lab 1teoria de la probabilidad

7/30/2019 Lab 1teoria de La Probabilidad

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F a c u l t a d d e I n g e n i e r a s . I n g e n i e r a I n d u s t r i a l

2013

TEORIA DE LAPROBABILIDAD

Laboratorio No. 1 Control de CalidadAndrea Ditta

Silny Meza

Mara Carolina Arias

Sebastin Rodrguez

UNIVERSIDAD DEL NORTE


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TEORA DE LA PROBABILIDADLaboratorio I

ANDREA DIITA NARVAEZSILNY MEZA

SEBASTIAN RODRIGUEZMARIA CAROLINA ARIAS

INFORME DE LABORATORIO

Andrs QuinteroProfesor de laboratorio de la asignatura Control y Gestin Integral de la Calidad

FUNDACIN UNIVERSIDAD DEL NORTEDIVISIN DE INGENIERAS

PROGRAMA DE INGENIERA INDUSTRIALDEPARTAMENTO INGENIERA INDUSTRIAL

BARRANQUILLA2013


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1 RESUMEN

En el presente informe realizamos el anlisis de un determinado experimento, para comprender

conceptos de probabilidad. En dicho experimento se trabaj con tres dados, los cuales fueron

lanzados cien veces. Con base a estos datos pudimos calcular diferentes probabilidades de

ocurrencias de algunos sucesos.

Luego, analizamos los resultados obtenidos, que nos permiti hallar conclusiones con base a los

conceptos tericos aprendidos.

Se compara el comportamiento de los datos con una distribucin terica, a travs de la prueba

estadstica de ajuste Chi-cuadrado. De esta manera, podemos mediante el razonamiento

estadstico comprender mediante la experiencia, la ley de la probabilidad para la prediccin de

eventos.

2 ABSTRACT

In this report we perform an analysis of a given experiment, to understand concepts of probability.

In this experiment we worked with three dice, which were thrown a hundred times. Based on

these data we calculate different probabilities of occurrence of certain events.

Then, we analyze the results obtained, which allowed us to find conclusions based on the

theoretical concepts learned.

A comparison is made the data behavior with a theoretical distribution, through the Chi-square

adjustment test statistic. In this way we can through statistical reasoning through experience to

understand the law of probability to predict events.


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3 INTRODUCCION

Durante la realizacin de esta prctica, buscamos llevar a cabo un buen proceso de aprendizaje,

anlisis e interpretacin de los resultados obtenidos a partir de la experiencia efectuada en el

laboratorio, poniendo en prctica los conceptos necesarios, como la teora de la probabilidad, para

determinar con mayor exactitud la probabilidad de que se presenten varios eventos

correspondientes.

La probabilidad constituye un importante parmetro en la determinacin de las diversas

causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadstico1, por

tanto, durante el desarrollo de este trabajo se apreciar como dicha teora de la probabilidad

representa una herramienta de vital importancia en muchas reas como lo son la estadstica, las

matemticas, la fsica, la ciencia, las finanzas, y en una gran cantidad de actividades cotidianas,

ayudndonos a tomar decisiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales.

Por consiguiente, se tiene un trabajo de aplicacin completo, en el cual se desglosa paso a paso la

obtencin de los datos, el manejo de las tablas y por supuesto la interpretacin respectiva de cada

nmero resultante.

En conclusin, la aplicacin de la teora de la probabilidad en el mundo de la Estadstica es de gran

ayuda especialmente para saber qu tan frecuente es un evento en especfico el cual sea objeto

de estudio.


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4OBJETIVOS

4.1 OBJETIVO GENERAL

Aprender y aplicar por medio de un experimento repetitivo los fundamentos de la teora de la

probabilidad y calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento, expresndola en trminos de

frecuencias.

4.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

Analizar que ocurre con la probabilidad de un evento cuando el nmero de lanzamientos

es cada vez mayor.

Comparar las probabilidades tericas con las probabilidades experimentales obtenidas

durante la prctica del experimento.


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5 MARCO TEORICO

La probabilidad es el anlisis y la medicin de un conjunto de sucesos posibles, que sirve para

observar el comportamiento de un experimento, segn la frecuencia de ocurrencia de dichos

sucesos.

El espacio muestral es el conjunto de los posibles resultados del experimento. Un principio muy

usado en la probabilidad es El Principio de Multiplicacin el cual dice que, si un experimento

puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer

paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y as sucesivamente,

entonces el nmero de eventos que pueden ocurrir ser de:

(n1) (n2) (n3) (n4) 1Un ejemplo claro de esto, es el lanzar dos dados: (n1) (n2) = (6) (6) = 36 combinaciones

posibles.

Segn Montgomery, D. C. (2002) algunos conceptos bsicos de la probabilidad son:

- Ley Fundamental de Probabilidad 1. Una probabilidad siempre estar comprendida entre 0 y 1.2

0 P(A) 1

- Ley Fundamental de Probabilidad 2. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples

posibles del espacio muestral es 1.2

P(A) = 1

- Definicin 1. La probabilidad de un evento A, P(A), es la medida del de la posibilidad de que ese

evento ocurra: 2

posiblesresultadosdetotal

AocurrirpuedequevecesAP

____#

_____#)(

- Eventos Independientes. Dos eventos son independientes si y solo s:2

P(A/B) = P(A)

1Walpole, R. E. (1999). Probabilidad y Estadstica para Ingenieros (Sexta ed.). Ciudad de

Mxico: Prentice-Hall Hispanoamericana S.A

2 Montgomery, D. C. (2002). Probabilidad y Estadstica aplicadas a la Ingeniera (Segunda ed.).

Ciudad de Mxico: Limusa Wiley.


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- Eventos dependientes. Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la

ocurrencia del otro:

P(A/B) P(A)

- Definicin 3. Una prueba de bondad de ajuste es aquella que mide la discrepancia entre una

distribucin observada y otra terica. 1

La prueba de ajuste Chi-Cuadrado es una prueba no paramtrica, que indica en qu medida las

diferencias existentes entre la distribucin observada y la terica, de haberlas, se deben al azar en

el contraste de hiptesis. Tambin se utiliza para probar la independencia de dos variables entre

s, mediante la presentacin de los datos en tablas de contingencia. 1

La frmula del estadstico para esta prueba es:

De esta manera, cuanto mayor sea el valor de , menos creble es que la hiptesis sea correcta. De

la misma forma, cuanto ms se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, ms ajustadas estn

ambas distribuciones.

Los grados de libertad vienen dados por:

El criterio de decisin sigue que, se acepta H0 cuando . En caso contrario se rechaza.

Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, segn el nivel de significacin estadstica

elegido.

Se pueden tener tambin el criterio del error, para poder establecer que tan aceptable es la

hiptesis. Ducho criterio dice que:

100*)(

%exp

teo

teo

esperadosresult

esperadosresultobservadosresult

x

n

i

.

)..(2


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6 DESCRIPCION DE LA EXPERIENCIA

La prctica desarrollada en el laboratorio de la asignatura consisti en el lanzamiento simultneode tres (3) dados, dos (2) de ellos de un mismo color, por medio de un agitador. Se requera que

este experimento tuviera una repeticin de cien (100) veces y sus resultados fueran registrados,

teniendo en cuenta los siguientes eventos:

Ocurrencia de unos (1): El nmero de dados en que ocurre uno (1).

Ocurrencia de seis (6): El nmero de dados en que ocurre seis (6).

Puntaje del dado de color.

Puntaje total de los tres (3) dados.

Y adems, que cada uno de los grupos de trabajo, una vez finalizada la prctica, intercambiara los

resultados obtenidos con los dems grupos de la clase. Lo anterior con el deseo de analizar,

posteriormente, la relacin entre el nmero de repeticiones de un experimento y la probabilidad

de ocurrencia de un evento


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7 RECOLECCION DE DATOS

Como se dijo anteriormente el valor de los dados eran registrados en una tabla suministrada por el

profesor de la siguiente manera:

No.de

Dos(2)

No.de

seis(6)

Puntosdadocolor

TotalPuntos

No.DeDos(2)

No.Deseis(6)

Puntosdadocolor

TotalPuntos

No.DeDos(2)

No.Deseis(6)

Puntosdadocolor

TotalPuntos

No.DeDos(2)

No.Deseis(6)

Puntosdadocolor

TotalPuntos

1 0 5 8 0 1 4 11 0 1 6 11 0 1 6 15

0 0 3 6 0 1 4 11 0 0 3 7 0 1 4 14

0 1 1 11 1 0 4 9 0 1 5 16 1 0 2 8

0 0 5 11 0 0 3 8 0 0 3 12 1 0 2 6

1 0 2 6 2 0 2 9 0 0 3 10 1 0 2 120 0 1 7 0 0 4 12 1 0 3 6 1 0 3 10

1 0 2 9 0 1 6 12 1 1 2 12 0 1 6 10

0 0 4 12 1 0 2 11 1 0 1 4 0 0 5 11

1 0 2 6 0 1 4 11 1 0 2 6 1 1 6 12

1 0 1 7 0 1 6 13 2 2 2 8 0 1 3 14

0 1 1 10 2 0 2 9 0 0 1 5 1 0 3 6

0 1 4 11 0 0 1 8 0 1 0 15 1 0 4 7

0 0 4 12 0 1 3 14 1 0 2 6 0 0 5 13

0 1 6 10 1 0 1 7 2 0 2 9 1 0 3 6

1 1 6 11 1 0 5 10 0 0 4 12 1 0 4 7

0 0 5 15 0 0 5 9 0 0 4 8 1 0 4 7

1 0 4 10 0 0 5 13 1 1 2 11 1 0 5 12

0 1 6 8 1 0 2 4 1 0 2 8 0 0 4 13

0 0 4 12 1 0 5 8 0 0 3 11 0 0 1 10

0 0 3 10 1 0 5 8 1 1 6 13 0 0 5 14

1 1 6 11 1 0 5 8 1 0 2 6 0 0 5 16

1 0 2 4 1 1 2 11 0 2 6 17 2 1 2 100 0 3 9 1 0 2 9 0 0 4 12 1 0 1 6

0 1 1 12 2 0 5 9 0 1 6 14 0 0 1 6

0 0 1 8 0 0 1 8 1 0 2 7 2 0 2 8

Tabla 1 Toma de datos


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8 CALCULOS Y RESULTADOS

8.1 RESUMEN PUNTAJE TOTAL DE LOS TRES DADOS

Prob.

Terica

esperadaPuntaje

total grupo1 grupo2 grupo3 grupo4FREC.Total

FREC.por

grupo

PROB.Experimental

Total

PROB.Experimental

GrupoPROB. terica

0,463 3 0 1 0 0 1 0 0,0025 0,00 0,0046

1,3889 4 0 2 1 3 6 3 0,0150 0,03 0,0139

2,7778 5 0 5 8 1 14 1 0,0350 0,01 0,0278

4,6296 6 2 4 2 12 20 12 0,0500 0,12 0,0463

6,9444 7 10 8 8 8 34 8 0,0850 0,08 0,0694

9,7222 8 12 10 13 14 49 14 0,1225 0,14 0,0972

11,574 9 7 9 11 9 36 9 0,0900 0,09 0,1157

12,5 10 13 12 13 10 48 10 0,1200 0,10 0,1250

12,5 11 20 11 11 14 56 14 0,1400 0,14 0,1250

11,574 12 9 8 12 13 42 13 0,1050 0,13 0,1157

9,7222 13 11 18 5 5 39 5 0,0975 0,05 0,0972

6,9444 14 8 5 7 5 25 5 0,0625 0,05 0,0694

4,6296 15 4 5 6 3 18 3 0,0450 0,03 0,0463

2,7778 16 2 2 3 2 9 2 0,0225 0,02 0,0278

1,3889 17 2 0 0 1 3 1 0,0075 0,01 0,0139

0,463 18 0 0 0 0 0 0 0,0000 0,00 0,0046

TOTAL 100 100 100 100 400 100 1,0000 1,00 1,00

Tabla 2 Puntaje total

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

0 5 10 15 20

PROB. Experimental Total

PROB. Experimental Grupo

PROB. terica


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Las anteriores graficas muestran el comportamiento de los datos a medida que el nmero

de lanzamientos aumenta, dando fiel ejemplo de la ley de los grandes nmeros.

El clculo de la probabilidad terica se obtiene mediante la razn entre los nmeros de

eventos que suman el puntaje, entre todas las combinaciones posibles que al tratarse de

tres dados simultneos seria 216 que resulta de multiplicar tres veces seis. En la figura que

se muestra a continuacin se puede observar las diferentes combinaciones que originan

cada uno de los puntajes.

Puntaje 3 111 {

{

{

{

{

{

Figura 1. Posibles combinaciones resultado de la suma de las pintas que resulta al lanzar tres dados.

Partiendo entonces de la figura mostrada anteriormente los clculos de cada una de las

probabilidades correspondiente a los eventos de los puntajes del 3 al 18, se realiza el clculo de

cada una de la siguiente manera:


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El clculo de la frecuencia terica esperada se hall multiplicando la probabilidad terica por el

nmero de lanzamiento, que en este caso fue 100 veces.

Y la probabilidad experimental se hall al dividir la frecuencia total o grupa (segn sea el caso)

entre el nmero de lanzamientos.

8.2 RESUMEN DE FRECUENCIA DE OCURRENCIA DE DOS Y DE SEIS

Luego se analiz la ocurrencia de los eventos relacionados con la aparicin de dos y de seis. Para

ello, se llen la siguiente tabla as:

Grupo

No. De

lanzamie

ntos

Probabilidad

experimental de

que no

aparezcan dos o

mas (2)

Probabilidad

experimental de

que aparezca

un (6)

0 1 2 3 0 1 2 3

1 100 56 40 4 0 0,96 58 35 7 0 0,352 100 65 31 4 0 0,96 65 28 7 0 0,28

3 100 56 34 10 0 0,9 62 31 7 0 0,31

4 100 52 41 7 0 0,93 70 28 2 0 0,28

TOTAL 400 229 146 25 0 0,9375 255 122 23 0 0,305

Prob.

Experimental 0,5725 0,365 0,0625 0 0,6375 0,53275 0,15753 0

Prob. Terica 0,5787 0,34722 0,06944 0,00462963 0,5787 0,34722 0,06944 0,00462963

No de veces que ocurre dos (2) No de veces que ocurre seis (6)


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En esta tabla solo se halla la probabilidad experimental total, la cual resulta de la divisin de la

frecuencia total entre el nmero de lanzamientos, es decir entre 400.

La probabilidad terica se hall de la misma manera que en la tabla 2, del espacio muestral, se

tomaban los casos favorables y se dividen entre los casos totales, por ejemplo para el caso en el

que ocurre cero veces el nmero dos, se presentan 125 veces, este valor se divide entre 216, q es

el tamao del espacio muestral y da como resultado la probabilidad terica de dio evento.

Los eventos especficos se explicaran ms a delante.

8.3 REGISTRO DE EVENTOS EN EL DADO DE COLOR

Grupo

No.Lanzamiento

s

Frecuencia de los posibles puntos en el dado decolor

1 2 3 4 5 6

Frecuenciaexperimental de nmero

par

Probabilidad

experimental de

nmero par

Probabilidad

esperadade nmero

par

Frecuenciaesperada de

Nmeropar

1 100 21 13 14 19 17 16 48 48% 50% 50

2 100 18 8 20 30 12 12 50 50% 50% 50

3 100 18 19 18 19 12 14 52 52% 50% 50

4 100 15 24 14 18 16 13 55 55% 50% 50

TOTAL 400 72 64 66 86 57 55

FrecuenciaExperiment

al 72 64 66 86 57 55

Probabilidad Terica

16,7% 16,7% 16,7% 16,7% 16,7% 16,7%

Probabilidad

Experimental 18,0% 16,0% 16,5% 21,5% 14,3% 13,8%

FrecuenciaTerica 50 50 50 50 50 50

Tabla 3 dado de color

La probabilidad terica, es simplemente la probabilidad de xito que tiene la cara de un dado, es

decir 1/6. Y como se ha venido trabajando la probabilidad experimental es la frecuencia entre el

nmero de lanzamientos.


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La probabilidad experimental de numero par por cada grupo, es igual a suma de las frecuencias de

los posibles resultados pares (2, 4, 6) entre el total de lanzamiento que es 100.

De igual forma para la probabilidad experimental de numero impar por cada grupo, es igual a

suma de las frecuencias de los posibles resultados impares (1, 3, 5) entre el total de lanzamiento

que es 100.

9 ANALISIS Y DISCUSION DE

RESULTADOS

9.1 Cul es la probabilidad experimental de que el puntaje total

sumado por los tres dados sea mayor o igual que trece (13)?

Para responder esta incgnita debemos hallar P(X13) lo cual es igual a la acumulacin de las

probabilidades experimentales puntuales de cada suma, a partir de 13, as:

P(X13)= P(X=13) +P(X=14)+ P(X=15)+ P(X=16)+ P(X=17)+ P(X=18)

Estos valores son tomados de la tabla 2, se muestran a continuacin las probabilidades totalesy las individuales del grupo:

|

Como se puede observar la probabilidad de que el puntaje total sumado por los tres dados seamayor o igual a trece es 0,16 basados en la experiencia del grupo individual (error de 38,29%)

Puntaje

total

PROB.

Experiment

al Total

PROB.

Experiment

al Grupo

PROB.

terica

13 0,0975 0,05 0,0972

14 0,0625 0,05 0,0694

15 0,0450 0,03 0,0463

16 0,0225 0,02 0,0278

17 0,0075 0,01 0,0139

18 0,0000 0 0,0046

P(X13) 0,2350 0,16 0,2593


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y 0,235 con la experiencia total con un porcentaje de error de 9,37% mucho menor conrespecto a la terica.

9.2 Cul es la probabilidad experimental de que las caras muestren

un seis (6)?

De la tabla 3 se tiene que la probabilidad experimental total de los 400 lanzamientos es 0,305 lo

cual fue el resultado de la divisin de la frecuencia de que aparezca UN seis (122) entre 400.

La probabilidad experimental del grupo 4 es 0,28. Con una frecuencia de 28 dividida entre los 100

lanzamientos.

Basados en la probabilidad terica de obtener un seis, es decir 0,3472 tenemos que:

9.3 Cul es la probabilidad experimental de que no ocurran dos o

ms dos?

Si se sabe que X es igual al nmero de veces que ocurre el nmero dos, tenemos que la

probabilidad de que no ocurran dos o ms dos es:

P(X


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9.4 Prueba de bondad de ajuste chi cuadrado

Primero se explicaran las supuestas distribuciones que sigue cada evento citado, al que

posteriormente se le realizara una prueba de bondad de ajuste y as comprobar si se ajustan a

ellas:

Si realizamos n veces un experimento, analizando solo la posibilidad de xito o fracaso, si cada

uno de estos es independiente entre s, y si la probabilidad es siempre la misma (uniforme),

entonces la distribucin que aparentemente sigue es binomial. Los eventos que se ajustan a estas

caractersticas son las probabilidades de ocurrencia de dos y de seis.

Como bien sabemos, si se lanza un dado perfecto, todos los resultados tienen la misma

probabilidad de 1/6. Cuando esto ocurre se asume que el experimento sigue una distribucin de

probabilidad uniforme discreta. En el evento del puntaje del dado de color se cumple esta

condicin.

Aunque la suma de los puntajes de los tres dados son valores discretos, se puede observar que en

los datos centrales hay mayor frecuencia que en los valores extremos, lo cual supone una

distribucin normal. Adems, analizando la grfica de los datos, es fcilmente visible la campana

de Gauss. Por esta razn se realizara la prueba de bondad de ajuste para probar normalidad.

Prueba de bondad de ajuste para el nmero de dados en que ocurre dos

Ocurrencia de 2

x: ocurrencia del numero dos en los lanzamientos

Fo(x): distribucion binomial

Ho: los valores de ocurrencia del numero dos F(x) se ajustan a una distribucion binomial Fo(x)

H1: los valores de ocurrencia del numero dos F(x) no se ajustan a una distribucion binomial Fo(x)

Xi e(i)=P(Xi)*400 Oi (Oi-ei)^2/ei Xi P(Xi)

0 231,4814815 229 0,02660148 0 0,5787037

1 138,8888889 146 0,36408889 probab===> 1 0,34722222

2 27,77777778 25 0,27777778 2 0,06944444

3 1,851851852 0 1,85185185 3 0,00462963

e(3) < 5 , por tanto se agrupara las clases 2 y 3

Xi e(i)=P(Xi)*400 Oi (Oi-ei)^2/ei K=2 =0,05

0 231,4814815 229 0,02660148

1 138,8888889 146 0,36408889 Xprueba 1,1141

2--3 29,62962963 25 0,72337963 Xcritico 5,9915

X^2 total 1,11407


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En la anterior imagen se present el procedimiento realizado en la prueba, los valores de las

probabilidades P(Xi) y de las frecuencias observadas (Oi) se tomaron de la tabla 3. Para poder

realizar la prueba chi-cuadrado es necesario que se cumpla que .

De acuerdo a los resultados, el estadstico de prueba es menor que el crtico, por lo tanto no se

rechaza la hiptesis nula y se puede afirmar con una confianza del 95% que la ocurrencia delnmero 2 se ajusta a una distribucin binomial.

Prueba de bondad de ajuste para el nmero de dados en que ocurre seis

De acuerdo a los resultados, el estadstico de prueba es menor que el crtico, por lo tanto no se

rechaza la hiptesis nula y se puede afirmar con una confianza del 95% que la ocurrencia del

nmero 6 se ajusta a una distribucin binomial.

x: ocurrencia del numero seis en los lanzamientos

Fo(x): distribucion binomial

Ho: los valores de ocurrencia del numero seis F(x) se ajustan a una distribucion binomial Fo(x)

H1: los valores de ocurrencia del numero dos F(x) no se ajustan a una distribucion binomial Fo(x)

Xi e(i)=P(Xi)*400 Oi (Oi-ei)^2/ei Xi P(Xi)

0 231,4814815 255 2,38948148 0 0,5787037

1 138,8888889 122 2,05368889 probab===> 1 0,34722222

2 27,77777778 23 0,82177778 2 0,06944444

3 1,851851852 0 1,85185185 3 0,00462963

e(3) < 5 , por tanto se agrupara las clases 2 y 3

Xi e(i)=P(Xi)*400 Oi (Oi-ei)^2/ei K=2 =0,05

0 231,4814815 229 0,02660148

1 138,8888889 146 0,36408889 Xprueba 1,87407

2--3 29,62962963 23 1,48337963 Xcritico 5,99146455

X^2 total 1,87407


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Prueba de bondad de ajuste para el puntaje del dado de color

En este caso, se emplea la prueba de bondad con el fin de verificar que la funcin sigue una

distribucin uniforme discreta, por lo que se plantean las respectivas hiptesis nula y alternativa,

en la siguiente figura se aprecia las probabilidades de cada una de las frecuencias observados y el

respectivo estadstico empleado.

Una vez se obtuvo el resultado de la prueba, se afirma que como el estadstico de prueba es

menor que el estadstico crtico, no se rechaza la hiptesis nula, por lo tanto, con un 95% de

confianza se concluye que el valor del puntaje del dado de color sigue una distribucin uniforme

discreta.


19/25

Prueba de bondad de ajuste para el puntaje total de los tres dados

Una vez se obtuvo el resultado de la prueba, se afirma que como el estadstico de prueba es

menor que el estadstico crtico, no se rechaza la hiptesis nula, por lo tanto, con un 95% de

confianza se concluye que el valor del puntaje del dado de color sigue una distribucin normal.

9.5 Se quiere saber cmo influye el nmero de lanzamientos (n), en

la probabilidad de ocurrencia de los eventos. Escoja un evento

especfico, y analice la relacin existente entre el nmero de veces

que realiza la prueba y la probabilidad obtenida

experimentalmente.

Tomando el evento Q= El puntaje total de los dados sea 10, tenemos las siguientes

probabilidades experimentales de 0,1 y 0,125 para el grupo y el total del curso

respectivamente; sabiendo que la probabilidad terica es de 0,12 calculamos el %error de

cada probabilidad as:

x: Valor del puntaje de la suma de los tres dados

Fo(x): distribucion normal

Ho: los datos del puntaje obtenido de la suma de los 3 dadosF(x) se ajustan a una distribucion normal Fo(x)

H1: los datos del puntaje obtenido de la suma de los 3 dadosF(x) NO se ajustan a una distribucion normal Fo(x)

Xi e(i)=P(Xi)*100 Oi (Oi-ei)^2/ei Xi e(i)=P(Xi)*100 Oi (Oi-ei)^2/ei

3 0,462962963 0 0,46296296 3--4--5--6 9,259259259 16 4,90725926

4 1,388888889 3 1,86888889 7 6,944444444 8 0,16044444

5 2,777777778 1 1,13777778 8 9,722222222 14 1,88222222

6 4,62962963 12 11,7336296 9 11,57407407 9 0,57247407

7 6,944444444 8 0,16044444 10 12,5 10 0,5

8 9,722222222 14 1,88222222 11 12,5 14 0,18

9 11,57407407 9 0,57247407 12 11,57407407 13 0,17567407

10 12,5 10 0,5 13 9,722222222 5 2,29365079

11 12,5 14 0,18 14 6,944444444 5 0,54444444

12 11,57407407 13 0,17567407 15-16-17-18 9,259259259 6 1,14725926

13 9,722222222 5 2,29365079 X^2 prueba 12,3634286

14 6,944444444 5 0,54444444

15 4,62962963 3 0,57362963

16 2,777777778 2 0,21777778 K=13 =0,05

17 1,388888889 1 0,10888889 Xprueba 12,3634286

18 0,462962963 0 0,46296296 Xcritico 16,9189776

ei


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Grupo Total curso Comparando el resultado obtenido a partir de los errores, es claro que el error calculado

con base al grupo (25%) est por encima del error del curso en su totalidad (4%), por lo

que se puede concluir que la probabilidad terica se va a acercar cada vez ms a la

probabilidad experimental al aumentar el nmero de lanzamientos, en otras palabras, el

nmero de lanzamientos es inversamente proporcional al error porcentual de las

probabilidades tericas y experimentales.

En general los porcentajes de error se muestran en las siguientes tablas:

Tabla 5. Probabilidades Experimentales vs Tericas del Grupo 4

PROB.

Experimental

Grupo

PROB.

TericaDiferencia % Error

0,00 0,0046 0,0046 100,00

0,03 0,0138 -0,0162 117,39

0,01 0,0278 0,0178 64,03

0,12 0,0463 -0,0737 159,18

0,08 0,0694 -0,0106 15,27

0,14 0,0972 -0,0428 44,03

0,09 0,1157 0,0257 22,21

0,10 0,125 0,0250 20,00

0,14 0,125 -0,0150 12,00

0,13 0,1157 -0,0143 12,36

0,05 0,0972 0,0472 48,56

0,05 0,0694 0,0194 27,95

0,03 0,0463 0,0163 35,21

0,02 0,0278 0,0078 28,06

0,01 0,0138 0,0038 27,54

0,00 0,0046 0,0046 100,00


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PROB.

Experimental

Total

PROB.

TericaDiferencia % Error

0,0025 0,0046 0,0021 45,65

0,0150 0,0138 -0,0012 8,70

0,0350 0,0278 -0,0072 25,90

0,0500 0,0463 -0,0037 7,99

0,0850 0,0694 -0,0156 22,48

0,1225 0,0972 -0,0253 26,03

0,0900 0,1157 0,0257 22,21

0,1200 0,125 0,0050 4,00

0,1400 0,125 -0,0150 12,00

0,1050 0,1157 0,0107 9,25

0,0975 0,0972 -0,0003 0,31

0,0625 0,0694 0,0069 9,94

0,0450 0,0463 0,0013 2,81

0,0225 0,0278 0,0053 19,06

0,0075 0,0138 0,0063 45,65

0,0000 0,0046 0,0046 100,00

Tabla 6. Probabilidades Experimentales vs Tericas total del curso

La tablas 5 y 6 representan otra evidencia de la conclusin a la que se lleg, se observa losporcentajes de error en la muestra de 400 lanzamientos son inferiores a los de la tabla 5

que corresponde a los errores del grupo, es decir, 100 lanzamientos.


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10 EJERCICIOS

10.1 El jugador A desafa al jugador B en un duelo de tiros libres,

aquel jugador que anote un gol primero gana. Por medio de unsorteo se determina que A ser el primero en patear cada ronda. No

se pact un nmero de rondas, sencillamente el juego contina hasta

que alguno de los jugadores haga un gol. La probabilidad de anotar

es 1/3 para el jugador A y de 1/4 para el jugador B. Determina la

probabilidad de ganar para cada uno de los jugadores.

Para determinar la probabilidad de ganar para cada jugador nos apoyamos en un rbolprobabilstico, el cual sera el siguiente para el jugador A:

Segn esto la probabilidad de ganar del jugador a ser

Como no es conocido el nmero de rondas a jugar, el problema estar determinado por unaserie geomtrica la cual ser:


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Esta razn se multiplicara con la probabilidad de anotar del jugador A para hallar laprobabilidad de ganar el juego, la cual ser: 2 x 1/3 = 2/3.

La probabilidad de ganar para el jugador B ser el complemento lo cual corresponder a 1/3.

10.2 Simulacin 500 resultados

Archivo adjunto de Excel.


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11 CONCLUSION

Gracias a la realizacin de este experimento pudimos obtener una mayor claridad acerca del tema

por otro lado pudimos colocar en prctica los conceptos estadsticos aprendidos acerca de

probabilidad, los resultados obtenidos nos permitieron ver la relacin existente entre el nmero

de veces que se realiza una prueba especfica y la probabilidad que se obtiene experimentalmente,

de lo cual se puede llegar a la conclusin que entre ms veces se realice una prueba, es decir entre

ms datos recolectemos para estudio, ms cerca estaremos a la probabilidad terica del

experimento, en otras palabras que la probabilidad experimental se acercar mucho ms a la

probabilidad terica, por tanto tendremos una mayor veracidad de nuestro experimento.

Otros aspectos que se dedujeron mediante el experimento son los siguientes:

Es claro que el hecho de lanzar dados se ajusta a la teora de probabilidad, lo que indica

que es un experimento aleatorio que est en la capacidad de arrojar cualquier tipo de resultado, ysi es llevado a cabo bajo las mismas condiciones, se obtendrn los mismos resultados y esto se

comprob con la prueba de bondad de ajuste.

Se pudo observar que al aumentar el espacio muestral, los datos experimentales se

ajustaban o se asemejaban a la probabilidad terica debido a que esto dependa del tamao de

la muestra.

Teniendo en cuenta los histogramas realizados y las pruebas de bondad de ajuste es claro

que la probabilidad de que salga una cara de un dado es la misma en todos los casos, dejando

planteando el hecho que se trata de una distribucin uniforme.

Es importante mencionar tambin que segn el puntaje obtenido al lanzar tres dados, el

experimento muestra una distribucin normal, que ser ms definida a medida que se tengan ms

datos de estudio.

Bajo una observacin general los resultados de las probabilidades experimentales y las

probabilidades tericas fueron homogneas, puesto que se eligi una buena cantidad de

repeticiones a realizar, lo que facilito la realizacin de buenas aproximaciones entre la teora y la

prctica.


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BIBLIOGRAFIA

MONTGOMERY, Douglas. Probabilidad y estadstica aplicadas a la ingeniera. Editorial

McGraw Hill.

WALPOLE, Ronald. Probabilidad y estadstica para ingenieros. Prentice-Hall.

ROSS, Sheldom. Introduccin a la Estadstica. Reverte.

lab 1teoria de la probabilidad

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