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Los agujeros negros son objetos muyinteresantes en astrofísica pero tambiénconstituyen un escenario natural paraabordar algunas cuestiones de principio dela física fundamental. En este artículo sedescribe la paradoja de la pérdida deinformación que aparece al estudiaraspectos cuánticos de los agujeros negrosy se discute cómo esta pone en evidencia lainconsistencia lógica entre los dos pilaresbásicos de la física contemporánea: larelatividad general y la mecánica cuántica.Se presenta también la solución quepropone la teoría de cuerdas.

La paradoja de la pérdida deinformación en agujeros negros

Carmen A NúñezIAFE, CONICET

L a paradoja de la pérdida de información en losagujeros negros, que se origina al estudiar quées lo que le sucede a la información que está

escondida dentro de un agujero negro, podría resu-mirse en la pregunta: esta información ¿se destruyey se pierde para siempre o se puede recuperar conla radiación emitida a medida que el agujero negrose evapora?

Esta cuestión fue originalmente tratada porStephen Hawking en 1974 en un trabajo muyimportante donde mostró que el proceso de eva-poración de los agujeros negros contradecía losprincipios de la física cuántica.

Con esta observación, precipitó una crisis funda-mental en la física básica: parecía que había quesacrificar al menos uno de los dos pilares fundacio-nales sobre los que se asienta la física moderna, larelatividad general y la mecánica cuántica. La relati-vidad general, la teoría de la interacción gravitatoriaformulada por Albert Einstein, es el marco teóricoque nos permite entender el universo a grandesescalas: estrellas, galaxias, cúmulos y supercúmulosde galaxias. La mecánica cuántica, en cambio, es unmarco teórico para entender el universo a las escalasmás pequeñas: moléculas, átomos y toda la gama departículas subatómicas como electrones, fotones yquarks. A lo largo de los años, los físicos han confir-mado experimentalmente, con una precisión asom-brosa, casi todas las predicciones realizadas porestas dos teorías. Pero el trabajo de Hawking condu-ce inexorablemente a una conclusión preocupante: larelatividad general y la mecánica cuántica no puedenser ambas correctas, al menos cuando se aplican alos agujeros negros. Las dos teorías que sustentan elenorme progreso de la física del último siglo parecenser incompatibles.

En la mayoría de los casos, excepto en situacio-nes muy extremas, los físicos estudian cosas queson muy pequeñas y livianas (como los átomos ysus componentes) o cosas que son enormes y muypesadas (como las estrellas o galaxias), pero noambas a la vez. Esto significa que solo es necesariousar la mecánica cuántica o la relatividad general,pero no las dos juntas. Los dominios de aplicaciónde estas dos teorías son en general muy diferentesy en la mayoría de los casos una de ellas nos per-mite entender el fenómeno que estudiamos sinnecesidad de apelar a la otra.

Pero el universo presenta algunas situacionesextremas. En un agujero negro hay una enormemasa comprimida en un tamaño minúsculo. Cercade la singularidad, en el modelo del big bang, todo eluniverso observable estaba concentrado en unaregión microscópica. Estos escenarios son diminutos

y a la vez extremadamente masivos, de manera querequieren que ambas teorías, la mecánica cuántica yla relatividad general, actúen simultáneamente. Lasecuaciones de la relatividad general y la mecánicacuántica, cuando se tratan de combinar, no encajan.Preguntas físicas bien formuladas provocan respues-tas sin sentido, ilógicas, cuando requieren la unifica-ción de estas dos teorías. Si uno quiere entender losagujeros negros o los primeros instantes del univer-so, debe admitir esta hostilidad y desarrollar unanueva teoría que permita unificar estas dos en unnivel más profundo de comprensión.

La sugerencia radical de Hawking en 1974 fueque había que modificar los fundamentos de lamecánica cuántica.

Agujeros negros en el universo

Empecemos recordando que un agujero negroes un lugar donde la gravedad es tan intensa que lavelocidad necesaria para escapar de ella es mayorque la velocidad de la luz. Laplace, en el siglo XVIII,sugirió que podrían existir objetos con estas carac-terísticas; pero en el siglo XX, Einstein modificó lasideas vigentes acerca de la gravitación y, en conse-cuencia, de la descripción de los agujeros negros.

Forma parte de nuestra vida cotidiana el hechode que todo lo que tiramos hacia arriba vuelve acaer. Y todos sabemos que esto se debe a la atrac-ción gravitatoria de la Tierra. Imaginemos que tira-mos una pelota hacia arriba. Cuanto más fuerte lohagamos, más rápido se aleja de nuestra mano ymás alto llega antes de volver a caer. Pero si la tira-mos lo suficientemente fuerte, si le damos una velo-cidad inicial cada vez mayor, llegará un momentoen el que no volverá. La atracción gravitatoria nopodrá hacerla regresar. La velocidad mínima quedebe tener la pelota para escapar de la atracción dela Tierra se llama velocidad de escape, y es de unos11,2 km/seg (un poco más de 40.000 km/h) sobre lasuperficie de la Tierra. Si le damos a la pelota unavelocidad igual o mayor que la velocidad de escape,la enviaremos al espacio y no volverá a caer.

La velocidad de escape depende de la masa de laTierra y de su tamaño. Si imaginamos un planetamuy masivo y muy pequeño, con mucha materiaconcentrada en un pequeño volumen, la atraccióngravitatoria aumenta y entonces la velocidad deescape se hace mayor. Habrá que lanzar las pelotasmás fuerte que en la Tierra para que puedan escapar.En algunos casos, será necesaria una velocidadmayor a 300.000 km/seg. Esta es la velocidad de laluz, la mayor velocidad que se puede alcanzar según

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la teoría de la relatividad especial de Einstein. En estasituación nada puede escapar ya que nada puede via-jar más rápido que la luz. Este objeto que no permiteque nada escape de él es un agujero negro.

El tamaño del agujero negro depende de sumasa. Un agujero negro con la masa del Sol tendráun radio de 3 km (mientras que el Sol tiene unos700.000 kilómetros de radio); si la masa es la de laTierra, el agujero negro tendrá un radio de 1 cm(en lugar de los 6370 km del radio terrestre); nues-tro radio de agujero negro (es decir, un agujeronegro con la masa de un ser humano) es máspequeño que cualquier distancia de las que pode-mos medir actualmente.

Como la luz no puede escapar de un agujeronegro es imposible ver a este directamente. Perohay muchos indicios de que realmente existen.

Los agujeros negros se pueden formar en proce-sos astrofísicos. Algunas estrellas muy masivas ter-minan sus días colapsando en agujeros negros.Cuando una estrella terminó de quemar su com-bustible nuclear, las fuerzas gravitatorias superan lapresión de la radiación y no se puede evitar elcolapso. La estrella finalmente se contrae hasta quese transforma en un agujero negro. La masa deestas estrellas y de los agujeros negros que resultanal final de su evolución es de unos pocos soles(entre 5 y 100 masas solares) y el tamaño del aguje-ro negro es de unos 10 km de radio.

Hay agujeros negros con masas intermedias, entre500 y 1000 masas solares, que han sido descubiertosrecientemente. Y, finalmente, también hay evidencias

de agujeros negros en el centro de algunas galaxiasque son mucho más masivos, con masas miles demillones de veces la masa del Sol y tamaños del ordendel sistema solar (radios de aproximadamente 3 x 109

km). En nuestra galaxia parece haber evidencias, porradiación X, de un agujero negro en el centro con unamasa de 2,6 millones de soles.

¿En qué forma se los detecta? En principio podría-mos verlos por el modo en que deflectan la luz, por unefecto conocido como lente gravitacional. La luz securva al pasar cerca de un objeto muy masivo y enconsecuencia se forman imágenes múltiples del obje-to que está detrás del agujero negro. En la práctica,estos agujeros negros están rodeados por el gas deun disco de acreción. Este gas se calienta de unmodo característico y los astrónomos ven la radia-ción que viene de ese gas caliente.

Los agujeros negros son objetos muy interesan-tes en astrofísica. Pero no vamos a tratar ese aspec-to en este artículo. Vamos a considerar cómo losagujeros negros permiten investigar cuestiones deprincipio de la física fundamental; cómo se mani-fiesta en los agujeros negros la contradicción entrela mecánica cuántica y la relatividad general quemencionamos al comienzo.

Agujeros negros en relatividadgeneral

En 1905, Einstein modificó las nociones de espa-cio y de tiempo absolutos de Newton para resolver

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Figura 2. El Sol curva el espacio-tiempo y la Tierra describe la trayectoria de menor longitud en esa geometría.

una paradoja: la velocidad de propagación de la luzes independiente del movimiento del observador.En su teoría de la relatividad especial introdujo elconcepto de espacio-tiempo, según el cual el tiem-po debe considerarse en un pie de igualdad con lasdimensiones espaciales. Una consecuencia de estoes que el tiempo transcurre de manera diferentesegún la velocidad del observador. Un reloj que sealeja a gran velocidad de nosotros atrasa respectodel nuestro. El efecto sólo es apreciable para veloci-dades relativas cercanas a la de la luz, es decir queno lo observamos a velocidades ordinarias. Pero severifica experimentalmente en los aceleradores departículas, donde partículas inestables que se acele-ran a velocidades cercanas a la de la luz decaenmucho más lentamente (es decir, tienen una vidamedia mayor).

En 1915, Einstein trató de encajar la gravedad enesta nueva visión del espacio y el tiempo. Teníapara ello algunos indicios, como el notable descu-brimiento de Galileo sobre el movimiento de cuer-pos pequeños debido a la gravedad, que resulta serindependiente de la naturaleza de los cuerpos. Estole sugirió que la gravedad podría ser una propiedaddel propio espacio-tiempo. En lugar de la imagennewtoniana de la gravitación como una atracciónentre todos los cuerpos masivos, la relatividadgeneral describe la gravitación como un efecto de lacurvatura del espacio-tiempo producida por la dis-tribución de materia. Así el Sol curva el espacio-tiempo y la Tierra se mueve a lo largo de una tra-yectoria que es la línea de menor longitud en esageometría curva.

La gravedad también cambia el modo en quetranscurre el tiempo. De acuerdo con la teoría deEinstein, como el campo gravitatorio es más inten-so cerca de la superficie terrestre, el tiempo trans-currirá más lentamente en la planta baja de un edi-ficio, donde la atracción gravitatoria es mayor, queen el piso superior. El efecto es muy pequeño aescala terrestre: una parte en 1015. Pero es impor-tante en objetos más masivos.

Para un observador que está lejos de una masamuy pesada el tiempo transcurre más rápido quepara un observador cercano. La relación entre elintervalo de tiempo que transcurre entre dos tics deun reloj a cierta distancia de un cuerpo masivo y enotra posición infinitamente alejada se llama factorde corrimiento al rojo.

En la superficie de la Tierra este factor es muypequeño, aproximadamente 10-10; en la superficiedel Sol es cerca de 10-6; en la superficie de unaestrella de neutrones es de 0,7. La superficie dondeel tiempo se detiene, es decir donde el intervaloentre tics se hace infinito, se llama horizonte de

eventos y es lo que denominamos el radio del agu-jero negro (lo indicaremos como rh). Si uno lo cruzano siente nada especial, pero no puede volver asalir. La luz puede atravesarlo hacia adentro pero nohacia afuera, no puede escapar del agujero negro.Por eso la superficie del agujero negro se llamahorizonte: es el límite de lo que pueden ver losobservadores que están afuera del agujero negro.Una vez que uno cruzó el horizonte, sigue cayendo

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Figura 3. El tiempo transcurre más lentamente cerca de un objeto masivo.

El tiempo, cerca de un objeto muy masivo, transcurre más lentamente

El tiempo que mide un observador lejano

Pequeño cambio(factor de 1.000002)más lento

Muy lento

Figura 4. Dentro de un agujero negro hay una singularidad,donde la materia tiene densidad infinita y la fuerza de lagravedad es infinitamente grande. Esta singularidad estáseparada del exterior por un horizonte de eventos que impideverla desde afuera.

Horizonte

Singularidad

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hacia adentro y termina irremediablemente en unasingularidad. Esta es una región de curvatura muygrande del espacio-tiempo, donde una persona quese acercara se desgarraría. Las distintas partes desu cuerpo estarían sometidas a fuerzas tan intensasque terminaría despedazado. Las propias nocionesde espacio y de tiempo deben reformularse en lasregiones cercanas a una singularidad.

Cuando se forma un agujero negro se desarrollaesta singularidad, que es una región de curvaturainfinita. Y ahí fallan las teorías; no podemos descri-bir una singularidad con las teorías físicas actuales.Pero esta región está rodeada por el horizonte, lasuperficie imaginaria que separa el interior del exte-rior del agujero negro, de manera tal que algo en elinterior nunca podrá escapar hacia el exterior. Deacuerdo con la teoría de Einstein, la presencia de unhorizonte implica que nunca se verá la singularidady que, independientemente de lo que pase adentro,nada escapará hacia afuera.

La relatividad general predice también que laforma final de un agujero negro, tal como se vedesde afuera, es independiente del modo en que seformó. Las únicas propiedades que conserva detodo el proceso de formación son la masa, y even-tualmente si está cargado y rota, la carga y elmomento angular. Este hecho se conoce como elteorema de no pelos, es decir que los agujerosnegros no tienen pelos (o tienen a lo sumo trespelos). Aunque un agujero negro es un objetomacroscópico, en relatividad general tiene una des-cripción bastante simple.

Radiación térmica

Si bien en relatividad general un agujero negroes un objeto del que nada puede escapar, por efec-tos cuánticos puede emitir radiación. Efectivamen-te, Hawking mostró en 1974 que los agujerosnegros no son negros en realidad. Tienen una tem-peratura característica que se origina en procesoscuánticos. Para entender este efecto conviene recor-dar que las consecuencias de un campo gravitatorioson como las de la aceleración. Esta equivalenciaentre aceleración y gravedad es lo que Einsteinllamó el principio de equivalencia: si uno está enuna habitación sin ventanas y no tiene contacto conel exterior, es imposible decir si la habitación estáen reposo sobre la superficie de la Tierra o si estálejos en el espacio pero acelerándose de formaigual pero en sentido opuesto a aquella con la quevemos caer los objetos en la Tierra.

Consideremos una persona en el espacio vacío.No hay materia ni radiación. Esta persona está equi-pada con instrumentos científicos: detectores departículas y termómetros. Antes de encender losmotores de su nave espacial no ve nada porque estáen una región verdaderamente vacía. Al prender losmotores experimentará el efecto normal de la ace-leración: se sentirá más pesada, como si estuvierade repente en un campo gravitatorio.

Pero la aceleración tiene otro efecto que en prin-cipio parece no estar relacionado con la gravedad:en cuanto se aceleran, los detectores de partículasdel cosmonauta empiezan a registrar, a pesar de

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Energía escapando de un agujero negro.

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que, según un observador normal que no esté ace-lerando, el espacio en el que se mueve está vacío.Los observadores que no se aceleran ven un espa-cio completamente vacío. El observador aceleradove el espacio lleno de partículas. Estas partículasson una consecuencia de su aceleración.

Más interesante todavía es lo que vería si mira-ra su termómetro. Antes de empezar a acelerar estemarcaría el cero absoluto porque la temperatura esuna medida de la energía del movimiento de laspartículas, y en cosmonauta está en el espaciovacío. Pero al acelerar, el termómetro registra unatemperatura. Esta temperatura es proporcional a laaceleración. Todos los instrumentos se comporta-rán como si estuvieran inmersos en un gas de par-tículas, a una temperatura que aumenta proporcio-nalmente a su aceleración.

Este efecto no se ha observado todavía. Es unapredicción hecha en 1970 por el físico canadienseBill Unruh, quien calculó la relación exacta entre latemperatura (T) y la aceleración (a): T=a(h/2 πc). Enesta fórmula, h es la constante de Planck e indicaque esta temperatura tiene un origen cuántico. Y ces la velocidad de la luz, 300.000 km/seg.

La constante de proporcionalidad entre la tem-peratura y la aceleración es tan chica que el efectono se ha podido medir experimentalmente todavía.Pero no es inaccesible y hay algunas propuestaspara medirlo en los próximos años. En un mundo

clásico, sin cuántica, la constante de Planck seríacero y no habría efecto. El efecto también desapa-recería si la velocidad de la luz fuera infinita, y porlo tanto también se anularía en una física newtonia-na. Usando el principio de equivalencia entre la ace-leración y la gravedad, la temperatura en la superfi-cie de la Tierra debida a este efecto es extremada-mente pequeña: 10-20 K.

Hawking calculó que en el exterior de un aguje-ro negro se mediría una temperatura inversamenteproporcional a su masa Tα m-1. La constante de pro-porcionalidad es muy pequeña y en consecuencialos agujeros negros de masas estelares tienen tem-peraturas de unas pocas fracciones de grado. Sonmucho más fríos que los 2,7 K de la radiación cós-mica de fondo que inunda el universo. Pero un agu-jero negro con masa mucho menor sería muchomás caliente, incluso siendo de menor tamaño.

Efectivamente, en 1974 Hawking predijo que losagujeros negros emiten radiación térmica. Los agu-jeros negros más pequeños tienen una temperaturamás alta (T α rh

-1). Por ejemplo, los agujeros negroscon la masa del Sol (Ms~2 x1030 kg), tienen unatemperatura de radiación de unos 3,6 x 10-7 K; si lamasa es la de la Tierra (MT ~ 6 x 1024 kg), T ~ 0,1 K ypara la masa de una montaña de unos 1018 kg latemperatura de la radiación térmica es de unos7000 K, es decir, estos micro-agujeros negros severían como una estrella.

Pares de partículasvirtuales se crean y aniquilan

Placas de metal

Espacio vacío Efecto Casimir

Pares de partículasvirtuales se crean y aniquilan

Placas de metal

Espacio vacío Efecto Casimir

Figura 5. Pares de partículas virtuales se crean y destruyen permanentemente en el vacío. El efecto Casimir permite detectarlasmediante la atracción entre placas paralelas.

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¿Cuál es el origen de la temperatura detectadapor un observador acelerado? La temperatura esenergía. Si el termómetro mide debe haber una fuen-te de energía y esta viene de los motores de la navedel observador, que son el origen de su aceleración.Por el principio de equivalencia, en el caso de losagujeros negros esa energía debe originarse en elpropio campo gravitatorio. Y la fuente de este campoes la masa. Por lo tanto la energía responsable de latemperatura del agujero negro proviene de su masa.

Pero la temperatura no solo es energía. Es ener-gía en movimiento aleatorio. Y para entender porqué es aleatorio el movimiento de las partículas quedetecta el observador acelerado o de las que crea elcampo gravitatorio del agujero negro hay queentender otros principios básicos de la mecánicacuántica.

El vacío, por ejemplo, es un estado muy pocointuitivo en mecánica cuántica. Hay pares de partí-cula-antipartícula que se crean continuamente yluego se aniquilan. Aun en un vacío perfecto, secrean y destruyen constantemente pares de partícu-las virtuales. Por ejemplo, un fotón puede decaer enun par electrón-positrón y luego el electrón y elpositrón se aniquilan creando un nuevo fotón. Aun-que no podemos verlas, sabemos que estas partí-culas virtuales están realmente en el espacio vacíoporque dejan algunas trazas detectables. Un efectode los fotones virtuales es producir un pequeñocorrimiento en los niveles de energía de los átomos,que ha sido medido con gran precisión. Otra mani-festación de estas partículas virtuales es el efectoCasimir. Este efecto es una atracción que se obser-va entre dos placas paralelas de metal descargadasy se debe a que se pueden crear menos partículasvirtuales entre las placas que en el espacio que lasrodea y por lo tanto se genera una presión de afue-ra hacia adentro que acerca a las placas.

El principio de indeterminación de Heisenbergpermite explicar que estas partículas virtuales exis-tan por períodos de tiempo cortos aun cuando no

haya suficiente energía para crearlas. Se crean porincertezas en la energía. Se podría decir que tomanprestada la energía necesaria para su creación yluego rápidamente la devuelven y desaparecen. Típi-camente estos cuantos virtuales se pueden separarcierta distancia antes de recombinarse y aniquilarse.

El proceso por el cual el observador aceleradodetecta partículas calientes y los agujeros negrosadquieren temperatura es esta creación de pares vir-tuales partícula-antipartícula por efectos cuánticos. Enalgunos casos es posible separar el par usando ener-gía externa para evitar la aniquilación, y entonces laspartículas virtuales se convierten en reales. Por ejem-plo, supongamos que el par partícula-antipartícula seforma justo en el horizonte del agujero negro. Si unmiembro del par cae dentro del agujero negro elobservador que está afuera no puede ver la aniquila-ción del par y debe interpretar el cuanto que ve comouna partícula real. Lo mismo le sucede al observadoracelerado en el espacio vacío, que también tiene unhorizonte, una región oculta del universo a la que notiene acceso. La antipartícula, digamos, cae detrás desu horizonte y el detector mide la partícula que quedóen su región accesible del universo, como se ve en lafigura 6.

Las propiedades de los miembros del par partí-cula-antipartícula están correlacionadas de maneraque una descripción completa de uno de ellosrequiere necesariamente un conocimiento del otro.Cada partícula que detecta el observador aceleradoestá correlacionada con la antipartícula que está delotro lado del horizonte. Esto implica que parte de lainformación necesaria para hacer una descripcióncompleta de las partículas que forman la radiaciónde los agujeros negros es inaccesible porque estáen la antipartícula que cayó en la región oculta,detrás del horizonte. En consecuencia, lo que seobserva es intrínsecamente aleatorio, no hay formade predecir exactamente cómo se comportarán laspartículas. Pero movimiento aleatorio es, por defini-ción, calor. Entonces, las partículas detectadas porel observador acelerado o por el que está afuera delagujero negro se ven calientes.

Las propiedades térmicas de los agujerosnegros entonces mezclan la mecánica cuántica conla relatividad general. Es muy difícil mezclar estasteorías. Si se intenta hacerlo aparecen problemas. Yes en este contexto que surge la paradoja de la pér-dida de información de los agujeros negros o para-doja de Hawking. Veamos en qué consiste.

Evaporación del agujero negro

La radiación emitida por un agujero negro, lla-mada radiación de Hawking, se lleva energía. Y esto

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Figura 6. Un par partícula-antipartícula virtual que se forma cercadel horizonte de un agujero negro puede dar lugar a partículasreales debido a la geometría del espacio-tiempo.

implica que un agujero negro en el espacio vacíodebe perder masa, porque no hay otra fuente deenergía que compense la radiación que emite. Elproceso por el cual un agujero negro pierde sumasa por radiación se llama evaporación del aguje-ro negro. A medida que un agujero negro emiteradiación, su masa disminuye. Pero como su tem-peratura es inversamente proporcional a su masa, amedida que pierde masa se calienta. Se hace más ymás pequeño y más y más caliente. Se va evapo-rando. Parecería que llegará un momento en que nole quedará más masa y desaparecerá.

La evaporación de un agujero negro astrofísicoes un proceso muy lento. La velocidad de evapora-ción, que depende de la temperatura, es muy lentaporque la propia temperatura es muy baja inicial-mente. Un agujero negro de la masa del Sol demo-raría unas 1060 veces la edad actual del universo enevaporarse. Pero un agujero negro de unos 1012 kgtiene una vida comparable a la edad del universo,es decir que podríamos observar el proceso de eva-poración de estos agujeros negros si se formarondurante los primeros instantes de la vida del uni-verso. Entonces, si tenemos suficiente paciencia, elagujero negro microscópico se tornará muy calien-te, se evaporará cada vez más rápido, se hará másy más pequeño, más y más caliente. Nada puedeimpedir que convierta toda su masa en radiación ydesaparezca completamente.

Y esto nos coloca frente a la paradoja de la pér-dida de información. La pregunta sobre qué sucedeal final de la evaporación del agujero negro es loque conduce a la paradoja de Hawking: ¿Qué suce-de con la información atrapada dentro del agujeronegro?

El proceso de evaporación continúa hasta que latemperatura es tan alta que cada fotón emitido tieneuna energía muy grande llamada energía de Planck.En ese momento la masa del agujero negro es casicomo la masa de Planck, unos 2 x 10-5 g y su hori-zonte es de unas pocas longitudes de Planck (10-33

cm). Estas unidades de Planck definen el régimendonde los efectos cuánticos de la gravedad se hacenimportantes. ¿Qué sucede a estas temperaturas, aestas distancias? ¿Cómo evoluciona después el agu-jero negro? ¿Cómo termina su vida, si es que termi-na? Esto solo podrá responderlo una teoría de la gra-vedad cuántica. El agujero negro, ¿desaparecerácomplementamente? ¿O comenzarán a jugar otrosaspectos, impredecibles por ahora, mientras no ten-gamos esa teoría de la gravedad cuántica?

La escala de Planck que acabamos de mencionares muy interesante. A estas distancias deberíamosobservar los cuantos elementales que forman elespacio y el tiempo. Por otro lado, para observardistancias tan pequeñas necesitaríamos energías

muy grandes. Consecuentemente, la energía dePlanck es enorme (1019 GeV) y la temperaturacorrespondiente es solo comparable a la alcanzadadurante las etapas más tempranas de nuestro uni-verso. A estas energías tan grandes, mucho mayo-res que cualquier energía que podemos alcanzar enlos laboratorios terrestres o incluso que podemosobservar en los procesos astrofísicos más energéti-cos, las propias nociones de espacio y de tiempo deEinstein podrían no ser válidas. Para poder enten-der la física a estas escalas es necesaria una teoríade la gravedad cuántica. Pero si intentamos aplicarlas reglas de la mecánica cuántica a la relatividadgeneral, de manera análoga a como se aplican enotros procesos (por ejemplo a los electrones y foto-nes) aparecen problemas de consistencia matemá-tica en las ecuaciones, los cálculos dan resultadosinfinitos que no tienen sentido y surgen paradojasfísicas como las que plantea la evaporación de losagujeros negros.

Antes de explicar en qué consiste la paradoja,todavía es necesario definir los conceptos de entro-pía e información en la física cuántica.

Entropía de los agujeros negros

La cantidad de aleatoriedad que hay en un sistemacaliente se llama entropía. Es decir, la entropía es unamedida de cuánto desorden o aleatoriedad hay en elmovimiento de los átomos de un sistema caliente.

En un sistema aleatorio, como un gas a ciertatemperatura, hay una gran cantidad de entropía enel movimiento aleatorio de las moléculas. Estaentropía es información sobre las posiciones ymovimientos de las moléculas que no queda espe-cificada cuando se describe el gas en términos decantidades como densidad y temperatura. Estascantidades se promedian sobre todos los átomos enel gas, así que cuando uno habla de un gas en estostérminos la mayoría de la información sobre lasposiciones y movimientos reales de las moléculasse desprecia. La entropía de un gas es una medidade esta falta de información. En una descripciónmacroscópica la entropía es proporcional a la ener-gía de las moléculas del gas e inversamente pro-porcional a su temperatura.

La información sobre los estados exactos de laspartículas calientes que ve el observador aceleradono es completa porque está codificada en los esta-dos de las partículas de su región inaccesible(detrás del horizonte). Como la aleatoriedad esresultado de la presencia de una región oculta, laentropía debería estar relacionada con el tamañodel mundo que no puede ver el observador acelera-do o el observador que está afuera del agujero

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negro. Es decir, la entropía debería tener que vercon el tamaño de la región inaccesible al observa-dor. En realidad resulta ser una medida del tamañode la frontera que lo separa de su región oculta.Además, el cambio en la entropía del agujero negroes la cantidad de energía que emitió o absorbió divi-dida por su temperatura. Sabemos expresar la ener-gía del agujero negro en términos de su tamaño (Em α rh), y también sabemos expresar su temperatu-ra en función de su masa (T α m-1 α rh

-1). Entoncespodemos encontrar la dependencia de la entropíadel agujero negro con su tamaño: S = E/T α m2 α rh

2.La entropía de la radiación caliente que se observaresulta ser precisamente proporcional al área delhorizonte. Esta relación entre el área del horizonte yla entropía fue descubierta en 1970 por un estu-diante de doctorado: Jacob Bekenstein. Bekensteiny Unruh trabajaban bajo la supervisión de JohnWheeler, quien un año antes había dado su nombrea los agujeros negros.

Para agujeros negros simples, que no rotan y notienen carga eléctrica, los valores de la temperaturay la entropía se pueden expresar entonces de mane-ra muy sencilla. La entropía S es proporcional alárea (A), más precisamente: S = A/4hG. Es decir, laentropía es 1/4 del área del horizonte de eventos delagujero negro dividido por la unidad de área dePlanck (hG). La unidad de área de Planck es el cua-drado de la longitud de Planck: 10-66 cm2. En conse-cuencia, la entropía de un agujero negro es enorme:para un agujero negro de la masa del Sol, la entro-pía es aproximadamente 1078. Este número es muygrande (la entropía del Sol es unos 20 órdenes demagnitud menor).

Pero hay una gran contradicción en lo quehemos dicho hasta ahora. Por un lado, cuando des-cribimos a los agujeros negros en relatividad gene-ral dijimos que son objetos muy simples, con muypoca estructura. Independientemente de cómo seformaron, los agujeros negros se pueden caracteri-zar muy simplemente, es decir sus propiedades físi-cas se pueden describir completamente especifi-cando solo su masa (y eventualmente su carga ymomento angular). Por otro lado, acabamos dedecir que los agujeros negros tienen una enormeentropía y una gran entropía indica gran compleji-dad. La cantidad de movimiento aleatorio, imprede-cible, es muy grande. Entonces ¿los agujerosnegros son simples o son complejos?

¿De dónde proviene la entropía? Uno de losgrandes logros de la mecánica cuántica fue explicarel origen microscópico del comportamiento termo-dinámico de los sistemas macroscópicos. Las pro-piedades termodinámicas de los gases se puedenentender en términos de estados cuantizados de la

energía de sus átomos y moléculas. Entonces, ¿cuáles la física microscópica que explica las propieda-des termodinámicas de los agujeros negros?

Cada molécula de un gas, como partícula cuán-tica, tiene estados de energía cuantizados; y para ungas, se pueden contar los microestados accesibles aesas moléculas. La entropía es el logaritmo de esenúmero. En física estadística cuántica, una granentropía se asocia con un gran número de estadoscuánticos accesibles en los que el sistema puedefluctuar en equilibrio térmico.

¿Qué son todos estos grados de libertad cuánti-cos microscópicos del agujero negro que dan ori-gen a esta entropía? ¿Qué son estas partículas quese están moviendo aleatoriamente y originan elcalor y la entropía del agujero negro? Necesitamosuna teoría cuántica de los agujeros negros que nosrevele qué es su entropía, que nos dé una interpre-tación de la entropía en términos de estadosmicroscópicos del agujero negro.

Los agujeros negros en relatividad general sonindependientes de qué los forma y de cómo se for-man. Sus propiedades térmicas dependen de la gra-vedad y de la mecánica cuántica. Por lo tanto el ori-gen de su entropía debería ser explicado por unateoría de la gravedad cuántica. A grandes rasgos,intuimos que la entropía del agujero negro deberíavenir del movimiento de los cuantos del espacio-tiempo, de las partículas elementales que forman elespacio-tiempo. Y para saber qué son estos cuantosde espacio-tiempo necesitamos una teoría de la gra-vedad cuántica. Se piensa hoy que entender estosaspectos térmicos de los agujeros negros permitiráaprender mucho sobre la estructura cuántica delespacio-tiempo.

Información en mecánica cuántica y la paradoja de Hawking

Otro aspecto de la mecánica cuántica relevantepara esta discusión es que la información no sepuede destruir.

Supongamos que codificamos la informaciónque hay en una enciclopedia en bits, así como unacomputadora almacena la información, en secuen-cias de ceros y unos. Si escaneamos la enciclopediay guardamos la información en la computadora, aldía siguiente podremos leerla sin inconvenientes enprincipio. Pero en mecánica cuántica la evolucióntemporal de un sistema lo hace cada vez más com-plicado. Los distintos bits de información estáncorrelacionados y evolucionan con el tiempo demanera que no se puede conocer el estado de cadauno de ellos sin tener un conocimiento completo de

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todos. De manera que si queremos leer una enci-clopedia cuántica al día siguiente de haberla codifi-cado necesitamos una enorme cantidad de infor-mación. Esto no significa que no podamos leerla,que la información se destruye. Solo que se hacemás y más difícil reconstruirla a medida que pasa eltiempo. Pero la información no se destruye. Esta esuna premisa básica de la mecánica cuántica que severifica experimentalmente en todos los procesosconocidos hasta el momento.

Aunque los procesos físicos pueden transformarla información contenida en un sistema y hacerlainaccesible en la práctica, en principio la informa-ción siempre se debe poder recuperar. Una analogíade esta afirmación sería: Si quemamos la Enciclo-pedia Británica o la Enciclopedia de la Real Acade-mia Española, las llamas y las cenizas serán muyparecidas en los dos casos, pero en realidad haydiferencias sutiles: con suficiente inteligencia y tec-nología avanzada debería ser posible descifrar elcontenido de la enciclopedia observando las llamasy las cenizas.

Ahora estamos en condiciones de apreciar laparadoja de Hawking. Supongamos que tenemosuna enciclopedia con gran cantidad de información.Imaginemos que los bits de información que codifi-can el contenido de la enciclopedia forman un gasque colapsa por la fuerza de la gravedad y formanun agujero negro. Según la relatividad general, elagujero negro formado por la Enciclopedia Británi-ca o la Enciclopedia de la Real Academia Española,serán exactamente iguales si las dos enciclopediastienen la misma masa. Se dice que el agujero negrono tiene pelos.

Estos agujeros negros (llamémoslos británico yespañol) empiezan a emitir radiación. Según Hawkingesta radiación no tiene absolutamente ninguna infor-mación sobre la enciclopedia que dio origen al aguje-ro negro. En efecto, parte de la información quenecesitamos para reconstruir la enciclopedia estádetrás del horizonte, fuera de cualquier contactocausal con el exterior. No hay ningún problema conesto porque en realidad solo estamos mirando unaparte del sistema completo. La radiación no llevainformación porque parte del sistema es inaccesi-ble, está detrás del horizonte. Pero supongamosque esperamos pacientemente hasta que el agujeronegro haya emitido la mayor parte de su masa. Enalgún momento el agujero negro se evaporará com-pletamente, el horizonte de eventos desaparecerá yya no podremos decir que la información que faltaestá detrás del horizonte. La información que esta-ba codificada en los bits adentro del agujero negrose pierde inevitablemente, cae en la singularidad yninguna medición que podamos hacer en la radia-

ción que quedó nos permitirá recuperar esa infor-mación. En la jerga física se dice que un estadocuántico puro, con mucha información (toda lainformación contenida en la enciclopedia, por ejem-plo) ha evolucionado hacia un estado mezcla, congran cantidad de información faltante (la radiacióntérmica que emitió el agujero negro).

Esta es la paradoja de la pérdida de informa-ción. Es una paradoja en el sentido de que hemosseguido los principios básicos de la relatividadgeneral y la mecánica cuántica hasta el final yhemos concluido que un estado puro evoluciona aun estado mezcla, lo cual viola los principios de lamecánica cuántica.

Es decir, podemos formar un agujero negro demuy distintas maneras, pero siempre se evapora dela misma forma, aunque los principios de la mecáni-ca cuántica implican que debería haber una descrip-ción precisa de los agujeros negros y que no todoslos agujeros negros deberían evaporarse dejando losmismos residuos, indistinguibles unos de otros.Debería haber diferencias sutiles en lo que quedacuando el agujero negro se evaporó, según cómo seformó. Si los agujeros negros respetaran las leyes dela mecánica cuántica, entonces si un agujero negrose forma a partir de una enciclopedia, eventualmen-te deberíamos ser capaces, en principio, de leer laenciclopedia observando cuidadosamente la luz emi-tida cuando el agujero negro se evaporó.

Pero Hawking mostró que la evaporación delagujero negro es un fenómeno diferente de los pro-cesos físicos ordinarios; la información que caedetrás del horizonte de eventos de un agujero negrose perderá para siempre, permaneciendo oculta aúndespués de que el agujero negro se evaporó com-pletamente y desapareció. La contradiccón entre lamecánica cuántica, que implica que necesitamos lainformación, y la relatividad general, que implicaque no la podemos tener porque desapareció enuna singularidad, se denomina la paradoja de lapérdida de información.

Durante cerca de 30 años Hawking dijo que losagujeros negros pueden destruir información cuán-tica. Como vimos, este tipo de destrucción de infor-mación viola los principios de la mecánica cuántica.Por lo tanto Hawking sugirió que esta teoría debíaser abandonada o por lo menos modificada. Esa erauna postura revolucionaria: proponía abandonaruna teoría que ha sido verificada experimentalmen-te con una precisión impresionante.

Pero en julio de 2004 Hawking presentó esque-máticamente un argumento que, según dijo, sus-tenta la conclusión de que no hay pérdida de infor-mación. Muchos físicos todavía adhieren a la posi-ción anterior de Hawking y no están conformes con

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su cambio de opinión. Otros nunca aceptaron lapropuesta original de modificar la mecánica cuánti-ca. Pero todavía no hay consenso sobre la resolu-ción de la paradoja.

Teoría de cuerdas

Para concluir con una visión más optimista delproblema, presentamos muy esquemáticamente lasnuevas ideas sobre este tema que surgieron en losúltimos años en el contexto de las teorías de cuer-das. En efecto, parece haber una posible solución alos problemas asociados con la física de los aguje-ros negros en el marco de la teoría de cuerdas o teo-ría M. En particular, Juan Martín Maldacena, unjoven argentino que ha realizado aportes importan-tísimos en esta área, ha demostrado que en elmarco de esa teoría ciertos agujeros negros preser-van la información de una manera muy sutil.

La teoría de cuerdas surgió en la década de 1970para explicar las interacciones fuertes. Actualmenteestá todavía en construcción, no se conocen aun losprincipios que la sustentan, pero se sabe que pro-porciona una descripción unificada de todas lasinteracciones. Se basa en la suposición de que loselementos básicos de la naturaleza son objetos uni-dimensionales, cuerdas. Una cuerda oscila cuandoviaja en el espacio-tiempo y esas oscilaciones son elorigen de las partículas que observamos a bajasenergías. El gravitón, la partícula que transmite lainteracción gravitatoria, es uno de los modos deoscilación de una cuerda cerrada. Otras partículasson cuerdas que oscilan de una manera diferente oson excitaciones de una cuerda abierta.

Estas cuerdas interactúan uniéndose y dividién-dose, y los cálculos que describen estos procesosdan respuestas finitas razonables. Como todavía nose han observado, estas cuerdas deben ser máspequeñas que la distancia más corta que se hamedido: aproximadamente unos 10-18 m.

Vimos que la relatividad general relaciona la cur-vatura del espacio-tiempo con la distribución demateria y energía. Pero ¿cómo aparecen las ecua-ciones de Einstein en la teoría de cuerdas?

Las coordenadas de una cuerda en el espacio-tiempo curvo sienten la curvatura. Para que la pro-pagación de la cuerda sea consistente con la mecá-nica cuántica, el espacio curvo en el que se propagala cuerda debe ser una solución de las ecuacionesde Einstein con correcciones. Es decir, la teoría decuerdas no predice las ecuaciones de Einstein exac-tamente, les agrega una serie infinita de correccio-nes. En circunstancias normales, si solo miramosescalas de distancia mucho más grandes que la

escala de la cuerda, esas correcciones no son medi-bles. Y en ese caso las ecuaciones admiten solucio-nes de agujeros negros.

Pero a medida que la escala de distancias sehace más pequeña, las correcciones se hacen másgrandes hasta que las ecuaciones de Einstein ya nodescriben el resultado adecuadamente. Cuando lostérminos de corrección se hacen grandes, no haygeometría del espacio-tiempo que pueda describirel resultado. Las ecuaciones que determinan la geo-metría del espacio-tiempo se hacen imposibles deresolver excepto para condiciones muy particulares.Esta es una indicación de que tal vez la geometríadel espacio-tiempo no es algo fundamental en lateoría de cuerdas, sino algo que emerge en la teoríaa escalas de distancia grandes.

Agujeros negros y branas en teoríade cuerdas

En teoría de cuerdas hay relaciones de dualidadsegún las cuales a pequeñas distancias o cuando lasfuerzas se hacen muy intensas, hay una descripciónalternativa del mismo sistema físico que es muydiferente. Estas simetrías de dualidad permitierondescubrir que las teorías de cuerdas no solo contie-nen cuerdas sino también objetos de mayor dimen-sionalidad, llamados D-branas. Por ejemplo, unapartícula puntual es una cero-brana, las cuerdas son1-branas, las membranas son 2-branas, etc.

Los agujeros negros de una teoría de cuerdas sonuna colección de cuerdas en una región muy peque-ña del espacio. Se pueden describir alternativamentecomo un conjunto de D-branas en la representacióndual de la teoría, donde es posible calcular el núme-

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Figura 7. Según la conjetura de Maldacena, objetos complicadosen un espacio de Anti de Sitter se pueden describir medianteteorías más sencillas en la frontera.

Partículas en el bordedescribenobjetos en el interior

Los agujeros negros se describen mediante un gran número de partículas en el borde

La física gravitatoria en el inferiorse describe mediante una teoría de partículas en el borde

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ro de estados cuánticos accesibles al sistema. Cuan-do consideramos las dos representaciones dualesdel agujero negro, se encuentra que la entropía cal-culada contando microestados en el sistema de D-branas coincide con 1/4 del área del agujero negro dela descripción dual. En la descripción las D-branasson los cuantos fundamentales de un agujero negro.

Estos cálculos fueron realizados originalmente porA Strominger y C Vafa en 1996 para algunos agujerosnegros muy particulares (con una carga igual a sumasa en unidades adecuadas). Más tarde la equiva-lencia se verificó para otros agujeros negros algo másgenerales. Pero aunque el resultado es muy alentador,todavía es un desafío encontrar la descripción equiva-lente para cualquier agujero negro.

Holografía

La relación entre la entropía y el área del agu-jero negro es muy interesante. Es un ejemplo delholograma óptico usual en el cual una superficiebidimensional codifica información sobre la formatridimensional de un objeto. Una idea parecidafue propuesta hace ya algunos años por G ‘t Hoofty L Susskind, que sugirieron que el número degrados de libertad que describen una región enuna teoría de gravedad es proporcional al área deesa región.

Maldacena encontró una realización explícitade esta propuesta en la teoría de cuerdas. Pudodescribir el interior de un espacio-tiempo particu-lar (llamado Anti-de Sitter) en términos de una teo-ría en la frontera de ese espacio-tiempo, que tieneuna dimensión menos. Según esta idea, las partí-culas que viven en el borde del espacio-tiempodescriben un objeto que está en el interior. Losagujeros negros en el interior se describenmediante un gran número de partículas en elborde. La física gravitatoria en el interior, cuandoresulta muy complicada, se puede describir demanera alternativa mediante partículas interac-tuantes en el borde. La teoría de la frontera es unateoría de partículas relativamente sencilla. Enton-ces, hay dos descripciones equivalentes de lamisma física. Cuando una de ellas resulta incapazde resolver un problema, se apela a la otra, quepermite abordar las preguntas sin respuesta en laprimera formulación. Una teoría de partículas rela-tivamente sencilla en el borde puede describirobjetos muy complicados del interior.

El espacio-tiempo emerge dinámicamente eneste esquema, a partir de la interacción de las par-tículas que viven en la frontera. Y en esta formula-ción no hay pérdida de información porque la teo-

ría cuántica de las partículas del borde es una teo-ría unitaria que respeta los postulados de la mecá-nica cuántica.

Conclusiones

Podemos afirmar que los agujeros negros sonobjetos fascinantes en los cuales los efectos de lacurvatura del espacio-tiempo nos colocan frente asituaciones límite, en las que se hace necesariodesarrollar nuevas teorías, nuevas ideas.

Los agujeros negros combinados con la mecá-nica cuántica representan un gran desafío paranuestra comprensión del espacio-tiempo. La teoríade cuerdas es capaz de unificar aspectos clásicos ycuánticos de los agujeros negros y en esta formu-lación no hay pérdida de información. La descrip-ción microscópica de la entropía del agujero negroen términos de D-branas o la representación holo-gráfica de estos objetos en términos de partículasen la frontera del espacio-tiempo, constituyenmaneras nuevas y muy interesantes de describir elespacio-tiempo. CH

Lecturas sugeridas

MALDACENA JM, ‘Agujeros negros, cuerdasy gravedad cuántica’, www.sns.ias.edu/~malda/PublicLectures.htm

NÚÑEZ C, 2004, ‘¿Qué es la teoría M?’,Ciencia Hoy, 80:14-27

PRESKILL J, ‘Black holes and information: acrisis in quantum physics’, enwww.theory.caltech.edu/people/preskill/

SMOLIN L, 2001, Three roads to Quantumgravity, Basic Books.

Carmen A NúñezDoctora en Astronomía, Universidad Nacional de La Plata.Profesora Adjunta, Departamento de Física, UBA.Investigadora Independiente, CONICET.www.iafe.uba.ar/relatividad/carmen.html