la programmazione lineare un esempio. il problema il caseificio fior di latte produce due tipi di...

La Programmazione Lineare

Un Esempio

Il ProblemaIl caseificio “Fior di Latte” produce due tipi di formaggio: i formaggi A e B. L’azienda casearia deve decidere quante tonnellate produrre di ciascun tipo di formaggio.

L’azienda trasforma esclusivamente il latte proveniente da alcune stalle della zona che possono garantire ogni anno 2880 tonnellate di latte.

Da un punto di vista della trasformazione, i due formaggi si differenziano per la quantità di latte e per il lavoro necessari alla produzione di un’unità di prodotto trasformato.

Infatti per produrre 1 tonn. di formaggio A sono necessari 12 tonn. di latte e 9 ore di lavoro; mentre, per produrre 1 tonn. di formaggio B servono 16 tonn. di latte e 6 ore di lavoro.

Il caseificio ha una capacità massima di 200 tonnellate di formaggio. Le ore di lavoro disponibili sono 1566.

Il profitto che può ricevere il caseificio dalla vendita del formaggio è pari a 350 euro per il formaggio A e 300 euro per il formaggio B.

La domanda è: quanto formaggio A e B deve produrre il caseificio per poter ottenere il massimo profitto?

Economia delle Supply Chain

I problemi di scelta

In qualsiasi contesto economico dove le risorse da utilizzare sono disponibili in quantità limitata, si pone un problema di scelta della quantità e combinazioni di fattori da impiegare per ottenere il migliore risultato possibile.

Ad esempio, l’attività imprenditoriale ha come motivazione principale la continuità della propria impresa e la remunerazione dei fattori della produzione. L’imprenditore compie la sua attività di organizzazione al fine di individuare quella combinazione di fattori in grado di fornire il profitto più elevato.

Nel campo della logistica dei trasporti, l’obiettivo è trovare la strada più breve per raggiungere un certo luogo o il sistema di trasporto delle merci che riesca a minimizzare i costi dell’impresa.


La formulazione del problema

Per risolvere ogni tipo di problema di programmazione lineare, prima di tutto bisogna cercare di formularlo in termini algebrici seguendo queste regole:

1. Comprendere il problema;

2. Identificare le variabili di decisione;

3. Individuare la funzione obiettivo come combinazione lineare delle variabili decisionali;

4. Formulare i vincoli del problema come combinazione lineare delle variabili di decisione.


Comprendere il problema

Prima di cimentarsi con la formulazione matematica di ogni problema è fondamentale soffermarsi sul contesto in cui dovremo sviluppare un modello di programmazione matematica e domandarci:

1) Qual è l’obiettivo a cui dovremmo rispondere attraverso lo sviluppo di un modello di programmazione matematica?

2) Esistono delle variabili decisionali che possono influenzare l’obiettivo?

3) Quali sono i fattori o le risorse disponibili impiegati nel processo di trasformazione tecnico-economica?

4) Quali sono i tempi richiesti per dare un supporto al processo decisionale?

5) E’ realmente necessario sviluppare un modello di programmazione matematica?


Identificare le variabili decisionali

Se abbiamo compreso i termini del problema, allora possiamo individuare le variabili decisionali, cioè quelle grandezze che attraverso l’uso delle risorse disponibili in quantità limitata determinano i risultati del problema. Le variabili sono quegli elementi del problema che devono essere calcolati in modo da ottenere il miglior risultato possibile.

Solitamente le variabili di un problema di PL sono individuate dalle lettere X1, X2, X3, … , Xn

Nel nostro esempio, le variabili decisionali sono implicite nella domanda finale: quante tonnellate di formaggio A e B bisogna produrre per ottenere il massimo profitto?

Le variabili sono:

Formaggio A X1

Formaggio B X2

Variabili decisionali del problema di PL


La Funzione Obiettivo

Dopo aver individuato le variabili decisionali del problema, bisogna formulare in termini matematici l’obiettivo che ci poniamo attraverso la costruzione e risoluzione di un problema di PL. Domanda: cosa deve essere massimizzato/minimizzato? La funzione obiettivo rappresenta in termini algebrici l’obiettivo di chi vuole ottimizzare una certa situazione attraverso un modello di PL.

Nel nostro esempio la funzione obiettivo è data dalla massimizzazione del profitto totale del caseificio, vale a dire:

Profitto Totale = 350 X1 + 300 X2

Obiettivo= massimizzare (max) il Profitto Totale

Funzione Obiettivo = max Profitto Totale = max 350 X1 + 300 X2


I Vincoli

In ogni problema di scelta esistono dei limiti ai valori che possono assumere le variabili decisionali. In particolare, in ogni problema di PL bisogna tener conto dei fattori limitanti, ovvero delle risorse disponibili in quantità limitata. Inoltre, in molti problemi di scelta è necessario considerare i vincoli tecnologici, ovvero i legami esistenti tra variabili e tra le variabili e i fattori limitanti.Nel problema di PL assunto come esempio possiamo individuare 3 vincoli principali.

I vincolo. La capacità del caseificio

Ogni anno il caseificio può contenere sino ad un massimo di 200 tonnellate di formaggio. Quindi:

X1 + X2 ≤ 200

La quantità prodotta del formaggio A sommata alla quantità del formaggio B non può superare le 200 tonnellate prodotte.


I Vincoli

II vincolo. Il vincolo tecnologico di disponibilità di latte

Il caseificio utilizza il latte di alcuni allevatori per produrre i due tipi di formaggi, cioè:

12X1 + 16X2 ≤ 2880

Per produrre un’unità (tonnellata) di formaggio A occorrono 12 tonnellate di latte; mentre per produrre il formaggio B occorrono 16 tonnellate di latte. La quantità di latte che può entrare nel ciclo produttivo ogni anno è pari a 2880 tonnellate di latte.

III vincolo. Il vincolo della disponibilità di lavoro

L’ammontare massimo di ore che possono essere destinate all’attività di trasformazione costituisce un ulteriore vincolo al problema. Infatti:

9X1 + 6X2 ≤ 1566

Sono 9 le ore che devono essere destinate alla produzione di 1 t. di formaggio A e 6 quelle necessarie alla produzione del formaggio B.


I Vincoli

Infine, per dare coerenza alle soluzioni del problema con la realtà osservata ed evitare soluzioni inverosimili, ai problemi di PL si aggiungono i cosiddetti vincoli di non-negatività riferiti alle variabili del problema.

Così nel nostro esempio sarebbe alquanto strano ottenere soluzioni con valori negativi delle variabili decisionali. Per tale ragione, il problema è integrato dai seguenti 2 vincoli:

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

I due vincoli assicurano che la risoluzione del problema restituisca valori realistici ancorché ottimi.

Vincoli di

non-negatività


1 21 2

,

1 2

1 2

1 2

1

2

max 350 300

200

12 16 2880

9 6 1566

0

0

x xx x

x x

x x

x x

x

x

Il Problema di PL

Ora siamo in grado di poter scrivere il problema di PL in modo completo, nella formulazione algebrica seguente:

Soggetto a

F. Obiettivo

V. Capacità caseificio

V. Latte fornito

V. Lavoro

V. non-negatività 1

V. non-negatività 2

Attività 1 Attività 2


1 21 2

,

1 2

1 2

1 2

1

2

max 350 300

200

12 16 2880

9 6 1566

0

0

x xx x

x x

x x

x x

x

x

Soluzione Grafica

I vincoli di un problema di PL definiscono l’insieme delle soluzioni ammissibili, cioè la regione delle soluzioni ammissibili del problema (feasible region). Il nostro compito è di determinare quale punto della regione ammissibile corrisponde al valore ottimo della funzione obiettivo.

Soggetto a


Soluzione Grafica

Rappresentiamo il primo vincolo

1 2 200x x

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

(200,0)

(0,200)


Soluzione Grafica

Rappresentiamo il primo vincolo

1 2 200x x

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

(200,0)

(0,200)

Linea del limite superiore della capacità del

caseificio


Soluzione Grafica

Rappresentiamo il secondo vincolo

1 212 16 2880x x

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

(240,0)

(0,180)

Linea del limite superiore della disponibilità di latte

250

250


Soluzione Grafica


1 29 6 1566x x

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

(174,0)

(0,261)

Linea del limite superiore della disponibilità di

lavoro

250

250


Soluzione Grafica


1 29 6 1566x x

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

(174,0)

(0,261)

Linea del limite superiore della disponibilità di

lavoro

250

250

Regione Ammissibile

(Feasible region)


Soluzione Grafica

La regione ammissibile rappresenta la nuvola dei punti rispetto ai quali il valore assunto dalle variabili non contrasta con i vincoli del problema.

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

250

250

Regione Ammissibile


Soluzione Grafica

La regione ammissibile offre una infinita nuvola di punti nella quale dovremo individuare la coppia di valori che producono il massimo profitto.

Per tale ragione esistono un infinito numero di valori della funzione obiettivo che soddisfa i vincoli del problema. Tuttavia, solo un punto restituisce il valore massimo della funzione obiettivo.

La ricerca di questo punto deve seguire il criterio di saturazione della disponibilità dei fattori, cioè è necessario individuare quella soluzione che riesca ad utilizzare pienamente le risorse scarse.

Per tale ragione, la soluzione del nostro problema dovrà essere cercata nelle zone più estreme della regione ammissibile.

Questi punti in PL, si trovano all’intersezione delle rette dei vincoli, vale a dire nei punti d’angolo (corner point) della regione ammissibile.


Soluzione Grafica

Procediamo per tentativi e partiamo dal seguente valore della funzione obiettivo: 350x1 + 300x2 = 35000

Graficamente:

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

250

250

Funzione obiettivo

(100,0)

(0,116.67)


Soluzione Grafica

Il valore della funzione obiettivo precedente soddisfa i vincoli, ma non massimizza il risultato perché abbiamo ancora disponibilità di fattori. Proviamo ora con un valore di FO pari a 52500 euro. Graficamente:

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

250

250

Nuova Funzione obiettivo

(150,0)

(0,175)


Soluzione Grafica

Spostando la funzione obiettivo agli estremi della regione ammissibile il risultato economico continua ad aumentare. Il punto al di là del quale non è più possibile spostare la FO corrisponde al punto di ottimopunto di ottimo.

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

250

250

Soluzione ottima

(122,78)


Soluzione Grafica

Per cercare la soluzione ottimale di un problema di PL è necessario studiare i punti d’angolo e determinare per ciascun punto il valore della funzione obiettivo. Il punto che restituisce il valore della FO più alto coincide con il punto di ottimo.

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

250

250

(0,0) FO=0€

(174,0) FO=60900€

(0,180) FO=54000€

(80,120) FO=64000€

(122,78) (122,78) FO=66100€FO=66100€


Problema di PL

Risolvere graficamente il seguente problema di Programmazione Lineare.

Soggetto a

1 21 2

,

1 2

1 2

1 2

1

2

max 450 300

200

12 16 2880

9 6 1566

0

0

x xx x

x x

x x

x x

x

x


Soluzione Grafica

Alcuni problemi di PL possono presentare delle soluzioni ottime multiple.

50

100

150

200

0 50 100 150 200

x2

x1

250

250

(0,0) FO=0€

(174,0) (174,0) FO=78300€FO=78300€

(0,180) FO=54000€

(80,120) FO=72000€

(122,78) (122,78) FO=78300€FO=78300€


Problema di PL

Risolvere graficamente il seguente problema di Programmazione Lineare.

Soggetto a

1 21 2

,

1

2

1 2

1

2

max 3 4

12

10

4 6 72

0

0

x xx x

x

x

x x

x

x


Soluzione

Rappresentiamo il primo vincolo:

1 12x

4

8

12

16

0 4 6 10 14

x2

x1

2

6

10

14

18

20

2 5 8 12 1816 20

(12,0)


Soluzione

Rappresentiamo il secondo vincolo:

2 10x

4

8

12

16

0 4 6 10 14

x2

x1

2

6

10

14

18

20

2 5 8 12 1816 20

(0,10)


Soluzione

Rappresentiamo il terzo vincolo:

1 24 6 72x x

4

8

12

16

0 4 6 10 14

x2

x1

2

6

10

14

18

20

2 5 8 12 1816 20

(0,12)

(18,0)


Soluzione

Calcoliamo le soluzioni d’angolo per individuare la soluzione ottima.

4

8

12

16

0 4 6 10 14

x2

x1

2

6

10

14

18

20

2 5 8 12 1816 20

(0,0) FO=0€

(12,0) FO=36€

(12,4) FO=52€

(3,10) FO=49€

(0,10) FO=40€

Soluzione Ottima


la programmazione lineare un esempio. il problema il caseificio fior di latte produce due tipi di...

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