la projection oblique et la projection...
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CHAPITRE 2
~Notes de cours~
&
~exercices~
Établir des liens pour modéliser
VISION 2
Mathématique 3e secondaire
Collège Regina Assumpta
2017 – 2018
Nom : _____________________________
Groupe : _____
Chapitre 2/NOTES DE COURS 3
~notes de cours~
LES VARIABLES INDÉPENDANTES ET DÉPENDANTES
Exemple 1 : Félix et Gabriel au TAZ
Félix et Gabriel, qui habitent le quartier Ahuntsic, décident d’aller passer l’après-
midi au TAZ pour faire de la planche à roulettes. Félix affirme qu’il roule en
moyenne à 10 km/h et il se demande combien de kilomètres il aura parcourus
au courant de son après-midi. L’équation lui permettant de faire ce calcul est la
suivante : 𝑑 = 10𝑡 où 𝑑 représente la distance parcourue en km et 𝑡 le temps
en heures.
a) Dans cette situation, quelles sont les variables que nous observons?
1. la distance parcourue en km
2. le temps en heures
b) Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?
La variable dépendante est : la distance parcourue en km
La variable indépendante est : le temps en heures
La variable indépendante prend des valeurs arbitraires.
Elle est associée à l’axe des abscisses (axe des x).
La variable dépendante dont les valeurs dépendent des valeurs prises par la variable
indépendante.
Elle est associée à l’axe des ordonnées (axe des y).
Variable
Chapitre 2/NOTES DE COURS 4
c) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.
𝑑 = 10𝑡
Distance parcourue par Félix selon le temps écoulé
d) Construis le graphique représentant la distance parcourue par Félix selon
le temps écoulé.
e)
Temps (h)
0 0,5 1 3 4
Distance (km)
0
5
10 30 40
Variable dépendante
Variable indépendante
Variable indépendante
Variable dépendante
Chapitre 2/NOTES DE COURS 5
e) Félix est très fier de lui! Son odomètre indique une distance totale parcourue
de 28 km. Combien de temps s’est-il amusé au TAZ avec son ami Gabriel?
Si d = 28 : 𝒅 = 𝟏𝟎𝒕
𝟐𝟖 = 𝟏𝟎𝒕 𝟐, 𝟖 = 𝒕
Félix s’est amusé pendant 2,8 heures, soit 2 heures et 48 minutes!.
f) Si Félix arrive au TAZ à 13h30 et quitte à 15h15, quelle distance aurait-il
parcourue? Entre 13h30 et 15h15, il y a 1h45, soit 1,75 heure (𝟒𝟓
𝟔𝟎=
𝟑
𝟒= 𝟎, 𝟕𝟓)
Si t = 1,75: 𝒅 = 𝟏𝟎𝒕 𝒅 = 𝟏𝟎 × 𝟏, 𝟕𝟓
𝒅 = 𝟏𝟕, 𝟓 Félix aura parcouru 17,5 km.
g) En arrivant au TAZ, l’ami de Gabriel doit se louer un casque. Il en coûte 2$ par
personne pour la location du casque. L’équation lui permettant de faire le calcul
des gains associé à la location des casques : 𝑔 = 2𝑝 où 𝑔 représente les gains
en $ et 𝑝 le nombre de personnes. Un maximum de 8 casques est disponible
pour la location au TAZ.
Nombre de personnes
Gains ($)
Peux-tu relier les points? Non car il est impossible
d’avoir des fractions de personne (tiers de personne, demi-personne, etc.).
Gains selon le nombre de personnes
Chapitre 2/NOTES DE COURS 6
Exemple 2 : L’emploi d’été de Julie
Lors des vacances d’été, Julie décide de garder des enfants afin de se faire
un peu d’argent de poche. La personne qui l’engage lui propose 10$ pour son
déplacement et ensuite 8$/h pour ses heures de gardiennage.
a) Dans cette situation, quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?
La variable dépendante est : Salaire d’une soirée de gardiennage
La variable indépendante est : Nombre d’heures de gardiennage
b) Détermine l‘équation correspondante à cette situation en sachant que 𝑠
représente le salaire d’une soirée de gardiennage et 𝑡 le nombre d’heures
travaillées. 𝒔 = 𝟖𝒕 + 𝟏𝟎
c) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.
Salaire d’une soirée de gardiennage
d) Construis le graphique représentant le salaire d’une soirée de gardiennage en
fonction du nombre d’heures travaillées.
Nombre d’heures de gardiennage
2 2,5 3 3,5 4,5 5
Salaire d’une soirée de gardiennage
26 30 34 38 46 50
Salaire d’une soirée ($)
Nombre d’heures
Salaire d’une soirée de gardiennage
Peux-tu relier les points?
Source :
www.municipalite.austin.qc.ca
Chapitre 2/NOTES DE COURS 7
e) Julie aimerait beaucoup s’acheter un ensemble de crayons à dessins qu’elle a vu
à la librairie. Cet ensemble est vendu 42$ avec les taxes. Combien d’heures
devra-t-elle garder pour amasser cette somme?
Si s = 42 : 𝟒𝟐 = 𝟖𝒕 + 𝟏𝟎
𝟑𝟐 = 𝟖𝒕 𝟒 = 𝒕 Julie devra travailler 4 heures.
f) Jessica, une amie de Julie, a gardé ses petits voisins et elle a amassé 55$ lors
de sa soirée. Elle taquine son amie en lui mentionnant qu’elle a gagné plus
qu’elle lors de ces 7 heures de gardiennage. Julie, qui calcule rapidement, lui
répond qu’elle a tort! Effectue les calculs qui permettront à Julie de prouver à son
amie qu’elle a raison.
Si t = 7 : 𝒔 = 𝟖𝒕 + 𝟏𝟎 𝒔 = 𝟖 × 𝟕 + 𝟏𝟎
𝒔 = 𝟔𝟔 Julie a gagné 66$, c’est donc plus que son amie Jessica qui a gagné 55$.
LE TAUX DE VARIATION
Exemple 3 : L’emploi d’été de Félix
Félix, un ami de Julie, décide de proposer à ses
voisins ses services d’entretien de terrains et de pelouses. Il espère pouvoir
gagner suffisamment de d’argent pour pouvoir aller au TAZ durant l’année
scolaire. Comme il est sérieux, il décide de s’acheter une tondeuse électrique et
tout le matériel nécessaire pour bien faire son travail. Il a déboursé un montant
total de 300$. L’équation permettant de calculer son salaire total
d’été est : 𝑠 = 10𝑡 − 300 en sachant que 𝑠 représente le salaire total de son été
et 𝑡 le temps en heures passé à entretenir terrains et pelouses.
a) Dans cette situation, quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?
La variable dépendante est : salaire total ($)
La variable indépendante est : temps à entretenir terrains et pelouses (h)
Variable
Chapitre 2/NOTES DE COURS 8
b) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.
Salaire de Félix pour l’entretien de terrains et pelouses
c) Construis le graphique représentant la somme amassée par Félix en fonction du
nombre d’heures travaillées.
d) En combien d’heures de travail aura-t-il rentabilisé son investissement de départ?
En 30 heures.
e) S’il travaille 37 heures durant l’été, combien d’argent aura-t-il gagné?
Il gagnera 70$.
f) Combien a-t-il travaillé d’heures si son salaire de l’été est de 175$?
Il a travaillé 47,5 heures.
temps à entretenir terrains et pelouses (h)
0 15 40 50 80 120
salaire total ($)
-300 -150 100 200 500 900
Peux-tu relier les points?
Chapitre 2/NOTES DE COURS 9
g) En sachant qu’il lui coûte environ 15$ pour une journée au TAZ, combien
d’heures doit-il travailler cet été pour être en mesure d’aller y passer 15 journées?
Pour 15 journées, il doit prévoir (15 x 15) 225$ : 𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝒕 − 𝟑𝟎𝟎
5𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝒕
52,5 = t
Félix devra travailler 52,5 heures cet été.
h) Détermine le salaire horaire de Félix?
En utilisant (50, 200) et (80, 500), le salaire horaire est :
(𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎)$
(𝟖𝟎 − 𝟓𝟎)𝒉=
𝟑𝟎𝟎$
𝟑𝟎𝒉= 𝟏𝟎 $/𝒉
Même résultat avec (15, -150) et (40, 100)
(𝟏𝟎𝟎 − −𝟏𝟓𝟎)$
(𝟒𝟎 − 𝟏𝟓)𝒉=
𝟐𝟓𝟎$
𝟐𝟓𝒉= 𝟏𝟎 $/𝒉
i) Compare le salaire horaire à l’équation trouvée en b). Que remarques-tu?
Le taux de variation correspond au coefficient de la variable indépendante.
Dans notre exemple, ce taux est de 10.
Une manière simple de calculer un taux de variation « 𝑎 » est :
1) d’identifier 2 couples (𝑥1, 𝑦1) 𝑒𝑡 (𝑥2, 𝑦2) issus de la situation et
2) d’établir le taux correspondant aux variations des variables dépendantes et
indépendantes.
Le TAUX DE VARIATION de la situation ou de la droite passant par deux points se
calcule à l’aide de la formule :
𝑎 = ∆𝒚
∆𝒙 ou 𝒂 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
Le salaire horaire représente un TAUX UNITAIRE qu’on appelle le TAUX DE VARIATION de la situation.
Chapitre 2/NOTES DE COURS 10
Exemple 4 : Maxime dans son bain
Maxime décide de se faire couler un bain. Au début, le bain est vide et il laisse
couler l’eau à débit constant pendant 12 minutes. Le niveau d’eau atteint 12
cm et c’est alors que Maxime embarque dans son bain avec détermination, ce
qui fait grimper d’un coup le niveau d’eau à 24 cm. Il ferme le robinet
vigoureusement et, satisfait de la température de l’eau, il s’y laisse baigner
pendant 8 minutes. Il décide ensuite de réchauffer un peu son eau et laisse
couler le robinet à débit constant pendant 6 minutes. Le niveau d’eau passe
donc de 24 cm à 30 cm. Heureux comme un poisson dans l’eau, il y marine
pendant 10 minutes. Lasse (et ratatiné!), il tire le bouchon et laisse le bain se
vider de façon constante pendant 2 minutes avant de sortir.
Niveau d’eau dans le bain de Maxime
a) Dans cette situation, quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?
La variable dépendante est : temps écoulé (min.)
La variable indépendante est : niveau d’eau dans le bain (cm)
(cm)
(min)
Phase 1
Phase 2
Phase 3 Phase 4
Phase 5
Phase 6
Chapitre 2/NOTES DE COURS 11
b) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.
Temps écoulé (min)
0 12 20 26 36 38
Niveau d’eau (cm)
0 12 24 30 30 0
c) Calcule le taux de variation des phases ci-dessous :
Phase 1 Phase 3 Phase 4 Phase 5 Phase 6
𝒂 = ∆𝒚
∆𝒙
𝒂 = 𝟏𝟐−𝟎
𝟏𝟐−𝟎
𝒂 = 𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝒂 = 1 cm/min
𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒂 = 𝟐𝟒−𝟐𝟒
𝟐𝟎−𝟏𝟐,𝟏
𝒂 = 𝟎
𝟕,𝟗
𝒂 = 0 cm/min
𝒂 = ∆𝒚
∆𝒙
𝒂 = 𝟑𝟎−𝟐𝟒
𝟐𝟔−𝟐𝟎
𝒂 = 𝟔
𝟔
𝒂 = 1 cm/min
𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒂 = 𝟑𝟎−𝟑𝟎
𝟑𝟔−𝟐𝟔
𝒂 = 𝟎
𝟏𝟎
𝒂 = 0 cm/min
𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒂 = 𝟎−𝟑𝟎
𝟑𝟖−𝟑𝟔
𝒂 = −𝟑𝟎
𝟐
𝒂 = -15 cm/min
Exemple 5 : Balade en décapotable! Camille a une soirée au restaurant pour la fête d’une amie. Au moment où elle met sa
décapotable en marche, le réservoir d’essence contient 33 litres. Elle roule à vitesse
constante pendant 2 heures. Arrivée à destination, son réservoir ne contient plus que 21
litres d’essence. Elle fait le plein d’essence en 0,05 heure, soit 3 minutes! Le niveau
remonte à 36 litres dans le réservoir. Après deux heures de plaisir au resto, elle quitte et
roule doucement à vitesse constante pendant 3 heures pendant lesquelles le réservoir
d’essence se vide de 6 litres. Anxieuse d’arriver à la maison, elle accélère sa course et
roule à vitesse constante pendant 1 longue heure. Arrivée chez elle, il ne reste plus que
24 litres d’essence dans le réservoir de sa décapotable.
a) Dans cette situation, quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?
La variable dépendante est : quantité d’essence dans le réservoir (L)
La variable indépendante est : temps écoulé (h)
Niveau d’eau dans le bain de Maxime
Chapitre 2/NOTES DE COURS 12
b) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.
Quantité d’essence selon le temps écoulé
c) Construis le graphique représentant cette situation.
d) Calcule le taux de variation des phases ci-dessous :
Temps écoulé (h)
0 2 2,05 4,05 7,05 8,05
Quantité d’essence (L)
33 21 36 36 30 24
Phase 1 Phase 3 Phase 4 Phase 5
𝒂 = ∆𝒚
∆𝒙
𝒂 = 𝟐𝟏−𝟑𝟑
𝟐−𝟎
𝒂 = −𝟏𝟐
𝟐
𝒂 = -6 L/h
𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒂 = 𝟑𝟔−𝟑𝟔
𝟒,𝟎𝟓−𝟐,𝟎𝟓
𝒂 = 𝟎
𝟐
𝒂 = 0 L/h
𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒂 = 𝟑𝟎−𝟑𝟔
𝟕,𝟎𝟓−𝟒,𝟎𝟓
𝒂 = −𝟔
𝟑
𝒂 = -2 L/h
𝒂 = ∆𝒚
∆𝒙
𝒂 = 𝟐𝟒−𝟑𝟎
𝟖,𝟎𝟓−𝟕,𝟎𝟓
𝒂 = −𝟔
𝟏
𝒂 = -6 L/h
Peux-tu relier les points?
Chapitre 2/NOTES DE COURS 13
e) Observations sur le taux de chacune des phases du graphique.
Le taux de variation (𝑎) est directement relié à l’allure de la droite.
Si… Le taux de
variation est… Le graphique est une droite… Allure du graphique
𝑎 > 0 positif
ascendante (qui monte)
𝑎 < 0 négatif
descendante (qui descend)
𝑎 = 0 nul
horizontale
Exemples sans mise en situation:
Détermine le taux de variation des droites suivantes.
a) Calculs :
b) Calculs :
𝒂 = 1
𝒂 = 𝟏
𝟑
Chapitre 2/NOTES DE COURS 14
c) 45
Calculs :
d) Calculs :
𝒂 = −𝟑
𝒂 = −𝟐
𝟓
Chapitre 2/NOTES DE COURS 15
e) Associe chacune des équations suivantes au graphique correspondant.
𝑦1 = 2
1 𝑥 + 1 𝑦2 =
2
3 𝑥 + 1 𝑦3 = −2𝑥 + 1 𝑦4 =
3
2𝑥 + 1
Équation : 𝒚𝟒 = 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟏
Équation : 𝒚𝟏 = −𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏
Équation : 𝒚𝟐 = 𝟑
𝟐𝒙 + 𝟏 Équation : 𝒚𝟑 = −𝟐𝒙 + 𝟏
Chapitre 2/NOTES DE COURS 16
LA RÉCIPROQUE D’UNE RELATION
Dans la réciproque d’une relation, les rôles sont inversés! Il faut intervertir les variables
indépendante et dépendante.
Exemple 6 : La frontière des degrés (tiré du manuel Intersection, 2e cycle du secondaire, 1re année, p.66)
Julie est une peintre québécoise. Pendant deux semaines, elle
expose ses œuvres à New York. Durant son séjour, elle doit
constamment effectuer des conversions de mesures, entre
autres lorsqu’elle veut connaître la température.
Voici deux formules :
𝐶 = 5
9(𝐹 − 32) 𝑒𝑡 𝐹 =
9
5𝐶 + 32
L’une permet de calculer la température en degrés Celsius (C)
à partir de la température exprimée en Fahrenheit (F). L’autre permet de calculer la
température en degrés Fahrenheit à partir de la température exprimée en degrés
Celsius.
a) Julie a tracé, à l’aide de la table de valeurs ci-dessous, un graphique pour l’aider
à convertir ses températures plus rapidement.
Température
en
Fahrenheit
(𝐹)
Température
en Celsius (𝐶)
14 -10
32 0
41 5
59 15
68 20
Variable
goscandinavia.about.com
Relation Fahrenheit- Celsius
Chapitre 2/NOTES DE COURS 17
b) Quelle formule Julie a-t-elle utilisée pour compléter la table de valeurs et tracé son
graphique? 𝑪 = 𝟓
𝟗(𝑭 − 𝟑𝟐)
Vince est un Américain. Chaque hiver, il vient passer une fin de semaine dans les
Laurentides pour pratiquer son sport favori, le ski alpin. Contrairement à Julie, Vince doit
transformer la température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit : c’est la
relation réciproque de celle de Julie.
c) Dresse une table de valeurs dans laquelle la variable indépendante est la
température en degrés Celsius. Puis, construis le graphique qui lui est associé.
Relation Celsius-Fahrenheit
e) Compare les graphiques en a) et c). À quels endroits la droite
de chaque graphique croise-t-elle les axes des abscisses et des ordonnées?
Intersection avec l’axe des abscisses
Intersection avec l’axe des ordonnées
Relation Fahrenheit- Celsius
(32,0) (0;-𝟏𝟕, �̅�) ou (𝟎, − 𝟏𝟔𝟎
𝟗)
Relation Celsius-Fahrenheit (réciproque)
(-𝟏𝟕, �̅�;0) ou (− 𝟏𝟔𝟎
𝟗, 𝟎) (0,32)
Température en Celsius (C)
-10 0 5 15 20
Température en Fahrenheit (F)
14 32 41 59 68 Peux-tu relier les points?
Chapitre 2/NOTES DE COURS 18
f) Énonce une conjecture (une hypothèse) sur les couples des deux relations.
Les coordonnées des couples de la relation réciproque sont inversées par
rapport à la relation de départ.
g) Démontre algébriquement que les deux formules pour convertir les températures
sont équivalentes.
𝐹 = 9
5𝐶 + 32
𝐹 − 32 = 9
5𝐶
𝐶 = 5
9(𝐹 − 32)
Exemple 7 : Avoir l’essence des affaires… Petro et Mishel font du covoiturage pour aller au travail. À tour de rôle, chacun utilise sa
voiture pour aller et est responsable de payer l’essence de sa voiture. Petro n’a jamais
d’argent comptant sur lui. Lorsqu’il arrive à la station-service, il fait le plein de sa voiture
et paie le montant d’argent selon le nombre de litres d’essence utilisés. Voici la relation
entre 𝑐 le coût d’un plein d’essence ($) et 𝑞 la quantité achetée (L).
𝑐 = 1,25𝑞
a) Dans cette situation, quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?
La variable dépendante est : coût d’un plein d’essence ($)
La variable indépendante est : la quantité achetée (L)
b) Complète la table de valeurs suivante.
Coût d’un plein d’essence selon la quantité achetée
c) Calcule le taux de variation.
𝒂 =∆𝒄
∆𝒒=
𝟏𝟎 − 𝟓
𝟖 − 𝟒=
𝟓
𝟒= 𝟏, 𝟐𝟓 $/𝑳
Quantité achetée (L)
2 4 8 10 12 16
Coût d’un plein d’essence ($)
2,5 5 10 12,5 15 20
Chapitre 2/NOTES DE COURS 19
De son côté, Mishel déteste acheter à crédit, il préfère payer comptant la majorité de ses
achats pour ne pas avoir de surprises en recevant son compte de carte de crédit. Lorsqu’il
arrive à la station-service, il achète la quantité d’essence qu’il peut en fonction de l’argent
comptant qu’il a sur lui. Voici la relation entre 𝑞 la quantité utilisée (l) et 𝑐 le coût d’un plein
d’essence ($).
𝑞 = 0,8𝑐
d) Complète la table de valeurs suivante.
Quantité d’essence achetée selon le montant d’argent déterminé
e) Calcule le taux de variation de cette réciproque.
𝒂 =∆𝒒
∆𝒄=
𝟖 − 𝟒
𝟏𝟎 − 𝟓=
𝟒
𝟓= 𝟎, 𝟖 𝒍/$
f) Démontre algébriquement que les deux équations sont équivalentes.
𝑞 = 0,8𝑐 ou 𝑞 = 8
10𝑐
𝑞 ÷ 0,8 = 𝑐 ou 𝑞 ÷8
10= 𝑐
𝑞
0,8= 𝑐 ou 𝑞 ×
10
8= 𝑐
1,25 q = c ou
5𝑞
4 = c
Coût d’un plein d’essence ($)
2,5 5 10 12,5 15 20
Quantité utilisée (l)
2 4 8 10 12 16
C’est la réciproque!
Chapitre 2/NOTES DE COURS 20
Exemple 8 : L’ombre et le temps qui passe (tiré du manuel Intersection, 2e cycle du secondaire, 1re année, p.68)
Dans le cadre d’une expérience en science et technologie, Célina
mesure l’ombre d’un poteau d’une traverse piétonne à différents
moments de la journée. Elle commence à prendre
ses mesures à 7h00, soit une heure après le lever
du soleil. Célina consigne ses données dans un
plan cartésien.
a) Célina n’a pas identifié les axes de son plan
cartésien. Que doit-elle indiquer sur l’axe
des abscisses? Et sur l’axe des
ordonnées?
Axe des abscisses (variable indépendante):
Temps écoulé depuis le lever du
soleil
Axe des ordonnées (variable dépendante):
La longueur de l’ombre du poteau
b) Peut-elle relier les points de son graphique? Justifie ta réponse. Si oui, relie les
points sur le plan cartésien. Oui, car il existe plusieurs valeurs entre les
entiers (heures, minutes, secondes)
Dans le cadre de son expérience, Célina apprend que, il y a plusieurs milliers d’années,
on déterminait l’heure de la journée à l’aide de l’ombre d’un bâton planté dans le sol. La
longueur de l’ombre du bâton permettait de connaître l’heure.
c) Cette relation est la réciproque de celle établie par Célina. Pourquoi?
Car l’heure devient la variable dépendante et la longueur de l’ombre du
bâton devient la variable indépendante.
http://comment-faire-.blogspot.ca/2011/12/comment-
faire-un-cadran-solaire.html
Chapitre 2/NOTES DE COURS 21
d) Construis le graphique de cette réciproque. Dans celui-ci, le temps écoulé depuis
le lever du soleil est la variable dépendante et la longueur de l’ombre la variable
indépendante.
L’ÉQUATION DE LA RÉCIPROQUE
Trouve l’équation de la relation réciproque des exemples 1 à 3 travaillés au début du
chapitre 2.
Équation Équation de la réciproque
Exemple 1 :
Félix et Gabriel au TAZ 𝑑 = 10𝑡
𝒕 = 𝒅
𝟏𝟎
Exemple 2 :
L’emploi d’été de Julie 𝑠 = 8𝑡 + 10
𝒕 = 𝒔 − 𝟏𝟎
𝟖
Exemple 3 :
L’emploi d’été de Félix 𝑠 = 10𝑡 − 300
𝒕 = 𝒔 + 𝟑𝟎𝟎
𝟏𝟎
Variable
Peux-tu relier les points?
Temps écoulé depuis le lever du soleil
Longueur de l’ombre
Le temps écoulé selon la longueur de l’ombre
1 2 3 4 5
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Chapitre 2/NOTES DE COURS 22
RELATION ET FONCTION
Voici le graphique illustrant une certaine relation entre 𝑐 et 𝑑. Complète d’abord la table de valeurs suivante pour la relation qui est déjà tracée.
Complète ensuite cette table de valeurs correspondant à quelques points de la
réciproque de cette relation.
Trace (dans le même plan cartésien) la réciproque de cette relation, à l’aide de la table
de valeurs que tu viens de dresser.
c -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
d 32 18 8 2 0 2 8 18 32
d 32 18 8 2 0 2 8 18 32
c -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Variable
Chapitre 2/NOTES DE COURS 23
FONCTIONS
Une fonction est une relation entre deux variables qui fait correspondre à chaque valeur
de x (variable indépendante) aucune ou une seule valeur de y (variable dépendante).
On obtient ainsi des couples de nombres (𝑥, 𝑦) ou (𝑥, 𝑓(𝑥)) qui permettent de la
représenter.
Exemple 10 : Le collectionneur! Tristan collectionne les cartes de hockey. Un jour, il découvre LA carte de
ses rêves : Alex Ovechkin recrue!!
Comme nous le savons, la valeur des cartes de hockey varie dans le
temps. Voici représentée l’évolution de la valeur de la carte de Tristan au fil des ans
depuis son achat.
Est-ce que le graphique ci-dessous représente une fonction ? oui
Valeur de la carte de Tristan selon le temps écoulé
Il est à noter que le graphique de la relation réciproque que tu as tracé à la page
précédente n’est pas une fonction !
Chapitre 2/NOTES DE COURS 24
Nombre d’années écoulées selon la valeur de la carte
On remarque que les variables indépendantes et dépendantes
ont été inversées puisqu’on observe le phénomène «dans l’autre sens».
On s’intéresse donc à la réciproque de la fonction.
Nous remarquons (à l’aide du graphique) qu’il y a 2 valeurs pour l’abscisse 6 : (6,1)
et (6, 5). Ce graphique n’illustre donc pas une fonction ! Il s’agit
ici d’une relation entre les variables valeur de la carte et nombre
d’années écoulées depuis l’achat.
Par contre, le graphique de la réciproque d’une fonction est un outil très utile. Il devient
important au moment de regarder le phénomène observé dans son ensemble une fois
les variables inversées.
Chapitre 2/NOTES DE COURS 25
Exemple 11 : - 50ºC sous les tropiques
Un avion décolle de Pointe à Pitre, la capitale de la Guadeloupe. Au
moment de décoller, des petits écrans s’allument et affichent aux
passagers certaines informations relatives au vol : l’altitude de l’avion
et les conditions météorologiques extérieures. Au sol, la température
extérieure est élevée (30ºC), le climat est humide et le soleil radieux.
L’avion décolle. Quelques minutes après le début de l’ascension dans
les airs, on peut lire que la température extérieure a chuté de 15ºC.
Les passagers discutent de ce curieux phénomène. Un quart d’heure
plus tard, on entend les passagers s’inquiéter car la température
continue de chuter et l’avion monte toujours!
Peu de temps après, l’avion atteint son altitude de croisière : 35 000 pieds.
On peut lire sur les écrans : température extérieure : -50 ºC !
Le commandant de bord prend alors la parole pour rassurer les passagers : «Ne vous
inquiétez pas, l’avion est bien pressurisé. C’est un phénomène tout à fait normal qui se
produit car plus l’altitude augmente, plus la température extérieure diminue».
Est-ce que le graphique ci-dessous représente une fonction ? oui
La température à différentes altitudes
(ºC)
(milliers de pieds)
Source :
http://www.stencilpochoir.com/poch
oirs%20divers/palmiers%20cailloux
p.jpg
Chapitre 2/NOTES DE COURS 26
On voit clairement que plus l’altitude augmente, plus la température extérieure diminue.
La réciproque peut être ici un outil très intéressant pour observer globalement de quelle
manière se comporte l’altitude en fonction de la température extérieure.
L’altitude pour certaines températures données
Est-ce que le graphique de la réciproque ci-dessus représente une fonction ? oui
Car une température donnée ne peut être observée qu’à une seule altitude (pour
chaque valeur de la variable indépendante il y a au plus une valeur de la variable
dépendante).
(milliers de pieds)
(ºC)
Chapitre 2/NOTES DE COURS 27
EN RÉSUMÉ…
Pour construire une table de valeurs d’une fonction, il faut :
bien identifier la variable indépendante et la variable dépendante,
construire la table en rangées ou en colonnes et inscrire les variables en
débutant par la variable indépendante dans la première rangée ou colonne,
inscrire les principales valeurs de la variable indépendante et calculer les
valeurs de la variable dépendante,
donner un titre à la table de valeurs pour obtenir plus de clarté.
Pour construire un graphique d’une fonction, il faut :
identifier la variable indépendante que l’on associe à l’axe des abscisses et
la variable dépendante que l’on associe à l’axe des ordonnées,
bien graduer les deux axes selon les valeurs prises pour chacune des
variables,
identifier les coordonnées de la table de valeurs, les reporter sur le plan
cartésien et les relier par une courbe,
donner un titre au graphique pour obtenir plus de clarté.
Pour écrire la règle (équation) d’une fonction, il faut :
identifier les variables utilisées,
trouver la règle de correspondance entre les variables,
isoler la variable dépendante.
Chapitre 2/NOTES DE COURS 28
LES ENSEMBLES DE NOMBRES Lorsque l’on travaille avec la relation de Pythagore, on doit utiliser la racine carrée et il arrive souvent que l’on doive utiliser
des nombres qui ne sont pas entiers… Voici un petit tableau résumé sur les ensembles de nombres.
Nombres rationnels : chacun des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers (dénominateur doit être différent de zéro). La partie décimale de ces nombres est finie ou infinie et périodique. La période est le groupe de chiffres qui se répètent indéfiniment.
Nombres irrationnels : chacun des nombres ne pouvant pas s’écrire sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. La partie décimale de ces nombres est infinie et non périodique.
Nombres entiers : chacun des nombres entiers positifs, négatifs ou nul.
Nombres naturels : chacun des nombres entiers positifs ou nul. N
Z
Q
Nombres réels : chacun des nombres rationnels et irrationnels réunis. R
Q’
4
17
= 0,142 857 142 857 142… = 0, 142 857
la période
-1000 -15 53
75 10 0
- 13
= - 0,333 333 … = - 0, 3 74
= 1,750 000… = 1,75 0 = 1,75
Rationnel : qui appartient à la raison. Irrationnel : qui est contre la raison.
22
3
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 29
Les ensembles de nombres sont représentés par des lettres :
Le symbole N vient du mot italien naturale, qui veut dire naturel.
Le symbole Z vient du mot allemand zahl, qui veut dire nombre.
Le symbole Q vient du mot italien quotiente, qui veut dire quotient.
Le symbole R vient du mot allemand real, qui veut dire réel.
Ces symboles viennent tout simplement des mathématiciens qui ont travaillé sur ces
nombres : Richard Dedekind (1831-1916), un allemand, et Giuseppe Peano (1858-
1932), un italien.
Place chaque nombre suivant dans son ensemble.
Sois le plus précis possible.
8 , - 3, 5 , 95 , 25 ,
416 , 2
225
56 , 3 27 , 3 64
De plus, on peut écrire que:
N Z Q R
Q’ R
Q’ Q et Q Q’
R
Q
Z
N
Q’
C’est comme le principe
des poupées russes !
8
-3
4
16
8
3 27
95
25
3 64
vide
Le symbole signifie que le premier ensemble est inclus dans le second, alors que le
symbole signifie qu’il n’est pas inclus.
22
2556
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 30
ENSEMBLE SOLUTION
Un ensemble solution est un sous-ensemble d’un ensemble de nombres (N, Z,
etR). Il est important de respecter le symbolisme approprié et quelques règles règles
d’écriture.
Ensemble des
nombres
NATURELS
Ensemble des
nombres ENTIERS Ensemble des nombres RÉELS (R)
Écris l’ensemble
des nombres naturels
compris entre -4
exclusivement et 3
inclusivement :
{0, 1, 2, 3}
Écris l’ensemble des
nombres entiers
compris entre -4
exclusivement et 3
inclusivement :
{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Écris l’ensemble des nombres réels compris entre -4
exclusivement et 3 inclusivement :
]-4, 3]
Des accolades « { , } » sont utilisées pour
exprimer un ensemble de nombres. Elles
servent à énumérer précisément des
éléments appartenant à un ensemble.
Ces éléments énumérés sont placés en
ordre croissant.
* Les éléments sont séparés par une
virgule. Cette virgule signifie « et » .
Des crochets « [ , ] », sont utilisés pour
exprimer un ensemble de nombres. Elles
servent à noter tout intervalle de nombres
réels.
Un intervalle est un ensemble de nombres
compris entre 2 nombres appelés les bornes
de l’intervalle. La borne inférieure correspond
à la valeur minimale
de l’intervalle et la
borne supérieure correspond à la valeur
maximale de l’intervalle.
Ces bornes sont placées en
ordre croissant.
* Les bornes sont séparées par une
virgules. Cette virgule signifie
« à » ou « jusqu’à ».
Variable
Exemple 1
Pour faire le lien avec
DESMOS, parler de ?:
-4 < x ≤ 3
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 31
Les accolades ne peuvent être ni ouvertes, ni
fermées.
Un crochet dit « fermé » est tourné vers
la borne (minimale ou maximale) lorsque
cette borne appartient à l’intervalle.
Un crochet dit « ouvert » n’est pas tourné vers
la borne lorsque cette borne n’appartient
pas à l’intervalle.
Écris l’ensemble
des nombres naturels
supérieurs à -3 :
{0, 1, 2, 3, … }
Écris l’ensemble des
nombres entiers
supérieurs à -3 :
{ -2, -1, 0, 1, … }
Écris l’ensemble des nombres réels supérieurs
à -3 : ]-3, ∞ ou ]-3, + ∞
Lorsque notre ensemble s’étend vers l’infini
positif ou négatif, nous utilisons les points
de suspension : …
Lorsque notre ensemble s’étend vers l’infini positif
ou négatif, nous utilisons le symbole de
l’infini : ∞
Note : Un vieux conflit oppose encore les mathématiciens
quant à l’emploi des crochets vis-à-vis le symbole de l’infini.
Par convention, nous ne placerons JAMAIS de crochet
devant ou après le symbole de l’infini.
Écris l’ensemble
des nombres naturels
inférieurs ou égal à -3 :
____
Écris l’ensemble des
nombres entiers
inférieurs ou égal à -3 :
{…, -6, -5, -4, -3 }
Écris l’ensemble des nombres réels inférieurs ou égal
à -3 : - ∞, -3]
Les symboles et { } représentent
l’ensemble vide.
Cas particuliers : Certains contextes nous demandent d’énumérer des
valeurs décimales appartenant à l’ensemble des
nombres RÉELS entre accolades { }. Les exemples les
plus fréquents sont les situations impliquant des coûts,
des sommes d’argent, des valeurs monétaires, etc.
Exemple 2
Exemple 3
? : - 3 < x
ou x > - 3
? : - 3 ≥ x
ou x ≤ - 3
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 32
Exemple 4 :
a) Énumère les nombres naturels compris entre 3 inclusivement et 9
exclusivement. {3, 4, 5, 6, 7, 8}
b) Énumère les nombres entiers compris entre -15 exclusivement et -23
exclusivement. {-22, -21, -20, -19, -18, -17, -16}
c) L’ensemble de tous les nombres réels (R) compris entre -2 inclusivement et 7
exclusivement. [-2 , 7[
d) L’ensemble de tous les nombres réels compris entre -15 et 10 s’écrira :
]-15 , 10[
e) L’ensemble de tous les nombres réels inférieurs à -2 exclusivement s’écrira :
-∞ , -2[
f) L’ensemble de tous les entiers compris entre 20 et 100 s’écrira :
{21, 22, 23, … , 98, 99}
g) Écris l’ensemble des nombres réels compris entre -17 exclusivement et 0
inclusivement : ]-17, 0]
h) Écris l’ensemble des nombres réels compris entre π inclusivement et 10
exclusivement : [π, 10[
i) Écris l’ensemble de tous les nombres naturels inférieurs à 45 :
{0, 1, 2, …, 43, 44}
j) Écris l’ensemble de tous les entiers inférieurs à -10 :
{…, -13, -12, -11}
Pour les AS
k) l’ensemble de tous les nombres réels compris entre les solutions des équations
suivantes et excluant les 2 solutions trouvées : 17x - 7 = 3x et
12x = 0 : ]0 , 1/2[
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 33
PROPRIÉTÉS D’UNE FONCTION
Exemple 12 : La plus grande tour du monde à Dubaï (inspiré du manuel Intersection, 2e cycle du secondaire, 1re année, p.76)
Burj Khalifa est la plus grande tour du monde (en
2016). C'est un gratte-ciel situé à Dubaï aux Émirats
arabes unis, devenu en mai 2009 la plus haute
structure humaine jamais construite. Sa hauteur
finale, atteinte le 17 janvier 2009, est de 828 mètres.
Aurélie a eu la chance de visiter Dubaï l’été dernier. Elle a même eu l’occasion de
monter en ascenseur au 163e étage du gratte-ciel Burj Khalifa. Malheureusement pour
elle, prise de vertige en arrivant en haut, elle a dû redescendre très rapidement en bas
pour se sentir mieux! Voici le graphique qui représente la hauteur de l’ascenseur, en
mètres, en fonction du temps, en secondes de sa visite.
Variable
(220, 0)
(136, 600) (160, 600)
(100, 420)
(85, 420)
(1, 0)
(0, -5) (220, 0)
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 34
a) Est-ce que ce graphique représente une fonction? Explique ta réponse.
Oui, à chaque instant, l’altitude d’Aurélie est unique! (pour chaque valeur de la
variable indépendante, il y a une seule valeur correspondante de la variable
dépendante.)
b) Quelles sont les propriétés associées à cette situation?
Domaine : Ensemble des valeurs que
peut prendre la variable indépendante.
Dom : [0, 220] s
(Se lit sur l’axe des x)
Image : Ensemble des valeurs que peut
prendre la variable dépendante.
Ima : [- 5, 600] m
(Se lit sur l’axe des y)
Maximum : Plus grande valeur que
prend la variable dépendante.
Maximum : 600 m
(Se lit sur l’axe des y)
Minimum : Plus petite valeur que prend
la variable dépendante.
Minimum : -5 m
(Se lit sur l’axe des y)
Ordonnée à l’origine ou valeur
initiale : Valeur de l’ordonnée à une
abscisse de 0.
Ordonnée à l’origine : - 5 m
(Se lit sur l’axe des y)
Abscisse(s) à l’origine ou zéro(s) de
la fonction : Valeur de l’abscisse à une
ordonnée de 0.
Abscisses à l’origine : 1 s et 220 s
ou {1 ; 220} s
(Se lit sur l’axe des x)
Variation (croissance, décroissance et constance) : intervalles du domaine
sur lesquels la fonction croît, décroît ou ne subit aucune variation.
Croissance : [0, 85] [100, 136] s
Décroissance : [160, 220] s
Constance : [85, 100] [136, 160] s
(Se lit sur l’axe des x)
Signe : Intervalles du domaine sur lesquels la fonction est située au-dessus de
l’axe des abscisses (positif) et sous l’axe des abscisses (négatif).
Positif : [1,220] s
Négatif : [0, 1] s
(Se lit sur l’axe des x)
Le maximum et le minimum
d’une fonction sont souvent appelés les
extremums
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 35
FONCTION DE VARIATION INVERSE
Exemple 13 : Le bal de finissants
Les élèves de la cinquième secondaire organisent le bal des
finissants pour la fin de l'année. Les activités créées ont permis
au comité du bal des finissants d'amasser un surplus de 2 400$. Ce montant doit être
partagé entre les élèves qui participeront au bal.
On désigne par la variable n, le nombre de participants et par p, la part en dollars de chacun. Voici la table de valeurs de cette situation.
Part selon le nombre des participants
Nombre de participants
30 50 100 120 200
Part de chacun ($) 80 48 24 20 12
a) Les variables qui interviennent dans cette situation sont n et p.
S’il y a un lien de dépendance entre ces variables, identifie la variable
indépendante et la variable dépendante.
La variable indépendante est n : nombre de participants
La variable dépendante est p : part en dollars de chacun
b) Qu'arrive-t-il à la part de chacun lorsque le nombre de participants augmente ?
La part de chacun diminue.
c) Est-ce une situation de proportionnalité directe ? Explique.
Non, car dans une situation de proportionnalité directe, le rapport de la valeur de
la variable dépendante sur la valeur de la variable indépendante est constant OU
Non, car dans une situation de proportionnalité directe, la valeur de la variable
dépendante double si la valeur de la variable indépendante double.
d) Quelle sera la part de chacun, si le nombre de participants est 150 ?
Si n = 150 p = 2400
150
p = ? p = 16 La part de chacun sera de 16 $ .
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 36
e) Combien de participants y avait-il, si chacun a empoché 200$ ?
Si p = 200 n = 2400
200
n = ? n = 12
Il y avait 12 participants.
f) Représente graphiquement cette situation.
g) Le produit des variables n et p est-il constant ? Oui
Que représente-t-il ? Le surplus amassé de 2 400$
h) Écris la règle de cette situation, à la lueur de ce que tu viens de découvrir.
p = 2400
n
Dans ce graphique, les points sont tellement rapprochés qu’on pourrait confondre avec une seule courbe. Par contre, il faut toujours avoir en tête que le nombre de personnes doit être un nombre entier!
Part selon le nombre des participants
p ($)
n
16 -
32 -
48 -
64 -
80 -
96 -
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Il est toujours possible de vérifier la véracité de la règle que tu viens d’écrire. Il suffit
de substituer, c’est-à-dire remplacer, les valeurs des variables à partir des
coordonnées prises dans la table de valeurs. À toi de faire la vérification !
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 37
RÉSUMÉ DE LA FONCTION DE VARIATION INVERSE Une fonction de variation inverse est une relation où une variable dépendante est
inversement proportionnelle à une variable indépendante, c'est-à-dire les valeurs des
deux variables ne varient pas dans le même sens. Par exemple, si une variable est
doublée alors l’autre est diminuée de moitié.
Dans une table de valeurs, la variable dépendante est inversement proportionnelle
à la variable indépendante lorsque les produits sont tous égaux
entre eux.
x x1 x2 x3 x4 …
y y1 y2 y3 y4 …
x1•y1 = x2•y2 = x3•y3 = x4•y4 = xn•yn = … = constante
Note : Les petits chiffres près de la variable sont appelés : indices. Ils servent uniquement à différencier les valeurs des variables. Ils n’ont aucune valeur numérique.
Le graphique illustre une courbe (et non une droite!) dont les deux extrémités
ne toucheront jamais aux axes.
La règle de cette fonction est y = kx où k = x1•y1 =…= xn•yn
où k est la constante trouvée par le produit de la variable dépendante et
la variable indépendante.
Ce type de fonction est appelée une fonction de variation inverse.
Lorsqu’on trace le graphique de cette fonction, tu ne dois pas utiliser ta règle à mesurer !
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 38
Exemples sans mise en situation : Trouve la règle de chacune des tables de valeurs ci-dessous. 1)
x 1 2 4 8 16
f(x) 16 8 4 2 1
f(x) = 16
x
2)
r - 2 4 8 16 32
u 32 - 16 - 8 - 4 - 2
u = - 64
r
3)
x - 8 - 3 2 6 7
g(x) 121
92
31
91
2
21
g(x) = 2
3g (car h =
2
3
g =
2
3g )
4)
b - 4 - 2 3 6 8
c 163
83
41
81 −
3
32
c = - 3
4b (c =
- 3
4
b = -
3
4b )
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 39
5)
x -6 2 4 10 12
f(x) -3 1 2 5 6
a) Cette relation représente-t-elle une fonction de variation inverse ?Non, il s’agit
d’une situation de proportionnalité directe car les quotients de la variable
dépendante par la variable indépendante sont tous égaux (taux constants de ½).
b) Détermine la règle correspondant à cette fonction :
f(x) =
x ou f(x) =
2
x ou f(x) = 0,5x
c) Dans l’espace suivant, trace le graphique correspondant à cette fonction :
Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 40
6) Voici une table de valeurs illustrant un certain phénomène.
x 2
1
1 2 5 10 20
g(x) 20 10 5 2 1
2
1
a) Cette relation représente-t-elle une fonction de variation inverse ? Oui, une
fonction de variation inverse (ou une fonction rationnelle) car les produits de la
variable indépendante et de la variable dépendante sont tous égaux (10).
b) Détermine la règle correspondant à cette fonction : g(x) =
x
c) Dans l’espace suivant, trace le graphique correspondant à cette fonction :
Chapitre 2/EXERCICES 41
~exercices~
1) Dans les situations suivantes, il y a une relation entre deux variables. Indique
celle qui, le plus naturellement, serait la variable indépendante et la variable
dépendante.
a) 3x2y Variable indépendante: x
Variable dépendante: y
b) 6t3w Sa table de valeurs est la suivante.
Indique dans les bulles le mot adéquat.
t 3 6 9 12
w -15 -24 -33 -42
c) D’après ce graphique, quelle est la variable indépendante et la variable dépendante?
Variable indépendante: mesure du côté
Variable dépendante: Aire des carrés
Variable indépendante
Variable dépendante
Aires de carrés
(cm)
Chapitre 2/EXERCICES 42
d) Le salaire d'un plombier qui est payé selon le nombre d'heures de travail.
Variable indépendante: nombre d’heures de travail d’un plombier
Variable dépendante: Le salaire du plombier
e) Le volume d’eau d’une baignoire qui se remplit à raison de 20 litres à la minute.
Variable indépendante: Le temps écoulé
Variable dépendante: Le volume d’eau dans la baignoire
f) Le réservoir d'essence de vos parents est endommagé et, avec le temps, une
certaine quantité d'essence est gaspillée.
Variable indépendante: Le temps écoulé
Variable dépendante: La quantité d’essence gaspillée
g) Un réfrigérateur consomme en énergie environ 2 kWh par jour. On s’intéresse à sa
dépense énergétique. On considère la relation entre le temps de fonctionnement
du réfrigérateur et sa dépense énergétique.
Variable indépendante: Temps de fonctionnement du réfrigérateur
Variable dépendante: Sa dépense énergétique
h) Le poisson pêché dans le fleuve Saint-Laurent peut être consommé, s'il ne contient
pas trop de métaux lourds. L'été dernier, les poissons contenaient en moyenne 0,5
mg de mercure par poisson. On considère la relation liant le nombre de poissons
et la quantité de mercure en mg.
Variable indépendante: Le nombre de poissons
Variable dépendante: Quantité de mercure
i) On estime qu'une personne, dans une maison, dépense quotidiennement, en
laissant couler le robinet en se brossant les dents, environ 2 litres d'eau. On
considère la dépense d'eau selon le nombre de personnes habitant la maison.
Variable indépendante: Nombre de personnes habitant la maison
Variable dépendante: la dépense d’eau
Chapitre 2/EXERCICES 43
2) Pour chacune des situations suivantes, identifie la variable indépendante et la
variable dépendante.
a) Un robinet qui fuit laisse tomber une goutte d’eau dont le volume est d’à peu
près 2 ml à chaque 20 secondes. On considère la relation entre la quantité
d’eau gaspillée et le temps écoulé.
Variable indépendante : Temps écoulé
Variable dépendante : Quantité d’eau gaspillée
b) Pour chaque CD-Rom acheté, la compagnie qui les produits a décidé de
donner 3$ au Club des Petits Déjeuners de Montréal. On considère le don
total selon le nombre de logiciels vendus.
Variable indépendante : Nombre de logiciels vendus
Variable dépendante : Don total
c) Lorsque je fais un appel interurbain, ma compagnie de service me charge
un tarif à la minute. Le soir, je paie 10 sous pour chaque minute parlée. On
considère la relation entre le coût de ma communication téléphonique et sa
durée.
Variable indépendante :Durée de la communication
Variable dépendante : Coût de ma communication téléphonique
d) Certaines voitures sont de grosses consommatrices d’essence, d’autres ont
à cœur l’environnement. Les nouvelles voitures hybrides fonctionnent à
l’essence et à l’électricité et certaines ne consomment qu’un maigre 5,2 litres
d’essence pour 100 kilomètres parcourus. On considère la relation entre le
nombre de litres d’essence et le kilométrage parcouru.
Variable indépendante : Kilométrage parcouru
Variable dépendante : Nombre de litres d’essence consommé
Chapitre 2/EXERCICES 44
e) Les alpinistes sont très prudents lorsqu’ils s’attaquent à de hautes
montagnes. En effet, la quantité d’oxygène contenue dans l’air diminue avec
l’altitude. On considère la concentration d’oxygène dans l’air selon l’altitude.
Variable indépendante : Altitude
Variable dépendante : Concentration d’oxygène dans l’air
f) Lorsqu’on veut calculer le périmètre d’un polygone régulier, on n’a qu’à
multiplier la mesure d’un côté par le nombre de côtés du polygone. On
considère la relation entre le périmètre d’un dodécagone régulier selon la
mesure du côté
Variable indépendante : Mesure du côté
Variable dépendante : Périmètre d’un dodécagone régulier
g) Un artiste qui produit son propre album en licence avec une compagnie de
disque recevra environ 2,13$ par album vendu pour les 50 000 premiers
albums. On considère le montant d’argent amassé en fonction du nombre
d’albums vendus.
Variable indépendante : Nombre d’albums vendus
Variable dépendante : Montant d’argent amassé
h) Gaétan Boucher a établi les records suivant lors des jeux olympiques de
1984 en patinage de vitesse : Il a parcouru 1000 m en 75,80 secondes et
1500 m en 118,36 secondes. On considère la relation entre le temps de
patinage et la distance parcourue.
Variable indépendante : Distance parcourue
Variable dépendante : Temps de patinage
Chapitre 2/EXERCICES 45
i) Un voyage en Italie est organisé à ton école et il en coûte 1700$ par étudiants
inscrits pour faire ce voyage. On considère le nombre d’élèves inscrits et le
coût total du voyage.
Variable indépendante : Nombre d’élèves inscrits
Variable dépendante : Coût total du voyage
j) Conduire une voiture implique toute sorte de responsabilités. On suggère
fortement de ne pas boire si vous devez conduire un véhicule. On considère
le taux d’alcool dans le sang en fonction du nombre de verres d’alcool
consommé.
Variable indépendante : Nombre de verres d’alcool consommé
Variable dépendante : Taux d’alcool dans le sang
k) Une automobile neuve perd de la valeur aussitôt qu’elle sort du
concessionnaire automobile. Bien sûr, avec le temps et l’usure, elle perd
aussi de la valeur au fil des années. On considère la relation entre la valeur
d’une voiture et du nombre d’années d’usure.
Variable indépendante : Nombre d’années d’usure
Variable dépendante : Valeur d’une voiture
Chapitre 2/EXERCICES 46
3) Les élèves de la cinquième secondaire organisent le bal des finissants pour la fin
de l'année. Ils décident de vendre des chandails afin d’amasser un montant qui
servira à offrir un souvenir aux finissants lors du bal. On désigne par la variable c,
le nombre de chandails vendus et par m, le montant total amassé. Voici la table de
valeurs de cette situation.
Montant total selon le nombre de chandails vendus
Nombre de chandails vendus
25 50 75 100
Montant total ($) 150 300 450 600
a) Les variables qui interviennent dans cette situation sont c et m.
S’il y a un lien de dépendance entre ces variables, identifie la variable
indépendante et la variable dépendante.
La variable indépendante est le nombre de chandails vendus.
La variable dépendante est le montant total.
b) Est-ce une situation de proportionnalité directe ? Explique.
Oui, car le rapport de la variable dépendante sur la variable indépendante est
constant. De plus, la droite passe par l’origine.
c) Représente graphiquement cette situation.
650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Montant total selon le nombre de chandails vendus
Nombre de chandails vendus
Montant total($)
Chapitre 2/EXERCICES 47
4) À partir des équations données, complète les tables de valeurs ci-dessous.
a) p = -3n
n -4 -1 0 3 6 7
p 12 3 0 -9 -18 -21
b) r = - 23
t
t -3 -2 0 2
3
2
45
23
r 2 3
4 0 -1 -15 −
4
9
c) a = 4b - 5
b -8 -5 0 3 7 9
a -37 -25 -5 7 23 31
Chapitre 2/EXERCICES 48
5)
a) Complète la table de valeurs et choisis le bon graphique qui est associé. Sa règle est : b = 3c
i)
b) Complète la table de valeurs et les coordonnées manquantes, puis trace le graphique associé à cette table de valeurs.
Sa règle est : p = 2n – 1
c 0 1 2 3 4
b 0 3 6 9 12
n -3 0 2 5 9
p -7 -1 3 9 17
ii) iii)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
6
4
2
-2
-4
-6
b
c
6
4
2
-2
-4
-6
b
c
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
6
4
2
-2
-4
-6
b
c
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
n
p
Coordonnées :
(-3, -7) (3, 5)
(-1, -3) (4, 7)
(0, -1) (5, 9)
(1, 1) (6, 11)
(2, 3) (7, 13)
Chapitre 2/EXERCICES 49
c) Complète la table de valeurs et les coordonnées manquantes, puis trace le graphique associé à cette table de valeurs. Sa règle est : t = -4w
w 0 1 2 3 4
t 0 -4 -8 -12 -16
d) Remplis la table de valeurs, inscris les coordonnées figurant dans la table de valeurs dans le rectangle des coordonnées et trouves-en d’autres, puis trace le graphique associé à cette règle.
Sa règle est : y = 2x
x -1 0 1 2 3
y -2 0 2 4 6
Coordonnées :
(-2, 8) (3, -12)
(-1, 4) (4, -16)
(0, 0) (5, -20)
(1, -4) (6, -24)
(2, -8) (8, -32)
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
24
20
16
12
8
4
-4
-8
-12
-16
-20
-24
t
w
y
Coordonnées :
(-1, -2) (2, 4)
(0, 0) (3, 6)
(1, 2) (5, 10)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
x
Chapitre 2/EXERCICES 50
e) Remplis la table de valeurs, inscris les coordonnées figurant dans la table de valeurs dans le rectangle des coordonnées et trouves-en d’autres, puis trace le graphique associé à cette règle.
Sa règle est : d = -6e + 12
f) Remplis la table de valeurs, inscris les coordonnées figurant dans la table de valeurs dans le rectangle des coordonnées et trouves-en d’autres, puis trace le graphique associé à cette règle.
Sa règle est : sd = 1/4t + 2
e -2 -1 0 1 4
d 24 18 12 6 -12
t -4 0 4 6 8
s 1 2 3 3,5 4
Coordonnées :
(-2, 24) (1, 6)
(-1, 18) (2, 0)
(0, 12) (4, -12)
d
e -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
72
60
48
36
24
12
-12
-24
-36
-48
-60
-72
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
Coordonnées :
(-4, 1) (6;3,5)
(0, 2) (8, 4)
(4, 3) (12, 5)
s
t -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
Chapitre 2/EXERCICES 51
6) À partir de la règle de chacune des fonctions ci-dessous, calcule la valeur de la
fonction à l’abscisse demandée.
a) Calcule la valeur de la fonction f à l’abscisse 12.
f(x) = - x + 12
f(12) = 0
b) Calcule la valeur de la fonction g à l’abscisse 4.
g(x) = 4
1x + 7
g(4) = 8
c) Calcule la valeur de la fonction h à l’abscisse -5.
h(x) = -x - 5
h(-5) = 0
d) Calcule 𝑖 (3
7).
i(x) = 3
7x +
6
1
i(7
3) =
6
7
e) Calcule la valeur de la fonction j à l’abscisse 0.
j(x) = 7 + 2x
j(0) = 7
Chapitre 2/EXERCICES 52
7) Vrai ou faux?
a) La réciproque d’une fonction peut être une fonction : Vrai
b) Toute fonction possède une réciproque : Vrai
c) Si (7,-9) est un couple d’une certaine fonction f, (-9,7) est un couple de la
réciproque de f : Vrai
d) La réciproque de la réciproque d’une fonction est la fonction elle-même : Vrai
8) Indique si les nombres réels suivants sont rationnels ou irrationnels.
a) 0, 123 rationnel b) 14,4567 rationnel
c) 23
rationnel d) 25 rationnel (entier)
e) 1719
rationnel f) irrationnel
g) - 39,69 rationnel h) 3
-343 rationnel (entier)
i) 2,365 78 rationnel j)
irrationnel
9) Blaise a créé une petite entreprise : il ramasse des canettes vides et les vend à
l’épicerie. Chaque canette lui rapporte 0,05$ et il ne peut ramasser plus de 20
canettes par sac du même coup. Il observe la quantité d’argent qu’il a ramassée
par sac en fonction du nombre de canettes vendues.
a) Quantité d’argent selon le nombre de cannettes amassées par Blaise
Nombre de
cannettes
0 5 10 15 20
Argent amassé ($)
0 0,25 0,50 0,75 1,00
Chapitre 2/EXERCICES 53
b) Détermine la règle représentant cette situation. : t = 0,05n où t: total d’argent amassé($) n: nombre de canettes c) Représente cette situation par un graphique :
d) Détermine :
1. Le domaine de cette situation : {0, 1, 2, 3, …, 19, 20} canettes
2. Les images : {0; 0,05; 0,10; 0,15; …; 0,90; 0,95; 1,00} $
3. Le maximum : 1,00 $
4. Le minimum : 0 $
5. L’ordonnée à l’origine : 0 $
6. L’abscisse à l’origine (ou zéro) : 0 canette
7. La variation : Croissance : {0, 1, 2, 3, …, 19, 20} canettes
8. Le signe : Positif : {0, 1, 2, 3, …, 19, 20} canettes
e) Quel est le taux de variation dans cette situation? (taux réduit avec des
numérateurs et dénominateurs entiers) : 5
100 $/canette =
120
$/canette
(ou 0,05$/canette)
Chapitre 2/EXERCICES 54
10) Élise vide sa piscine à l’approche de l’hiver. Lorsqu’elle commence le pompage
de l’eau, la piscine contient 42 000 litres d’eau. 7 heures de pompage à débit
constant sont nécessaires pour vider complètement la piscine. On observe la
quantité d’eau restante dans la piscine selon le temps écoulé depuis le début du
pompage.
a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation ? 42 000 litres
b) Quelle est :
La variable indépendante : Temps écoulé depuis le début du pompage (h)
La variable dépendante : Quantité d’eau restante dans la piscine (litres)
c) Remplis la table de valeurs suivante représentant cette situation :
Quantité d’eau dans la piscine depuis le début du pompage
Temps écoulé
0 1 2,5 3 5 7
Quantité d’eau
restante 42 000 36 000 27 000 24 000 12 000 0
d) Représente cette situation par un graphique :
Quantité d’eau dans la piscine selon temps écoulé depuis le début du pompage
Quantité d’eau dans la piscine (litres)
Temps écoulé (heures)
1 2 3 4 5 6 7 8
3 000 -
6 000 -
12 000 -
18 000 -
24 000 -
30 000 -
36 000 -
42 000 -
Chapitre 2/EXERCICES 55
e) Détermine :
1. Le domaine de cette situation : [0, 7] heures
2. Les images : [0, 42 000] litres
3. Le maximum : 42 000 litres
4. Le minimum : 0 litre
5. L’ordonnée à l’origine : 42 000 litres
6. L’abscisse à l’origine (ou zéro) : 7 heures
7. La variation : Décroissance : [0, 7] heures
8. Le signe : Positif : [0, 7] heures
f) Pour les AS
Détermine la règle permettant de calculer la quantité d’eau restante dans la
piscine (y) selon le nombre d’heures écoulées depuis le début du pompage (x).
Trace ensuite le graphique.
Règle : y= -6 000x + 42 000
Chapitre 2/EXERCICES 56
11) Voici deux tables de valeurs représentant chacune une fonction linéaire (droite).
Pour chacune, calcule :
a) Le taux de variation entre les points A et B
b) Le taux de variation entre les points A et C
c) Le taux de variation entre les points B et C
A B C
x 0 1 3 6 7
y -1 1 5 11 13
Calculs…
a) b) c)
x -3 1 2 5 11,5
y 12 -4 -8 -20 - 46
Calculs…
a) b) c)
a = y2 - y1
x2 - x1
a = 5 - - 13 – 0
a = 63
a = 2
a = y2 - y1
x2 - x1
a = 13 - - 1
7 - 0
a = 147
a = 2
a = y2 - y1
x2 - x1
a = 13 – 57 – 3
a = 84
a = 2
a = y2 - y1
x2 - x1
a =
a =
a = 2
a = y2 - y1
x2 - x1
a = -8 – 122 - -3
a = -205
a = -4
a = y2 - y1
x2 - x1
a = -46 – 1211,5 - -3
a = -5814,5
a = -4
a = y2 - y1
x2 - x1
a = -46 - -811,5 – 2
a = -389,5
a = -4
Chapitre 2/EXERCICES 57
12) Détermine :
a) L’ensemble de tous les entiers compris entre 2
17 exclusivement et
0 exclusivement. {-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1}
b) L’ensemble de tous les réels supérieurs à -10 et inférieurs à 12 .
]-10, 12 [
c) L’ensemble de tous les réels supérieurs - 12 à et inférieurs à 5
13 .
- 12 , 5
13
d) L’ensemble de tous les nombres entiers duquel on a retiré tous les naturels.
{…, -3, -2, -1}
13) On doit séparer un montant 63 000$ parmi les personnes qui répondent correctement à une question d’habileté mathématique. On veut connaître le montant d’argent auquel chacun des gagnants aura droit en fonction du nombre de gagnants. Le nombre maximal de gagnants est 21.
a) Complète la table de valeurs suivante :
Montant d’argent pour les gagnants
Nombre de gagnants 1 5 10 15 20 21
Montant par gagnant ($) 63 000 12 600 6300 4200 3150 3000
b) Trace le graphique qui représente cette situation.
c) g =
f
00063 où f : nombre de gagnants et g : montant par gagnant ($)
Montant d’argent pour les gagnants
65 000- 60 000-
55 000- 50 000-
45 000- 40 000- 35 000- 30 000- 25 000- 20 000- 15 000- 10 000- 5 000-
Montant par gagnant ($)
Nombre de gagnants
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Chapitre 2/EXERCICES 58
14) La superficie d’une piste de danse est de 40 m2. On s’intéresse à la superficie dont
dispose chaque danseur ou danseuse selon le nombre de personnes présentes
sur la piste de danse.
a) Complète la table de valeurs ci-dessous.
Superficie disponible sur la piste de danse
Nombre de personnes
sur la piste 2 5 20 60
Superficie disponible par
personne (m2) 2,5 0,8
b) Quelle est la règle de cette situation?
15) Dans une émission de variétés, l’animatrice interviewe plusieurs artistes. Le
graphique ci-dessous fournit de l’information sur le temps qu’elle peut allouer à
chaque invité ou invitée.
a) De combien de temps l’animatrice dispose-t-elle pour faire des entrevues?
b) Détermine la règle correspondant à cette situation.
c) Si elle reçoit 12 artistes à son émission, combien de temps durera chaque
entrevue?
Chapitre 2/EXERCICES 59
Annexe A - corrigé
4
2
12,275 1er nombre 2e nombre 3e nombre
Q
Q’
Code Secret Sauras-tu découvrir le code secret qui te
permettra d’ouvrir ce coffre?
N
Z -32
8
4 = 2
−√49 = -
7
√81 = 9
-4,9 15
17
243
12,275
√12
√5
𝜋
5
4𝜋
2, 251̅̅ ̅̅ ̅
√643
= 4
Chapitre 2/EXERCICES 60
Annexe B-corrigé
#1.a)
Ce graphique est une fonction. Ce graphique n’est pas une fonction.
Ce graphique est une fonction. Ce graphique n’est pas une fonction.
16
Chapitre 2/EXERCICES 61
#1.b) 1) A(0, 1) B(1, 2) C(2, 4) D(3, 8) Ce graphique représente une fonction. 2) (0, 0) (1, 1) (1, -1) (2, 2) (2, -2) Ce graphique ne représente pas une fonction.
Chapitre 2/EXERCICES 62
#2)
#3)
Chapitre 2/EXERCICES 63
Annexe C – corrigé
Les relations et les fonctions
1 Dans chaque cas :
1) y = – 2x + 6
x 1 2 3 4 5
y 4 2 0 -2 -4
Il s’agit d’une droite qui est descendante
et qui ne passe pas par l’origine.
2) y = 6x2 – 3
x – 2 – 1 0 1 2
y 21 3 -3 3 21
Il s’agit d’une courbe qui est descendante
au début et qui est ascendante par la suite.
Elle ne passe pas par l’origine.
2 Représente graphiquement la réciproque des relations suivantes.
a) Relation 1 b) Relation 2 y = x + 3
x 1 3 5 7 9
y 2 6 10 14 18
Chapitre 2/EXERCICES 64
3 Imagine qu’un lièvre et une tortue participent à une course de 1000 m.
Décris en mots cette course imaginaire.
4 Détermine si les relations suivantes sont fonctionnelles. Explique ta réponse.
a)Oui, car on observe une seule altitude (la variable dépendante) pour chaque distance parcourue (la variable indépendante).
b) Non, car on observe deux ou plusieurs distances parcourues (la variable dépendante) pour une même valeur de l’altitude (la variable indépendante).
Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le lièvre et la tortue prennent le départ en même temps. Le lièvre prend rapidement la tête et augmente la distance parcourue de façon constante. Après 10 min, il a franchi 500 m, soit la moitié de la distance totale de la course. Pendant ce temps, la tortue parcourt environ 160 m et poursuit son chemin de façon constante et ininterrompue. Le lièvre s’arrête 45 min pour faire une sieste, convaincu que, malgré cette pause, la victoire lui est assurée. À son réveil, il file vers la ligne d’arrivée. Cependant, c’est la tortue qui franchit la ligne d’arrivée à 60 min. Le lièvre doit se contenter de la deuxième place avec un temps de course d’environ 62 min.
Chapitre 2/EXERCICES 65
5 Soit la fonction d(t) = 4,9t2 qui représente la distance parcourue (en m) par un corps en chute libre en fonction du temps (en s).
a) Calcule d(3). d(3) = 44,1 m
b) Calcule d(8). d(8) = 313,6 m
c) Trace le graphique de cette fonction.
d) Décris en mots l’allure générale de la courbe.
Il s’agit d’une courbe qui est croissante et qui passe par l’origine.
6 Martine est abonnée au club de tennis Les petites raquettes. La cotisation est de 160 $/année et peut être payée en trois versements. Les frais de location de terrain s’élèvent à 4 $/h.
a) Dans cette situation :
1) quelle est la variable indépendante?
Nombre d’heures de location.
2) quelle est la variable dépendante?
Coût total ($).
b) Est-ce que cette relation est une fonction ?
Oui, cette relation est une fonction.
c) Trace le graphique de cette situation.
d) Indique si la réciproque de cette situation est une fonction.
Oui, la réciproque de cette situation est une fonction.
e) Si Martine a joué 72 h cette année, mais qu’elle n’a payé que les deux tiers des frais de location de terrain, quelle somme
lui reste-t-il à payer cette année ? 96 $
Abonnement à un
club de tennis
Nombre d’heures
de location
Coût total ($)
12 24 36 48 60
80
160
400
320
240
Distance
parcourue (m)
Temps (s)
Corps en chute libre
2 4 6 8 10
80
160
400
320
240
Chapitre 2/EXERCICES 66
Annexe D – corrigé
Propriétés des fonctions/Section 2.2
(présentation PowerPoint)
Domaine : [-8, 3]
Image (codomaine) : [-4, 8]
Extremums : Maximum : 8 ou {8}
Minimum : -4 ou {-4}
Ordonnée à l’origine (valeur initiale) : 4 ou {4}
Abscisse(s) à l’origine (Zéro (s) ) : x = -6 et x = -1 ou {-6, -1}
Intervalle (s) de variation : Croissance : [-2, 1]
Constance : aucune ou
Décroissance : [-8, -2] [1, 3]
Signe (s) :
Positif : [-8, -6] [-1, 3]
Négatif : [-6, -1]
Chapitre 2/EXERCICES 67
Annexe E – corrigé
Propriétés d’une fonction
#1) Voici une fonction quelconque.
a) Son domaine : [-7,
b) Son image : [-3,
c) Les extremums : Max : aucun ou { } ou Ø
Min : -3 ou {-3}
d) Intervalles de variation : Croissance : [- 4,
Décroissance : [- 7, - 4]
e) Son ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) : 0,5 ou {½}
f) Son ou ses zéro(s) (ou abscisse à l’origine) : {- 7, - 1}
g) Les signes : Positif : [-1,
Négatif : [-7, -1]
Lorsqu’il y a plus d’une
valeur : ensemble
/10
/21
Chapitre 2/EXERCICES 68
#2) Voici une seconde fonction quelconque. (Ça fait beaucoup de fonctions
quelconques!)
Détermine :
a) Son domaine : [- 4, 6]
b) Son image : [- 3, 4]
c) Les extremums : Max : 4 ou {4}
Min : -3 ou {-3}
d) Intervalles de variation : Croissance : [- 0,5; 2]
Décroissance : [- 4; -0,5] [4, 6]
Constance : [2, 4]
e) Son ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) : - 2 ou {-2}
f) Son ou ses zéro(s) (ou abscisse à l’origine) : il y en a trois : {- 2, 1, 6}
g) Les signes : Positif : [- 4, - 2] [1, 6]
Négatif : [- 2, 1]
Lorsqu’il y a plus d’une
valeur : ensemble solution
entre accolades.
/11
Chapitre 2/EXERCICES 69
Annexe F – corrigé
a) Produit des valeurs associées : 1210 1360 1200 1400 1150 1320 1120 1040
b) Non. Le produit des valeurs associées n’est pas parfaitement constant.
c) 1) 1225 (9800
8)
Page 25
2) b= 1225
𝑡où t est le temps d’utilisation (en s) et b,
le nombre de bactéries restantes/cm2. 3)
d) 1) 25 bactéries restantes / cm2 2) 7s
Chapitre 2/EXERCICES 70
Annexe G – corrigé
Situation d’apprentissage – Section 2.2
a) Son domaine : [0, 30] heures
Ses images : [0, 9] C
Les extremums : Minimum : 0C
Maximum : 9C
Intervalles de variation : Croissance : [0; 2,5] [22, 30] heures
Constance : [2,5; 11] [20, 22] heures Décroissance : [11, 20] heures
Son ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) : 4C
Son ou ses zéro(s) (ou abscisse à l’origine) : [20, 22] heures
Les signes : Positif : [0, 30] heures Négatif : [20, 22] heures ***facultatif !
b) Détermine le taux de variation de la dernière phase.
8
7 C/heure ou 0,875C/heure
Chapitre 2/EXERCICES 71
(0, 4)
(2,5 ; 9)
(11, 9)
(20, 0) (22, 0)
(30, 7)