La ricerca delle relazioni tra fenomeni

Analisi della dipendenzaconcetti generali

• Oltre alla variabilità di un solo fenomeno si può esaminare la variabilità di due serie di valori associati nei singoli termini

• Se su una stessa unità statistica si possono rilevare due o più caratteri è interessante studiare la relazione tra questi caratteri

• Esistono diversi tipi di relazioni statistiche e diversi indici che ne forniscono la misura

• Durante l’accrescimento si possono analizzare le variazioni del peso e della statura considerate singolarmente

• Può essere necessario accertare se i due caratteri antropometrici si modificano insieme cioè se a variazioni del peso corrispondono variazioni della statura e viceversa

Le relazioni tra variabili

• Per definire il tipo di relazione occorre studiare come varia una variabile rispetto all’altra

• Tra due caratteri X e Y vi può essere

concordanzaconcordanza quando alla variazione positiva dell’uno corrisponde

una variazione positiva dell’altro

discordanza discordanza quando alla variazione positiva dell’uno corrisponde

una variazione negativa dell’altro

costanza costanza quando al variare dell’uno l’altro non varia ma rimane

costante

Il diagramma di dispersione

• Per studiare la forma della variabilità di due fenomeni si utilizzano i diagrammi cartesiani riportando i valori di uno dei due fenomeni sull’asse delle ascisse e quelli sull’asse delle ordinate.

• Nel piano delimitato dai due assi si possono individuare i singoli punti che corrispondono alla combinazione dei due valori considerati (nuvola di punti)

• Il grafico viene definito diagramma di dispersione

y . . . . . . .

x

La rappresentazione analitica

• La rappresentazione analitica di una variabile statistica determina una funzione matematica che rappresenta nel modo migliore la distribuzione del fenomeno

• Si sostituisce al diagramma rappresentativo della distribuzione una curva teorica

• Si tratta di determinare una funzione che passi tra i punti e, invece di rispecchiare fedelmente i valori osservati , rappresenti la distribuzione depurandola dagli errori casuali e/o sistematici

• L’adattamento della funzione ai dati consente di risolvere il problema dell’interpolazione che consente di stimare nuovi valori

Linea di interpolazione e linea di regressione • Si può far passare una linea tra i punti della nuvola definita linea interpolatrice che può evidenziare il tipo di relazione tra le variabili (retta di migliore adattamento)

concordanza discordanza indifferenza

• La linea interpolatrice che passa più vicina ai punti sul piano viene definita linea di regressione

Le fasi della rappresentazione analitica

• Scelta del tipo di funzione si deve formulare un modello matematico che fornisca una

descrizione soddisfacente del fenomeno in esame( es. esame

visivo dei dati)

• Calcolo dei parametri incogniti

• Verifica della bontà dell’adattamento

Retta di regressione di y su x• Tracciare una retta interpolatrice (retta di migliore adattamento)

significa determinare l’equazione di una retta che meglio si adatti alla nuvola di punti

• Una retta presenta un buon adattamento rispetto a una generica nuvola di punti quando rende piccolo l’errore totale

Y

yi

yi

x1 x2 xi X

Retta di regressione di y su x• L’errore totale è la distanza verticale dal valore osservato y alla

linea interpolante• (yi – yi) in cui yi è il valore interpolato di y

Y

yi

yi

x1 x2 xi X

• L’equazione generica di una retta che meglio si adatta alla nuvola di punti è del tipo

y = a + b x

Dove y è la variabile dipendente

x è la variabile indipendente

a è il punto di intersezione della retta sull’asse delle Y(ordinate)

b è il punto di inclinazione della retta, coefficiente angolare della

retta (pendenza della retta)

Il parametro b si chiama coefficiente di regressione e fornisce la variazione che in media subisce la variabile dipendente quando la

variabile indipendente subisce un incremento unitario

Equazione della retta

Il coefficiente di regressione• Partendo dalla relazione y = a + b x

Es. X=0 risulta y0 = a

X =1 risulta y1 = a + b

La variabile dipendente è aumentata di b quando la variabile indipendente è aumentata di una unità

Il coefficiente di regressione può essere assunto come misura di dipendenza in media della Y alla X

Se il coefficiente è positivo (b>0) ad un incremento di X corrisponde un incremento di Y (concordanza)

Se è negativo (b<0) ad un incremento di X corrisponde un

decremento della Y (discordanza)

Metodo dei minimi quadrati• Per determinare i valori di a e di b si fa ricorso al metodo dei minimi

quadrati

• Consente di individuare, tra i punti empirici ottenuti dalle rilevazioni, la retta che minimizza le distanze- calcolate sulle verticali dell’asse delle ascisse – tra i valori empirici e quelli teorici che giacciono su di essa

(yi – yi )2 = minimo

yi = le ordinate empiriche (le ordinate dei punti che sono rappresentati sul diagramma di dispersione)

yi = le ordinate teoriche (le ordinate dei punti che giacciono sulla retta)

(yi – yi ) =lo scarto generico (la distanza verticale tra i valori empirici e quelli teorici)

n

i 1

Calcolo della retta di regressione

• Attraverso il metodo dei minimi quadrati si ottengono i valori di a e di b (y = a + bx)

a = y – bx con x = media di x y = media di y

La quantità al numeratore prende il nome di codevianza tra x e y

La quantità al denominatore è la devianza di x che rappresenta il numeratore della varianza

)(

),(

)(

))((

1

2

1

XDEV

YXCOD

xx

yyxxb

n

ii

n

iii

Analisi della regressioneNella tabella sono riportati i valori assunti da due variabili quantitative

(età e pressione sistolica) misurate in 8 soggetti

Soggetto n.° Xi età (anni) Yi PAS

1 22 131

2 28 114

3 35 121

4 47 111

5 51 130

6 56 145

7 67 176

8 81 217

Di quanto varia la pressione sistolica all’aumentare dell’età ?

L’analisi della regressione consente di rispondere a questa domanda

Analisi della regressionedi quanto aumenta mediamente la PAS con l’aumentare di ogni

anno di età ?

• a = y – bx

• b = 4255.62 / 2767.88 = 1.54

• a = 143.1 – (1.54 ● 48,4) = 68.56

• y= 68,56 + 1.54 x

• PAS = 68.56

L’intercetta è quel valore che assume la variabile dipendente quando quella indipendente è uguale a 0

• PAS = 68.56 + 1.54 età

• il coefficiente di regressione esprime quanto varia mediamente la variabile dipendente con il variare di un’unità della variabile indipendente

)(

),(

)(

))((

1

2

1

XDEV

YXCOD

xx

yyxxb

n

ii

n

iii

Definizione

• Si definisce come regressione la relazione statistica esistente tra due variabili legate da rapporto di causa ed effetto tali che, le variazioni dell’una determinano le variazioni dell’altra

• La variabile che si modifica in conseguenza dell’altra si dice dipendente mentre quella che ne determina le variazioni si definisce indipendente

• Indicando con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente si dice che y varia in funzione di x perché esiste una funzione matematica che permette di calcolare le variazioni di y per ogni determinata variazione di x

y = (f) x

Analisi della interdipendenza la correlazione

• L’analisi della regressione lineare mostra in che modo le variabili sono legate tra loro tanto da poter predire il valore di una variabile a partire dall’altra

• È importante esaminare il grado di tale relazione: se la relazione è molto debole non ha alcun senso utilizzare la variabile X per predire la variabile Y

• L’analisi della correlazione spesso assume un’importanza superiore a quella di regressione o, comunque, viene effettuata prima.

La correlazione

• Mentre con la regressione si stima una funzione (equazione di regressione), con l’analisi della correlazione si ottiene solo un numero (indice) che esprime quanto le variabili si muovono insieme

• Si cerca di studiare l’interdipendenza intesa come concordanza o discordanza: si vuole studiare se variando un carattere in un verso, anche l’altro carattere varia nello stesso senso o in senso contrario

L’indice sintetico da costruire mostrerà sia l’esistenza della relazione sia il grado di tale relazione

Correlazione nulla Correlazione positiva

Correlazione negativa

Analisi della correlazione

Nella tabella sono riportati i valori assunti da due variabili quantitative (età e

pressione sistolica) misurate in 8 soggettiSoggetto n.° Xi età (anni) Yi PAS

1 22 131

2 28 114

3 35 121

4 47 111

5 51 130

6 56 145

7 67 176

8 81 217

• Età e pressione tendono ad essere associate?

• All’aumentare di una delle due variabili varia anche l’altra?

• In caso affermativo all’aumentare di una variabile l’altra aumenta o diminuisce?

L’analisi della correlazione consente di rispondere a queste domande

Correlazione lineare

• Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson misura la relazione lineare esistente tra i caratteri X e Y rilevati sulle N unità statistiche

• Il coefficiente di correlazione r può assumere valori che vanno da +1 a -1 passando per 0. La correlazione perfetta tra due variabili è espressa sia da +1 che da -1

• Quando una variabile aumenta all’aumentare dell’altra la correlazione è positiva; quando invece diminuisce all’aumentare dell’altra la correlazione è negativa

2

_2

_

__

)()(

)()(

)devianza(y )devianza(x

y)(x,codevianza

yyxx

yyxxr

Calcolo coefficiente di correlazione

• es. E’ stato rilevato il peso in e la statura su 10 unità. Il ricercatore rappresenta un diagramma di dispersione per verificare se l’area coperta dai punti sia approssimabile a una retta. L’analisi visiva mostra che all’aumentare del peso la statura aumenta in modo quasi lineare e viceversa

statura (x,cm.) peso (y,g) (y-x)cm (y-y)g. (x-x) (y-y) (x-x)2 cm2 (y-y)2 g.2

31 7.8 -5.9 -2.6 15.2 34.8 6.7

32 8.3 -4.9 -2.1 10.2 24.0 4.3

33 7.6 -3.9 -2.8 10.8 15.2 7.7

34 9.1 -2.9 -1.3 3.7 8.4 1.6

35 9.6 -1.9 -0.8 1.5 3.6 0.3

35 9.8 -1.9 -0.6 4.1 3.6 2.0

40 11.8 3.1 1.4 4.4 9.6 2.0

41 12.1 4.1 1.7 7.1 16.8 3.0

42 14.7 5.1 4.3 22.0 26.0 18.7

46 13.0 9.1 2.6 23.8 82.8 6.9

369 103.8 0.0 0.0 99.9 224.9 51.8

Calcolo del coefficiente

• Il coefficiente di correlazione è calcolato a partire dalle coppie di valori osservati

• Si calcola la media di entrambe le variabili

• Si calcolano le deviazioni di ogni singola osservazione dalla propria media, sia per la variabile x che per la variabile y

• Se le due variabili sono positivamente associate, una deviazione di segno positivo per la x tenderà a corrispondere ad una deviazione positiva per la y e, viceversa, una negativa per la x si assocerà ad una negativa per la y

• In entrambi i casi il prodotto delle due deviazioni sarà una quantità positiva. Se le due variabili sono negativamente associate, quando una avrà una deviazione positiva, l’altra tenderà ad avere una negativa e viceversa così che il prodotto delle deviazioni tenderà ad essere una quantità negativa

Calcolo coefficiente di correlazione

• La tabella per il calcolo di r riportaN=10, X = ΣX/n =369/1036.9 cm.;

Y = ΣY/n=103. 8 /10=10.38 g.

Pertanto Σ(X-X)● (Y-Y)=99,9 g. cm. ; Σ(X-X)2=224.9 cm.2

Σ(Y-Y)2=51.8 g.2

Sostituendo i numeri alla definizione di r si ottiene

che rappresenta una ottima correlazione positiva

925.08.519.224

9.99

r

Grado di associazione tra due variabili

rr grado di associazionegrado di associazione

>0,75 molto buono/eccellente

0.50 ┤0.75 moderato/ buono

0.25 ┤0,50 discreto

≤ 0.25 trascurabile

Attenzione!!• Tra due fenomeni esiste relazione statistica quando a variazioni di

un fenomeno corrispondono variazioni dello stesso segno o di segno opposto dell’altro fenomeno

• L’esistenza di una relazione statistica tra due fenomeni indica la possibilità non la necessità che vi sia un rapporto di causa ed effetto

• Due fenomeni si possono modificare insieme pur senza alcuna dipendenza tra loro perché entrambi possono dipendere da un terzo fenomeno non incluso nello analisi della relazione

Mortalità cancro al polmone fumo sigarette, inquinamento...

Mortalità cancro al polmone n.° automobili circolanti

Terzo fattore

Correlazione spuria

Coefficiente di determinazione

• Si dice che esiste regressione lineare quando alle variazioni della variabile indipendente x corrispondono variazioni proporzionali della variabili dipendente y

• La forma della regressione è rappresentata dalla retta di regressione ed esiste una funzione matematica che permette di calcolare le variazioni di y per ogni determinata variazione di x

• Per valutare la bontà dell’adattamento della funzione lineare ai punti empirici si utilizza la misura definita coefficiente di determinazione

• r2 è un indice di accostamento della retta di regressione alla nuvola dei punti ed esprime quanta parte di varianza di una variabile è “spiegata” dalla variabilità dell’altra. Assume valori nell’intervallo (0,1)

22

)()(

)(

YDEVXDEV

XCODr

Coefficiente di determinazione

• Nell’esempio precedente il coefficiente di correlazione

r = 0,92

• Il coefficiente di determinazione

r2= 0,922= 0,85 = (85%)

Ne consegue che 100 – 85= 15% della variazione del peso non è

spiegabile con la variazione dell’altezza