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La probabilità

Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa

L’incertezza   Nella maggior parte delle situazioni la nostra

condizione è caratterizzata dall’incertezza   Incertezza relativa ad eventi che devono ancora

accadere:   Quali numeri usciranno alla prossima estrazione del Superenalotto?

  Incertezza relativa ad eventi che sono già accaduti   Chi ha vinto il Campionato italiano di calcio di Serie A nella stagione

1972-73?   Incertezza relativa ad eventi che stanno accadendo

  Qual è la prevalenza di infezione da HIV nella popolazione italiana?   Incertezza relativa all’esistenza e alla natura di leggi

generali   Di quanto aumenta il rischio di avere un infarto all’aumentare dei

valori di PM10?

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L’incertezza   All’incertezza contribuiscono, in misura variabile:

  La nostra ignoranza, ovvero la limitatezza delle informazioni di cui disponiamo

  La variabilità dei fenomeni di cui ci occupiamo   Mentre in alcuni casi l’osservazione (misura) ci permette di passare

dall’incertezza alla certezza (?)   Quali numeri usciranno alla prossima estrazione del

Superenalotto?   Chi ha vinto il Campionato italiano di calcio di Serie A nella

stagione 1973-74?   in altri casi, per diverse ragioni, la misurazione potrà solo ridurre

l’incertezza   Qual è la prevalenza di infezione da HIV nella popolazione

italiana?   Di quanto aumenta il rischio di avere un infarto

all’aumentare dei valori di PM10?

La probabilità   Che cos’è la probabilità?   A che cosa serve, in generale?   A che cosa serve, per un epidemiologo?

  Interpretazione in termini probabilistici delle misure di occorrenza e di associazione   Un fumatore ha una probabilità di ammalarsi di tumore

5 volte superiore a quella di un non fumatore   Interpretazione in termini probabilistici delle

caratteristiche di validità di un test diagnostico   La probabilità che una persona sana risulti positiva al

test mammografico è pari allo 0.5%  Quantificazione dell’effetto dell’errore casuale sulle

stime campionarie   La probabilità di osservare un rischio relativo ≥ 5 in

assenza di associazione è pari al 3.2%

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La probabilità

  La probabilità è ciò che ci aiuta (meglio, che ci dovrebbe aiutare) a ragionare (a fare affermazioni) in maniera corretta (o, quanto meno, coerente) in condizioni di incertezza.

  “Ars conjectandi” (Jacob Bernoulli)   Diversi aspetti:

  Filosofico: definizioni di probabilità  Matematico: assiomi e regole  Applicativo: come usare le probabilità

EVENTO “ALEATORIO” Definizione

  L’ evento è l’ elemento di base al quale può essere applicata la probabilità  è il risultato di una osservazione o di un

esperimento  è la descrizione di un potenziale risultato  è lo “stato” preso da un “sistema”

  L’ evento è una proposizione logica suscettibile di essere verificata o no  a seconda del risultato dell’ “esperimento”

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Eventi aleatori   Un fenomeno aleatorio è un fenomeno che può

manifestarsi in vari modi e rispetto al quale siamo, pertanto, in condizioni di incertezza.

  Un fenomeno aleatorio deve essere, almeno teoricamente, verificabile (L’esito deve essere conoscibile).

  Una variabile aleatoria (numero aleatorio) è una variabile che può assumere diversi valori.  A ciascuno di questi valori (esaustivi e mutuamente esclusivi) avrà senso attribuire una probabilità

  Un evento aleatorio è una variabile aleatoria che può assumere solo due valori (V/F, 0/1)  Da una variabile aleatoria si passa ad un’evento raggruppando i possibili esiti in due classi

  La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto tra il numero di esiti favorevoli ad esso e quello di tutti gli esiti possibili, purché questi ultimi siano equiprobabili.

  Si adatta abbastanza bene a quelle situazioni in cui i fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria, in cui nessun particolare esito è favorito rispetto agli altri   due facce di una moneta   sei facce di un dado   estrazione di una carta da un mazzo   uscita di un numero alla roulette

???

Probabilità Teoria “classica”

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  Dalla definizione classica deriva che la misura della probabilità di un evento può variare da un minimo di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90), fino ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci rossi (n su n). Diremo, nel primo caso, che l'evento è impossibile e nel secondo caso che l'evento è certo.

  In tutti gli altri casi:   gli eventi hanno una probabilità 0 < p < 1, tanto più vicina a zero

quanto più è difficile che l'evento accada e tanto più vicina ad 1, quanto più è facile che accada.

  Un'altra importante proprietà è che:   la somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un fenomeno

aleatorio deve essere 1, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà per forza verificarsi

Probabilità Teoria “classica”

La nascita della teoria frequentista

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La nascita della teoria frequentista (e non solo…)

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Probabilità Teoria “frequentista”

  Supponiamo di ripetere un “esperimento” n volte in condizioni sostanzialmente identiche e di contare il numero m di volte in cui l’ evento A si verifica

  all’ aumentare di n la proporzione m/n si avvicina ad un limite fisso che è la probabilità di A   P(A) = limn→∞ (m / n)

  La probabilità di un evento è dunque definita come la frequenza relativa con cui l’ evento si verifica in una lunga serie di esperimenti indipendenti condotti in condizioni virtualmente identiche

  Anche in questo caso:   La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1   La somma delle probabilità dei possibili esiti è uguale a 1

Un esercizio per capire   Un esercizio per capire la differenza tra

FREQUENZA ASSOLUTA e FREQUENZA RELATIVA   In Stata, la sequenza

  clear

  set obs 100

  gen roll=1+int(6*uniform())

  tab roll   Genera 100 lanci di un dado (simulati…)

  Proviamo a fare 10 lanci e poi 100, 1’000, 10’000, 100’000   Come sono le differenze ASSOLUTE tra le uscite?   Come sono le differenze RELATIVE?

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Probabilità Teoria “frequentista”

Esempi:   Se un meteorologo ci dice che c’è una probabilità del

30% che oggi piova, non fa riferimento ad un modello simmetrico di eventi equiprobabili, ma si basa sulla frequenza osservata di giorni con pioggia con condizioni (di temperatura, umidità, pressione etc.) simili a quelli di oggi

  Se un medico ci dice che la probabilità di successo di un intervento chirurgico su un dato paziente è dell’87%, si basa (dovrebbe basarsi!) sulla frequenza osservata di successi in un numero cospicuo di interventi dello stesso tipo eseguiti su pazienti con caratteristiche (età, genere, condizioni fisiche, patologie concomitanti, etc.) simili a quelle del paziente dato

Probabilità Definizioni a confronto

  Ma possiamo davvero considerare tutti gli eventi “ripetibili”?  Qualche volta e’ necessario un’altro approccio:

Definizione Approccio Tempo Eventi Stima Esempi

Classica teorico a priori equiprobabili calcolo gioco d' azzardo

Frequentista oggettivo a posteriori ripetibili frequenza relativamortalità e morbosità in popolazioni

Bayesiana soggettivo a priori irripetibilivalutazione individuale da

parte di un soggetto razionale e coerente

stima del rischio individuale

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Probabilità Teoria “soggettiva”

  Secondo questa teoria, la probabilità è una misura del “grado di fiducia” soggettiva (di chi parla) che un evento si realizzi (o che una variabile aleatoria assuma un determinato valore) su una scala che va da 0 (completa sfiducia che l’evento si verifichi) a 1 (certezza che l’evento si verifichi)

  Ovviamente, considerazioni di simmetria e di frequenza relativa osservata sono alla base della valutazione soggettiva

Probabilità Teoria “soggettiva”

  La probabilità assegnata ad un evento corrisponde a “quanto sono disposto a pagare per vincere 1 nel caso che l’evento si verifichi”  Secondo la teoria soggettiva dire che la

probabilità di A è uguale a 0.75 significa dire che sarei disposto a pagare 75c per vincere 1€ al verificarsi di A

  La teoria soggettiva è particolarmente adatta nel caso di eventi che possono verificarsi una sola volta e di eventi già verificatisi ma ignoti

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  Non tutti i fenomeni presentano simmetrie che li rendono riconducibili a combinazioni di eventi equiprobabili

  Il fatto che all’aumentare del numero di esperimenti la frequenza relativa tenda ad un limite è un’ipotesi (legge empirica delle medie) che non può essere dimostrata né matematicamente né empiricamente

  Per molti eventi non è possibile immaginare, nemmeno teoricamente, la ripetizione dell’esperimento

Probabilità ogni approccio ha i suoi aspetti critici

Probabilità: ogni approccio ha i suoi aspetti critici

  Ci piacerebbe che la probabilità fosse una proprietà dell’evento,  non dello stato mentale di chi la esprime

  La definizione soggettiva ipotizza una rigidità rispetto al rischio  che in genere non c’è

  T u t t a v i a , l ’ o g g e t t i v i t à v i e n e recuperata nel definire le regole da usare  per modificare le probabilità a priori alla luce

delle osservazioni fatte

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Probabilità

  Per fortuna, le regole di calcolo delle probabilità  che riguardano il modo per quantificare la

probabilità di eventi complessi,

  sono largamente indipendenti dalla teoria sottostante…

Le proprietà della probabilità

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Eventi e teoria degli insiemi

  Insieme  collezione di elementi aventi una proprietà in

comune   nel caso degli eventi e della probabilità, si

tratta realizzazioni dello stesso evento

A Esempi:

1) Che un soggetto sia fumatore

2) Che un soggetto sia affetto

da tumore polmonare


  Spazio o universo  L’ insieme che comprende tutti i possibili

elementi  Viene rappresentato spesso da un rettangolo

che rappresenta lo spazio finito dell ’ esperienza a cui si sta facendo riferimento

U

A

Esempio: La popolazione

dei suscettibili ad una specifica patologia

(coloro cioè che possono ammalarsi)

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  Sottoinsieme  Ogni elemento di A è anche elemento di B  L’ evento A si verifica solo se è verificato

anche l’ evento B  A ⊂ B

U

B A Esempio:

I forti fumatori (A) sono un sottoinsieme

dei fumatori (B)


  Insieme Unione   l’ insieme che contiene tutti gli elementi di A e

tutti gli elementi di B  Si esprime come A ∪ B

  ∪ = “OR” (operatore booleano)

A ∪ B

Esempio:

L’ insieme dei soggetti che fumano (A) sigari,

(B) sigarette

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Eventi e teoria degli insiemi   Insieme Intersezione

  l’ insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B

 Si esprime come A ∩ B

  ∩ = “AND” (operatore booleano)

A B

A ∩

B

Esempio: L’ insieme dei soggetti

che fumano (B), e sono affetti da

tumore pomonare (A)

Eventi e teoria degli insiemi   Insieme complementare

  l’insieme che contiene tutti gli elementi dell’ Universo U che non appartengono ad A

  comprende tutti gli eventi che escludono A

  c = “NOT” (operatore booleano)  A ∩ Ac = φ (l’evento nullo)

A Ac

Esempio: L’ insieme dei soggetti

NON affetti da tumore pomonare (Ac)

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Eventi mutuamente esclusivi

  Due eventi A e B che non possono verificarsi contemporaneamente sono definiti “mutuamente esclusivi”  esempio:

 A è l’evento che il tumore sia di stadio III  B è l’ evento che sia di stadio IV

 A ∩ B = φ ⇒ P(A ∩ B ) = 0

A A B B

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La proprietà additiva

  Quando due eventi sono mutuamente esclusivi, la proprietà additiva della probabilità afferma che:   la probabilità del verificarsi dell’ uno oppure

dell’altro evento  è pari alla somma della probabilità di ciascuno

dei due eventi

B B A A P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B ) > P(A)

P(A ∪ B ) > P(B)

OR

La proprietà additiva

  Quando due event i NON sono mutuamente esclusivi, la proprietà additiva della probabilità afferma che:   la probabilità del verificarsi dell’ uno oppure

dell’altro evento  è pari alla somma della probabilità di ciascuno

dei due eventi meno la probabilità dell’ evento intersezione (che altrimenti sarebbe contata due volte)

P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B ) P(A ∪ B ) > P(A)

P(A ∪ B ) > P(B)

A B A ∩

B

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La proprietà moltiplicativa   Prendiamo in esame 1 evento aleatorio

esposizione ed 1 effetto: ad esempio esposizione al fumo ed la presenza di BPCO

  Se i due eventi non sono associati, si combineranno casualmente, seguendo la proprietà moltiplicativa della probabilità

10%

50%

20%

x =

P(A AND B ) = P(A) x P(B) P(A AND B ) < P(A); P(A AND B ) < P(B)

Eventi indipedenti e dipendenti

  se l’ esposizione e la malattia sono tra loro indipendenti   (non esiste dunque alcuna

associazione)

  se l’ esposizione e la malattia sono tra loro dipendenti   (l’esposizione modifica la

probabilità di malattia)

•  L’ Epidemiologia costruttiva utilizza le misure di frequenza allo scopo di stimare se i due eventi si associano solo casualmente, o se l’esposizione aumenta il RISCHIO di malattia:

La probabilità di essere Fumatore AND Malato

è il prodotto delle probabilità elementari

La probabilità di essere Fumatore AND Malato

è MAGGIORE del prodotto delle probabilità elementari

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La probabilità condizionata

  L’ esposizione e la malattia potrebbero essere distribuite nella popolazione come nel seguente schema:

0,5

0,5

Esposti

Non esposti

Malati

Non malati

0,2

0,8

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Eventi indipendenti   se l’ esposizione e la malattia sono tra loro

indipendenti la conoscenza dello stato di malattia non influenza la probabilità che un soggetto sia esposto

0,5

0,5

Esposti Non esp.

0,5*0,2= 0,1 0,5*0,2= 0,1

0,5*0,8= 0,4

0,5*0,8= 0,4

Malati

Non malati

0,2

0,8 0,5

0,5

Esposti

Non esp.

Eventi dipendenti   se l’ esposizione e la malattia sono tra loro

dipendenti la conoscenza dello stato di malattia modifica la stima della probabilità che un soggetto sia esposto

0,95

0,05

Esposti Non esp.

0,95*0,2= 0,19 0,05*0,2= 0,01

0,39*0,8= 0,31

0,61*0,8= 0,49

Malati

Non malati

0,2

0,8

0,39

0,61

Esposti

Non esp.

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La probabilità condizionata   se l’ esposizione e la malattia sono tra loro

dipendenti la conoscenza dello stato di malattia modifica la stima della probabilità che un soggetto sia esposto

Esposti Non esp.

Malati

Non malati

Esposti

Non esp.

La conoscenza dello stato assunto da uno dei due eventi

condiziona la stima della probabilità che si verifichi

l’ALTRO evento:

PROBABILITA’ CONDIZIONATA

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Il teorema di Bayes (1)

  a partire dai prodotti marginali e dalle probabilità nelle singole diramazioni, è possibile “rovesciare” l’ albero delle probabilità

B

Bc

B

P(B∩A) ∪ P(B∩Ac) = P(BANDA) OR P(BANDAc) = P(B)

P(Bc∩A) ∪ P(Bc∩Ac) = P(BcANDA) OR P(BcANDAc) = P(Bc)

P(A)* P(Bc|A) + P(Ac)* P(Bc |Ac) = P(Bc)

P(A)* P(B|A) + P(Ac)* P(B|Ac) = P(B)

Bc

(0,95*0,2) + (0,39*0,8 ) = 0,19 + 0,31 = 0,50

(0,05*0,2) + (0,61*0,8) = 0,01 + 0,49 = 0,50

Non malati

Malati

Malati

Non malati

Il teorema di Bayes (2)   In questo modo è possibile modificare la stima

della probabilità che un soggetto sia malato sulla base della conoscenza dello stato di esposizione

Non esposti

Esposti

0,19/0,5= 0,38

0,31/0,5= 0,62

0,01/0,5= 0,02

0,49/0,5= 0,98

0,5*0,38= 0,19

0,5*0,61= 0,31

0,5*0,02= 0,01

0,5*0,98= 0,49

0,19+0,31= 0,5

0,01+0,49= 0,5

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Il teorema di Bayes ed i test

  Il teorema di Bayes viene utilizzato spesso nel la valutazione di test diagnostici o screening  Test Diagnostici: hanno come obiettivo di

consentire una diagnosi di malattia  Test di Screening: utilizzati su soggetti che non

presentano alcuna sintomatologia clinica, permettono di classificare tali individui sulla base della probabilità di essere affetti da una particolare patologia

  Il teorema di Bayes consente di utilizzare la probabilità per valutare le incertezze associate ai risultati

Misure di qualità di un test

  SENSIBILITA’:   la percentuale di soggetti malati che il test

classifica come positivi   = Veri positivi / (Veri positivi + Falsi

negativi)   esprime la probabilità che il test sia positivo nei

soggetti malati

  SPECIFICITA’:   la percentuale di soggetti sani che il test

identifica come negativi   = Veri negativi / (Veri negativi + Falsi

positivi)   esprime la probabilità che il test sia negativo nei

soggetti sani

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Qualità del test ed alberi di probabilità

Test +

Test-

Veri positivi Malati

Non malati

Test +

Test-

Falsi negativi

Falsi positivi

Veri negativi

Sensibilità

Specificità

Prevalenza

P(B|A)

P(Bc|Ac)

P(A)

1- P(A)

Misure di qualità di un test

  VALORE PREDITTIVO DEL TEST POSITIVO (VPP):   la probabilità di essere malati dei soggetti risultati

positivi al test   = Veri positivi / (Veri positivi + Falsi positivi)

  VALORE PREDITTIVO DEL TEST NEGATIVO (VPN):   la probabilità di essere sani dei soggetti risultati

negativi al test   = Veri negativi / (Veri negativi + Falsi negativi)

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Test +

Test-

Veri positivi

Malati

Non malati

Falsi negativi

Falsi positivi

Veri negativi

Valore predittivo test +

Malati

Non malati

Valore predittivo test -

P(A|B)

P(Ac|Bc)

P(B)


Test +

Test-

Malati

Non malati

Test +

Test-

Sensibilità

Specificità

Prevalenza Veri positivi Veri positivi

Veri negativi Veri negativi

Falsi positivi

Falsi positivi Falsi negativi

Falsi negativi

Malati

Non malati

Malati

Non malati

Test +

Test-

Valore predittivo del test +

Valore predittivo del test -

P(A|B) = P(A)* P(B|A) + P(Ac)* P(B|Ac)

P(A)* P(B|A) =

Preval. * Sensib.

(Preval. * Sensib.) + (1-Preval.)*(1-Specif.)

P(Ac|Bc)= P(A)* P(Bc|A) + P(Ac)* P(Bc|Ac)

P(Ac)* P(Bc|Ac) =

(1-Preval. )* Specif.

Preval. * (1-Sensib.) + (1-Preval.)*Specif.

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da: Nanda K, et al., Ann Intern Med 2000; 132:810-819

Sistema di Classificazione

Bethesda InfezioneReazioni

riparativeASCUS

RichartCondiloma CIN I CIN II

Reagan (OMS) Normale Displasia Moderata

Displasia grave

Carcinoma in situ

Carcinoma invasivo

Papanicolau I V

CIN III

Displasia lieve

IIIII IV

Atipia

Classificazione citologica

Basso Grado (LSIL) Alto Grado (HSIL)

Neoplasia Intraepitaeliale della Cervice

Lesione Intraepiteliale Squamosa (SIL)

Il Pap-test

da: CNR - Basi scientifiche per la definizione di linee guida 10:100000(p=0.0001)

da: Loiudice et al, Eur J Cancer Prev, 1998; 7:295-304 80:1000 (p=0.08)

Sensibilità 0.40Specificità 0.96

Stime di frequenza10:1000 (p=0.01)

3:1000 (p=0.003)

10:1000 (p=0.01)

0.750.93

Un esempio: il pap-test

Test +

Test-

Veri positivi =0.01*0.75 =0.0075 Malati

Non malati

Test +

Test-

Falsi negativi =0.01*0.25 =0.0025

Falsi positivi =0.99*0.07 =0.0693

Veri negativi =0.99*0.93 =0.9207

Sensibilità P(B|A) =0.75

Specificità P(Bc|Ac) =0.93

Prevalenza P(A)=0.01

1-0.01 =0.99

1-0.75=0.25

1-0.93=0.07

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Test +

Test-

Malati

Non malati

Test +

Test-

Malati

Non malati

Malati

Non malati

Test +

Test-

P(A|B) = P(A)* P(B|A) + P(Ac)* P(B|Ac)

P(A)* P(B|A) =

Preval. * Sensib.

(Preval. * Sensib.) + (1-Preval.)*(1-Specif.)

P(Ac|Bc)= P(A)* P(Bc|A) + P(Ac)* P(Bc|Ac)

P(Ac)* P(Bc|Ac) =

(1-Preval. )* Specif.

Preval. * (1-Sensib.) + (1-Preval.)*Specif.

Prevalenza

0.01

0,999917

Specificità

0.93

0.07

0.25

Sensibilità

0.75 Veri positivi

0.0075

Falsi negativi 0.0025

Falsi positivi 0.0693

Veri negativi 0.9207

Veri negativi 0.9207

Falsi positivi 0.0693

Veri positivi 0.0075

Falsi negativi 0.0025 0.9232

0.0768

Valore predittivo del test -

0.9973

Valore predittivo del test +

0.0976

0.0027

0.9023


Test +

Test-

Malati

Non malati

Valore predittivo test + Malati

Non malati

Valore predittivo test -

Veri positivi =0.0075

Falsi negativi =0.0025

Falsi positivi =0.0693

Veri negativi =0.9207

0.0075 +0.0693

=0.0768

0.0025 +0.9207

=0.9232

0.0075/0.0768 =0.0976

0.9207/0.9232 =0.9973

0.0025/0.9232 =0.0027

0.0693/0.0768 =0.9023

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