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La retta proiettiva come insieme quozienteLa retta proiettiva come ampliamento della retta affine

ProiettivitàProspettività tra retta

La retta proiettivaappunti del corso di Geometria 1, prof. Cristina Turrini

anno acc. 2008/2009

Cristina Turrini La retta proiettiva



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1 La retta proiettiva come insieme quoziente

2 La retta proiettiva come ampliamento della retta affine

3 Proiettività

4 Prospettività tra retta




La relazione di equivalenza

Consideriamo il piano R2, con coordinate (x0, x1), e poniamo

X = R2 \ {0, 0}.Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza:

Dati (x0, x1), (y0, y1) ∈ X(x0, x1) ∼ (y0, y1) (sonoequivalenti), se∃λ ∈ (R \ {0}) tale che sia(y0, y1) = λ(x0, x1), ovveroy0 = λx0 e y1 = λx1.

Quindi, ad esempio, (1, 3) ∼ (1/5, 3/5).

Esercizio: verificare che ∼ è una relazione di equivalenza




L’insieme quoziente

Se x0 6= 0, (x0, x1) ∼ (y0, y1) vuol dire x1/x0 = y1/y0.Se x0 = 0, (0, x1) ∼ (0, y1) ∀x1, y1 6= 0.Dunque la relazione ∼ identifica tra loro tutti i punti (diversidall’origine) che appartengono ad una stessa retta per l’origine.

Sia (x0, x1) ∈ X; si denota con [(x0, x1)], o anche con (x0 : x1), laclasse di equivalenza di (x0, x1), pertanto

[(x0, x1)] = (x0 : x1) = {(y0, y1) | (y0, y1) ∼ (x0, x1)}.

L’insieme quoziente, ovvero l’insieme delle classi di equivalenza,X/∼ = {(x0 : x1)} rappresenta il fascio di rette per l’origine (ciascunaprivata dell’origine).




La retta proiettiva

X/∼ viene detto retta proiettiva e indicato con P1.Sia l una retta per l’origine e sia(x0 : x1) = l \(0, 0).Se (a0, a1) ∈ l \(0, 0), (a0, a1) vienedetta una coppia di coordinate omogeneedi l.Le coordinate omogenee non sono maicontemporaneamente nulle e sonodefinite a meno di un fattore diproporzionalità λ ∈ (R \ {0}) .

(a0 : a1) viene detto punto di P1.

P1 ←→ fascio di rette per (0, 0)




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3 Proiettività





Coordinate nel fascio di rette

Fissiamo la retta r di equazionex0 = 1.∀ l 3 (0, 0) (diversa dall’assex1), l taglia la retta r nel punto dicoordinate (1, a1/a0).

L’asse x1 ha coordinateomogenee (0, 1).

Si è così definita una corrispondenza biunivocafascio \ { asse x1 } −→ r

l 7−→ (1, a1/a0)ovvero

P1 \ {(0, 1)} −→ A1

(a0 : a1) 7−→ a1/a0(1 : a)←− a

(a0, a1) coordinate omogenee, a coordinata affine




P1 come quoziente e come ampliamentoQuando la retta l del fascio "tende" all’asse x1, il punto (a0 : a1)"tende" a (0 : 1) e il rapporto a1/a0 −→∞ =⇒ P1 "=" A1 ∪ {∞}.

P1 =

(R2 \ {(0, 0)})/ ∼

A1 ∪ {∞}

La corrispondenza biunivocaP1 \ {(0, 1)} −→ A1

(a0 : a1) 7−→ a1/a0si estende a una corrispondenza biunivoca

P1 −→ A1 ∪ {∞}

(a0 : a1) −→

a1/a0 se a0 6= 0

∞ se a0 = 0

che si inverte così a 7−→ (1 : a), se a 6=∞, e∞ 7−→ (0 : 1).Cristina Turrini La retta proiettiva



Modello topologico di P1

Un modello intuitivo di P1 è la circonferenza.

γ circonferenza

Per proiezione da N siinstaura una corrispondenzabiunivocaγ \ {N} −→ r = A1

P 7−→< NP > ∩r

che si può estendere auna corrispondenzabiunivoca γ −→ P1

ponendo N ←→∞

Punti che si "avvicinano" a N, si proiettano su punti che "vannoall’infinito"




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3 Proiettività





Affinità

Considerato P1 = A1 ∪ {∞}, un’affinità α : A1 −→ A1 di equazioneα(x) = ax + b, a 6= 0, può essere interpretata come trasformazioneα̃ : P1 −→ P1 ponendo α̃(∞) =∞ e α̃(x) = α(x), altrove.

Ponendo x = x1/x0, α(x) = x′ = x′1/x′0, α̃ si può anche esprimerein coordinate omogenee così:x′

1x′

0= a x1

x0+ b = ax1+bx0

x0, cioè{

ρx′0 = x0ρx′1 = ax1 + bx0

con ρ 6= 0.

In altri termini si haα̃(x0 : x1) = (x0 : ax1 + bx0)e tale scrittura è valida non solo per i punti di A1, ma anche per ilpunto∞ = (0 : 1), infatti α̃(0 : 1) = (0 : a) = (0 : 1), cioèα̃(∞) =∞.




Proiettività

Le affinità così estese sono casi particolari di trasformazioni detteproiettività(o omografie).Una proiettività di P1 in sè è una trasformazione ω : P1 −→ P1 che,in coordinate omogeneee, si esprime nella forma{

ρx′0 = a00x0 + a01x1ρx′1 = a10x0 + a11x1

oveω((x0 : x1)) = (x′0 : x′1), a00, a01a10a11 ∈ R econ la condizione a00a11 − a01a10 6= 0.

La condizione a00a11 − a01a10 6= 0 si scrive anche | a00 a01a10 a11

| 6= 0 e

garantisce l’invertibità della corrispondenza (si veda dopo).

In coordinate affini x = x1/x0 e x′ = x′1/x′0, ω si esprime nellaforma

x′ = a10+a11xa00+a01x , con | a00 a01

a10 a11| 6= 0.




La definizione è ben posta

Si noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passaai quozienti : P1 = R2 \ {0.0} −→ P1 = R2 \ {0.0}.

In altri termini si ha

ω(λx0 : λx1) = ω(x0 : x1)

Infattiω(x0 : x1) = (a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1) eω(λx0 : λx1) = (a00λx0 + a01λx1 : a10λx0 + a11λx1) =(λ(a00x0 + a01x1) : λ(a10x0 + a11x1)) =(a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1) = ω(x0 : x1)

Non avrebbe alcun senso invece, ad esempio, considerare unacorrispondenza η : P1 −→ P1 definita da η(x0 : x1) = (x0 : x1 + 1),dal momento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3),con (1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) 6= (2 : 3).




Proiettività inversaPer semplicità di scrittura poniamo{ρx′0 = hx0 + kx1ρx′1 = lx0 + mx1

con | h kl m | 6= 0,

ovvero x′ = l+mxh+kx , o, kxx′ − mx + hx′ − l = 0.

Se fosse | h kl m | = 0, si avrebbe la proporzione h : l = k : m, e

quindi ad esempio h = λl, k = λm ex′ = l+mx

λl+λmx = l+mxλ(l+mx) = 1/λ = costante.

L’applicazione pertanto non sarebbe biunivoca.

La condizione | h kl m | 6= 0, permette di invertire ω e l’inversa

ω−1 di ω è definita da

ω−1 : x 7−→ l− hx′

−m + kx′

(la verifica è lasciata per esercizio).Cristina Turrini La retta proiettiva



Caratterizzazione delle affinità

Si consideri la proiettività ω : P1 −→ P1, che, in coordinate affini, siesprime nella forma

x′ = l+mxh+kx , con | h k

l m | 6= 0.

L’immagine, tramite ω del punto all’infinito∞ ∈ P1 èω(∞) = m/k, infatti in coordinate omogenee si haω(x0 : x1) = (hx0 + kx1 : lx0 +mx1), e quindi ω(0 : 1) = (k : m).Viceversa, il punto di P1 che viene trasformato in∞ è −h/k , cioèω(−h/k) =∞, infatti ω(k : −h) = (hk − kh : lk − mh) = (0 : 1).

Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma∞ in∞ (laverifica è lasciata per esercizio).




L’inversione

Un esempio di proiettività che non è un’affinità è l’inversione, ovvero

la trasformazione definita da x′ = 1/x, ossia{

ρx′0 = x1ρx′1 = x0

.

Ogni proiettività può essere ottenuta componendo un numero finito diaffinità e inversioni.

Ad esempio, se k 6= 0, componendo, nell’ordine, l’affinitàx′ = h + kx, con l’inversione x′′ = 1/x′ e con l’affinitàx′′′ = m

k + lk−mhk x′′, si ottiene la proiettività x′′′ = l+mx

h+kx .




Birapporto

Dati quattro punti A, B, C e D di P1, distinti a due a due, se sono tuttipunti al finito (cioè se A, B, C, D ∈ A1), si dice birapporto diA, B, C, D (in quest’ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e(ABD) ovvero il numero reale

(ABCD) = (ABC)(ABD) =

ACBCADBD

= AC·BDAD·BC = (c−a)(d−b)

(d−a)(c−b) =(c1a0−a1c0)·(d1b0−b1d0)(d1a0−a1d0)·(c1b0−b1c0)

, ove a, b, c, d e(a0, a1), (b0, b1), (c0, c1), (d0, d1) denotano rispettivamente lecoordinate affini e le coordinate omogenee dei punti A, B, C, D.La definizione così data si estende anche al caso in cui uno dei punti è∞.




Proiettività e birapporto

Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di puntiallineati, ovvero per una proiettività si ha(ω(A)ω(B)ω(C)ω(D)) = (ABCD).

Per provarlo basta fare la verifica per le affinità (per cui è ovvio, dalmomento che le affinità conservano i rapporti semplici) e perl’inversione (esercizio).

EsempioSe i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora(ABCD) = 4/3.

(ABCD) = AC/BCAD/BD = 2/1

3/2 = 4/3




Proiettività e birapporto

In realtà l’asserzione secondo cui le proiettività conservano ilbirapporto delle quaterne di punti allineati può anche essere invertita,ovvero le proprietà di conservare il birapporto caratterizza leproiettività.

In altri termini si ha: una trasformazione della retta proiettiva in sè èuna proiettività se e solo se conserva i birapporti.

Inoltre, dati sulla retta tre punti distinti A, B e C ed altri tre puntidistinti A′, B′ e C′ esiste un’unica proiettività che mutarispettivamente A, B e C in A′, B′ e C′ e l’equazione di tale proiettivitàpuò essere ottenuta così:

(ABCX) = (A′B′C′X′).




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3 Proiettività





Sono equidistanti?

Possiamo stabilire se nella realtà i birilli qui fotografati sono dispostia intervalli regolari lungo una retta?

Per rispondere dobbiamo fare una digressione.




ProspettivitàLa definizione di proiettività di una retta in sè si estende in modoovvio a proittività tra rette distinte.

Esempi significativi di proiettività tra rette (complanari) sono leprospettività. Dati nel piano due rette r ed r′ ed un punto V fuori daesse, si può definire un’applicazione da P1 = r ∪ {∞} aP1 = r′ ∪ {∞′}, per proiezione da V, come in figura.

Il punto di intersezione di r con la parallela a r′ mandata da V vienetrasformato nel punto improprio∞′ di r′. Il punto improprio∞ di rviene trasformato nel punto di intersezione di r′ con la parallela a rper V .




Un esempio di prospettività

Le prospettività sono proiettività. Verifichiamo questa asserzione suun esempio.

Supponiamo che le rette r ed r′ sianorispettivamente l’asse delle ordinate el’asse delle ascisse, e che il centro diproiezione sia il punto V ≡ (−1, 1). Laprospettività di centro V associa al puntoP ≡ (0, t) il punto P′ ≡ (t′, 0), tale chesia t′ = t

1−t

La prospettività è pertanto la proiettività di equazione x′ = x1−x .

Si potrebbe dimostrare che una qualsiasi proiettività può essereottenuta come composizione di prospettività.




Quattro punti allineatiLa corrispondenza che sussiste tra i quattro punti allineati A, B, C, D ele loro immagini A′, B′, C′, D′ sul quadro è la prospettività di centro V.

Abbiamo già visto che, se iquattro punti sonoequidistanziati, il birapporto(ABCD) è 4/3.

Quindi anche il birapporto (A′B′C′D′) deve essere 4/3 (il birapporto èun invariante proiettivo).Il nostro occhio è abituato a riconoscere immagini di oggetti dispostiin modo regolare, cioè a "calcolare birapporti".


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