sekcije, prema relaciji:

QA 13= . (20)

Bikvadratnu sekciju je mogue ralizovati i kolima sa negativnom povratnom spregom ili kolima sa vie operacionih pojaavaa. Takva reenja prevazilaze obim ovog kursa, a zainteresovani itaoci mogu ih nai u navedenoj literaturi.

5.12. Rad na vebi Proraun, realizacija i merenje karaktersitka aktivnih filtara

5.12.1. Prvi deo 1. Proraunati Batervortove filtre propusnike niskih frekvencija prvog, drugog, treeg i

etvrtog reda za graninu frekvenciju f3 = 1000 Hz 2. Proraunati Batervortov filtar propusnik visokih frekvencija prvog reda za graninu

frekvenciju f3 = 100 Hz. 3. Proraunati filtre propusnike niskih frekvencija, etvrtog reda, granine frekvencije f3

= 1000 Hz, ebievljevog i Beselovog tipa.

5.12.2. Drugi deo 1. Izmeriti i uporediti amplitudske karakteristike Batervortovih filtara prvog, drugog i

etvrtog reda.

2. Izmeriti i uporediti amplitudske karakteristike filtara etvrtog reda Batervortovog, ebievljevog i Beselovog tipa.

3. Na ulaze pojedinih filtara dovesti pravougaoni signal (etvrtku) i posmatrati njegov oblik na izlazu svakog filtra. Skicirati oblike pravougaonog signala na izlazu filtara za frekvencije od 100 Hz i 700 Hz. Komentarisati dobijene rezultate.

5.13. Literatura [1] D. Stout, M. Kaufman, Handbook of Operational Amplifier Circuit Design, McGraw Hill Co., 1976.

[2] R Horvat, Sinteza elektrinih mrea, Nauna knjiga, Beograd, 1977.

[3] H. Y-F. Lam, Analog and digital Filters: Design and Realization, Prentice-Hall, Inc., 1979.

[4] W. Jung, IC Op-Amp Cookbook, Howard W. Sams &Co., 1980.

[5] A. R. Williams, Electronic Filter Design Handbook, McGraw Hill Book Co., 1981.

[6] B. Rakovi, Elektronika Linearna integrisana kola, Graevinska knjiga, Beograd, 1983.

[7] D. Self, Small Signal Audio Design, Focal Press, 2010.

Veba 5.Elektrini filtri5.1. Osnovne karakteristike elektrinih filtara5.2. Aproksimacija idealnog filtra propusnika niskih frekvencija5.3. Batervortovi filtri5.4. Filtri velike selektivnosti5.5. Beselovi filtri5.6. Optimalni filtri za primenu u audiotehnici5.7. Transformacija frekvencije5.8. Filtar propusnik visokih frekvencija5.9. Filtar propusnik opsega frekvencija5.10. Normalizovane koordinate polova5.11. Realizacija aktivnih filtara5.11.1 Filtri prvog reda6.11.2 Filtri drugog redaBikvadratnu sekciju je mogue ralizovati i kolima sa negativnom povratnom spregom ili kolima sa vie operacionih pojaavaa. Takva reenja prevazilaze obim ovog kursa, a zainteresovani itaoci mogu ih nai u navedenoj literaturi.5.12. Rad na vebi Proraun, realizacija i merenje karaktersitka aktivnih filtara5.12.1. Prvi deo5.12.2. Drugi deo

5.13. Literatura